FuncionesPsu Matemáticas 2012

Función• Definición:

– Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y solo un elemento y del conjunto B.

Se expresa como: f: A B x f(x) = y

Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y

Función• Conceptos:

– Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f.

– Recorrido: es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente (Y), y se denota Rec f.

– Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente.

– Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.

– Función Constante: es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor

Función

• Conceptos Fundamentales:

– Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B.

f(x)

A Bf

a

x

b = f(a)

f(x)

Función

• Conceptos Fundamentales:– La variable x corresponde a la variable independiente y la variable

cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable independiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee “f de x”]. Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”.

A Bf

a

x

b = f(a)

f(x)

Función– Rango o Recorrido de f:

Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Rec f.

1234567

Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en B.

abcde

1234567

A Bf

• Luego para la función f denotada:

– Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e}– Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}– Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7}

abcde

1234567

A Bf

Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .

Clasificación• a) Función Inyectiva: Una inyección de A en B es toda f de A en B, de modo que a

elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B.Cada elemento de A tiene una única imagen en B (y sólo una), de tal forma que se verifica que # A ≤ # B.

Como se ve, 4 € B y no es imagen de ningún elemento de A

abcd

12345

A Bf

• b) Función Epiyectiva o Sobreyectiva: Una epiyección o sobreyección de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al meno, un elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que # A ≥ # B. Es decir, que en este caso el codominio es igual al recorrido.

abcd

1

2

A Bf

• c) Función Biyectiva: una función f es biyectiva de A en B si y sólo si la función f es tanto Inyectiva como Epiyectiva a la vez, por lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una preimagen en A.

abc

123

A Bf

I. Función afín

• Es de la forma f(x) = mx + ncon m : Pendiente

n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición).

Ejemplo:La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada -3.

I. Función afín• Análisis de la Pendiente

Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.

• Si m < 0, entonces la función es decreciente.• Si m = 0, entonces la función es constante.• Si m > 0, entonces la función es creciente.

Función afín

I) II)

X

Y

n

m > 0n > 0

X

Y

n m < 0n > 0

X

Y

n

m > 0n < 0

X

Y

n

m < 0n < 0

III) IV)

Función Lineal• Es la función que su coeficiente de posición es cero f(x) =m x con m distinto de cero• Caso especial

– a) La función de forma f(x) = x, se reconoce como función identidad y su gráfica es:

1

2

f(x)

x1 2-1

-1

Función constante Tipos de funciones especiales:

b) La función de la forma f(x) = c, con c: Constante Real, se conoce como función constante y su gráfica es:

f(x)

x

●c

con c > 0

f(x)

x

●c

con c < 0

II. Función Cuadrática• Son de la forma:

• Gráfica:Siempre es una parábola, dependiendo su forma y la ubicación de sus coeficientes a, b y c.

f(x) = ax² + bx + c

II. Función Cuadrática• Concavidad:

El coeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo.

x

y

0 x0

y

a > 0, Abierta hacia arriba

a < 0, Abierta hacia abajo

II. Función Cuadrática• Eje de simetría y vértice:

El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vértice de la parábola.

El vértice está dado por:

Vértice = -b , f -b = -b , 4ac – b²

2a 2a 2a 4a

II. Función Cuadrática

Además, la recta x = , corresponde al Eje de simetría.-b 2a

_ b² - 4ac 4a

x

y

·

-b 2a

x0

y

·_ b² - 4ac 4a

-b 2a

a > 0 a < 0

II. Función Cuadrática• Intersección con los ejes

– Intersección con el eje Y El coeficiente c nos da el punto en el cual la parábola corta al eje Y.Sus coordenadas son (0, c)

0

c·

y

x

II. Función Cuadrática– Intersección con el eje X

para determinar el o los puntos donde la parábola corta al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la función cuadrática.

Se define el discriminante como:

D = b² - 4ac

II. Función Cuadrática• a) Si el D = 0, la parábola corta en un solo punto al eje X.

0 ·

Y

X

a > 0

(x = x , 0)

1 2

II. Función Cuadrática• b) Si el D > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X

0 ·

Y

X

a > 0

·

(x ,0) y (x , 0)1 2

II. Función Cuadrática• c) Si el D < 0, la parábola no corta al eje X.

0

Y

X

a > 0

II. Función Cuadrática• Naturaleza de las raíces de una ecuación de 2º grado

Si f(x) = 0, tendremos que ax² + bx + c = 0, llamada Ecuación de 2º grado en su forma general.Toda ecuación de 2º grado posee dos soluciones, pudiendo ser reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresión:

x = -b ±√b²- 4ac 2a

x = -b ±√b²- 4ac 2a

1

x = -b ±√b²- 4ac 2a

2

Estas soluciones, raíces o ceros de la ecuación corresponden gráficamente a los puntos donde la función f(x) = ax² + bx + c corta al eje X. Estos puntos tienen como coordenadas (x ,0) y (x , 0)

1 2

II. Función Cuadrática Tipos de soluciones

Dependen del valor del Discriminante

a)Si D = 0, 2 soluciones reales iguales

b)Si D > 0, 2 soluciones reales distintas (x y x € C, con x ≠ x )

c)Si D < 0, 2 soluciones imaginarias distintas (x y x € C, con x ≠ x )

D = b² - 4ac

(x = y)1 1

1 12 2

1 12 2

III. Función Parte Entera Su valor, para cada número x € IR, es la parte entera de x y se designa por [x]. Ésta

se escribe:

Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x, es decir:

Ejemplos:

[2,9] = 2 ;[-7/2] = -4 ;[5] = 5 ;[√2] = 1

f(x) = [x]

[x] ≤ x < [x+1]

Todo número real está comprendido entre dos números enteros, la parte entera de un número es el menor de los números enteros entre los que está comprendido.

III. Función Parte Entera

Obsérvese que esta función es constante en los intervalos semiabiertos (semicerrados) de la forma [n, n + 1[ con n € Z. Por tanto, los segmentos horizontales contienen sus extremos izquierdos, pero no los derechos

IV. Función Valor Absoluto• El valor absoluto de un número x € IR, denotado por |x|, es siempre un número

real no negativo que se define:

Ejemplo:

|-3| = 3 |12| = 12|-18| = 18 |-5,3| = 5,3

f(x) = |x| =

x si x ≥ 0

-x si x < 0

Si los números reales están representados geométricamente en el eje real, el número |x| se llama distancia de x al origen.

IV. Función Valor Absoluto– a indica el punto de traslación en el eje de las coordenadas.

IV. Función Valor Absoluto– b indica el punto de traslación en el eje de las abscisas.

IV. Función Valor Absoluto• Propiedades:

– a. Si |x| ≤ a entonces -a ≤ x a; con a ≥ 0

– b. Si |x| ≥ a entonces x ≥ a ó -x ≥ a

– c. |xy| = |x| · |y|

– d. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)

IV. Función Valor Absoluto• La última propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando, se generaliza a

vectores indica que la longitud de cada lado de un triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos.

V. Función Exponencial• Es la función inversa del logaritmo natural y se denota equivalentemente como: x

e^x o x exp(x)

La función exponencial f con base a se define como

f(x) = a Si a > 0 ^ a ≠ 1, x € IR x

V. Función Exponencial• Propiedades:

– El dominio de la función exponencial está dado por los números IR.

– El recorrido de la función exponencial está dado por los IR*.

– El punto de intersección de la función con el eje Y es (0, 1).

– La función no intercepta el eje X.

V. Función Exponencial• Crecimiento y decrecimiento exponencial:

– Si a > 1, f(x) es creciente en todo IR.

Mientras más grande el número de la base, la línea estará más cerca del eje Y.

V. Función Exponencial• Crecimiento y decrecimiento exponencial:

– Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR

V. Función Logarítmica• Propiedades

– El dominio de la función logarítmica está dado por los números IR, la función no está definida para x ≤ 0.

– El punto de intersección de la función con el eje X es (1, 0).

– La función no intercepta el eje Y.

V. Función Logarítmica• Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:

– Si a > 1, f(x) = log x es creciente para x > 0.a

V. Función Logarítmica• Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:

– Si 0 < a < 1, f(x) = log x es decreciente para x > 0.a