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FuncionesPresentado por: Tammy Roterman y
Orli GlogowerPresentado a: Patricia Cáceres
Décimo Grado
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Funciones
Definición
Características
Formas de expresar
Funciones Inyectivas,
Sobreyectivas y Biyectivas
Funciones Pares e Impares
Tipos
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Función
• Definición• Una función es una relación entre
un conjunto dado X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el rango) de manera que a cada elemento x del dominio le corresponda uno y solo un elemento del rango f(x).
• A cada Pre Imagen le corresponde una sola y solo una Imagen.
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Formas de expresar una función
Una función se puede expresar de 4 distintas formas:
Enunciado
Algebraicamente
Gráfica
Tabla
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Una función se expresa a través de una tabla, cuando se dan algunos valores de X con los valores correspondientes de Y.
X 0 2 8 10 12
Y 3 4 2 8 10
Ejemplo:
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Una función se expresa a través de un enunciado cuando se describe verbalmente.
Ejemplo: Una función, es la relación entre los elementos del dominio y los del rango.
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Una función se expresa a través de una formula o expresión algebraica cuando se da una ecuación en la que se relacionan las variables X y Y.
f(x)= 2X + 4f(x)= 4X2 – 3X + 8
f(x)= X3 + 2X2 – 4X + 3
Ejemplo:
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Una función se expresa a través de una gráfica, cuando se representan los pares (x,y) en el plano cartesiano.
Ejemplo:
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Variable dependiente
Variable independiente
Imagen
Pre Imagen
Conjunto de salida Conjunto de llegada
Dominio
Rango
Punto de corte con X
Punto de corte con Y
Crecimiento
Periodicidad
Máximos y mínimos
Características de las funciones
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Son los posibles valores del conjunto de llegada. La variable dependiente se llama Y.
Son los posibles valores del conjunto de salida. La variable independiente se llama
X.
Características
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• Los elementos principales de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables. Estos valores son llamados Imágenes y Pre Imágenes.
Imagen: Los valores del conjunto de llegada que se relacionan con los valores del conjunto de salida. Pre Imagen: Los valores del conjunto de salida que se relacionan con los valores del conjunto de llegada.
a 1
b 2
c 3
4
YX
f
Características
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Rango: Conjunto de elementos del conjunto de llegada que están relacionadas con un valor del conjunto de salida.
Dominio: Conjunto de elementos del conjunto de salida que están relacionadas con algún elemento del conjunto de llegada.
Características
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Conjunto de Salida: Conjunto de Pre Imágenes.
Conjunto de Llegada: Conjunto de Imágenes.
Características
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Punto de corte con X: Se halla cuando Y=0. Se iguala la función a 0, o se factorisa.
Punto de corte con Y: Se halla cuando X=0. Se reemplaza X por 0.
Características
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Crecimiento:Función creciente: Es creciente cuando al aumentar los valores de X, aumenta Y.Función decreciente: Es decreciente, cuando al aumentar los valores de X, disminuye Y.
Periodicidad:Una función es periódica, si su gráfica se repite en intervalos de amplitud constante.Periodo: Longitud del intervalo que se repite.
Máximos y mínimos:Máximo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es mayor que en los puntos que están próximos.Mínimo relativo: Es un punto en el que el valor de la función es menor que en los puntos que están próximos.
Características
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• Funciones Inyectivas:
• Una función es Inyectiva si a cada valor del dominio le corresponde un valor del rango. No puede haber dos o mas elementos del dominio con la misma imagen.
• Funciones Sobreyectivas:
• Una función es Sobreyectiva si cada elemento del rango es como mínimo la imagen de un elemento del domino.
1
2
3
D
B
C
A
X Y
1
2
3
4
D
B
C
X Y
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Función Biyectiva:
• Una función es Biyectiva cuando todos los elementos del conjunto de salida tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada (inyectiva), sumándole que a cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada (sobreyectiva).
1
2
3
4
D
B
C
A
X Y
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• Función Impar:
• Se llama función impar a la que para todo x perteneciente al Dominio de la función, se cumple que:
• Se produce una simetría con respecto al origen de coordenadas.
• Ejemplo:• f(x)= X3
• f(2)=8• f(-2)=-8
• Todas las funciones impares cumplen la ecuación:
• Función Par:
• Se llama función par a la que para todo x perteneciente al Domino de la función, se cumple que:
• Se produce una simetría con respecto al eje y.
• Ejemplo:• f(x)= X2
• f(-2)= 4• f(2)= 4
• Todas las funciones pares cumplen la ecuación:
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Tipos de funciones
Trigonométricas
Por Partes o A Trozos
Valor Absoluto
Exponencial
Logarítmica
RacionalPolinómicas
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Grado Impar
Funciones polinómicas
Cuadrática
Grado ParConstante
Lineal
Cúbica
Afín
Idéntica
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Generalidades de una función polinómica
• Se llama función polinómica a toda aquella que está definida por medio de polinomios.
• Según el grado del polinomio, las funciones polinómicas se pueden clasificar en:
• En el conjunto de las funciones polinómicas pueden definirse los siguientes tipos de operaciones:
• Suma de dos funciones f (x) y g (x): produce una nueva función (f + g) (x).• Producto de una función f (x) por un número l: produce una nueva función (l × f) (x).• Producto de dos funciones f (x) y g (x): resulta una nueva función (f × g) (x).
Grado Nombre Expresión 0 Constante y= a 1 Lineal y= ax + b 2 Cuadrática y= ax2 + bx + c 3 Cúbica y= ax3 + bx2 + cx + d
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Función Constante
• Es una función polinómica de grado cero que no depende de ninguna variable.
• Se define por la ecuación: y= a
Dominio= IRRango= aConjunto de Salida= IRConjunto de Llegada= IRPunto de corte con x= no existePunto de corte con y= a
EJEMPLO
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Análisis:y= 6Dominio-Conjunto de salida= IRConjunto de llegada= IRRango= {6}Punto de corte con y= 6
Constante
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Función Afín
• La función afín viene dada por la ecuación: y= mx+n
• Donde X y Y son las variables• m es la pendiente• n es la ordenada en el origen
• Dominio= IR• Conjunto de Salida= IR• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Punto de corte con y= n
La m de una recta determina la inclinación de la misma, entonces:Si m<0 decrecienteSi m>0 creciente Si m=0 constantem se calcula:
EJEMPLO
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Análisis:y= 6x +2Dominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 2Punto de corte con x= -1/3Pendiente= 6
Afín
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Funciones de grado par
• Las funciones de grado par son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es par.
• Se definen por la ecuación:
EJEMPLO
y= ax(2n) + bx(2n)-1 + cx(2n)-2 + … + dx + e
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grado par
y= 2X4 + 4x3 + 6x2 – x + 8
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Función Cuadrática
• Es una función polinómica que se define mediante un polinomio de segundo grado como:
• Es una parábola vertical, orientada hacia arriba o hacia abajo según sea el signo de a.
• El vértice de una parábola se halla mediante la ecuación:
• Dominio= IR• Rango= (máximo o mínimo relativo, • Conjunto de salida= IR• Conjunto de llegada= IR• Punto/s de corte con x: y= 0, se
halla/n mediante la formula cuadrática:
• Punto de corte con y= c
EJEMPLO
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Análisis:y= x2 + 3x – 4Dominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= -4Punto de corte con x= {-4, 1}Mínimo relativo= -3/2
Cuadrática
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Funciones de grado impar
• Las funciones de grado impar son las funciones en las que el mayor grado del polinomio es impar.
• Se definen por la ecuación:
EJEMPLO
y= ax(2n-1) + bx(2n-1)-1 + cx(2n-1)-2 + … + dx + e
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grado impar
y= 3x3 + 2x2 – x + 4
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Función Lineal
Es la función que se define por la ecuación: y= mx
Dominio= IRRango= IRConjunto de Salida= IRConjunto de Llegada= IRPunto de corte con Y= 0Punto de corte con X= 0
EJEMPLO
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Análisis:y= 4xDominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 0Punto de corte con x= 0Pendiente= 4
Lineal
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Función Idéntica
• Es la función que asigna como imagen a cada elemento del dominio el mismo elemento.
• Se define por la ecuación: y= x• Su pendiente es m=1• Su gráfica es la recta bisectriz
de los cuadrantes primero y tercero.
EJEMPLO
• Dominio= IR• Conjunto de Salida= IR• Rango= IR• Conjunto de Llegada= IR• Punto de corte con X y Y= 0
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Análisis: y= xDominio-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 0Punto de corte con x= 0
Idéntica
![Page 38: Funciones Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower Presentado a: Patricia Cáceres Décimo Grado](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062511/54d075ae497959a0198b48f8/html5/thumbnails/38.jpg)
Función Cúbica
• Función que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:
con a ≠ 0 , a,b,c,d IR∈
EJEMPLO
Dominio= IRConjunto de Salida= IRRango= IRConjunto de Llegada= IRPunto de corte con y= d
![Page 39: Funciones Presentado por: Tammy Roterman y Orli Glogower Presentado a: Patricia Cáceres Décimo Grado](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022062511/54d075ae497959a0198b48f8/html5/thumbnails/39.jpg)
Análisis:y= x3 + 3x2 + 4x + 6Domino-Conjunto de salida= IRRango-Conjunto de llegada= IRPunto de corte con y= 6Punto de corte con x= -2.5
Cúbica
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Referencias de consulta• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_impar
• http://www.x.edu.uy/lineal.htm
• http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm• http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/T3_Funcion_Logaritmica.htm• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_par• http://www.slideshare.net/mfatela/3-funcin-par-e-impar• http://www.amschool.edu.sv/Paes/f8.htm• http://matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_Funciones.pdf• http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/1_2.pdf• http://www.vitutor.com/fun/2/c_4.html• http://www.escolared.com.ar/nuevacarpeta/funracional.html• http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/
Funciones_formas_de_expresar/elementos.htm• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_inyectiva• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_biyectiva• http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_sobreyectiva