Funciones

Relaciones y Funciones

El concepto de Relación-Función es uno de los más importantes en Matemáticas. Comprenderlo y aplicarlo se verá retribuido muchas veces.

Correspondencia

La noción de correspondencia desempeña un papel fundamental en el concepto de Relación – Función.

En nuestra vida cotidiana frecuentemente hemos tenido experiencia con

correspondencias o RELACIONES.

Ejemplos de Correspondencias o RELACIONES

En un almacén, a cada artículo le corresponde un precio.

A cada nombre del directorio telefónico le corresponde uno o varios números.

A cada número le corresponde una segunda potencia.

A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones

Definición de Relación y de Función

Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio, con un segundo conjunto, llamado Rango, de manera que a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elemento del Recorrido o Rango.

Una Función es una relación a la que se añade la restricción de que a cada valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del recorrido.

(Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones)

Toda ecuación es una Relación, pero no toda ecuación es una Función

Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el recuadro de la derecha, las que Ud. considere que son funciones.

¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?

Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano

FUNCIÓN

La Respuesta correcta es B

FUNCIÓN

La Respuesta correcta es D

Funciones Polinomiales: Def : una función f se llama

función polinomial siF(x) = an xn +an – 1x n-1+…..+a1x +a0

Ejemplos:F(x) = 6x2 + 7x -2F(x)= 2x +3F(x) = 6

I. FUNCIÓN LINEAL Análisis de la Pendiente

Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.

• Si m < 0, entonces la función es decreciente.• Si m = 0, entonces la función es constante.• Si m > 0, entonces la función es creciente.

I. FUNCIÓN LINEAL

I) II)

X

Y

n

m > 0n > 0

X

Y

n m < 0n > 0

X

Y

n

m > 0n < 0

X

Y

n

m < 0n < 0

III) IV)

I. FUNCIÓN LINEAL Propiedades:

El dominio de la función lineal son todos los números IR.

Las rectas que tienen la misma m serán paralelas.

Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es -1 serán perpendiculares.

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Son de la forma:

Gráfica:Siempre es una parábola, dependiendo

su forma y la ubicación de sus coeficientes a, b y c.

f(x) = ax² + bx + c

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Concavidad:

El coeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo.

x

y

0 x0

y

a > 0, Abierta hacia arriba

a < 0, Abierta hacia abajo

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Eje de simetría y vértice:

El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vértice de la parábola.

El vértice está dado por:

Vértice = -b , f -b = -b , 4ac – b² 2a 2a 2a 4a

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA

Además, la recta x = , corresponde al Eje de simetría.-b 2a

_ b² - 4ac 4a

x

y

·

-b 2a

x0

y

·_ b² - 4ac 4a

-b 2a

a > 0 a < 0

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Intersección con los ejes

Intersección con el eje Y El coeficiente c nos da el punto en el cual la parábola corta al eje Y.Sus coordenadas son (0, c)

0

c·

y

x

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Intersección con el eje X

para determinar el o los puntos donde la parábola corta al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la función cuadrática.

Se define el discriminante como:

D = b² - 4ac

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Naturaleza de las raíces de una ecuación de 2º grado

Si f(x) = 0, tendremos que ax² + bx + c = 0, llamada Ecuación de 2º grado en su forma general.

Toda ecuación de 2º grado posee dos soluciones, pudiendo ser reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresión:

x = -b ±√b²- 4ac 2a

x = -b ±√b²- 4ac 2a

1

x = -b ±√b²- 4ac 2a

2

Estas soluciones, raíces o ceros de la ecuación corresponden gráficamente a los puntos donde la función f(x) = ax² + bx + c corta al eje X. Estos puntos tienen como coordenadas (x ,0) y (x , 0)

1 2

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Tipos de soluciones

Dependen del valor del Discriminante

a) Si D = 0, 2 soluciones reales iguales

b) Si D > 0, 2 soluciones reales distintas (x y x € C, con x ≠ x )

c) Si D < 0, 2 soluciones imaginarias distintas (x y x € C, con x ≠ x )

D = b² - 4ac

(x = y)1 1

1 12 2

1 12 2

II. FUNCIÓN CUADRÁTICA Ejemplo:

Sea la ecuación de 2º grado: x² + 2x – 15 = 0. ¿Cuáles son las soluciones de esta ecuación?

Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado vienen dadas por

En este caso a = 1 b = 2 c = -15Luego,

Luego,

x = 3 x = -5

x = -b ±√b²- 4ac 2a

x = -2 ±√2²- 4·1·(-15) 2·1x = -2 ±√4- 60 2x = -2 ±√64 2x = -2 ±8 2

x = -2 + 8 2

1x = -2 - 8 2

2

1 2