FUNCIONES

SEGUNDA UNIDAD DE APRENDIZAJE

OBJETIVO

•RECONOCER LAS FUNCIONES .

•DETERMINAR EL DOMINIO Y RANGO DE LAS FUNCIONES.

En nuestra vida cotidiana tenemos experiencia con relación o correspondencias de magnitudes .

Ejemplos :

• En un almacén , a cada producto le corresponde un precio.

• Para una temperatura expresada en º C le corresponde un equivalente en º F.

• A una profundidad determinada en un líquido le corresponde una presión hidrostática.

• Un gas encerrado en un recipiente tiene una presión especifica.

• El consumo de energía eléctrica se halla relacionado con el costo.

• EL crecimiento poblacional se halla relacionado con el tiempo.

• El cambio de rapidez en el movimiento de un móvil con respecto al tiempo.

• El decaimiento de una sustancia radiactiva en función del tiempo.

• El área de un circulo con el radio.

Funciones

INTRODUCCIONINTRODUCCION. Tipo especial de relaciones entre elementos de dos . Tipo especial de relaciones entre elementos de dos conjuntos A y B , llamadas funciones de A en B.conjuntos A y B , llamadas funciones de A en B.Una función expresa la idea de una cantidad o magnitud que depende Una función expresa la idea de una cantidad o magnitud que depende de otra u otras , o que está determinada por esta (s). de otra u otras , o que está determinada por esta (s). Ejemplo. La longitud L de una circunferencia depende de su radio “r” Ejemplo. La longitud L de una circunferencia depende de su radio “r”

Se lee:Se lee:“ “ L es función de r. ” o “ L depende de r.”L es función de r. ” o “ L depende de r.”Ejemplo. El volumen V de un cilindro recto depende de su radio (r) y Ejemplo. El volumen V de un cilindro recto depende de su radio (r) y su altura (h).su altura (h).

Se lee:Se lee: “ “ V es función de r y h” o “V depende de r y h”V es función de r y h” o “V depende de r y h”

)(2 rfrL

h)(r, fh r 2 V

Definición. Una función de A en B es una relación f С (A × B) que hace corresponder a cada elemento x del conjunto A a lo más con un elemento y del conjunto B , denotado por :

También se dice que f es una función definida en A y con valores en B , si a cada elemento x ε A le corresponde un único elemento y ε B

Piense en una función como en una máquina, una máquina de calcular . Ésta toma un número (la entrada) y le produce un resultado ( la salida) . A cada número en la entrada le corresponde un único número como salida, pero puede suceder que varios valores diferentes de entrada den el mismo valor de salida.

y= f (x) ε B

Función : f• ●A BEntrada Salida

Al conjunto A se le llama conjunto de PARTIDA , y al conjunto B de LLEGADA.

Notación: f : A B

x y=f (x)

Se lee “ f es una función de A en B. ” o

“ f es una función definida en A y con valores en B.”

La notación y=f (x) se lee:

“ y es el valor de la función f evaluada en x. ” o

“ y es la imagen de x mediante f. ”

Además : y=f (x) es equivalente a ( x , f ( x ) ) ε G r (f).

G r (f) : Gráfico de la función

Domino y Rango de una función

Dominio. Es el conjunto de todos sus primeras componentes o antecedentes de los pares ordenados de f y se le denota por:

Rango. Denominado también recorrido de la función f, al conjunto de las segundas componentes (imágenes o consecuentes) de todos los elementos Avía f ; y se le denota por:

A f(x)y /B ε y / Aεx D f Dom

o

A f ε y) ,x ( /B ε y / Aεx D f Dom

f

f

BByR f f(x)y / Ax /

●

●

●

●

●

●

●

●●

f

Es una función

●

●

●

●

●

●

●

No es una función

●

●

●

●

●

●

●

●

Es una función

f

A B AA B

BA

REGLA O LEY DE CORRESPONDENCIA

Es una expresión que permite calcular para cualquier

su correspondiente imagen en el conjunto de llegada

Por ejemplo : ( regla o ley de correspondencia )

al valor de x se le denomina variable independiente, y al valor

se le llama variable dependiente.

Más aún , una función está completamente determinada cuando se especifica su Dominio y Regla o Ley de correspondencia.

Algunos ejemplos más de reglas o leyes de correspondencia.

fDx

)(xfy

1)( 2 xxfy

)(xfy

2x siny 1-2x y x y 4)log(xy

2xy 1-xy e 3y 1-x

2 y

32

21-x

1

83x

Ejemplo 1. Sea .

Si , entonces y

Ejemplo 2. a) Halle el valor de K para que la relación :

sea una función .

b) Escribe el rango o recorrido.

d , c , b, a B 4 , 3 , 2 , 1 A y

) b , 3 (, ) b, 2 ( , ) a1, ( f 4 , 3 , 2 , 1 f Dom

b , a R f

),(,) 1- k 2 4 1k 2 7, ( , ) k 5 , 2 ( , ) k , 4 ( R 2

Resolución. Como no pueden existir dos pares ordenados diferentes con la misma primera componente ,para que R sea una función los pares ordenados deben ser iguales , de tal manera que :

a)

Remplazando , tenemos:

b)

Ejemplo3. Dado el conjunto de pares ordenados :

a) Halle los valores de a y b para que f sea una función.

b) Determine el dominio y el recorrido de f.

) 1-2k , 4 () k , 4 (

1k 1-2kk

3) , 7 ( , 5) , 2 ( , 1) , 4 ( f

5 , 3 , 1 R f

2)- , (-1, 2b)-a , (5 , ) a-2b , b -(a, ) ba , (-1 , 7) , 5 ( f 22

Resolución. Por las consideraciones tomadas en el problema anterior: , entonces se forman

las siguientes ecuaciones :

Al resolver las ecuaciones se obtiene :

a)

Luego la función:

b)

) 2b-a , 5 () 7 , 5 ( y ) 2- , 1- (b)a , (-1

7 2b-a

2 - b a

-3b ; 1a

) 7- , 4 (, 2)- , 1- (, ) 7 , (5 f

,-7 2- , 7 R ; 4 , 1- , 5 Dom ff

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNGRÁFICA DE UNA FUNCIÓN• Cuando los conjuntos de partida y de llegada A y B de una función f son

conjuntos de números reales, esta función es llama una FUNCIÓN (de valor) REAL DE UNA VARIABLE REAL.

• Una Función Real de una Variable Real es un conjunto de pares ordenados de números reales , y por lo tanto tiene una representación gráfica como conjunto de puntos en el plano (plano XY),

.

La variable (independiente) x se representa en el eje X (eje de abscisas) , mientras que la variable dependiente y=f (x) se representa en el eje Y (eje de ordenadas).

2R

f(x)y D x R /x R ) y,x ( f f ,

R R :f

Aplicación de A BAplicación de A B a) Una aplicación es un caso particular de una función.

b) Una función f se llama aplicación de A en B si y sólo si Dom f =A.

c) Un subconjunto f C ( A x B) es una aplicación de A en B si y sólo si

Se lee para todo x perteneciente al conjunto A , existe un único elemento y perteneciente al conjunto B ,tal que y=f (x) Notación. f es una aplicación de A en B se denota por:

donde Dom f =A.

f y),(x ó (x) fy /B y , Ax

(x) f x o (x) fx

B f

Ao B A:f

B

Ejemplo. El conjunto si es una función

de A en B , pues cada elemento x ε A tiene asignado un único

elemento y ε B. Asimismo , vemos que f es también una

aplicación de A en B, pues :

El Rango de la función es:

),4(,),3(,),2(,),1( abbaf

4 , 3 , 2 , 1 Af Dom

A

1

2

3

4

a

b

c

d

e

f

baR f ,

Haga clic en las ecuaciones que están ubicadas en el recuadro de la derecha, las que Ud. considere que son funciones

¿Por qué algunas de las ecuaciones son Funciones?

Reconocimiento de una función geométricamente.

FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN LINEAL

Ecuación de la Recta.

) Horizontal Recta ( )(constante ky

) Vertical Recta ( )(constante kx

a)Segmentari o Canónica Ecuación ( b

y

a

x

) Pendiente Punto ( 0x-(x m 0y-y

)(implícita o Recta) la de general Ecuación ( 0cbyax

)(explícita o ) ónintersecci - Pendiente ( bmxy

1

))(

) Horizontal Recta ( )(constante ky

) Vertical Recta ( )(constante kx

a)Segmentari o Canónica Ecuación ( b

y

a

x

) Pendiente Punto ( 0x-(x m 0y-y

)(implícita o Recta) la de general Ecuación ( 0cbyax

)(explícita o ) ónintersecci - Pendiente ( bmxy

1

))(

PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA

21

21

12

12

x x

y y

x x

y y tg m

x

y

●

●

B

.A

1x 2x

2y

1y

12 x x

12 y y

d

(b)

(a) -mpendiente

0cbyax :recta En

Distancia entre dos puntos de una Recta (d).

Distancia de un Punto a una Recta.

22 )() 1212 y y x (xd

22

11

b a

c y b x a d

)11 y , (x P ● L

d

Ecuación general de la recta L : a x+ b y+c = 0

.

Y = f (x) = a x2 + b x + c ; a , b y c ε Reales y a≠0.

Completando cuadrados : y = a ( x- h )2 + k , donde

( h , k ) corresponden a las coordenadas del vértice

de la parábola.

:

Corta al eje x en dos puntos

(dos raíces reales y diferentes)

La ecuación del eje de simetría

(recta vertical) , corresponde a :

x

y

Eje de Simetría

x=h

FUNCIÓN CUADRÁTICA

V : (h ,k)

V =Vértice

x1 x2

Las raíces son x1 y x2.

parábola

El valor mínimo de la función:

También :

Ymin= k

a > 0 = b2- 4 a c > 0

V

h =- (b)/(2a) = ( x1+x2 )/2 ; k = f (h).

ii) = b2- 4 a c=0 , la parábola corta al eje x en un

punto (dos raíces reales e iguales).

x

y

X =h

iii) =b2-4 a c < 0 , la parábola no corta al eje x.

x

y

Existen dos raíces complejas y conjugadas

No existen soluciones reales

ntediscrimina

FUNCIÓN CONSTANTE

Sea la recta de ecuación : .Si se

considera , su gráfica es :

0B y 0CByAx

K BC

- y :entonces , 0A

x

yy=k

Dominio : Reales

Rango : { k }

L

0 (B)(0)

- mPendiente

Recta Horizontal

k

90º

Si en la ecuación se considera :

su gráfica es:

0A y 0CByAx

k A C

-x : entonces , 0B

x

y x=k : Recta Vertical.

No es una función.

L

existe No90º Tg

existe No (0)(A)

-mPendiente

Dominio : { k }

Rango : Reales

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

+x

+y

0 x si , (x) -

0x si , 0

0x si , (x)

x

2(x) x : También

, 0 : Rango

Reales : Dominio

x y

Simetría con respecto al eje y (recta: x=0)

(0 ,0)

FUNCIÓN EXPONENCIAL

+x

+y

y = ax

, 0 : Rango

Reales : Dominio

1 a y 0 a

y = ax

1 a 0 1 a

+x

+y

(0 ,1) (0 ,1)

Las Gráficas no cortan al eje x

Decreciente Creciente

FUNCIÓN LOGARITMO

+x +x

+y +y

(1,0)

b > 1

(1,0)

0< b <1

1 b y o b ; 0 x

xlogy b

y - : Rango

x 0 : Dominio

Creciente

Decreciente

FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

+x

+y

0 x ; x y

(0,0)

, 0 : Rango

, 0 : Dominio

Creciente

FUNCIÓN IDENTIDAD

Dominio: Reales.

Rango : Reales.

Simetría con respecto al origen (Función Impar).

Bisectriz de los cuadrantes

l y lll .

Función Creciente. y=x

Siempre pasa por el punto ( 0,0)

l

lll l y lll :Cuadrantes

Ejemplo

Dominio:[-8,8]

Rango :[-8,8]

FUNCIÓN CÚBICA

Dominio : Reales.

Rango: Reales.

Función Creciente.

Simetría con respecto

al origen (función impar).

Pasa por (0,0).

Dominio : Reales.

Rango: Reales.

Función Creciente.

Simetría con respecto

al origen (función impar).

Pasa por (0,0).

y=x3

Ejemplo

Dominio:[-3,3]

Rango : [-27,27]

I

III

I y III: Cuadrantes

FUNCIONES RACIONALES

Es una función de la forma : donde P y Q

son funciones polinomiales y Q no es el polinomio cero. El dominio de una función racional está constituido por todos los números reales excepto aquellos donde el denominador Q es cero.

Ejemplos :

Q(X)P(X)

R(x) Q(X)P(X)

R(x)

1 xx

h) 65x x

3x g)

3)(x1) (x 1) (x

f)

4)-(x x3)-(x 2)(x 1)-(x

e) 9) (x 1)(x

4-d)

1 xx 3x

c) 4 x

x b)

5x 4 2x

a)

4

2

22

23

22

3

24

2

2

1 xx

h) 65x x

3x g)

3)(x1) (x 1) (x

f)

4)-(x x3)-(x 2)(x 1)-(x

e) 9) (x 1)(x

4-d)

1 xx 3x

c) 4 x

x b)

5x 4 2x

a)

4

2

22

23

22

3

24

2

2

Ejemplo. Graficar .

Operaciones: Función racional propia

1 xx

) (x f y 2

Igualando el denominador a cero:

x2 -1 = 0 , entonces:

x = 1 y x = -1.

Dominio: R - { -1 , 1 }

Rango: Reales.

Función Decreciente.

Asíntota vertical :

x =-1 y x= 1.

Asíntota horizontal: y = 0.

Simetría con respecto al origen (si se cambia x por – x : f (- x ) = - f ( x ) ).

Igualando el denominador a cero:

x2 -1 = 0 , entonces:

x = 1 y x = -1.

Dominio: R - { -1 , 1 }

Rango: Reales.

Función Decreciente.

Asíntota vertical :

x =-1 y x= 1.

Asíntota horizontal: y = 0.

Simetría con respecto al origen (si se cambia x por – x : f (- x ) = - f ( x ) ).

Decreciente

Decreciente

Ejemplo

Decre

cie

nte

y=0

x=-1

x=1

Decre

cie

nte

Ejemplo. Graficar .

Al dividir obtenemos :

1-x2x

y

e.Decrecient Función

. 2 -R : Rango

. 1 -R : Dominio

vertical. asíntota : 1x

y horizontal asíntota : 2y

donde , 1-x

22

1-x

2xf(x) y

Decreciente

Decrecientex=1

y=2