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5/11/2018 Funciones LaTeX - slidepdf.com

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UNIVERSIDAD DE CONECPCION

Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas

Departamento de Ingenierıa Matematica

LISTADO DE EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS

Funciones

1. Dadas las funcionesf : A ⊆ R→ R

x −→ f (x) = log2 (4x2 − 1)y

g : B ⊆ R→ R

x −→ g (x) = 3x + 4

a ) Determine del dominio y recorrido de f . Decida si f es invertible y defina su inversaefectuando las restricciones que considere necesarias.

b) Determine g (A), donde A = [1, 2].

c) Determine g−1 (B), donde B = [4, 7].

d ) Defina la funcion compuesta f ◦ g.

2. Dadas las funcionesf : R− {0} → R− {1}x −→ f (x) =

x + 2

x

yg : R− {1} → R− {0}x −→ g (x) =

1

x − 1

a ) Pruebe que f y g son funciones biyectivas.

b) Defina las funciones inversas de f y g.

c) Defina las funciones compuestas f ◦ g y g ◦ f .

3. Dadas las funcionesf : A ⊆ R→ R

x −→ f (x) =

ln

2

(x) − 1

yg : B ⊆ R→ R

x−→

g (x) = ex

a ) Determine del dominio y recorrido de f .

b) Defina la funcion compuesta f ◦ g.

c) Sea h una funcion restriccion de f ◦ g al intervalo [1, +∞[, o sea h = (f ◦ g)|[1,+∞[.Pruebe que h es inyectiva y defina su inversa.

4. Considere las funcionesf : ]1, +∞[ → R

x −→ f (x) = x2 yg : A ⊆ R→ R

x −→ g (x) =

x2

4− 1

a ) Determine el dominio de g y decida si existe la funcion compuesta f ◦ g.b) En forma analıtica, justifique por que g no es inyectiva, y discuta su sobreyectividad.

Luego, restrinja g en forma conveniente para obtener una funcion biyectiva y determinesu funcion inversa asociada.

5. Considere la sucesion

a1 = e1,25, a2 = e1

2 , a3 = e1

3 ,..., a101 = e1

101 , a102 = e−1

101 , a103 = e−1

100 ,..., a201 = e−1

2 .

Determine el valor de ln

(a0a1a2...a201)4

.



6. Para los siguientes pares de funciones f y g, defina las funciones compuestas f ◦ g y g ◦ f .

a ) f (x) = ln(9 − x2); g (x) =2

x − 1

b) f (x) =√

x; g (x) = 2−x − 4

c

) f (x) =

1

x − 3; g (x) = log0,5 (x − 2)d ) f (x) = ln (x2 − 1); g (x) = e2x+1

7. Para las funciones f y g, definidas por tramos, encuentre su inversa.

a ) f (x) =

−x − 6 si − 5 ≤ x ≤ −3−x

x + 2si − 3 ≤ x ≤ −2

g (x) =

x2 − 1 si x < 12x + 4 si x ≥ 1

8. Sea f : A ⊆ R→ R una funcion definida por x −→ f (x) = ex−1

x2−2x+1

a ) Encuentre su dominio y recorrido. ¿Es f sobreyectiva?

b) Defina la inversa de f con sus restricciones necesarias.

9. Sea f : A ⊆ R→ R una funcion definida por x −→ f (x) = 4

ln

x + 1

x

a ) Encuentre su dominio y recorrido. ¿Es f sobreyectiva?


10. Seaf

:A⊆R

→R

una funcion definida porx−→

f (

x) = − ln(16−

x2

)

a ) Encuentre su dominio y recorrido. ¿Es f inyectiva?


11. Sea f : A ⊆ R→ [0, +∞[ una funcion definida por x −→ f (x) = ln |x + 2|

a ) Encuentre su dominio.

b) ¿Es f inyectiva? Si no lo es, efectue las restricciones necesarias para que lo sea. Luego,defina su inversa.

12. Considere la funcion f : A ⊆ R→ R, definida por f (x) =

1

x − 2si x > 3

x − 4 si x ≤ 3

a ) Encuentre su dominio y recorrido.

b) Analice la inyectividad y sobreyectividad de f .

c) Determine f −1 (]−1, 0[).

13. Demuestre que toda funcion estrictamente creciente o decreciente es inyectiva.



14. Sea f : A ⊆ R→ R una funcion definida por x −→ f (x) = −1 +√

x3 − 8.

a ) Encuentre su dominio y recorrido.

b) Analice su biyectividad.

15. Sea f : A ⊆ R→ R una funcion definida por x −→ f (x) = ln (x − 1) + ln (x + 1).

a ) Encuentre su dominio y recorrido. ¿Es f sobreyectiva? ¿Es f inyectiva?


16. Considere las funcionesf : A ⊆ R→ R

x −→ f (x) =√

ex − 2y

g : B ⊆ R→ R

x −→ g (x) = ln(2x).

Determine la funcion compuesta f ◦ g y su inversa.

17. Sea f : R → R una funcion, demuestre que la funcion f p =1

2(f (x) + f (−x)) es par y que

la funcion f i =1

2

(f (x)

−f (

−x)) es impar. Luego, demuestre que toda funcion f : R

→R

se puede escribir como la suma de una funcion par y una impar.

18. Una sustancia radioactiva se desintegra exponencialmente. Si al comienzo habıan 500 gramosy luego de 50 anos hay 400 gramos, determine cuantos gramos habra luego de 200 anos.

19. Sea T 0 la temperatura de un cuerpo cualquiera y T a la temperatura ambiente, la funcionque permite calcular la temperatura de dicho cuerpo al enfriarse en funcion del tiempo t esT (t) = (T 0 − T a) e−kt + T a. Un maestro de cocina saca un pastel del horno a 200◦C y lo dejaenfriar a temperatura ambiente de 20◦C. Luego de r minutos, encuentra que la temperaturade su pastel es de 100◦oC. Cuando han transcurrido r + 10 minutos desde que saco el pastel,la temperatura ha descendido a 75◦C. Determine la funcion que determina la temperatura

del pastel en funcion del tiempo t.

20. Un modelo de crecimiento exponencial de la cantidad de habitantes P en la Tierra, en funcion

del tiempo t, se rige por la funcion P (t) =32

2 + 14e−16kt, donde t se expresa en anos y P (t)

en miles de millones de habitantes. Sabiendo que al cabo de t1 anos la poblacion sera de 2mil millones de habitantes (o sea, P (t1) = 2) y en t1 + 50 anos habran 4 mil millones dehabitantes, determine los valores de t1 y k. Luego, determine cuantos anos son necesariospara que la poblacion sea de 9 mil millones de habitantes.

21. Encuentre el conjunto solucion de las siguientes inecuaciones

a ) e3x + 2e2x − 8ex ≤ 0b) log2

log0,5 (x + 1)

≥ 1

c) 2log2 x + 3 log2 2 > 3log2 x − log2132

d )

log0,2 x2 ≤ log0,2 (x2)

e) log

x1+log x ≤ 6

Jorge Aguayo Araneda

Estudiante Ingenierıa Civil Matematica

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