funciones ii - matemáticasoperaciones con funciones este cap´ıtulo est a orientado a mostrar la...

UNIVERSIDAD DE COSTA RICAESCUELA DE MATEMATICA

DPTO. DE MATEMATICA APLICADAMA 0001 PRECALCULO

Funciones II

Profesores:Daniel Mena Gonzalez

Kattia Rodrıguez Ramırez

Indice general

1. Funcion Valor Absoluto 11. Intersecciones con los ejes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32. Simplificacion de criterios de funciones con valor absoluto . . . . . . . . . . . . . 5

2. Operaciones con funciones 91. Suma, resta, producto y cociente de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92. Composicion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. Criterio de una funcion dadas determinadas condiciones . . . . . . . . . . . . . . 144. Acercamiento a Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Funcion Exponencial y Funcion Logarıtmi-ca 251. Funcion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252. Funcion Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293. Acercamiento al Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4. Signo de una funcion 411. Acercamiento al Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5. Rectas 511. Ecuacion de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512. Rectas paralelas y rectas perpendiculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563. Acercamiento al Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6. Graficacion de funciones 651. Funcion cuadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652. Transformaciones de una funcion estandar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683. Acercamiento al Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

I

II Funciones reales

7. Puntos de interseccion entre graficas 911. Acercamiento al Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Capıtulo 1Funcion Valor Absoluto

En este capıtulo se dedica al estudio de algunas caracterısticas de la funcion valor absoluto encuanto a su representacion grafica, dominio, intersecciones con los ejes, lo cual se encuentraligado a la resolucion de ecuaciones con valor absoluto.

Una funcion valor absoluto se define como

f : R→ R, f(x) = | P (x) |; donde P (x) es un polinomio y

|P (x)| =

{P (x) si P (x) ≥ 0−P (x) si P (x) < 0

Note que el dominio maximo de una funcion valor absoluto es el conjunto de los numerosreales, pero si P (x) no es polinomial, el dominio correspondera al conjunto para el cual la ex-presion este bien definida.

Es importante conocer el trazo de la grafica para la funcion estandar valor absoluto, y los puntosde interseccion con los ejes, ası como el ambito de la funcion.

Ejemplo 1. A continuacion se muestra la grafica de una funcion valor absoluto, observe su trazo y res-ponda la informacion solicitada en cada caso. Justifique sus respuestas.

1

2 Funciones reales

p : R → R, p(x) = |x|

Dominio :

∩x :

∩y :

Ambito:

Ejemplo 2. A continuacion se muestran otras graficas de funciones con valor absoluto, observe su trazoy responda la informacion solicitada en cada caso. Determine algunas diferencias entre estas graficas ylos criterios de ambas funciones. Justifique sus respuestas.

h : Dh → R, h(x) = |x2 − 4| g : Dg → R, g(x) = |2x− 1| + 1

Dominio : Dominio :

∩x : ∩x :

∩y : ∩y :

Ambito: Ambito:

Ahora bien para determinar los puntos de interseccion de la grafica con el eje x de una funcioncuyo criterio contiene una expresion con valor absoluto y no se tiene el trazo de la grafica esnecesario estudiar como se resuelven las ecuaciones con valor absoluto, lo cual se explica en elsiguiente apartado.

Funciones reales 3

1.1. Intersecciones con los ejes

A continuacion se explican algunos procedimientos para resolver dos tipos de ecuaciones convalor absoluto:

|p(x)| = a con a ∈ R+ y p(x) expresion algebraica

|p(x)| = q(x) con p(x), q(x) expresiones algebraicas

Ambas ecuaciones se pueden resolver al aplicar la definicion de valor absoluto, pero en el pri-mer caso tambien se aplica la definicion:

|p(x)| = a ⇐⇒ p(x) = a o p(x) = −a

Ejemplo 3. Determine los puntos de interseccion de la grafica de cada funcion con el eje x e y.

a. f : R→ R, f(x) = |2x+ 3| − 8

b. g : R→ R, g(x) = |−x+ 3| − x− 4

Solucion

Para determinar los puntos de interseccion con el eje x hay que plantear y resolver ecuaciones con valorabsoluto, con respecto al eje y se determina la imagen de 0 ya que 0 forma parte del dominio de ambasfunciones.

a. |2x+ 3| − 8 = 0Se debe tener que:

2x+ 3 = 8⇒ x =5

2o 2x+ 3 = −8⇒ x =

−11

2

Ahora las dos soluciones encontradas permiten escribir los puntos de interseccion de la grafica conel eje x:

∴ ∩ X :

(5

2, 0

)y(−11

2, 0

)

Para la interseccion de la grafica con el eje y se determina la imagen de 0:f(x) = |2x+ 3| − 8

4 Funciones reales

f(0) = |2 · 0 + 3| − 8

f(0) = −5Ası el punto de interseccion de la grafica con el eje y corresponde a (0,−5)

b. |−x+ 3| − x− 4 = 0

En este caso se trabaja con la definicion de valor absoluto para | − x+ 3|

|−x+ 3| =

−x+ 3 si x ≤ 3

x− 3 si x > 3

O bien una tabla como se muestra a continuacion:

x

Signo de−x + 3

| − x + 3|

−∞ 3 +∞

+ 0 −

−x+ 3 x− 3

Se plantean los casos:

• Si x ∈ ]−∞, 3]

Se tiene−x+ 3− x− 4 = 0=⇒ −2x− 1 = 0

=⇒ x =−1

2

Ademas note que−1

2∈ ]−∞, 3] por lo que

(−1

2, 0

)es interseccion con el eje x

• Si x ∈ ]3,+∞[

La ecuacion que debe resolverse esx− 3− x− 4 = 0=⇒ −7 = 0=⇒ S = { }Lo anterior indica que la grafica no interseca el eje x en el intervalo en cuestion.

Para la interseccion con el eje y se determina la imagen de 0:g(x) = |−x+ 3| − x− 4

g(0) = |0 + 3| − 0− 4

g(0) = −1

Funciones reales 5

Luego, el punto de interseccion corresponde a (0,−1)

Aparte de conocer como se determinan los puntos de interseccion de la grafica de una funcionvalor absoluto con los ejes, en el curso de Calculo uno de los contenidos es realizar el estudiode lımites laterales con expresiones que involucran valor absoluto, como por ejemplo:

lımx → 4

|x− 4|x3 − 64

Determine la expresion que se obtiene en el criterio f(x) =|x− 4|x3 − 64

al sustituir la variable porx = 4

Para analizar criterios de funciones como f(x) =|x− 4|x3 − 64

es necesario aplicar contenidos ya

estudiados, los cuales se presentan en la siguiente seccion.

1.2. Simplificacion de criterios de funciones con valor absoluto

Para simplificar el criterio de una funcion real formada por un cociente donde el numeradoro denominador de la fraccion involucra expresiones con valor absoluto es necesario aplicar ladefinicion de valor absoluto, operaciones con polinomios, factorizacion ası como simplificacionde expresiones algebraicas.

Ejemplo 4. Simplifique el criterio de la funcion dada.

a. f : ]4,+∞[→ R, f(x) =|x− 4|x3 − 64

b. g : ]−∞,−6[→ R, g(x) =|x− 4| − |−8− 3x|

x+ 6

Solucion

a. Se aplica la definicion respectiva a la expresion |x− 4|:

|x− 4| =

{x− 4 si x− 4 ≥ 0 ⇔ x ≥ 4− (x− 4) si x− 4 < 0 ⇔ x < 4

6 Funciones reales

Como x > 4 =⇒ |x− 4| = x− 4, ası que

f(x) =|x− 4|x3 − 64

f(x) =x− 4

x3 − 64

f(x) =x− 4

(x− 4)(x2 + 4x+ 16)Se factoriza el polinomio del denominador

f(x) =1

(x2 + 4x+ 16)Se usa la ley de cancelacion

b. En este caso es mas comodo plantear el analisis de ambos valores absolutos en una tabla:

x

Signo dex − 4

|x − 4|

Signo de−8 − 3x

| − 8− 3x|

−∞ −83 4 +∞

− − 0 +

−x+ 4 −x+ 4 0 x− 4

+ 0 − −

−8− 3x0 8 + 3x 8 + 3x

Luego, para simplificar el criterio de la funcion g como x < −6 entonces |x− 4| = −x + 4 y|−8− 3x| = −8− 3x de manera que

g(x) =|x− 4| − |−8− 3x|

x+ 6

g(x) =(−x+ 4)− (−8− 3x)

(x+ 6)

g(x) =−x+ 4 + 8 + 3x

(x+ 6)Se realizan las operaciones

g(x) =2x+ 12

(x+ 6)

g(x) =2(x+ 6)

(x+ 6)Se usa la ley de cancelacion

g(x) = 2

Funciones reales 7

Ejercicios 1.

I. Determine el maximo dominio y los puntos de interseccion de la grafica de la funcion con ambos ejes(si existen).

a. f : Df → R, f(x) = |4x− 5| − 1

b. g : Dg → R, g(x) = 2|−x|+ x2 + 1

c. m : Dm → R, m(x) = |7− x| − 2x

II. Simplifique el criterio de las funciones.

a. f : ]−∞, 1[→ R, f(x) =|√

5− x|x2 − 5

b. g :

]−∞, 5

2

[→ R, g(x) =

−8x3 + 125

|2x− 5|

c. h : [0,+∞[− {1} → R, h(x) =|x| − x2

|1− x|

Ejercicios Complementarios 1.

1. Simplifique al maximo el criterio de cada funcion de acuerdo con el dominio dado.

a. T : ]−∞, 0[→ R, T (x) =|x|x

b. h : R− {5} → R, h(x) =x2 − 25

|x− 5|

c. Q : R−{

1

2

}→ R, Q(x) =

4x3 − 3x+ 1

|1− 2x|

d. P : ]3, 5[− {4} → R, P (x) =x− 6 + |x− 5|+ |x− 3|

x− 4

2. Determine el maximo dominio de cada funcion con codominio R.

a. m(t) =|t+ 1|√t− 2

8 Funciones reales

b. h(x) =3√

2x− 5

|3x+ 2| − 3

c. f(x) =√x− 4 + |2− x|

3. Determine los puntos de interseccion con los ejes de la grafica de cada funcion, definidas en sumaximo dominio con codominio R.

a. G(x) = |x+ 4|b. H(x) = 2|5x+ 2| − 6

c. Q(t) = |3− 2t| − t2

PARA PENSAR Al resolver lımx→1

√2x2 − 2x+ 4− 2

|1− x|, determine:

a. La expresion que se obtiene en el criterio f(x) =

√2x2 − 2x+ 4− 2

|1− x|al sustituir la variable por

x = 1

b. Los procesos algebraicos que debe aplicar al criterio de la funcion para simplificarlo y simplifique elmismo.

Capıtulo 2Operaciones con funciones

Este capıtulo esta orientado a mostrar la utilidad de las operaciones con funciones para el cursode Calculo, enfatizando la composicion como conocimiento previo para aplicar la regla de lacadena y el Segundo Teorema Fundamental del Calculo.

Por otro lado, se desarrolla una seccion en la que se debe determinar el criterio de una funcionen una sola variable que cumpla determinadas condiciones. Esto es con el fin de aproximar,preliminarmente, a la resolucion de problemas sobre tasas o razones de cambio y optimizacion.

2.1. Suma, resta, producto y cociente de funciones

Consideremos las siguientes funciones:

f : R− {−1, 0, 1} → R, f(x) =1

x2 + x+

1

x− x2+

1

x2 − 1

g : R− {−1, 0, 1} → R, g(x) =x− 2

x(x− 1)(x+ 1)

h :

[9

5,+∞

[→[

49

20,+∞

[, h(t) = t− 3−

√5t− 9

Una forma de analizarlas es por medio de las operaciones con funciones, es decir, f , g, h puedenobtenerse al realizar suma, resta, producto, cociente o composicion de otras funciones (a vecesmas sencillas que la original).

En el caso de f , se puede afirmar que el criterio se puede escribir como

f(x) = f1(x) + f2(x) + f3(x)

donde f1(x) =1

x2 + x, f2(x) =

1

x− x2y f3(x) =

1

x2 − 1. Esto es que la funcion f se puede

expresar como suma de otras funciones.

9

10 Funciones reales

Note que Df1 = R− {−1, 0}, Df2 = R− {0, 1}, Df3 = R− {−1, 1} y que

Df = Df1 ∩Df2 ∩Df3

Para la funcion g podemos decir que si g1(x) = x − 2 y g2(x) = x(x − 1)(x + 1) entonces

g(x) =g1(x)

g2(x)(la funcion g es resultado de un cociente de funciones).

Asimismo, es posible indicar que g2(x) = M(x) · N(x) · P (x) con M(x) = x, N(x) = x − 1 yP (x) = x+ 1 (la funcion g2 se expresa como un producto de otras funciones)

Sobre el dominio de F podemos indicar que DF = DF1 ∩ DF2 − {x : F2(x) = 0}, es decir,DF = R ∩ R− {−1, 0, 1} = R− {−1, 0, 1}

El dominio de la funcion g2 se define como Dg2 = DM ∩DN ∩DP

El criterio de la funcion h puede expresarse como h(t) = h1(t) − h2(t), donde h1(t) = t − 3,h2(t) =

√5t− 9

Esto indica que la funcion h puede resultar como la diferencia o resta de dos funciones.Ademas, se define que Dh = Dh1 ∩Dh2

Tal vez resulte de particular interes la funcion h2 con h2(t) =√

5t− 9, en el tanto se puedenidentificar dos funciones: raız cuadrada y polinomial pero no se ajustan a ninguna de las cuatrooperaciones descritas anteriormente. Precisamente esta funcion resulta de la composicion defunciones, que se explica a continuacion.

2.2. Composicion de funciones

Para tener una idea inicial de la composicion de funciones, considere la siguiente tabla don-

de se muestran dos funciones f y g con dominio{−5,−3, 0,

1

2, π

}y Af = {−5,−1, 0, π},

Ag =

{−5,−3,

−e2, 1, 2

}

x −5 −3 01

2π

f(x) −1 −1 0 π −5

g(x)−e2

1 −3 2 −5

Note que la imagen de cero en f es cero y si esta imagen se evalua en g se tiene g(0) = −3.Se puede representar lo anterior ası g(f(0)) = −3

Funciones reales 11

Se tiene que g(0) = −3 y f(−3) = −1 entonces se cumple que f(g(0)) = −1

Segun los valores dados f(π) = −5 y f(−5) = −1 entonces f(f(π)) = −1

Se cumple que g(

1

2

)= 2 pero como 2 6∈

{−5,−3, 0,

1

2, π

}entonces f(2) ni g(2) existen,

por lo tanto f(g

(1

2

))y g(g

(1

2

))no estan definidas pero ¿que sucede con g

(f

(1

2

))?

Determine el valor de g(g(π))

Note que se estan tomando las imagenes de una funcion para utilizarlas como preimagenes enotra funcion pero esto implica que dicha imagen pertenece al dominio de la otra funcion.

Esta operacion entre funciones se denomina composicion y se define por:Si

g : A→ B∗, donde B∗ ⊆ Bf : B → C

entonces

f ◦ g : A→ Cx f(g(x))

De esta definicion se deduce que el dominio de la funcion compuesta f ◦ g corresponde a lasx ∈ Dg tales que g(x) ∈ Df , es decir, el dominio de una funcion debe coincidir con el ambito dela otra o bien ser un subconjunto uno del otro.El criterio de la funcion compuesta se obtiene evaluando las imagenes de la funcion “interior”grepresentadas por g(x) en la funcion “exterior”fEl siguiente diagrama permite visualizar lo expuesto anteriormente

12 Funciones reales

Considere las funciones f(x) =√x y g(x) = x2 − 2 donde Df = [0,+∞[, Dg = R

Se tiene que (f ◦ g)(x) = f( g(x)︸︷︷︸criterio de g

) = f(x2 − 2) =√x2 − 2

Para determinar el dominio se tiene que

Df◦g = {x ∈ Dg : g(x) ∈ Df}

que es equivalente aDf◦g = {x ∈ R : (x2 − 2) ∈ [0,+∞[}

La expresion (x2 − 2) ∈ [0,+∞[ se traduce con

x2 − 2 ≥ 0

Si se asume que h(x) = x2 − 2 entonces se tiene que determinar los valores para los queh(x) ≥ 0, lo cual sucede para x ∈

]−∞,−

√2]∪[√

2,+∞[

Por lo tantoDf◦g =

]−∞,−

√2]∪[√

2,+∞[

Considere la funcion con criterio s(x) =

√3− xx+ 3

Puede notarse que s(x) = f(g(x)) donde f(x) = y g(x) = . Como

Df = [0,+∞[ y Dg = R− {−3} entonces

Ds = {x ∈ R− {−3} : g(x) ∈ [0,+∞[}

Tenemos queg(x) ∈ [0,+∞[⇔ g(x) ≥ 0

El signo positivo o cero de esta funcion se tiene para x ∈ ]−3, 3]Visto desde este panorama, el dominio de la funcion compuesta s debe cumplir que x ∈R− {−3} y x ∈ ]−3, 3]. Esto es que Ds = R− {−3} ∩ ]−3, 3] = ]−3, 3]

Considere la funcion j con j(x) =4√

5− x2 4√

5− x+ 1, definida en su dominio maximo y codo-

minio R. Determinar:

• Un criterio para g y f asumiendo que j(x) = (g ◦ f)(x)

• Un criterio para h, g y f asumiendo que j(x) = (h ◦ g ◦ f)(x)

Funciones reales 13

Si f es una funcion biyectiva entonces se cumple que

(f ◦ f−1)(x) = f(f−1(x)) = x, x ∈ Df−1

(f−1 ◦ f)(x) = f−1(f(x)) = x, x ∈ Df

Por ejemplo, si considera f : R → R+, f(x) = ex, que es biyectiva y su inversaf−1 : R+ → R, f−1(x) = ln (x), entonces

f(f−1(x)) = f(lnx) = eln(x) = x, x ∈ R+

f−1(f(x)) = f−1(ex) = ln(ex) = x, x ∈ R

La composicion puede aplicarse en situaciones contextualizadas como la siguiente:

El ingreso mensual I obtenido por la venta de zapatos de lujo esta dado porI(p) = 150p − p2, donde p es el precio de venta, en dolares, de cada par de zapatos. A la vez,

el precio de venta esta dado por p(x) =300− x

2, donde x corresponde a la cantidad de pares de

zapatos demandados por los consumidores.

• Expresar el criterio de la funcion ingreso mensual en terminos de la cantidad de paresde zapatosEn este caso se procede a realizar I ◦ p puesto que la funcion ingreso depende delprecio y la funcion precio depende de la cantidad de pares de zapatos vendidos.

Se tiene que (I ◦ p)(x) = I(p(x)) = I

(300− x

2

)= 150

(300− x

2

)−(

300− x2

)2

• ¿A cual precio y cuantos zapatos deben demandarse para alcanzar el maximo ingre-so?Una solucion para este problema consiste en determinar el vertice de la grafica dela funcion I que depende del precio, puesto que es cuadratica. Esto es que (75, 5625)corresponde al vertice, indicando que a un precio de $75 el ingreso maximo es de$5625Ya que se tiene el precio se puede calcular la cantidad de pares de zapatos con lafuncion p que depende de x, de la siguiente forma:

300− x2

= 75

300− x = 150150 = x

Por lo tanto 150 pares de zapatos generaran el ingreso maximo.

14 Funciones reales

Ejercicios 2.

I. Cada funcion (definida en su dominio “maximo” y codominio R) que se muestra es resultado de lacomposicion de dos o mas funciones, determine un criterio para las funciones involucradas

1. m(x) = e√

1−x5 (3 funciones)

2. n(x) =

√2x− 3

8x+ 1

3. p(x) =

(x− 1

x2

)5

4. q(x) = cos4(7x3 + 6x− 1) (3 funciones)

2.3. Criterio de una funcion dadas determinadas condiciones

En esta seccion se mostrara como determinar el criterio de una funcion dadas ciertas condicio-nes que se deben satisfacer.Los contextos de aplicacion son variados e incluyen: area o perımetro de figuras planas, volu-men de solidos, ingresos o costos de una empresa, entre otros.Se pretende con esto brindar un acercamiento a los problemas de optimizacion, que seran estu-diados en Calculo.

Para este tema es util recordar las siguientes formulas:

Funciones reales 15

Un alambre de 70 cm de longitud se utiliza para construir el armazon (perımetro) de unacaja que tiene forma de prisma recto con base cuadrada. Se desea maximizar la cantidad

16 Funciones reales

de material necesario para forrar solamente las paredes y el fondo (la tapa es abierta). De-termine el criterio de la funcion area A que depende de la altura de la caja.

Solucion

Una representacion grafica de la situacion puede ser la siguiente:

Como se debe utilizar los 70 cm en el armazon entonces debe tenerse que 8x+ 4y = 70

La funcion A depende de dos variables x (medida del lado de la base), y (medida de laaltura) y su criterio es A(x, y) = x2 + 4xy

Dado que se solicita que la funcion A solo sea dependiente de la medida de la altura en-

tonces se despeja x de la primera ecuacion ası: x =70− 4y

8=

35− 2y

4

Es ası que el criterio de la funcion area corresponde a A(y) =

(35− 2y

4

)2

+ 4y

(35− 2y

4

)

La figura adjunta muestra un terreno rectangular de 100 m por 200 m. Se desea instalaruna tuberıa desde el vertice A hasta el vertice C en dos partes, la primera que va desde Ahasta P cuesta $80 por metro y la segunda que va desde P hasta C cuesta $45 por metro.Debe determinarse la distancia que debe existir de P hasta C de tal forma que la instalacionde la tuberıa sea lo mas barata posible.Determine el criterio de la funcion costo Q en terminos de la longitud de la tuberıa quedebe instalarse de P a C.

Funciones reales 17

Solucion

Sea x la longitud de la tuberıa desde P a C, por lo que 200−x representa la distancia desdeP al extremo del terreno en el mismo lado.La longitud y de la tuberıa desde A hasta P puede determinarse haciendo uso del Teoremade Pitagoras ası:

1002 + (200− x)2 = y2

⇒√

1002 + (200− x)2 = y

La funcion costo Q depende de longitud x e y de las tuberıas y se define porQ(x, y) = 80y + 45xSegun lo anterior, se puede expresar como dependiente unicamente de la longitud x porQ(x) = 80

√1002 + (200− x)2 + 45x


1. Considere la tabla que se muestra a continuacion para las funciones f y g:

x −2 −1 0 2 3f(x) −1 −1 1 11 19g(x) −2

3−1 −2 2 1

Calcular:

18 Funciones reales

a) (f ◦ g)(0)

b) (g ◦ f)(−2)

c) (g ◦ g)(0)

d) (f ◦ g)(2)

2. Determinar un criterio para la funciones f y g si

a) (g ◦ f)(x) = (2x+ 1)2 + 2(2x+ 1)− 3

b) (g ◦ f)(x) =√

2x2 + 2

c) (g ◦ f)(x) =1

2−√

5− x

d) (g ◦ f)(x) =3x2 − 2

x2 − 1

e) (g ◦ f)(x) = log 12

(1

8− x3

)

f) (g ◦ f)(x) =

(4

3

) 5√

πx2

Nota: Para c) y f) identifique el criterio de tres funciones para obtener el de la funcion compuesta.

3. Determinar el criterio de la funcion compuesta segun corresponda.

a) f ◦ g ◦ g si f(x) = 3x− 5 y g(x) = 2x2

b) f ◦ g ◦ f si f(x) = −x+ 1 y g(x) = −x2 + 3x

c) g ◦ f si f(x) =x− 1

xy g(x) =

−1

x

d) f ◦ g si f(x) = x2 + 4√x y g(x) = x− 3

e) h ◦ g ◦ f si f(x) = x2 + 5, g(x) =√x y h(x) = 2− log3(x)

f) g ◦ f si f(x) = ex y g(x) =x2

(x+ 1)3

4. Responda lo que se le solicita en cada situacion. Asuma cada funcion definida en su dominio maxi-mo y codominio R1

a. El area de la superficie, S, de un globo esferico de radio r, en pulgadas, se determina conS(r) = 4πr2. Si el globo se esta inflando con una maquina a una velocidad constante, el radiodel globo es una funcion del tiempo. Suponga que esta funcion es r(t) = 1,2t; donde t sonsegundos.

i. Determine el radio del globo despues de 2 segundos.ii. Determine el area de la superficie a los 2 segundos.

iii. Exprese el area de la superficie como una funcion del tiempo, determinando S ◦ r.iv. Mediante la funcion que hallo en la parte c, determine el area de la superficie al cabo de 2

segundos.

1Aporte de la profesora Marıa Jose Castillo

Funciones reales 19

v. ¿ Las respuestas a las partes b y d coinciden?. Si no es ası explique por que.

b. Cuando se arroja una piedra a un estanque, el cırculo (onda) que se forma en el agua se ex-pande conforme pasa el tiempo. El area del cırculo en expansion puede determinarse mediantela formula A = πr2. El radio del cırculo, r, en pies, es una funcion del tiempo, t, en segundos.Suponga que la funcion es r(t) = 2t.

i. Determine el radio del cırculo 3 segundos despues de arrojar la piedra.ii. Determine el area del cırculo 3 segundos despues de arrojar la piedra.

iii. Exprese el area como una funcion del tiempo, determine A ◦ r.iv. Mediante la funcion que hallo en la parte c, determine el area del cırculo 3 segundos

despues de arrojar la piedra.v. ¿ Las respuestas a las partes b y d coinciden?. Si no es ası explique porque.

c. Un charco circular de agua se esta evaporando y disminuye lentamente su tamano. Despues

de t minutos, el radio del charco esta dado por r(t) =

(18

2t+ 3

)2

pulgadas. Ademas el area

A del charco esta dado por A = πr2, es decir, el area es una funcion del radio r. Con base enla informacion anterior:

i. Exprese el area como una funcion del tiempo.ii. Calcule el area del charco, despues de 10 minutos.

d. Se conoce que la poblacion de ranas R calculada en miles en una determinada region dependede la poblacion de insectos I en millones. La poblacion de insectos I a su vez varıa con lacantidad de lluvia c dada en centımetros cubicos.

Si la poblacion de ranas es R(I) = 65 +

√I

8y la poblacion de insectos es I(c) = 43c+ 7,5.

i. Exprese la poblacion de ranas como una funcion de la lluvia.ii. Estime la poblacion de ranas cuando la lluvia es de 1,5 centımetros cubicos.

e. Un barco esta navegando a 20 mi/h paralelo a un borde recto de la playa. El barco esta a 5millas de la playa y pasa frente a un faro al mediodıa.

i. Exprese la distancia s entre el faro y el barco como funcion de d, la distancia que el barcoha navegado desde el mediodıa; es decir, encuentre f de modo que s = f(d).

ii. Exprese d como funcion de t, el tiempo transcurrido desde el mediodıa; esto es, encuentreg para que d = g(t).

iii. Encuentre f ◦ g. ¿Que representa esta funcion?

f. Se deja caer una piedra en un lago, creando una onda circular que se mueve hacia fuera conuna rapidez de 60 cm/s.

i. Encuentre una funcion g que modele el radio como funcion del tiempo.ii. Encuentre una funcion f que modele el area del cırculo como funcion del radio.

iii. Encuentre f ◦ g. ¿Que representa esta funcion?

g. Un globo esferico esta siendo inflado. El radio del globo es creciente a razon de 1 cm/s.

i. Encuentre una funcion f que modele el radio como funcion del tiempo.

20 Funciones reales

ii. Encuentre una funcion g que modele el volumen como funcion del radio.iii. Encuentre f ◦ g. ¿Que representa esta funcon?

h. Un globo esferico de meteorologıa esta siendo inflado. El radio del globo es creciente a razonde 2 cm/s. Exprese el area superficial del globo como funcion del tiempo t(en segundos).

j. Una persona tiene un cupon de $50 del fabricante para la compra de un telefono celular. Latienda donde compra el telefono esta ofreciendo un 20 % de descuento en todos los telefonoscelulares. Represente con x el precio regular del telefono celular.

i. Suponga que solo aplica el 20 % de descuento. Encuentre una funcion que modele elprecio de compra del telefono celular como funcion del precio regular x.

ii. Suponga que solo aplica el cupon de $50. Encuentre una funcion g que modele el preciode compra del telefono celular como funcion del precio x de la etiqueta.

iii. Si se puede usar el cupon y el descuento, entonces el precio de compra es ya sea f ◦ g(x)o g ◦ f(x), dependiendo del pedido en el que se aplique el precio. Encuentre f ◦ g(x) yg ◦ f(x). ¿Cual composicion da el precio mas bajo?

k. Un avion esta volando con una rapidez de 350 mi/h a una altitud de 1 milla. El avion pasadirectamente arriba de una estacion de radar en el tiempo t = 0.

i. Exprese la distancia s (en millas) entre el avion y la estacion de radar como funcion de ladistancia horizontal d (en millas) que el avion ha volado.

ii. Exprese d como funcion del tiempo t (en horas) que el avion ha volado.iii. Use composicion para expresar s como funcion de t.

5. En cada una de las situaciones planteadas, determine el criterio de la funcion respectiva en terminosde una sola variable independiente.2

a. Se quiere construir una caja como la de la figura de abajo. De tal forma que el perımetro deuna cara lateral sea de 30 cm. Determine la funcion volumen en terminos de x (medida dellado del cuadrado de la base)

b. Determine la funcion area en terminos de x de la figura de abajo; si se sabe que el perımetrode la misma es de 100 m.

2Aporte de la profesora Marıa Jose Castillo

Funciones reales 21

c. Se quiere construir una caja de base rectangular sin tapa, con capacidad para 9 litros de vo-lumen y de forma que un lado de la base sea el doble del otro; como en la figura. Determine lafuncion area en terminos de x.

d. Una caja con base cuadrada y parte superior abierta debe tener un volumen de 50 cm3 Sequieren hallar las dimensiones de la caja que minimicen la cantidad de material a utilizar.Para esto se requiere hallar la funcion area en terminos de x (lado de la base de la caja). Halledicha funcion.

e. Una ventana presenta forma de un rectangulo coronado por un semicırculo, como en la figu-ra. Se desea encuentrar las dimensiones de la ventana que maximicen el area; si su perıetro esde 10 m. Para esto debe hallarse la funcion area en terminos de x(ancho de la ventana). Halledicha funcion.

f. Se desea construir un recipiente cilındrico de metal con tapa que tenga una superficie total de80 cm2. De tal forma que el volumen sea el maximo posible. Para esto se debe hallar la funcionvolumen en terminos de r(radio de la base del cilindro).

22 Funciones reales

g. Se quiere construir un recipiente cilndrico de base circular con tapa y una capacidad para600 l. Ademas se quiere calcular las dimensiones para gastar la menor cantidad de materialposible. Para esto se requiere hallar la funcion area en terminos de r.

h. Se quieren construir depositos cilındricos como el de la figura, con la condicion de que laaltura y el perımetro de la circunferencia sumen 100 m. Comprueba que el volumen de losdepositos viene dado por la expresion:

V (r) = 100πr2 − 2πr3

2.4. Acercamiento a Calculo

Las cinco operaciones basicas entre funciones: suma/resta, producto, cociente y composicionson ampliamente utilizadas en el curso de Calculo para determinar la derivada de una funcion.De estas, la composicion se destaca por la regla de derivacion que debe aplicarse: la regla de lacadena.Esta indica que la derivada de la funcion compuesta f(g(x)) que se representa por [f(g(x))]′ esf ′(g(x)) · g′(x).Lo anterior debe entender por: se deriva la funcion “exterior” y se evalua en la “interior”multiplicada por la derivada de la funcion “interior’’.Para poder aplicarla primero se debe tener muy claro las funciones que estan involucradas enla composicion (que pueden ser dos o mas).Considere la funcion definida por el criterio t(x) = cos3(1− 3x2)Una forma de identificar las funciones presentes en la composicion es preguntarse por cualexpresion se iniciarıa si se debe evaluar t en algun valor x. En este caso tenemos:

Se inicia en t1(x) = 1− 3x2

Se prosigue con la funcion t2(x) = cos x

Por ultimo se evaluarıa en t3(x) = x3. Recuerde que cos3 x = (cosx)3

Como puede notarse, logramos identificar las tres funciones en la composicion haciendo unalectura del criterio original de “adentro hacia afuera”. Tambien es posible, por comodidad,reescribir el criterio ası:

t(x) = [cos(1− 3x2)]3

Funciones reales 23

y entonces

t(x) = [ cos︸︷︷︸t2

(1− 3x2)︸︷︷︸t1

]

t3︷︸︸︷3

Es importante resaltar que, al aplicar la regla de la cadena para obtener la derivada el orden esinverso, es decir, primero se deriva t3, luego t2 y por ultimo t1, TODAS unidas por el producto(de ahı la idea de cadena).Con esto obtenemos que:

t′(x) = 3[cos(1− 3x2)]2︸︷︷︸Derivada de t3

· − sen(1− 3x2)︸︷︷︸Derivada de t2

· (−6x)︸︷︷︸Derivada de t1

Note que cuando se deriva t3 las otras dos funciones t2 y t1 se mantienen, es decir, NO se deri-van en ese momento pues se hara en el siguiente paso. Del mismo modo, cuando se deriva t2 lafuncion t1 se mantiene.Ahora, el reto esta en poder distinguir el uso de la regla de la cadena junto con las otras reglasde derivacion. Por ejemplo, para determinar la derivada de la funcion dada por

f(x) = tan(x2 + 1) +√

2− 4x3 + x5 · cos

(1

x

)Por comodidad, primero se reescriben algunas expresiones en el criterio

f(x) = tan︸︷︷︸f1

f2︷︸︸︷(x2 + 1) + (2− 4x3 + x5)︸︷︷︸

f4

f3︷︸︸︷12 · cos︸︷︷︸

f5

f6︷︸︸︷(x−1)

Se procede a derivarf ′(x) = sec2(x2 + 1) · (2x) + 1

2(2− 4x3 + x5)

−12 · (−12x2 + 5x4) · cos (x−1) +

(2− 4x3 + x5)12 · − sen (x−1) · (−x−2)

Determinar las funciones involucradas en cada composicion que identifique en el criteriodado.

a) g(x) = 7

√cos2 x

(3− 2x5)3

b) h(x) =−2

5√

(3− x)2− sec3 x · sen2 x

c) p(x) =

(2

x3− 7√

4

)5

· sec(1− 3x)6

24 Funciones reales

Capıtulo 3Funcion Exponencial y Funcion Logarıtmica

En este capıtulo se presentan caracterısticas de las funciones exponencial y logarıtmica en cuan-to a su grafica, dominio, asıntotas, propiedades, intersecciones con los ejes; ademas, para lafuncion logarıtmica se estudian sus propiedades para reescribir el criterio de la funcion.

3.1. Funcion Exponencial

Una funcion exponencial se define como

f : R → R+, f(x) = ax donde a > 0, a 6= 1

Debe notarse que el dominio maximo de una funcion exponencial es R, a menos que haya algu-na otra funcion involucrada en el exponente que implique alguna restriccion para los valores delas preimagenes (fracciones, radicales de ındice par). La grafica de esta funcion y su monotonıadependen del valor que se asigne a la base a. A continuacion se muestran los posibles casos :

Observe que cuando x toma valores infinitamente grandes o infinitamente pequenos, estos esque x tiende a −∞ o +∞ las imagenes de la funcion se acercan o tienden a 0Lo anterior se puede representar ası:

25

26 Funciones reales

lımx→+∞

ax = 0 para 0 < a < 1

lımx→−∞

ax = 0 para a > 1

Lo anterior tambien indica que la grafica de la funcion tiene una asıntota horizontal cuyaecuacion es y = 0

Resultan utiles las propiedades de potencias para la manipulacion del criterio de las funcionesexponenciales. Entre estas se tienen:

1. am · an = am+n

2.am

an= am−n

3. a0 = 1 con a 6= 0

4. (am)n = (an)m = amn

5. a−n =1

ancon a 6= 0

6.(ab

)n=an

bn

7.(ab

)−n=bn

an

8. amn = n

√am

Para determinar los puntos de interseccion de la grafica de la funcion exponencial con el eje x,se debe resolver una ecuacion exponencial donde es necesario tener presente las leyes de poten-cias ası como algunas propiedades de los logaritmos, pero antes conviene repasar la definicionde funcion biyectiva, funcion inversa y la de composicion.

Funciones reales 27

Nota

� Una funcion real f : A → B es biyectiva si y solo si la funciondada es inyectiva (f es inyectiva si cada elemento del ambito tiene solouna preimagen) y sobreyectiva (f es sobreyectiva si el ambito es igual alcodominio).

Por ejemplo, las funciones:f : R → R, f(x) = x, g : [0,+∞[ → [0,+∞[ , g(x) =

√x,

h : R → ]0,+∞[ , h(x) = 2x son biyectivas. Como ejercicio justifiquedicha afirmacion.

� La funcion inversa de f : A→ B existe sii f es biyectiva y se denotaf−1. Sea una funcion real f−1 : B → A, tal que f−1(y) = x si y solo sif(x) = y.

Por ejemplo, las funciones:

g−1 : [0,+∞[→ [0,+∞[ , g(x) = x2

h−1 : ]0,+∞[→ R, h−1(x) = log2(x)

son las funciones inversas de

g : [0,+∞[→ [0,+∞[ , g(x) =√x

h : R→ ]0,+∞[ , h(x) = 2x

� La propiedad y = ax ⇐⇒ x = loga(y) expresa la naturaleza inversaentre la funcion exponencial y la funcion logarıtmica.

� Recuerdese del capıtulo anterior que

loga(ax) = x con x ∈ R

aloga(x) = x con x ∈ R+

Ejemplo 5. Determine los puntos de interseccion con los ejes de la grafica de cada funcion.

a. f : R→ R, f(x) = 92x ·(

1

3

)x+2

− 27 · (3x)−2

Solucion

a. El punto de interseccion con el eje y se determina al calcular f(0), ası:

f(0) = 92·0 ·(

1

3

)0+2

− 27 · (30)−2

28 Funciones reales

=−242

3

∴ ∩y corresponde a(

0,−242

3

)Ahora, para determinar la o las intersecciones con el eje x hay que resolver la ecuacion

92x ·(

1

3

)x+2

− 27 · (3x)−2 = 0, para ello se sugiere:

Identificar la base a la cual se puede cambiar cada potencia involucrada en la ecuacion. En este caso

se puede elegir la base 3 pero tambien se puede tener como base1

3.

Se debe transformar cada potencia a la base seleccionada a partir del uso de leyes de potencias, paratratar de simplificar a una sola expresion cada miembro de la igualdad.

(32)2x · (3−1)x+2 − (33) · (3x)−2 = 0

(3)4x · (3)−(x+2) − (33) · (3)−2x = 0

(3)4x−(x+2) − (3)3−2x = 0

(3)3x−2 − (3)3−2x = 0

(3)3x−2 = (3)3−2x

Cuando cada miembro de la igualdad posee igual base, se procede a plantear la igualdad de losexponentes, debido a la inyectividad de la funcion exponencial. Por ultimo, se resuelve la nuevaecuacion resultante.

3x− 2 = 3− 2x

5x = 5

x = 1

Luego, la interseccion con el eje x de la grafica de la funcion corresponde al par ordenado (1, 0)

Ejercicios 3.

I. Reescriba el criterio de las funciones dadas mediante una sola base utilizando las propiedades de laspotencias.

a. f : R→ R, f(x) = (3)x+42 · 1

27

Funciones reales 29

b. g : R→ R, g(x) =(49)1−3x

2401

c. h : R→ R, h(x) = 2 · (0,5)4+2x

d. p : R→ R, p(x) =(125)x−6√

5

II. Determine los puntos de interseccion con ambos ejes de la grafica de las siguientes funciones.

a. f : R→ R, f(x) =

(2

3

)x2−52

−√

3

2

b. g : R→ R, g(x) = 4−3x−1 −(

1

8

)−2x+1

c. h : R→ R, h(x) = 32−3x − 42x+1

d. p : R→ R, p(x) = 2x − 14

2x− 5

3.2. Funcion Logarıtmica

Una funcion logarıtmica se define como

f : R+ → R, f(x) = loga(x) donde a > 0, a 6= 1

El dominio maximo de una funcion logarıtmica es R+, a menos que se defina la funcion con elcriterio f(x) = loga[p(x)] con p una funcion, ya que esto implica que debe determinarse losvalores de x para los cuales p(x) > 0.

De igual forma que en la funcion exponencial (por ser funciones inversas), la grafica de estafuncion y su monotonıa dependen del valor asignado a la base. A continuacion se muestran loscasos posibles:

30 Funciones reales

Observe que cuando x toma valores muy cercanos a 0, estos es que x tiende a 0 las imagenes dela funcion toman valores infitamente grandes o pequenosLo anterior se puede representar ası:

lımx→0+

loga(x) = +∞ para 0 < a < 1

lımx→0+

loga(x) = −∞ para a > 1

Esto es que la grafica de la funcion logarıtmica tiene un asıntota vertical con x = 0

Para esta funcion, al igual que en la funcion exponencial, se hacen necesarias ciertas propieda-des de logaritmos para la manipulacion del criterio. Entre estas se tienen:

1. loga(1) = 0

2. loga(a) = 1

3. loga(mn) = n loga(m)

4. loga(x) =logb(x)

logb(a)(Cambio de base)

5. loga(mn) = loga(m) + loga(n)(Suma de logaritmos de igual base)

6. loga(mn

) = loga(m)− loga(n)(Diferencia de logaritmos de igual base)

7. loga(ax) = x, con x ∈ R

(Composicion de funciones inversas)

Nota

Cuando se determinan las intersecciones de la grafica de la funcion con el eje x, hay queresolver una ecuacion logarıtmica y para ello es necesario aplicar propiedades de loslogaritmos. Ademas, la propiedad y = ax ⇐⇒ x = loga y resulta util para reescribirel criterio de la funcion logaritmica de manera exponencial.

Funciones reales 31

Ejemplo 6. Determine el maximo dominio de cada funcion y los puntos de interseccion con los ejes dela grafica de la funcion (cuando sea posible).

a. h : Dh → R, h(x) = log2(x+ 7) + log2(x)− 3

b. f : Df → R, f(x) = ln(3) + ln(2x− 1)− ln(4)− ln(x+ 1)

c. g : R → R, g(x) = 2x − 7

Solucion

a. El dominio Dh de h esta definido por las condiciones:

(1) x+ 7 > 0⇔ x > −7y

(2) x > 0

Ademas, como el criterio de la funcion h esta formado por la suma de expresiones logaritmicaspara hallar el dominio de la funcion hay que buscar la interseccion, ası que

Dh = ]−7,+∞[ ∩ ]0,+∞[= ]0,+∞[

Con respecto a los puntos de interseccion con los ejes de la grafica de la funcion h, la interseccioncon el eje y no existe pues 0 6∈ Dh.

Para determinar la o las intersecciones con el eje x se debe resolver la ecuacion

log2(x+ 7) + log2(x)− 3 = 0

y para ello se sugiere:

Aplicar propiedades de logaritmos en vista que se tiene la misma base

log2(x(x+ 7))− 3 = 0

Emplear la propiedad x = loga(y)⇔ y = ax

log2(x(x+ 7)) = 3

23 = x(x+ 7)

8 = x2 + 7x

32 Funciones reales

Resolver la nueva ecuacion resultante

0 = x2 + 7x− 8

x = −8 ∨ x = 1

Ahora bien, hay que verificar que las soluciones encontradas esten en el dominio de la funcion, asıque −8 6∈ Dh ( por lo que se descarta esta solucion) y 1 ∈ Dh. Aunque 1 ∈ Dh esto no garantizaque sea solucion de la ecuacion logarıtmica original, por lo que se procede a comprobar si se cumple:h(1) = 0.Calculeh(1) = log2(1 + 7) + log2(1)− 3

= log2(8) + 0− 3= 3− 3= 0

Por lo tanto, la interseccion con el eje x corresponde al par ordenado (1, 0)

b. En este caso el dominio de f esta definido por:

(1) 2x− 1 > 0⇔ x > 12

y(2) x+ 1 > 0⇔ x > −1

Luego Df = ]−1,+∞[ ∩]

1

2,+∞

[=

]1

2,+∞

[Ahora bien, en relacion con las coordenadas de interseccion de la grafica de la funcion f con los ejesno hay interseccion con el eje y pues 0 6∈ Df .

Con respecto a la o las intersecciones con el eje x hay que resolver la ecuacion

ln(3) + ln(2x− 1)− ln(4)− ln(x+ 1) = 0

Esta ecuacion se puede resolver como el ejemplo anterior, pero se mostrara otro procedimiento:

Se puede “agrupar” dos expresiones logarıtmicas en cada miembro de la ecuacion:

ln(3) + ln(2x− 1) = ln(4) + ln(x+ 1)

Se emplea la propiedad de suma de logaritmos en ambos miembros de la igualdad

ln[3(2x− 1)] = ln[4(x+ 1)]

Funciones reales 33

Dado que la funcion f1(x) = ln(x) es inyectiva entonces se igualan los argumentos

3(2x− 1) = 4(x+ 1)

Se resuelve la nueva ecuacion resultante

6x− 3 = 4x+ 4

2x = 7

x =7

2

Como7

2∈ Df se comprueba si su imagen es cero.

Esto es: f(

7

2

)= ln(3) + ln

(2 · 7

2− 1

)− ln(4)− ln

(7

2+ 1

)= ln(3) + ln(6)− ln(4)− ln

(9

2

)= 0

Por lo tanto, la interseccion con el eje x de la grafica de f corresponde a(

7

2, 0

)c. Interseccion eje y:g(0) = 20 − 7 = 1− 7g(0) = −6Ası, el punto de interseccion de la grafica de la funcion con el eje y es (0,−6).

En cuanto a la interseccion con el eje x de la grafica de la funcion hay que resolver la ecuacion2x − 7 = 0, la cual presenta algunas diferencias con respecto a la ecuacion exponencial resuelta enel ejercicio a, note que:

Las bases involucradas son distintas (2 y 7) obteniendo 2x = 7

Se puede proceder con el uso de la propiedad de la funcion inversa para la funcion exponencial y lafuncion logarıtmica.

2x = 7 ⇔ log2(7) = x

Y en este caso se obtiene la solucion facilmente.

Tambien puede aplicarse la funcion h(x) = log2(x) a ambos miembros de la ecuacion, lo cual pre-serva la igualdad.

log2(2x) = log2(7)

34 Funciones reales

x = log2(7) Aquı se esta empleando una propiedad de composicion de funciones

Luego, la interseccion con el eje x de la grafica corresponde a (log2(7), 0)

Ejemplo 7. Reescriba el criterio de la funcion q, definida en su dominio maximo y codominio R, haciendouso de propiedades de logaritmos para obtener el que se indica.

Criterio dado Criterio con propiedades aplicadas

q(x) = log

(5

√(x2 + 5x)4

3√x2 + 1

)Tres criterios logarıtmicos simplificados al maximo

con argumento polinomial

Solucion

Antes de estudiar la solucion del ejercicio planteado, observe (con cuidado) el criterio de la funcion

q(x) = log

(5

√(x2 + 5x)4

3√x2 + 1

)e identifique algunas propiedades de potencias y logaritmos que se pue-

dan aplicar en dicho criterio.

Una vez identificadas dichas propiedades estudie la solucion propuesta relacionado cada paso con el nom-bre de la propiedad que logro determinar.

q(x) = log

(5

√(x2 + 5x)4

3√x2 + 1

)

= log

((x2 + 5x)4

(x2 + 1)13

) 15

=1

5log

((x2 + 5x)4

(x2 + 1)13

)

=1

5

(log((x2 + 5x)4

)− log

((x2 + 1)

13

))=

1

5

(4 log

(x2 + 5x

)− 1

3log(x2 + 1

))

Funciones reales 35

=1

5

(log((x2 + 5x)4

)− log

((x2 + 1)

13

))=

1

5

(4 log

(x2 + 5x

)− 1

3log(x2 + 1

))

=1

5

(4 log (x(x+ 5))− 1

3log(x2 + 1

))

=1

5

(4(log (x) + log (x+ 5))− 1

3log(x2 + 1

))

=1

5

(4 log (x) + 4 log (x+ 5)− 1

3log(x2 + 1

))

=4

5log (x) +

4

5log (x+ 5)− 1

15log(x2 + 1

)

∴ q(x) =4

5log(x+ 5) +

4

5log(x)− 1

15log(x2 + 1)

Ejercicios 4.

I. Determine el maximo dominio y las intersecciones con ambos ejes (si existen) de la grafica de lasfunciones dadas.

a. f : Df → R, f(x) = 1− 2 log4(x− 4)

b. g : Dg → R, g(x) = log2(x− 3)− log2(2x+ 1) + log2(4)

c. h : Dh → R, h(x) = log3(x+ 5)− log3(x− 3)− 2− log3(x− 5) + log3(6)

II. Reescriba, haciendo uso de propiedades de logaritmos, el criterio de cada funcion como se indica.Asuma cada funcion definida en su dominio maximo y codominio R.

Criterio dado Criterio con propiedades aplicadas

t(x) = ln

((2x+ 1)2(3x− 2)3√

4x− 1

)t(x) = 2 ln(2x+ 1) + 3 ln(3x− 2)− 1

2ln(4x− 1)

u(x) = log

(10

1x (x3 − 3)5(x4 + 3x2 + 1)8√

x(7x+ 5)9

)Cuatro criterios logarıtmicos simplificados al maximo

y uno fraccionario

36 Funciones reales


1. Determinar los puntos de interseccion con los ejes de las graficas de las funciones, en su maximodominio y con codominio R definidas por el criterio:

a. f(x) = 2x−2 − 4

b. g(x) = e1−x + 5

c. k(x) =

(1

3

)−x−14

− 3

d. h(x) = log(6− x)

e. j(x) = log 65(−x+ 2) + 3

f. u(x) = − ln(−3x+ 4)

h. t(x) =−x2 + 5x− 4

log(x− 2)

i. n(x) =e−|x|√4− x

k. s(x) = 24√x−3

2. Reescribir el criterio de cada funcion logarıtmica utilizando propiedades de logaritmos para obtenerel criterio indicado. Considere cada funcion definida en su respectivo dominio.

Criterio Criterio simplificado con propiedades aplicadas

f(x) = log(ex 3√x) Un criterio polinomial y uno logarıtmico

g(x) = log2

√x2 − 1

x+ 2Tres criterios logarıtmicos

h(x) = log0,1

((0, 1)x

2)

Un criterio polinomial

j(x) = ln

(1 +

h

x

) 1h

j(x) =ln(x+ h)− lnx

h

k(x) = ln

(3√x+ 1(2− x)

(4x+ 5) lnx

)Cuatro criterios logarıtmicos

3. Determine si la proposicion dada es verdadera o falsa. En caso de ser falsa, justifique su respuesta

a. La funcion g : ]−1,+∞[ → R, g(x) = log(x+1) es una funcion estrictamente decreciente.

b. La funcion h : ]0,+∞[ → R, h(x) = ln (x) + 5 es una funcion estrictamente creciente.

Funciones reales 37

c. La funcion m : R → R+, m(x) =

(1

2

)−xes una funcion estrictamente decreciente.

d. La funcion r : R → ]−2,∞[ , r(x) =√

3x − 2 es una funcion estrictamente creciente.

e. La funcion s : R → R, s(x) = 5 x es una funcion sobreyectiva.

f. La funcion p : [2,+∞[ → R, p(x) = log2(x) es una funcion sobreyectiva.

g. La funcion q : R → R+, q(x) =

(1

2

)x

es una funcion biyectiva.

h. La funcion z : ]3,+∞[ → R, z(x) = ln(x− 3) es una funcion inyectiva.

3.3. Acercamiento al Calculo

En el curso de Calculo se trabaja con algunas funciones cuyo criterio es de la forma

F (x) = f(x)g(x),donde f y g son funciones reales

para el cual se desea obtener su derivada. La particularidad que presenta este tipo de criterioses que el exponente tambien es una funcion, lo que impide aplicar la regla de derivacion parapotencias: sea t(x) = xk entonces t′(x) = k(x)k−1, de ahı que sea necesario utilizar derivacionlogarıtmica para realizar el proceso de derivacion de una funcion como F (x).

Ejemplo 8. Considere la funcion con criterio f(x) =

(2

x

)cos√x

Solucion

Para mayor comodidad se escribe f(x) = y, ası que y =

(2

x

)cos√x

Se hace uso de la funcion g(x) = lnx porque la formula de su derivada es sencilla g′(x) =1

x

Se aplica a ambos lados de la igualdad el criterio de la funcion dada lnx , ası

ln y = ln

(2

x

)cos√x

38 Funciones reales

Note que el exponente de la expresion logarıtmica del miembro de la derecha en la igualdad anteriorcorresponde a la funcion h(x) = cos

√x , entonces al aplicar la propiedad de logaritmos loga x

m =m loga x se tiene que

ln y = cos√x ln

(2

x

)Al aplicar la propiedad loga

(mn

)= logam− loga n a la expresion anterior se obtiene

ln y = cos√x (ln 2− lnx)

Ahora el paso que sigue consiste en aplicar el contenido de derivacion y derivacion implıcita paraobtener la derivada de la funcion que corresponde estudiar en el curso de Calculo .

Ejercicios 5.

Completar los recuadros con las expresiones faltantes aplicando el procedimiento descrito anteriormente.

a. t(x) = (√x2 + 1)x+3

ln(y) = ln

((√x2 + 1

)x+3)

ln(y) =( )

ln( )

ln(y) =1

2

( )ln( )

b. p(x) =

√x sec(x2 − x)

senx+ e

ln(y) = ln

(√x sec(x2 − x)

senx+ e

)ln(y) = ln

( )+ ln

( )− ln

( )ln(y) =

1

2ln( )

+ ln( )

− ln( )

Funciones reales 39

c. p(x) =x

14

√x+ 1

(3x− 2)3

ln(y) = ln

(x

14

√x+ 1

(3x− 2)3

)ln(y) = ln

( )− ln

( )ln(y) = ln

( )+ ln

( )− ln

( )ln(y) =

1

4ln( )

+( )

ln (x+ 1)−( )

ln (3x− 2)

40 Funciones reales

Capıtulo 4Signo de una funcion

Este capıtulo muestra como determinar el signo de una funcion dado su criterio. La o el es-tudiante en Calculo debe estar en la disposicion de analizar el signo de la primera y segundaderivada de una funcion para determinar la monotonıa y la concavidad, respectivamente, de lafuncion.

Para determinar el signo de una funcion a partir del criterio es necesario

Determinar el tipo de funcion: polinomial, racional, radical, valor absoluto, exponencial,logarıtmica o combinacion de estas.

Factorizar completamente las expresiones polinomiales.

Determinar las raıces y restricciones de la funcion.

Realizar un cuadro de signos en el que se determinar el signo de cada factor

Deteminar el signo de la funcion interpretando la ultima fila del cuadro que resulta deefectuar el producto de los signos en cada columna (que corresponde a un intervalo)

En los siguientes ejemplos se explica con mas detalle el procedimiento a seguir.

Ejemplo 9. Determine el signo de la funcion f : R→ R, f(x) = (x2 − 2)(2x− 1)

Solucion

Como la funcion corresponde a una funcion polinomial, hay que verificar que el criterio este factorizadocompletamente.

f(x) = (x2 − 2)(2x− 1) Factorizar completamente

f(x) = (x−√

2)(x+√

2)(2x− 1) Determinar los ceros de cada factor: x = ±√

2, x =1

2

41

42 Funciones reales

Elaborar el cuadro de signos

x(x+√

2)

(2x− 1)(x−√

2)

f(x)

−∞ −√

212

√2 +∞

− 0 + + +

− − 0 + +

− − − 0 +

− + − +

La ultima fila se obtiene al aplicar la ley de signos

Luego, para dar el signo de la funcion hay que considerar los intervalos donde la funcion tiene lossignos + y los −

∴ f(x) < 0:]−∞,−

√2[∪]

1

2,√

2

[

f(x) > 0:]−√

2,1

2

[∪]√

2,+∞[

Ejemplo 10. Determine el signo de la funcion g : R− {−1, 2} → R, g(t) =2

t− 2− 3

t+ 1.

Solucion

El criterio de la funcion g esta formado por la resta de dos funciones racionales, que debe llevarse a la

forma g(t) =p(t)

q(t)utilizando los contenidos de suma y resta de fracciones algebraicas racionales.

g(t) =2

t− 2− 3

t+ 1Homogenizar

g(u) =2(t+ 1)− 3(t− 2)

(u− 2)(t+ 1)Realizar operaciones

g(u) =2t+ 2− 3t+ 6

(t− 2)(t+ 1)Reducir terminos semejantes

g(u) =−t+ 8

(t− 2)(t+ 1)Determinar raıces y restricciones t = 8, t = −1, t = 2

Funciones reales 43

Elaborar cuadro de signos

t

−t + 8

t − 2

t + 1

g(t)

−∞ −1 2 8 +∞

+ + + 0 −

− − 0 + +

− 0 + + +

+ − + 0 −

∴ g(t) > 0 : ]−∞,−1[ ∪ ]2, 8[g(t) < 0 : ]−1, 2[ ∪ ]8,+∞[

Nota: La doble lınea que se ubica en el cuadro de signos anterior en t = −1 y t = 2 es paraindicar que esos valores corresponden a los numeros que hacen cero el denominador del criterio dela funcion.

Ejemplo 11.

Para la funcion p : R −{

0,1

3

}→ R, p(x) =

3√

(x− 2)2(3x+ 1)

2x− 6x2, determine el o los intervalos para

los cuales p(x) ≥ 0, p(x) < 0.

Solucion

El criterio de la funcion p esta formado por una expresion radical de ındice impar en el numerador y porun polinomio en el denominador, note que el denominador no esta factorizado completamente.

p(x) =3√

(x− 2)2(3x+ 1)

2x(1− 3x)Factorizar el denominador

p(x) =3√

(x− 2)2 3√

(3x+ 1)

2x(1− 3x)Determinar raıces y restricciones x = 2, x =

−1

3, x = 0, x =

1

3.

Cuadro de signos

44 Funciones reales

x

3√

(x− 2)2

3√

3x+ 1

2x

1 − 3x

p(x)

−∞ −13 0 1

3 2 +∞

+ + + + 0 +

− 0 + + + +

− − 0 + + +

+ + + 0 − −

+ 0 − + − 0 −

∴ p(x) ≥ 0:]−∞, −1

3

]∪]0,

1

3

[p(x) < 0:

]−1

3, 0

[∪]

1

3,+∞

[− {2}

Ejemplo 12. Considere la funcion j : Dj → R, j(x) =

√5− 4x

2 ln(x) + 3. Determine el signo de j

SolucionPrimero se debe determinar el dominio maximo de la funcion, y para esto debe tenerse

5− 4x ≥ 0⇔ 5

4≥ 0

yx > 0

De lo anterior se tiene que x ∈]−∞, 5

4

]∩ ]0,+∞[ =

]0,

5

4

]Para determinar si existe restriccion se resuelve la ecuacion

2 ln(x) + 3 = 0⇔ ln(x) =−3

2⇔ e

−32 = x

Notese que e−32 ∈

]0,

5

4

]por lo que hay una restriccion.

Por lo tanto el dominio de la funcion es]0,

5

4

]−{e

−32

}Se debe determinar la raız de la funcion√

5− 4x = 0⇒ (√

5− 4x)2 = 0⇒ 5− 4x = 0⇒ x =5

4

Por otro lado, la funcion f : R+ → R, f(x) = ln(x) tiene la siguiente grafica

Funciones reales 45

Debe notarse que se cumple que f(x) > 0 para x ∈ ]1,+∞[ y f(x) < 0 para x ∈ ]0, 1[. Esto se puedeaplicar a la funcion definida por g(x) = 2 ln(x) + 3 para x = e

−32

Otro aspecto que debe tenerse en cuenta es que la funcion definida por h(x) =√

5− 4x siempre espositiva o cero, ya que corresponde a un radical par.

x

√5− 4x

2 ln(x) + 3

j(x)

0 e−32

54

+ +

− 0 +

− +

Es ası que j(x) < 0 para x ∈]0, e

−32

[y j(x) > 0 para x ∈

]e

−32 ,

5

4

[

Ejemplo 13. Considere la funcion f : R− {0} → R, f(t) =e

1t

t3. Determine el o los intervalos para los

cuales f(t) > 0, f(t) < 0

SolucionSe tiene que la restriccion corresponde a t = 0

Para determinar si existe raız de f se debe resolver e1t = 0 pero esta ecuacion no tiene soluciones reales

ya que e1t = 0⇔ ln(0) =

1

tpero ln(0) 6∈ R

Para la funcion definida por p(t) = e1t se tiene que t 6= 0 y para todos los demas valores reales se cumple

que p(t) > 0 por ser una funcion exponencial.

46 Funciones reales

t

e1t

t3

p(t)

−∞ 0 +∞

+ +

− 0 +

− +

Por lo tanto p(t) < 0 para t ∈ ]−∞, 0[; p(t) > 0 para t ∈ ]0,+∞[

Ejercicios 6.

Determine el signo de la funcion dada, en su maximo dominio y con codominio R.

a) f(x) =−2x

3√x− 5

.

b) g(x) =(x− 2)2

(x+ 1)(x− 3)

c) h(t) = 3t4 − t3 + 13t2 − 5t− 10

d) p : ]−∞,−1[ ∪ ]4,+∞[→ R, p(t) =−t2 + 9√

(t+ 1)(t− 4)

e) m(x) =3√

2x+ 3

x2 − 2x− 3


2. Determinar el signo de las funciones definidas en su dominio maximo y codominio R.

a. f(x) =−2x

(3x+ 1)(5− 10x)

b. g(t) = (t+ 2)(t− 1)(4− t)

c. h(t) =t2 + 1

3− 2 log(x)

d. m(t) = t4 − t2

e. j(x) = x− x3

f. p(x) =−2

4− 3x

g. q(x) =(x+ 2)2

(x+ 4)(x2 − 4)

h. k(t) =(t+ 1) 4

√5− t

2t− 3

i. n(x) =3x3 − 2x2 − 3x+ 2

3x2 − x− 4

j. q(x) =x

3√

(x− 2)(x+ 2)

k. r(t) =t2 − 12

3 5√

(t+ 1)2(1− t)2

Funciones reales 47


Un objetivo del curso de Calculo es trazar la grafica de una funcion dado su criterio, primeray segunda derivada. Entre los elementos que deben obtenerse estan: dominio, interseccionescon los ejes, ecuaciones de asıntotas, montonıa, maximos y mınimos, concavidad, puntos deinflexion.

La monotonıa de la funcion esta relacionada con el signo de la primera derivada (que es unafuncion) ası que:

Los intervalos donde la primera derivada es positiva, la funcion dada es estrictamentecreciente.

Los intervalos donde la primera derivada es negativa, la funcion dada es estrictamentedecreciente.

Cabe destacar que cuando se analiza el signo de la primera derivada de una funcion continua,se puede determinar si la funcion posee un maximo o mınimo local (tambien llamado maximorelativo y mınimo relativo) en un numero crıtico de la funcion. Un numero crıtico de una fun-cion f es un numero c con c ∈ Df tal que f ′(c) = 0 o f ′(c) no existe. Si la primera derivada deuna funcion f cambia de positiva a negativa en un numero crıtico c entonces f(c) es un maximolocal, y si la primera derivada de una funcion f cambia de negativa a positiva en un numerocrıtico c entonces f(c) es un mınimo relativo.

Del mismo modo se relacionan la concavidad de una funcion con el signo de su segunda deri-vada.

Los intervalos donde la segunda derivada es positiva, la funcion es convexa.

Los intervalos donde la segunda derivada es negativa, la funcion es concava.

Ademas, un punto P en la grafica de la funcion se llama punto de inflexion cuando en el lacurva pasa de concava hacia arriba a concava hacia abajo o viceversa.

Ejemplo 14. Considere la funcion j con criterio j(x) =x3

x2 − 9, cuya primera derivada esta definida

por j′(x) =x4 − 27x2

(x2 − 9)2la cual se obtiene al aplicar la regla de derivacion para un cociente y la segunda

derivada por j′′(x) =18x(x2 + 27)

(x− 3)3(x+ 3)3, determine:

48 Funciones reales

a. Los intervalos de monotonıa para la funcion j.

b. Los intervalos donde la funcion es concava y convexa.

Solucion

a. Para determinar los intervalos de monotonıa se analiza el signo de la funcion

j′(x) =x4 − 27x2

(x2 − 9)2

Como el criterio de la primera derivada no esta factorizado completamente se procede a realizardicha factorizacion:

j′(x) =x2 (x2 − 27)

(x2 − 9)2

j′(x) =x2(x+ 3

√3)(x− 3

√3)

((x− 3)(x+ 3))2

j′(x) =x2(x+ 3

√3)(x− 3

√3)

(x− 3)2(x+ 3)2

Luego, se determinan los ceros de cada factor para elaborar el cuadro de signos.

x2

x + 3√

3

x− 3√

3

(x− 3)2

(x + 3)2

j′(x)

j(x)

−∞ −3√

3 −3 0 3 3√

3 +∞

+ + + 0 + + +

− 0 + + + + +

− − − − − 0 +

+ + + + 0 + +

+ + 0 + + + +

+ 0 − − 0 − − 0 +

↗ ↘ ↘ 0 ↘ ↘ ↗

Cabe destacar que el comportamiento de la funcion j se obtiene al aplicar lo explicado en este apar-tado, de ahı que j es estrictamente creciente en

]−∞,−3

√3[,]3√

3,+∞[

(donde j′(x) > 0 ) y esestrictamente decreciente en

]−3√

3, 3√

3[− {−3, 3}(donde j′(x) < 0 ).

Funciones reales 49

Debe notarse que x = −3√

3, x = 3√

3, x = 0 son elementos del dominio de la funcion j dondej′(x) = 0 de ahı que sean numeros crıticos; ademas, en x = −3

√3, x = 3

√3 la primera derivada

cambia de signo. Esto indica que en ellos se alcanza un maximo relativo y un mınimo relativo,respectivamente, mientras que para x = 0 no se alcanza ni maximo ni mınimo.

b. Se deja como ejercicio el analisis del signo de j′′ para hallar los intervalos de concavidad.

A continuacion se muestra la grafica de la funcion j para que verifique sus resultados.

Ejercicios 7.

Analizar el signo de las derivadas de la funcion g

a. g′(x) =−2(x+ 1)

(x− 3)2(x+ 5)2

b. g′′(x) =2(3x2 + 6x+ 19)

(x− 3)3(x+ 5)3

50 Funciones reales

Capıtulo 5Rectas

En este capıtulo se retomaran ciertos contenidos que han sido analizados en la educacion se-cundaria y al mismo tiempo se acercaran los mismos al curso de Calculo en cuanto a rectastangentes, rectas normales, entre otros.

5.1. Ecuacion de la recta

Una rama de la Geometrıa es la Geometrıa Analıtica y se caracteriza por asociar a objetosgeometricos (puntos, rectas, planos, circunferencias, parabolas, elipses, hiperbolas, entre otros)una ecuacion(en dos o mas variables) que los define.

En el caso particular de una recta, existen varias representaciones algebraicas:

Ecuaciones de la recta

Ax+By + C = 0, A,B,C ∈ R Ecuacion general de la recta

y = mx+ b, m, b ∈ R Ecuacion pendiente-interseccion

y − y0 = m(x− x0) Ecuacion punto-pendiente

Debe resaltarse que la primera ecuacion, como su nombre lo indica, es la mas general pues elladefine rectas horizontales, verticales u oblicuas; a diferencia de las otras dos que asumen laexistencia de una pendiente, con lo cual solo se puede tener rectas horizontales u oblicuas.

Considere las rectas representadas en la grafica adjunta

51

52 Funciones reales

Una aproximacion al concepto de pendiente de la recta es “el grado de inclinacion que presentala recta”, lo cual se puede identificar para la recta n y ` mas no para p.Debido a lo anterior, otra forma de definir la pendiente de una recta es “la pendiente m corres-ponde a la tangente del angulo (cuya medida se limita de 0◦ a 180◦, inclusive) que se formaentre la recta y el eje x”.La recta p es vertical y el angulo que forma con el eje x mide 90◦ pero tan(90◦) no existe, por loque su pendiente no esta definida.En el caso de la recta n que es horizontal, la medida del angulo es 0◦ y por ello m = tan(0◦) = 0Para la recta ` queda en evidencia que el angulo existe y por ende su pendiente tambien.

La definicion mas comun para la pendiente, y que se analiza en secundaria, es la que planteaque:

Pendiente de la recta

Dados dos puntos P (x1, y1) y Q(x2, y2) que pertenecen a una recta entonces

m =y1 − y2x1 − x2

=y2 − y1x2 − x1

Si m > 0 la recta tiene un comportamiento estrictamente creciente.Si m < 0 la recta tiene un comportamiento estrictamente decreciente.

En la representa grafica adjunta se puede deducir que la formula anterior surge de establacer

m = tan(α) y que este valor corresponde a m =y1 − y2x1 − x2

, haciendo uso del triangulo rectangulo

PQR donde la medida del cateto opuesto PR a α es y1 − y2 y la medida del cateto adyacenteQR es x1 − x2

Funciones reales 53

Otro aspecto que se debe destacar es que para todas las rectas que no son verticales, si la ecua-cion corresponde a y = mx+ b entonces (0, b) representa el punto de interseccion con el eje y dela recta.

Ejemplo 15. Determine la ecuacion de la recta en cada caso.

1. La pendiente es 2 y (2, 5) pertenece a la recta

2. La pendiente es5

2y (0,−6) pertenece a la recta

3. La que contiene BC del triangulo

Solucion

54 Funciones reales

1. Como se brinda la pendiente y un punto entonces la ecuacion punto-pendiente se ajusta a los datos.La ecuacion corresponde a y − 5 = 2(x− 2)

2. En este caso se brinda la pendiente y el punto de interseccion con el eje y, con lo que se tiene que

b = −6 para la ecuacion y = mx+ b, por lo que y =5

2x− 6 es la ecuacion

3. Primero se determinan los puntos en cuestion, es decir, B(4, 7) y C(6,−3)

Se calcula la pendiente, m =−3− 7

6− 4= −5

Cualquiera de las tres formas para la ecuacion deberan dar el mismo resultado. En este caso laecuacion punto-pendiente corresponde a y − 7 = −5(x− 4)De la anterior se puede deducir la ecuacion pendiente-interseccion y = −5x + 27 y la ecuaciongeneral 5x+ y − 27 = 0

Ejemplo 16. Considere los puntos A(−1

2,3

4

)y B

(k

2, k2), k ∈ R que pertenecen a la recta `

Determine el o los valores de k para que la recta tenga pendiente −2

SolucionEn este caso el concepto que se debe emplear es la pendiente de la recta.

Se debe tener quek2 − 3

4k2− −1

2

= −2

La ecuacion que se debe resolver es

k2 − 3

4= −2

(k

2− −1

2

)⇔ k2 − 3

4= −k − 1

⇔ k2 + k +1

4= 0

La solucion de la ecuacion es k =−1

2

Ejemplo 17. La recta j esta definida por la ecuacion (t− 2)y + t2x− x+ t = 0, t ∈ R. Determine el olos valores de t y la ecuacion de la recta para que esta corresponda a la de una recta

1. vertical

2. horizontal

SolucionConviene mas expresar la ecuacion en la forma y = mx+ b, por lo que se procede ası:

(t− 2)y + t2x− x+ t = 0(t− 2)y = −t2x+ x− t

(t− 2)y = (−t2x+ x)− t

Funciones reales 55

(t− 2)y = (−t2 + 1)x− t

y =(−t2 + 1)x− t

t− 2

y =(−t2 + 1)x

t− 2− t

t− 2

La pendiente de la recta esta representada por m =−t2 + 1

t− 2

1. Para este caso la pendiente no debe existir y esto sucede cuando t = 2, que es la restriccion de laexpresion fraccionaria.Para determinar la ecuacion de j se sustituye el valor en la original pues no hay fracciones

(2− 2)y + (2)2x− x+ 2 = 0⇔ 4x− x = −2

x =−2

3

2. Para que una recta sea horizontal debe suceder que m = 0 y en este caso se tiene

m =−t2 + 1

t− 2= 0

La ecuacion se reduce a −t2 + 1 = 0, cuyas soluciones son t = −1, t = 1

Una ecuacion para j es y = − 1

1− 2= 1 o y = − −1

−1− 2=−1

3

En Calculo cobra importancia la manipulacion de las rectas pues se analizara el concepto derecta tangente a una curva, en particular la pendiente de dicha recta, que corresponde a laderivada.En la representacion adjunta se muestra la grafica de una funcion y la recta ` a la que pertenece

el punto A(

0,2

3

)(punto de tangencia)

Notese que la recta y la grafica de la funcion solo se intersecan en un punto, por esto es que ` seconsidera una recta tangente a la curva.

56 Funciones reales

Ejemplo 18. En la representacion adjunta se muestra la funcion f : R → R, f(x) = 4x − x2, lospuntos P (1, f(1)), Q(3, f(3)) y A. Determine la ecuacion general para las rectas (tangentes) `1 y `2

SolucionPrimero se determinan los puntos de tangencia P (1, 3) y Q(3, 3)

Se determina la pendiente de ambas rectas

m`1 =5− 3

2− 1= 2

m`2 =5− 3

2− 3= −2

Se utiliza la ecuacion punto-pendiente para `1 corresponde a

y − 3 = 2(x− 1)⇔ y − 3 = 2x− 2

y la general es−2x+ y − 1 = 0

En forma similar para `2 se tiene

y − 5 = −2(x− 2)⇔ y − 5 = −2x+ 4

y la general es2x+ y − 9 = 0

5.2. Rectas paralelas y rectas perpendiculares

Para el curso de Calculo tambien se requiere que el o la estudiante conozca la teorıa ligada a rec-tas paralelas y rectas perpendiculares pues se puede hacer alusion a rectas tangentes paralelaso bien la recta perpendicular a una recta tangente denominada recta normal.

Funciones reales 57

Rectas paralelas

Dos rectas se consideran paralelas si:

1. Son coplanares (estan en el mismo plano)

2. No se intersecan

Desde la Geometrıa Analıtica se dice que dos rectas `1 y `2 son paralelas (`1 ‖ `2) si y solosi

m`1 = m`2

Debe aclararse que es posible que dos rectas verticales sean paralelas pero el resultadoanterior no aplica.

Rectas perpendiculares

Dos rectas se consideran perpendiculares si:

1. Se intersecan

2. Forman un angulo recto

Desde la Geometrıa Analıtica se dice que dos rectas `1 y `2 son perpendiculares (`1 ⊥ `2)si y solo si

m`1 ·m`2 = −1

m`1 =−1

m`2

Considere que si una recta es vertical entonces una recta perpendicular a ella debe serhorizontal puesto que el resultado anterior no aplica a una de las rectas.

58 Funciones reales

Ejemplo 19. Considere la recta p a la que pertenece el punto (7, 8) y la recta k a la que pertenecen lospuntos (−3, 2), (3,−4). Determine la ecuacion de p si

1. p ‖ k

2. p ⊥ k

SolucionSe determina la pendiente de k, mk =

−4− 2

3−−3= −1

1. En este caso se tiene que mp = −1 y la ecuacion corresponde a y− 8 = −(x− 7)⇔ y = −x+ 15

2. Como las rectas son perpendiculares entonces mp ·mk = −1⇔ mp · −1 = −1⇔ mp = 1La ecuacion es y − 8 = x− 7⇔ y = x+ 1

Ejemplo 20. Considere las rectas

`1 : kx+ (k − 1)y − 18 = 0`2 : 4x+ 3y + 7 = 0

Determine el o los valores de k ∈ R para que

1. `1 ‖ `2

2. `1 ⊥ `2

SolucionAmbas ecuaciones se deben expresar en la forma pendiente-interseccion

`1 : y =−kx+ 18

k − 1

`2 : y =−4x− 7

3

Es ası que m`1 =−kk − 1

y m`2 =−4

3

1. Para este caso debe tenerse−kk − 1

=−4

3La ecuacion resultante es −3k = −4(k − 1)⇔ k = 4

2. Para que se cumpla la perpendicularidad se debe cumplir que−kk − 1

· −4

3= −1

La ecuacion se puede expresar como 4k = −3(k − 1)⇔ 7k = 3⇔ k =3

7

Ejemplo 21. En la representacion adjunta se muestra la grafica de la funcion g : R → R, g(x) =x3 − 6x2 + 8x, la recta (tangente) ` y el punto T (3, g(3)). Determine la ecuacion punto-interseccion de

1. la recta perpendicular u (recta normal) a ` por T

Funciones reales 59

2. la recta paralela w a ` por (1, 3)

SolucionNote que g(3) = 33 − 6(3)2 + 8(3) = −3 y el punto T esta dado por (3,−3). El otro punto senalado es

el origen (0, 0)

Por lo tanto m` =−3− 0

3− 0= −1

1. Como ` ⊥ u entonces mu = 1 y la ecuacion corresponde a

y −−3 = x− 3⇔ y = x− 6

2. Dado que ` ‖ w entonces mw = −1 y la ecuacion esta dada por

y − 3 = −(x− 1)⇔ y = −x+ 4


1. Determinar el o los valores de k ∈ R en cada caso.

a) La recta a la que pertenecen los puntos (1, 1) y (0,−k) sea estrictamente creciente

b) La recta a la que pertenecen los puntos (−2, 1) y (−3, k + 1) sea estrictamente decreciente

c) La recta a la que pertenecen los puntos(

1

k, k

)y(−k, 1

k

)sea horizontal

d) La recta definida por ky − 3y − k2x = 0 tenga pendiente1

2

e) La recta a la que pertenecen los puntos(k,

1

2

)y (4, k) sea vertical

60 Funciones reales

2. Determinar en cada caso la ecuacion de la recta con las caracterısticas dadas. Ademas realizar lagrafica.

a) (2, 3) esta en la recta y tiene pendiente −2

b) los puntos (−1, 2) y (−3, 3) pertenecen a la recta

c) los puntos (1, 2) y (−3, 2) pertenecen a la recta

d) el punto (2, 3) pertenece a la recta y es paralela al eje x

e) tiene pendiente −3 e interseca al eje x en (2, 0)

f) tiene pendiente −3 e interseca al eje y en (0, 2)

3. Determinar la ecuacion de la recta que cumple las condiciones dadas.

a)(

2

3, 3

)esta en la recta y es paralela a la recta definida por 3y − x = 1

b) (1,−2) esta en la recta y es paralela a la recta definida por y = 3

c) (1, 3) esta en la recta y es paralela a la recta definida por x = −1

d) (−1, 1) esta en la recta y es perpendicular a la recta definida por−2x− 5y = 2

e)(√

2, 1)

esta en la recta y es perpendicular a la recta definida por y = 0

f) (e, 1) esta en la recta y es perpendicular a la recta definida por x = π

4. Determinar, si existe, el valor de k para que se cumpla que las rectas definidas por:

a) y = (2k + 1)x+ 9 y ky − x = 5k sean paralelas

b) y = 2k2x− 5kx− 1 y y = kx− 4x− 5k sean paralelas

c) y = kx+ 2x− 5 y y = 2x− kx+ 10 sean perpendiculares

d) y − k2x = 3 y y − x = k sean perpendiculares

5. Determine el valor de m ∈ R y n ∈ R para que la recta con ecuacion3x+ny−7 = 0, que contiene el punto (3, 2) sea perpendicular a la recta con ecuacionmx+2y = 13

Funciones reales 61

6. Determine la ecuacion de `1 (tangente) y `2 (normal), si la funcion esf : R→ R, f(x) = x3 − 6x2 + 11x, P (2, f(2)) y (0, 8) pertenece a `1.

7. En la representacion adjunta se muestra la grafica de la funcion h : R→ R, h(x) = x2 + 3x+ 7.Determine la ecuacion de las rectas (tangentes) `1 y `2

62 Funciones reales


Como ya se indico en la introduccion de este capıtulo, las rectas son esenciales en el curso deCalculo puesto que la pendiente de la recta tangente a una curva es lo que se define como laderivada de una funcion.Es posible que se deba determinar rectas tangentes horizontales, verticales, la recta perpendi-cular a una recta tangente (recta normal) o bien rectas tangentes paralelas a una recta dada.

Ejemplo 22. Considere la funcion f : R→ R, f(x) = x2−6x+3 y la recta ` definida por x+y−3 = 0.Determinar el punto de grafica donde se traza una recta tangente paralela a ` ası como su ecuacion.

SolucionUna representacion grafica que ilustra la situacion es la siguiente

Se debe determinar la derivada de f , que es f ′(x) = 2x− 6. Esta es la formula de la pendiente de la rectatangente a la grafica de la funcion en cualquier valor x.Como se pide que la recta tangente sea paralela a ` entonces deben tener la misma pendiente. Se debedeterminar la pendiente de `, expresando su ecuacion en la forma y = mx+ b; se tiene que ` : y = x+ 3Se plantea la ecuacion

2x− 6 = −1

⇔ x =5

2

Por lo tanto el punto de tangencia T corresponde a(

5

2, f

(5

2

))=

(5

2,−23

4

)

Funciones reales 63

Ejemplo 23. Considere la curva con ecuacion c : x3(y − 1)3 + (y − 1)2 = x + y − 1. Determine laecuacion de la recta normal en el punto (−1, 2)

SolucionPara determinar la derivada se recurre a la derivacion implıcita

x3(y − 1)3 + (y − 1)2 = x+ y − 13x2(y − 1)3 + 3x3(y − 1)2y′ + 2(y − 1)y′ = 1 + y′

3x3(y − 1)2y′ + 2(y − 1)y′ − y′ = 1− 3x2(y − 1)3

[3x3(y − 1)2 + 2(y − 1)− 1] y′ = 1− 3x2(y − 1)3

y′ =1− 3x2(y − 1)3

3x3(y − 1)2 + 2(y − 1)− 1

En la formula anterior se evaluan las coordenadas del punto, es decir, y′(−1, 2) = 1

Como la recta normal es perpendicular a la recta tangente entonces mN ·mT = −1, con lo que mN = −1

La ecuacion de la recta normal esta dada por y − 2 = −(x−−1)⇔ y = −x+ 1

Se muestra en la representacion grafica la situacion planteada

64 Funciones reales

Capıtulo 6Graficacion de funciones

El curso de Calculo desarrollara en sus estudiantes la habilidad de graficar una funcion hacien-do uso de las derivadas. En este curso se pretender que los y las estudiantes puedan trazar lagrafica de ciertas funciones que resultan de transformaciones de funciones estandar.

Adicionalmente, para la funcion cuadratica se analiza la tecnica de completar el cuadrado pa-ra su criterio, que por sı misma es necesaria para la resolucion de integrales en Calculo perotambien se puede utilizar para graficar la funcion.

6.1. Funcion cuadratica

Una funcion polinomial de la forma f : R → R, f(x) = ax2 + bx + c; a, b, c,∈ R, a 6= 0 recibeel nombre de cuadratica, la cual presenta algunas caracterısticas importantes que conviene es-tudiar.

Grafica de la funcion cuadratica

La grafica de la funcion cuadratica describe una parabola que puede ser:

Convexa si a > 0 y presenta un punto mınimo.

Concava si a < 0 y presenta un punto maximo.

65

66 Funciones reales

Vertice

El punto mınimo o maximo se determina calculando el vertice de la grafica:

V

(−b2a,−∆

4a

)

La ecuacion x =−b2a

corresponde al eje de simetrıa (recta vertical). Ademas, este valor esutil para dar respuesta del regimen de variacion de la funcion (creciente, decreciente).

El valor y =−∆

4asirve para determinar el intervalo del ambito de la funcion considerando

la concavidad de esta.

El criterio de una funcion cuadratica se puede reescribir haciendo uso de las coordenadas delvertice, utilizando la tecnica de completar el cuadrado.

Esta tecnica permite expresar el criterio f(x) = ax2 + bx+ c como f(x) = a (x− h)2 + k

A continuacion se tiene la demostracion de esta tecnica para f : R→ R, f(x) = ax2 + bx+ c cona 6= 0, a, b, c ∈ R :

f(x) = a

(x2 +

(b

a

)x

)+ c Factorice a de los terminos con x

f(x) = a

(x2 +

(b

a

)x+

(b

2a

)2

−(b

2a

)2)

+ c Divida por 2 el coeficiente que acompana a x

Sume y reste el cuadrado de ese resultado

f(x) = a

(x2 +

(b

a

)x+

(b

2a

)2)−(ab2

4a2

)+ c Multiplique por el factor a el termino que resta

f(x) = a

(x+

b

2a

)2

−(b2 − 4ac

4a

)Factorice y opere

f(x) = a

(x− −b

2a

)2

+− (b2 − 4ac)

4a

f(x) = a

(x− −b

2a

)2

+−∆

4a

f(x) = a (x− h)2 + k Se tiene h =−b2a

, k =−∆

4a

Esta forma de escribir el criterio de la funcion cuadratica es util para graficarla y determinar lastransformaciones que se han realizado a la funcion estandar con criterio f(x) = x2, lo cual se

Funciones reales 67

estudia mas adelante.

Ejemplo 24. Reescriba el criterio de la funcion h : R→ R, h(x) = −x2− 10x− 28 mediante la tecnicade completar el cuadrado.

SolucionResulta mas comodo hacer uso de las coordenadas del vertice de la grafica de h para lograr lo que se

solicita, apoyandose de la demostracion hecha anteriormente.

Es ası que V(

10

2 · −1,−((−10)2 − 4 · −1 · −28)

4 · −1

)= (−5,−3)

Puede notarse que otra forma de determinar la coordenada y del vertice es calculando h (−5)

El criterio se expresa h(x) = − (x− −5)2 +−3 = − (x+ 5)2 − 3

La tecnica tambien se puede utilizar para factorizar criterios de funciones polinomiales de gra-do 4 como el de esta funcion p : R→ R, p(x) = x4 + 1

Ejemplo 25. Escriba el criterio de la funcion p : R→ R, p(x) = x4 + 1 en forma factorizada.

Solucion

Note que para formar un trinomio cuadrado perfecto falta el termino 2x2, ası que

p(x) = x4 + 1

p(x) = x4 + 2x2 − 2x2 + 1 Sume y reste el termino 2x2

p(x) = (x4 + 2x2 + 1)− 2x2 Agrupe terminos

p(x) = (x2 + 1)2 − 2x2 Note el trinomio cuadrado perfecto

p(x) = (x2 + 1)2 −

(√2x)2

Observe la diferencia de cuadrados

p(x) =(x2 + 1 +

√2 x) (x2 + 1−

√2 x)

Aplique la tecnica de diferencia de cuadrados

p(x) =(x2 +

√2 x+ 1

) (x2 −

√2 x+ 1

)Cada trinomio es irreducible

Ahora, recuerde que la grafica de la funcion p no interseca al eje x (ver ejemplo 4 del capıtulo Fun-cion polinomial. La razon es que a pesar que el criterio de la funcion se factoriza, la factorizacion

68 Funciones reales

consta de dos factores irreducibles y por lo tanto no hay valores de x que hagan cero a la funcion.

Ejercicios 8.

I. Reescriba los criterios de las funciones dadas en su maximo dominio y codominio R de la formaf(x) = a (x− h)2 + k.

a. f(x) = 2x2 − 6x+17

2

b. g(x) = −x2 + 8

6.2. Transformaciones de una funcion estandar

La grafica de una funcion real se puede obtener mediante transformaciones aplicadas a lagrafica de una funcion estandar mediante una traslacion (horizontal-vertical), la elongacion-compresion vertical y, la reflexion con respecto al eje x o y, ası como la reflexion que realiza elvalor absoluto. Para ello es necesario recordar algunas caracterısticas en relacion con las graficasde las funciones basicas estudiadas en capıtulos anteriores.

Ejercicios 9.

A continuacion se presenta el nombre de cada una de las funciones estudiadas. Trace la grafica de lasfunciones basicas y escriba en los espacios delineados la informacion solicitada.

a) Funcion Lineal b) Funcion Cuadratica

Defina la funcion: f : .............. → R Defina la funcion f : .............. → R

f(x) = .................... f(x) = ....................

Ambito de la funcion: ..................... Ambito de la funcion: .....................

∩ eje y: ..................... ∩ eje y: .....................

∩ eje x: ..................... ∩ eje x: .....................

Funciones reales 69

c) Funcion Cubica d) Funcion Radical


f(x) = .................... f(x) = ....................


∩ eje y: ..................... ∩ eje x: .....................

∩ eje x: ..................... ∩ eje x: .....................

e) Funcion Racional f) Funcion Valor Absoluto


f(x) = .................... f(x) = ....................


∩ ejey : ..................... ∩ eje y: .....................

∩ eje x: ..................... ∩ eje x: .....................

Ecuacion de la asıntota horizontal:.....................

Ecuacion de la asıntota vertical:.....................

70 Funciones reales

g) Funcion Exponencial h) Funcion Logarıtmica


f(x) = .................... f(x) = ....................


∩ eje y: ..................... ∩ eje y: .....................

∩ eje x: ..................... ∩ eje x: .....................

Ecuacion de la asıntota horizontal: Ecuacion de la asıntota vertical:..................... .....................

A continuacion se enuncian las transformaciones que se deben distinguir en el criterio de lafuncion en cuestion para poder graficarla.

Traslacion horizontal

Para una funcion dada por y = f(x) y m > 0 una constante, entonces la grafica de

I y = f(x+m) consiste en una traslacion horizontal m unidades hacia la izquierda dey = f(x)

I y = f(x −m) consiste en una traslacion horizontal m unidades hacia la derecha dela grafica de y = f(x)

Funciones reales 71

Traslacion vertical

Para una funcion dada por y = f(x) y m > 0 una constante, entonces la grafica de

I y = f(x) + m consiste en una traslacion vertical m unidades hacia arriba de lagrafica de y = f(x)

I y = f(x) − m consiste en una traslacion vertical m unidades hacia abajo de lagrafica de y = f(x)

Elongacion-Compresion vertical

Para una funcion y = f(x) y m > 0 una constante, entonces la grafica de

I y = mf(x) con m > 1 consiste en una elongacion vertical en un factor m unidadesde la grafica de y = f(x)

I y = mf(x) con 0 < m < 1 consiste en una compresion vertical en un factor munidades de la grafica de y = f(x)

72 Funciones reales

Reflexion

Para una funcion dada por y = f(x) entonces la grafica de

I y = −f(x) consiste en una reflexion con respecto al eje x de la grafica de y = f(x),ası si la coordenada (x, y) pertenece a la grafica de la funcion y = f(x) entonces lacoordenada (x,−y) pertenece a la grafica de la funcion y = −f(x)

I y = f(−x) consiste en una reflexion con respecto al eje y de la grafica de y = f(x),ası si la coordenada (x, y) pertenece a la grafica de la funcion y = f(x) entonces lacoordenada (−x, y) pertenece a la grafica de la funcion y = f(−x)

Valor absoluto

Se debe aclarar que, si bien en el curso se estudia la funcion valor absoluto, es posibleasumirlo como una transformacion.

Para una funcion dada por y = f(x) el efecto que tiene y = |f(x)| es positivizar lasimagenes, en particular aquellas que son negativas.

Desde la grafica podra notarse que aquellas parte que se encuentran por debajo del ejex son reflejadas con respecto a este eje. Esto es, que se presenta una “reflexion parcial”de la parte negativa de grafica (esta por debajo del eje x) respecto con el mismo eje.

Funciones reales 73

Ejercicios 10.

A continuacion aparece un cuadro con criterios de funciones escriba una x en la columna correspondientesegun el tipo de transformacion que observe a partir del criterio dado.

Criterio Traslacion Traslacion Elongacion- Reflexion Reflexion Valor absolutoVertical Horizontal compresion respecto al respecto al y = |f(x)|

vertical eje x eje yy = f(x) ± m y = f(x ± m) y = mf(x), con y = −f(x) y = f(−x)

m > 1 o 0 < m < 1f(x) = (x+ 1)2

f(x) = −x2

f(x) = 3x3

f(x) =√−x

f(x) =√x+ 1

2

f(x) =1

x− 3

f(x) =−1

x

f(x) =1

5· 2x

f(x) = 3−x

f(x) = − log(x)

f(x) = |x3|

f(x) = log(−x)

f(x) = −|x|

f(x) = |x|+ 6

Cuadro N◦1

74 Funciones reales

A continuacion se muestran los distintos tipos de transformaciones aplicados a la grafica basicade la funcion radical f : [0,+∞[→ [0,+∞[, f(x) =

√x.

1. Traslacion Horizontal(3 unidades derecha) 2. Traslacion Horizontal(3 unidades izquierda)

Dominio f1: Dominio f2:

Ambito f1: Ambito f2:

∩x : ∩y :

3. Traslacion Vertical (2 unidades arriba) 4. Traslacion Vertical (2 unidades abajo)



∩Y : ∩Y :

Funciones reales 75

5. Elongacion Vertical 6. Compresion Vertical



∩x : ∩y :

7. Reflexion con respecto al eje y 8. Reflexion con respecto al eje x



∩x : ∩x :

Al aplicar algun tipo de transformacion los nuevos trazos de las graficas de las funciones y suscriterios, presentan algunas diferencias con respecto al trazo de la grafica y criterio basico de lafuncion radical, esta misma situacion se da con los otros criterios de funciones estudiados.

Antes de estudiar graficas de funciones con varios tipos de transformaciones es necesario reali-zar algunos bosquejos de funciones para otros criterios.

76 Funciones reales

Ejercicios 11.

I. Considere la funcion f : R → [0,+∞[, f(x) = x2. Trace de la grafica segun la transformacion indi-cada.

1. Traslacion Horizontal(2 unidades derecha) 2. Traslacion Horizontal(1 unidad izquierda)

Criterio f1 (x) = Criterio f2 (x) =



∩x : ∩x :

3. Traslacion Vertical (3 unidades arriba) 4. Traslacion Vertical (1 unidad abajo)




∩Y : ∩Y :

Funciones reales 77

5. Elongacion Vertical(en un factor 2) 6. Compresion Vertical (en un factor 0.25)




∩x : ∩x :

7. Reflexion con respecto al eje x 8. Reflexion con respecto al eje y




∩x : ∩x :

78 Funciones reales

II. Considere la funcion f : R − {0} → R − {0} , f(x) =1

x. Trace la grafica segun la transformacion

indicada.

1. Traslacion Horizontal(3 unidades derecha) 2. Traslacion Horizontal(2 unidades izquierda)




Ecuacion asıntota vertical: Ecuacion asıntota vertical:

Ecuacion asıntota horizontal: Ecuacion asıntota horizontal:

3. Traslacion Vertical (1 unidad arriba) 4. Traslacion Vertical (2 unidades abajo)






Funciones reales 79





∩X : ∩X :






∩y : ∩y :


80 Funciones reales

III. Considere la funcion f :]0,+∞[→ R, f(x) = log 12(x).Trace la grafica segun la transformacion

indicada.

1. Traslacion Horizontal(1 unidad derecha) 2. Traslacion Horizontal(3 unidades izquierda)





3. Traslacion Vertical (2 unidades arriba) 4. Traslacion Vertical (2 unidades abajo)





Funciones reales 81





∩x : ∩x :






∩y : ∩y :


A continuacion se muestran algunos ejemplos para trazar graficas de funciones utilizando va-rias transformaciones.

82 Funciones reales

Para graficar una funcion cuyo criterio presenta varias transformaciones ası como funciones atrozos (mas de un criterio con su dominio dado) se debe identificar el criterio y nombre de lafuncion basica, tener presente la grafica de esta funcion basica, determinar las transformacionesque se han aplicado, determinar si la grafica presenta intersecciones con los ejes, determinar laecuacion de las asıntotas, si corresponde, y para las funciones que tienen dominio restringidoevaluar la funcion en dichos valores.

Ejemplo 26. Trace la grafica de cada una de las siguientes funciones.

a) f : R → R, f(x) =−2x+ 3

3

b) g : R− {1} → R, g(x) =2

x− 1− 3

c) h(x) =

{ √−x− 1 si x < 0− log(x− 1) si 1 < x < 11

Solucion

a) f : R → R, f(x) =−2x+ 3

3

El criterio se puede expresar como f(x) =−2

3x+ 1

• Identifique el criterio de la grafica a la cual se le han aplicado transformaciones: p(x) = x

• Identifique las transformaciones que se han aplicado al criterio:

Compresion en un factor de2

3: p1(x) =

2

3x

Reflexion con respecto al eje x: p2(x) = −2

3x

Traslacion vertical 1 unidad hacia arriba: p3(x) = −2

3x+ 1

• Determine los puntos de interseccion con los ejes:Eje x: (x, 0)

Resuelva la ecuacion 0 =−2x+ 3

3⇒ ∩x =

(3

2, 0

)Eje y: (0, y)

Calcule la imagen f(0) =−2 · 0 + 3

3⇒ ∩y = (0, 1)

• Trazo de la grafica (utilizando la informacion anterior)

Funciones reales 83

b) g : R− {1} → R, g(x) =2

x− 1− 3

• Identifique el criterio de la grafica a la cual se le han aplicado transformaciones: u(x) =1

x

• Identifique las transformaciones que se han aplicado:

Traslacion horizontal 1 unidad hacia la derecha: u1(x) =1

x− 1

Elongacion en un factor de 2: u2(x) = 2 · 1

x− 1

Traslacion vertical 3 unidades hacia abajo: u3(x) =2

x− 1− 3

• Determine los puntos de interseccion con los ejes:Eje x: (x, 0)

Resuelva la ecuacion 0 =2

x− 1− 3⇒ ∩x =

(5

3, 0

)Eje y: (0, y)

Calcule la imagen g(0) =2

0− 1− 3⇒ ∩y = (0,−5)

• Ecuaciones de las asıntotas:Vertical x = 1Horizontal y = −3

• Trazo de la grafica

84 Funciones reales

c) h(x) =

{ √−x− 1 si x < 0− log(x− 1) si 1 < x < 11

Como es una funcion definida a trozos se analiza cada criterio por aparte. Asıh(x) =

√−x− 1 si x < 0

• Identifique el criterio al cual se han aplicado transformaciones: q(x) =√x

• Identifique las transformaciones que se han aplicado:Reflexion con respecto al eje y: q1(x) =

√−x

Traslacion vertical 1 unidad hacia abajo: q2(x) =√−x− 1

• Determine los puntos de interseccion con los ejes:Eje x: (x, 0)Resuelva la ecuacion 0 =

√−x− 1 ⇒ ∩x = (−1, 0)

Eje y: (0, y)No existe pues 0 6∈ Dh

• Evaluar la funcion de acuerdo con el dominio:Aunque no se puede evaluar 0 en la funcion, este es un punto de referencia pues la graficadebe “cortarse” hasta este valor. Se tiene que h(0) =

√0 − 1 ⇒ (0,−1) (debe dibujarse sin

rellenar ◦)

Ahora se trabaja con el criterio h(x) = − log(x− 1) si 1 < x < 11

• Identifique el criterio al cual se le han aplicado transformaciones: r(x) = log(x)

Funciones reales 85

• Identifique las transformaciones que se han aplicado:Traslacion horizontal 1 unidad hacia la derecha: r1(x) = log(x− 1)Reflexion con respecto al eje x: r2(x) = − log(x− 1)

• Determine los puntos de interseccion con los ejes:Eje x: (x, 0)Resuelva la ecuacion 0 = − log(x− 1)⇒ ∩x = (2, 0)Eje y: (0, y)No hay porque 0 6∈ Dh

• Ecuaciones de las asıntotas:Vertical x = 1

• Evaluar la funcion de acuerdo con el dominio:11 6∈ Dh pero se calcula la imagen h(11) = − log(11− 1) = −1 y el punto (11,−1) se deberepresentar sin rellenar ◦

• Trace la grafica

Preliminarmente se traza la grafica completa de ambas funiones, como se muestra a continuacion

Como se tienen dos intervalos para el dominio entonces la grafica de h con h(x) = − log(x − 1) debetrazarse hasta el punto (11,−1) pero sin rellenar al igual que el punto (0,−1) para h(x) =

√−x− 1

86 Funciones reales

Ejercicios 12.

I. Considere la funcion h : R→ R, h(x) = −x2 − 10x− 28 (Ejemplo 24 de este capıtulo)

1. Identifique por escrito las transformaciones que presente la grafica con respecto a la funcion estandar.Utilice lo que se realizo en el Ejemplo 24.

2. Determine las intersecciones con los ejes de la grafica.

3. Grafique la funcion en el plano adjunto.

Funciones reales 87


I. Exprese el criterio de cada funcion cuadratica en la forma p(x) = a(x − h)2 + k. Considere lasfunciones definidas en su dominio maximo y codominio R.

a) f(x) = x2 − 6x+ 12

b) h(x) = 8x− x2 + 3

c) g(x) = −2x2 − 7x− 4

d) j(x) = 6− 2x+ 4x2

e) m(x) =x

2− 2x2

f) n(x) = x2 + x

II. Para cada una de las funciones definidas en su dominio maximo y codominio R, determinar:

• Dominio maximo

• Transformaciones de la grafica con respecto a la estandar

• Intersecciones con los ejes

• Ecuacion de las asıntotas (si corresponde)

• Grafica

a) m(x) =−2x+ 1

3

b) f(x) = 2− x2

c) g(x) = −3x2 + 2x− 1

d) j(x) =−2

x− 1+ 3

e) p(x) = log2(−x+ 1)

f) h(x) = 2−x + 7

g) f(x) = −|x2 − 5|

h) p(x) =

(x+ 2)3 − 1 si x < −22− |x| si −2 < x < 2√x− 2 si x > 2

i) h(x) =

{2x+1 si x ≤ 0log 4

5(x)− 2 si x > 0

88 Funciones reales

III. Patricia y Erick ahora estan estudiando graficacion de funciones mediante transformaciones de lagrafica estandar y deciden trazar la grafica de la funcion con criterio

q(x) =√−1− x

A continuacion se muestran las respuestas de ambos:¿Cual de los dos hizo la grafica correcta? Justifique su respuesta.

IV. Considere la funcion f : [−3, 4[→ ]−1, 7]

a) Determine el dominio de la funcion g con g(x) = f(x− 4). Justifique su respuesta.

b) Determine el ambito de la funcion g con g(x) = f(x) + 3, biyectiva y definida en el mismodominio de f . Justifique su respuesta.


La integral definida, que es un contenido de Calculo, se encuentra asociado a determinar el areade una superficie. Particularmente se hace uso de graficas de funciones y el area que se debecalcular es la de la superficie que queda por debajo de la grafica o la que encierra dos o masgraficas.

Se asume que el o la estudiante cuenta con las habilidades para graficar una ciertas funciones yes aquı donde se puede recurrir a la teorıa de transformaciones.

Considere el siguiente ejemplo:

Ejemplo 27. Grafique las funciones definidas por f(x) = x2 y g(x) = −|x| + 6 y calcule el area de laregion limitada por dichas graficas. Debe usar integracion.

SolucionLa grafica de la funcion g presenta transformacion con respecto a la estandar con criterio t(x) = |x|

Reflexion con el eje x: t1(x) = −|x|

Traslacion vertical hacia arriba de 6 unidades: t2(x) = |x|+ 6

Funciones reales 89

La funcion f es la cuadratica estandar, por lo que no presenta transformaciones

Las dos graficas representadas en el mismo plano cartesiano se muestran a continuacion:

Para responder la otra pregunta, se debe plantear y resolver∫ 2

−2

[−|x|+ 6− x2

]Otro detalle aquı corresponde a los puntos de interseccion entre las graficas que son (−2, 4) y (2, 4) (estose desarrolla en el siguiente capıtulo)El area de la superficie se calcula ası∫ 2

−2

[−|x|+ 6− x2

]dx =

∫ 0

−2

[−|x|+ 6− x2

]dx+

∫ 2

0

[−|x|+ 6− x2

]dx

=

∫ 0

−2

[x+ 6− x2

]dx+

∫ 2

0

[−x+ 6− x2

]dx

=

(x2

2+ 6x− x3

3

)∣∣∣∣0−2

+

(−x

2

2+ 6x− x3

3

)∣∣∣∣20

=(

02

2+ 6(0)− 03

3

)−(

(−2)22

+ 6(−2)− (−2)33

)+(−22

2+ 6(2)− 23

3

)−(−02

2+ 6(0)− 03

3

)=

44

3

90 Funciones reales

Capıtulo 7Puntos de interseccion entre graficas

Como se mostro en la seccion de Acercamiento al Calculo del capıtulo anterior, para determi-nar el area de una superficie limitada por dos o mas graficas se requiere saber los puntos deinterseccion entre las graficas de las funciones, particularmente la coordenada x, ya que estosconstituyen los lımites de integracion.

Definicion

El punto (a, b) corresponde a la interseccion entre las graficas de dos o mas funcionesf y g si y solo si f(a) = g(a) = b

Algunas veces los puntos de interseccion se pueden determinar graficamente otras veces no, deahı que sea necesario aplicar procedimientos algebraicos para resolver la ecuacion f(x) = g(x).A continuacion se presentan dos ejemplos.

Ejemplo 28.Graficar en el mismo plano cartesiano las funciones f : [−3,+∞[ → R, f(x) = |x + 1| − 1 yg : R→ R, g(x) = −(x+ 1)2 + 1 para determinar los puntos de interseccion entre las graficas.

Solucion

Note que la funcion f es una funcion valor absoluto que presenta una traslacion horizontal haciala izquierda y traslacion vertical hacia abajo, ademas el dominio comienza a partir de -3.

La funcion g es una funcion cuadratica con traslacion horizontal izquierda, reflexion con respectoal eje x y traslacion vertical hacia arriba.

Observe la representacion de ambas graficas.

91

92 Funciones reales

Los puntos en este caso resultan ser evidentes y son (−2, 0), (0, 0).

Ejemplo 29. Determine los puntos de interseccion entre las graficas de las funciones

f : [−1,+∞[→ R, f(x) = x+ 2g : R→ R, g(x) = x3 + 3x2 + 3x+ 2

Solucion

En este caso, se resuelve el ejercicio utilizando procedimientos algebraicos para resolverlo. f(x) = g(x)

x+ 2 = x3 + 3x2 + 3x+ 2 Plantear la ecuacion

0 = x3 + 3x2 + 2x Igualar a cero

0 = x(x2 + 3x+ 2) Se puede factorizar el criterio

0 = x(x+ 2)(x+ 1)

⇔ 0 = x ∨ x = −2 ∨ x = −1 Se pueden determinar con la calculadora

Observe que x = −2 /∈ Df , ası que se debe calcular el valor de y cuando,

x = 0⇒ f(0) = g(0) = 2

x = −1⇒ g(−1) = f(−1) = 1

∴ Los puntos de interseccion entre las graficas de las funciones son (0, 2) y (−1, 1)

Funciones reales 93

Ejemplo 30. Considere las funciones u : R → R, u(t) = t3 y w : R → R, w(t) = t3 +t2

2− t cuyas

graficas se muestran a continuacion:

Determine el punto P .

SolucionSe debe resolver la ecuacion u(t) = w(t), es decir,

t3 = t3 +t2

2− t

0 =t2

2− t

0 = t

(t

2− 1

)Se tiene que t = 0 o t = 2

La imagen en cualquiera de las dos funciones corresponde a u (2) = 8, por lo que el punto es P (2, 8)


I. Graficar las funciones, definidas en su respectivo dominio maximo y codominio R, en el mismoplano y determinar los puntos de interseccion entre las graficas.

a) f(x) = x2 − 1, g(x) = 3− x2

94 Funciones reales

b) f(x) = x2 − 6, g(x) = −x

c) f(x) = (x− 1)3 − 1, g(x) = (x− 1)2 − 1

d) f(x) = 1− |x− 1|, g(x) =−2x+ 1

9

e) f(x) = (x− 1)2 + 2, g(x) = x+ 2

f) f(x) = −(x+ 3)2, g(x) = x− 1

II. Determine los puntos de interseccion entre las graficas de las funciones.

a) b)

III. Determine los puntos de interseccion senalados entre las graficas de las funciones.

a) f(x) = 6x3 − x+1

2y g(x) = x2 +

1

2

Funciones reales 95

b) f(x) =√x, g(x) =

−x2

y h(x) =5

6x− 4

3

IV. Considere las funciones p y r con p(x) = x3 + kx y r(x) = kx2 + 1, definidas en su respectivodominio maximo y codominio R, k ∈ R.

a) Determine el valor de k para que el punto(

1,−1

2

)corresponda a la interseccion entre las

graficas de ambas funciones.

b) Determine, si existen, los restantes puntos de interseccion entre las graficas.

96 Funciones reales


En el ejemplo que se muestra se evidencia que para el curso de Calculo resulta necesario que elo la estudiante pueda determinar la coordenada x de los puntos de interseccion entre graficaspara ası establecer los lımites de integracion que se requieren para hacer el calculo del area deuna region determinada.

Ejemplo 31. A continuacion se presentan lan grafican de las curvas definidas por y = x2 − 4 yy = x4 − 4x2

1. Determine los valores de a, b, c, d

2. Calcule el area de la region sombreada

Solucion

1. Se debe resolver la ecuacion x2 − 4 = x4 − 4x2

Se tiene entonces que

0 = x4 − 5x2 + 4

0 =(x2 − 1

) (x2 − 4

)0 = (x− 1) (x+ 1) (x+ 2) (x− 2)

Por lo tanto x = −2 = a o x = −1 = b o x = 1 = c o x = 2 = d

2. Para calcular el area se debe resolver∫ −1−2

[x2 − 4− (x4 − 4x2)

]dx+

∫ 1

0

[x4 − 4x2 − (x2 − 4)

]dx

Funciones reales 97

∫ −1−2

[x2 − 4− (x4 − 4x2)

]dx+

∫ 1

0

[x4 − 4x2 − (x2 − 4)

]dx

=

∫ −1−2

[x2 − 4− x4 + 4x2

]dx+

∫ 1

0

[x4 − 4x2 − x2 + 4

]dx

=

∫ −1−2

[−x4 + 5x2 − 4

]dx+

∫ 1

0

[x4 − 5x2 + 4

]dx

=

(−x5

5+

5x3

3− 4x

)∣∣∣∣−1−2

+

(x5

5− 5x3

3+ 4x

)∣∣∣∣20

=

[−(−2)5

5+

5(−2)3

3− 4(−2)

]−[−(−1)5

5+

5(−1)3

3− 4(−1)

]+

[(0)5

5− 5(0)3

3+ 4(0)

]−[

(1)5

5− 5(1)3

3+ 4(1)

]= −4

Ejercicios 13.

I. Graficar en un mismo plano las funciones y sombrear la superficie delimitada por las graficas segunse indique. Ademas determinar el o los puntos de interseccion.

a) p(x) = x3, q(x) = 2x− x2

a) j(x) = 2− 2x

3, k(x) = 9− x2 en el intervalo [−3, 3]

funciones ii - matemáticasoperaciones con funciones este cap´ıtulo est a orientado a mostrar la...

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