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GRADO EN FINANZAS Y CONTABILIDAD. MATEMÁTICAS. PRIMER CURSO.

“APLICACIONES DE LAS FUNCIONES HOMOGÉNEAS A LA ECONOMÍA: FUNCIONES DE PRODUCCIÓN, FUNCIÓN DE

COBB-DOUGLAS Y TEORÍA DE LA DISTRIBUCIÓN”

Antecedentes Históricos.

Las funciones homogéneas han sido ampliamente utilizadas en

la modelización económica, pues permiten analizar la transformación

que sufre la función principal cuando las variables aumentan o

disminuyen de forma proporcional.

Una de las funciones de producción más utilizadas es la función

de Cobb-Douglas, propuesta por K. Wicksell (1851-1926), e

investigada su evidencia empírica por C. Cobb y P. Douglas, en 1928,

a partir de la observación empírica de la distribución de la renta

nacional total de los Estados Unidos entre trabajo y capitali. La

función de Cobb-Douglas fue la base para el modelo de crecimiento

de R. Solow (1924-).

A finales del s. XIX, A. Marshall (1842-1924), F.Y. Edgeworth

(1845-1926), K. Wicksell y L. Walras (1834-1910) elaboran casi

simultáneamente un análisis de la distribución de la renta, bajo las

hipótesis de mercado en competencia perfecta, en el que la función

de la renta nacional o de producción es homogénea. Sin embargo, es

P. H. Wicksteed (1844-1927) quien le da un planteamiento

matemático en el trabajo “Ensayo sobre la coordinación de las leyes

de distribución”, publicado en 1894. En este trabajo trató de

demostrar, apoyándose en el teorema de Euler, que un sistema de

reparto que retribuye a los factores en función de la productividad

marginal agota el producto total.

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Escuela Universitaria

Estudios Empresariales

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Dpto. Economía

Aplicada III

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Funciones homogéneas.

Definición: Sea una función real de n variables �:� � �� � �, tal que � �, � �, �� 0. Se dice que f es homogénea de grado r si verifica que:

���� � �����, � �, � 0, � � Aclaración:

La restricción de t > 0 evita problemas de definición o inexistencia de

f(tx); sin embargo, r puede ser entero, racional o real y de cualquier

signo.

���, ��, ��� � ���� � 2���� � ��� � ��2�� � ���� � 2��� � ����, �, ��

Ejemplo 1: Sea �: �� � �, ��, �, �� � � � 2�� Su dominio es ��, al ser una función polinómica. Solución:

Por lo tanto, f es homogénea de grado 2.

���, ��� � ����� � ����� � ���� � ���� � ����� � ��� � ��� � � ��� �����, ��

Ejemplo 2: Sea �: �� � �, ��, �� � ���� �

Su dominio es �� ! "�0,0�#. Solución:

Por lo tanto, es homogénea de grado -1.

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Aplicaciones económicas

Funciones de producción: rendimientos a

escala

Las funciones de producción caracterizan la tecnología de una

empresa; su homogeneidad permite estudiar la existencia de

rendimientos a escala y medir los cambios en la producción ante

variaciones de todos los factores productivos en la misma proporción.

Sea la función de producción $��, �, … , ��, donde & , �' � 1, … , )� son las unidades empleadas de factores productivos. Si Q es

homogénea de grado r:

$���, ��, … , ��� � ��$��, �, … , �� Si r > 1 + Q presenta rendimientos crecientes a escala, es decir, un

incremento de las cantidades de factores productivos consigue un

aumento más que proporcional de la producción final.

Si r = 1 + Q presenta rendimientos constantes a escala, es decir, un

incremento de las cantidades de factores productivos consigue un

aumento igualmente proporcional de la producción final.

���, ��, ��� � ������ � ������� � ����� � ������ � ���� � �,���� ����� � ����� - ����� � ����

Ejemplo 3: Sea �: �� � �, ��, �, �� � �� � ���. Su dominio es �� al ser polinómica. Solución:

Por lo tanto, no es homogénea.

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Si r < 1 + Q presenta rendimientos decrecientes a escala, es decir,

un incremento de las cantidades de factores productivos provoca un

aumento menos que proporcional de la producción final.

Si r = 0, un aumento de las cantidades de factores productivos t

veces no incrementa la producción final.

Ejemplo 6: Sea una función de producción �: � � �� � �, tal que ���� � ���. ¿Es homogénea? En caso afirmativo ¿de qué grado? Solución: Para ser homogénea se tiene que cumplir que ���� ������, por lo tanto, �� � 1, lo que solamente se cumple si r = 0. Es homogénea de grado 0.

$��, ��, ��� � 3����� � 5������ � ���3�� � 5��� � ��$�, �, ��

Ejemplo 4: Sea una función de producción Q de un bien, tal

que $�, �, �� � 3�� � 5���. ¿Es Q homogénea? En caso

afirmativo, ¿cómo son sus rendimientos a escala?

Solución:

Por lo tanto, es homogénea de grado 3 y presenta rendimientos

crecientes a escala.

���� � �����, �, � �

Ejemplo 5: Sea una función de producción de un bien, �: � � �� � �, homogénea de grado 3. Si se duplican los factores productivos,

¿cómo variaría la producción final?

Solución: Si es homogénea de grado 3 entonces se cumple que:

Al duplicarse los factores productivos, t = 2, por lo tanto la

producción final f(x) queda multiplicada por 2� � 8.

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Función de Producción de Cobb-Douglas:

La función de producción de Cobb-Douglas viene dada por:

$�1, 2� � 31425 donde A es una constante positiva, A > 0, K y L son las unidades

empleadas de factores productivos, capital y trabajo,

respectivamente, 6, 7 � y 6, 7 0. El dominio de esta función de producción lo determina el

sentido económico, pues ni K ni L pueden ser negativos:

� � "�1, 2� ��/1 9 0, 2 9 0# La función de Cobb-Douglas ha sido aplicada a la función de

utilidad, siendo de la forma:

:��, �� � �4�5 donde x1 y x2 son las cantidades consumidas de cada uno de los dos

bienes.

La función de Cobb-Douglas puede generalizarse:

$��, �, … , �� � ; <=&>?�

�, ' � 1,… , ), ; 0, @& 0

Veamos si la función de Cobb-Douglas es homogénea:

$�1, 2� � 31425 $��1, �2� � 3��1�4��2�5 � 3�414�515 � �4�531425 � �4�5$�1, 2� Por lo tanto, es homogénea de grado 6 � 7. Si A � B � C, tendremos rendimientos constantes a escala. Si A � B 1, tendremos rendimientos crecientes a escala.

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Si A � B D 1, tendremos rendimientos decrecientes a escala.

El Teorema de Euler y la Teoría de la

distribución

La teoría de la distribución intenta explicar el reparto de la

renta nacional según la contribución de cada uno de los agentes

económicos. Puede aplicarse también al estudio de la remuneración

de cada uno de los factores productivos en función de su intervención

en la producción final. Según la teoría marginalista, en un mercado

de competencia perfecta, el equilibrio del mercado se alcanza cuando

se retribuye a los factores productivos de acuerdo con su

productividad marginal.

Teorema de Euler: Sea �: � � �� � � una función homogénea de grado r, y de clase 1 en su dominio. Para cada � se verifica que:

���� � EF��� Es decir,

����, �, … , �� � G�G� ��� �G�G� ��� �H� G�G� ���

Ejemplo 7: Sea una función de producción Q(K,L), tal que

Q�1, 2� � 71J.L2J.�. ¿Es homogénea? En caso afirmativo, ¿de qué grado?

Solución: Es una función de producción del tipo Cobb-Douglas, por

lo tanto es homogénea de grado r = 0,6 + 0,3 = 0,9 < 1, entonces

presenta rendimientos decrecientes a escala.

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Aplicación económica: Teoría de la distribución.

Sea una función de producción Q(K, L), con factores

productivos capital y trabajo, respectivamente. La remuneración total

sería:

1 G$G1 �1, 2� � 2 G$G2 �1, 2� donde

MNMO �1, 2� y MNMP �1, 2� son las productividades marginales del

capital y del trabajo.

Si la función Q(K, L) es homogénea de grado r, por el Teorema

de Euler

�$�1, 2� � EF$�1, 2� Q12R �$�1, 2� � 1 G$G1 �1, 2� � 2 G$G2 �1, 2�

Si r = 1 (rendimientos constantes a escala), la remuneración total de

los factores productivos es igual a la producción total (rQ = Q).

Si r < 1 (rendimientos decrecientes a escala), la remuneración total

es inferior a la producción, quedando parte de la misma sin distribuir

(rQ < Q).

Si r > 1 (rendimientos crecientes a escala), la remuneración total es

superior a la producción (rQ > Q).

Ejemplo 8: Sea una función de producción Q(K, L)� 21J.S2J.�, donde K es el capital y L el trabajo. Si la remuneración de los

factores productivos depende de su productividad marginal ¿es

suficiente la producción para cubrir la remuneración total?

Solución: Es una función del tipo Cobb-Douglas, por lo tanto es

homogénea de grado r = 0,8 + 0,3 = 1,1 > 1, entonces, la

remuneración total es superior a la producción.

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Ejercicios propuestos

Ejercicio 1. Sea la función ��, �� � 2�� � 3���. ¿Es homogénea?. En caso afirmativo, ¿de qué grado? ¿Verifica el Teorema de Euler?

Ejercicio 2. Sea la función ��, �, �� � �� � �� ! 2��. ¿Es

homogénea?. En caso afirmativo, ¿de qué grado?

Ejercicio 3. Sea la función ��, �, �� � TU) � � � TU)

� . ¿Es f homogénea? En caso afirmativo, ¿de qué grado?

Ejercicio 4. La función de utilidad de un consumidor viene definida por

:�, �� � 8�,V � 4�J,V, donde x e y representan las cantidades consumidas del bien A y del bien B, respectivamente. ¿En cuánto varía

su utilidad si duplica las cantidades consumidas de ambos bienes?

Ejercicio 5. Una función �: �� � � de clase 1 en �� y homogénea de grado 3; E��1,2,3� � X522Y. ¿Cuál es el valor de f(1,2,3)? Ejercicio 6. La función de producción de una empresa viene dada por

$�, �� � 3J,SV�J,�V. ¿Qué tipo de rendimientos a escala presenta? Si se triplican los factores productivos, ¿cuál sería el valor de Q? Si la

remuneración de los factores productivos depende de su productividad

marginal, ¿cubriría la producción la remuneración total?

Ejercicio 7. La función de producción de una empresa viene dada por

una función homogénea $�1, 2� que presenta rendimientos constantes a escala. Sus ingresos provienen de la venta de su producto a un precio p

más una subvención de 5 u.m. por cada unidad de trabajo empleada.

¿Su función de ingresos sería homogénea?, ¿de qué grado?

i Cobb, C.W.; Douglas, P.H. (1928): “A Theory of Production”, American Economic Review, 18,pp.139-165.