Funciones

¿Que importancia tienen las funciones

matemáticas?

Justificación Las funciones son de mucho valor

y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

En particular, las funciones se utilizan para crear modelos

matemáticos.

Un modelo matemático es una representación matemática de un objeto o proceso. Un modelo matemático se puede representar usando relaciones o funciones.

La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit (F) y Celsius (C) se expresa mediante la ecuación F = (9/5)C + 32. En este caso, decimos que “F está en términos de C” o que “F depende de C”o “F está en función de C”. En notación funcional,

F(C) = (9/5)C + 32 .

Un objeto lanzado o arrojado hacia arriba con una velocidad inicial de vo pies/s alcanza una altura de h pies después de t segundos, donde h y t están relacionados mediante la fórmula h = -16t2 + v0t .

Suponga que se dispara una bala directamente hacia arriba con una velociad inicial de de 800 pies/s.

a. ¿Cuándo regresará la bala al nivel del suelo?

b. ¿Cuándo alcanzará una altura de 6 400 pies?

c. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza la bala?

Si conoces el lado de un cuadrado puedes hallar su área.

1 cm

2 cm3 cm

l cm

1 cm2

4 cm2 9 cm2 l 2 cm2

A cada valor del lado le corresponde un área.El área es función del lado: A = l 2

Lado

Área

A = l 2

A la variable lado l se le llama variable independiente, y a la variable área, variable dependiente.

Relaciones dadas por fórmulas

FUNCIÓN Definición:

Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función f de A en B es una regla, correspondencia o relación que asigna a cada elemento x del conjunto A un, y sólo un, elemento y del conjunto B. El conjunto A es el dominio de f; B es el codominio de f. Se expresa como: f: A B

x f(x) = y (x: variable independiente; y: variable

dependiente)Si y = f(x), se dice que y es la imagen de x mediante f y que x es la preimagen de f(x) = y. El recorrido de f es el conjunto de las imágenes de f. Se denota por Rf .

FUNCIÓN

Conceptos:

Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Df.

Recorrido: es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente (y), y se denota Rf.

Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable

dependiente. Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable

independiente, la variable dependiente disminuye. Función Constante: es aquella que para todos los valores de la

variable independiente, la variable dependiente toma un único valor

FUNCIÓN

Conceptos Fundamentales:

Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde un, y sólo un, valor en el conjunto de llegada B.

El conjunto de partida A es el dominio y el conjunto de llegada B es el codominio de f.

f(x)

A Bf

a

x

b = f(a)

f(x)

Conceptos Fundamentales: La variable x corresponde a la variable independiente y la

variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable independiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee “f de x”]. Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”.

A Bf

a

x

b = f(a)

f(x)

FUNCIÓN

o Conceptos Fundamentales

Se dirá: f : A B Si (a, b) ∈ f , entonces b ∈ B es la imagen de a ∈ A bajo la

función f y se denota por b= f(a) o f(a) = b.

Df =A Si (x, y)∈ f ^ (x, z)∈ f y = z . (Unicidad)

Toda función es relación, pero no toda relación es función.

FUNCIÓN

Rango, Imagen, Campo de Valores o Recorrido de f:Es aquel subconjunto del codominio en el cual cada uno de sus elementos es imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Rf.

1234567

Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en B.

abcde

1234567

A Bf

FUNCIÓN

Luego para la función f denotada:

Dominio de f = Df = A = {a, b, c, d, e} Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Rango o Recorrido de f = Rf = {1, 2, 3, 4, 7}

abcde

1234567

A Bf

Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .

CLASIFICACIÓN

a) Función inyectiva o uno a uno: Una función f de A en B es inyectiva o uno a uno si a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B. Esto es, cada elemento de A tiene una única imagen en B (y sólo una).

De otras formas: Si a ≠ b en A, entonces f(a) ≠ f(b) en B. Si f(a) = f(b) en B, entonces a = b.

Como se ve, 4∈ B y no es imagen de ningún elemento de A.

abcd

12345

A Bf

b) Función Epiyectiva o Sobreyectiva: Una función f de A en B es epiyectiva o sobreyectiva o sobre si cada elemento del codominio B es imagen de, al menos, un elemento del dominio A. Esto es, cada elemento de B es imagen de, por lo menos, un elemento de A. En este caso, el codominio de f es igual al recorrido de f .

abcd

1

2

A Bf

c) Función Biyectiva: una función f de A en B es biyectiva si, y sólo si, la función f es tanto inyectiva como epiyectiva a la vez. Por to tanto, cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y a cada imagen de B le corresponde una preimagen en A.

abc

123

A Bf

FUNCIÓN

La Respuesta correcta es B

FUNCIÓN

La Respuesta correcta es D

FUNCIÓN

La Respuesta correcta es E

FUNCIÓN LINEAL

Es de la forma f(x) = mx + b o y = mx + b. La gráfica de f es una línea o recta con:

m : Pendienteb : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y.

Ejemplo:La gráfica de la función f(x) = 5x – 3 tiene pendiente 5 e intersecta (interseca) al eje Y en la ordenada -3.

Ejercicios:1. Determine f(-2) , f(x + h) - f(x) , 2. Determine los ceros de f . h

f(x)h)f(x −+

FUNCIÓN LINEAL

Análisis de la PendientePara saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.• Si m < 0, entonces la función es decreciente.• Si m = 0, entonces la función es constante.• Si m > 0, entonces la función es creciente.

FUNCIÓN LINEAL

I) II)

X

Y

nm > 0b > 0

X

Y

n m < 0b > 0

X

Y

n

m > 0b < 0

X

Y

n

m < 0b < 0

III) IV)

FUNCIÓN LINEAL

Propiedades:

El dominio de una función lineal es IR, el conjunto de los números reales.

Las rectas coplanarias diferentes que tienen la misma pendiente son paralelas.

Las rectas coplanarias que al multiplicar sus pendientes se tiene que el producto es -1, son perpendiculares.

FUNCIÓN CUADRÁTICA Es de la forma:

a, b, c son números reales; a ≠ 0. Df = IR = {números reales}

Gráfica:Siempre es una parábola cuya forma y ubicación depende de sus coeficientes a, b y c.

Ejemplo: f(x) = x² + 2x – 15 Ejercicios:

1. Determine f(-2) , f(x + h) - f(x) , 2. Determine los ceros de f .

f(x) = ax² + bx + c

hf(x)h)f(x −+

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Concavidad:El coeficiente a de la función cuadrática determina si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.

x

y

0 x0

y

a > 0, abre hacia arriba a < 0, abre hacia abajo

FUNCIÓN CUADRÁTICA Eje de simetría y vértice:

El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y o que coincide con él y que pasa por el vértice de la parábola.

El vértice está dado por:

Vértice = -b , f -b = -b , 4ac – b² 2a 2a 2a 4a

FUNCIÓN CUADRÁTICAAdemás, la recta x = , corresponde al Eje de simetría.-b

2a

_ b² - 4ac 4a

x

y

·

-b 2a

x0

y

·_ b² - 4ac 4a

-b 2a

a > 0 a < 0

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Intersección con los ejes Intersección con el eje Y

El coeficiente c o término constante nos da el punto en el cual la parábola corta al eje Y. Sus coordenadas son (0, c)

0

c ·

y

x

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Intersección con el eje X Para determinar el o los puntos donde la parábola corta al

eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la función cuadrática.

Se define el discriminante de la función f(x) = ax² + bx + c como:

D = b² - 4ac

FUNCIÓN CUADRÁTICA

a) Si el D = 0, la parábola corta en un solo punto al eje X.

0 ·

Y

X

a > 0

(x = x , 0)1 2

FUNCIÓN CUADRÁTICA

b) Si el D > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X

0 ·

Y

X

a > 0

·

(x ,0) y (x , 0)1 2

FUNCIÓN CUADRÁTICA

c) Si el D < 0, la parábola no corta al eje X.

0

Y

X

a > 0

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Tipos de solucionesDependen del valor del Discriminante D:

c) Si D = 0, 2 soluciones reales iguales.

e) Si D > 0, 2 soluciones reales distintas.

g) Si D < 0, 2 soluciones complejas distintas .

D = b² - 4acax² + bx + c = 0

FUNCIÓN CUADRÁTICA

Ejemplo: Sea la ecuación de 2º grado: x² + 2x – 15 = 0. ¿Cuáles son las soluciones de

esta ecuación?Sabemos que las soluciones de una ecuación de 2º grado vienen dadas por

En este caso a = 1 b = 2 c = -15Luego, x = 3 o x = -5

x=−b±b2−4ac2a