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Funciones de varias variables II

IntegraciónTema 2

Universidad de Murcia

curso 2010-2011

Antonio José Pallarés Ruiz

27 de octubre de 2010

Índice generalÍndice general

1. Integral de Riemann 11

1.1. La integral de Riemann en [a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2. Integral de Riemann para funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1. Definiciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3. Conjuntos de contenido y de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.1. El conjunto de Cantor (*) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2. Teorema de caracterización de las funciones integrables . . . . . . . . . . . 231.3.3. Conjuntos medibles Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4. Teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5. Cambio de variable en las integrales múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6. La integral de Riemann-Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.7. Actividades complementarias del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2. Medidas de conjuntos 39

2.1. σ-álgebras y medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.1. σ-álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.1.2. Medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.2. Medida exterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3. La medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.3.1. Conjuntos medibles Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.2. La medida de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3.3. Invarianza por traslaciones. Transformaciones Lipschitzinas y Transforma-

ciones Lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.4. Un conjunto no medible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.5. Actividades complementarias del capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Bibliografía 57

Capítulo 2 Medidas de conjuntosMedidas de conjuntos

Interrogantes centrales del capítulo

• Conocer los objetos que intervienen en la noción de medida: álgebras yσ-álgebras de conjuntos.

• Aprender el concepto de medida y sus propiedades.• Conocer el método de Caratheodory de construcción de medidas.• Conocer la medida de Lebesgue en Rn y sus propiedades de invarianza y

aproximación.

Destrezas a adquirir en el capítulo

• Ser capaz de utilizar las propiedades de las medidas.• Saber identificar los conjuntos abiertos y cerrados de Rn como conjuntos

medibles Lebesgue.• Saber utilizar las propiedades de la medida de Lebesgue.

Desarrollo de los contenidos fundamentales

σ-álgebras y medidas.

Medida exterior.

La medida de Lebesgue.

Temporalización: xxHTe + xxHPb + xxHLab = 8HPresVamos a introducirnos el la noción de la medida a partir de los objetos más esenciales que

en ella intervienen. Empezaremos describiendo las familias de subconjuntos de un espacio base“álgebras y σ-álgebras" sobre los que posteriormente vamos a definir las “medidas". Analizaremosel método de Caratheodory de construcción de “medidas" y terminaremos el capítulo estudiandola medidas de Lebesgue en Rn.

40 Funciones de varias variables II, 2010-2011

2.1. σ-álgebras y medidas

2.1.1. σ-álgebras

En lo que sigue Ω será un conjunto no vacío y P(Ω) la familia de los subconjuntos de Ω.

Definición 2.1.1 Un álgebra de partes de Ω es una familia no vacía A ⊂ P(Ω) estable frentea complementos y uniones finitas:

i) A ∈ A⇒ Ac := Ω \A ∈ A;

ii) A, B ∈ A⇒ A ∪B ∈ A;

Si A es un álgebra de partes de Ω se cumple que Ω ∈ A y ∅ ∈ A (como A = ∅ existe A ∈ Ay entonces Ω = A ∪A

c ∈ A y ∅ = Ωc ∈ A).Pasando al complementario en uniones se tiene que todo álgebra es estable frente a inter-

secciones (A

B = (Ac B

c)c), a diferencias (A \ B = A

Bc) y a diferencias simétricas

(AB = (A \B)

(B \A)).

Definición 2.1.2 Una σ-álgebra de partes de Ω es un álgebra Σ ⊂ P(Ω) que es estable frentea uniones numerables:

iii) Si An ∈ Σ para cada n ∈ N y A :=

n∈N An entonces A ∈ Σ;

Las σ-álgebras también son estables frente a intersecciones numerables, e.d. Si Bn ∈ Σ paracada n ∈ N y B :=

n∈N Bn = (

n∈N B

cn)c entonces B ∈ Σ.

Cualquier álgebra finita (con una cantidad finita de elementos) es σ-álgebra puesto que sóloes posible definir uniones finitas de elementos distintos.

Para que un álgebra A ⊂ P(Ω) sea σ-álgebra es suficiente requerir que la condición iii) secumpla sólo para sucesiones crecientes. En efecto: Si An ∈ A para cada n ∈ N y denotamosUn :=

nk=1 Ak, los conjuntos de la sucesión creciente Un pertenecen al álgebra A, y

A :=

n∈NAn =

n∈NBn,

por lo que si se cumple iii) para las sucesiones crecientes, entonces A ∈ Σ, y tenemos que iii)también se cumple para cualquier sucesión.

Ejemplo 2.1.3

a) ∅,Ω es una σ-álgebra trivial; es la mínima σ-álgebra de partes de Ω.

b) P(Ω) es la máxima σ-álgebra de partes de Ω.

c) Si Ω es infinito, (resp. infinito no numerable) la familia formada por los conjuntos E ⊂ Ωtales que E o su complementario E

c es finito (resp. numerable) es un álgebra (resp. σ-álgebra) distinta de P(Ω).

Proposición 2.1.4 Si Σα : α ∈ A es una colección no vacía de σ-álgebras (resp. álgebras) departes de Ω, su intersección Σ =

Σα : α ∈ A es una σ-álgebra (resp. álgebra)

Medidas de conjuntos UMU Grado en Matemáticas 41

Demostración: Bastará con aplicar las correspondientes definiciones a cada (σ)-álgebra de lacolección.

Definición 2.1.5 Dada una familia D ⊂ P(Ω) se define la σ-álgebra generada por D, denotadaσ(D), como la intersección de todas las σ-álgebras que contienen a D (es la mínima σ-álgebraque contiene a D).

Si D es una familia numerable, se dice que σ(D) es una σ-álgebra numerablemente generada.

Ejemplo 2.1.6 (Conjuntos de Borel) Si T es un espacio topológico se denotaran por G,F ,Klas familias formadas por los subconjuntos de T que son, respectivamente, abiertos, cerrados ycompactos. La σ-álgebra σ(G) generada por los abiertos (que coincide con la generada por loscerrados σ(F)) se llama σ-álgebra de Borel de T , se denota B(T ) y a sus elementos se les llamaconjuntos de Borel.

En el caso, T ⊂ Rn abierto, se tiene

B(T ) = σ(G) = σ(F) = σ(K)

(¡recuerda que cada abierto es unión numerable de compactos!).

Observación La descripción de los elementos de la σ-álgebra generada por una familia infinitade subconjuntos no es nada sencilla, requiere del axioma de elección (“Inducción transfinita”).

Para describir la σ-álgebra de Borel en Rn utilizaremos rectángulos n-dimensionales para losque usaremos la notación siguiente:

Dados dos vectores a,b ∈ Rn, escribiremos a < b (resp. a ≤ b) para expresar que ai < bi,(resp. ai ≤ bi) para todo i ∈ 1, 2 · · ·n. Si a < b, denotaremos por [a,b) al rectángulo n-dimensional semiabierto x ∈ Rn : a ≤ x < b :=

ni=1[ai, bi)

Análogamente, se usaran las notaciones [a,b], (a,b), (a,b] para denotar los otros tipos derectángulos n-dimensionales determinados por a y b. Cuando bi − ai = δ > 0 para todo i ∈1, 2 · · ·n se dice que el correspondiente intervalo es un cubo n-dimensional de lado δ.

Entre los cubos n-dimensionales desempeñaran un papel especial los cubos diádicos:Diremos que [a,b) ⊂ Rn es un cubo diádico semiabierto de orden q ∈ N si su lado es 2−q y

para cada i ∈ 1, 2 · · ·n se tiene que ai = mi2−q donde mi ∈ Z. Es fácil comprobar el par depropiedades siguientes:

(i) Si q esta fijo, cada punto de Rn está en un único cubo diádico semiabierto de orden q.

(ii) Si q < p, Q y Q son cubos diádicos semiabiertos de orden q y p respectivamente, y

Q

Q = ∅, entonces Q

⊂ Q.

Lema 2.1.7 Cada abierto G ⊂ Rn se puede expresar como la unión de una sucesión de cubosdiádicos semiabiertos disjuntos dos a dos

Demostración Para cada x ∈ G se considera el mayor cubo diádico semiabierto que contiene ax y que está contenido en G haciendo la unión de todos los cubos diádicos con esta propiedad.Así se tiene una cantidad numerable de cubos disjuntos dos a dos cuya unión es G.

Este Lema asegura que los abiertos de Rn (y por consiguiente, también los conjuntos deBorel) están contenidos en cualquier σ-álgebra que contenga a los cubos diádicos semiabiertos.En particular, se tiene que B(Rn) es una σ-álgebra numerablemente generada.


Ejercicio 2.1 Prueba que la familia F de los subconjuntos de Rn formada por los B ⊂ Rn talesque B o Rn \ B es una unión finita de cubos diádicos semiabiertos [a,b) (incluyendo los casoslímite ∅ y Rn), es un álgebra.

2.1.2. Medidas

Una vez establecida la noción de σ-álgebra de partes de un conjunto, vamos a formalizarla noción de medida. En lo que sigue denotaremos por [0,+∞] a la semirrecta real positivaampliada con el punto +∞.

Definición 2.1.8 Una función de conjunto µ : Σ → [0,+∞], definida sobre una σ-álgebra Σse dice que es una medida (numerablemente aditiva) si µ(∅) = 0 y para cada familia numerableAn : n ∈ N ⊂ Σ, formada por conjuntos disjuntos dos a dos, se cumple

n∈N µ(An) =

µ(∪An : n ∈ N). Si además, µ(Ω) = 1 se dice que µ es una probabilidad (o una medida deprobabilidad).

A las medidas también se les llama medidas sigma-aditivas (σ-aditivas).Si en vez de suponer que µ toma valores en [0,+∞] se supone que toma valores en R (resp.

C) resultan las nociones de medida real (resp. compleja).

Definición 2.1.9 Se llama espacio de medida a una terna (Ω,Σ, µ) donde (Ω,Σ) es un espaciomedible y µ : Σ −→ [0,+∞] una medida.

Dado un espacio de medida (Ω,Σ, µ) se dice que E ∈ Σ es σ-finito si E se puede expresarcomo la unión de una sucesión En ∈ Σ tal que µ(En) < +∞ para todo n ∈ N. Si Ω es σ-finitose dice que el espacio de medida (Ω,Σ, µ) es σ-finito y también que la medida µ es σ-finita.

Ejemplo 2.1.10

Sean Ω un conjunto no vacío, Σ = P(Ω) y f : Ω −→ [0,+∞] una función. Entonces la fórmulaµ(E) =

x∈E f(x) (¿ Cómo está definida una suma arbitraria de una cantidad no-numerable de

números positivos?) define una medida en Σ. Esta medida es σ-finita si, y sólo si, x : f(x) > 0es numerable. En particular:

(i) Si f(x) = 1 para todo x, µ es la medida del cardinal: µ(E) = card(E) si E ∈ Σ es finito,y µ(E) = +∞ si E ∈ Σ es infinito.

(ii) Si existe un punto ω tal que f(ω) = 1 y f(x) = 0 para x = ω, µ es la medida de Dirac enω (µ = δω)): µ(E) = χE(ω).

(iii) Si∞

n=1 αn < +∞ es una serie convergente de números reales no negativos entoncesµ(A) :=

n∈A αn es una medida finita sobre P(N).

(iv) Si xn : n ∈ N es una sucesión de números reales y para cada A ⊂ R se define µ(A) :=+∞n=1 χA(xn) se obtiene una medida sobre P(R). Si la sucesión es densa en R entonces

µ(G) = +∞ para cada abierto G ⊂ R. Si la sucesión cumple lımn |xn| = +∞ entoncesµ(B) < +∞ para cada conjunto acotado B ⊂ R.

Las propiedades básicas de las medidas se pueden reunir en la siguiente proposición:


Proposición 2.1.11 Sea el espacio de medida (Ω,Σ, µ), entonces:

(i) (Monotonía) Si A, B ∈ Σ y A ⊂ B se cumple µ(A) ≤ µ(B). Si además µ(B) < +∞entonces µ(B \A) = µ(B)− µ(A);

(ii) (Subaditividad) Si An : n ∈ N es una sucesión en Σ entonces µ(

n An) ≤

n µ(An);

(iii) (Continuidad superior) Si An : n ∈ N es una sucesión creciente en Σ entonces µ(∪nAn) =lımn µ(An);

(iv) (Continuidad inferior) Si An : n ∈ N es una sucesión decreciente en Σ tal que µ(Am) <

+∞ para algún m ∈ N entonces µ(∩nAn) = lımn µ(An);

Demostración:

(i) Como B = A

(B \A), entonces µ(B) = µ(A) + µ(B \A) de donde resulta la monotonía.

(ii) Cualquier unión numerable se puede escribir como una unión numerable disjunta. Enefecto:

n∈N An =

n∈N Bn donde

B1 = A1 y Bn = An \n−1

k=1

Ak ∈ Σ.

Los conjuntos Bn son disjuntos dos a dos. Ahora la σ-aditividad y la monotonía de µ nosdan

µ(

n

An) = µ(

n

Bn) =

n

µ(Bn) ≤

n

µ(An).

(iii) Como en el caso anterior, la unión numerable de An se puede identificar con una unióndisjunta. Pero ahora si además An es creciente, tenemos que Bn = An \An−1 para n > 1,y An =

nk=1 Bk. En consecuencia

µ(

n

An) = µ(

k

Bk) =

k

µ(Bk)

= lımn

n

k=1

µ(Bk) = lımn

µ(n

k=1

Bk) = lımn

µ(An).

(iv) Si µ(Am) < +∞ y An es decreciente, bastará con aplicar la continuidad superior a lasucesión creciente Cn = Am \An donde n > m.

Ejercicio 2.2 Para una sucesión de subconjuntos An ⊂ Ω se definen su límite superior y sulímite inferior como

lım supAn =∞

k=1

∞

j=k

Aj

y lım inf An =∞

k=1

∞

j=k

Aj

Observa que los elementos del límite superior son los que pertenecen a una cantidad infinitade conjuntos An, y que los elementos del límite inferior son los que pertenecen a todos los An a


partir de un cierto índice. Si coinciden los límites superior e inferior se dice que la sucesión esconvergente y que el límite es

lım An = lım supAn = lım inf An.

Prueba que si µ es una medida definida en Σ y An ∈ Σ,

µ(lım inf An) ≤ lım inf µ(An),

y si µ(∞

j=r Aj para algún r, µ(lım supAn) ≥ lım supµ(An)

Definición 2.1.12 Sea (Ω,Σ, µ) un espacio de medida.Un conjunto N ⊂ Ω se dice que es µ-nulo (o de medida nula) si existe A ∈ Σ tal que N ⊂ A

y µ(A) = 0.Cuando todos los conjuntos µ-nulos pertenecen a Σ se dice que el espacio de medida (Ω,Σ, µ)

es completo y que la medida µ es completa.

Con esta definición resulta inmediato que los subconjuntos de un conjunto µ-nulo también sonµ-nulos, y por otra parte, que la unión numerable de conjuntos µ-nulos también es un conjuntoµ-nulo.

La completitud de una medida suele obviar muchas puntualizaciones técnicas. Esta comple-titud se puede alcanzar engordando la σ-álgebra con los conjuntos nulos:

Teorema 2.1.13 (Teorema de Completitud de Lebesgue) Dado un espacio de medida(Ω,Σ, µ), la familia

Σµ = E ⊂ Ω : ∃A, B ∈ Σ, A ⊂ E ⊂ B,µ(B −A) = 0

es una σ-álgebra que contiene a Σ y la función de conjunto µ : Σµ −→ [0,+∞] definida porµ(E) = supµ(A) : A ⊂ E,A ∈ Σ es la única medida completa cuya restricción a Σ es µ.

Demostración: Ver [6, cap.2 teorema 15].

Otra forma de describir Σµ es

Σµ = A ∪N : N es µ nulo , A ∈ Σ.

El espacio de medida completo (Ω,Σµ, µ) proporcionado por el teorema anterior se llama lacomplección de (Ω,Σ, µ).

2.2. Medida exterior

La noción de medida exterior de Caratheodory proporciona una herramienta estándar paraconstruir medidas completas

Definición 2.2.1 Una medida exterior sobre Ω es una función de conjunto µ∗ : P(Ω) −→

[0,+∞] que verifica:

(i) µ∗(∅) = 0;


(ii) Si A ⊂ B entonces µ∗(A) ≤ µ

∗(B);

(iii) Si An : n ∈ N es una sucesión de subconjuntos de Ω entonces

µ∗(∪nAn) ≤

∞

n=1

µ∗(An).

El nombre de medida exterior proviene de la forma en que usualmente se construyen medidas:

Ejemplo 2.2.2 Sean E ⊂ P(Ω) y ρ : E −→ [0,+∞] una aplicación tales que ∅ ∈ E , Ω ∈ E yρ(∅) = 0. La función

µ∗(A) = ınf

+∞

1

ρ(En) : En ∈ E y A ⊂+∞

1

En

define una medida exterior sobre Ω

Recordad que para cada rectángulo n-dimensional [a,b) =n

i=1[ai, bi) tenemos definido elvolumen

v([a,b)) :=n

i=1

(bi − ai)

Si consideramos la familia de subconjuntos de Rn formada por todos los rectángulos n-dimensionales semiabiertos [a,b), tenemos la

Definición 2.2.3 (Medida exterior de Lebesgue) Para cada subconjunto B ⊂ Rn se definela medida exterior

λ∗n(B) = ınf

k

v([ak,bk)) : B ⊂

k

[ak,bk),

con [ak,bk) una sucesión de rectángulos n-dimensionales semiabiertos (disjuntos dos a dos).

Teorema 2.2.4

(i) Cada conjunto de medida nula N ⊂ Rn tiene medida exterior 0.

(ii) Para cada rectángulo n-dimensional R,

λ∗n(R) = v(R).

(iii) Para cada familia finita de rectángulos disjuntos dos a dos, R1, R2, ..., Rp se cumple

λ∗n

p

j=1

Rj

=p

j=1

λ∗n(Rj).

Demostración:

Ideas que intervienen

( i) es justo la definición de conjunto de medida nula.


Para ( ii)

Como el borde de R tiene medida exterior 0, podemos suponer que R = [a,b] es unrectángulo cerrado, !COMPACTO¡,

Si R ⊂

k [ak,bk), podemos tomar ak < ak de forma que v((ak,bk)) ≤ v([ak,bk)) + ε2k

Como R es compacto, podemos encontrar un entero m tal que R ⊂m

k=1 (ak,bk).

Es fácil comprobar que

v(R) ≤m

k=1

v((ak,bk)) ≤

k

v([ak,bk)) + ε.

Tomando ahora ínfimos en los cubrimientos de R con sucesiones de rectángulos semiabier-tos y haciendo ε → 0, tenemos que

v(R) ≤ λ∗n(R).

Para la otra desigualdad, utilizamos que la medida exterior del borde de R es nula y paraafirmar que

λ∗n(R) = λ

∗n([a,b]) = λ

∗n([a,b)) ≤ v([a,b)) = v(R).

Para ( iii),

Siempre se tiene λ∗n

pj=1 Rj

≤

pj=1 λ

∗n(Rj).

Haciendo los Rj un poco más pequeños, podemos suponer que son COMPACTOS disjuntosdos a dos y por lo tanto separados a distancia (con la norma del supremo) δ > 0.

Sip

j=1 Rj está cubierto por una unión numerable de rectángulos semiabiertos [ak, bk) con

k

v([ak,bk)) ≤ λ∗n

p

j=1

Rj

+ ε,

dividiendo cada uno de lados de los [ak,bk), podemos suponer que tienen lados menoresque δ y por lo tanto sólo pueden cortar a uno de los Rj .

Utilizando ( ii) y las ideas de su prueba,

p

j=1

λ∗n(Rj) =

p

j=1

v(Rj) ≤p

j=1

[ak,bk)∩Rj =∅

v([ak,bk)) ≤

k

v([ak,bk)) ≤ λ∗n

p

j=1

Rj

+ε.

Haciendo ε → 0 se termina la prueba de la identidad buscada.

Ejercicio 2.3 Prueba que para cada sucesión de rectángulos disjuntos dos a dos, R1, R2, ..., Rj , ...

se cumple

λ∗n

∞

j=1

Rj

=∞

j=1

λ∗n(Rj).


Ejercicio 2.4 Prueba que para cada S ⊂ Rn y cada ε > 0 existe un abierto A tal que S ⊂ A yλ∗n(A) ≤ λ

∗n(S) + ε. En consecuencia se tiene que

λ∗n(S) = ınfλ∗n(A) : S ⊂ A, A abierto .

Constantin Caratheodory dio un método que a cada medida exterior, le asocia una medi-da. Para ello, introduce la noción de conjunto medible que señalamos a continuación. En elsiguiente apartado vamos a usar una definición equivalente de conjunto medible para construirla medida de Lebesgue, por lo que no vamos ha profundizar en las pruebas de los resultados deCaratheodory.

Definición 2.2.5 Si µ∗ es una medida exterior sobre Ω, un conjunto E ⊂ Ω se dice que es

µ∗-medible si para cada T ⊂ Ω se cumple

µ∗(T ) = µ

∗(T ∩ E) + µ∗(T ∩ E

c).

Esta noción de conjunto medible aunque, en principio, no parezca muy intuitiva, proporcionaun espacio de medida asociado a cada medida exterior como prueba el siguiente teorema:

Teorema 2.2.6 (Teorema de Carathéodory) Si µ∗ es una medida exterior sobre Ω, la fa-

milia de los conjuntos µ∗-medibles es una σ-álgebra y la restricción µ de µ

∗ a esta σ-álgebra esuna medida completa.

Demostración: Podéis encontrarla en [6, cap.2, Teorema16].

Una de las aplicaciones clásicas del Teorema de Carathéodory es la extensión de una pre-medida definida sobre un álgebra A (e.d. una función de conjunto ν tal que ν(∅) = 0 yν(∪nAn) =

n ν(An) para cada sucesión de conjuntos dos a dos disjuntos An ∈ A cuya unión

n An ∈ A), a una medida µ definida sobre la σ-álgebra generada por A:Si µ es una premedida sobre el álgebra A de partes de Ω y µ

∗ es la medida exterior definidapor

µ∗(A) = ınf

+∞

1

µ(An) : An ∈ A y A ⊂+∞

1

An,

entonces se cumple que

(i) µ∗(A) = µ(A) para cada A ∈ A, y

(ii) cada conjunto A ∈ A es µ∗-medible.

Corolario 2.2.7 (Extensión de Carathéodory) Sean A ⊂ P(Ω) un álgebra, µ una preme-dida definida en A y Σ = σ(A) la σ-álgebra engendrada por A. Existe una medida µ definida enΣ cuya restricción a A es µ, en concreto: µ = µ

∗, y cumple que si ν es otra medida en Σ queextiende a µ entonces ν(A) ≤ µ(A) para cada A ∈ Σ. La igualdad se da en los conjuntos A conµ(A) < +∞. En particular si µ es σ-finita, entonces µ es la única extensión de µ a Σ.

Demostración: Podéis encontrarla en [6, cap.2, Teorema 18]


2.3. La medida de Lebesgue

2.3.1. Conjuntos medibles Lebesgue

Definición 2.3.1 (Conjunto medible Lebesgue) Diremos que un subconjunto M ⊂ Rn esmedible Lebesgue, o simplemente medible, si dado ε > 0 existe un abierto A(ε) tal que

E ⊂ A(ε) y λ∗n(A(ε) \M) < ε.

Si M es medible diremos que su medida de Lebesgue es

λn(M) = λ∗n(M).

Ejemplo 2.3.2

(i) Cada abierto es medible.

(ii) Cada conjunto de medida nula es medible.

(iii) Cada rectángulo n-dimensional R es medible y λn(R) = v(R).

Teorema 2.3.3 Si M ⊂ Rn es medible, entonces existe una sucesión de abiertos Ak tal que siB :=

k Ak,

M ⊂ B y B \M tiene medida nula.

A las intersecciones numerables de abiertos se les llama conjuntos Gδ. Así el teorema diceque los conjuntos medibles son diferencias de un Gδ y un conjunto de medida nula.Demostración: Basta tomar los Ak tales que M ⊂ Ak y λ

∗n(Ak \ M) <

1k y observar que

B \M ⊂ Ak \M .

Proposición 2.3.4 Si M =

k Mk es una unión numerable de conjuntos medibles. entoncesM es medible y

λn(M) ≤

k

λn(Mk).

Demostración: Basta incluir cada Mk en un abierto Ak a distancia λ∗n(Ak \Mk) <

ε2k .

Lema 2.3.5 Si d(A, B) := ınfx− y∞ : x ∈ A, y ∈ B > 0, entonces

λ∗n(A

B) = λ

∗n(A) + λ

∗n(B).

Demostración:


Razonar como en 2.2.4 ( iii).


Proposición 2.3.6 Cada conjunto compacto K ⊂ Rn es medible, y lo mismo sucede con cadaconjunto cerrado F ⊂ Rn por ser unión numerable de compactos,

Demostración:


Fijado ε > 0, usando el ejercicio 2.4, existe A abierto, K ⊂ A y λn(A) ≤ λ∗n(K)+ε < +∞.

A \ K es un abierto, es unión numerable de cubos diádicos (disjuntos 2 a 2) A \ K =k [ak,bk).

Para uniones numerables de rectángulos n-dimensionales disjuntos sabemos que

λ∗n(A \K) =

k

λ∗n([ak,bk)).

Reduciendo los lados de los rectángulos [ak,bk) ⊃ [ak,bk], podemos hacerlos compactosvariando poco su volumen (menos que ε

2k ). Si K es compacto está a distancia positiva delos compactos

Nk=1 [ak,bk] y por el lema 2.3.5 anterior

λn(A) ≥ λ∗n(K

N

k=1

[ak,bk]

= λ

∗n(K) +

N

k=1

λ([ak,bk]).

Despejando en esta desigualdad se tiene

λ∗n(A \K) ≤ ε +

k

λ∗n([ak,bk]) ≤ ε + λn(A)− λ

∗n(K) < 2ε.

A las uniones numerables de conjuntos cerrados se les llama conjuntos Fσ, que por 2.3.4también son medibles.

Proposición 2.3.7 Si M ⊂ Rn es medible, Mc = Rn \M también es medible.

Demostración: Si M es medible, entonces por 2.3.3 existe una intersección numerable deabiertos (Gδ) B =

Ak tal que M = B \N con N de medida nula. Entonces M

c = N

Bc es

medible porque es unión de N que tiene medida nula (es medible) y Bc =

A

ck que es un Fσ

medible.

Corolario 2.3.8 Las siguientes afirmaciones acerca de M ⊂ Rn son equivalentes:

(i) M es medible.

(ii) Para cada ε > 0 existe un conjunto cerrado F (ε) ⊂ M tal que λ∗n(M \ F (ε)) < ε.

(iii) Existe un conjunto Fσ, C, tal que M = C

N con N un conjunto de medida nula.

Las proposiciones 2.3.4 y 2.3.7 aseguran que:

Teorema 2.3.9 La familia de los subconjuntos medibles de Rn es una σ-álgebra.


Corolario 2.3.10

(i) Los conjuntos de Borel son medibles.

(ii) La intersección numerable de conjuntos medibles es medible.

(iii) la diferencia de conjuntos medibles es medible.

2.3.2. La medida de Lebesgue

Para tener que la medida exterior de Lebesgue restringida a la σ-álgebra de los conjuntosmedibles es una medida, sólo necesitamos probar que:

Teorema 2.3.11 Si Mk es una sucesión de conjuntos medibles disjuntos dos a dos, entonces

λ(

k

Mk) =

k

λ(Mk).

Demostración: Como ya sabemos que λ(

k Mk) ≤

k λ(Mk), solo tenemos que probar ladesigualdad inversa.

Supongamos en primer lugar que los conjuntos Mk son acotados. Usando 2.3.8, fijado ε > 0,para cada cada k elegimos un compacto (cerrado y acotado) Fk ⊂ Mk tal que

λ(Fk) < λ(Mk) < λ(Fk) +ε

2k.

Los compactos Fk son disjuntos dos a dos, y están a distancia estrictamente positiva. Ahora,aplicamos 2.3.5 a las uniones finitas de estos compactos y tenemos que

m

k=1

λ(Mk) <

m

k=1

λ(Fk) + ε = λ(

k

Fk) + ε ≤ λ(

k

Mk) + ε.

Haciendo m →∞ se tiene la desigualdad buscada.Pasando ahora al caso general, podemos encontrar una sucesión de rectángulos semiabiertos

(acotados) disjuntos [aj,bj) tales que (

k Mk) ⊂

j [aj,bj) y Aplicando lo probado a la sucesióndoble de conjuntos medibles acotados y disjuntos dos a dos Mk

[aj,bj) se tiene

k

λ(Mk) =

k

j

λ(Mk

[aj,bj))

=

j

k

λ(Mk

[aj,bj))

=

j

λ

k

Mk

[aj,bj)

= λ

j

k

Mk

[aj,bj)

= λ

k

Mk

j

[aj,bj)

= λ

k

Mk

.

Una vez hemos probado que los conjuntos medibles Lebesgue forman una σ-álgebra, quedenotaremos M(λ), y que la medida exterior de Lebesgue en esta σ-álgebra es una medida,podemos comprobar que la noción de conjunto medible Lebesgue que hemos usado coincide conla de Caratheodory:


Teorema 2.3.12 (Caratheodory) Un conjunto E es medible Lebesgue si, y sólo si, E es λ∗n-

medible, e.d. para cada conjunto A

λ∗n(A) = λ

∗n(A

E) + λ

∗n(A

E

c).

Demostración:


(Para la condición necesaria) Si E es medible, dado A, de la subaditividad de la medidaexterior se tiene siempre que

λ∗n(A) ≤ λ

∗n(A

E) + λ

∗n(A

E

c).

Para la otra desigualdad, siempre podemos aproximar los cubrimientos de A con rectán-gulos semiabiertos por por cubrimientos de abiertos un poco más grandes y encontrar unGδ (medible) H, tal que A ⊂ H y

λ∗n(A) = λ(H) = λ(H

E) + λ(H

E

c) ≥ λ∗n(A

E) + λ

∗n(A

E

c),

ya que H y E son medibles.

(Para la condición suficiente) Si E es λ∗n-medible con medida exterior finita, usando la

definición de la medida exterior como antes, encontramos un Gδ (medible) H, tal queE ⊂ H y λ

∗n(E) = λ(H). Poniendo A = H en la identidad del enunciado queda

λ(H) = λ∗n(E) + λ

∗n(H

E

c) = λ∗n(E).

De aquí se sigue que H

Ec tiene medida nula y por lo tanto es medible y E = H\(H

E

c)también es medible.Si la medida exterior de E es infinita, se considera la sucesión Ek = E

[−k, k]n, cada uno

de estos conjuntos tiene medida exterior finita, se puede aproximar exteriormente por unGδ Hk con λ(Hk) = λ

∗n(Ek). Aplicando la igualdad del enunciado a cada Hk, se tiene

λ(Hk) = λ∗n(Hk

E) + λ

∗n(Hk

E

c) ≥ λ∗n(Ek).

De aqui se sigue que Hk

Ec tiene medida nula y que si H =

k Hk (medible), entonces

E ⊂ H y H

Ec =

k(Hk

E

c) tiene medida nula (medible). De aquí se sigue queE = H \ (H

E

c) es medible.

2.3.3. Invarianza por traslaciones. Transformaciones Lipschitzinas y Trans-formaciones Lineales.

Como la noción de volumen n-dimensional es invariante por traslaciones, e. d.

v(x0 + [a,b)) = v([x0 + a,x0 + b)) = v([a,b)),

la medida de Lebesgue también tiene esa propiedad:


Teorema 2.3.13 (Invarianza por traslaciones)

(i) Las σ-álgebras de los conjuntos de Borel B(Rn) y de los conjuntos medibles Lebesque M(λn)son invariantes por traslaciones, e.d. si E ∈ B(Rn) (resp. E ∈M(λn)) y x ∈ Rn, entoncesx + E := x + y : y ∈ E ∈ B(Rn) (resp. x + E ∈M(λ)).

(ii) La medida de Lebesgue es invariante por traslaciones, e.d. λn(E) = λn(x + E), para cadaE medible y cada x ∈ Rn.

(iii) Si µ es una medida definida en B(Rn) y µ es invariante por traslaciones (µ(E) = µ(x+E)para cada conjunto de Borel E), entonces µ(E) = cλn(E) para cada E, donde c = µ([0, 1)n)es la medida del cubo diádico unidad.

Demostración:


El trasladado de un rectángulo n-dimensional semiabierto, es un rectángulo n-dimensionalsemiabierto con el mismo volumen,

La familia de los trasladados de los conjuntos de una σ-álgebra es una σ-álgebra. Como eltrasladado de un abierto es un abierto, x + B(Rn) ⊂ B(Rn).

De ( i), se sigue que la medida exterior de Lebesgue es invariante por traslaciones, y tambiénque el trasladado de un conjunto medible es medible.

Si µ es invariante por traslaciones, µ y cλn coinciden en los cubos diádicos, y en conse-cuencia también en los abiertos. Cómo la familia de los conjuntos donde las dos medidascoinciden es una σ-álgebra y ésta contiene a los abiertos, las dos medidas coinciden entodos los boreliandos B(Rn).

Definición 2.3.14 (Trasformaciones Lipschitzianas) Una aplicación T : Rn → Rn se diceque es una transformación Lipschitziana si existe una constante c tal que

T (x)− T (y) ≤ cx− y

para cada par de vectores x, y ∈ Rn

Por ejemplo, todas las transformaciones lineales son Lipschitzianas. Todas las transformacio-nes diferenciables con derivadas parciales continuas son localmente Lipschitzianas, e.d. Lips-chitzianas al restringirlas a cualquier disco cerrado (compacto) de Rn.

Teorema 2.3.15 Toda aplicación Lipschitziana lleva conjuntos medibles a conjuntos medibles,e.d. T (E) es medible si E es medible.

Demostración:


Como T es continua, T lleva compactos a compactos.

Como los cerrados son uniones numerables de compactos, T lleva conjuntos Fσ a conjuntosFσ.


T lleva conjuntos de medida nula a conjuntos de medida nula, porque lleva intervalos [a,b)a conjuntos Fσ contenidos en conjuntos de diámetro menor que c.diam([a, c)) (donde c esla constante de Lipschitz).

Como cada conjunto medible es unión de un Fσ y un conjunto de medida nula, T llevaconjuntos medibles a conjuntos medibles.

Si T : Rn → Rn es una transformación lineal, T es Lipschitziana, y lleva conjuntos medibles aconjuntos medibles, además la función de conjunto µ(E) = λn(T (E)) es una medida invariantepor traslaciones (¿qué ocurre si T no es inyectiva?). De la invarianza por traslaciones de lamedida de Lebesgue resulta:

Teorema 2.3.16 (Transformaciones Lineales) Si T : Rn → Rn es lineal, entonces y E esmedible,

λn(T (E)) = cλn(E)

donde c = λn(T ([0, 1)n) = |determinante(T )|.

2.3.4. Un conjunto no medible

Ejemplo 2.3.17 Se considera en R la relación de equivalencia x ∼ y ⇐⇒ (x− y) ∈ Q. Puestocada clase de equivalencia es densa en R, haciendo uso del axioma de elección se puedeasegurar la existencia de un conjunto E ⊂ (0, 1) que tiene un único punto en cada clase.

Si rk es una sucesión de números racionales distintos dos a dos, contenidos en [−1, 1], entoncesrk + E forman una sucesión de conjuntos dos a dos disjuntos cuya unión está contenida en elintervalo [−1, 2] y que contiene al intervalo [0, 1]. Entonces

1 = λ([0, 1]) ≤

k

λ∗(rk + E) =

k

λ∗(E) = +∞,

por otro lado

k rk + E ⊂ [−1, 2] por lo que E /∈ M(λ) pues en otro caso tendríamos ladesigualdad imposible:

+∞ =

k

λ(rk + E) = λ(

k

rk + E) ≤ λ([−1, 2]) = 3

En 1924, Banach y Tarski utilizaron el axioma de elección para probar que es posible des-componer la bola euclídea x : x ≤ 1 de R3 en una cantidad finita de trozos A1, · · · , Am yencontrar conjuntos congruentes (mediante traslaciones y giros que conservan el volumen) conestos B1, · · · , Bm, cuya unión son dos bolas euclídeas disjuntas de radio 1. En consecuenciaalguno de los trozos Ai no es un conjunto medible. (Una primera referencia para este teoremala podéis encontrar en R.M. French, Mathematical Intelligencer 10,4, pag. 21-28, de 1988).

Solovay en 1970, probó que el papel del axioma de elección en la construcción de conjuntosno medibles es inevitable. En concreto, con la axiomática de Zermelo-Frankel para la teoría deconjuntos sin utilizar el axioma de elección no se pueden construir conjuntos no medibles. Así,cualquier conjunto de los que aparecen en la “práctica” es medible Lebesgue.

Una posibilidad para distinguir los conjuntos de Borel de los medibles Lebesgue consiste encalcular el cardinal de las dos σ-álgebras, observando que con una inducción “trasfinita” (que


lleva implicita el axioma de elección) se puede probar que card(B(Rn)) = card(R), mientrasque la existencia de conjuntos de medida nula con el cardinal de R como el conjunto de Cantorpermite afirmar que card(M(λ)) ≥ card(P(R)) > card(R), puesto que cualquier subconjuntode un conjunto de medida nula también tiene medida nula. De esta forma tenemos que existen“muchos más” conjuntos medibles Lebesgue que conjuntos de Borel en Rn.

2.4. Ejercicios

Ejercicio 2.5 Pruébese que si Σ es una σ-álgebra infinita de generación numerable entoncesc := card(R) ≤ card(Σ) (se puede probar que card(Σ) = c). Por tanto el cardinal de cualquierσ-álgebra infinita no es numerable.

Ejercicio 2.6 Pruébese que si la σ-álgebra Σ de partes de Ω está generada por E entoncesM ∩ E : E ∈ Σ es una σ-álgebra de partes de M ⊂ Ω generada por M ∩ E : E ∈ E.

Sea T un espacio topológico y M ⊂ T con la topología inducida. Pruébese que B(M) =M ∩B : B ∈ B(T ) y que si M ∈ B(T ) entonces B(M) = B ∈ B(T ) : B ⊂ M.

Ejercicio 2.7 Si µ es una medida en la σ-álgebra Σ y E,F ∈ Σ, pruébese que

µ(E) + µ(F ) = µ(E

F ) + µ(E

F ).

Ejercicio 2.8 (Borel-Cantelli) Sea (Ω,Σ, µ) un espacio de medida y An ∈ Σ una sucesión talque

∞n=1 µ(An) < +∞. Pruébese que el conjunto H ⊂ Ω formado por los puntos ω ∈ Ω tales

que ω ∈ An para infinitos valores de n pertenece a Σ y µ(H) = 0.Nota: Si (Ω,Σ, µ) un espacio de medida de probabilidad y An ∈ Σ son conjuntos “indepen-

dientes" tales que∞

n=1 µ(An) = +∞, se puede probar que µ(H) = 1. (lo veréis en la asignaturade probabilidad de 3o

Ejercicio 2.9 Sean A ⊂ P(Ω) un álgebra, y Σ = σ(A) la σ-álgebra generada. Pruébese quepara cada medida finita µ definida en Σ, para cada conjunto E ∈ Σ, y cada ε > 0, se puedeencontrar un conjunto A ∈ A tal que

µ(E A) < ε.

Ejercicio 2.10 Prueba que si A ⊂ Rn tiene interior no vacio, entonces λ∗n(A) > 0.

Ejercicio 2.11 Prueba que el conjunto de los números de [0, 1] en cuya representación decimalno aparece el número 5, es medible, y calcula su medida.

Ejercicio 2.12 Los triángulos de Sierpinski se definen como

k Tk, donde T0 es un triánguloequilátero cerrado. T1 es la unión de los 3 triángulos equiláteros cerrados que quedan hacertransformación siguiente: se dividide el triángulo T0 uniendo los puntos medios de sus ladosy se suprime el triángulo central. T2 es la unión de los 32 triángulos que quedan al hacer latransformación anterior en cada uno de los triángulos de T1. De forma inductiva, Tk+1 es launión de los 3k+1 triángulos que quedan al hacer la transformación de antes en cada uno de los3k triángulos que forman Tk. Calcula las áreas de los conjuntos Tk en función de la del triánguloT0 y prueba que el triángulo de Sierpinski tiene área cero.


Ejercicio 2.13 Probar que si E ⊂ Rn es un conjunto de Borel (resp. un conjunto medibleLebesgue) y r > 0 es un número positivo entonces el conjunto rE = rx : x ∈ E también es deBorel (resp. medible Lebesgue) y λ(rE) = r

nλ(E).

Ejercicio 2.14 Si A ⊂ Rn es medible Lebesgue y λ(A) > 0 entonces A−A := x−y : x, y ∈ Aes un entorno de 0.Indicación: Por la regularidad de λ se puede suponer que A es compacto y su medida se puedeaproximar tanto como se quiera por la de un abierto que lo contiene. Por otra parte, observarque si x /∈ K −K entonces K ∩ (x + K) = ∅ y λ(K ∪ (x + K)) = 2λ(K).

Ejercicio 2.15 Pruébese que si S ⊂ R es acotado y λ∗(S) > 0 entonces la función f(x) =

λ∗(S ∩ (−x, x)) es contínua. Dedúzcase de ello que cada b ∈ R es el punto medio de un intervalo

abierto I tal que λ∗(S ∩ I) = λ

∗(S ∩ Ic) = 1

2λ∗(S).

Ejercicio 2.16 (Medida y dimensión de Hausdorff*) Sea (X, d) un espacio métrico:

(i) Una medida exterior µ∗ en P(X) se dice que es una medida exterior métrica cuando

µ∗(A ∪B) = µ

∗(A) + µ∗(B) donde d(A, B) = ınfd(x, y) : x ∈ A, y ∈ B > 0.

a) Probar que si G ⊂ X es abierto , A ⊂ G y Ak = x ∈ A : d(x,Gc) ≥ 1

k, entonces

µ∗(A) = lım

k→+∞µ∗(Ak)

b) Deducir de lo anterior que los subconjuntos cerrados de X son µ∗-medibles, y en

consecuencia, lo mismo sucede para todos los conjuntos de Borel de X.

(ii) Para cada α > 0 y cada subconjunto A ⊂ X se define

H∗α(A) = sup

ε>0ınf

+∞

k=1

(δ(Ak))α : A =+∞

k=1

Ak, δ(Ak) < ε

donde δ(Ak) = supd(x, y) : x, y ∈ Ak representa al diámetro de Ak.

a) Probar que H∗α es una medida exterior métrica (llamada medida exterior de Hausdorff

de dimensión α).

b) Probar también que

1) si H∗α < +∞, entonces H

∗β(A) = 0 para β > α;

2) y si H∗α > 0, entonces H

∗β(A) = +∞ para β < α.

(Al numero α = supβ : H∗β(A) = +∞ se le llama dimensión de Hausdorff de A)

¿ Qué puede decir acerca de las medidas de Hausdorff en Rn?

(La construcción de estas medidas puede verse en el libro de Wheeden-Zigmund, entre otros).


2.5. Actividades complementarias del capítulo

Lecturas complementarias:

Medida de conjuntos:

Capítulo 1 de [3];

Ejercicios en [2];

Capítulo 2 de [5];

Capítulo 2 de [6];

“Chapter” 3 de [7].

BibliografíaBibliografía

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