funciones. 63 ejercicios para practicar con soluciones

8/16/2019 Funciones. 63 Ejercicios Para Practicar Con Soluciones

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Funciones. 63 Ejercicios para practicar con soluciones

1 Dadas las siguientes funciones y gráficas, asocia cada función con su gráfica:

a) f(x) = 2x b) g(x) = -2x c) h(x) = 2x1 y

x

2 y

x

3 y

x

Solución:a) La 3; b) La 2; c) La 1

2 De las siguientes funciones decir cuál de ellas son funciones, y en ese caso indi ca el dominio y elrecorrido.

a) b) c)

Solución: Aplicando el test de la línea vertical se observa que en a) y en c) se puede cortar la gráfica en más de un punto.Sólo es una función la correspondiente apartado b).

Dominio (-∞,0)Recorrido (-∞,0)

1


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3 Dadas las siguientes funciones y gráficas, asocia cada función con su gráfica:

a) f(x) = x b) g(x) = - x c) h(x) = x2

1 y

x

2 y

x

3 y

x

Solución:a) La 3; b) La 2; c) La 1

4 Indica el dominio y el recorrido de las siguientes funciones:

a) 1x

1f(x) −= b) 2xf(x) += c) f(x) = -x + 1

Solución:a) Dom(f) = R - {0}; Rec(f) = R - {1}

b) Dom(f) = R +; Rec(f) = [2, 4)c) Dom(f) = Rec(f) = R


a) 4xf(x) −= b) 1

3x

2f(x) −

+= c) f(x) = x2 +4

Solución:

a) Dom(f) = [-4, 4); Rec(f) = (0, 4)b) Dom(f) = R - {3}; Rec(f) = R - {-1}

c) Dom(f) = R ; Rec(f) = [4, 4)

6 De las siguientes funciones decir cuál de ellas son funciones, y en ese caso indi ca el dominio y elrecorrido.

a) b) c)

2


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Solución: Aplicando el test de la línea vertical se observa que en a) y en c) se puede cortar la gráfica en dos puntos. Sólo esuna función la correspondiente apartado b).

Dominio (0,∞)Recorrido (-∞,0)


a) y = 14x + 2 b)1x

1y

−= c) x2y +=

Solución:a) Dom(f) = Rec(f) = R

b) Dom(f) = R - {1}; Rec(f) = R - {0}

c) Dom(f) = [- 2, 4); Rec(f) = [0, 4)

8 Representa las siguientes funciones e indica su dominio y recorrido:

a)

( )[ ]⎪⎩

⎪

⎨

⎧

∈

∞−∈

= 0,2xsi 2x,

,0x si,x

f(x)

2

b)

[ ]

( )⎩⎨⎧

∈

∈

= 1,2xsi 2,

2,1-xsi 3,

g(x)

Solución:a)

y

x …

b)y

x …

a) Dom(f) = ( ],2- ∞ , Rec(f) = [ )+∞0,b) Dom(g) = [ )2,2− , Rec(g) = {2,3}

9 A part ir de la gráfica dada, escribe la función que la representa y di su dominio y su recorrido. (Cadacuadrado de la gráfica representa una unidad) y

x

3


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4


a) [ )[ ]⎩

⎨⎧

∈∈=

0,2xsi x,

4,-1-x si2x,f(x) b) [ ]

( )⎩⎨⎧

∞∈∈=

1,xsi 3,

1,1-xsi ,xg(x)

Solución:a)

y

x …

b)y

x …

a) Dom(f) = [ ) [ ]0,24,-1- ∪ , Rec(f) = [ ) [ ]0,228, ∪−−b) Dom(g) = [ )+∞1,- , Rec(g) = [ ] {3}0,1 ∪

11 La siguiente tabla indica la variación del consumo de helados por día en función de la temperatura. Escribela función que representa el número de helados en función de T y dibújala.

Solución:La recta que representa la función se puede calcular a partir de cualquier pareja de puntos es:

Nºh (T) = 8T3

1−

Nº h

T

3 6 9 ……………… ….27 30 …

12 Dada la función: 112xf(x) ++= indica su dominio, su recorrido y dibújala.

Solución:La gráfica pertenece a la recta: y = -x + 2Dom(f) = [-2,4)Rec(f) = (0,3]

33º 36º

Nº helados 1 2 3 4

Temperatura 27º 30º


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5

13 Dada la función: 12xf(x) += indica su dominio, su recorrido y dibújala.

Solución:

Dom(f) =[-2

1,4)

Rec(f) = [0, 4)

Tomando algunos valores:

14 Escribe la func ión que representa la siguiente tabla y d ibújala.

Solución:

Dom(f) = [-2

1,4)

Rec(f) = [1,4)


x -1/2 0 1,5 2 3

f(x) 0 1 2 2,2 2,6

f(x) 1 2 3 3,2

x 1 -1 2 -2 3 -3

y 1 -1 1/2 -1/2 1/3 -1/3

3,6

x -1/2 0 1,5 2 3


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6

15 Escribe la func ión que representa la siguiente tabla y d ibújala:

Solución:La función es la recta: y =2x +1 y

x

16Dada la función:

63x

1f(x)

+= indica su dominio y su recorrido y dibújala.

Solución:

La función es:x

1y =

y

x

-2 -1 0 1 2

f(x) -3 -1 1 3 5

x


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7

17 A part ir de la gráfica dada, escribe la función que la representa y di su dominio y su recorrido. (Cadacuadrado de la gráfica representa media unidad) y

x

Solución:

La gráfica pertenece a la recta: 1x2

1y +−=

Dom(f) = [-1,2)

Rec(f) = ⎥⎦

⎤⎜⎝

⎛

2

30,

18Dada la función:

93x

2f(x)

+= indica su dominio, su recorrido y dibújala.

Solución:Dom(f) = R - {-2}

Rec(f) = R - {0}


f(x) -1/6 -1/3 1/3 1/6 1/9

x -4 -3 -1 0 1


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8


a)[ )[ ]⎩

⎨⎧

∈

∈=

0,2xsi2,

3,0-x six,f(x) b)

[ ]( ]⎩

⎨⎧

∈

∈−=

1,2xsi x,

2,1-xsi x,g(x)

Solución:

a) y

x …

b) y

x …

a) Dom(f) = [ ]3,2− , Rec(f) = [ ) {2}3,0 ∪−

b) Dom(g) = [ ]2,2− , Rec(g) = [ ]1,2−

20Dada la función

12x

1f(x)

+= indica su dominio y su recorrido y dibújala.

Solución:Dom(f) = R - {-3}

Rec(f) = R - {0}


f(x) -1/3 -2/3 2/3 1/3 2/9

x -5 -4 -2 -1 0


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9

21Calcula f + g y f - g indicando su dominio si

x

1f(x) = y

2x

x1g(x)

+

−= .

Solución:

2)x(x

2x2xg)(x)(f

2

+

++−=+ . Dom(f+g) = { }2,0−−R .

2)x(x

2xg)(x)(f

2

+

+=− . Dom(f+g) = { }2,0−−R .

22Dadas 1-3xf(x) = y

x

1g(x) = , calcula gf o indicando su dominio.

Solución:

1x

3g)(x)(f −=o . Dom( gf o ) = { }0−R .

23

Sumar las funciones 1x

1

f(x) −= y 2x

1x

g(x) −

+

= y calcula su dominio.

Solución:

x2x

2x4g)(x)(f

2

2

−

−=+ . Dom(f+g) = {0,2}−R .

Solución:

Dom(f) = R - {-2

1}

Rec(f) = R - {0}

Tomando algunos valores:0 1 2

f(x) -1/3 -1 1 1/3 1/5

x -2 -1


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24Multiplicar las funciones

1x

1xf(x)

−

+= y

1x

1xg(x)

2

2

+

−= y calcula su dominio.

Solución:

1xxx

1xxx(f·g)(x)

23

23

−+−

−−+= . Dom(f·g) = {1}−R .

25Dadas 2xf(x) += y

x

1g(x) = , calcula f + g indicando su dominio.

Solución:

x

1x2xg)(x)(f

2 ++=+ . Dom(f+g) = { }0−R .

26Dadas

x

11f(x) −= y

1-x

3-xg(x) = , calcula f · g indicando su dominio.

Solución:

1)x(x

3x4x(f·g)(x)

2

−

+−= . Dom(f·g) = { }0,1−R .

27 Calcula f + g indicando su dominio:

a) 4xg(x) 3,x2xxf(x) 223 −=+−+=

b)2x

1g(x) ,

12x

3xf(x)

−

−=

+=

Solución:a) 4x3xx2xg)(x)(f 223 −++−+=+ . Dom(f+g) = ( ] [ )+∞∪−∞− 2,2, .

b)2)1)(xx(2

1x8x3g)(x)(f

2

−+

−−=+ . Dom(f+g) =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−− ,2

2

1R .

28Divide las funciones x2f(x) −= y

x

1g(x) = y calcula su dominio.

Solución:

x2x(x)g

f −=

⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

. Dom(f/g) = ( ],2∞−

.

29Comprobar si 2xf(x) = y

2

xg(x) = son funciones recíprocas entre sí.

Solución:

Como x2

x2g)(x)(f ==o es la función identidad, entonces sí son recíprocas.

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30 Dados 1xf(x) 2 −= , 12xg(x) += , realiza gf o y f g o y calcula el dominio en cada caso.

Solución:

x211x2g)(x)(f =−+=o . Dom( gf o ) = R .

1x2x211)2(xf)(x)(g 22 +−=+−=o . Dom( f go ) = R .

31 Calcula f · g e indica su dominio, para:

a)1x

xxg(x) ,

2x

1xf(x)

2

+

−=

+=

b)6-2x

2xg(x) 6,-x-xf(x) 2 −

==

Solución:

a)( )

( )1xx21xxx

(f·g)(x)2

+

+−= . Dom(f·g) = { }1,0−−R .

b)6x2

36x6x8x2(f·g)(x)23

−+−−= . Dom(f·g) = { }3−R .

32Calcula, si existe, la función recíproca de

x1

12xf(x)

−

−= .

Solución:

2x

1x(x)f 1

+

+=−

33 Calcula g)(x)(f o y su dominio si xf(x) = y 12xg(x) −= .

Solución:

1x2g)(x)(f −=o . Dom( gf o ) = ⎟ ⎠

⎞⎢⎣

⎡+∞,

2

1.

34Simplificando la función

2x

4xg(x)

2

−

−= obtenemos la función 2xf(x) += . ¿Eso significa que las func iones

f(x) y g(x) son iguales? Razona tu respuesta.

Solución:Las funciones racionales, al simplificarlas no queda la misma función, porque podemos eliminar algunadiscontinuidad. Por ejemplo, en este caso , f y g son iguales en todos los puntos excepto para x = -2, donde f escontinua y g es discontinua.

35 Calcula la func ión recíproca de 32xf(x) −= .

Solución:

2

3x(x)f 1

+=−

11


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36Calcula f + g, f - g y f / g, indicando sus dominios, si

3xx

x3f(x)

2 −

+= y

34xx

53xg(x)

2 +−

−= .

Solución:

3)1)(xx(x

3x3x4g)(x)(f

2

−−

−−=+ . Dom(f·g) = { }0,1,3−R .

3)1)(xx(x

3x7x2g)(x)(f

2

−−

−+−=− . Dom(f·g) = { }0,1,3−R .

5)x3)(3x(x

3)x4x)(x(3(x)

g

f 2

−−

+−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ . Dom(f·g) =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

− ,33

50,R .

37 Calcula g)(x)(f o y su dominio si 2xf(x) += y ( )21xg(x) −= .

Solución:

( ) 3x2x21xg)(x)(f 22 +−=+−=o . Dom( gf o ) = R .

38 Dadas 32xf(x) += y 2xg(x) = , hallar ggg f,g g,f f,f ooooo .

Solución:

9x433)x2(2f)(x)(f +=++=o .

3x2g)(x)(f 2 +=o .

( )23x2f)(x)(g +=o .

( ) 82

22 xxg)(x)g(g =⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ =oo .

39Calcula la función recíproca de

x

2x1f(x)

+= .

Solución:

2x

1(x)f 1

−=−

40Dados 1xf(x) += ,

63x

x2g(x)

−

−= , realiza f - g, f · g y f / g y calcula el dominio en cada caso.

Solución:

6x3

8x2x3g)(x)(f

2

−

−−=− . Dom(f -g) = { }2−R .

6x3

2xx(f·g)(x)

2

−

++−= . Dom(f·g) = { }2−R .

x2

6x3x3(x)

g

f 2

−

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ . Dom(f/g) = { }2−R .

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41 Calcula los pun tos de corte con los ejes de las siguientes func iones:a) y = 2x + 1; b) y = x2 - 4; c) y = -x + 8

Solución:a) (0,1) y (-1/2,0) b) (-2,0); (2,0) y (0,-4) c) (0,8) y (8,0)

42 Representa e indica si son simétricas y el tipo de simetría de las siguientes funciones:a) y = - x2 b) y = 2x

Solución:a) b)

a) y = -x2. La función es simétrica respecto al eje OY

b) y = x2 La funcion es simétrica respecto al eje OY

43 Ponemos en marcha un cronómetro en el mismo instante que empieza una carrera. Los 3 primerossegundos la velocidad de los corredores aumenta a razón de 1 m/s cada segundo. Los siguientes 7segundos se mantiene constante la velocidad en el valor máximo alcanzado en el primer intervalo. En losúltimos 6 segundos, la velocidad decrece hasta que se paran. De las siguientes func iones indica cuál la

velocidad de los atletas en función del tiempo. (Las divisiones son de una unidad)a) b) c) v

t

v

t

v

t

Solución:La gráfica b) se corresponde con los datos del enunciado.

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44 Estudia la siguiente gráfica, indicando: dominio, recorrido, puntos de corte con los ejes, simetría,periodicidad crecimiento, continuidad, máximos y mínimos.

Solución:Dominio: todos los reales

Recorrido: (0,∞)Corte eje OY: (0,1) eje OX: (-1,0)Simetría: Respecto a la recta x = -1

Periodicidad: No es periódicaCreciente: x > -1 Decreciente: x < -1Continuidad: la función es continua siempre.Máximos: No tiene Mínimos: (-1,0)

45 Calcula los pun tos de corte con los ejes de las siguientes func iones:a) y = x - 3; b) y = x2 - 16; c) y = 2x + 4

Solución:a) (0,-3) y (3,0) b) (-4,0); (4,0) y (0,-16) c) (0,4) y ( -2,0)


Solución:Dominio: R - {0}

Recorrido: R - {0}

Corte eje OY: No tiene eje OX: No tieneSimetría: Respecto del origenPeriodicidad: NO tieneCreciente: Nunca Decreciente: SiempreContinuidad: la función no es continua en x = 0.Máximos: No tiene Mínimos: No tiene

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Solución:Dominio: Todos los realesRecorrido: [-4, 4]Corte eje OY: (0,0) eje OX: (-8,0); (-4,0); (0,0); (0,4); (0,8)…Simetría: Respecto del origen

Periodicidad: Es periódica de T = 8Creciente: -9


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Solución:a) b) c)

a) y = x2

Decreciente: (-∞,0)Creciente: (0, ∞)b) y = 2x -3Esta recta es siempre creciente.c) y = -x + 1

Esta recta es siempre decreciente

50 Representa las s iguientes funciones a trozos:

a)⎪⎩

⎪⎨

⎧

∞


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51 La gráfica que se da a continuación indica la evolución de un valor de la bolsa (en el eje vertical en miles deeuros por acción) durante una jornada. Estudia su dominio, recorrido, puntos de cor te, simetría,periodicidad, crecimiento, continuidad, máximos y mínimos.

€/acc

t10 11 12 13 14 15 16

Solución:Dominio: [10,16 )Recorrido: [-2000, 6000)Corte eje OY: No aparece en la gráfica (y = 0) por tanto no se puede decir el punto de corte. eje OX: 12:45 y

14:15Simetría: No es simétricaPeriodicidad: No es periódicaCreciente: Intervalos 10:00h a 10:30h; 11:00h a 11:30h; 14:00h a 14:30hDecreciente: Intervalos 11:30h a 12:00h; 12:30h a 13:00h; 14:30h a 16:00hContinuidad: La función es continua en todo su dominioMáximos: (11:30h , 6000), (14:30h , 4000)Mínimos: (13:00h ,-2000)

52 Calcula los pun tos de corte con los ejes de las siguientes func iones:

a) y = x2 - 5x + 6 b)

4x

209xxy

2

−

+−= c) y = x2 - x + 6

Solución:a) (2,0); (3,0) y (0,6) b) (5,0) y (0, -5) c) (-3,0); (2,0) y (0,6)

53 Dibuja una gráfica con las s iguientes características:

Dom (- , ); Rec[1,4]; Ptos de corte (0,2);Periódica de T = 4Máximos donde quieras con la condición de que entre ellos exista la misma relación que marca el periodo.Mínimos los que se quieran sin condiciones.Sin discontinu idades y no simétrica.

17


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Solución: y

x

Esta o cualquier otra que cumpla las condiciones del enunciado.

54 Dibuja las gráficas de tres funciones que corten a los ejes en los siguientes puntos:a) (-7,0); ( -5,0); (-3,0); (-1,0); (1,0); (3,0)b) (-2,0); (0,0) y (2,0)c) (0,2) y (0,4)

Solución:a) b)

c) No es una función ya que al valor 0 de las x se le asignan dos valores de y.

55 La gráfica que se da a continuación representa el volumen de combustib le en el depósito de unagasolinera al cabo de un día. Estudia su dominio, recorrido , puntos de corte, simetría, periodicidad,crecimiento, continuidad, máximos y mínimos.

miles de litros

hora

7 13 19

18


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Solución:Dominio: [7,19 )Recorrido: [500, 6000)Corte eje OY: No aparece en la gráfica (y = 0) por tanto no se puede decir el punto de corte. eje OX: ningunoSimetría: No es simétricaPeriodicidad: Es periódica en el intervalo que está definidaCreciente: Nunca

Decreciente: SiempreContinuidad: La función no es continua en la hora 13.Máximos: (7,6000), (13,6000)Mínimos: (13,500); (19,500)

56 Dibuja una gráfica con las s iguientes características:

Dom [-5,7] ; Rec(- ,4]; Ptos de cor te (-3,0), (1,0) y (0,2); Discont inuidad en x = 4; Máximo en (6,4);sin mínimos, no periódica y no simétrica.

Solución: y

x


57 Estudia las zonas de crecimiento y de decrecimiento de las s iguientes funciones:

a) y = x3 b) y = x5 c)2x

1y =

Solución:a) b) c)

a) Siempre crecienteb) Siempre creciente

c) Creciente: (-∞,0)decreciente: (0, ∞)

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Solución:Dominio: R - {0}

Recorrido: R - {1}

Corte eje OY: No tiene eje OX: (-1,0)Simetría: Es simétrica respecto al punto (0,1)

Periodicidad: No es periódicaCreciente: Nunca Decreciente: SiempreContinuidad: la función no es continua en x = 0.Máximos: No tiene Mínimos: No tiene

59 Representa las siguientes funciones:

a)( )

[ ]⎪⎩

⎪⎨⎧

∈

∞−∈=

0,2xsi 2x,

,0x si,xf(x)

2

b)[ ]( ]⎩

⎨⎧

∈

∈−=

1,2xsi x,

2,1-xsi x,g(x)

Solución:a)

y

x …

b)y

x …

20


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Solución:Dominio: Todos los reales.Recorrido: [-1,3]Corte eje OY: (0,3) eje OX: (-8,0); (-6,0); (-4,0); (-2,0); -1,0); y los puntos simétricos de las x positivas.Simetría: La función es simétrica respecto al eje OY

Periodicidad: La función no es periódicaCreciente: (-5,-3); (-1,0); (1,3); (5,7) …. Decreciente: (-7,-5); (-3,-1); (0,1); (3,5)…Continuidad: la función es continua siempre.Máximos: Absoluto (0,3); relativos (3,1); (-3,1); (5,1); (-5,1)… Mínimos: (1,-1); (-1,-1); (5,-1); (-5,-1)…


Solución:Dominio: R - {…,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8…}; R - {2n}

Recorrido: (-2,2)Corte eje OY: No tiene eje OX x ={-7,-5,-3,-1,1,3,5,7….}Simetría: Es simétrica respecto del origen

Periodicidad: Es periódica con T = 2Creciente: Nunca Decreciente: En tos los trozos de la funciónContinuidad: la función no es continua en: x = {…,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8…}Máximos: los valores máximos son los del principio del intervalo y los mínimos los del final.

62 Dibuja una gráfica con las s iguientes características:Dom [-7,7); Rec[-2,3]; Ptos de corte (0,1), (-2,0) y (3,0); Discontinuidad en x = 4; Un máximo en (5,3);Mínimo en (-3,-2); no periód ica y no s imétrica.

21


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Solución: y

x


63 La gráfica que se da a continuación indica la velocidad de un “yoyo” en su movimiento de subida y bajada.Estudia su dominio, recorrido, puntos de corte, simetría, periodicidad, crecimiento, continu idad, máximos ymínimos. v

t

Solución:

Dominio: (-∞,∞ )Recorrido: [0, 4)Corte eje OY: (0,0) eje OX: (0,0); (4,0); (-4,0); (8,0); (-8,0)…Simetría: No presenta simetríaPeriodicidad: Es periódica con T = 4Creciente: En los intervalos (-8,-6); (-4,-2); (0,2); ( 4,6)…Decreciente: En los intervalos (-6,-4); (-2,0); (2,4); (6,8)…Continuidad: la función es continua.Máximos: (-6,4), (-2,4); (2,4); (6,4)…Mínimos: Todos los puntos en que corta al eje OX

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