funciones

INECUACIONES

TEMA: RELACIONES

Introduccin:

Ya Descartes nos daba, en sus trabajos, una idea de lo que era una funcin; pero fue Leibnitz quien introdujo este trmino en matemticas, para designar cierto tipo de frmulas; y posteriormente Euler nos brindara la notacin y = f(x). Actualmente existe un concepto mucho ms general en el que se incluye a la funcin: la correspondencia.

Previamente veamos algunos conceptos:

PAR ORDENADO

Un par ordenado est formado por dos elementos a y b y se representara as: (a ; b)

Donde a se llama primera componente y b segunda componente.

Segn la definicin estricta, un par ordenado se define as:

(a ; b) = {{a} ; {a ; b}}

Propiedades

1) (a ; b) ( (b ; a)

2) (a ; b) = (c ; d) ( a = c ( b = d

Ejemplos:

El par ordenado (1 ; 2) no es igual al par (2 ; 1)

(3 ; b) = (a ; 8) ( 3 = a ( b = 8

PRODUCTO CARTESIANO

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. El producto cartesiano de A y B, denotado por A x B, se define como el conjunto de pares ordenados (a ; b), donde a ( A y b ( B; as:

A x B = {(a ; b) / a ( A ( b ( B}

Ejemplo:

Dados los conjuntos: A = {0 ; 1 ; 2} y B = {m ; n}, entonces:

* A x B = {(x ; y) / x ( A ( y ( B}

(A x B = {(0 ; m) , (0 ; n) , (1 ; m) , (1 ; n) , (2 ; m) , (2 ; n)}

B x A = {(m ; 0) , (n ; 0) , (m ; 1) , (n ; 1) , (m ; 2) , (n ; 2)}

Podemos observar que el conjunto A x B es diferente al conjunto B x A, es decir:

A x B ( B x A, el producto cartesiano no es CONMUTATIVO

ENUNCIADO FORMAL

Sean dos conjuntos vacos A y B; un enunciado formal, dentro del producto A x B se define como aquella expresin que enlaza un elemento x ( A con un elemento y ( B, denotado por:

P(x ; y)Tal que reemplazar las variables x e y por los valores asignados a y b respectivamente, P(a ; b) resulta un enunciado ya sea verdadero o falso, para todo por (a ; b) ( A x B.

Ejemplo:

Sean los conjuntos:A = {4 ; 5 ; 6 ; 7}

B = {cuadrado, pentgono, hexgono}

Se define el enunciado formal dentro de A x B:

P(x ; y) : x es el nmero de vrtices de y

Entonces:

* P(4 ; cuadrado) : 4 es el nmero de vrtices del cuadrado, es verdadero

* P(6; pentgono) : 6 es el nmero de vrtices del pentgono, es falso.

CORRESPONDENCIA

Definicin.-Dados dos conjuntos no vacos A y B, se define una CORRESPONDENCIA ( de A hacia B as:

( = {(x ; y) ( A x B / P(x ; y)}

Donde P(x ; y) es el enunciado formal, llamado tambin REGLA DE CORRESPONDENCIA, que enlaza a los componentes x e y.

Ejemplo:

Consideremos los conjuntos: A = {x/x es una ciudad} y B = {y/y es un pas}. Sobre A x B se define la correspondencia:

( = {(x ; y) ( A x B / x se encuentra en y}

De la cual podemos afirmar que:

Lima ( Per (Lima ; Per) ( (

Asuncin ( Bolivia (Asuncin ; Bolivia) ( (

Nueva Delhi ( India (Nueva Delhi ; India) ( (DOMINIO Y RANGO DE CORRESPONDENCIA

Sea una correspondencia ( definida sobre A x B; el DOMINIO de (, que se denota por Dom((), es el conjunto formado por las primeras componentes de sus pares ordenados, as:

Dom(() = {x ( A / (x ; y) ( (}

Y el RANGO de (, denotado por Ran((), formado por las segundas componentes de sus pares ordenados, es decir:

Ran(() = {y ( B / (x ; y) ( (}

Entonces, podemos deducir lo siguiente:

Dom(() ( A ( Ran(() ( B

REPRESENTACIN GRFICA DE UNA CORRESPONDENCIA

Diagrama Sagital o de Venn Euler

En este diagrama se utilizan flechas que salen del conjunto de partida hacia el conjunto de llegada.

Ejemplo:

Sean: A = {x ; y ; z ; w} y B = {5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9}

Definimos:( : A ( B as:

( = {(x ; 5) , (x ; 9) , (y ; 6) , (y ; 7) , (w ; 7) , (w ; 9)}

Entonces, su representacin mediante el diagrama sagital ser:

Donde: Dom(() = {x ; y ; w} y

Ran(() = {5 ; 6 ; 7 ; 9}

En el grfico podemos comprobar que:

Dom(() ( A y Ran(() ( B

Diagrama Cartesiano

Veamos este tipo de diagrama mediante un ejemplo:

Ejemplo:

Dados los conjuntos: A = {Liz ; Jos ; Hans ; Jhon} ;

B = {300 ; 350 ; 400 ; 450 ; 500}

Se define la correspondencia: ( : A ( B, as:

( = {(Liz ; 350) , (Jos ; 450) , (Hans ; 400)}

Cuya grfica cartesiana ser:

De donde:

Dom(() = {Liz ; Jos ; Hans} y

Ran(() = {350 ; 450 ; 500}

RELACIONES

Hasta el momento hemos visto correspondencias de la forma ( : A ( B; pero tambin podramos establecer una correspondencia de la forma: R : A ( A, donde el conjunto de partida y de llegada es el mismo. En este caso, la correspondencia recibe el nombre de RELACIN.

Definicin.- Dado conjunto A no vaco, una RELACIN R es aquella correspondencia definida como:

R : A ( A, tal que:

R = {(x ; y) ( A x A / P(x ; y)}

Donde: P(x ; y) es la REGLA DE CORRESPONDENCIA de la relacin.

Ejemplo:

Sea el conjunto A = {2 ; 3 ; 4 ; 5}, con el cual:

A2 = A x A ={(2 ; 2) , (2 ; 3) , (2 ; 4) , (2 ; 5) , (3 ; 2) , (3 ; 3) , (3 ; 4) , (3 ; 5), (4 ; 2) , (4 ; 3) , (4 ; 4) , (4 ; 5) , (5 ; 2) , (5 ; 3) , (5 ; 4) , (5 ; 5)}

Son las relaciones definidas en A las siguientes:

R1 = {(2 ; 2) , (2 ; 3) , (3 ; 2) , (3 ; 3) , (4 ; 2) , (4 ; 3) , (5 ; 2) , (5 ; 3)}

R2 = {(2 ; 3) , (2 ; 4) , (2 ; 5) , (3 ; 4) ; (3 ; 5) , (4 ; 5)}

R3 = {(x ; y) ( A2 / y = x + 1}

Para R3, de su regla de correspondencia: P(x ; y) : y = x + 1. Luego del conjunto A2, vemos los pares ordenados que cumplen con esta regla de correspondencia. Dichos pares son:

(2 ; 3) , (3 ; 4) , (4 ; 5)

Por lo tanto, tambin podemos expresar la relacin R3 de la siguiente forma:

R3 = {(2 ; 3) , (3 ; 4) , (4 ; 5)}

DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIN

Dada la relacin: R : A ( A, el dominio de R (Dom(R)) se define como el conjunto de las primeras componente de los pares ordenados que conforman la relacin ; y el rango de R (Ran(R)) como el conjunto de las segundas componentes; es decir:

Dom(R) = {x ( A / (x ; y) ( R}

Ran(R) = {y ( A / (x ; y) ( R}

Tambin:

Dom(R) ( A ( Ran(R) ( A

Ejemplo:

Hallar el dominio y rango de las siguientes relaciones:

R1 = {(2 ; 2) , (2 ; 3) , (2 ; 4) , (2 ; 5) , (3 ; 2) , (3 ; 3)}

= {2 ; 3},

= {2 ; 3 ; 4 ; 5}

R2 = {(0; 1 , (0; 2 , (0; 3 , (1; 2) , (2 ; 3)}

= {0 ; 1 ; 2},

= {1 ; 2 ; 3}

RELACIONES DE R EN R

En el lgebra, las relaciones de mayor importancia son las que se definen en el conjunto de los nmeros reales (R), es decir; aquellas relaciones de la forma:

R : R ( R R ( R x R

Ejemplos:

Encontrar el dominio y rango de la relacin:

S = {(x ; y) ( R2 / x2 +y2 ( 16}

( De la regla de correspondencia; x2 + y2 ( 16

Tenemos:

Vemos que el 1er trmino de la desigualdad no es negativa entonces el 2do miembro tampoco debe serlo, por lo tanto:

16 x2 ( 0 ( x2 ( 16 ( -4 ( x ( 4

Luego: Dom(S) = (-4 ; 4(Tambin tenemos: x2 ( 16 y2; anlogamente a la parte anterior obtenemos:

16 y2 ( 0 ( y2 ( 16 ( -4 ( y ( 4

Entonces: Ran(S) = (-4 ; 4(REPRESENTACIN GRFICA DE UNA RELACIN

A partir de su grfica, podemos hallar algunas propiedades, y para ciertas relaciones incluso hallar su dominio y rango. Usamos las representaciones grficas (vistas anteriormente) de una correspondencia.

Ejemplo:

Sea el conjunto: B = {3 , 4 ; 5 ; 6 ; 7}, se define la relacin:

R = {(x ; y) ( B2 / xy ( 20}

Utilizando el diagrama sagital para relacionar un elemento del conjunto de partida con otro del conjunto de llegada, tal que su producto sea menor o igual a 20.

De donde: R = {(3 ; 3) , (3 ; 4) , (3 ; 5) , (3 ; 6) , (4 ; 3) (4 ; 4) , (4 ; 5) , (5 ; 3) ,

(5 ; 4) , (6 ; 3)}

Adems: Dom(R) = {3 ; 4 ; 5 ; 6} = Ran(R)TIPOS DE RELACIONES

Consideremos una relacin R en A, es decir, R : A ( A; donde A es un conjunto no vaco. Entonces se tiene:

1. Relacin Reflexiva

Una relacin R es reflexiva, si cumple la siguiente condicin:

R es REFLEXIVA ( {( a ( A : (a ; a) ( R}

Ejemplo:

Sea el conjunto A = {2 ; 3 ; 4 ; 5} en el cual definimos la siguiente relacin.

R = {(2 ; 2) , (2 ; 3) , (3 ; 4) , (3 ; 3) , (4 ; 2) , (4 ; 4) ; (5 ; 3) , (5 ; 4) , (5 ; 5)}

De la cual observamos que:

Para 2 ( A : (2 ; 2) ( RPara 3 ( A : (3 ; 3) ( R

Para 4 ( A : (4 ; 4) ( RPara 5 ( A : (5 ; 5) ( R

Por lo tanto, R es reflexiva.

2. Relacin Simtrica

Una relacin R es simtrica cuando para todos los pares (a ; b) ( R; existe el par (b; a) que tambin pertenece a R, es decir:

R es SIMTRICA ( {( (a ; b) ( R : (b ; a) ( R}

Ejemplo:

Sea: A = {2 ; 3 ; 4 ; 5}, definimos la relacin:

R = {(2 ; 3) , (2 ; 4), (3 ; 5) , (3 ; 2) , (4 ; 2) , (5 ; 3) , (2 ; 2) , (4 ; 4)}

Notacin lo siguiente:

Para (2 ; 3) ( R : (3 ; 2) ( R

Para (2 ; 4) ( R : (4 ; 2) ( R

Para (3 ; 5) ( R : (5 ; 3) ( R

Para (3 ; 2) ( R : (2 ; 3) ( R

Para (4; 2) ( R : (2 ; 4) ( R

Para (5 ; 3) ( R : (3 ; 5) ( R

Para (2 ; 2) ( R : (2 ; 2) ( R

Para (4 ; 4) ( R : (4 ; 4) ( R

Luego la relacin R es SIMTRICA

3. Relacin Transitiva

La relacin R se denomina TRANSITIVA cuando los pares (a ; b) ( (b ; c) ( R, el par (a ; c) tambin pertenece a R, as:

R es TRANSITIVA ( {( (a ; b) ( (b ; c) ( R : (a ; c) ( R}

Ejemplo:

Sea: A = {2 ; 3 ; 4 ; 5}, se define la relacin:

R = {(2 ; 3) , (3 ; 4) , (4 ; 5) , (2 ; 4) , (3 ; 5) , (2 ; 5)}

Tomando todos los pares posibles de la forma (a ; b) y (b ; c), observamos:

Para (2 ; 3)( (3 ; 4) ( R : (2 ; 4) ( R

Para (2 ; 3)( (3 ; 5) ( R : (2 ; 5) ( R

Para (3 ; 4)( (4 ; 5) ( R : (3 ; 5) ( R

Luego, R es una relacin TRANSITIVA

4. Relacin de Equivalencia

La relacin R se dice que es de EQUIVALENCIA si y solo si R es reflexiva, simtrica y transitiva a la vez.

Ejemplo:

Sea el conjunto:A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}, en el cual se define la relacin:

R = {(1 ; 1) , (1 ; 2) , (2 ; 1) , (2 ; 2) , (3 ; 3) , (4 ; 4)}

De esta relacin observamos:

R es reflexiva, pues siendo I = {(1 ; 1) , (2 ; 2) , (3 ; 3) , (4 ; 4)} ; I ( R

R es simtrica, porque ( (a ; b) ( R : (b ; a) ( R

R es transitiva, ya que:

Para (1 ; 1) ( (1 ; 2) ( R: (1 ; 2) ( R

Para (1 ; 2) ( (2 ; 1) ( R: (1 ; 1) ( R

Para (1 ; 2) ( (2 ; 2) ( R: (1 ; 2) ( R

Para (2 ; 1) ( (1 ; 1) ( R: (2 ; 1) ( R

Para (2 ; 1) ( (1 ; 2) ( R: (2 ; 2) ( R

Para (2 ; 2) ( (2 ; 1) ( R: (2 ; 1) ( R

Por lo tanto, R es EQUIVALENCIA

RELACION INVERSA

Sea un conjunto no vaco A y la relacin R : A ( A, tal que:

R = {(x ; y) ( A2 / P(x ; y)}

Se define la relacin inversa de A como:

R* = {(y ; x) ( A2 / P(x ; y)}

Donde: Dom(R*) = Ran(R) ( Ran(R*) = Dom(R)Ejemplo:

Sea

A = {2 ; 3 ; 4 ; 5} ; se define la relacin:

R = {(2 ; 3) , (4 ; 3) , (3 ; 5) , (2 ; 5) , (2 ; 4) , (4 ; 5)}

Entonces: R* = {(3;2), (3;4), (5;3), (5;2), (4;2), (5;4)}

Donde:

Dom(R*) = {3 ; 4 ; 5} = Ran(R)

Ran(R*) = {2 ; 3 ; 4} = Dom(R)

PROBLEMAS PARA LA CLASE

01) Dados los conjuntos:

A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5} ;

B = {3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8} y

R = {(x; y)(A x B/y x 2 = 0}

Entonces n(R) es:

Rpta.:

02) Sean:

M = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6} ;

N = {1 ; 4 ; 6 ; 9 ; 25 ; 17} y

R = {(x ; y) ( M x N / y = x2}

Entonces, n(R) es:

Rpta.:

03) Sean:

A = {2 ; 3 ; 4 ; 5} ;

B = {3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7}

Se define la correspondencia:

P = {(x ; y) (A x B/x + y es par}

Calcular n(P)

Rpta.:

04) Sean:

A = {16 ; 18 ; 20 ; 22}

B = {20 ; 22 ; 23 ; 26}


Q = {(x ; y) ( A x B / y = x + 4}

Calcular n(Q)

Rpta.:

05) Sean:

A = {2 ; 4 ; 6 ; 8}

B = {5 ; 7 ; 10 , 12}


M = {(x ; y) ( A x B / y x es impar}

Hallar n(M)

Rpta.:

06) Sean:

A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} ;

B = {1 ; 3 ; 6 ; 8}

Y ((a ; b) definida por a es menor que b, donde (a ; b) ( A x B Cuntos pares ordenados tiene la correspondencia (?

Rpta.:

07) En A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} se considera la relacin:

R = {(x ; y) ( A2 /x = y v x + y = 3} podemos afirmar que R es:

Rpta.:

08) Se puede afirmar que:

R = {(x ; y) ( R2 / x2 4y2 = 16}

es reflexiva?

Rpta.:

09) Dada la relacin:

R = {(x ; y) ( N2 / y = 6 x} Se puede afirmar que Dom(R) = Ran(R)?

Rpta.:

010) Del problema anterior, hallar la suma de los elementos del Dom(R)Rpta.:

011) Sea la relacin:

R = {(x ; y) ( R2 / y ( x2 9 ( y ( -x + 3}

Cuyo: Dom(R) = {a ; b} y Ran(R) = {c;d} , el valor de: a+b+c+d es:

Rpta.:

012) Sea: S = {2 ; 3 ; 4} un conjunto cuyo nmero de elementos se expresa as: n(S) = 3

Si: R1 = {(x ; y) ( S2 / y = x2}

Hallar n(R1)

Rpta.:

013) Para el problema anterior, sea:

R2 = {(x ; y) ( S2 / y x = 1}

Hallar n(R2)

Rpta.:

014) Sea la siguiente relacin:

R1 ={(2;3), (4;6), (7;9), (8;11), (3;7), (4;8)}

Hallar el dominio de R1*

Rpta.:

015) Del problema anterior, hallar Ran(R1*)Rpta.:

016) Dada la siguiente relacin:

S = {(1 ; 2) , (3 ; 7) , (4 ; 3) , (2 ; 1) , (3 ; 4) , (7 ; 3) , (1 ; 1) , (4; 7) , (2; 2) , (4 ; 4) , (7 , 7) , (3; 3)}; S es de equivalencia?

Rpta.:

017) Dada la siguiente relacin:

P = {(1 ; 3),(4 ; 2),(7; 9),(6 ; 3)}

Hallar P*

Rpta.:

018) Del problema anterior, cuntos pares ordenados cumplen con la siguiente regla de correspondencia:

( = {(x ; y) ( P / y = x 2}

Rpta.:

019) Sea: R = {(1;2) , (3;4) , (5;7)} y R* = {(m;1) , (4;n) , (p;5)} hallar: m +n + p

Rpta.:

020) De la siguiente relacin:

S = {(3;4) , (7;2) , (4;3) , (2;7)} S es reflexiva, simtrica, o transitiva?

Rpta.:

PROBLEMAS PARA LA CASA


A = {5 ; 7 ; 8 ; 11 , 15}

B = {9 ; 11 ; 12 ; 19}

R = {(x;y) ( A x B/y x 4 = 0}

Entonces n(R) es:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6


P = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

Q = {2 ; 9 ; 65 ; 120 , 84} y

R = {(x;y) ( P x Q/yx3 1 = 0}

Entonces n(R) es:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

03) Sean:

M = {58 ; 63 ; 72 ; 85}

N = {35 ; 26 , 49 ; 58}

R = {(x ; y) ( M x N / x + y es impar}

Hallar n(R)

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

04) Sean:

A = [1 ; 2 ; 3 ; 4] ;

B = {3 ; 4 ; 5 ; 6} y

R = {(x ; y) ( A x B / x = y}

Hallar n(R)

a) 0

b) 1

c) 2

d) 3

e) 4

05) Si: A = {-1 ; 0 ; 1}

R = {(x ; y) ( A2 /y2 = x2}

Hallar n(R)

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

06) Si: R1 = {(x ; y) ( R2 / y x = 6} ; R2 = {(x ; y) ( R2 / x +y = 8} calcular el producto de las componentes de los elementos de R1 ( R2a) 2

b) 3

c) 5

d) 6

e) 7

07) En:

A = {-4 ; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2}

se define la relacin:

R = {(x;y) ( A2 / x2 + x = y2 + y} R es reflexiva o simtrica?

a) Reflexiva

b) Simtrica

c) Ambas

d) Ninguna de las dos

08) Sean:

R1 = {(x ; y) / x ( y}

R2 = {(x ; y) / x +1 = y}

R3 = {(x ; y) / x ( y}

Definidas en el conjunto

A = {2 ; 4 ; 5 ; 6}

Se puede afirmar que:

R1 ( R2 ( R3?

a) Si

b) No

c) N.A.

09) En el problema anterior, R1 ( R3 es una relacin de equivalencia?

a) No

b) Si

c) No se sabe

010) En el problema 8: R3 no es simtrica?

a) Si

b) No

c) N.A.

011) Sea el conjunto:

A = {(2;3) , (6;8) , (9;11) , (3;7)}.

Hallar la suma de los elementos del Dom(A*)

a) 24

b) 26

c) 29

d) 33

e) 41

012) Sea la relacin:

R = {(5;9) , (3;7) , (4;6) , (11;2)}

R* = {(7;a) , (2;b) , (c;5) , (6;d)}

Hallar a + b +c +d

a) 27

b) 29

c) 31

d) 33

e) 35

013) Sea R una relacin definida en

A = {2 ; 3 ; 9} mediante:

R = {(x ; y) / y + 1 ( x2}

Entonces, el nmero de elementos de R es:

a) 4

b) 5

c) 6

d) 7

e) 8

014) La relacin:

R = {(x ; y) ( Z x Z /x y = 2k ;

k ( Z} es:

a) Simtrica

b) Reflexiva

c) Transitiva

d) De equivalencia

e) A ( C

015) En la figura se muestra la grfica de una relacin R en el plano cartesiano.

Calcular: Dom(R) g Ran(R)

a) (

b) (3 ; 5(c) (1 ; 4(

d) (-2 ; 5(e) (1 ; 5(TEMA: FUNCIONES

Conceptos Previos:

PAR ORDENADO:

Se define as:

(3 ; 5) = { {3} ; {3 ; 5} }

(5 ; 3) = { {5} ; {5 ; 3} }

((3 ; 5) ( (5 ; 3)

Adems:

Ejm: (3 ; a) = (b ; 4)

(b = 3 ( a = 4

Observacin: (a ; a) = { {a} }

PRODUCTO CARTESIANO

Ejemplo: A = {1 ; 2}

B = {a ; b ; c}

A x B = { (1 ; a) ; (1 ; b) ; (1 ; c) ; (2 ; a) ; (2 ; b) ; (2 ; c) }

B x A = { (a ; 1) ; (a ; 2) ; (b ; 1) ; (b ; 2) ; (c ; 1) ; (c ; 2) }

( A x B ( B x A

DIAGRAMA DE VENN:

PROPIEDADES:

1) A x B = B x A ( A = B

2) A x B = ( ( A ( ( ( B ( (3) n(A x B) = n(A) x n(B)

Donde: n(A) = cardinal de A (# de elementos)

Ejm: n(A) = 2

n(B) = 3

n (A x B) = 6

RELACIONES

Una relacin de A en B es cualquier subconjunto de A x B.

Si A x B = { (1 ; 2) , (1 ; 3) , (2 ; 2) , (2 ; 3) }

Entonces:

R1 = { (1 ; 2) }

R2 = { (x ; y) / x ( y ; x ( A , y ( B }

= { (2 ; 2) }

R3 = (FUNCIN

Sean A y B dos conjuntos no vacos.

Una funcin F de A en B (f = A ( B) es un conjunto de pares ordenados tal que todos los elementos de A debe tener un nico elemento en B.

Ejemplo:

Definicin Formal

Sea f : A ( B una funcin, entonces se cumple:

Condicin de existencia

Ejemplo:

Sea f = { (2 ; x y) ; (3 ; x + y) ; (2 ; 3) ; (3 ; 4) } una funcin. Halle: 2x y

Solucin:

x y = 3 ( x + y = 4

( 2x = 7

Entonces se cumple:

NOTA:

. Toda funcin es una relacin

. No toda relacin es una funcin

NOTACIN:

Observacin: Algunos matemticos consideran:

FUNCIN REAL DE VARIABLE REAL

Son aquellas funciones cuyo dominio y rango es un subconjunto de R.

Ejemplo:

f = (0 ; 1( ( R

f : R ( R

DOMINIO:

Dom(f) = { x / (x ; y) ( f }

RANGO:

Ran(f) = { y / (x ; y) ( f }

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Es aquella ecuacin que nos permite relacionar los elementos del dominio con los elementos del rango.

Ejemplo:

(y = x3 + 1

f = { (x ; y) / x ( A ( y ( B }

Ejemplo:Sea: f = { (1 ; 2) , (3 ; 5) , (7 ; 6) , (4 ; 9) }

Dom f = {1 ; 3 ; 7 ; 4}

Ran f = {2 ; 5 ; 6 ; 9}

Ejemplo:

f(5) = 52

f(4) = 42

f(2) = 22Entonces f(x) = x2 ; x ( {2 ; 4 ; 5}

Grfica de una funcin real en variable real

La grfica de una funcin f es la representacin geomtrica de los pares ordenados que pertenecen a la funcin.

Gra(f) = { (x ; y) ( R2 / y = f(x) ; x ( Domf }

Ejemplo:

F(x) = x3

Dom f = R

TEOREMA:

Sea f : R ( R

Si toda recta paralela al eje y corta a la grfica a lo ms en un punto, dicha grfica ser la representacin de una funcin.

Ejemplo:

NOTA:Generalmente una funcin estar bien definida cuando se especifique su dominio y regla de correspondencia.

FUNCIONES ESPECIALES

FUNCIN CONSTANTE

Regla de Correspondencia:

Dom f = R

Ran f = {c}

Ejemplo:

1. Graficar: f(x) = 3 , x ( R

(

y = 3

Tabulando:

2. Graficar: f(x) = -2 ; x ( (-5 ; 2(

FUNCIN IDENTIDAD


Dom f = R

Ran f = R

Ejemplo:

1. Graficar f(x) = x ; x ( (2 ; 5(

FUNCIN VALOR ABSOLUTO


Dom f = R ; Ran f = (0 ; +((

Sea y = |x|, tabulando:

FUNCIN LINEAL


Pendiente de la recta

Dom f = R ; Ran f = R

Ejemplos:

y = 2x 6

y = -3x + 1

Si: x = 0 ; y = -6 ; (0 ; -6) punto de corte con el eje y.

Si: y = 0 ; x = 3 ; (3 ; 0) punto de corte con el eje x.

Observacin:*Si la pendiente (m) es negativa, la recta se inclina hacia la izquierda.

*Si la pendiente (m) es positiva, la recta se inclina hacia la derecha.

FUNCIN CUADRTICA:

; a ( 0

Completando cuadrados podemos darle la siguiente forma:

; a ( 0

Donde: V = (h ; k) es el vrtice de la parbola.

Si: a > 0 la parbola se abre hacia arriba.

Si: a < 0 la parbola se abre hacia abajo.

A continuacin analicemos la grfica de esta funcin, teniendo como referencia a su discriminante.

A) Primer Caso

Si A > 0, la grfica de la parbola podra tener cualquiera de las siguientes formas:

x1 , x2 son las races reales y diferentes de f(x).

Ran f = (k ; +((; observar que el mnimo valor de la funcin es k

Dom f = R

x1 , x2 son las races reales y diferentes.

Ran f = (-( ; k(, observar que el mximo valor de la funcin es k.

B) Segundo Caso

Si + = 0, la grfica podra tener cualquiera de las siguientes formas:

C) Tercer Caso

Si + < 0, la grfica de la parbola podra tener cualquiera de las siguientes formas:

NOTA:

Para completar cuadrados al polinomio: x2 + ax, se hace:

Ejemplos:

Ejemplo:f(x) = x2 6x + 8

f(x) = (x 3)2 (3)2 + 8 = (x 3)2 1

( v = (3 ; -1)

Si: x = 0, y = 8 ( (0 , 8) es el punto de corte en el eje y.

Si: y = 0, x = 2 v x = 4. Entonces (2 ; 0), (4 ; 0) son los puntos de corte con el eje x y como el coeficiente principal es positivo, la parbola se abre hacia arriba.

Observe que para hallar el mnimo valor de la funcin cuando el coeficiente principal sea positivo, basta calcular el vrtice, ya que la segunda componente indicar el mnimo valor de la funcin.

FUNCIN INVERSO MULTIPLICATIVO

FUNCIN POTENCIAL


; n ( Z+ ; n > 1 ; x ( R

1er CASO: n es PAR

2do CASO: n es IMPAR

Observacin:Sea y = ax2n ; n ( N

FUNCIN RAZ CUADRADA

Regla de correspondencia:

; x ( 0

Su grfica es la siguiente y se obtiene tabulando:

Ejemplo:

1. Obtener la grfica de

Solucin: La grfica de esta funcin la obtendremos por desplazamiento horizontal, a partir de la grfica original .

2. Graficar:

Ran f = (2 ; +((

Dom f = (6 ; +((PROBLEMAS PARA LA CLASE

01.Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una funcin, sealar su dominio.

f = {(2;4a-b), (3;b),(2;3),(5;6),(3;1)}

02.Del problema anterior, sealar su rango.

03.Hallar el dominio de la funcin:

04.Indique el mnimo valor de la funcin g(x) = x2 - 8x + 15

05.Calcule ab, si el conjunto de pares ordenados representa una funcin:

f = {(2;5),(-1;3),(2;2a-b),(-1;b-a),(a+b2;a)}

06.Si:

A = {1;2;3;4;5;6};

B = {1;2;3;4} y F: A ( B es una funcin, definida por:

F = {(x;1),(2;4),(4;4),(y;4),(z;3)}

Entonces: (x + y + z) es:

07.Calcular el nmero de elementos de A:

A = {X ( Z / 10 < x + 2 < 20}

08.Calcular el nmero de elementos de B:

B = {X ( Z / |x-5| < 3}

09.Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una funcin:

f = {(2;a-5),(9;4),(3;1),(2;6),(9;b-1)}

Calcular (a + b)

10.Graficar f(x) = 3; x ( R

11.Graficar g(x) = 3; x (

12.Graficar: g(x) = x

13.Graficar: f(x) = x; x ( 6]

14.Se define la funcin G como sigue:

Si: 1 < x < 2, hallar G (3x + 2)

15.Si F es una funcin cuyo rango es un conjunto unitario, determinar el dominio de F.

F = {(a+b;b),(ab;a-b),(a:1),(3b;a-1)}

16.Encontrar el rango de la funcin:

x (

17.Indique el mximo valor de la funcin:

H(x) = -x2 6x + 12

18.De los grficos:

Calcule:

19.Sea la funcin:

Calcule f(f(3))

20.Calcule dominio, rango y grfica de la siguiente funcin:

PROBLEMAS PARA LA CASA

01.Si el siguiente conjunto de pares ordenados representa una funcin, dar su dominio

f = (3;5),(2a;6),(b-2;5),(4;7),(8;6)}

a) {3, 6, 4}b) {3; 8; 4}

c) {4; 3; 6}d) {3; 2}

e) {4; 8; 6}

02.Para el problema anterior, dar su rango

a) {3; 6; 4} b) {4;2;6}

c) {5;6;7}d) {4;6;7}

e) {5;8;9}

03.Dada la funcin:

f(x) = .

Deteminar Dom(f)

a)

b)

c)

d)

04.Hallar el rango de la funcin:

g = {(x2 ; x2-1) / x ( }

a)

b)

c)

d)

e) [-1; 24]

05.Sean f y g dos funciones, tales que: f(x) = ax + 1, g(x) = 3x + b; adems:

f(1) = g(-1)

f(-1) = g(1)

Calcule: f(2) + g(3)

a) 2b) 3

c) 5

d) 7e) 9

06.Del grfico calcule (a+b), si f representa una funcin valor absoluto.

a) 12b) 13c) 14

d) 15e) 16

07.Calcule el rango de la funcin:

f(x) = x2 - 5x + 1

a) [-21/4;

b)

c)

d)

e)

08.Si f: (

x ( 3x 1

Calcule la suma de valores enteros del rango de la funcin.

a) 10b) 17

c) 20

d) 15e) 36

09.De la siguiente grfica de la funcin f:

Calcule (a + b)

a) 1b) 2

c) 3

d) 4e) 5

10.De la figura

Calcule (Dom f) g (Ran f)

a) [1;3]b) [1;4]

c) [1;7]d) [1;10]

e) [5;9]

11.Hallar el rango de la funcin:

a) [-1;3]b) [1;7]

c) [-1;4]d) [-2;2]

12.Calcular el dominio de la funcin:f(x) =

a) [0;9]b) [5;10]

c)

d)

e)

13.Si f y g representan funciones:

Calcule:

f(1).f(2).f(3) + g(6) + g(4) + g(5)

a) 3b) 4c) 5

d) 6e) 7

14.Grafique la funcin:

h(x) = |x-2|; x (

15.Si x ( , calcule el rango de la funcin:

f(x) = x2 + 4x + 7

a)

b)

c)

d)

e) N.A.

Ran f = (0 ; +((

Dom f = (0 ; +((

Ran f = R

Dom f = R

Ran f = (0 ; +((

Dom f = R

Dom f = R {0}

Ran f = R {0}

Ran f = (-1 ; +((

(El mnimo valor de la funcin es -1)

Ran f = (-( ; k(

Observar que la parbola no intercepta al eje real x por lo tanto no existen races reales

Ran f = (k ; +((

Donde x1 ; x2 son las races reales e iguales.

Ran f = (-( ; 0(

Dom f = R

Ran f = (0 ; +((

Dom f = R

lgebra3

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funciones

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