Funcin primitiva

Definicin

SeanFyfdosfuncionesdefinidas sobre el mismointervalo[1].

Fes lafuncin primitivadefsi y slo sifes laderivadadeF:F =f. Tambin se emplea la palabraantiderivadaen un contexto ms abstracto.

Mientras que la derivada de una funcin, cuando existe, es nica, no es el caso de la primitiva, pues siFes una primitiva def, tambin lo esF+k, dondekes cualquierconstantereal.

Mtodo de clculo

Para encontrar una primitiva de una funcin dada, basta con descomponerla (escribirla bajo forma de unacombinacin lineal) en funciones elementales cuyas primitivas son conocidas o se pueden obtener leyendoal revsuna tabla de derivadas, y luego aplicar lalinealidadde laintegral:

Aqu estn las principales primitivas:

Funcin F:Primitiva de ffuncin f:Derivada de F

, para todo n -1

, para todo n 1

, para todoa>0 ya1

donde:aes unaconstantecoses elcosenoees elnmero elnes ellogaritmo neperianones unnmero naturalysenes elseno

Por ejemplo, busquemos una primitiva dexx(2-3x). Al no tener disponible la evaluacin de las primitivas de un producto, desarollemos la expresin:x(2-3x) = 2x- 3x2. 2xes la derivada dex2, 3x2es la dex3, por lo tanto 2x- 3x2tiene como primitivax2-x3+k.

Si adems se pide que la primitiva verifique una condicinF(x0) =y0(que recibe el nombre decondicin inicialcuando se trata de un problema de fsica), entonces la constantekes unvocamente determinada. En el ejemplo, si se imponeF(2)=3, entonces forzosamentek=7.

Propiedades

La primitiva de unafuncin impares siemprepar.En efecto, como se ve en la figura a la derecha, las reas antes y despus de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre-ayaes nula, lo que se escribe as:

F(a) - F(-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar.

Por tanto siempre tenemos F(-a) = F(a): F es par.

La primitiva F de una funcin f par es impar si se fija F(0) = 0.En efecto, segn la figura a la izquierda, la reas antes y despus de cero son iguales, lo que se escribe con la igualdad de integrales:

Es decir F(0) - F(- a) = F(a) - F(0).

Como F(0) = 0, F(- a) = - F(a): F es impar.

La primitiva de una funcin peridica es la suma de una funcin lineal y de una funcin peridica

Para probarlo, hay que constatar que el rea bajo una curva de una funcin peridica, entre las abcisasxyx+T(Tes el perodo) es constante es decir no depende dex. La figura siguiente muestra tres reas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidad y larelacin de Chasles, o sencillamente con unas tijeras! (cortando y superponiendo las reas de color).

En trminos de primitivas, significa quees una constante, que se puede llamarA.

Entonces la funcin:es peridica de perodoT. En efecto:

Por consiguiente es la suma deG, peridica, y de, lineal.

Integral de una funcin

Definicin

Al diferir lasprimitivasde una misma funcinfen una constante slamente, resulta que la diferenciaF(b) -F(a) tiene un valor que no depende de la primitiva escogida. Es por lo tanto lgico notarla sin mencionar aF, sino solamente af:

A este valor se le denominaintegral defentreayb.

La integral tiene un significado muy concreto en el campo de lageometra: es el ara entre lacurvadef, el eje de lasx, y dosrectasverticalesx=ayx=b: este es elteorema fundamental del anlisis.

Por linealidad, cuandofes negativa en un intervalo tambin lo es su integral. Por lo tanto el rea de la que hemos hablado es algebrica y no geomtrica. Si una funcin es alternadamente positiva y negativa, su integral ser la suma de las reas positivas y negativas entre la curva defy el eje de lasx.

La relacin de Chasles

cuya prueba es elemental, tanto si se recurre a argumentos geomtricos ( cona