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Función matemáticaDe Wikipedia, la enciclopedia libre

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En la imagen se muestra una función entre un conjunto de  polígonos  un conjunto denúmeros! " cada polígono le corresponde su número de lados!

#na función vista como una $caja negra%, que transforma los valores u objetos de$entrada% en los valores u objetos de $salida%

En matem&ticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende e'clusivamente del valor de la segunda! (or ejemplo el &rea  A de uncírculo es función de su radio r : el valor del &rea es  proporcional al cuadrado del radio, A )π *r +! Del mismo modo, la duración T  de un viaje de tren entre dos ciudades separadas poruna distancia d  de -. km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración

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es inversamente proporcional a la velocidad, d  / v! " la primera magnitud 0el &rea, laduración1 se la denomina variable dependiente, la cantidad de la que depende 0el radio, lavelocidad1 es la variable independiente!

En an&lisis matem&tico, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a

una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de unsegundo conjunto 0correspondencia matem&tica1! (or ejemplo, cada número entero poseeun único cuadrado, que resulta ser un número natural 0incluendo el cero1:

!!!  2+ 3 45,  2 3 4,  6. 3 6., 4 3 4,  4+ 3 45,  47 3 48,  !!! 

Esta asignación constitue una función entre el conjunto de los números enteros Z  elconjunto de los números naturales N! "unque las funciones que manipulan números son lasm&s conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabradel espa9ol le asigne su letra inicial:

!!!, Estación 3 E, useo 3 , "rroo 3 ", ;osa 3 ;, "vión 3 ", !!!

Esta es una función entre el conjunto de las palabras del espa9ol el conjunto de las letrasdel alfabeto espa9ol!

<a manera =abitual de denotar una función f  es:

 f : A 3 B

  a 3 f 0a1,

donde A es el dominio de la función f , su primer  conjunto o conjunto de partida>  B es elcodominio de f , su segundo conjunto o conjunto de llegada! (or f 0a1 se denota la regla oalgoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el0único1 objeto de B que le corresponde! En ocasiones esta e'presión es suficiente paraespecificar la función por completo, infiriendo el dominio codominio por el conte'to! Enel ejemplo anterior, las funciones $cuadrado% e $inicial%, ll&meseles f   g , se denotaríanentonces como:

 f : Z 3 N  k  3 k +, o sencillamente f 0k 1 ) k +> g : V  3 A

 

 p 3 ?nicial de p>

si se conviene V  ) @(alabras del espa9olA  A ) @"lfabeto espa9olA!

#na función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo oecuaciones para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores queempareje cada valor de la variable independiente con su imagen Bcomo las mostradasarribaB, o como una gr&fica que dC una imagen de la función!

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Índice

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• Fistoria

• + ?ntroducción

• 7 Definición 

o 7! Gunciones con múltiples variables

o 7!+ Hotación! Homenclatura

o 7!7 ?magen e imagen inversa

o 7!5 ?gualdad de funciones

• 5 Gunciones inectivas, supraectivas biectivas

• - Ilgebra de funciones 

o -! Jomposición de funciones

o -!+ Gunción identidad

o -!7 Gunción inversa

o -!5 ;estricción e'tensión

• K ;epresentación de funciones

• L Definición formal! MeneraliNaciones

• O PCase tambiCn

• 8 ;eferencias

• . Enlaces e'ternos

Historia[editar]

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Mottfried <eibniN acu9ó el tCrmino $función% en el siglo QP??!

El concepto de función como un objeto matem&tico independiente, susceptible de serestudiado por sí solo, no apareció =asta los inicios del c&lculo en el siglo QP??! ;enC

Descartes, ?saac HeRton  Mottfried <eibniN establecieron la idea de función comodependencia entre dos cantidades variables! <eibniN en particular acu9ó los tCrminos$función%, $variable%, $constante% $par&metro%! <a notación f 0 1 fue utiliNada por primera veN por "!J! Jlairaut, por <eon=ard Euler  en su obra !ommentarii de "an petersburgo en L7K!+ 7 5

?nicialmente, una función se identificaba a efectos pr&cticos con una e'presión analítica que permitía calcular sus valores! Sin embargo, esta definición tenía algunas limitaciones:e'presiones distintas pueden arrojar los mismos valores, no todas las $dependencias%entre dos cantidades pueden e'presarse de esta manera! En O7L Diric=let propuso ladefinición moderna de función numCrica como una correspondencia cualquiera entre dos

conjuntos de números, que asocia a cada número en el primer conjunto un único númerodel segundo!

<a intuición sobre el concepto de función tambiCn evolucionó! ?nicialmente la dependenciaentre dos cantidades se imaginaba como un proceso físico, de modo que su e'presiónalgebraica capturaba la le física que correspondía a este! <a tendencia a una maorabstracción se vio reforNada a medida que se encontraron ejemplos de funciones sine'presión analítica o representación geomCtrica sencillas, o sin relación con ningúnfenómeno natural> por los ejemplos $patológicos% como funciones continuas sin derivada en ningún punto!

Durante el siglo Q?Q ulius Wil=elm ;ic=ard Dedekind, Tarl Weierstrass, Meorg Jantor , partiendo de un estudio profundo de los números reales, desarrollaron #a teor$a de

 funciones, siendo esta teoría independiente del sistema de numeración empleado!cita re%uerida Jon el desarrollo de la teoría de conjuntos, en los siglos Q?Q  QQ surgió la definiciónactual de función, como una correspondencia entre dos conjuntos de objetos cualesquiera,no necesariamente numCricos!- UambiCn se asoció con otros conceptos vinculados como elde relación binaria!

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Introducción[editar]

;epresentación gr&fica de la velocidad de un cuerpo acelerado a .,KK m/s+!

#na función es un objeto matem&tico que se utiliNa para e'presar la dependencia entre dosmagnitudes, puede presentarse a travCs de varios aspectos complementarios! #n ejemplo=abitual de función numCrica es la relación entre la posición  el tiempo en el movimiento de un cuerpo!

#n móvil que se desplaNa con una aceleración de .,KK m/s+ recorre una distancia d  que est&en función del tiempo transcurrido t ! Se dice que d  es la variable dependiente de t , lavariable independiente! Estas magnitudes, calculadas a priori o medidas en un e'perimento,

 pueden consignarse de varias maneras! 0Se supone que el cuerpo parte en un instante en elque se conviene que el tiempo es t  ) . s!1

<os valores de las variables pueden recogerse en una tabla, anotando la distancia recorridad  en un cierto instante t , para varios momentos distintos:

Tiempo t  (s) Distancia d  (m)

.,. .,.

.,- .,

,. .,7

,- .,L+,. ,7

+,- +,.

<a gr&fica en la imagen es una manera equivalente de presentar la misma información!Jada punto de la curva roja representa una pareja de datos tiempoVdistancia, utiliNando lacorrespondencia entre puntos coordenadas del plano cartesiano! UambiCn puede utiliNarse

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un regla o algoritmo que dicte como se =a de calcular d  a partir de t ! En este caso, ladistancia que recorre un cuerpo con esta aceleración est& dada por la e'presión:

d  ) .,77 t +,

donde las magnitudes se e'presan unidades del S?! De estos tres modos se refleja que e'isteuna dependencia entre ambas magnitudes!

#na función tambiCn puede reflejar la relación de una variable dependiente con variasvariables independientes! Si el cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleración constante pero indeterminada a, la distancia recorrida es una función entonces de a  t > en particular,d  ) a*t +/+! <as funciones tambiCn se utiliNan para e'presar la dependencia entre otrosobjetos cualesquiera, no solo los números! (or ejemplo, e'iste una función que a cada polígono le asigna su número de lados> o una función que a cada día de la semana le asignael siguiente:

<unes 3 artes, artes 3 iCrcoles,!!!, Domingo 3 <unes

Definición[editar]

<a definición general de función =ace referencia a la dependencia entre los elementos dedos conjuntos dados!

Dados dos conjuntos  A y B, una función (también aplicación o mapeo) entre elloses una asociación6  f  que a cada elemento de A le asigna un único elemento de B.

Se dice entonces que A es el dominio (también conjunto de partida o conjuntoinicial ) de f  y que B es su codominio (también conjunto de llegada o conjunto final ).

#n objeto o valor genCrico a en el dominio A se denomina la variab#e independiente> unobjeto genCrico b del dominio B es la variab#e dependiente! UambiCn se les llama valoresde entrada  de sa#ida, respectivamente! Esta definición es precisa, aunque en matem&ticasse utiliNa una definición formal m&s rigurosa, que construe las funciones como un objetoconcreto!

Ejemplos

• Uodos los números reales tienen un cubo, por lo que e'iste la función $cubo% que acada número en el dominio   le asigna su cubo en el codominio  !

• E'ceptuando al ., todos los números reales tienen un único inverso! E'iste entoncesla función $inverso% cuo dominio son los números reales no nulos   X @.A, concodominio  !

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• Jada mamífero conocido se clasifica en un gCnero, como &omo, "us o 'oodonta! E'iste por tanto una función $clasificación en gCneros% que asigna a cada mamíferode la colección   ) @mamíferos conocidosA su gCnero! El codominio de$clasificación en gCneros% es la colección  ) @gCneros de amma#iaA!

•

E'iste una función $&rea% que a cada tri&ngulo del plano 0en la colección T  de todosellos, su dominio1, le asigna su &rea, un número real, luego su codominio es  !

• En unas elecciones en las que cada votante pueda emitir un único voto, e'iste unafunción $voto% que asigna a cada elector el partido que elija! En la imagen semuestra un conjunto de electores *   un conjunto de partidos + , una función entreellos!

Funciones con m!ltiples "aria#les[editar]

E'isten muc=os ejemplos de funciones que $necesitan dos valores% para ser calculadas,

como la función $tiempo de viaje% T , que viene dada por el cociente entre la distancia d  la velocidad media v: cada pareja de números reales positivos 0una distancia unavelocidad1 tiene asociada un número real positivo 0el tiempo de viaje1! (or tanto, unafunción puede tener dos 0o m&s1 variables independientes!

<a noción de función de múltiples variables independientes no necesita de una definiciónespecífica separada de la de función $ordinaria%! <a generalidad de la definición anterior,en la que se contempla que el dominio sea un conjunto de ob,etos matemáticos arbitrarios, permite omitir la especificación de dos 0o m&s1 conjuntos de variables independientes, A  A+, por ejemplo! En lugar de ello, el dominio se toma como el conjunto de las parejas 0a,a+1, con primera componente en A  segunda componente en A+! Este conjunto se

denomina el producto cartesiano de A  A+, se denota por A  A+!

De este modo las dos variables independientes quedan reunidas en un solo objeto! (orejemplo, en el caso de la función T , su dominio es el conjunto  4   4, el conjunto de parejas de números reales positivos! En el caso de m&s de dos variables, la definición es lamisma, usando un conjunto ordenado de múltiples objetos, 0a,!!!, an1, una nVtupla! UambiCnel caso de múltiples variables dependientes se contempla de esta manera! (or ejemplo, unafunción división puede tomar dos números naturales como valores de entrada 0dividendo divisor1 arrojar dos números naturales como valores de salida 0cociente resto1! Se diceentonces que esta función tiene como dominio codominio el conjunto N  N!

Notación$ Nomenclatura[editar]

<a notación =abitual para presentar una función f  con dominio A  codominio B es:

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UambiCn se dice que f  es una función $de A a B% o $entre A  B%! El dominio de unafunción f  se denota tambiCn por dom0 f 1, D0 f 1, D f , etc! (or f 0a1 se resume la operación oregla que permite obtener el elemento de B asociado a un cierto a ∈  A, denominado laimagen de a!K

Ejemplos• <a función $cubo% puede denotarse a=ora como f :   3  , con f 0 1 ) 7 para cada

número real !

• <a función $inverso% es g :   X @.A 3  , con g 0 1 ) /  para cada  real no nulo!

• <a función $clasificación en gCneros% puede escribirse como -:   3 , donde -0m1) MCnero de m, para cada mamífero conocido m!

• <a función $&rea% se puede denotar como A: T  3  , entonces A0t 1 ) Irea de t  )

 B * & /+, donde t  es un tri&ngulo del plano, B su base,  &  su altura!

• <a función $voto% se puede escribir como v: *  3 + , donde v0a1 ) (artido que a votó, para cada votante a!

<a notación utiliNada puede ser un poco m&s la'a, como por ejemplo $la función f 0n1 ) Yn%!En dic=a e'presión no se especifica que conjuntos se toman como dominio codominio!En general, estos vendr&n dados por el conte'to en el que se especifique dic=a función! Enel caso de funciones de varias variables 0dos, por ejemplo1, la imagen del par 0a, a+1 no sedenota por f 00a, a+11, sino por f 0a, a+1, similarmente para m&s variables!

E'isten adem&s terminologías diversas en distintas ramas de las matem&ticas para referirsea funciones con determinados dominios codominios:

• Gunción real: f :   3  

• Gunción compleja: f : % 3 %

• Gunción escalar : f :  n 3  

• Gunción vectorial: f :  n 3  m

UambiCn las sucesiones infinitas de elementos tales como a, b, c, !!! son funciones, cuodominio en este caso son los números naturales! <as palabras $función%, $aplicación%,$mapeo%, u otras como $operador %, $funcional%, etc! pueden designar tipos concretos defunción según el conte'to! "dicionalmente, algunos autores restringen la palabra $función% para el caso en el que los elementos del conjunto inicial final son números!L

Imagen e imagen in"ersa[editar]

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"rtículo principal: !on,unto imagen

Dado un conjunto de votantes  un conjunto de posible partidos, en unas elecciones, elsentido del voto de cada individuo se puede visualiNar como una función!

<os elementos del codominio B asociados con algún elemento del dominio A constituen laimagen de la función!

Dada una función f  : A 3  B, el elemento de B que corresponde a un cierto elementoa del dominio A se denomina la imagen de a, f (a).

l conjunto de las im!genes de cada elemento del dominio es la imagen de la función  f  (también rango o recorrido de f ). l conjunto de las im!genes de unsubconjunto cualquiera del dominio, X  ⊆  A, se denomina la imagen de X .

<a imagen de una función f  se denota por ?m0 f 1, la de un subconjunto   por f 0  1 o f   !En notación conjuntista las im&genes de f     se denotan:

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<a antiVimagen de cada partido es el conjunto de los electores que lo votaron!

<a imagen de una función f  es un subconjunto del codominio de la misma, pero no sonnecesariamente iguales: pueden e'istir elementos en el codominio que no son la imagen de

ningún elemento del dominio, es decir, que no tienen preimagen!

"a imagen inversa (también anti-imagen o preimagen) de un elemento b delcodominio B es el conjunto de elementos del dominio A que tienen a b por imagen.Se denota por f #$(b).

"a imagen in%ersa de un subconjunto cualquiera del codominio, Y  ⊆  B, es elconjunto de las preim!genes de cada elemento de Y , y se escribe f #$(&).

"sí, la preimagen de un elemento del codominio puede no contener ningún objeto o, por elcontrario, contener uno o m&s objetos, cuando a uno o varios elementos del dominio se lesasigna dic=o elemento del codominio! En notación conjuntista, se escriben:

Ejemplos

• <a imagen de la función cubo f  es todo  , a que todo número real posee una raíN

cúbica real! En particular, las raíces cúbicas de los números positivos 0negativos1son positivas 0negativas1, por lo que se tiene, por ejemplo, f 20 41 )  4!

• El recorrido de la función inverso g  no es igual a su codominio, a que no =aningún número real  cuo inverso sea ., /  ) .!

• (ara la función $clasificación en gCneros% - se tiene:

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-0(erro1 ) !anis, -20!anis1 ) @(erro, coote, c=acal,!!!A!

• Jomo el &rea es siempre un número positivo, el recorrido de la función &rea A es 4!

•

En el diagrama puede comprobarse que la imagen de la función voto v no coincidecon el codominio, a que el partido J no recibió ningún voto! Sin embargo puedeverse que, por ejemplo, v20(artido "1 tiene + elementos!

Igualdad de funciones[editar]

Dadas dos funciones, para que sean idCnticas =an de tener el mismo dominio codominio, asignar la misma imagen a cada elemento del dominio:

Dadas dos funciones f  : A 3  B y g : C  3  D, son iguales o idénticas si se cumple:

• 'ienen el mismo dominio: A  C 

• 'ienen el mismo codominio: B  D

•  signan las mismas im!genes: para cada x  ∈  A  B, se tiene que f ( x ) g( x )

Funciones in&ecti"as' supra&ecti"as & #i&ecti"as[editar]

"rtículos principales:  Función in/ectiva,  Función supra/ectiva   Función bi/ectiva!

<a imagen inversa de un elemento del codominio puede ser vacía, o contener varios objetosdel dominio! Esto da lugar a la siguiente clasificación:

Gunciones ?nectiva Ho inectiva

Sobreectiva

Ziectiva

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 Ho sobreectiva

• Se dice que una función f  : A 3  B es inectiva si las im!genes deelementos distintos son distintas:

o, de modo equi%alente, si sólo asigna im!genes idénticas aelementos idénticos:

• *na función f  : A 3  B se dice supraectiva (o sobreectiva) si suimagen es igual a su codominio:

o, de modo equi%alente, si todo elemento del codominio es la imagende alg+n elemento del dominio:

<as funciones inectivas no repiten las im&genes: si b ) f 0a1, ningún otro a0  tiene porimagen a b, por lo que la antiVimagen de este último sólo contiene al elemento a! <asfunciones supraectivas recorren todo el codominio, por lo que ninguna antiVimagen puedeestar vacía! <a definición de función supraectiva asume que esta tiene un codominioespecificado previamente! De lo contrario, la noción de supraectividad no tiene sentido!

Juando una función tiene ambas propiedades a la veN, se dice que es una biección entreambos conjuntos:

*na función f  : A 3  B se dice biectiva si es inyecti%a y suprayecti%a.

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<as funciones biectivas constituen un $emparejamiento perfecto% entre los elementos deldominio el codominio: cada elemento en A tiene una única $pareja% en B Bcomo todaslas funcionesB, a cada elemento de B le corresponde uno solo en A Bal menos uno porser supraectiva, como muc=o uno por ser inectivaB!

Ejemplos!• <a función cubo f :   3   es biectiva! Es inectiva porque dos números reales que

tienen el mismo cubo son idCnticos, es supraectiva porque ?m0 f 1 )  !

• <a función $inverso% g :   X @.A 3   es inectiva, a que el inverso de cadanúmero real no nulo es único 0/  ) / / implica necesariamente que  ) /1! Sinembargo no es supraectiva, dado que ?m0 g 1 )   X @.A!

• <a función de clasificación de mamíferos -:   3  no es inectiva, a que =amamíferos distintos en el mismo gCnero 0por ejemplo, -0[ak1 ) -0Uoro1 ) Bos1! Sin

embargo sí es supraectiva, a que en cada gCnero de mamíferos =a clasificada almenos una especie de mamíferos!

• <a función &rea A: T  3   no es sobreectiva, a que ?m0 A1 )  4! Uampoco esinectiva, a que pueden construirse con facilidad tri&ngulos distintos con el mismo&rea!

• En la imagen pueden verse varios ejemplos de funciones entre un conjunto de pinceles +   un conjunto de caras ! !

lge#ra de funciones[editar]Jon las funciones puede realiNarse una operación de composición con propiedadessimilares a las de la multiplicación!

%omposición de funciones[editar]

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<a composición g  ∘  f  actúa sobre el objeto  transform&ndolo según f , despuCstransformando f 0 1 mediante g !"rtículo principal: !omposición de funciones

Dadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemos usar los valores de salida de una deellas como valores de entrada para la otra!, creando una nueva función!

Sean dos funciones f  : A 3  B y g : C  3  D, tales que el recorrido de la primera estécontenido en el dominio de la segunda, m( f )⊆ C . ntonces puede formarse lacomposición de g con f , la función g ∘  f  : A 3  D que a cada a en el dominio A leasocia el elemento (g ∘  f )(a) g( f (a)).

Es decir, la composición g  ∘  f  =ace actuar primero la función f  sobre un elemento de A, luego g  sobre la imagen que se obtenga:

<a condición ?m0 f 1⊆ !  asegura precisamente que este segundo paso se pueda llevar acabo!

Ejemplos

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• <a imagen de la función $inverso% g  es   X @.A Bpuesto que todo número real nonulo es el inverso de otroB, por tanto est& contenido en el dominio de la funcióncubo f , que es  ! <a composición f  ∘  g :   X @.A 3   actúa entonces como f 0 g 0 11 ) f 0/ 1 ) 0/ 17 ) / 7!

•

Dadas las funciones reales 1:   3    1+:   3   dadas por 10 1 ) +

  1+0 1 )  4, puede tomarse la composición en ambos órdenes, 1 ∘ 1+  1+ ∘ 1! Sin embargo,son funciones distintas, a que:

01 ∘ 1+10 1 ) 101+0 11 ) 10  4 1 ) 0  4 1+ ) + 4 +  4 , 01+ ∘ 110 1 ) 1+010 11 ) 1+0 +1 ) + 4

• <a función - que clasifica los mamíferos en gCneros puede componerse con lafunción 2:  3 3r  que clasifica los gCneros de mamíferos en órdenes Bqueforman el conjunto 3r  B! <a función 2 ∘ - asigna a cada mamífero su orden:

02 ∘ -10Fumano1 ) 20 &omo1 ) (rimate, 02 ∘ -10Muanaco1 ) 20 'ama1 )"rtiodactla

Función identidad[editar]

"rtículo principal:  Función identidad 

En cualquier conjunto puede definirse una función identidad, que teniendo como dominio codominio al propio conjunto, asocia cada elemento consigo mismo!

Dado un conjunto A, la función identidad  de A es la función id A : A 3  A que a cadaa ∈  A le asocia id A(a) a.

UambiCn se denota como ? A! <a función identidad actúa como un elemento neutro alcomponer funciones, a que no $=ace nada%!

Dada una función cualquiera f  : A 3  B se tiene:

Es decir, dado un elemento  ∈  A, se tiene que:

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Función in"ersa[editar]

"rtículo principal:  Función inversa

#na función puede tener inversa, es decir, otra función que al componerla con ella resulteen la identidad, del mismo modo que un número multiplicado por su inverso da !

Dada una función f  : A 3  B, se dice que g : B 3  A es la inversa o rec!proca de f  sise cumple:

"a in%ersa se denota por g  f #$, y tanto f  como f #$ se dicen invertibles.

 Ho todas las funciones son invertibles, sino que solo aquellas que sean biectivas poseeninversa:

'oda función biyecti%a f  es in%ertible, y su in%ersa f #$ es biyecti%a a su %e-.

ec/procamente, toda función in%ertible f  es biyecti%a.

<a notación para funciones inversas puede ser confusa! (ara un elemento del codominio b, f 20b1 puede denotar tanto la antiVimagen de b 0un subconjunto del dominio1, como a laimagen de b por la función inversa de f  0un elemento del dominio1, en el caso de que f  seainvertible!

Ejemplos!

• <a función $e'ponencial% 1:   3  , que asocia a cada número real su e'ponencial,

10 1 ) e , no es invertible, a que no es supraectiva: ningún número negativo pertenece a la imagen de 1!

• E'iste una función que calcula el cambio entre dos divisas! En el caso del cambio derupias a quetNales 0las monedas de la ?ndia  Muatemala1, la conversión est& dada0en +.1 por: 40r 1 ) .,- r 

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Esta función de cambio tiene inversa, la conversión recíproca de quetNales a rupias:  50%1 ) K,K- %

• <a función cubo f 0 1 ) 7 es invertible, a que podemos definir la función inversamediante la raíN cúbica, f 20 1 ) 7Y !

• <a función de clasificación en gCneros -:   3  no es invertible, a que no esinectiva, para cada gCnero pueden e'istir varios mamíferos clasificados en Cl!

• <a función que asigna a cada día de la semana su siguiente tiene por inversa lafunción que asigna a cada día de la semana su antecesor:

<unes 3 Domingo, artes 3 <unes,!!!, Domingo 3 S&bado

estricción & etensión[editar]

"rtículo principal:  5estricción de una función

<a función que asigna a cada mujer del electorado su voto es una restricción de la funciónque a cada miembro del electorado le asigna su voto!

<a restricción de una función dada es otra función definida en una parte del dominio de laoriginal, pero que $actúa igual% que esta! Se dice tambiCn que la primera es una e'tensiónde la segunda!

Dadas dos funciones f  : A 3  B y g : C  3  D, de forma que el dominio de g sea un

subconjunto del dominio de f , C  ⊆  A, y cuyas im!genes coinciden en estesubconjunto:

se dice entonces que g es la restricción de f  al subconjunto C , y que f  es unaextensión de g.

7/21/2019 Función matemática

http://slidepdf.com/reader/full/funcion-matematica-56da17457c9d0 18/19

<a restricción de una función f : A 3 B a un subconjunto !  ⊆  A se denota por f \! !

epresentación de funciones[editar]

"rtículo principal:  5epresentación gráfica de una función

<as funciones se pueden presentar de distintas maneras:

• usando una relación matem&tica descrita mediante una epresión matemática:

ecuaciones de la forma ! Juando la relación es funcional, es decirsatisface la segunda condición de la definición de función, se puede definir unafunción que se dice definida por la relación, " menos que se indique lo contrario, sesupone en tales casos que el dominio es el maor posible 0respecto a inclusión1 que el codominio son todos los ;eales! El dominio seleccionado se llama eldominio natural, de la función!

Ejemplo: )'4+! Dominio natural es todos los reales!Ejemplo: ](ara todo , número entero, / vale  m&s dos unidades]!

• Jomo ta#ulación: tabla que permite representar algunos valores discretos de lafunción!

Ejemplo:

• Jomo pares ordenados: pares ordenados, mu usados en teoría de grafos!

Ejemplo: ")@0V+, .1,0V, 1,0., +1,0, 71,!!! 0', '4+1A

• Jomo gráfica: gr&fica que permite visualiNar las tendencias en la función! uutiliNada para las funciones continuas típicas del c&lculo, aunque tambiCn las =a para funciones discretas!

Ejemplo:

- Q

5 Q7 Q

+ Q

Q

. Q

/ ' V+ V . + 7

7/21/2019 Función matemática

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Definición formal$ *enerali+aciones[editar]

<as funciones pueden definirse en tCrminos de otros objetos matem&ticos, como losconjuntos  los pares ordenados! En particular, una función es un caso particular de relación binaria, luego su esta definición est& basada en la que se adopte para las relaciones! En el

enfoque $e'tensivo% se identifica una función con su gr&fica:

*na función es un conjunto f  de pares ordenados tal que no contiene dos paresdistintos con la misma primera componente:

l dominio (la imagen) de la función es entonces el conjunto de primeras(segundas) componentes:

En la definición e'tensiva no aparece el concepto de codominio como conjunto potencialdonde est& contenido el recorrido! En algunas &reas de las matem&ticas es importante preservar esta distinción, por tanto se usa una definición distinta:O

*na función es una terna de conjuntos f   ( A, B, " ( f )), el dominio, el codominio y

el grafo de f , tales que:

$.   " ( f )⊂  A 0 B

1. 'odo elemento del dominio tiene imagen: para cada a ∈  A, e2iste unb ∈  B tal que (a, b)∈ " ( f )

3. sta imagen es +nica: si (a, b), (a, c)∈ " ( f ), entonces b  c.

Jon esta definición, dos funciones con el mismo grafo son distintas si su codominio no

coincide! UambiCn se =abla en ocasiones de funciones parciales, para las que nonecesariamente cada elemento del dominio posee una imagen, en contraste con lasfunciones como se =an definido antes, que se denominan totales! " las funciones parcialestambiCn se las llama correspondencias o relaciones unívocas!8