Funcin matemtica

En la imagen se muestra una funcin entre un conjunto depolgonos y un conjunto de nmeros. A cada polgono lecorresponde su nmero de lados.

Una funcin vista como una caja negra, que transforma losvalores u objetos de entrada en los valores u objetos de salida

En matemticas, se dice que una magnitud o cantidad esfuncin de otra si el valor de la primera depende exclu-

sivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el rea Ade un crculo es funcin de su radio r: el valor del rea esproporcional al cuadrado del radio, A = r2. Del mismomodo, la duracin T de un viaje de tren entre dos ciu-dades separadas por una distancia d de 150 km dependede la velocidad v a la que este se desplace: la duracines inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A laprimera magnitud (el rea, la duracin) se la denominavariable dependiente, y la cantidad de la que depende (elradio, la velocidad) es la variable independiente.En anlisis matemtico, el concepto general de funcin,aplicacin omapeo se reere a una regla que asigna a ca-da elemento de un primer conjunto un nico elemento deun segundo conjunto (correspondencia matemtica). Porejemplo, cada nmero entero posee un nico cuadrado,que resulta ser un nmero natural (incluyendo el cero):Esta asignacin constituye una funcin entre el conjuntode los nmeros enteros Z y el conjunto de los nmerosnaturales N. Aunque las funciones que manipulan nme-ros son las ms conocidas, no son el nico ejemplo: puedeimaginarse una funcin que a cada palabra del espaol leasigne su letra inicial:Esta es una funcin entre el conjunto de las palabras delespaol y el conjunto de las letras del alfabeto espaol.La manera habitual de denotar una funcin f es:

f: A Ba f(a),

donde A es el dominio de la funcin f, su primer con-junto o conjunto de partida; y B es el codominio de f,su segundo conjunto o conjunto de llegada. Por f(a) sedenota la regla o algoritmo para obtener la imagen deun cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el(nico) objeto de B que le corresponde. En ocasiones es-ta expresin es suciente para especicar la funcin porcompleto, inriendo el dominio y codominio por el con-texto. En el ejemplo anterior, las funciones cuadrado einicial, llmeseles f y g, se denotaran entonces como:

f: Z Nk k2, o sencillamente f(k) = k2;

g: V Ap Inicial de p;

si se convieneV = {Palabras del espaol} yA = {Alfabetoespaol}.

1

2 2 INTRODUCCIN

Una funcin puede representarse de diversas formas: me-diante el citado algoritmo o ecuaciones para obtener laimagen de cada elemento, mediante una tabla de valo-res que empareje cada valor de la variable independientecon su imagen como las mostradas arriba, o comouna grca que d una imagen de la funcin.

1 Historia

Gottfried Leibniz acu el trmino funcin en el siglo XVII.

El concepto de funcin como un objeto matemtico in-dependiente, susceptible de ser estudiado por s solo, noapareci hasta los inicios del clculo en el siglo XVII.[1]Ren Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz es-tablecieron la idea de funcin como dependencia entredos cantidades variables. Leibniz en particular acu lostrminos funcin, variable, constante y parme-tro. La notacin f(x) fue utilizada por primera vez porA.C. Clairaut, y por Leonhard Euler en su obra Commen-tarii de San petersburgo en 1736.[2][3][4]

Inicialmente, una funcin se identicaba a efectos prcti-cos con una expresin analtica que permita calcular susvalores. Sin embargo, esta denicin tena algunas limi-taciones: expresiones distintas pueden arrojar los mismosvalores, y no todas las dependencias entre dos cantida-des pueden expresarse de esta manera. En 1837 Dirichletpropuso la denicin moderna de funcin numrica co-mo una correspondencia cualquiera entre dos conjuntosde nmeros, que asocia a cada nmero en el primer con-junto un nico nmero del segundo.La intuicin sobre el concepto de funcin tambin evolu-

cion. Inicialmente la dependencia entre dos cantidadesse imaginaba como un proceso fsico, de modo que su ex-presin algebraica capturaba la ley fsica que correspon-da a este. La tendencia a una mayor abstraccin se vioreforzada a medida que se encontraron ejemplos de fun-ciones sin expresin analtica o representacin geomtri-ca sencillas, o sin relacin con ningn fenmeno natural; ypor los ejemplos patolgicos como funciones continuassin derivada en ningn punto.Durante el siglo XIX Julius Wilhelm Richard Dedekind,Karl Weierstrass, Georg Cantor, partiendo de un estudioprofundo de los nmeros reales, desarrollaron la teora defunciones, siendo esta teora independiente del sistema denumeracin empleado.[cita requerida] Con el desarrollo de lateora de conjuntos, en los siglos XIX y XX surgi la de-nicin actual de funcin, como una correspondencia entredos conjuntos de objetos cualesquiera, no necesariamen-te numricos.[5] Tambin se asoci con otros conceptosvinculados como el de relacin binaria.

2 Introduccin

Representacin grca de la velocidad de un cuerpo acelerado a0,66 m/s2.

Una funcin es un objeto matemtico que se utiliza paraexpresar la dependencia entre dos magnitudes, y puedepresentarse a travs de varios aspectos complementarios.Un ejemplo habitual de funcin numrica es la relacinentre la posicin y el tiempo en el movimiento de un cuer-po.Un mvil que se desplaza con una aceleracin de 0,66m/s2 recorre una distancia d que est en funcin del tiem-po transcurrido t. Se dice que d es la variable dependientede t, la variable independiente. Estas magnitudes, calcula-das a priori o medidas en un experimento, pueden consig-narse de varias maneras. (Se supone que el cuerpo parte

3.1 Funciones con mltiples variables 3

en un instante en el que se conviene que el tiempo es t =0 s.)Los valores de las variables pueden recogerse en unatabla, anotando la distancia recorrida d en un cierto ins-tante t, para varios momentos distintos:

La grca en la imagen es una manera equivalente depresentar la misma informacin. Cada punto de la cur-va roja representa una pareja de datos tiempo-distancia,utilizando la correspondencia entre puntos y coordenadasdel plano cartesiano. Tambin puede utilizarse un regla oalgoritmo que dicte como se ha de calcular d a partir de t.En este caso, la distancia que recorre un cuerpo con estaaceleracin est dada por la expresin:

d = 0,33 t2,

donde las magnitudes se expresan unidades del SI. De es-tos tres modos se reeja que existe una dependencia entreambas magnitudes.Una funcin tambin puede reejar la relacin de una va-riable dependiente con varias variables independientes. Siel cuerpo del ejemplo se mueve con una aceleracin cons-tante pero indeterminada a, la distancia recorrida es unafuncin entonces de a y t; en particular, d = at2/2. Lasfunciones tambin se utilizan para expresar la dependen-cia entre otros objetos cualesquiera, no solo los nmeros.Por ejemplo, existe una funcin que a cada polgono leasigna su nmero de lados; o una funcin que a cada dade la semana le asigna el siguiente:

Lunes Martes, Martes Mircoles,..., Do-mingo Lunes

3 DenicinLa denicin general de funcin hace referencia a la de-pendencia entre los elementos de dos conjuntos dados.Un objeto o valor genrico a en el dominioA se denominala variable independiente; y un objeto genrico b del do-minio B es la variable dependiente. Tambin se les llamavalores de entrada y de salida, respectivamente. Esta de-nicin es precisa, aunque en matemticas se utiliza unadenicin formal ms rigurosa, que construye las funcio-nes como un objeto concreto.

Ejemplos

Todos los nmeros reales tienen un cubo, por lo queexiste la funcin cubo que a cada nmero en eldominio R le asigna su cubo en el codominio R.

Exceptuando al 0, todos los nmeros reales tienen unnico inverso. Existe entonces la funcin inversocuyo dominio son los nmeros reales no nulos R \{0}, y con codominio R.

Cada mamfero conocido se clasica en un gnero,como Homo, Sus o Loxodonta. Existe por tanto unafuncin clasicacin en gneros que asigna a cadamamfero de la coleccin M = {mamferos conoci-dos} su gnero. El codominio de clasicacin engneros es la coleccin G = {gneros de Mamma-lia}.

Existe una funcin rea que a cada tringulo delplano (en la coleccin T de todos ellos, su dominio),le asigna su rea, un nmero real, luego su codomi-nio es R.

En unas elecciones en las que cada votante puedaemitir un nico voto, existe una funcin voto queasigna a cada elector el partido que elija. En la ima-gen se muestra un conjunto de electores E y un con-junto de partidos P, y una funcin entre ellos.

3.1 Funciones con mltiples variablesExisten muchos ejemplos de funciones que necesitandos valores para ser calculadas, como la funcin tiem-po de viaje T, que viene dada por el cociente entre ladistancia d y la velocidad media v: cada pareja de nme-ros reales positivos (una distancia y una velocidad) tieneasociada un nmero real positivo (el tiempo de viaje). Portanto, una funcin puede tener dos (o ms) variables in-dependientes.La nocin de funcin de mltiples variables independien-tes no necesita de una denicin especca separada dela de funcin ordinaria. La generalidad de la deni-cin anterior, en la que se contempla que el dominio seaun conjunto de objetos matemticos arbitrarios, permiteomitir la especicacin de dos (o ms) conjuntos de va-riables independientes, A1 y A2, por ejemplo. En lugar deello, el dominio se toma como el conjunto de las parejas(a1, a2), con primera componente en A1 y segunda com-ponente en A2. Este conjunto se denomina el productocartesiano de A1 y A2, y se denota por A1 A2.De este modo las dos variables independientes quedanreunidas en un solo objeto. Por ejemplo, en el caso de lafuncin T, su dominio es el conjunto R+ R+, el conjun-to de parejas de nmeros reales positivos. En el caso dems de dos variables, la denicin es la misma, usandoun conjunto ordenado de mltiples objetos, (a1,..., a),una n-tupla. Tambin el caso de mltiples variables de-pendientes se contempla de esta manera. Por ejemplo, unafuncin divisin puede tomar dos nmeros naturales co-mo valores de entrada (dividendo y divisor) y arrojar dosnmeros naturales como valores de salida (cociente y res-to). Se dice entonces que esta funcin tiene como domi-nio y codominio el conjunto N N.

4 3 DEFINICIN

3.2 Notacin. NomenclaturaLa notacin habitual para presentar una funcin f con do-minio A y codominio B es:

f : A ! Ba ! b = f(a)

Tambin se dice que f es una funcin de A a B o entreA y B. El dominio de una funcin f se denota tambinpor dom(f), D(f), Df, etc. Por f(a) se resume la opera-cin o regla que permite obtener el elemento de B asocia-do a un cierto a A, denominado la imagen de a.[6]

Ejemplos

La funcin cubo puede denotarse ahora como f:R R, con f(x) = x3 para cada nmero real x.

La funcin inverso es g: R \ {0} R, con g(x) =1/x para cada x real y no nulo.

La funcin clasicacin en gneros puede escri-birse como : M G, donde (m) = Gnero de m,para cada mamfero conocido m.

La funcin rea se puede denotar como A: T R, y entonces A(t) = rea de t = B H/2, donde t esun tringulo del plano, B su base, y H su altura.

La funcin voto se puede escribir como v: E P,donde v(a) = Partido que a vot, para cada votantea.

La notacin utilizada puede ser un poco ms laxa, comopor ejemplo la funcin f(n) = n. En dicha expresinno se especica que conjuntos se toman como dominio ycodominio. En general, estos vendrn dados por el con-texto en el que se especique dicha funcin. En el caso defunciones de varias variables (dos, por ejemplo), la ima-gen del par (a1, a2) no se denota por f((a1, a2)), sino porf(a1, a2), y similarmente para ms variables.Existen adems terminologas diversas en distintas ramasde las matemticas para referirse a funciones con deter-minados dominios y codominios:

Funcin real: f: R R Funcin compleja: f: C C Funcin escalar: f: Rn R Funcin vectorial: f: Rn Rm

Tambin las sucesiones innitas de elementos tales comoa, b, c, ... son funciones, cuyo dominio en este caso sonlos nmeros naturales. Las palabras funcin, aplica-cin, mapeo, u otras como operador, funcional,etc. pueden designar tipos concretos de funcin segn elcontexto. Adicionalmente, algunos autores restringen lapalabra funcin para el caso en el que los elementosdel conjunto inicial y nal son nmeros.[7]

3.3 Imagen e imagen inversa

Dado un conjunto de votantes y un conjunto de posible partidos,en unas elecciones, el sentido del voto de cada individuo se puedevisualizar como una funcin.

Los elementos del codominio B asociados con algn ele-mento del dominio A constituyen la imagen de la funcin.La imagen de una funcin f se denota por Im(f), y la deun subconjunto X por f(X) o f[X]. En notacin conjun-tista las imgenes de f y X se denotan:

Im(f) = fb 2 B : existea 2 A que tal f(a) = bgf(X) = fb 2 X : existea 2 A que tal f(a) = bg

La anti-imagen de cada partido es el conjunto de los electoresque lo votaron.

La imagen de una funcin f es un subconjunto del codo-minio de la misma, pero no son necesariamente iguales:pueden existir elementos en el codominio que no son laimagen de ningn elemento del dominio, es decir, que notienen preimagen.As, la preimagen de un elemento del codominio puedeno contener ningn objeto o, por el contrario, conteneruno o ms objetos, cuando a uno o varios elementos del

5dominio se les asigna dicho elemento del codominio. Ennotacin conjuntista, se escriben:

f1(b) = fa 2 A : f(a) = bgf1(Y ) = fa 2 A : existe b 2 Y con f(a) = bg

Ejemplos

La imagen de la funcin cubo f es todo R, ya quetodo nmero real posee una raz cbica real. En par-ticular, las races cbicas de los nmeros positivos(negativos) son positivas (negativas), por lo que setiene, por ejemplo, f1(R+) = R+.

El recorrido de la funcin inverso g no es igual a sucodominio, ya que no hay ningn nmero real x cuyoinverso sea 0, 1/x = 0.

Para la funcin clasicacin en gneros se tiene:

(Perro) = Canis, y 1(Canis) = {Perro, coyo-te, chacal,...}.

Como el rea es siempre un nmero positivo, el re-corrido de la funcin rea A es R+.

En el diagrama puede comprobarse que la imagen dela funcin voto v no coincide con el codominio, yaque el partido C no recibi ningn voto. Sin embargopuede verse que, por ejemplo, v1(Partido A) tiene2 elementos.

3.4 Igualdad de funcionesDadas dos funciones, para que sean idnticas han de te-ner el mismo dominio y codominio, y asignar la mismaimagen a cada elemento del dominio:

4 Funciones inyectivas, suprayecti-vas y biyectivas

La imagen inversa de un elemento del codominio puedeser vaca, o contener varios objetos del dominio. Esto dalugar a la siguiente clasicacin:Las funciones inyectivas no repiten las imgenes: si b =f(a), ningn otro a' tiene por imagen a b, por lo que laanti-imagen de este ltimo slo contiene al elemento a.Las funciones suprayectivas recorren todo el codominio,por lo que ninguna anti-imagen puede estar vaca. La de-nicin de funcin suprayectiva asume que esta tiene uncodominio especicado previamente. De lo contrario, lanocin de suprayectividad no tiene sentido.Cuando una funcin tiene ambas propiedades a la vez, sedice que es una biyeccin entre ambos conjuntos:

Las funciones biyectivas constituyen un emparejamien-to perfecto entre los elementos del dominio y el codo-minio: cada elemento en A tiene una nica pareja enB como todas las funciones, y a cada elemento deB le corresponde uno solo en A al menos uno por sersuprayectiva, y como mucho uno por ser inyectiva.

Ejemplos.

La funcin cubo f: R R es biyectiva. Es inyectivaporque dos nmeros reales que tienen el mismo cuboson idnticos, y es suprayectiva porque Im(f) = R.

La funcin inverso g:R \ {0}R es inyectiva, yaque el inverso de cada nmero real no nulo es nico(1/x = 1/y implica necesariamente que x = y). Sinembargo no es suprayectiva, dado que Im(g) = R \{0}.

La funcin de clasicacin de mamferos :M Gno es inyectiva, ya que hay mamferos distintos enel mismo gnero (por ejemplo, (Yak) = (Toro) =Bos). Sin embargo s es suprayectiva, ya que en cadagnero de mamferos hay clasicada al menos unaespecie de mamferos.

La funcin rea A: T R no es sobreyectiva, ya queIm(A) = R+. Tampoco es inyectiva, ya que puedenconstruirse con facilidad tringulos distintos con elmismo rea.

En la imagen pueden verse varios ejemplos de fun-ciones entre un conjunto de pinceles P y un conjuntode caras C.

5 lgebra de funcionesCon las funciones puede realizarse una operacin decomposicin con propiedades similares a las de lamultiplicacin.

5.1 Composicin de funcionesDadas dos funciones, bajo ciertas condiciones podemosusar los valores de salida de una de ellas como valores deentrada para la otra., creando una nueva funcin.Es decir, la composicin g f hace actuar primero la fun-cin f sobre un elemento de A, y luego g sobre la imagenque se obtenga:

x 7! f(x) 7! g(f(x))

La condicin Im(f) C asegura precisamente que estesegundo paso se pueda llevar a cabo.

Ejemplos

6 5 LGEBRA DE FUNCIONES

La composicin g f acta sobre el objeto x transformndolosegn f, y despus transformando f(x) mediante g.

La imagen de la funcin inverso g es R \ {0} puesto que todo nmero real no nulo es el inverso deotro, y por tanto est contenido en el dominio dela funcin cubo f, que es R. La composicin f g:R \ {0} R acta entonces como f(g(x)) = f(1/x)= (1/x)3 = 1/x3.

Dadas las funciones reales h1: R R y h2: R Rdadas por h1(x) = x2 y h2(x) = x + 1, puede tomarsela composicin en ambos rdenes, h1 h2 y h2 h1.Sin embargo, son funciones distintas, ya que:

(h1 h2)(x) = h1(h2(x)) = h1(x + 1) = (x + 1)2= x2 + 2x + 1, y(h2 h1)(x) = h2(h1(x)) = h2(x2) = x2 + 1

La funcin que clasica los mamferos en gnerospuede componerse con la funcin : G Or queclasica los gneros de mamferos en rdenesqueforman el conjunto Or. La funcin asigna acada mamfero su orden:

( )(Humano) = (Homo) = Primate, ( )(Guanaco) = (Lama) = Artiodactyla

5.2 Funcin identidadEn cualquier conjunto puede denirse una funcin iden-tidad, que teniendo como dominio y codominio al propioconjunto, asocia cada elemento consigo mismo.Tambin se denota como IA. La funcin identidad actacomo un elemento neutro al componer funciones, ya queno hace nada.Es decir, dado un elemento x A, se tiene que:

xidA7! x f7! f(x)

xf7! f(x) idB7! f(x)

5.3 Funcin inversaUna funcin puede tener inversa, es decir, otra funcinque al componerla con ella resulte en la identidad, delmismo modo que un nmero multiplicado por su inversoda 1.No todas las funciones son invertibles, sino que solo aque-llas que sean biyectivas poseen inversa:La notacin para funciones inversas puede ser confusa.Para un elemento del codominio b, f1(b) puede denotartanto la anti-imagen de b (un subconjunto del dominio),como a la imagen de b por la funcin inversa de f (unelemento del dominio), en el caso de que f sea invertible.

Ejemplos.

La funcin exponencial h: R R, que asocia acada nmero real su exponencial, h(x) = ex, no esinvertible, ya que no es suprayectiva: ningn nmeronegativo pertenece a la imagen de h.

Existe una funcin que calcula el cambio entre dosdivisas. En el caso del cambio de rupias a quetzales(las monedas de la India y Guatemala), la conversinest dada (en 2011) por:Q(r) = 0,15 rEsta funcin de cambio tiene inversa, la conversinrecproca de quetzales a rupias:R(q) = 6,65 q

La funcin cubo f(x) = x3 es invertible, ya que po-demos denir la funcin inversa mediante la raz c-bica, f1(x) = 3x.

La funcin de clasicacin en gneros : M Gno es invertible, ya que no es inyectiva, y para cadagnero pueden existir varios mamferos clasicadosen l.

La funcin que asigna a cada da de la semana susiguiente tiene por inversa la funcin que asigna acada da de la semana su antecesor:

Lunes Domingo, Martes Lunes,..., Do-mingo Sbado

75.4 Restriccin y extensin

La funcin que asigna a cada mujer del electorado su voto esuna restriccin de la funcin que a cada miembro del electoradole asigna su voto.

La restriccin de una funcin dada es otra funcin de-nida en una parte del dominio de la original, pero queacta igual que esta. Se dice tambin que la primera esuna extensin de la segunda.La restriccin de una funcin f: A B a un subconjuntoC A se denota por f |C.

6 Representacin de funcionesLas funciones se pueden presentar de distintas maneras:

usando una relacin matemtica descrita medianteuna expresin matemtica: ecuaciones de la for-ma y = f(x) . Cuando la relacin es funcional, esdecir satisface la segunda condicin de la denicinde funcin, se puede denir una funcin que se dicedenida por la relacin, A menos que se indique locontrario, se supone en tales casos que el dominioes el mayor posible (respecto a inclusin) y que elcodominio son todos los Reales. El dominio selec-cionado se llama el dominio natural, de la funcin.

Ejemplo: y=x+2. Dominio natural es todos losreales.Ejemplo: Para todo x, nmero entero, y vale xms dos unidades.

Como tabulacin: tabla que permite representar al-gunos valores discretos de la funcin.

Ejemplo:

X 2 1 0 1 2 3Y 0 1 2 3 4 5

Como pares ordenados: pares ordenados, muy usa-dos en teora de grafos.

Ejemplo: A={(2, 0),(1, 1),(0, 2),(1, 3),...(x, x+2)}

Como grca: grca que permite visualizar lastendencias en la funcin. Muy utilizada para lasfunciones continuas tpicas del clculo, aunque tam-bin las hay para funciones discretas.

Ejemplo:

7 Denicin formal. Generaliza-ciones

Las funciones pueden denirse en trminos de otros ob-jetos matemticos, como los conjuntos y los pares orde-nados. En particular, una funcin es un caso particular derelacin binaria, luego su esta denicin est basada en laque se adopte para las relaciones. En el enfoque exten-sivo se identica una funcin con su grca:En la denicin extensiva no aparece el concepto decodominio como conjunto potencial donde est conteni-do el recorrido. En algunas reas de las matemticas esimportante preservar esta distincin, y por tanto se usauna denicin distinta:[8]

Con esta denicin, dos funciones con el mismo grafo sondistintas si su codominio no coincide. Tambin se hablaen ocasiones de funciones parciales, para las que no ne-cesariamente cada elemento del dominio posee una ima-gen, en contraste con las funciones como se han deni-do antes, que se denominan totales. A las funciones par-ciales tambin se las llama correspondencias o relacionesunvocas.[9]

8 Vase tambin

Anexo:Funciones matemticas

Sucesin matemtica

Funcin lineal

Funcin exponencial

Funcin cuadrtica

Representacin grca de una funcin

Funcin multivaluada

8 10 ENLACES EXTERNOS

9 Referencias[1] Esta seccin est basada en Pedro Ponte, J. (1992). The

history of the concept of function and some educationalimplications (pdf).TheMathematics Educator (en ingls)3 (2). Consultado el 10 de diciembre de 2011.

[2] Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All.The Mathematical Association of America. p. 17.

[3] Friedrich Gauss, Carl (1995). Academia Colombiana deCiencias Exactas, Fsicas y Naturales, ed. Falta el |ttulo=(ayuda)

[4] Howard Eves (1990). Foundations and Fundamental Con-cepts of Mathematics (3 edicin). Dover. p. 235. ISBN 0-486-69609-X.

[5] Dorronsoro, Jorge; Hernndez, Eugenio (1996).Nmeros,grupos y anillos. Adison-Wesley Iberoamericana. ISBN 0-201-65395-8.

[6] En general una funcin est caracterizada por una regla omtodo que describe la asociacin entre los elementos enestos conjuntos. Sin embargo en disciplinas ms avanza-das de las matemticas esto no siempre ocurre, como porejemplo con las funciones de eleccin. Por ello la deni-cin general de funcin se centra en la asociacin entre losobjetos, y no en la regla o algoritmo.

[7] Diccionario esencial de matemticas. VOX. 6 de 2011. p.15 |pgina= y |pginas= redundantes (ayuda). ISBN 978-84-9974-001-0.

[8] Sobre la diferencia entre ambas deniciones, vase porejemplo Forster, Thomas (2003). 1.3. Notation for setsand relations. Logic, induction and sets (en ingls). Cam-bridge University Press. ISBN 9780521533614.

[9] Gran enciclopedia temtica Plaza. Matemticas (2 edi-cin). Plaza & Jans Editores, S.A. 1993. p. 74 |pgina= y|pginas= redundantes (ayuda). ISBN 978-84-01-61659-4.

Dorronsoro, Jorge; Hernndez, Eugenio (1996).N-meros, grupos y anillos. Adison-Wesley Iberoameri-cana. ISBN 0-201-65395-8.

10 Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multi-media sobre funciones. Commons

The Wolfram Functions Site. Archivo de funcionesmatemticas.

FooPlot. Gracador de funciones matemticas. Historia del concepto de funcin. Artculo traducidode MacTutor History of Mathematics archive.

911 Text and image sources, contributors, and licenses11.1 Text

Funcin matemtica Fuente: http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n%20matem%C3%A1tica?oldid=82554370 Colaboradores:Joseaperez, 4lex, Oblongo, Fibonacci, Sabbut, Moriel, Robbot, Mr bim, Kraton~eswiki, Vivero, Javier Carro, DefLog, Interwiki, Dodo,Ascnder, Truor, Elwikipedista, Tano4595, Dianai, Xenoforme, Gengiskanhg, Domaniom, Cinabrium, FAR, Digigalos, Petronas, Alfon-soERomero, Airunp, JMPerez, Yrithinnd, Taichi, Pedvi, RobotQuistnix, Mortadelo, Superzerocool, Chobot, Guilloip, Yrbot, Oscar ., Vita-mine, .Sergio, YurikBot, Gaeddal, GermanX, Wewe, Beto29, LoquBot, KnightRider, Manolo456, Lt. CiberShark, Eskimbot, Kekkyojin,Elvenbyte, Gtz, Maldoror, Lucianobello, Haitike, Chlewbot, Siabef, Sking, Tuncket, Nihilo, Paintman, Juan Marquez, Kn, BOTpolicia,CEM-bot, Chuo, Fenicio, Marianov, Retama, Davius, Antur, Julian Mendez, Jjafjjaf, Daniel JG, FrancoGG, Ingenioso Hidalgo, Fsd141,Thijs!bot, DasAuge, Lauranrg, Mahadeva, Loco91, Diosa, Bot que revierte, RoyFocker, IrwinSantos, PhJ, Botones, Cratn, Isha, JAnDbot,Soulbot, VanKleinen, Kved, Muro de Aguas, Gsrdzl, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Aalvarez12, HiTe, Humberto, Netito777, Timichal,Rehernan~eswiki, Chabbot, Idioma-bot, Plux, Manuel Trujillo Berges, Snakeeater, Bucephala, AlnoktaBOT, VolkovBot, Technopat, Que-ninosta, Raystorm, Belgrano, Matdrodes, Lucien leGrey, AlleborgoBot, Sgarg0, Muro Bot, Edmenb, J.M.Domingo, BotMultichill, ErikJack, SieBot, Ctrl Z, PaintBot, Merdalro, Carmin, Cobalttempest, Drinibot, BOTarate, OboeCrack, Manw, Odranoel6211, Mafores, Ti-rithel, Jarisleif, Javierito92, Dnu72, HUB, Nicop, Gato ocioso, Farisori, Eduardosalg, Poco a poco, Juan Mayordomo, BodhisattvaBot,Toolserver, Raulshc, SilvonenBot, UA31, AVBOT, David0811, LucienBOT, Louperibot, SunriseProjector, MarcoAurelio, NjardarBot,SpBot, Diegusjaimes, DumZiBoT, MelancholieBot, Arjuno3, Luckas-bot, Spirit-Black-Wikipedista, ArthurBot, Ruy Pugliesi, Manuelt15,Xqbot, Jkbw, Ricardogpn, Klrinion 72, Juan diego perez, Kismalac, Rich410, KamikazeBot, Dinamik-bot, Foundling, EmausBot, Zro-Bot, Grillitus, ChuispastonBot, Chopinzone,WikitanvirBot, Metrnomo,MerlIwBot, KLBot2, MetroBot, Acratta, Carliitaeliza, Asqueladd,Miguel2706, Addbot, Balles2601, XMJA, JacobRodrigues, Manuel Balarezo, Yukimy, Jarould, BenjaBot, Marielabeaumont, Lectorina yAnnimos: 419

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Historia Introduccin Definicin Funciones con mltiples variables Notacin. Nomenclatura Imagen e imagen inversa Igualdad de funciones

Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas lgebra de funciones Composicin de funciones Funcin identidad Funcin inversa Restriccin y extensin

Representacin de funciones Definicin formal. Generalizaciones Vase tambin Referencias Enlaces externos Text and image sources, contributors, and licensesTextImagesContent license