Matemticas II

Elabor: Ing. Vctor H. Alcal-Octaviano Pgina 19

Unidad II

Funcin Lineal

ltima revisin: 14-Enero-2010

Matemticas II

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Tema 1. Ecuacin lineal

Una ecuacin de primer grado o ecuacin lineal es un planteamiento de igualdad, involucrando una o ms variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una

ecuacin que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma comn de ecuaciones lineales es.

= +

Donde m representa la pendiente y el valor de b determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y). En el plano cartesiano cuando se grafican estas funciones se obtienen lneas rectas, tal como las que podemos ver a continuacin:

Variables y constantes

VARIABLE Una variable es un smbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado. Dicho

conjunto es llamado conjunto universal de la variable, universo o dominio de la variable, y cada elemento del conjunto es un valor de la variable. Sea x una variable cuyo universo es el conjunto {1,3,5,7,9,11,13}; entonces x puede tener cualquiera de esos valores: 1,3,5,7,9,11,13. En otras palabras x puede reemplazarse por cualquier entero positivo impar menor que 14. Por esta razn, a menudo se dice

que una variable es un reemplazo de cualquier elemento de su universo. Una variable es un elemento de una frmula, proposicin o algoritmo que puede adquirir o ser

sustituido por un valor cualquiera (siempre dentro de su universo). Los valores que una variable es capaz de recibir, pueden estar definidos dentro de un rango, y/o estar limitados por criterios o condiciones de

pertenencia, al universo que les corresponde (en estos casos, el universo de la variable pasa a ser un

subconjunto de un universo mayor, el que tendra sin las restricciones). Existen varios tipos de variables, por ejemplo:

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Variable dependiente Variable independiente

Variable estadstica

Variable (programacin) de televisin Variable de control Variable en programacin

En muchos usos, lo contrario de una variable es una constante. Tambin puede considerarse a las constantes como caso particular de variables, con un universo unitario (con un slo elemento), ya que

slo pueden tener un valor, y no pueden modificarlo.

CONSTANTE En general, una constante es un valor de tipo permanente, que no puede modificarse, al menos no dentro del contexto o situacin para el cual est previsto. Suele relacionarse y usarse en combinacin con las variables, que si admiten modificacin en sus valores.

En matemticas, una constante es un valor fijo, aunque a veces no determinado. Una Funcin constante es una funcin matemtica que para cada conjunto de variables en la misma, devuelve el mismo valor. Por ejemplo:

f(n) = sen ( [n]) donde [n] es la parte entera de la funcin, y para cada n real, el resultado de evaluar la funcin ser igual a 0.

Con una variable

El clsico ejemplo de una funcin lineal con una variable es el que veremos a continuacin, retomando la ecuacin que vimos al principio de esta unidad, observamos que tiene la siguiente forma:

= +

Donde m representa la pendiente y el valor de b determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje y). Pero adems observamos que existen 2 literales mas (y y x), que servirn para representar la funcin en el plano cartesiano.

Aqu debemos acotar que para este caso en particular la m y b son consideradas como constantes, sin embargo la y y x, se consideran variables. Analicemos una funcin en particular, donde m = 3 y b = 2:

= 3 + 2

Vemos claramente que nicamente falta asignar valores a x y y, por tanto si nosotros sustituimos a la

variable x por valores de 1 a 10 seramos capaces de obtener los valores correspondientes de y para cada valor de x en particular, al tabularlos se observara el siguiente cuadro:

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Donde adems, si nosotros graficamos en un plano cartesiano, donde se represente a los ejes y y x, estos resultados obtendramos un grfico tal como el que veremos a continuacin:

Veamos algunos ejemplos ms de tabulacin de una funcin lineal, donde los valores de x son arbitrarios y pueden tomar cualquier rango de valores, escogeremos uno en particular para cada caso:

Donde para cada tabulacin se tendr una grfica distinta, ya que las funciones tabuladas tambin son distintas.

x y=3x+2

1 5

2 8

3 11

4 14

5 17

6 20

7 23

8 26

9 29

10 32

x y=-4x+1

-2 9

-1 5

0 1

1 -3

2 -7

3 -11

x y=-2x-5

3 -11

4 -13

5 -15

6 -17

7 -19

8 -21

x y=1x-5

-5 -10

-4 -9

-3 -8

-2 -7

-1 -6

0 -5

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Con 2 variables

Una ecuacin de la forma ax+ by = c, donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables se conoce como una ecuacin lineal en dos variables de forma general.

Ejemplos:

2x + y = 4

3x - 4y = 9

Las ecuaciones y = -3x + 5 y y = -2x son ecuaciones lineales en dos variables pero no estn expresadas de la forma general. Lo podemos lograr cambiando de lugar los trminos correspondientes. De manera que:

y = -3x + 5 en la forma general es 3x + y = 5

y = -2x en la forma general es 2x + y = 0

El conjunto solucin de una ecuacin lineal en dos variables es el conjunto de pares que hace la ecuacin cierta. Por ejemplo: cul de los siguientes pares ordenados (5,1) y (8,3) es la solucin de la ecuacin 3x - 4y = 12?

La respuesta a esta pregunta la podemos hallar sustituyendo los valores de las coordenadas x y y en la ecuacin dada. Veamos:

1) Si 3x - 4y = 12 entonces 3(5) - 4(1) = 15 - 5 = 10. Por tanto, el par ordenado (5, 1) no es solucin de la ecuacin 3x - 4y = 12.

2) Si 3x - 4y = 12 entonces 3(8) - 4(3) = 24 - 12 = 12. Por tanto, el par ordenado (8, 3) es solucin de la

ecuacin 3x - 4y = 12.

Podemos ver tambin que si variamos las constantes m y b dentro de la funcin, an cuando tomemos el mismo rango de valores para x, la grfica resultante ser distinta. Por ejemplo variando m se puede ver:

x y=-4x+1

-2 9

-1 5

0 1

1 -3

2 -7

3 -11

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Ahora si variamos b, tendramos los siguientes grficos:

x y=4x+1

-2 -7

-1 -3

0 1

1 5

2 9

3 13

x y=10x+1

-2 -19

-1 -9

0 1

1 11

2 21

3 31

x y=-4x+2

-2 10

-1 6

0 2

1 -2

2 -6

3 -10

x y=-4x-5

-2 3

-1 -1

0 -5

1 -9

2 -13

3 -17