Funcin de distribucin

x

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

1.0

5 3 1 3 51 0 2 424

,2(x

)

0,=0,=0,=2,=

2 0.2, =2 1.0, =2 5.0, =2 0.5, =

Funcin de Distribucin Acumulativa para la distribucin nor-mal en la siguiente imagen.

,2(

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

5 3 1 3 5

x

1.0

1 0 2 424

x)

0,=0,=0,=2,=

2 0.2, =2 1.0, =2 5.0, =2 0.5, =

Funcin de Densidad de Probabilidad para varias distribucionesnormales. El trazo rojo distingue la distribucin normal estndar.

En la teora de la probabilidad y en estadstica, unafuncin de distribucin acumulada (fda) describe laprobabilidad de que una variable aleatoria real X sujetaa cierta ley de distribucin de probabilidad se site en lazona de valores menores o iguales a x.Intuitivamente, asumiendo la funcin f como la ley dedistribucin de probabilidad, la fda sera la funcin conla recta real como dominio, con imagen del rea hastaaqu de la funcin f, siendo aqu el valor x para la variablealeatoria real X.La fda asocia a cada valor x, la probabilidad del evento:la variable X toma valores menores o iguales a x.Las Funciones de Distribucin Acumulativa se empleantambin para especicar la distribucin de variables alea-torias multivariantes.Para cada nmero real x, una fda est dada por lasiguiente denicin:[1]

La probabilidad de que X se site en un intervalo ]a, b]

(abierto en a y cerrado en b) es F(b) F(a) si a b.

P(a < X b) = FX(b) FX(a):

La fda de una probabilidad P denida sobre el espacioborelianoB(R) es la funcin F que a todo real x le asocia

F (x) = P(]1; x]):

0.0.1 Acumulada y Distribuida

Es convencin usar una F mayscula para una fda, encontraste con la f minscula usada para una Funcin deDensidad de Probabilidad y/o para una Funcin de Pro-babilidad.La funcin distribucin puede obtenerse a partir de lafuncin de probabilidad respectiva. La fda en el caso deuna variable aleatoria X discreta, puede establecerse co-mo:F (x) =

Pxix f(xi)

Para una variable aleatoria X contnua, fda surge como:F (x) =

R x1 f(t) dt

Debe observarse que una denicin del tipo menor oigual, '' podra sustituirse por estrictamente "menor"'

2 4 PROPIEDADES

Para otro ejemplo, suponiendo que X toma slo los valo-res 0 y 1, con igual probabilidad (X sigue una distribucinde Bernoulli con p = 1/2). Entonces una fda est dada por

F(x) = 0, si x < 0;F(x) = 1/2, si 0 x < 1;F(x) = 1, si x 1.

2 NotacinCuando hay ms de una variable aleatoria y se vuelve ne-cesario explicitar una diferencia entre las funciones, serepresenta una fda de la variable aleatoria X por FX(x) .

3 Funcin de Distribucin Acumu-lada Inversa (Funcin Cuantil)

La funcin cuantil de una variable aleatoria (o de una leyde probabilidad) es la inversa de su acumulada.Si la FDA F es estrictamente creciente y continua, su in-versa est denida F1(y); y 2 [0; 1] es el nico nmeroreal x tal que F (x) = y .Slo en tales casos queda as denida la funcin de dis-tribucin inversa o funcin cuantil. Pero una funcin dedistribucin se mantiene constante en todo intervalo en elcual la variable aleatoria no puede tomar valores. Es poresto que se introduce la siguiente denicin. Lamentable-mente, la distribucin carece, en general, de inversa. Sepuede denir, para y 2 [0; 1] , la inversa generalizadade la funcin distribucin:

F1(y) = infx2R

fF (x) yg:

Sea X una variable aleatoria con valores en R y FX sufuncin de distribucin. Se llama funcin cuantil de X ala funcin de ]0; 1[ en R , denotada por QX , que a u 2]0; 1[ hace corresponder: QX(u) = inffx : FX(x) ug .La inversa de la pda se denomina funcin cuantil.La inversa de la pda puede emplearse para trasladar re-sultados obtenidos para la distribucin uniforme a otrasdistribuciones.

3.1 Propiedades tiles de la inversa de pda1. F1 es no-decreciente

2. F1(F (x)) x3. F (F1(y)) y4. F1(y) x si y slo si y F (x)

5. Si Y tiene una distribucin U [0; 1] entonces,F1(Y ) est distribuida como F . Esto se empleaen para la generacin aleatoria de nmeros con elmtodo de muestreo de transformada inversa.

6. Si fXg es una coleccin de variables independen-tes aleatoriamente distribuidas F -denida en elmismo espacio muestral, entonces existen variablesaleatorias Y tales que Y est distribuida comoU [0; 1] y F1(Y) = X como probabilidad 1para todo .

Ejemplo 1: La mediana es F1(0:5) . Ejemplo 2: Sea = F1(0:95) . Se de-

nominar al 95avo percentil.

Por convencin, podemos decidir queQX(0) es el menorde los valores posibles deX yQX(1) es el mayor; puedenser eventualmente innitos.

4 PropiedadesSi X es una variable aleatoria discreta, entonces se la ob-tiene de los valores x1, x2, ... con probabilidad p1, p2 etc.,y una fda de X ser discontinua en los puntos xi y cons-tante entre ellos.Si una fda F de X es contnua, entonces X es una variablealeatoria continua; si se dice de F que es absolutamentecontinua, entonces existe una funcin Integral de Lebes-gue f(x) tal que

F (b) F (a) = P(a X b) =Z ba

f(x) dx

para todos los nmeros reales a y b. (La primera de las dosigualdades no sera correcta en general si no se hubieradicho que una distribucin es continua.La continuidad de la distribucin implica que P(X = a) =P(X = b) = 0, de modo que una diferencia entre "

3 P(x = a) = F (a) F (a) P(a < x b) = F (b) F (a) , con a; b 2 R , ya < b

Se cumplen las siguientes propiedades, que permiten tra-tar con los diferentes tipos de desigualdades, y que seaplican a funciones de distribucin de variables aleatoriasdiscretas:

P(X < b) = F (b) P(X > a) = 1 F (a) P(X a) = 1 F (a) P(a < X < b) = F (b) F (a) P(a X < b) = F (b) F (a) P(a X b) = F (b) F (a)

En caso de las variables aleatorias contnuas, valen las si-guientes propiedades:

F es contnua en todos los puntos (en caso de lasvariables aleatorias discretas era slo continua a laderecha)

P(x = a) = R aaf(x) dx = 0

P(a X b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a < X < b) =

R baf(x) dx = F (b)F (a)

La Prueba de Kolmogrov-Smirnov est basada en fun-ciones de distribucin acumulada y puede ser usada pa-ra ver si dos distribuciones empricas son diferentes o siuna distribucin emprica es diferente de una distribucinideal.Muy relacionada con la prueba de Kuiper, la cual es til siel domnio de la distribucin es cclico como por ejemploen das de la semana. Por ejemplo podemos usar el test deKuiper para ver si el nmero de tornados vara durante elao o si las ventas de un producto oscilan da a da o porda del mes.

5 Vase tambin Estadstica descriptiva Distribucin de probabilidad

5.1 Referencias[1] Monti, K.L. (1995). Folded Empirical Distribution Fun-

ction Curves (Mountain Plots). The American Statistician49: 342345. JSTOR 2684570.

6 Bibliografa Conceito de varivel aleatria e de funo de distri-

buo Portal Action

6.0.1 Estadstica

Puede considerarse el artculo sobre Estadstica matem-tica para completar algunos tpicos.

4 7 TEXTO E IMGENES DE ORIGEN, COLABORADORES Y LICENCIAS

7 Texto e imgenes de origen, colaboradores y licencias7.1 Texto

Funcin de distribucin Fuente: https://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_distribuci%C3%B3n?oldid=83801248 Colaborado-res: CEM-bot, Davius, Juan Mayordomo, Raulshc, CayoMarcio, Jkbw, Marsal20, Enrique Cordero, CentroBabbage, ZroBot, Elas,KLBot2, MetroBot, Invadibot, Acratta, Aldein, Jarould, Nico gtrd, Pablo Roca Bernardini y Annimos: 8

7.2 Imgenes Archivo:Normal_Distribution_CDF.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ca/Normal_Distribution_CDF.

svg Licencia: Public domain Colaboradores: self-made, Mathematica, Inkscape Artista original: Inductiveload Archivo:Normal_Distribution_PDF.svg Fuente: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Normal_Distribution_PDF.

svg Licencia: Public domain Colaboradores: self-made, Mathematica, Inkscape Artista original: Inductiveload

7.3 Licencia de contenido Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0

Acumulada y Distribuida Ejemplos Notacin Funcin de Distribucin Acumulada Inversa (Funcin Cuantil)Propiedades tiles de la inversa de pda

Propiedades Vase tambin Referencias

Bibliografa Estadstica

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