fuerza electromotriz: Fuerza que causa o tiende a causar el movimiento de electricidad en un conductor y mantiene una diferencia de potencial entre los terminales de una fuente elctrica. componentes de una fuerza: Toda fuerza se compone de dos o ms fuerzas concurrentes cuyo efecto sobre un cuerpo rgido es el de la fuerza inicial. fuerza de tensin: Fuerza que aplica a un cuerpo elstico le produce o le tiende a producir una tensin. Tambin llamada fuerza de traccin. fuerza de traccin: Fuerza que aplica a un cuerpo elstico le produce o le tiende a producir una tensin. Tambin llamada fuerza de tensin. esfuerzo cortante: Fuerza interna que desarrolla un cuerpo como respuesta a una fuerza cortante y que es tangencial a la superficie sobre la que acta. Tambin llamado Este artculo o seccin necesita referencias que aparezcan en una publicacin acreditada, como revistas especializadas, monografas, prensa diaria o pginas de Internet fidedignas.Puedes aadirlas as o avisar al autor principal del artculo en su pgina de discusin pegando: {{subst:Aviso referencias|Induccin magntica}} ~~~~

La induccin magntica o densidad de flujo magntico, cuyo smbolo es B, es el flujo magntico por unidad de rea de una seccin normal a la direccin del flujo, y en algunos textos modernos recibe el nombre de intensidad de campo magntico, ya que es el campo real. La unidad de la densidad en el Sistema Internacional de Unidades es el tesla. Est dado por:

donde B es la densidad del flujo magntico generado por una carga que se mueve a una velocidad v a una distancia r de la carga, y ur es el vector unitario que une la carga con el punto donde se mide B (el punto r). o bien:

donde B es la densidad del flujo magntico generado por un conductor por el cual pasa una corriente I, a una distancia r. La frmula de esta definicin se llama Ley de Biot-Savart, y es en magnetismo la equivalente a la Ley de Coulomb de la electrosttica, pues sirve para calcular las fuerzas que actan en cargas en movimiento.

El campo induccin, B, o densidad de flujo magntico (los tres nombres son equivalentes) es ms fundamental en electromagnetismo que el campo H, ya que es el responsable de las fuerzas en las cargas en movimiento y es, por tanto, el equivalente fsico a E.

[editar] Vase tambin

Flujo magntico Induccin electromagntica Ley de Biot-Savart

NTRODUCCINLa induccin electromagntica es el fenmeno que origina la produccin de una fuerza electromotriz (f.e.m. o voltaje) en un medio o cuerpo expuesto a un campo magntico variable, o bien en un medio mvil respecto a un campo magntico esttico. Es as que, cuando dicho cuerpo es un conductor, se produce una corriente inducida. Este fenmeno fue descubierto por Michael Faraday quin lo expres indicando que la magnitud del voltaje inducido es proporcional a la variacin del flujo magntico (Ley de Faraday). El descubrimiento de Oersted segn el cual las cargas elctricas en movimiento interaccionan con los imanes y el descubrimiento posterior de que los campos magnticos ejercen fuerzas sobre corrientes elctricas, no solo mostraba la reaccin entre dos fenmenos fsicos hasta entonces independientes, sino tambin porque podra ser un camino para producir corrientes elctricas de un modo mas barato que con la pila de volta.Faraday fue el que obtuvo primeros resultados positivos en la produccin de corrientes elctricas mediante campos magnticos. Leyes de Faraday y de Lenz: Faraday descubri que cuando un conductor es atravesado por un flujo magntico variable, se genera en el una fuerza electromotriz inducida que da lugar a una corriente elctrica. El sistema que generaba la corriente (el imn en nuestra experiencia) se llama inductor y el circuito donde se crea la corriente, inducido (la bobina en nuestro caso). Este fenmeno de induccin electromagntica se rige por dos leyes, una de tipo cuantitativo conocida con el nombre de ley de Faraday y otra de tipo cualitativo o ley de Lenz. El sentido de la fuerza electromotriz inducida es tal que la corriente que crea tiende mediante sus acciones electromagnticas, a oponerse a la causa que la produce. Ley de Faraday: Faraday observo que la intensidad de la corriente inducida es mayor cuanto ms rpidamente cambie el nmero de lneas de fuerza que atraviesan el circuito. (En nuestro caso cuanto mayor es la velocidad del imn o de la bobina, mayor es la intensidad de la corriente se crea en esta ultima) Este hecho experimental esta reflejado en la ley que se enuncia: La fuerza electromotriz e inducida en un circuito es directamente proporcional a la velocidad con que cambia el flujo que atraviesa el circuito.

INDUCCIN ELECTROMAGNETICA

Magnitudes magnticas.El flujo magntico ().Se denomina flujo magntico a la cantidad de lneas de fuerza que genera un campo magntico. La letra griega representa el flujo magntico. En el sistema de unidades internacionales es la unidad weber (Wb).

La induccin magntica (B).La induccin magntica se refiere a la concentracin o la densidad de lneas de fuerzas que atraviesan una unidad de superficie. La induccin magntica esta representada por la letra o smbolo B. En el sistema internacional la unidad es el TESLA (T). Sin embargo, en el sistema de Gauss la unidad es el Gauss (G) La siguiente frmula define la induccin magntica:

La intensidad del campo magntico (H).Como el ttulo dice es la intensidad que tiene un campo magntico. La intensidad del campo magntico esta directamente afectada por la fuerza magnetomotriz. En el caso de las bobinas, cuanto ms largas sean las bobinas menor ser la intensidad del campo magntico porque la fuerza magnetomotriz se dispersa en una mayor superficie. La unidad usada en el sistema internacional es el amperio por metro (A/m). Mientras que en el sistema de Gauss es el Oersted (Oe). La letra o smbolo H representa a la intensidad del campo magntico.

En donde: L = La longitud de la bobina. N = Espiras de la bobina. I = La intensidad.

La fuerza magnetomotriz (F).La fuerza magnetomotriz son las lneas de fuerza que es capaz de generar una bobina, lo cual, quiere decir, que esta directamente afectada por la intensidad que pasa por dicha bobina. Al aumentar la intensidad aumentar tambin la fuerza magnetomotriz. La letra o el smbolo F representa la fuerza magnetomotriz. Las letras o smbolo f.m.m., tambin designa a la fuerza magnetomotriz y, es ms comn. En el sistema internacional el amperio-vuelta (Av) es la unidad. La siguiente ecuacin es la usada para calcular la fuerza magnetomotriz en una bobina:

En donde: N = Espiras de la bobina. I = La intensidad.

La reluctancia (R).Todos los materiales tienen propiedades y, la reluctancia es una de ellas. La reluctancia es la capacidad que tiene un material determinado para dejar formarse las lneas de fuerza. Es un concepto similar al de la resistividad de los materiales o a la resistencia de un circuito elctrico. De aqu podemos fcilmente deducir que los materiales no ferromagnticos tienen una alta reluctancia. La letra o smbolo que designa a la reluctancia es la R. La unidad en el sistema internacional es el amperio-vuelta por weber (Av/Wb). La ecuacin utilizada para calcular la reluctancia es:

La permeabilidad magntica ().La permeabilidad es la capacidad que tiene una sustancia para atraer y dejar pasar a las lneas de fuerza o el campo magntico. Existen tres tipos de permeabilidad: la permeabilidad relativa, la permeabilidad absoluta y la permeabilidad del vacio. 1. La permeabilidad relativa. Se designa por las letras o smbolo r . La permeabilidad relativa esta definida en funcin de la capacidad que tiene un material o sustancia de aumentar el n de las lneas de fuerza.

2. La permeabilidad absoluta. Es la que se utiliza en realidad, porque relaciona la intensidad de campo magntico producido por una bobina con la induccin magntica. Se designa con la letra o smbolo . La unidad en el sistema internacional es el henrios/metro (H/m) y la frmula para calcularla es:

3. La permeabilidad de vacio. Tambin conocida como permeabilidad del aire. Se designa con las letras o smbolo 0. Su frmula es:

Hay que tener claro que la permeabilidad es un coeficiente de los materiales pero que no es constante porque depende directamente de la induccin magntica.

La histresis magntica.La histresis sucede cuando un material o sustancia adquiere una propiedad por estmulos externos y, al retirarle dicho estmulo, continua manteniendo cierta magnitud o cantidad de esa propiedad generada. En trminos magnticos sera cuando un material ferromagntico recibe la influencia de un campo magntico (imanes) y mantiene durante cierto periodo de tiempo una cantidad de ese magnetismo. Esta magnitud magntica es especialmente interesante en lo que se refiere a ciertas mquinas elctricas como pueden ser, los transformadores, los motores, los generadores, los electroimanes, etc. En este tipo de mquinas se necesita tener bajo el nivel de histresis para evitar las prdidas de energa por histresis.

Ecuaciones de MaxwellSaltar a: navegacin, bsqueda

Las cuatro ecuaciones de Maxwell describen todos los fenmenos electromagnticos, aqu se muestra la induccin magntica por medio de una corriente elctrica. Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completo los fenmenos electromagnticos. La gran contribucin de James Clerk Maxwell fue reunir en estas ecuaciones largos aos de resultados experimentales, debidos a Coulomb, Gauss, Ampere, Faraday y otros, introduciendo los conceptos de campo y corriente de desplazamiento, y unificando los campos elctricos y magnticos en un solo concepto: el campo electromagntico.1

Contenido[ocultar]

1 Desarrollo histrico de las ecuaciones de Maxwell 2 Detalle de las ecuaciones o 2.1 Ley de Gauss o 2.2 Ley de Gauss para el campo magntico o 2.3 Ley de Faraday-Lenz o 2.4 Ley de Ampre generalizada 3 En medios materiales 4 Ecuaciones de Maxwell 5 Potencial escalar y potencial vector 6 Consecuencias fsicas de las ecuaciones o 6.1 Principio de conservacin de la carga 7 Ecuaciones originales de Maxwell 8 Expresin de las ecuaciones en relatividad o 8.1 Primer par de ecuaciones de Maxwell 8.1.1 Obtencin de las ecuaciones o 8.2 Segundo par de ecuaciones de Maxwell 8.2.1 Obtencin de las ecuaciones 9 Expresin de las ecuaciones para una frecuencia constante 10 Vase tambin 11 Notas y referencias 12 Enlaces externos

[editar] Desarrollo histrico de las ecuaciones de Maxwell

Retrato de Maxwell. Vase tambin: Electromagnetismo El aspecto ms importante del trabajo de Maxwell en el electromagnetismo es el trmino que introdujo en la ley de Ampre; la derivada temporal de un campo elctrico, conocido como corriente de desplazamiento. El trabajo que Maxwell public en 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, modificaba la versin de la ley de Ampre con lo

que se predeca la existencia de ondas electromagnticas propagndose, dependiendo del medio material, a la velocidad de la luz en dicho medio. De esta forma Maxwell identific la luz como una onda electromagntica, unificando as la ptica con el electromagnetismo.2 Exceptuando la modificacin a la ley de Ampre, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell fue reobtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecnicos e hidrodinmicos usando su modelo de vrtices de lneas de fuerza de Faraday. En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrup estas ecuaciones y las reformul en la notacin vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside us derivadas parciales temporales, diferentes a las derivadas totales usadas por Maxwell, en la ecuacin (54). Ello provoc que se perdiera el trmino que apareca en la ecuacin posterior del trabajo de Maxwell (nmero 77). En la actualidad, este trmino se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce como fuerza de Lorentz. La historia es an confusa, debido a que el trmino ecuaciones de Maxwell se usa tambin para un conjunto de ocho ecuaciones en la publicacin de Maxwell de 1865, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, y esta confusin se debe a que seis de las ocho ecuaciones son escritas como tres ecuaciones para cada eje de coordenadas, as se puede uno confundir al encontrar veinte ecuaciones con veinte incgnitas. Los dos tipos de ecuaciones son casi equivalentes, a pesar del trmino eliminado por Heaviside en las actuales cuatro ecuaciones.

[editar] Detalle de las ecuaciones[editar] Ley de GaussArtculo principal: Ley de Gauss.

Flujo elctrico de una carga puntual en una superficie cerrada. La ley de Gauss explica la relacin entre el flujo del campo elctrico y una superficie cerrada. Se define como flujo elctrico ( ) a la cantidad de fluido elctrico que atraviesa una superficie dada. Anlogo al flujo de la mecnica de fluidos, este fluido elctrico no

transporta materia, pero ayuda a analizar la cantidad de campo elctrico ( ) que pasa por una superficie.3 Matemticamente se expresa como:

La ley dice que el flujo del campo elctrico a travs de una superficie cerrada es igual al cociente entre la carga (q) o la suma de las cargas que hay en el interior de la superficie y la permitividad elctrica en el vaco ( ), as:4 5

La forma diferencial de la ley de Gauss es

donde es la densidad de carga en el vacio. Intuitivamente significa que el campo E diverge o sale desde una carga , lo que se representa grficamente como vectores que salen de la fuente que las genera en todas direcciones. Por convencin si el valor de la expresin es positivo entonces los vectores salen, si es negativo estos entran a la carga. Para casos generales se debe introducir una cantidad llamada densidad de flujo elctrico ( ) y nuestra expresin obtiene la forma:

[editar] Ley de Gauss para el campo magnticoArtculos principales: Ley de Gauss y Monopolo magntico.

Las lneas de campo magntico comienzan y terminan en el mismo lugar, por lo que no existe un monopolo magntico. Experimentalmente se lleg al resultado de que los campos magnticos, a diferencia de los elctricos, no comienzan y terminan en cargas diferentes. Esta ley primordialmente

indica que las lneas de los campos magnticos deben ser cerradas. En otras palabras, se dice que sobre una superficie cerrada, sea cual sea sta, no seremos capaces de encerrar una fuente o sumidero de campo, esto expresa la inexistencia del monopolo magntico.6 Matemticamente esto se expresa as:5

donde es la densidad de flujo magntico, tambin llamada induccin magntica. Es claro que la divergencia sea cero porque no salen ni entran vectores de campo sino que este hace caminos cerrados. El campo no diverge, es decir la divergencia de B es nula. Su forma integral equivalente:

Como en la forma integral del campo elctrico, esta ecuacin slo funciona si la integral est definida en una superficie cerrada.

[editar] Ley de Faraday-LenzArtculo principal: Ley de Faraday.

La ley de Faraday nos habla sobre la induccin electromagntica, la que origina una fuerza electromotriz en un campo magntico. Es habitual llamarla ley de Faraday-Lenz en honor a Heinrich Lenz ya que el signo menos proviene de la Ley de Lenz. Tambin se le llama como ley de Faraday-Henry, debido a que Joseph Henry descubri esta induccin de manera separada a Faraday pero casi simultneamente.7 Lo primero que se debe introducir es la fuerza electromotriz ( ), si tenemos un campo magntico variable con el tiempo, una fuerza electromotriz es inducida en cualquier circuito elctrico; y esta fuerza es igual a menos la derivada temporal del flujo magntico, as:8

, como el campo magntico es dependiente de la posicin tenemos que el flujo magntico es igual a:

. Adems, el que exista fuerza electromotriz indica que existe un campo elctrico que se representa como:

con lo que finalmente se obtiene la expresin de la ley de Faraday:5

Lo que indica que un campo magntico que depende del tiempo implica la existencia de un campo elctrico, del que su circulacin por un camino arbitrario cerrado es igual a menos la derivada temporal del flujo magntico en cualquier superficie limitada por el camino cerrado. El signo negativo explica que el sentido de la corriente inducida es tal que su flujo se opone a la causa que lo produce, compensando as la variacin de flujo magntico (Ley de Lenz). La forma diferencial de esta ecuacin es:

Se interpreta como sigue: si existe una variacin de campo magntico B entonces este provoca un campo elctrico E. En presencia de cargas libres como los electrones el campo E puede desplazar las cargas y producir una corriente elctrica. Esta ecuacin relaciona los campos elctrico y magntico, y tiene otras aplicaciones prcticas cmo los motores elctricos y los generadores elctricos y explica su funcionamiento. Ms precisamente, demuestra que un voltaje puede ser generado variando el flujo magntico que atraviesa una superficie dada.

[editar] Ley de Ampre generalizadaArtculo principal: Ley de Ampre generalizada.

Ampre formul una relacin para un campo magntico inmvil y una corriente elctrica que no vara en el tiempo. La ley de Ampre nos dice que la circulacin en un campo magntico ( ) a lo largo de una curva cerrada C es igual a la densidad de corriente ( ) sobre la superficie encerrada en la curva C, matemticamente as:5

donde

es la permeabilidad magntica en el vaco.

Pero cuando esta relacin se la considera con campos que s varan a travs del tiempo llega a clculos errneos, como el de violar la conservacin de la carga.9 Maxwell corrigi esta ecuacin para lograr adaptarla a campos no estacionarios y posteriormente pudo ser comprobada experimentalmente. Maxwell reformul esta ley as:5

En el caso especfico estacionario esta relacin corresponde a la ley de Ampre, adems confirma que un campo elctrico que vara con el tiempo produce un campo magntico y adems es consecuente con el principio de conservacin de la carga.9 En forma diferencial, esta ecuacin toma la forma:

[editar] En medios materialesPara el caso de que las cargas estn en medios materiales, y asumiendo que stos son lineales, homogneos, istropos y no dispersivos, podemos encontrar una relacin entre los vectores intensidad elctrica e induccin magntica a travs de dos parmetros conocidos como permitividad elctrica y la permeabilidad magntica:10

Pero estos valores tambin dependen del medio material, por lo que se dice que un medio es lineal cuando la relacin entre E/D y B/H es lineal. Si esta relacin es lineal, matemticamente se puede decir que y estn representadas por una matriz 3x3. Si un medio es istropo es porque esta matriz ha podido ser diagonalizada y consecuentemente es equivalente a una funcin ; si en esta diagonal uno de los elementos es diferente al otro se dice que es un medio anistropo. Estos elementos tambin son llamados constantes dielctricas y, cuando estas constantes no dependen de su posicin, el medio es homogneo.11 Los valores de y en medios lineales no dependen de las intensidades del campo. Por otro lado, la permitividad y la permeabilidad son escalares cuando las cargas estn en medios homogneos e istropos. Los medios heterogneos e istropos dependen de las coordenadas de cada punto por lo que los valores, escalares, van a depender de la posicin. Los medios anistropos son tensores.10 Finalmente, en el vaco tanto como son cero porque suponemos que no hay fuentes. En la siguiente tabla encontramos a las ecuaciones como se las formula en el vaco y en la forma ms general.12 En el vaco Caso general

[editar] Ecuaciones de MaxwellLas ecuaciones de Maxwell como ahora las conocemos son las cuatro citadas anteriormente y a manera de resumen se pueden encontrar en la siguiente tabla: Nombre Ley de Gauss: Ley de Gauss para el campo magntico: Ley de Faraday: Ley de Ampre generalizada : Estas cuatro ecuaciones junto con la fuerza de Lorentz son las que explican cualquier tipo de fenmeno electromagntico. Una fortaleza de las ecuaciones de Maxwell es que permanecen invariantes en cualquier sistema de unidades, salvo de pequeas excepciones, y que son compatibles con la relatividad especial y general. Adems Maxwell descubri que la cantidad era simplemente la velocidad de la luz en el vaco, por lo que la luz es una forma de radiacin electromagntica. Los valores aceptados actualmente para la velocidad de la luz, la permitividad y la permeabilidad magntica se resumen en la siguiente tabla: Smbolo Nombre Velocidad de la luz en el vaco Permitividad Permeabilidad magntica Valor numrico Unidad de medida SI metros por segundo Tipo definido Forma diferencial Forma integral

faradios por metro derivado henrios por metro definido

[editar] Potencial escalar y potencial vectorArtculo principal: Potencial vector magntico.

Como consecuencia matemtica de las ecuaciones de Maxwell y adems con el objetivo de simplificar sus clculos se han introducido los conceptos de potencial vector ( ) y potencial escalar ( ). Este potencial vector no es nico y no tiene significado fsico claro pero se sabe que un elemento infinitesimal de corriente da lugar a una contribucin paralela a la corriente.13 Este potencial se obtiene como consecuencia de la ley de Gauss para el flujo magntico, ya que se conoce que si la divergencia de un vector es cero, ese vector como consecuencia define a un rotacional, as:14

A partir de este potencial vector y de la ley de Faraday puede definirse un potencial escalar as:12

donde el signo menos ( ) es por convencin. Estos potenciales son importantes porque poseen una simetra gauge que nos da cierta libertad a la hora de escogerlos.12 El campo elctrico en funcin de los potenciales:

Hallamos que con la introduccin de estas cantidades las ecuaciones de Maxwell quedan reducidas solo a dos, puesto que, la ley de Gauss para el campo magntico y la ley de Faraday quedan satisfechas por definicin. As la ley de Gauss para el campo elctrico escrita en trminos de los potenciales:

y la ley de ampre generalizada

Ntese que se ha pasado de un conjunto de cuatro ecuaciones diferenciales parciales de primer orden a solo dos ecuaciones diferenciales parciales pero de segundo orden. Sin embargo, estas ecuaciones se pueden simplificar con ayuda de una adecuada eleccin del gauge.

[editar] Consecuencias fsicas de las ecuaciones[editar] Principio de conservacin de la cargaArtculo principal: Carga.

Las ecuaciones de Maxwell llevan implcitas el principio de conservacin de la carga. El principio afirma que la carga elctrica no se crea ni se destruye, ni global ni localmente, sino que nicamente se transfiere; y que si en una superficie cerrada est disminuyendo la carga contenida en su interior, debe haber un flujo de corriente neto hacia el exterior del sistema. Es decir la densidad de carga y la densidad de corriente satisfacen una ecuacin de continuidad. A partir de la forma diferencial de la ley de Ampre se tiene:

que al reemplazar la ley de Gauss y tomar en cuenta que cualquier vector ), se obtiene:

(para

o bien en forma integral:

[editar] Ecuaciones originales de MaxwellEn el captulo III de A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field, titulado "Ecuaciones generales del campo electromagntico", Maxwell formul ocho ecuaciones que las nombr de la A a la H.15 Estas ecuaciones llegaron a ser conocidas como "las ecuaciones de Maxwell", pero ahora este epteto lo reciben las ecuaciones que agrup Heaviside. La versin de Heaviside de las ecuaciones de Maxwell realmente contiene solo una ecuacin de las ocho originales, la ley de Gauss que en el conjunto de ocho sera la ecuacin G. Adems Heaviside fusion la ecuacin A de Maxwell de la corriente total con la ley circuital de Ampre que en el trabajo de Maxwell era la ecuacin C. Esta fusin, que Maxwell por s mismo public en su trabajo On Physical Lines of Force de 1861 modifica la ley circuital de Ampre para incluir la corriente de desplazamiento de Maxwell. Las ocho ecuaciones originales de Maxwell pueden ser escritas en forma vectorial as:

Denominacin A B C D E F G H

Nombre Ley de corrientes totales Definicin de vector potencial magntico Ley circuital de Ampre Fuerza de Lorentz Ecuacin de electricidad elstica Ley de Ohm Ley de Gauss Ecuacin de continuidad de carga

Ecuacin

donde:

es el vector intensidad de campo magntico (llamado por Maxwell como

intensidad magntica); es la densidad de corriente elctrica y es la corriente total incluida la corriente de desplazamiento; es el campo desplazamiento (desplazamiento elctrico); es la densidad de carga libre (cantidad libre de electricidad); es el vector potencial magntico (impulso magntico); es el campo elctrico (fuerza electromotriz [no confundir con la actual definicin de fuerza electromotriz]); es el potencial elctrico y es la conductividad elctrica (resistencia especfica, ahora solo resistencia). Maxwell no consider a los medios materiales en general, esta formulacin inicial usa la permitividad y la permeabilidad en medios lineales, istropos y no dispersos, a pesar que tambin se las puede usar en medios anistropos. Maxwell incluy el trmino en la expresin de la fuerza electromotriz de la ecuacin D, que corresponde a la fuerza magntica por unidad de carga en un conductor que se mueve a una velocidad . Esto significa que la ecuacin D es otra formulacin de la fuerza de Lorentz. Esta ecuacin primero apareci como la ecuacin 77 de la publicacin On Physical Lines of Force de Maxwell, anterior a la publicacin de Lorentz. En la actualidad esta fuerza de Lorentz no forma parte de las ecuaciones de Maxwell pero se la considera una ecuacin adicional fundamental en el electromagnetismo.

[editar] Expresin de las ecuaciones en relatividadEn la relatividad especial, las ecuaciones de Maxwell en el vaco se escriben mediante unas relaciones geomtricas, las cuales toman la misma forma en cualquier sistema de referencia inercial. stas estn escritas en trminos de cuadrivectores y tensores contravariantes, que son objetos geomtricos definidos en M4. Estos objetos se relacionan

mediante formas diferenciales en relaciones geomtricas que al expresarlas en componentes de los sistemas coordenados Lorentz proporcionan las ecuaciones para el campo electromagntico. La cuadricorriente est descrita por una 1-forma y lleva la informacin sobre la distribucin de cargas y corrientes. Sus componentes son:

Que debe cumplir la siguiente relacin geomtrica para que se cumpla la ecuacin de continuidad.

Escrito en componentes de los sistemas coordenados Lorentz queda:

Para poner en correspondencia objetos del mismo rango, se utiliza el operador de Laplace-Beltrami o laplaciana definida como:

Podemos poner en correspondencia el cuadrivector densidad de corriente con otro objeto del mismo rango como es el cuadripotencial, que lleva la informacin del potencial elctrico y el potencial vector magntico.

O escrito en coordenadas Lorentz obtenemos que:

Expresin que reproduce las ecuaciones de onda para los potenciales electromagnticos. La 1-forma A lleva la informacin sobre los potenciales de los observadores inerciales siendo sus componentes:

Para obtener el objeto geomtrico que contiene los campos, tenemos que subir el rango de A mediante el operador diferencial exterior obteniendo la 2-forma F campo electromagntico. En forma geomtrica podemos escribir:

Que expresado para un sistema inercial Lorentz tenemos que:

Con lo que obtenemos el tensor de campo electromagntico.

[editar] Primer par de ecuaciones de MaxwellLa siguientes expresiones ligan los campos con las fuentes, relacionamos la cuadricorriente con el tensor campo electromagntico mediante la forma geomtrica:

O bien en coordenadas Lorentz:

[editar] Obtencin de las ecuaciones Para un observable en S partiendo de expresin en coordenadas Lorentz podemos obtener:

Para

tenemos que:

, entonces:

Por tanto:

Para

podemos obtener de la misma forma que:

[editar] Segundo par de ecuaciones de MaxwellCorresponden a las ecuaciones homogneas. Escritas en forma geomtrica tenemos que:

Que corresponde con la expresin en los sistemas coordenados Lorentz:

Donde el tensor

es el tensor dual de F. Se obtiene mediante el operador de Hodge.

[editar] Obtencin de las ecuaciones

Para

:

Por tanto:

Para

se obtiene la ecuacin vectorial:

La propiedad puede expresar como Lorentz como:

reproduce las ecuaciones de Maxwell internas, que se , que se puede escribir en los sistemas coordenados

Podemos resumir el conjunto de expresiones que relacionan los objetos que describen el campo electromagntico en la siguiente tabla. La primera columna son las relaciones geomtricas, independientes de cualquier observador; la segunda columna son las ecuaciones descritas mediante un sistema coordenado Lorentz; y la tercera es la descripcin de la relacin y la ley que cumple. Forma Geomtrica Covariante Lorentz Descripcin Condicin/gauge de Lorenz (*) Definicin de Campos Electromagnticos Ecuaciones de Ondas Ecuaciones de Maxwell Ley de conservacin de la Carga (*) Existe una confusin habitual en cuanto a la nomenclatura de este gauge. Las primeras ecuaciones en las que aparece tal condicin (1867) se deben a Ludvig V.

Lorenz, no al mucho ms conocido Hendrik A. Lorentz. (Vase: J.D. Jackson: Classical Electrodynamics, 3rd edition p.294) Finalmente el cuadrigradiente se define as:

Los ndices repetidos se suman de acuerdo al convenio de sumacin de Einstein. De acuerdo con el clculo tensorial, los ndices pueden subirse o bajarse por medio de la matriz fundamental g. El primer tensor es una expresin de dos ecuaciones de Maxwell, la ley de Gauss y la ley de Ampre generalizada; la segunda ecuacin es consecuentemente una expresin de las otras dos leyes. Se ha sugerido que el componente de la fuerza de Lorentz se puede derivar de la ley de Coulomb y por eso la relatividad especial asume la invarianza de la carga elctrica.16 17

[editar] Expresin de las ecuaciones para una frecuencia constanteEn las ecuaciones de Maxwell, los campos vectoriales no son solo funciones de la posicin, en general son funciones de la posicin y del tiempo, como por ejemplo . Para la resolucin de estas ecuaciones en derivadas parciales, las variables posicionales se encuentran con la variable temporal. En la prctica, la resolucin de dichas ecuaciones pueden contener una solucin armnica (sinusoidal). Con ayuda de la notacin compleja se puede evitar la dependencia temporal de los resultados armnicos, eliminando as el factor complejo de la expresin . Gran parte de las resoluciones de las ecuaciones de Maxwell toman amplitudes complejas, adems de no ser solo funcin de la posicin. En lugar de la derivacin parcial en el tiempo se tiene la multiplicacin del factor imaginario , donde es la frecuencia angular. En la forma compleja, las ecuaciones de Maxwell toman la siguiente forma:10

[editar] Vase tambin

divergencia rotacional

Electromagnetismo James Clerk Maxwell Oliver Heaviside Carga Onda electromagntica Ecuacin de onda electromagntica Ecuaciones de Jefimenko Ley de Gauss Ley de Faraday Ley de Ampre

[editar] Notas y referencias1. Ecuaciones de Maxwell (1999 de agosto). Consultado el 15/1/2008. 2. ngel Franco Garca: Universidad del Pas Vasco (octubre de 2006). El espectro electromagntico. Consultado el 15/1/2008. 3. Teorema de Gauss y Flujo Elctrico. Consultado el 19/1/2008. 4. Lnea de cargas. Ley de Gauss. Consultado el 18/1/2008. 5. a b c d e Richard Feynman (1974) (en ingls). Feynman lectures on Physics Volume 2. Addison Wesley Longman. ISBN 0-201-02115-3. 6. Magnetosttica. Consultado el 19/1/2008. 7. Concepto de Flujo. Consultado el 19/1/2008. 8. Ley de Faraday-Henry. Consultado el 19/1/2008. 9. a b Ley de Ampere-Maxwell. Consultado el 20/1/2008. 10. a b c ngel Cardama Aznar (2002). Antenas. UPC. ISBN 84-8301-625-7. 11. Liliana I. Perez. APUNTE:Ecuaciones de Maxwell. Consultado el 22/1/2008. 12. a b c La web de Fsica (2008). Ecuaciones de Maxwell. Consultado el 23/1/2008. 13. Potencial Vector Magntico. Consultado el 21/1/2008. 14. Ecuaciones del Electromagnetismo. Consultado el 21/1/2008. 15. Professor Clerk Maxwell on the electromagnetic field (en ingls). Consultado el 21/1/2008. 16. L. D. Landau, E. M. Lifshitz (1980) (en ingls). The Classical Theory of Fields. Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9. 17. Richard E Haskell (2006). Special relativity and Maxwell equations (en ingls). Consultado el 23/1/2008.

[editar] Enlaces externos

On Physical Lines of Force A dinamical theory of the electromagnetic field Trabajo original de Maxwell Monografas.com archivo sobre ecuaciones de Maxwell Modelo de Maxwell Fundamentos de la radiacin A treatise on electricity and magnetism (1873) Vol. 1 PDF A treatise on electricity and magnetism (1873) Vol. 2 PDF

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