fuente lineal uniforme ∫

ANTENAS RADIACIÓN DE ANTENAS CILÍNDRICAS 1

© Miguel Ferrando, Alejandro Valero. Dep. Comunicaciones. Universidad Politécnica de Valencia

Fuente lineal uniforme

Se entiende por fuente lineal uniforme un hilo metálico, alineado a lo largo del eje z, por el que circulan una corriente constante

Vector de Radiación

Un hilo de corriente uniforme de longitud total h, situado en el eje z, tiene un vector de radiación dado por

( )'2

2

sin sin2ˆ ˆ ˆ'

2

z

zh

jk zh

z

k hu

N z Ie dz zIh zIhk h u−

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠= = =

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

10 0 10

0.5

0.5

11

0.217−

F u( )

1515− u

R

r z’

z

x

y



Si la corriente tiene una fase progresiva lineal, el vector de radiación tiene la misma forma, pero el máximo se encuentra en una dirección diferente.

'( ')sinˆ

( )2

j z

z

I z IeuN zIh

uk hu

β

β

−=

=

−=

El máximo de radiación se tiene para u=0. La orientación espacial del máximo del vector de radiación depende de la fase progresiva.

cos m kβθ =

Campos radiados

Los campos radiados estarán linealmente polarizados y se obtendrán como el producto del diagrama del dipolo elemental por el vector de radiación del hilo de corriente.

sinsin sin

4

jkr

ze uE j A j A j Ih

r uθ θµω ω θ ω θπ

−

= − = =

( )2

zk hu β+=

El hilo tiene siempre un nulo de radiación en la dirección del mismo. Ejemplos de diagramas de radiación para hilos con fase constante son



Diagramas plano E

El plano E es el definido por la dirección de máxima radiación (θ=π/2), y el campo eléctrico en dicha dirección (vector paralelo al eje z). Por lo tanto el plano E es cualquier plano φ=cte.

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0.80.60.40.20

1

0E θ( )

θ

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0.80.60.40.20E θ( )

θ

Diagramas de radiación plano E para hilos uniformes de corriente longitudes λ y 2λ.



Diagramas plano H

El plano H está definido por la dirección de máxima radiación y la orientación del campo magnético en dicha dirección. Es el plano XY. El diagrama en dicho plano es omnidireccional

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0.80.60.40.20

1

01

θ

Diagramas de radiación de hilos de onda progresiva

En este caso el máximo no se encuentra en la dirección perpendicular al hilo, sino que aparece un efecto de inclinación del haz, tal y como se observa en las siguientes figuras, correspondientes a los diagramas de hilos de longitudes 1.5λ y 2λ.



Diagramas plano E (fase progresiva)

Los cortes de los diagramas anteriores en el plano E son

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0.4

0.2

0

0.52

0E θ( )

θ

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

0.4

0.30.2

0.10

0.458

0E θ( )

θ

Ancho de haz

El ancho de haz a –3 dB para el hilo uniforme de corriente se encuentra resolviendo la ecuación trascendente.

3

3

sin 12

uu

−

−

=



La solución es

3 1.39u− = ±

Se ha despreciado el efecto del diagrama de radiación del dipolo elemental, ya que se supone que el vector de radiación varía mucho már rápidamente con el ángulo. Los puntos a –3 dB correspondientes en el diagrama de radiación se obtienen a partir de

3 3 max

13 max

(cos cos )2

cos 0.443 cos

khu

h

θ θ

λθ θ

− −

−−

= −

⎛ ⎞= ± +⎜ ⎟⎝ ⎠

El ancho de haz a –3 dB, en el caso de los dos puntos de caída a –3 dB estén dentro del margen visible será la diferencia entre ambos puntos, es decir.

1 13 max maxcos 0.443 cos cos 0.443 cosA

h hλ λθ θ− −

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

En el caso de que la fuente lineal de corriente tenga fase uniforme, el máximo se producirá en la dirección perpendicular al hilo (dirección broadside).

3

3 3cos cos

2 2 2kh khu θ π θ−

− −⎛ ⎞= = ± ∆⎜ ⎟⎝ ⎠

El ancho de haz se obtendrá como

1

3

3

2sin 0.443

0.886

Ah

Ah

λ

λ

−−

−

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

=



Relación de lóbulo principal a secundario

La posición de los lóbulos secundarios se obtiene a partir de los máximos del diagrama. Como valor aproximado se puede tomar un valor intermedio entre dos nulos. El máximo se obtiene en u=0, el primer nulo en u=π, y el segundo en u=2π. Entre ambos se obtendrá un máximo secundario. El valor es

3sin22

3 32

320log 13.462

NLPS dB

π

π π

π

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

La posición exacta del máximo secundario se puede obtener derivando la expresión del vector de radiación y resolviendo la ecuación resultante. El valor exacto que se obtiene (despreciando el diagrama del dipolo elemental) es

1.43u π= El valor exacto del nivel de lóbulo principal a secundario es 13.26 dB.

4.2 4.4 4.6 4.8 5

13−

14−

20 log F u( )( )⋅

1.6π1.3π u



Distribuciones arbitrarias de corrientes Si la distribución de corrientes no es uniforme, es necesario calcular la transformada de Fourier unidimensional.

Distribución Transformada Ancho haz –3 dB NLPS

0I ( )0

sin uI l

u

50.6lλ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

-13.2

121 'I zl

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

2

1

sin2

22

ulI

u

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

73.4

lλ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

-26.4

2 cos 'I zlπ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( )

2 22

cos2

2

uI l

u

ππ⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠

68.8lλ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

-23.2

23 cos 'I zπ

λ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 2

3 2 2

sin2

ulIu u

ππ⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

83.2

lλ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

-31.5

Se puede observar que si I(z) es una función continua (triangular, coseno), mejora el nivel de lóbulo principal a secundario. Si además hay continuidad de la derivada (función cos2 ) se mejora aún más dicho valor. En cambio, el ancho de haz a –3dB va aumentando. Se puede ver que un empeoramiento del ancho de haz supone una mejora del nivel de lóbulo principal a secundario, y viceversa.



Transformadas de Fourier

Escala lineal

10 5 0 5 10

0.5

0.5

11

0.217−

Uniforme u( )

Triangular u( )

Coseno u( )

1010− u

Escala logarítmica

10 5 0 5 1040

30

20

10

00

40−

Unif u( )

Triang u( )

Cos u( )

1010− u



Radiación de dipolos

Distribución de corrientes

Supongamos un hilo de corriente situado sobre el eje z. Una antena se puede considerar como una línea de transmisión en circuito abierto. La distribución de corrientes se puede estudiar a partir de las ondas estacionarias que se forman en la línea. En el extremo abierto la condición de contorno es que la corriente sea nula, con lo que expresión de las corrientes será.

( )( )( ') sin 'mI z I k H z= −

La corriente en el origen toma el valor

( )(0) sinmI I kH=

Línea de transmisión Generador

Línea de transmisión Generador

z=0

Circuito abierto

z=H

H

H

1 0.5 0 0.51

0

1

I z( )

z



Vector de radiación

El vector de radiación se puede calcular a partir de la transformada de Fourier de la distribución de corrientes.

( ) 'ˆ ' 'z

Hjk z

H

N z I z e dz−

= ∫

La distribución de corrientes es par, por lo que la transformada de Fourier de una función par se puede calcular como.

( ) ( )0

ˆ2 ' cos ' 'H

zN z I z k z dz= ∫

Sustituyendo la corriente por su expresión, resulta

( )( ) ( )

( ) ( )( )0

0

ˆ2 sin ' cos ' '

ˆ2 sin ' ' sin ' ' '

H

m z

H

m z z

N zI k H z k z dz

N zI kH kz k z kH kz k z dz

= −

= − + + − −

∫

∫

Efectuando las integrales indicadas, se obtiene el vector de radiación

cos cos cos cosˆ z zm

z z

k H kH k H kHN zIk k k k

⎛ ⎞− −= − +⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠

La expresión final es

2 2

cos cosˆ2 zm

z

k H kHN z kIk k

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Si el dipolo estuviera orientado según el eje x, los resultados serían totalmente similares.

2 2

cos cosˆ2 xm

x

k H kHN x kIk k

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Para una orientación del dipolo sobre el eje y



2 2

cos cosˆ2 y

my

k H kHN y kI

k k⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠

Campos radiados

La relación entre la frecuencia espacial kz y la dirección angular es

coszk k θ= Por lo tanto el vector de radiación, para un dipolo orientado en la dirección del eje z es

2

cos( cos ) cos2sinz m

kH kHN Ik

θθ−

=

El potencial vector se obtiene multiplicando el vector de radiación por un término de onda esférica

2

cos( cos ) cos24 sin

jkr

z me kH kHA I

r kµ θπ θ

− −=

Los campos radiados se obtienen a partir de las componentes esféricas del potencial vector

sin0

zA AAθ

φ

θ= −=

Los campos radiados lejanos, en la región de Fraunhofer serán

ˆ ˆsin

ˆzE j A j A

EH

θ

θ

ω θ ω θθ

φη

= − =

=

La polarización de la antena es lineal, como en el dipolo elemental. El plano H es perpendicular al dipolo, y el plano E es un plano que contiene al dipolo.



Diagramas de radiación

H=λ/8

H=λ/4

H=λ/2

Corrientes Diagrama 3D



H=5λ/8

H=3λ/2

H=λ

Corrientes Diagrama 3D



Longitud efectiva

La longitud efectiva de un dipolo se puede calcular a partir del vector de radiación.

( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ0 0 0 0

cos( cos ) cos cos( cos ) cosˆ ˆ2 20 sin sin sin

radef

mef

r r N N NNN N r rlI I I I

I kH kH kH kHlI k k kH

θ φθ φ

θ θθ θθ θ

× × +− ⋅ −= = = =

− −= − = −

En la dirección normal al dipolo, la longitud efectiva se puede calcular como

1 cos ˆsinef

kHlkH

λ θπ

−⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎝ ⎠

O bien directamente a partir del vector de radiación particularizado en dicha dirección

( ) ( )

( ) ( )

'ˆ ˆ' ' ' '

1ˆ ' '0

z

H Hjk z

H HH

efH

N z I z e dz z I z dz

l z I z dzI

− −

−

= =

=

∫ ∫

∫

En un dipolo elemental, de longitud l, en su dirección normal

ˆefl lz= Si el dipolo tuviese distribución triangular

ˆ2efll z=

Para un dipolo de semibrazo H=λ/4

ˆefl zλπ

=



Potencia radiada. Resistencia de radiación.

La densidad de potencia radiada es

( ) ( ) 22 2

2 2

cos cos cos,

4 sinmE kH kHIPr

θ θηθ φη π θ

−⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

La potencia total radiada se obtiene integrando la expresión anterior en una esfera que encierre al dipolo

( ) ( )( )222 2

0 0 0

cos cos cossin

2 sint m

kH kHW P r d d I d

π π π θηθ θ θ φ θπ θ

−= =∫ ∫ ∫

La resistencia de radiación, referida al máximo de la distribución de corriente será.

( )( )2

20

cos cos cos60

sint

rm

kH kHWR dI

π θθ

θ−

= = ∫

La integral se puede calcular utilizando técnicas numéricas. Una gráfica de dicha Resistencia de Radiación es

0 0.5 1 1.50

100

200

300

400367.405

0

R H( )

1.50 Hλ



La resistencia de radiación referida a la entrada es

( ) ( )200tWR

I=

La relación entre la corriente a la entrada y la corriente máxima se obtiene a partir de la expresión para la distribución de corrientes

( )(0) sinmI I kH= La resistencia a la entrada será

( ) ( )2

2 200 sin

m rr

I RR RI kH

= =

Para los valores en los que se producen resonancias, la resistencia de entrada tomaría valores que según el modelo indicado debería ser infinito. En la práctica estos valores son altos (kΩ), dado que el modelo utilizado para la distribución de corrientes no es totalmente correcto. Para calcular la distribución de corrientes habría que recurrir a procedimientos numéricos, como el método de los momentos.

Directividad

La directividad se puede calcular como

( ) ( ) ( )( )22 2

2 2

2

4 cos cos cos( ) 120sen

4t m r r

P r E kH kHD W I R Rr

θ π θ θθη θ

π

−= = =⋅

La Directividad en la dirección perpendicular al hilo de corriente es

( )21 cos( ) 1202 r

kHDR

π −=

La directividad toma valores comprendidos entre 1.5 (dipolo corto, hasta valores máximos de 3.3 (dipolo de semibrazo 5λ/8).



0.5 1 1.50

1

2

3

44

0

D Hπ2

,⎛⎜⎝

⎞⎠

1.50.01 H La Directividad máxima en dipolos largos se produce en la dirección donde el diagrama es máximo. Los saltos en la curva de Directividad están relacionados con la aparición de nuevos lóbulos de difracción.



El dipolo resonante

El dipolo de longitud total 22

H λ= es un caso especial que merece

ser estudiado por separado. La distribución de corrientes, para un dipolo resonante alineado según el eje z es

( )( )( ') sin ' cos 'm mI z I k H z I kz= − =

El vector de radiación se puede escribir como

2 2 2

cos coscos cos 2ˆ ˆ2 2

sinz

m mz

k H kHN z kI z Ik k k

π θ

θ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞− ⎝ ⎠= =⎜ ⎟−⎝ ⎠

El campo eléctrico radiado es

cos cos cos cos2 22 60

4 sin sin

jkr jkr

m me eE j I j I

r k rθ

π πθ θµωπ θ θ

− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

El campo máximo se produce en la dirección perpendicular al dipolo el valor de su módulo es

60 mIErθ =

La resistencia de radiación vale 73 ohmios y la directividad 1.64. Su longitud efectiva máxima es

efl λπ

=



TABLA COMPARATIVA DE DIPOLOS

Corrientes Corte Plano E Diagrama ancho D Rr

0

H=λ/4

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

1

0.5

0

78º

1.64

73Ω

0

H=3λ/8

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

1.51

0.50

62º

1.94

180Ω

0

H=λ/2

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

2

1

0

47º

2.41

199Ω

0

H=5λ/8

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

1.51

0.50

31º

3.33

105Ω

0

H=3λ/4

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

1

0.5

0

32º

2.17

99.5Ω

0

H=λ

0

30

6090

120

150

180

210

240270

300

330

2

1

0

27º

2.52

260Ω



Teoría de las imágenes El efecto de las corrientes y cargas inducidas en planos de masa se puede analizar sustituyendo el plano de masa por las cargas y corrientes equivalentes, utilizando los resultados de estática, válidos asimismo en campos variables con el tiempo. La imagen de una carga positiva frente a un plano de masa es una carga negativa situada simétricamente. Utilizando la ecuación de continuidad, las corrientes están relacionadas con las cargas mediante

0J jωρ∇⋅ + = ,

Una corriente elemental se puede sustituir por dos cargas en los extremos. En la gráfica se pueden ver diversos casos de corrientes y cargas Las condiciones de contorno que se tienen que cumplir en el plano metálico son

0

0

n E

n H

× =

⋅ =

Se puede comprobar que las imágenes de las corrientes y cargas se verifican dichas condiciones.



Monopolos

Los monopolos son antenas por hilos y planos de masa, alimentadas por una línea de transmisión. Utilizando la teoría de imágenes se demuestra que equivale a un dipolo.

Los monopolos tienen la misma corriente que los dipolos, los campos radiados son los mismos en el semiplano superior, mientras que el campo es cero en el semiplano inferior del monopolo. La comparación entre los diversos parámetros de radiación es

Parámetro Monopolo Dipolo Corriente I I Tensión V 2V Potencia radiada W 2W Resistencia de radiación Rr /2 Rr

Impedancia Z/2 Z Directividad 2D D Área efectiva A/2 A Longitud efectiva l/2 l Otros ejemplos de monopolos, con cargas capacitivas son

fuente lineal uniforme ∫

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