física. tema 5. moment lineal i centre de masses · problema: determina la velocitat final dels...

Física.

Tema 5.

Moment lineal i centre de masses

5.1. Moment lineal.

5.2. Conservació del moment lineal.

5.3. Col·lisions.

5.4. Centre de masses.

5.5. Moviment del centre de masses.

5.1. Moment lineal

Considerem un cos que es mou sota l'acció d'un conjunt de

forces. La llei del moviment és

td

pdF

12

2

1

ppdF

t

t

t

S F m v 1 2 m v

temps t1

temps t2

Si integrem respecte del temps

obtenim

La quantitat de l'esquerra s'anomena impuls lineal, i el resultat és

el principi de l'impuls i la quantitat de moviment lineal:

“L'impuls aplicat a un cos durant un interval de temps

és igual al canvi de la seua quantitat de moviment

lineal.”

Es defineix la quantitat de moviment lineal o, simplement,

moment lineal com vp

m

5.1. Moment lineal

En una col·lissió, una força variable actua entre el

objectes que col·lisionen, durant el curt temps que

dura la col·lisió. Definim la força mitjana,

2

112

1t

tmitjana

ttt

dFF

12 ppF

mitjanat

Aleshores el canvi de moment

lineal es pot escriure

t t

F(t)

Fm

5.2. Conservació del moment lineal

Siguen dos cossos A i B, que interaccionen mútuament, sent FAB

la força que exerceix B sobre A i FBA la força que exerceix A

sobre B. Segons la tercera llei de Newton,

A

B

F AB

F BA

0 BAAB FF

Considerarem ara diversos cossos en

interacció i veurem que en aquells casos en

què es pot ignorar la influència de forces

externes, el moment lineal total es conserva.

td

dpF

dt

dextint

pFF

0int

F

dt

dext

pF

ctsi pF

0ext


En sumar aquestes dues equacions obtenim

Si la influència d'altres forces a banda de les indicades és

negligible, podem aplicar el principi de l'impuls i la quantitat de

moviment a cadascun dels cossos A i B de la següent manera

12

12

2

1

2

1

d

d

BB

t

t

BA

AA

t

t

AB

t

t

ppF

ppF

2211 BABA pppp

.constBA pp

i així, la quantitat de moviment lineal total es conserva


2

1

2

1

t

t

BA

t

t

AB tt dFdF

BA pp

BA

BA v

m

mv

Si inicialment estaven parats

5.3. Col·lisions

Si podem negligir l'efecte de les forces externes, el

moment lineal total es conserva,

BBAABBAA mmmm vvvv B

v'

v A

v'A

B v

v

v

BABA pppp

5.3 Col·lisions

5.3. Col.lisions

Voyager 1 & 2 (llançades en 1977) utilitzaren la gravetat de

Jupiter per dirigir-se a Saturn i la de Saturn per anar més

enllà. Abandonen el sistema solar en 2013.

Impuls gravitacional

5.3. Col·lisions

S'anomena una col·lisió elàstica quan l'energia cinètica

total del sistema de partícules es manté constant durant

la col·lisió, és a dir

2222

2211 2

1

2

1

2

1

2

1BBAABBAA vmvmvmvm

BABA pppp

TT KK '

BABA KKKK ''

2211 BBAABBAA mmmm vvvv

5.3. Col·lisions

Una col·lisió en què els dos cossos s'apeguen i continuen

units després de la col.lisió, s’anomena totalment

inelàstica o plàstica

'KK

BABA pppp

2)(11

vvv BABBAA mmmm

5.3. Col·lisions

1212 vvevv

v‘2

v1 = 0

x abans

després x

v2

v’1

Col.lisions directes

e es defineix com el coeficient de restitució

2212211 vvvv mmmm

En col.lisions elàstiques, e=1

En col.lisions inelàstiques, 0 < e < 1

5.3. Col·lisions

Col.lisions directa elàstica

0

0

2v

mm

mv

vmm

mmv

BA

AB

BA

BAA

5.3. Col·lisions

Problema:

Determina la velocitat final dels dos cossos en una col·lisió

elàstica

mmmb

mMa

BA

)

)

5.3 Col.lisions

B1A1B2A2 vv1vv

A1B2A2 vv2v

B1A1B2A2 vvevv

Exemple: impuls d’un satèlit

Què passa amb el moment?

5.3. Col.lisions

tBtBtAtA vvvv ,

En la direcció n, es conserva la quantitat de moviment:

i les velocitats estan relacionades pel coeficient de restitució

nBBnAAnBBnAA mmmm vvvv

nBnA

nBnAe

vv

vv

Col.lisions oblíqües

En la direcció t, la velocitat no

canvia:

B v'

v A

v' A

B v

t n

5.3. Col.lisions

En una partida de frontó, la pilota xoca amb la paret amb

velocitat vA i angle amb la perpendicular q. Si el coeficient de

restitució és e, quines son les velocitat i angle de la pilota

després de la col.lisió.

vA

v' A

5.3. Col·lisions

5.3. Col·lisions

La bola colpeja el pal i hi queda adherida. El

coeficient de fregament del tauló amb el terra

és

¿Quina és la velocitat de la bola quan olpeja el pal?

¿Quina distància recorre el tauló en el terra?

5.4. Centre de masses

La posició del centre de masses

del sistema format pels dos

cossos ve donada per

l'expressió:

En coordenades

BA

BBAAcm

mm

mm

rrr

BA

BBAAcm

mm

xmxmx

5.4 Centre de masses

n

i

i

i

n

i

i

cm

m

xm

x

1

1

n

i

i

i

n

i

i

cm

m

zm

z

1

1

Si el sistema està format per un conjunt de n partícules

discretes, distribuï-des en un espai tridimensional, el centre de

masses es defineix com

n

i

i

n

i

ii

cm

m

m

1

1

r

r

Que en coordenades cartesianes es

queda

n

i

i

i

n

i

i

cm

m

ym

y

1

1

x

y

z

r1 r2

r3

r4

rn


x

dV

dm

V

M

dV

dVCM

'rr

Definició

Si el sistema es ara un cos extens, la massa està distribuïda en

l’espai i el centre de masses es calcula a partir de l’expressió

dm

dmCM

'rr

x

y

z

z’

x’

y’

CM dV

xCM

yCM

Si la massa està distribuïda uniformement en

un volum,

En general, podem escriure la densitat com

I, aleshores Si =ct, Centroid


dV

dVCM

'rr

dS

dSCM

'rr

dS

dm

S

M

dl

dlCM

'rr

Densitat superficial

Si el sistema es ara un objecte de gruix, t, menyspreable podem

definir la densitat superficial de massa

dS

dS

dm

dmCM

'' rrr

aleshores,

i, aleshores

Si =ct,

y

dV = tdA

x

y

z

z

x

CM

x

y

z

Si la massa està distribuïda uniformement en la superfície,

Densitat lineal

Si el sistema es ara un objecte unidimensional, com un fil

d’aram, podem definir la densitat longitudinal de massa com

dl

dm aleshores,

dl

dlCM

'rr

L

M i

CM dV =S dl

y

x

y

z

z

x

x

y

z



Determineu la massa total, i la posició del

CM, d’una barreta de longitud L de densitat

lineal variable. x


Determineu la superfície total A, i la posició

del CM, d’una placa homogènia

semicircular com es mostra en la figura.

cmx cmy

CM

h

y

b/2 b/2

h

3

bh

2

3

4r

3

4 r

3

4r

4

2r

2

2r

4 a

3

3

4b3

4b

4

ba

2

ba

3 a

8

3 h

5

3 h

5

2 ah

3

4 ah

3

3 a

4

3 h

10

ah

3

2 r sin

3

2r

Forma Àrea

Àrea triangular

Un quart d'àrea circular

Àrea semicircular

0

Quart d'àrea el·líptica

Àrea semiellíptica

0

Àrea semiparabòl·lica

Àrea parabòl·lica

0

Extradós parabòl·lic

Sector circular

0


Elements compostos

CBA

CCBBAAcm

mmm

ymymymy

x

y

A B

C xcmA xcmB xcmC

CBA

CCBBAAcm

mmm

mmm

rrrr

CBA

CCBBAAcm

mmm

xmxmxmx

Si tenim un objecte que podem separar en elements dels que

coneixem la posició del centre de masses, puc calcular la posició

del centre de masses del conjunt d’una manera molt senzilla:

ycmA ycmB

ycmC


Forats

21

2211

mm

ymymycm

21

2211

mm

mmcm

rrr

21

2211

mm

xmxmxcm

Quan tenim forats cal tractar aquest

com una massa negativa:

x

y

x

y

x 1

x

y

x 2



x

y

R R 2R

Una placa circular de radi 2R té un

forat circular, tangent a la vora, de radi

R. Hem de calcular la posició del

centre de masses

BAcm ppp

ipp

cm

La posició del centre de masses del sistema

format pels dos cossos ve donada per

l'expressió:

BA

BBAAcm

mm

mm

rrr

Si derive aquesta expressió respecte del temps obtinc:

A

B

O

r B r

A r

BBAAcmBA mmmm vvv)

(BA

BBAAcm

mm

mm

vvv

cm

En general, per a un sistema de moltes partícules tindrem que el moment del

centre de masses és igual a la suma dels moments de les partícules:

5.5. Moviment del centre de masses


Quan dos cossos A i B interaccionen

(per exemple, per mitjà d'una col·lisió)

en absència de forces externes, la

velocitat del centre de masses del

sistema format pels dos cossos és

constant.

...332211 vvvv

mmmM cm


El centre de masses d’un sistema de

partícules, es mou baix influència

només de les forces externes

cmext M aF

física. tema 5. moment lineal i centre de masses · problema: determina la velocitat final dels...

Documents