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CAPÍTULO 5

FÓRMULAS DEL PRODUCTO Y DEL COCIENTE

5.1 FÓRMULA DE LA RAÍZ CUADRADA

Antes de practicar las fórmulas (7) y (8) del producto y del cociente, conviene deducir unafórmula para la raíz cuadrada, en virtud de que en muchas funciones aparece la necesidad de derivar-las.

Si , para derivarla debe hacerse primero y entonces emplear la fórmulay u 1 2/y u

de la potencia u n . Haciéndolo se llega a que

1 2/y u

11

21

2

dy duu

dx dx

n - 1

n udu

dx

Fórmulas del producto y del cociente

72

La derivada de una raíz cuadrada es la derivada del subradical (lo que está adentrodel radical) entre dos veces el radical original.

1

21

2

dy duu

dx dx

1

2

1

2

dy du

dx dxu

2

dudy dxdx u

Por ejemplo, si , su derivada se puede obtener rápidamente empleando2 3 7y x x

la fórmula anterior, colocando en el numerador la derivada de x2 - 3x + 7 (la derivada del subradi-cal), o sea 2x - 3, y en el denominador dos veces el radical original, esto es

2

2 3

2 3 7

dy x

dx x x

Debe tenerse cuidado de que esta fórmula solamente puede emplearse para raíces cuadradas,no para raíces cúbicas o de otro orden.


73

5.2 FÓRMULA DEL PRODUCTO

(7) fórmula del productod dv du

uv u vdx dx dx

en donde u representa a uno de los factores y v representa al otro factor.

Ejemplo 1: Hallar la derivada de 2 3 25 11 7 9y x x x x

Solución: Empleando la fórmula (7) del producto, en donde u representa el primer factor y v representael segundo factor, o sea

u = x2 + 5x ! 11v = x3 ! 7x2 ! 9

entonces empleando dicha fórmula:

dy dv duu v

dx dx dx

2 3 2 3 2 25 11 7 9 7 9 5 11dy d d

x x x x x x x xdx dx dx

u vdv

dx

du

dx

2 2 3 25 11 3 14 7 9 2 5dy

x x x x x x xdx


74

Ejemplo 2: Calcular la derivada de 2 5 9 5 4y x x x

Solución: En este caso los dos factores son

u = x 2 - 5x - 9

1/ 25 4 5 4xv x

Empleando la fórmula (7), página 77, del producto, se obtiene:

1/2 1/22 25 9 5 4 5 4 5 9dy d d

x x x x x xdx dx dx

u vdv

dx

du

dx

Para derivar (5x + 4)1/2 debe emplearse la fórmula (6) de un de la potencia, página 69:

1

1 1/ 22 21

5 9 5 4 5 4 5 4 2 52

dy dx x x x x x

dx dx

1/ 2 1/ 22 15 9 5 4 5 5 4 2 5

2

dyx x x x x

dx

2

1/ 2

1/ 2

5 5 95 4 2 5

2 5 4

x xdyx x

dx x

o bien


75

25 5 92 5 5 4

2 5 4

x xdyx x

dx x

Ejemplo 3: Hallar la derivada de 8 527 3 9 3y x x

Solución: En este caso los dos factores son

u = (7x2 - 3)8

v = (9 - 3x)5

Empleando la fórmula (7), página 77, del producto, se obtiene:

8 85 52 27 3 9 3 9 3 7 3dy d d

x x x xdx dx dx

u vdv

dx

du

dx

Para calcular las derivadas de (9 - 3x)5 y de (7x2 - 3)8 debe emplearse en ambas la fórmula (6)de u

n de la potencia de la página 69:

8 74 52 2 27 3 5 9 3 9 3 9 3 8 7 3 7 3dy d d

x x x x x xdx dx dx

8 74 52 27 3 5 9 3 3 9 3 8 7 3 14dy

x x x x xdx


76

8 74 52 215 7 3 9 3 112 9 3 7 3dy

x x x x xdx

5.3 FÓRMULA DEL COCIENTE

(8) fórmula del cociente2

du dvv ud u dx dx

dx v v

en donde u representa al numerador y v representa al denominador.

Ejemplo 4: Hallar la derivada de 6 7

8 9

xy

x

Solución: Cuando la función a derivar es una fracción, debe emplearse la fórmula (8) del cociente, endonde u simboliza el numerador y v simboliza el denominador. En este caso:

u = 6x + 7v = 8x - 9

Recordando la fórmula (8) del cociente y sustituyendo después:

2

du dvv ud u dx dx

dx v v

2

8 9 6 7 6 7 8 9

8 9

d dx x x xdy dx dx

dx x


77

2

8 9 6 6 7 8

8 9

x xdy

dx x

En este caso, aunque no es indispensable, conviene realizar las multiplicaciones indicadas enel numerador, pues así habrá reducción de términos:

2

48 54 48 56

8 9

dy x x

dx x

2

110

8 9

dy

dx x

Ejemplo 5: Derivar 425 7 9

9 1

x xy

x

Solución: Cuando la función a derivar es una fracción, debe emplearse la fórmula (8) del cociente, endonde u simboliza el numerador y v simboliza el denominador. En este caso:

u = (5x2 - 7x - 9)4

v = 9x - 1

Recordando la fórmula (8) del cociente y sustituyendo después:

2

du dvv ud u dx dx

dx v v


78

4 42 2

2

9 1 5 7 9 5 7 9 9 1

9 1

d dx x x x x xdy dx dx

dx x

3 42 2 2

2

9 1 4 5 7 9 5 7 9 5 7 9 9

9 1

dx x x x x x x

dy dxdx x

3 42 2

2

9 1 4 5 7 9 20 7 9 5 7 9

9 1

x x x x x xdy

dx x

Y ordenando conforme a las reglas de escritura para cada término: Primero se escribe el signo;

después el coeficiente numérico; a continuación los factores monomios (letras solas) en orden

alfabético; luego los factores polinomios y en seguida los radicales:

3 42 2

2

4 9 1 5 7 9 20 7 9 5 7 9

9 1

x x x x x xdy

dx x

Ejemplo 6: Calcular la derivada del ejemplo anterior utilizando la fórmula del producto.

Solución: La función original que tiene la forma de un cociente puede escribirse 445 7 9

9 1

x xy

x

como para que adquiera la forma de un producto. De esta 4 145 7 9 9 1y x x x

manera, u = (5x4 - 7x - 9)4 y v = (9x - 1)- 1.


79

Entonces, recordando la fórmula del producto:

d dv duuv u v

dx dx dx

Sustituyendo:

4 41 14 45 7 9 9 1 9 1 5 7 9dy d d

x x x x x xdx dx dx

u + vdv

dx

du

dx

4 245 7 9 1 9 1 9 1dy d

x x x xdx dx

31 4 49 1 4 5 7 9 5 7 9d

x x x x xdx

4 245 7 9 1 9 1 9dy

x x xdx

31 4 39 1 4 5 7 9 20 7x x x x

Finalmente ordenando de acuerdo con las reglas de escritura:

4 34 4 3

2

9 5 7 9 4 5 7 9 20 7

9 19 1

x x x x xdy

dx xx


80

Para verificar que es el mismo resultado que el obtenido en el ejemplo anterior cuando sederivó con la fórmula del cociente, debe efectuarse la suma de fracciones de este últimoresultado sacando común denominador:

4 34 4 3

2

9 5 7 9 9 1 4 5 7 9 20 7

9 1

x x x x x xdy

dx x

3 44 3 4

2

4 5 7 9 20 7 9 1 9 5 7 9

9 1

x x x x x xdy

dx x


81

EJERCICIO 5.1

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

PRODUCTOS:

1) 2) 2 26 11 9 5 13 21y x x x x 3 4 27 3 5 11y x x x x

3) 4) 5 4 27 7 4 4 17y x x x x 6 3 36 2 8 9 7y x x x x x

5) 6) 2 26 18 19 5y x x x x 7 5 33 2 2 9

8 7 11 19

x x x xy

7) 8) 7 23 6 6 4 11y x x x 52 24 2 7y x x x

9) 10)5 4 7y x x 72 3 233 2 3 6 9y x x x x

11) 12) 116 5 5 8y x x 5 42 271 1y x x

13) 14) 87 595 5 3y x x 75 24 7 5 8y x x x

COCIENTES:

15) 16)5

7 11xy

x x

5 11

5 11

xy

x

17) 18)2

3

9

5

xy

x x

57 6

xy

x


82

19) 20)43 7x x

yx

2

1

1

xy

x

21) 22) 8

6

6 7

xy

x

4

2

2 3

5

xy

x

23) 24) 53 2

3

7

11

x xy

x

2

7

6

2 9

x xy

x

25) 26)1

xy

x

2

2xy

x x

27) 28)7

3 2 1

xy

x

42

32

7 9

7 9

x xy

x x

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