Francisco Santos

Francisco Santos, el matemático queha resuelto la conjetura de Hirsch

Francisco Santos, profesor de la Universidad de Cantabria, ha marcado un hito enla investigación matemática al resolver un problema planteado hace más de 50 años, laconjetura de Hirsch. En este número del Boletín sabremos, a través de una entrevista,realizada por nuestro compañero José Cáceres, como ha vivido esta experiencia así comosu opinión sobre varios aspectos relacionados con la investigación y la educación mate-mática.

(Artículo completo en la página 2)

Los Simpson y las Matemáticas

Homer Simpson y la fórmula de Euler

¿Qué relación hay entre la popularserie de televisión y las Matemáticas?

En este curioso e interesante ar-tículo, escrito por estudiantes de la ti-tulación de Matemáticas de la UAL,descubriremos a varios de los matemá-

ticos que figuran entre los guionistasde la serie.

Esa es la razón de que en mu-chos episodios aparezcan situacioneshumorísticas en las que se utilizanconceptos matemáticos, algunos na-da triviales. Los guionistas deslizanestas «perlas matemáticas» entre lasmúltiples aventuras de los personajes,que pueden pasar desapercibidas parael gran público, pero que hacen lasdelicias de los aficionados a las Mate-máticas.

(Artículo completo en la página 22)

Editorial

Podemos afirmar que las Matemáticas están de moda. A las buenas pers-pectivas laborales de los titulados en esta disciplina se une un incremento dela visualización de las Matemáticas en los medios de comunicación de nuestropaís. Cabe mencionar que la colección «El mundo es matemático», que laeditorial RBA puso a la venta hace unos meses, ahora se está difundiendojunto con el diario El País que, a su vez, y con motivo del centenario de laReal Sociedad Matemática Española, propone semanalmente un problemamatemático para que sea resuelto por los lectores, parece ser que con granéxito de convocatoria a tenor de la cantidad de respuestas recibidas. Tambiénel programa de Canal Sur, Tesis, emitió recientemente un corto documentalsobre los estudios y las salidas profesionales de las Matemáticas.

En este sentido, nuestro Boletín sigue apostando por divulgar la importan-cia de las Matemáticas en nuestra sociedad, siendo uno de nuestros objetivosprimordiales acercarlas a los estudiantes de Bachillerato y Secundaria. Por ello,animamos a los estudiantes de estas etapas a participar en nuestro concursode problemas. El planteado en este número se puede encontrar en la pági-na 11. El premio está dotado con 50e en material matemático, que obtendrála mejor solución que se reciba antes del 12 de octubre.

Resumen

Actividad Matemática p. 2

Enseñanza Secundaria p. 9

Concurso de problemas p. 11

Divulgación Matemática p. 12

Territorio Estudiante p. 22

Correo electrónico:bmatema@ual.es

EDITORES

Juan Cuadra Díazjcdiaz@ual.es

Juan José Moreno Balcázarbalcazar@ual.es

Fernando Reche Loritefreche@ual.es

ISSN 1988-5318

BOLETÍN DE LA TITULACIÓN DE MATEMÁTICAS DE LA UAL

Bo√TitMatUal

Volumen IV. Número 3 29 de abril de 2011 ‖

Bo√TitMatUal

Actividad Matemática Volumen IV. Número 3 2 / 24

ENTREVISTA

Francisco Santos LealEl matemático español que ha resuelto la conjetura de Hirsch

José Cáceres GonzálezUniversidad de Almería

Francisco Santos

Tenemos el honorde entrevistar en es-te número del Bole-tín a Francisco San-tos, profesor del De-partamento de Mate-máticas, Estadísticay Computación de laUniversidad de Can-tabria, que reciente-mente ha resuelto la conjetura de Hirsch, una conjeturasobre el diámetro de un politopo d-dimensional planteadahace 53 años.

Ante todo, muchas gracias Paco por atender la lla-mada de nuestro Boletín. Mi primera pregunta es:¿cómo se le ocurre a uno ponerse a trabajar enuna conjetura que lleva 53 años pendiente? Y tam-bién cuéntanos qué sentiste cuando te diste cuentade que la habías resuelto, supongo que te dio unsubidón ¿no?

La conjetura de Hirsch es un problema del que todoel que trabaje en combinatoria geométrica ha oído hablarpero, como dices, al ser un problema famoso también esuno en el que da miedo meterse.

En mi caso, como he contado ya alguna vez, en 2002coincidí brevemente con Victor Klee, uno de los pionerosde la combinatoria de politopos, que por entonces ya te-nía 76 años (murió en 2007), y una de las personas quemás ha trabajado en la conjetura de Hirsch. Él me sugi-rió que intentara refutarla, pero me temo que no le hicemucho caso. Quizá por falta de confianza o quizá porquees un tema en el que se habían hecho muchos intentos pordiversos caminos y el primer paso, ponerme al día de labibliografía relevante, requería un cierto tiempo y calma.

«En matemáticas, cuando te obsesionas demasiadopor un problema es muy fácil convencerte a ti mismo

de algo que no es cierto del todo»

La suerte que tuve es que cuando estuve de sabático enla Universidad de California Davis en 2007-2008 había allíun estudiante doctoral, Edward Kim, que estaba haciendoprecisamente eso, revisar toda la bibliografía sobre la con-jetura de Hirsch, como preparación para su «Qual Exam»(un examen que pasan hacia la mitad de su doctorado,cuando han terminado la parte de formación y se metende lleno en la de investigación). Eso me animó a metermeen el tema y, aunque no obtuvimos ningún resultado rele-vante, sí que encontramos maneras nuevas y simplificadas

de reinterpretar los intentos de refutación que se habíanhecho hasta la fecha, de modo que decidimos escribir un«survey».

Estamos ya en 2009, año en el que impartí varias con-ferencias sobre la conjetura de Hirsch (una, por ejemplo,en el congreso anual de la RSME en Oviedo). Por supues-to, durante todo este tiempo (desde finales de 2007) yollevaba conmigo la conjetura igual que uno lleva siemprevarios problemas en los que piensa cuando tiene un ratoo cuando cree tener una idea nueva. Además, el descubri-miento de que los intentos anteriores de refutación eran enel fondo más sencillos de lo que parecían en un principiome había convencido de que la conjetura era falsa (lo cual,por otra parte, creo que era la opinión mayoritaria).

La idea nueva que al final funcionó me vino un poco decasualidad en enero o febrero de 2011, estando en un aviónde París a Bilbao. Tenía la conjetura otra vez fresca en lacabeza porque por esas fechas había estado corrigiendo laspruebas de imprenta del survey que he mencionado másarriba, que iba a ser (y fue) publicado en el Anuario dela Sociedad Matemática Alemana.

Leyendo un artículo científico sobre sumas de Min-kowski en ese avión, se me ocurrió una posible manera deconstruir contraejemplos (y, sobre todo, de analizarlos).

Sobre lo del subidón, es cierto que lo tienes, pero a lavez tienes una cierta prevención. En matemáticas, cuan-do te obsesionas demasiado por un problema es muy fácilconvencerte a ti mismo de algo que no es cierto del todo.Así que cuando me bajé del avión lo que tenía eran enrealidad algunos deberes que fui haciendo en las siguien-tes semanas. Pero también es verdad que una vez se te haocurrido la idea, rellenar los detalles es relativamente fácilsi uno tiene las herramientas adecuadas.

¿Podrías explicarnos brevemente en qué consiste laconjetura y cuál es el resultado que has obtenido?

Es una conjetura sobre cómo de complicada puede serla combinatoria de un politopo en función del número deecuaciones y variables que lo definen. Lo explico poco apoco.

Politopo es el análogo en dimensión arbitraria de loque en dimensión tres llamamos un poliedro. Todo poli-topo se puede definir mediante un cierto número de de-sigualdades lineales.

Por ejemplo, el cubo unidad en R3 se define comoel conjunto de puntos (x, y, z) que cumplen 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1. O sea, tiene tres variables (x, y, z)

y seis desigualdades, cada una de las cuales «define» unade las caras del cubo.

Por otro lado, todo politopo tiene un grafo, formadopor sus vértices y aristas. El diámetro combinatorio del

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grafo (o del politopo) es el número de aristas que puedeser necesario tener que recorrer para ir de un vértice aotro. Por ejemplo, el diámetro del cubo es 3 porque parair de un vértice al opuesto hace falte recorrer tres aristas.La conjetura de Hirsch decía:

«El diámetro de un politopo definido por n de-sigualdades (n caras) en d variables (dimensiónd) no puede ser mayor que n− d».

Lo que yo encontré fue una manera de construir unpolitopo de dimensión 43, con 86 caras y con diámetro 44.O sea, violaba la conjetura en una unidad.

Más recientemente, en colaboración con ChristopheWeibel, hemos rebajado el tamaño del contraejemplo a di-mensión 20. Aunque debo decir que ninguno de los dos po-litopos lo construímos directamente en su dimensión, sinoque construímos unos de dimensión 5 con ciertas propieda-des que garantizan que mediante ciertas transformacionesse obtienen contraejemplos a la conjetura.

Warren M. Hirsch

Tengo que explicar tambiénpor qué esta conjetura y surefutación trasciende un pocomás allá del campo de la combi-natoria geométrica. Uno de losalgoritmos más utilizados en laindustria para resolver todo ti-po de problemas de optimiza-ción y logística es el algoritmodel símplice, que ha sido cata-

logado como uno de los «10 algoritmos matemáticos delsiglo XX con mayor influencia en el desarrollo de la Cien-cia y la Ingeniería».

Pues bien, este algoritmo lo que hace es encontrar elvalor óptimo (máximo o mínimo) de una función lineal su-jeta a ciertas restricciones, también lineales, por el métodode recorrer el grafo del politopo que definen las restriccio-nes, buscando a cada paso un vértice vecino que sea mejorque el que ya tenemos. Cuando ese vértice no existe es queestamos en el mejor.

Es claro, por tanto, que para poder analizar la com-plejidad del algoritmo (o sea, el número de pasos que es-peramos que dé, en función del número de ecuaciones yvariables del problema) hemos de conocer primero cuálpuede ser, como mucho, el diámetro del grafo.

La conjetura de Hirsch postulaba que ese diámetro eslineal (crece «como n») pero no sabemos siquiera si essiempre polinómico (si crece como nk para alguna cons-tante k) o exponencial (si crece como kn, para algunaconstante k).

La diferencia entre polinómico y exponencial es la dis-tinción más básica entre algoritmos «buenos» y «malos»(y está, por ejemplo, en la base del famoso problema deP = NP 1).

«Aunque yo haya resuelto la conjetura de Hirsch talcomo fue propuesta, el problema que hay detrás sigue

casi tan abierto como antes»

En particular, Stephen Smale en el año 2000 incluyóentre sus «Problemas matemáticos del Siglo XXI» lapregunta de si existen algoritmos fuertemente polinómi-cos para programación lineal (no puedo explicar aquí ladiferencia entre ser polinómico y fuertemente polinómico;sólo diré que si se encuentra una regla para que el algo-ritmo del símplice llegue al óptimo visitando un númeropolinómico de vértices eso sería un algoritmo fuertementepolinómico. Se conocen otros algoritmos polinómicos paraprogramación lineal que no son fuertemente polinómicos).

El resumen de todo esto es, en el fondo, que aunqueyo haya resuelto la conjetura de Hirsch tal como fue pro-puesta, el problema que hay detrás sigue casi tan abiertocomo antes: mis contrajemplos violan la conjetura ligera-mente, pero lo que nos gustaría es saber de verdad cómopuede ser de grande el diámetro de un politopo, y de esoseguimos sin tener mucha idea.

Cuéntanos algo más de ti por favor, de tu trayec-toria profesional, tu campo de trabajo, etc.

Estudié en la Universidad de Cantabria, en la que hatranscurrido prácticamente toda mi carrera, con algunosparéntesis en el extranjero que sumados darían unos treso cuatro años (postdoc en Oxford, profesor visitante enDavis, California y París, también fui Erasmus en Fran-cia. . . )

Paco mostrando un hipercubo

Trabajo en com-binatoria geométrica,que es precisamente elárea que estudia ob-jetos geométricos peroen los que lo más im-portante es su combi-natoria, como son lospoliedros y politopos.Es un área muy clási-ca (tanto, que a los poliedros regulares y semirregulareslos llamamos sólidos platónicos y arquimedianos) peroque ha visto un renacer enorme, como toda la matemáticadiscreta y combinatoria, en el último tercio del siglo XXpor sus relaciones con la informática teórica.

A este respecto hay una cita de Björner y Stanley queme gusta mucho y que compara la historia de la combina-toria con la de «La Cenicienta». Durante toda la historiade la matemática moderna, muy especialmente en el sigloXX, la combinatoria estuvo considerada como una rama dela matemática un poco menos seria, casi recreativa y pocomás, «pero entonces llegó el príncipe de la informática,con sus muchos problemas y necesidades matemáticasy resultó que a la combinatoria es a quien mejor le

1Puede verse el planteamiento de este problema en el número 2 del volumen III de nuestro Boletín en el artículo «El buscaminas y surelación con el problema P = NP».

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encajaba el zapatito de cristal».

Sin duda necesitamos más resultados como el tuyo,y más personas como tú para poner la investiga-ción matemática española en el lugar que quere-mos. ¿Cómo percibes la evolución y el lugar actualde la matemática española en el mundo? En tu opi-nión, ¿crees que vamos por el camino correcto, opiensas que tienen que hacerse algunos cambios?

Se ha avanzado muchísimo en los últimos veinte otreinta años, y creo que ahora estamos más o menos enel lugar que nos corresponde. Una reciente prueba de elloes la elección de Marta Sanz-Solé como presidenta de la So-ciedad Matemática Europea (y otra, anterior, fue el Con-greso Internacional de Matemáticos de Madrid 2006, quesupuso una especie de puesta de largo de la matemáticaespañola a nivel internacional). Eso sí, me parece que elmérito no es de mi generación y de las siguientes sino másbien de las anteriores, que sembraron las semillas para quenosotros recogiéramos los frutos.

«Lo importante de la formación en matemáticas noson tanto los conocimientos como el entrenamiento o

la forma de ver las cosas»

En cuanto a posibles cambios, nuestro sistema tienedefectos, pero yo diría que no son específicos de las ma-temáticas sino más generales, y también más difíciles decambiar.

Una asignatura pendiente es la internacionalización pe-ro no de dentro afuera, que esa está más o menos conse-guida, sino de fuera adentro. O sea, que deje de ser algoexcepcional que en una universidad española haya un pro-fesor extranjero. . . (y no estoy diciendo que los de fueravayan a ser siempre mejores, sólo digo que me pareceríabueno y normal que tuviéramos más). Pero conseguir esopasa probablemente por cambiar totalmente el modelo, locual conlleva un riesgo de que se nos caiga el edificio en-tero. Me temo que no tengo todas las respuestas.

Una parte importante de nuestros lectores son es-tudiantes del grado y licenciatura de Matemáticas,¿qué les dirías para animarles a continuar en lasenda que han elegido? ¿Qué les dirías de nuestraprofesión?

Les diría lo mismo que a quien esté estudiando cual-quier otra cosa; que una parte importante del éxito estáen dedicarte a lo que te gusta y se te da bien y, sobre to-do, en conseguir que esas dos cosas coincidan. De «nuestraprofesión» les diría que en realidad son muchas distintas.Un matemático puede dedicarse a la investigación, o a laenseñanza, pero también a las finanzas, o incorporarse aequipos de ingeniería o de diversas ciencias aplicadas. Creoque en el fondo lo que te aporta el ser matemático (y loque te convierte en matemático) no es tanto unos cono-cimientos sino una forma de ver las cosas, como quedareflejado en los libros de John Allen Paulos.

La universidad española está embarcada en el pro-ceso de Bolonia, ¿cuál es tu opinión sobre los cam-bios introducidos?

Con la iglesia hemos topado, amigo Sancho. Soy coordi-nador del nuevo Grado en Matemáticas de mi universidad,así que estoy viviendo de cerca algunos de los problemasdel nuevo sistema.

Paco impartiendo una conferencia

Como dije antes, creoque lo importante de laformación en matemá-ticas no son tanto losconocimientos como el«entrenamiento» o «laforma de ver las co-sas». Esto encaja per-fectamente con una delas directrices de Bolo-

nia, el énfasis en las «competencias» más que en los «con-tenidos». Y es algo que venimos observando en nuestrosalumnos desde hace años. No fallan tanto en las cosas queson propias de la asignatura sino en cosas, destrezas, au-tomatismos, que podrían parecer más básicos pero que noterminaron de adquirir en su momento y en las que nece-sitan refuerzo. Creo, por tanto, como filosofía, en eso deque el alumno aprende haciendo las cosas y no (al menosno sólo) estudiando.

«Una parte importante del éxito está en dedicarte alo que te gusta y se te da bien y, sobre todo, en

conseguir que esas dos cosas coincidan»

Ahora bien, vuelvo a lo que también dije antes de queun cambio total de modelo conlleva el riesgo de que secaiga el edificio. Todas estas cosas que hemos metido enel «paquete Bolonia» como la evaluación continua, el usode nuevas tecnologías, los sistemas de garantía de calidad(ninguna de las cuales, por cierto, está en la declaración deBolonia, que no es más que un compromiso de implanta-ción de un sistema universitario comprensible, compatibley comparable a nivel europeo); todas estas cosas, repito,están muy bien pero no se pueden imponer ni desde fuerani desde arriba. Son medios y no fines.

Muchas gracias de nuevo Paco por atendernos.¿Tendremos la suerte de tenerte aquí para las pró-ximas Jornadas de Matemáticas Discretas y Algo-rítmicas (JMDA) que se organizarán en Almeríaen 2012?

Por supuesto. Como sabéis, me tocó (junto a otros co-legas de mi universidad) organizar las anteriores JMDAhace unos meses en Cantabria y hasta cierto punto soy«culpable» de que las de 2012 os cayeran a vosotros. Seráun placer estar allí.

Un abrazo y te deseamos muchos más éxitos en elfuturo.

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Actividades matemáticas

Conferencia del director deDivulgaMAT

Cartel anunciador

El 8 de abril, dentro del marco delos Viernes Científicos, actividad or-ganizada por la Facultad de CienciasExperimentales, el director del portalde divulgación matemática Divulga-MAT (www.divulgamat.net) y profe-sor de la Universidad del País Vasco,Raúl Ibáñez, impartió una amena con-ferencia titulada «Paseo matemáticopor los medios de comunicación».

El profesor Raúl Ibáñez es un co-nocido divulgador de la matemática,ha escrito varios libros y le ha si-do otorgado el Premio de Divulga-ción Científica José M. Savirón, 2010.En la conferencia nos mostró, en untono distendido y con unas matemáti-cas sencillas, errores reales cometidospor los medios de comunicación cuan-do manejan conceptos matemáticos ynos transmitió la necesidad de cola-boración mutua entre matemáticos yperiodistas.

En este sentido, y con motivo deesta conferencia, los profesores RaúlIbáñez y Fernando Reche participa-ron en el programa Almería Ahorade la emisora de televisión local Inter-almería TV donde destacaron la im-portancia de las matemáticas en nues-tra vida cotidiana y la necesidad detransmitirlas adecuadamente a travésde los medios de comunicación.

Más información en la página webwww.viernescientificos.org .

Congreso de Álgebra

Del 4 al 8 de julio de 2011 se ce-lebrará en la Universidad de Almeríael congreso internacional «Hopf alge-bras and tensor categories» en el quese darán cita más de 70 algebristas de25 países diferentes.

En este congreso se expondrán losresultados más recientes obtenidos envarias líneas de investigación seguidasen el estudio de las álgebras de Hopf,los grupos cuánticos y las categoríastensoriales.

Web del congreso

El plazo de inscripción finalizael 1 de junio. Más información enwww.ual.es/Congresos/hopf2010.

Congreso de Análisis

Web del congreso

El V Curso Internacional deAnálisis Matemático en Andalu-cía (V CIDAMA) se celebrará del 12al 16 de septiembre del 2011 en laUniversidad de Almería. Este eventoestá organizado por grupos de in-vestigación de diversas universidadesandaluzas. Además de los cursos ylas conferencias que serán impartidospor especialistas de prestigio interna-cional, la participación está abiertaa aquellos investigadores que quieranpresentar trabajos relacionados con el

tema del curso. Para una informaciónmás detallada se puede consultar elenlace www.ual.es/congresos/cidama

Freddy van Oystaeyen, pri-mer matemático Doctor Ho-noris Causa por la Universi-dad de Almería

El pasado día 25 de marzo, en unasolemne ceremonia, el profesor Freddyvan Oystaeyen, de la Universidad deAmberes, recibió el título de DoctorHonoris Causa por la Universidad deAlmería, estando apadrinado por elprofesor Blas Torrecillas Jover, cate-drático de álgebra de esta universidad.Es la primera vez que un matemáticorecibe este distinguido título otorgadopor nuestra universidad.

Freddy van Oystaeyencon el birrete de doctor

El profe-sor van Oys-taeyen es unalgebrista degran presti-gio, mundial-mente cono-cido, que hapublicado 17libros y másde 220 ar-tículos de in-vestigación en revistas de matemáti-cas y física, y ha dirigido más de 30 te-sis doctorales. Su investigación se en-marca en el álgebra y la geometría noconmutativa. Fue uno de los primerosen pensar y desarrollar una geometríaalgebraica no conmutativa, a media-dos de los 70, quince años antes deque este tema acaparase la atención deuna buena parte de la comunidad ma-temática y física y su importancia fue-se reconocida. Recientemente ha in-troducido la noción de topología noconmutativa en la que esta geometríase sustenta.

El grupo de investigación de álge-bra de nuestra universidad ha tenidouna estrecha y continua colaboracióncon él desde principios de los 90. Haparticipado con su grupo en variosproyectos de investigación europeosy de la OTAN y ha coorganizado

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Actividad Matemática Volumen IV. Número 3 6 / 24

congresos y cursos de verano en Al-mería. Casi todos nuestros profesoresde álgebra han realizado estancias deinvestigación en su universidad y hanpublicado un total de 15 artículos conél. Más información en la página webde nuestra universidad.

XXVII edición de la Olim-piada Matemática Thales enla provincia de Almería

El inicio de las pruebas

El pasado 26 de marzo se celebróla edición anual de la Olimpida Ma-temática Thales en el IES «Gavio-ta» de Adra, con la participación de334 alumnos y alumnas de 2.o de ESOprocedentes de 40 centros y acompa-ñados por 70 profesores.

La entrega de los premios tuvo lu-gar en la Alcoholera de Adra, con lapresencia de representantes del Ayun-tamiento de Adra, la Diputación Pro-vincial, la Delegación de Educación y

la Universidad de Almería, que fue re-presentada por el Decano de la Facul-tad de Ciencias Experimentales y porel vicedecano de Matemáticas.

Alumnos realizando una de las pruebas

Los 5 ganadores, 3 chicas y 2 chi-cos, acudirán a la fase final que ten-drá lugar en Córdoba el próximo mesde mayo. Desde el Boletín, queremosfelicitar a los premiados y también alos profesores de matemáticas del IES«Gaviota» y a la SAEM Thales porla magnífica organización.

Se pueden ver más imágenes de es-ta actividad en la página web del IES«Gaviota».

Conferencia sobre seísmosEl 25 de febrero, la Facultad de

Ciencias Experimentales de la Univer-sidad de Almería organizó la conferen-cia «Bases de la elasticidad diná-mica, ondas sísmicas y aplicacionesactuales» en el marco de actividadesde gran grupo del Grado en Mate-máticas. La misma fue impartida por

el profesor Francisco José Sánchez-Sesma de la Universidad Nacional Au-tónoma de México.

Cartel anunciador

En ella se presentó el primer mo-delo matemático de un terremoto y semostró cómo las ondas sísmicas, cercade la superficie terrestre se reflejan,se refractan y se difractan. Todo ellogenera efectos que pueden estimarsecon la teoría de la elasticidad diná-mica y pueden resolverse, entre otrosmétodos, con ecuaciones en diferen-cias finitas, con ecuaciones integralesy con elementos finitos. Además, conlas soluciones obtenidas se realizansimulaciones que ayudan a prever elcomportamiento de los sistemas me-cánicos y que, por tanto, permitentomar las decisiones pertinentes.

Noticias matemáticas

Premio Abel 2011

John W. Milnor

La Academia Noruega de Cien-cias y Letras ha resuelto conceder elPremio Abel 2011, dotado con unmillón de dólares, a John W. Mil-nor, del Instituto de Ciencias Mate-máticas de la Universidad del Esta-do de Nueva York en Stony Brook,«por sus descubrimientos pionerosen topología, geometría y álgebra».

El anuncio oficial puede verse en la página oficial del pre-mio 2. Además, a través de dicha página, puede accedersea la presentación, realizada por Timothy Gowers, y a lasexplicaciones de carácter divulgativo, realizadas por ArneB. Sletsjøe, sobre el trabajo de Milnor.

Como curiosidad se puede mencionar que uno de sus

alumnos de doctorado fue Michael David Spivak, ¿le sue-na a alguien?

Las Matemáticas y El País

La Gioconda y la razónáurea

Ediciones El País S.L. ofre-ce cada semana, junto con el dia-rio El País, un libro de la co-lección de divulgación matemáti-ca, editada por RBA, «El mundoes matemático». En ella pretendemostrar cómo todo lo que vemosa nuestro alrededor, desde lo máscotidiano hasta lo más trascenden-tal, «resulta indescifrable sin lasmatemáticas» y que los grandestemas de la matemática están aho-ra al alcance de cualquier perso-

2www.abelprisen.no/en/prisvinnere/2011.

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Actividad Matemática Volumen IV. Número 3 7 / 24

na interesada. Más información sobre esta colección enwww.elpais.com/promociones/matematicas.

Además, el mismo diario ha iniciado un concurso deresolución de problemas de Matemáticas con ocasión delCentenario de la Real Sociedad Matemática Española.El Comité para la Celebración del Centenario y el Boletínde la RSME se plantean como principal objetivo del con-curso el de hacer llegar a la sociedad la realidad de que lasMatemáticas son de gran interés para el público en gene-ral y de que, por tanto, la divulgación matemática es unatarea que debe abordarse con continuidad. El concurso,que durará treinta semanas, comenzó el día 18 de marzocon un problema planteado por el profesor Adolfo Quirósde la Universidad Autónoma de Madrid.

La respuesta a cada uno de los problemas, que se-rá planteado el jueves, debe enviarse, antes de las 00:00del martes siguiente a problemamatematicas@gmail.com.Entre los participantes que hayan resuelto correctamentecada problema se sorteará una colección completa de «Elmundo es matemático».

Microsoft Mathematics 4.0

Es una nueva herramienta matemática de Microsoft,disponible de modo gratuito, muy adecuada para los es-tudiantes de asignaturas con contenido matemático.

Imagen de la aplicación

La aplicación ofrece una interfaz moderna e intuitivay un amplio abanico de posibilidades: representación defunciones, resolución de ecuaciones, cálculo de derivadase integrales, álgebra lineal, etc. Además, permite la intro-ducción de fórmulas dibujadas con el ratón que MicrosoftMathematics reconoce automáticamente. Esta aplicación

se encuentra disponible en la página web de Microsoft.

Vídeo sobre Matemáticas y matemáticos

www.youtube.com/watch?v=G4_fWBlXfNA

Se trata de un vídeo del programa de Canal Sur 2,Tesis, que permite acercarnos a la verdadera cara de lacarrera de Matemáticas y la profesión de matemático. Eneste vídeo se muestra que el mundo de las Matemáticasva mucho más allá de hacer meros cálculos, lo que laconvierte en una de las titulaciones con menor índice deparo y con más proyección de futuro dentro del panoramauniversitario.

TutorMates, una herramienta para la ense-ñanza de las Matemáticas

Logo del programa

TutorMates es un nuevoconcepto de programa cuyo ob-jetivo es el de servir como herra-mienta completa de apoyo, tantoal alumnado como al profesora-do, en el proceso de aprendizajey enseñanza de las Matemáticas en niveles de EducaciónSecundaria y Bachillerato. Estará disponible para el curso2010-2011 en versión Windows, Linux y Mac OS.

Es un software que integra herramientas de cálculocientífico, estadístico y geométrico e incorpora la gestióneducativa de dichas herramientas en lecciones del currícu-lo de Matemáticas. El desarrollo del material docentey laboratorios se adecúa perfectamente a los currículosy planes de estudio, así como a las orientaciones peda-gógicas vigentes. Más información sobre el programa enwww.tutormates.es.

Nos visitaron. . .

En el transcurso de estos meses nos han visitado nume-rosos investigadores de diferentes universidades nacionalese internacionales con las que los grupos de investigaciónde matemáticas de la UAL colaboran activamente en eldesarrollo de sus actividades.

Tuvimos el honor de tener entre nosotros a: Freddy VanOystaeyen, de la Universidad de Amberes (Bélgica); Ser-gei Silvestrov, de la Universidad de Lund (Suecia); YinhuoZhang, de la Universidad de Hasselt (Bélgica); Pascual Ja-ra Martínez y José Gómez Torrecillas, de la Universidad de

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Actividad Matemática Volumen IV. Número 3 8 / 24

Granada; José Luis García Hernández, Pedro Guil Asen-sio, Manuel Saorín Castaño y Sergio Estrada Domínguez,de la Universidad de Murcia; Constantin Năstăsescu y Da-niel Bulacu, de la Universidad de Bucarest (Rumanía);Antonio Fernández López, de la Universidad de Málaga;A.B.J. Kuijlaars, de KU Leuven (Bélgica); Heron MartinsFélix, de UNICAMP (Brasil); Rafael Navarro, del Insti-

tuto de Óptica del CSIC de la Universidad de Zaragoza;Ramón Orive, de la Universidad de La Laguna; Francis-co José Sánchez-Sesma, de la Universidad Nacional Au-tónoma de México; Bujar Fejzullahu, de la Universidadde Prishtina (Kosovo); Raúl Ibáñez, de la Universidad delPaís Vasco; Prakash P. Shenoy y Catherine Shenoy, de laKansas University, Lawrence, Kansas (EEUU).

Preguntas frecuentes

¿Cuáles son las claves pa-ra el éxito de un estudiantede primer curso de grado enMatemáticas?

Obviamente, no hay una respues-ta única a esta pregunta, pero pode-mos decir que existen varios aspectosen los que casi todo el mundo coinci-de.

En primer lugar, se debe mantenerun hábito de estudio diario y constan-te que sea adecuado al tipo de ense-ñanza universitaria que inicia.

Otro aspecto clave para el éxito esel conocimiento de diferentes técnicasde razonamiento, junto con el desa-rrollo de las habilidades para el reco-nocimiento en cada caso, así como delas argumentaciones que resulten másconvenientes para el problema concre-to.

Finalmente, hemos de hacer hinca-pié en que el estudiante debe conocerla estructura organizativa de los nue-vos títulos de Grado. Nos referimos,sobre todo, a la distribución en cadauna de las asignaturas de las distin-tas proporciones entre las horas pre-senciales en el aula (30%) y las horasde trabajo autónomo dirigido por elprofesor que ha de desarrollar el pro-pio estudiante en casa (70%).

Esta distribución del trabajo esbastante diferente a la que se desa-rrolla en el bachillerato, ya que elporcentaje de trabajo autónomo esmuy superior. Por lo tanto, es muyimportante la adaptación a esta nuevaorganización del trabajo.

¿Qué es lo que más le cues-ta a un estudiante de primercurso de matemáticas?

El sistema universitario actual queestá viviendo cambios estructurales,hecho que supone un esfuerzo adicio-nal de adaptación para el estudiantede primer curso.

En cuanto a los estudios de ma-temáticas, el estudiante tiene que en-frentarse a problemas teóricos de razo-namiento a los que no está acostum-brado puesto que en el bachillerato seprima lo relativo al cálculo analítico.Así pues, uno de los aspectos en el quemás se nota el cambio es el relativoa la abstracción de las principales es-tructuras matemáticas.

Otro aspecto a tener en cuentaes que los estudiantes que acceden alprimer curso tienen distinta proce-dencia, con lo que su conocimientosuele ser muy dispar. A este respecto,en el título de grado en Matemáti-cas se ha introducido una asignaturallamada «Elementos básicos de Ma-temáticas» cuyo objetivo es introdu-cir al estudiante en el razonamientomatemático y homogeneizar el cono-cimiento mínimo e imprescindible quehan de poseer todos los estudiantessobre esta disciplina.

¿Es cierto que los estudiosde matemáticas son difíci-les?

No más que cualquier estudio uni-versitario.

La tendencia actual de la sociedadpropone modelos (falsos) que obtie-nen resultados de forma fácil, rápiday con un mínimo esfuerzo.

Sin embargo, si somos de los quepiensan que para conocer bien unadisciplina se requiere su tiempo, no só-

lo de asimilación, comprensión y pro-fundización sino también de prácticay constancia, podríamos entonces con-siderar las matemáticas como dentrode este grupo.

Así bien, aunque popularmente sepiensa que las matemáticas solo sonaccesibles a estudiante muy inteligen-tes, esta idea entra dentro de los este-reotipos creados por nuestra sociedady que, en la mayoría de los casos, noes cierto.

Realmente, el estudiante al que legusten las matemáticas, esté motiva-do, disciplinado y sea trabajador verácompensado con éxito su esfuerzo.

¿Cuál podría ser el perfil deun futuro matemático?

Es un error, por desgracia bastanteextendido, el pensar que los estudiosde matemáticas consisten sólo en ha-cer cálculos y manejarse bien con losnúmeros. Nada más lejano a la reali-dad.

Entre las cualidades que se puedeencontrar en el perfil de un futuromatemático suele encontrarse el deser una persona inquieta, que se ha-ce constantemente preguntas y que,cuando se le plantea un problema, dis-fruta ante el reto que supone razonarhasta llegar a obtener un resulta-do y que, tras haberlo conseguido,continúa haciéndose preguntas sobrenuevos aspectos de dicho problema.Además, suele ser una persona muymotivada, que disfruta con la bellezade esta disciplina.

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Enseñanza Secundaria Volumen IV. Número 3 9 / 24

EXPERIENCIA DOCENTE

Experiencias matemáticas en el SEKAlboránDepartamento de MatemáticasSEK Alborán (El Ejido, Almería)

El departamento de matemáticas del Colegio Inter-nacional SEK Alborán está formado por Ariadna Fer-nández, Antonio Fernández, Luis Carlos Jiménez, JorgeManrique, Belén Ortega, Juan José Ramírez y Francis-co Uroz. En él trabajamos para invertir la corriente quecalifica a las matemáticas como una asignatura árida ydesconectada de la realidad. Para ello, estamos inmersosen varios proyectos, tales como la creación de revistas dematemáticas 3 4, la elaboración de un diccionario mate-mático a todos los niveles 5, la propuesta de trabajos deinvestigación, y la realización mensual de un problema quesuponga un desafío a los alumnos 6.

Por otra parte, para intentar romper la rutina de lasclases y hacerlas más dinámicas, todas las semanas uno delos alumnos se convierte por una hora en profesor, en loque hemos llamado «hoy el profe soy yo». En esta línea,insertamos juegos para intentar algo ideal, aunar diversióny aprendizaje en la asignatura de matemáticas. A conti-nuación describiremos uno que es muy atractivo: el trivialmatemático.

Esta actividad consiste en la fabricación, por parte delos alumnos, de un tablero y de unas fichas con una seriede preguntas imitando al famoso juego de cultura general.El profesor entregará al alumno un tablero hexagonal quedecorará y en el que plasmará «su trivial» con sus propiasreglas y circuito. Todo será invención del alumno.

Tan solo se les indicará las cla-ses de preguntas, que tratarán so-bre diferentes cuestiones de opera-ciones simples, operaciones combi-nadas, teoría y problemas; o biense puede hacer otro bloque másprofundo donde las preguntas seande aritmética, álgebra, geometría ohistoria de las mates.

Sea cual sea el bloque de cuatropreguntas planteado, el alumnado debe realizar un núme-ro mínimo de tarjetas con sus correspondientes preguntasy respuestas correctas, de la misma forma que aparecen enel conocido juego. Con esta estrategia pretendemos que elalumno manipule las matemáticas, dado que trabaja de-corando un hexágono (en madera), haciendo tarjetas (geo-metría).

Además, para la elaboración de las preguntas de teo-ría el alumnado investiga, estudia y realiza matemáticas,ya que debe formular bien las cuestiones y proponer va-rias respuestas, una de la cuales será la correcta. Lo mismoocurre con las preguntas de operaciones simples, compues-tas o con los problemas. Una vez terminado el tablero ylas tarjetas con sus preguntas, estamos listos para jugaren clase con ellos. La experiencia indica que repasan losconceptos vistos en clase y se divierten a la par.

Si queréis saber más, estamos a vuestra disposición enla dirección de correo electrónico aflopez@sek.es.

ENSEÑANZA BILINGÜE EN MATEMÁTICAS

Maths in English: step by stepPaqui Cabrera LupiónJosé Antonio Tarifa GarzónIES Abdera (Adra, Almería)

In the academic year 2009/10

our first bilingual group completedtheir studies in Compulsory Secon-dary Education (CSE). In our opinionit has been a very positive and interes-ting experience, not only for them butalso for the teachers who have beenworking with them, despite the factthat trying to teach maths, or wha-tever other subject, through the me-dium of English, is not easy task.

The IES Abdera was one of thefirst secondary schools that decidedto develop this project. Initially, therewere four subjects that were preparedto start. One of them was mathema-tics. We opted to support it. It was al-so a personal challenge and we knewthat it was not going to be easy. It hadbeen a long time since we last studiedEnglish and besides, there were notmany resources available for our work.

Our “year zero”, as we call it, wasgoing to begin. As we needed updateour knowledge of the English langua-

ge, we enrolled at a Language School.However, the English that we werelearning there was not enough for ourclasses. Undeniably it was very useful,but we had to prepare new activitiesand, of course, specific mathematicalvocabulary which we could not get inthe Language School. There were nobooks in English which covered themaths topics we usually deal with inSpain. In our department there werethree of us working on this project.Together with Ricardo Arquero, wehad to organise all the necessary re-

3www.tomates.wikispaces.com.4www.mathsglamour.wikispaces.com.5www.diccionariomatematico.wikispaces.com.6www.ingeniomatematico.wordpress.com.

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Enseñanza Secundaria Volumen IV. Número 3 10 / 24

sources by ourselves.

Mathematical bingo with the participationof the foreign language assistants

Since the second year we havebeen trying to make the most of ouroptions. We have looked for informa-tion on the Internet (especially in re-lation to definitions and vocabulary),and in English maths books that webought when we visited Oxford. Wehave also asked for help from the En-glish students that participate in theannual exchange with our school orour USA exchange students.

Of course, every year we have hadthe invaluable help of our foreign lan-guage assistants and of our bilingualprogram coordinator.

A summary of most of our vocabu-lary is available on the Internet and itis at the disposal of anyone who wis-hes to surf our school web.

The last step of our first bilingual group inthe CSE: The students and some teachers

Nowadays some publishing com-panies have brought out maths booksin English for the first and secondyears of CSE. This will certainly makethe work easier for all those teacherswho want to join us on this excitingproject; however, as far as we know,there are not yet any books specifi-cally for the highest levels, so our re-search work will have to go on.

It is incredible that we have al-ready completed the four levels. It is

also amazing the progress that thestudents have made over these fouryears. We started working with thebasic vocabulary of every unit usingsimple sentences; afterwards we intro-duced problems and some definitionsfor on going summaries in English ofthe key points of the units and for re-searching projects in English (for ins-tance, statistics research with real da-ta). . .

As teachers, we must say thatthis has been an enriching experien-ce. There is no doubt that it requiresa great effort from us, but it is reallyworth it. We are happy working onthis project; of course it can be im-proved, and we will try our best to doso.

And finally, as parents, we mustsay that this is a wonderful opportu-nity for our children. All of us are awa-re of the extreme importance of kno-wing languages nowadays, and thisproject gives them a chance to achie-ve this. I would strongly recommendit to all those who have the chance toapply for it.

Problemas de las Pruebas de Acceso a la Universidad

Juan y Pedro juegan a obtener la puntuación másalta lanzando sus dados. El dado de Juan tiene cua-tro caras con la puntuación 5 y las otras dos carascon el 1. El dado de Pedro tiene dos caras con el 6,otras dos con el 4 y las otras dos con el 1.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que gane Pedro?

b) ¿Cuál es la probabilidad de empatar?

Problema propuesto en el número anterior

A continuación presentamos la solución al problemapropuesto en el número anterior.

Solución:

Analicemos los posibles resultados de Juan y de Pedro,así como las correspondientes probabilidades de obtener-los.

Resultados de Juan 1 5

Probabilidades 13

23

Resultados de Pedro 1 4 6

Probabilidades 13

13

13

Puesto que lanzan los dos jugadores de forma indepen-diente, la probabilidad de cada tirada será el producto delas probabilidades de cada resultado individual.

Si el par (X, Y) denota el resultado de una partida,donde X es el número obtenido por Juan e Y el númeroobtenido por Pedro, construyamos el espacio muestral delas posibles jugadas, junto con sus probabilidades asocia-das:

Ω (1, 1) (1, 4) (1, 6) (5, 1) (5, 4) (5, 6)

P 19

19

19

29

29

29

Con esta información, calculemos las probabilidadesque se nos solicitan en el enunciado del problema:

Sea A el suceso Pedro gana, entonces

A = (1, 4), (1, 6), (5, 6)

y, por lo tanto, la probabilidad de suceso A es

P(A) =1

9+1

9+2

9=4

9.

Sea ahora B el suceso Se obtiene un empate, entonces,

B = (1, 1)

y, por lo tanto, la probabilidad del suceso B es P(B) =1

9.

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Concurso de problemas Volumen IV. Número 3 11 / 24

Los puntos A(1, 1, 0) y B(2, 2, 1) son vértices conse-cutivos de un rectángulo ABCD. Además, se sabeque los vértices C y D están contenidos en una rectaque pasa por el origen de coordenadas. Halla C y D.

Nuevo problema de las pruebas de acceso

Os animamos a participar en esta sección. Para ello,no tienes más que enviarnos tu solución a la dirección delcorreo del Boletín: bmatema@ual.es.

Recordamos que en esta sección aparecen ejercicios quehan sido propuestos para elaborar las Pruebas de Accesoa la Universidad en el distrito universitario andaluz.

En un partido de fútbol España-Holanda, Iniesta es-tá situado justo en el centro del campo, que en coor-denadas cartesianas es el (0, 0), y frente a él, en lascoordenadas (4, 2), se halla el defensa holandés VanBommel. Junto a ellos se encuentran Xavi y SergioRamos, formando entre los cuatro un cuadrado don-de Iniesta y Van Bommel son vértices opuestos. ¿Quédistancia recorrerá la pelota si Iniesta decide pasarlaa Sergio Ramos en línea recta por el césped? ¿Cuá-les son las posiciones (coordenadas) de Xavi y SergioRamos?

Concurso de problemas

Envía tu solución a bmatema@ual.es

Problema propuestoSi nos envías tu solución a este problema pue-des obtener un regalo relacionado con las ma-temáticas valorado en unos 50e.¡La solución más elegante u original tiene pre-mio!Para participar, sólo tienes que mandar tusolución a la dirección de correo electrónicobmatema@ual.es. Puedes escanear el papel enel que la hayas elaborado y enviarla a dicha di-rección de correo electrónico.Las bases de este concurso pueden consultarseen la página web del Boletín.

Resultado del concurso del número anterior

En esta ocasión, puesto que el concurso anterior que-dó desierto, el jurado ha decidido conceder dos premios.Las soluciones ganadoras son las enviadas por M.a delMar Gómez Giménez, alumna de 1.o de Bachillerato, yErlandas Norkus, alumno de 2.o de Bachillerato, ambosdel IES «Aguadulce».

M.a del Mar Gómez Erlandas Norkus

Determina n sabiendo que los coeficientes de x en los tér-minos quinto y séptimo de (3+2x)n son, respectivamente,489 888 y 145 152.

Problema propuesto en el número anterior

Las dos soluciones ganadoras se basan en argumentossimilares. Reproducimos a continuación la enviada por Er-landas Norkus.Solución del problema:

Pues bien, primero partiremos de la expresión siguien-te, obtenida del desarrollo del binomio de Newton (a+b)n:

Tk =

(n

k− 1

)an−(k−1)bk−1.

Lo primero que haremos es sustituir en la expresiónque da el término k en el desarrollo del binomio de New-ton, también los valores de a y b. Además, desarrollamoslos números combinatorios:

n!

4!(n− 4)!3n−424 = 489 888,

n!

6!(n− 6)!3n−626 = 145 152,

con lo que obtenemos un sistema de ecuaciones.En este caso no se pueden aplicar los métodos de susti-

tución o restar una con la otra. Lo único que se me ocurrees dividir la de arriba entre la de abajo —también he pa-

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Divulgación Matemática Volumen IV. Número 3 12 / 24

sado las potencias de 2 al otro lado para simplificar—.

n!

4!(n− 4)!3n−4 = 30618,

n!

6!(n− 6)!3n−6 = 2268.

Dividimos —al dividir potencias de la misma base sedeja la misma base y se restan los exponentes—.

n!4!(n−4)!

n!6!(n−6)!

3(n−4)−(n−6) =27

2.

Al hacer operaciones en el exponente de base 3, las nse van y queda (−4) + 6 = 2, eso obviamente es 9, que lopasamos al otro lado —pasa dividiendo—, y obtenemos 3

2.

Ahora al dividir las fracciones se nos van las n!, y queda—lo he hecho imaginándome que están una al lado de laotra y multipliqué en cruz—.

6!(n− 6)!

4!(n− 4)!=3

2.

Una de las propiedades de los factoriales es que n! =n(n− 1) . . . 3 · 2 · 1, así pues 6! = 6 · 5 · 4!, por lo que se vanlos 4!, y en el numerador queda 6 por 5.

Por otro lado, (n − 4)! = (n − 4)(n − 5)(n − 6)! y laigualdad queda:

6 · 5(n− 4)(n− 5)

=3

2.

Si multiplicamos en cruz obtenemos que

3(n− 4)(n− 5) = 60.

Desarrollamos y resolvemos —el 3 se pasa al otro ladopara no complicarnos la vida—:

n2 − 5n− 4n+ 20 = 20⇒ n2 − 9n = 0⇒ n(n− 9) = 0.

Con lo que obtenemos que las soluciones son n = 0 yn = 9.

Obviamente n no puede valer 0, pero 9 sí. Por lo quela solución del problema es que n = 9.

MUJERES Y MATEMÁTICAS

Mary Lucy CartwrightCarmen Jalón RanchalCEP «Luisa Revuelta»(Córdoba)

Mary Lucy Cartwright

Mary Lucy nació enAynho, Inglaterra, el 17de diciembre de 1900.Durante sus años es-colares se sentía másatraída por la Histo-ria que por otras ma-terias, pero le resul-taba complicado tenerque aprenderse de me-moria las largas listasde acontecimientos his-

tóricos, que era el método usual de aprender Historia enaquellos tiempos. Esta fue una de las razones de que de-cidiera, en octubre de 1919, ingresar en St. Hugh’s Colle-ge, en Oxford, para estudiar Matemáticas. Con ella erancinco las mujeres en toda la facultad. En esta época lasclases estaban atestadas de estudiantes ya que, despuésde la Primera Guerra Mundial, regresaron a las aulas losmuchachos que volvían de la guerra. Mary tuvo muchasveces que tomar apuntes sobre sus rodillas, sentada en unpasillo, por falta de espacio en las aulas.

Su decisión de estudiar Matemáticas no disminuyó suinterés por la Historia, como se refleja en muchos de susescritos matemáticos que incluyen las perspectivas histó-ricas que les conciernen y agregan así una dimensión muyinteresante a su trabajo.

Se graduó en la Universidad de Oxford en 1923 y en-señó Matemáticas durante cuatro años en las escuelas de

Alicia Ottley en Worcester primero y en la de la Abadía deWycombe en Buckinghamshire después, antes de volver ala universidad en 1928 para doctorarse bajo la supervisiónde G.H. Hardy. En 1930 obtuvo una beca de investigaciónen la Universidad de Girton, en Cambridge. Allí conocióa J.E. Littlewood y solucionó un problema planteado porél.

Su «teorema de Cartwright», que trata sobre máxi-mos de funciones, recurre a métodos que harán avanzarmucho su investigación sobre funciones y en especial sobrefunciones que dan lugar a fractales y sistemas dinámicosen teoría del caos. Trabajó con Littlewood en ecuacionesdiferenciales que sirvieron como modelo para el desarrollode la radio y el radar. Sus más de 100 trabajos publicadosavalan su contribución al avance matemático.

Nube (fractal natural)

En 1947 fue la pri-mera mujer matemá-tica nombrada miem-bro de la Real So-ciedad de Inglaterra.Fue elegida presiden-ta de la Sociedad Ma-temática de Londresen 1961. En 1964 fuela primera mujer queobtenía la Medalla Sylvester, que se concede cada tresaños al mérito matemático desde 1901 y que habían conse-guido con anterioridad matemáticos de la talla de Poincaré(1901), Cantor (1904), Russell (1934) o Newman (1958).En 1968 recibe la Medalla De Morgan de la SociedadMatemática de Londres y en 1969 la máxima distinción

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Divulgación Matemática Volumen IV. Número 3 13 / 24

británica: la reina la nombra Comandante del ImperioBritánico.

Sus más allegados la describen como una persona conun gran sentido del humor que tenía un don que la hacíallegar al núcleo de una cuestión y ver el punto importante,en Matemáticas y en asuntos humanos.

Después de su jubilación en 1968, Mary Lucy fue pro-fesora visitante en universidades de Inglaterra, EstadosUnidos y Polonia. Murió en Cambridge, Inglaterra, el 3 deabril de 1998.

Referencias

[1] F.D. Aranda, M. de la Fuente (2001): Matemáticas,Naturaleza y Arte. Editado por la Consejería de Edu-cación y Ciencia de la Junta de Andalucía, la Delega-ción Provincial de Córdoba y CajaSur.

[2] Biographies of Women Mathematicians: Dame MaryLucy Cartwright 7.

PASATIEMPOS Y CURIOSIDADES

Volumen de un ovoide de revoluciónAntonio Andújar RodríguezUniversidad de Almería

En el número 1 del volumen IV de este Boletín se tra-tó el tema del cálculo del área de una región acotada delplano limitada por una curva cerrada que se denominó«ovoide». La curva fue construida usando cuatro arcos decircunferencia, conociendo el eje menor.

B

D

F

E

CH G

A

P

Ovoide

Esta curva es tratadaen Bachillerato desde elpunto de vista de su cons-trucción con regla y com-pás. Tal como comentabael autor, aunque hay obje-tos muy comunes con losque se puede relacionar, escurioso que no se encuen-tre casi nada acerca de sus

dimensiones o con cuerpos generados por ella.En primer lugar nos preguntamos si verdaderamente

el ovoide sería «suave», es decir, si en los puntos de uniónde sus arcos hay recta tangente. El tema queda zanjadosi prestamos atención al hecho de que las circunferenciasque contienen a los arcos que se unen son tangentes en elpunto de unión. En efecto, los puntos de unión de cadados arcos están alineados con los centros para los mismos:A,D, E, B,D, F y A,C, B.

Tampoco hemos encontrado una fórmula explícita delvolumen del sólido de revolución obtenido al girar el ovoi-de alrededor de su eje mayor que llamaremos «ovoide derevolución», por lo que se tratará de hallar dicha fórmulaen lo que sigue.

Para ello, comenzamos trazando el ovoide de forma queel eje mayor esté colocado sobre el eje de abscisas y el ejemenor sobre el de ordenadas, por lo que el punto C seráel origen.

Recordemos que se denotó r al semieje menor:

r = |AC| = |CB| = |CD|.

El arco_

HB genera una semiesfera de radio r. Su volu-

men es, pues,

V1 =2

3πr3.

Por otro lado, el arco_

BE es de la circunferencia decentro A(0,−r) y radio e = 2r, cuya ecuación es

x2 + (y+ r)2 = (2r)2.

Teniendo en cuenta que |AC| = |CD| = r, se tiene que|AD| =

√2r.

Por otro lado, |AE| = 2r⇒ |DE| = (2−√2)r.

Además,

|DP| = |PE| ⇒2|DP|2 = |DE|2 ⇒|DP| =

(2−√2)r√2

= (√2− 1)r⇒

|CP| = r+ (√2− 1)r =

√2r.

Entonces, el arco puede considerarse como la gráficade una función f : [0,

√2r] → R, definida por

f(x) = −r+√(2r)2 − x2,

por lo que el volumen del cuerpo de revolución generadoalrededor del eje mayor puede calcularse como sigue:

V2 = π

∫√2r

0

(f(x))2dx,

= π

∫√2r

0

(−r+

√4r2 − x2

)2dx,

=13√2− 3π− 6

3πr3.

Por último, el arco_

EG es de la circunferencia de centroD y radio |DE|. Su ecuación es

(x− r)2 + y2 = (2−√2)2r2.

Además es necesario conocer la abscisa del punto G:

|CG| = |CD|+ |DG| = r+ (2−√2)r = (3−

√2)r.

7www.scottlan.edu/Lriddle/WOMEN/cartwght.htm.

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Divulgación Matemática Volumen IV. Número 3 14 / 24

Por tanto, el volumen del cuerpo de revolución quegenera

_

EG es:

V3 = π

∫ (3−√2)r

√2r

[(2−

√2)2r2 − (x− r)2

]dx,

=75− 53

√2

3πr3.

El volumen total, V, del ovoide de revolución en fun-ción del semieje menor puede hallarse sumando los tresvolúmenes anteriores:

V = V1 + V2 + V3 =71− 40

√2− 3π

3πr3.

Ovoide de revolución

Hay otras construccio-nes de ovoides —a partirdel eje mayor, prefijandolos dos ejes. . .— con lasque se trabaja en la asigna-tura de Dibujo Técnico enBachillerato. Cada una deellas obtiene ovoides dis-tintos, por lo que podríaser de interés hacer estu-

dios similares para dichos casos.

PROBLEMAS MATEMÁTICOS ALMERIENSES

El crecimiento de la población deRoquetas de MarRamón Morales AmateIES Turaniana(Roquetas de Mar, Almería)

En una década hemos visto crecer Almería en cuan-to a población, en gran parte debido al fenómeno de lainmigración. Una de las zonas de la provincia, en este sen-tido, que más hemos visto crecer es el poniente almeriense.En esta comarca destacamos el municipio de Roquetas deMar.

Podemos encontrar el número de habitantes del muni-cipio a lo largo de varios años en la página web del Ins-tituto Nacional de Estadística (INE), www.ine.es. Busca-mos el apartado de demografía y población, dentro de ésteseguimos la ruta: cifras oficiales de población, padrón mu-nicipal, series históricas de población, series de poblacióndesde 1996, Almería y desde aquí seleccionamos el muni-cipio que queramos. En este caso vamos a tomar desde elaño 1998 hasta el 2008 la población de Roquetas.

Introducimos los datos en un programa estadístico, porejemplo R, creando una columna con los años, numeradosde 0 a 10, es decir, 0 sería 1998, 1 sería 1999 y así sucesiva-mente, y otra con la población de Roquetas en cada unode estos años. Ahora ajustamos, mediante el método demínimos cuadrados, los datos del municipio a una curva,teniendo la posibilidad de utilizar distintas funciones deajuste. Para cada una de ellas tenemos un valor llamadocoeficiente de correlación que nos indica lo bueno que esel modelo de ajuste para ese conjunto de datos.

La nube de puntos ya nos sugiere que hay un creci-miento importante, quizás de tipo exponencial, así queelegimos la regresión exponencial que nos arroja la fun-ción

N(t) = e10,5799+0,0685933t,

que tiene un coeficiente de correlación r = 0,9928. Peroen la comparativa con otros tipos de ajustes, encontramos

que el mejor es el llamado recíproco de Y,

N(t) =1

2,46992 · 10−5 − 1,24563 · 10−6 · t,

que tiene un coeficiente de correlación r = 0,9936 y lacurva explica mejor los datos de la nube de puntos. Larepresentación gráfica de esta última es la que sigue:

Estudiemos ahora el modelo de crecimiento de esta po-blación. Si derivamos la función N(t), que da el númerode personas respecto del tiempo, tenemos:

N′(t) =1,24563 · 10−6

(2,46992 · 10−5 − 1,24563 · 10−6 · t)2,

= 1,24563 · 10−6 ·N2(t). (1)

Esto quiere decir que la tasa de crecimiento de la po-blación es proporcional al cuadrado de la población. Y estemodelo, a juzgar por los resultados explica mejor los datosde partida. En su defecto habíamos obtenido que tambiénestaban bastante bien explicados mediante la regresión ex-ponencial. En este caso el modelo que obtenemos es:

N′(t) = 0,0685933 · e10,5799+0,0685933·t,

= 0,0685933 ·N(t).

Según éste, la tasa de crecimiento es proporcional ala población. Dicho modelo nos recuerda al de Malthus,quien lo aplicó sin éxito para predecir comportamientos

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Divulgación Matemática Volumen IV. Número 3 15 / 24

demográficos humanos. Es más útil para modelizar creci-mientos en poblaciones de bacterias y otros seres micros-cópicos, aunque hoy día sigue apareciendo en la literaturapara dar ejemplos a los estudiante de diversos conteni-dos matemáticos así como para aproximar el crecimientodemográfico en pequeños lapsos de tiempo, ya que la po-blación humana utiliza complejos modelos matemáticos.

Finalmente es interesante relacionar el número de ha-bitantes con la superficie del municipio. Esto es lo que seconoce en demografía como densidad de población y semide en habitantes por kilómetro cuadrado (hab/km2).

Roquetas tiene una superficie de 60 km2, así pues en2008 la densidad de población era 1290,38 hab/km2.

Observemos que la superficie del municipio es un valorconstante y que lo que varía es el número de habitantes,por lo tanto la densidad de población variará en funciónde los habitantes; veamos cómo.

Tomemos de nuevo el ejemplo de Roquetas, la funciónde densidad de población sería

D(t) =N(t)

60.

Y el modelo de la misma, basándonos en el modelo (1)para N(t),

D′(t) =N′(t)

60,

=1

60· 1, 24563 · 10−6 ·N2(t),

= 60 · 1,24563 · 10−6 ·(N(t)

60

)2

,

= 7,47 · 10−5 ·D2(t).

La variación de la densidad de población a lo largodel tiempo es directamente proporcional al cuadrado de

la densidad de población. Obsérvese que la constante deproporcionalidad es la misma que para el número de ha-bitantes pero multiplicada por la superficie del municipio.

Si repetimos el estudio anterior con la población de ElEjido llegaremos a que el mejor modelo de regresión queexplica su crecimiento es de nuevo el recíproco de Y quearroja la función

N(t) =1

2,0392 · 10−5 − 8,20258 · 10−7 · t,

con un coeficiente de correlación de r = 0,993756.Nuevamente el modelo de crecimiento de la población

de El Ejido es:

N′(t) = 8,20258 · 10−7 ·N2(t).

Podemos ver que en ambos municipios la tasa de cre-cimiento de la población es proporcional al cuadrado dela población, pero las constantes no son iguales. Para Ro-quetas de Mar es 1,25 · 10−6 y para El Ejido 8,2 · 10−7, locual quiere decir que la población de Roquetas crece másrápido que la de El Ejido y explica el hecho de que hayaterminado por superarla.

Podemos represen-tar ambas gráficas con-juntamente para apre-ciarlo mejor. Finalmen-te sería interesante re-petir el estudio anteriorpara Almería u otraspoblaciones, obtenien-do un modelo de crecimiento y su densidad de población,así como seguir investigando la página del INE en la sec-ción de demografía y población para aprender más acercade la provincia de Almería o de cualquier otra.

MATEMÁTICAS Y CULTURA

Los sólidos platónicos en la NaturalezaAraceli Giménez LorenteDoctora en Bellas Artes y estudiante de Matemáticas dela Universitat de València

Son cinco formasperfectas, los sóli-dos platónicos, tie-nen sus caras iguales,tres de ellos presen-tan caras triangula-res, uno tiene las ca-

ras cuadradas y también hay uno con las caras pentago-nales. La existencia de los sólidos regulares anidó en elmundo de las ideas de Platón, hasta que la geología en-contró tres de ellos, la química uno a nivel molecular, y elque quedó fue descubierto por la microscopia electrónica.

Los sólidos platónicos tienen su representación en laNaturaleza, pero sólo tres de los cinco poliedros son vi-

sibles, el cubo, el octaedro y el dodecaedro son cristali-zaciones minerales, la pirita emerge de la matriz en estastres formas, y la fluorita lo hace en forma octaédrica. Eltetraedro es la molécula del metano, CH4, la del cuarzo,y el fósforo blanco entre otras; y el icosaedro la forma dealgunos virus con ADN, como el virus del VIH.

¿Pero cómo lo sabían los griegos?, pues no tenían tec-nología suficiente para averiguar que el tetraedro y el ico-saedro tienen una representación en la Naturaleza no vi-sible. Ello fue posible por la demostración de Euclides dela existencia de sólo 5 sólidos regulares.

Sea P un poliedro regular, diremos que V es el nú-mero de vértices, A, el número de aristas y C las caras.Por la fórmula de Euler para grafos planos tenemos queV − A + C = 2. Como son regulares, sabemos que cadavértice corta dos aristas —se denota por r— y cada cara

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está acotada por el mismo número de aristas, n. Como ca-da arista va de un vértice a otro tendremos que rV = 2A,y como cada arista toca dos caras, nC = 2A. Así quedaríala fórmula V −A+ C = 2 = 2

nA−A+ 2

rA, que daría co-

mo resultado, después de operaciones elementales, la tablaque se presenta a continuación:

r n A V C Sólido

3 3 6 4 4 Tetraedro3 4 12 8 6 Cubo4 3 12 6 8 Octaedro3 5 30 20 12 Dodecaedro5 3 30 12 20 Icosaedro

Pero hay una demostración más sencilla, la de Eucli-des, que utiliza los ángulos y las caras que cortan cadavértice, 60o para las caras triangulares, 90o para las carascuadradas y 108o para las caras pentagonales. Tendremosque:

3× 60 = 180 < 360 tetraedro4× 60 = 240 < 360 octaedro5× 60 = 300 < 360 icosaedro

caras triangulares

3× 90 = 270 < 360 cubo caras cuadradas3× 108 = 324 < 360 dodecaedro caras pentagonales

Otra característica de los sólidos platónicos es su al-ta simetría. Participan de todas las simetrías posibles enel espacio: respecto a un punto, a un eje y a un plano.El utilizar todas las configuraciones posibles de simetríaespacial lo hace un objeto idóneo para que los mineralescristalicen.

En teoría se pueden encontrar treinta y dos clasesde estructuras cristalinas, pero en realidad tenemos do-ce. Aunque la pirita presenta tres formas, sólo tiene unaúnica cristalización cúbica, pero no cristaliza en el grupopuntual de máxima simetría, sino en una clase en la quela simetría elimina los ejes cuaternarios, conservando losternarios, binarios y planos de simetría. Semejante a uncubo tenemos la sal común, la galena y la pirita; con for-ma octaédrica la fluorita, la espinela y la pirita. La terceraforma es la pentagonododecaédrica, (llamada también pi-rotoédrica), son pentágonos no regulares, presenta cuatroiguales y uno desigual, aquí cristaliza también la pirita.

Para esta forma tendremos en cuenta la formación de loscristales, su alta presión y la curva de enfriamiento juntocon impurezas que le hacen configurarse como un dode-caedro.

Sólidos platónicos encontrados en Escocia, que datan del 2000a.C., conservados en el museo Ashmolean de Oxford

En cuanto a la dualidad, el cubo y el octaedro sonduales entre sí, así como son duales el dodecaedro y elicosaedro.

Los investigadores Etzel Cardeña y Dominic Flytche araíz de unos experimentos en psicología clínica sobre hip-nosis, deducen que tenemos una arquitectura visual en elcerebro, una especie de diccionario visual cuyos elementoso palabras clave son las retículas constructivas, los coloresprimarios y las formas básicas como el círculo, el trián-gulo, el cuadrado y el pentágono. Y quizás esto sea unamemoria genética, así que la geometría básica duerme ennuestro pequeño hábitat de las ideas, en nuestra cabeza.

Referencias

[1] Guillén Soler, Gregoria. Poliedros 15. Editorial Sínte-sis. Madrid, 1997.

[2] BBC. Los orígenes del hombre. El despertar de laconciencia. Serie documental, 2000.

[3] Los Elementos. Euclides, 300 a. C. 8

[4] Lasarte Esteban, Tomás y Sanfeliu Montoliu, Teófilo.Cristalografía I para químicos. Teoría y prácticas.Publicaciones de la Universidad Jaume I, 1999 9.

[5] www.xtal.iqfr.csic.es/Cristalografia.

[6] Museo de Mineralogía: Pirita 10.

MATEMÁTICAS Y OTRAS CIENCIAS

Fractales y terremotosAbigail Jiménez LloretUniversidad de Almería

Para definir el término fractal en la naturaleza, el re-cientemente fallecido Mandelbrot (1924-2010) se preguntócuánto medía la línea de costa de Gran Bretaña. Observóque su longitud dependía de la longitud de la escala con la

que se mida, de forma que para una escala G, la longitudL(G) puede aproximarse de la forma:

L(G) ≥MG1−D,

donde D representaría la dimensión fractal.Mandelbrot interpreta este resultado como que las cos-

8www.euclides.org/menu/elements_esp/11/definicioneslibro11.htm.9issuu.com/lasarte/docs/cristalografia_i_para_quimicos_-_teoria_y_prac.

10www.uam.es/cultura/museos/mineralogia/especifica/mineralesAZ/Pirita/pirita.html.

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tas y otros contornos geográficos tienen una propiedad deautosimilaridad estadística, donde el exponente D midela dimensión Hausdorff del borde, la cual puede ser unnúmero fraccionario. De ahí deriva el nombre de fractal.

No se asegura que ninguna línea costera o borde geo-gráfico sea realmente fractal, lo que sería físicamente im-posible, ya que un fractal es un objeto matemático conprecisión infinita. Simplemente declara que la distanciamedida de una costa o frontera puede comportarse empí-ricamente como un fractal a lo largo de un conjunto deescalas de medida.

La dimensión fractal es una medida de la rugosidaddel contorno que pretendemos medir. En la figura pode-mos ver que a diferentes escalas, la longitud de la costa deGran Bretaña varía con la escala usada.

Asimismo, la propiedad de autosimilaridad nos mues-tra que el objeto en cuestión es igual independientementede la escala a la que lo estemos observando.

En Geología, por ejemplo, siempre que se toman fotossobre una estructura geológica, se añade un objeto tal co-mo un martillo, una persona o un coche para indicar laescala de lo que estamos observando. Las montañas tie-nen picos que van desde centímetros a kilómetros. No haytamaño típico para una montaña. Igualmente, hay nubesde todos los tamaños, de forma que las grandes parecenversiones alargadas de las más pequeñas. Esta propiedadse expresa matemáticamente como una ley de potencia,tal y como expresábamos anteriormente la longitud de lacosta en función de la escala.

Falla de San Andrés

Los fractales han sido ampliamente utilizados en el es-tudio de algunas propiedades de la sismicidad. Se sabe que

los terremotos ocurren en las fallas y tienden a agruparsecerca de dichas estructuras. Las fallas son objetos frac-tales naturales, y se puede estudiar tanto la traza de lafalla, mediante ayuda de mapas de diversas escalas, comosu superficie o las distribuciones espaciales de las fracturasde una región. En la figura podemos observar que la fallade San Andrés no es una línea recta, sino que presentarugosidad en su traza, y está conectada con otras fallas,formando una distribución espacial no lineal. También po-demos estudiar la distribución espacial de los terremotos.Al igual que las fallas que los producen, los sismos se dis-tribuyen en el espacio de forma fractal.

Tanto las montañas, como las nubes, los copos de nie-ve o las fallas son objetos naturales cuya geometría puedeser estudiada. Mandelbrot observó que frecuentemente senecesita el concepto de fractal para representar dicha geo-metría.

Igualmente, se puede utilizar el concepto matemáticode fractal para otras magnitudes que no se refieren a laforma de los objetos en la naturaleza. En este caso, bus-camos relaciones de potencia (autosimilaridad), que rela-cionan unas magnitudes físicas con otras. Por ejemplo, enSismología es bien conocida la ley de Gutenberg-Richterque relaciona el tamaño (magnitud) de un terremoto conel número de sismos que presentan esa magnitud.

Es bien conocido que hay muchos terremotos peque-ños y unos pocos grandes. Si representamos en número desismos mayores que cierta magnitud dada frente a dichamagnitud, obtenemos una ley de potencia. Es decir, dichamagnitud presenta autosimilaridad.

Magnitud de un terremoto en fun-ción del tiempo

También podemoshablar de la dimensiónfractal de una serie tem-poral cualquiera. En lagráfica vemos una mag-nitud que varía a lo lar-go del tiempo, y nospreguntamos sobre la

rugosidad de dicha gráfica, es decir, su dimensión fractal.

Por ejemplo, se ha calculado la dimensión fractal deltiempo entre dos terremotos consecutivos. También se havisto que existe una ley de potencia entre el tiempo y elnúmero de réplicas después de un gran sismo. A esta leyse la llama ley de Omori. Asimismo, se ha visto que laenergía liberada a lo largo del tiempo sigue una ley de po-tencia. Como consecuencia de todos estos hechos, se puedeafirmar que los terremotos son uno de los más interesantesfenómenos fractales.

En Física, cuando un fenómeno presenta leyes de po-tencia, normalmente está relacionado con la naturalezacompleja y no lineal del proceso que lo genera. Así pues,el hecho de que un sistema presente geometría fractal, nosayuda a clasificar el fenómeno y a abordarlo desde la pers-pectiva correcta.

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LA HISTORIA Y SUS PERSONAJES

¿Es realmente Hipatia la primera mujermatemática de la historia?Juan Núñez ValdésUniversidad de Sevilla

La mayoría de los investigadores científicos e historia-dores coinciden en afirmar que la primera mujer mate-mática de la Historia no puede ser otra más que Hipatiade Alejandría, hija del matemático Teón, nacida en elaño 370 d.C. (siglo IV de nuestra era).

No cabe duda que el impacto mediático de la figurade Hipatia en la sociedad es apabullante: la gran cantidadde libros escritos sobre ella, junto al estreno, en otoño de2009, de la película Ágora, dirigida por Alejandro Ame-nábar, han contribuido a su más que reconocida fama.

Sin embargo, esa afirmación es totalmente cuestiona-ble. Anteriormente a Hipatia, en algunos casos incluso mu-chos siglos antes de su nacimiento, ya existieron otras mu-jeres cuya obra matemática les hace, asimismo, merecedo-ras de tal distinción o al menos compartirla con ella.

Entre esas mujeres y por orden cronológico pueden sercitadas las siguientes:

Enheduanna.Nacida alrededor del año 2300 a. C. (y por tanto, 26

siglos antes de Hipatia). Enheduanna era hija de Sargón Iel Grande, rey de Akad (ciudad en el centro de Mesopo-tamia). Su nombre significa En (gran sacerdotisa), Hedu(ornamento) y Anna (del dios del cielo).

Para algunos investigadores, Enheduanna es la prime-ra mujer registrada en la historia de la ciencia y tam-bién la primera persona que firma sus escritos. Desdeel punto de vista estrictamente matemático, Enheduannafue capaz de resolver ecuaciones de grado tres, a partirde unas tablillas en las que aparecían la suma del cua-drado y el cubo de gran cantidad de números naturales.De ahí que no sea descabellado considerarla, como hacenvarios autores, no sólo la primera mujer científica de la an-tigüedad, sino también la primera mujer matemática dela historia (para mayor información sobre Enheduannapuede verse [2]).

Las mujeres pitagóricas: Teano.Aunque en aquella época, siglos VI y V a.C., la mujer

estaba marginada de las actividades científicas, en la Es-cuela pitagórica (asociación filosófica, política y religiosafundada por el filósofo y matemático griego Pitágoras enCrotona, Sur de Italia) no existían prejuicios ni discrimi-naciones y se recibía por igual a hombres que a mujeres.Por ello no es de extrañar que hayan llegado hasta nues-tros días algunos textos escritos en los que se afirma laexistencia de un amplio círculo de mujeres en esta Escue-la dedicadas a la ciencia y a la contemplación intelectual.Así, en su obra titulada Vida de Pitágoras [1], el historia-

dor Jámblico da un listado de 32 estudiantes de la Escue-la pitagórica, en el que figuran las siguientes 17 mujeres:Arignote de Samos, Babelyka de Argos, Bitale, Da-mo, Echekrateia de Phlius, Ekkelo de Lukania, Habro-telia de Tarento, Kleaichma, Kratesikleia, Lastheniade Mantinea, Myia, Peisirrhode de Tarento, Philtys,Theadusa de Esparta, Teano de Crotona, Timycha yTyrsenis de Sybaris, siendo de todas ellas Teano, de laque se cree que fue mujer del propio Pitágoras y madre deDamo, Arignote y Myia, la más conocida y de la que másdocumentación (no del todo fiable en verdad) se posee enla actualidad.

Teano enseñando en la Es-cuela

La obra matemática que sele atribuye a Teano es la mis-ma que la que puede atribuírseleal resto de los miembros de laEscuela, pues uno de los requi-sitos exigidos para pertenecer ala misma era que todos los des-cubrimientos de sus miembros seatribuyesen al venerado Pitágo-ras. De ahí que hoy en día nadase sepa sobre el trabajo indivi-dual de ninguno de los miembros

de la Escuela (incluido el propio Pitágoras y su famosoTeorema). En esa obra matemática de los pitagóricos pue-den encontrarse resultados sobre la proporción áurea, so-bre geometría, aportaciones varias a la teoría de númerosy a la teoría de poliedros regulares, aparte de otros relati-vos a la cosmología, al origen del Universo, a la física, a lamedicina, a la psicología infantil y un trabajo titulado So-bre la Piedad (puede verse [3] para mayor información).

Aglaonike: primera mujer astrónoma.Aglaonike, cuyo nombre significa «victoria de la luz»,

nació entre el año 200 y el 400 a. C. (siglos V al III a. C.)en Tesalia, Grecia. Su padre, Hegetor de Tesalia, le per-mitió adentrarse en los conocimientos de la astronomía apesar de su condición de mujer, razón por la cual, Aglao-nike es considerada la primera mujer astrónoma de laAntigüedad.

Aglaonike

Por su gran destreza en ma-temáticas y su capacidad parapredecir eclipses, Aglaonike eraconsiderada, por sus contempo-ráneos, una bruja capaz de hacerdesaparecer la luna a su antojo.A ella se le atribuye el conoci-miento del año cíclico lunar: elsaros, un período caldeo de 223lunas, lo que equivale a 6585,32

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Divulgación Matemática Volumen IV. Número 3 19 / 24

días (algo más de 18 años y 10 u 11 días), tras el cual laLuna y la Tierra regresan aproximadamente a la mismaposición en sus órbitas, y se pueden repetir los eclipses(véase [4] para mayor información).

Referencias

[1] Iamblichus. Vida de Pitágoras (traducción inglesa deT. Taylor, Londres, 1818).

[2] Vázquez Hoys, Ana. Enheduanna, la primera autoraliteraria de la historia. Blog «Investigación y opiniónacerca del mundo antiguo. . . » 11.

[3] Pulido Pastor, Francisco M. Biografía de Pitágorasde Samos 12.

[4] 4000 years of women in science: Aglaonike 13.

LA HISTORIA Y SUS PERSONAJES

Edward Norton LorenzPadre de la teoría del caos

Antonio Rosales GóngoraIES Bahía de Almería

Edward Lorenz

Nuestra comprensión del uni-verso reposa esencialmente en trespilares: la teoría de la relatividad,la mecánica cuántica y la teoríadel caos. Estos tres grandes con-ceptos condicionan nuestra vidadiaria.

La teoría del caos fue descu-bierta por el matemático norte-americano Edward Norton Lorenz(1917-2008) cuando trabajaba co-mo meteorólogo en el MIT (Mas-

sachusetts Institute of Technology).Según se cuenta fue el café quien ayudó a Lorenz a des-

cubrir el fenómeno del caos. En esta época, 1963, Lorenzpasaba muchas horas tratando de predecir el tiempo; paralo cual utilizaba uno de los primeros ordenadores, el Ro-yal Mc Bee LGP 300. Su método consistía en introduciren el ordenador un cierto número de parámetros determi-nados hasta la millonésima (6 cifras tras la coma), lanzarla máquina con la ayuda de algoritmos y programas desu creación e interpretar los resultados, una columna decifras.

Su protocolo suponía repetir dos veces para cada seriede parámetros, para verificar. Un día, con un súbito deseode café recién hecho, Lorenz decide acelerar la segundamaniobra e introduce los parámetros con una precisión alas milésimas (tres cifras tras la coma). Tras el descanso,vuelve a su trabajo y encuentra una columna de cifras di-ferente de la primera obtenida con los mismos parámetrospero con precisión 10−6. Lorenz verifica cada columna va-rias veces y repite la experiencia cambiando la precisiónde las cifras.

Es así como descubre que es suficiente pequeños cam-

bios para provocar un comportamiento caótico, demos-trando que puede surgir una dinámica compleja e impre-visible por la mera introducción de muy pequeñas pertur-baciones en los datos. Según su razonamiento, la comple-jidad puede ser intrínseca a un sistema en lugar de causasaccidentales como se pensaba.

Este concepto, que acaba definitivamente con el de-terminismo de Descartes, había sido ya presentido por elmatemático francés Henri Poincaré (1854-1912), uno delos últimos sabios universales, abarcador de todas las ra-mas de las matemáticas, precursor de la relatividad res-tringida; pero sin poder demostrarlo claramente. EdwardLorenz describe el fenómeno de manera matemática in-troduciendo la noción de atractor extraño, una curva quemuestra todos los estados posibles de un sistema complejo.

En 1972 Lorenz ex-pone su descubrimien-to en un artículo titula-do «Puede el aleteo delas alas de una mari-posa en Brasil provo-car un tornado en Te-xas», frase que inmor-

talizó al autor.Fue galardonado con el premio Crafoord de la Acade-

mia Sueca creado en reconocimiento de las labores cientí-ficas no incluidas en el Nobel.

En 1991 recibió el premio Kioto para las ciencias pla-netarias y de la tierra. El jurado señaló que Lorenz «tuvosu más osado logro científico al descubrir el caos de-terminista, un principio que lleva consigo los cambiosmás dramáticos en la visión humana de la naturalezadesde Newton».

Un caminante ávido y esquiador internacional, EdwardLorenz murió de cáncer el 16 de abril de 2008 en su resi-dencia de Cambridge.

11www.bloganavazquez.com/2010/10/24/enheduanna-la-primera-autora-literaria-de-la-historia.12www.astroseti.org/articulo/3516/biografia-de-pitagoras-de-samos.13www.astr.ua.edu/4000WS/AGLAONIKE.html.

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Divulgación Matemática Volumen IV. Número 3 20 / 24

Lecturas recomendadas sobre divulgación matemática

El tío Petros y la conjetura de Goldbach.Apostolos Doxiadis.

Ficha TécnicaEditorial: Ediciones B208 páginasISBN: 978-84-406-9877-3Año 2000

En este Boletín presentamos el libro, escrito por Apos-tolos Doxiadis en el año 1992, «El tío Petros y la conjetu-ra de Goldbach». Apostolos Doxiadis es un escritor griegoque ha cursado estudios de Matemáticas en la Universidadde Columbia, Nueva York. Entre sus obras podemos en-contrar novelas didácticas con contenido matemático. Suúltima obra, «Logicomix» (2009), escrita junto con C.H.Papadimitriou, es un cómic sobre la historia de las Mate-máticas en el primer tercio del siglo XX.

La conjetura de Goldbach fue planteada por el ma-temático Christian Goldbach (Königsberg, Prusia, 1690-1764). A lo largo de su vida, Goldbach, viajó por Europadonde conoció a importantes matemáticos de su época,como G. Leibniz, L. Euler y D. Bernoulli. Hoy en día esfamoso por la llamada conjetura de Goldbach, un proble-ma en apariencia sencillo: todo número par mayor que 2 sepuede representar como la suma de dos números primos.

Se sabe, mediante cálculos realizados con ordenador,que esto es cierto para todos los números menores queun trillón, es decir, 1018. Esta conjetura se encontró enuna carta que envió Goldbach a Euler en 1742. Euler noconsiguió demostrar ni refutar esta afirmación y, en la ac-tualidad, nadie ha dado una demostración formal sobre laveracidad del resultado ni se ha encontrado ningún con-traejemplo de ella.

En la novela, el protagonista, el tío Petros, vive soloen una casa pequeña en Ekali (Atenas), dedicándose a sujardín, al ajedrez y, una vez al mes, ayuda como tesoreroen una institución filantrópica. Su familia visita a Petrosuna vez al año, el 29 de junio, día de su santo. La acti-tud desdeñosa hacia él de sus dos hermanos despierta lacuriosidad de su sobrino, nuestro narrador. Éste descubreun día, por azar, que el tío Petros había sido un mate-mático eminente y profesor de Análisis en la Universidadde Munich. Esto despierta aún más su curiosidad y, a lolargo de tres capítulos, se muestra cómo su sobrino irádescubriendo la vida de Petros Papachristos y como éstase ha centrado en la resolución de la famosa conjetura deGoldbach.

El libro nos presenta qué siente un matemático al en-

frentarse a la resolución de un problema y cómo ésta pue-de convertirse en una obsesión. Es un libro muy amenodonde aparecen matemáticos ilustres como personajes deficción, Carathéodory, Hardy, Littlewood y Ramanujan.Hace referencia al Segundo Congreso Internacional deMatemáticas (Paris, 1910), donde Hilbert anuncia quea través de la Lógica Formal toda proposición verdade-ra puede probarse. También aparece cómo Petros ayuda aun estudiante de Matemáticas, A. Turing, a descifrar unartículo de K. Gödel, perteneciente al campo de la Lógi-ca Formal. Este encuentro permitirá a Petros conocer elteorema de incompletitud de Gödel.

Es un libro recomendable para alumnos de Bachillera-to, ya que dominan los conceptos de número primo y nú-mero compuesto y pueden comprender fácilmente el enun-ciado de problemas que pueden formularse en Teoría deNúmeros. Asimismo, este libro les permite conocer aspec-tos de la vida de grandes matemáticos a través de anéc-dotas sencillas. También puede resultar interesante paraestudiantes universitarios, puesto que se pone de mani-fiesto la diferencia entre una Matemática Pura y una Ma-temática Aplicada y la dedicación necesaria para abordary enfrentarse a un problema; igualmente pueden entenderla satisfacción que se siente no sólo cuando se obtiene lasolución final del problema sino los pequeños resultadosintermedios que vamos obteniendo para llegar a dicha so-lución.

Tan importante como resolver un problema es el ca-mino andado para obtener su solución, es la «Ítaca» deKaváfis a la que la novela hace referencia.

Reseña de María Ángeles Moreno FríasUniversidad de Cádiz

La vida secreta de los números.George G. Szpiro.

Ficha TécnicaEditorial: Almuzara224 páginasISBN: 978-84-92537-28-8Año 2009

Todos nosotros hemos tenido la oportunidad de com-probar, como alumnos primero y como profesores después,que una cosa es saber algo y otra muy distinta saber trans-mitirlo. Es más, nos seguimos extrañando de que hayaconceptos que, por más que los expliquemos, los alumnosno los entiendan (alguna vez he llegado a pensar que elaprendizaje de los productos notables depende de un gen,

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Divulgación Matemática Volumen IV. Número 3 21 / 24

que se tiene o no se tiene), sin pararnos a hacer un poco deautocrítica para dejar de apuntar siempre a los alumnos,y hacerlo a nosotros mismos porque no sabemos comu-nicar lo que sabemos. Por eso, cuando nos encontramoscon un escritor como George G. Szpiro, capaz de conju-gar conocimiento y divulgación con tanta facilidad comomuestra en este libro, uno no puede por menos que sentiruna justificada admiración.

Aunque de formación inicial científica (matemáticas yfísica), el autor fue durante años el corresponsal en Jeru-salén de un diario suizo (el Neue Zürcher Zeitung, deZurich), encargado de informar sobre la delicada situaciónen Oriente Medio; pero como diría el refranero, «la cabratira el monte», y a raíz de la cobertura para su periódicode un congreso matemático en Haifa, fue publicando concierta asiduidad artículos relacionados con las matemáti-cas, tanto en el diario como en su suplemento dominical,hasta llegar a desarrollar una labor divulgativa realmen-te importante, reconocida con varios premios nacionales e

internacionales por la calidad de sus trabajos.Esta obra es una recopilación de esos artículos, de mo-

do que su temática es una entretenida mezcla de detalleshistóricos, problemas famosos, conjeturas por demostrar,pequeñas biografías y distintas aplicaciones de las Mate-máticas a otras disciplinas, que van desde la Biología ola Física hasta el Derecho, la Lingüística o la Teología.Además, dado que son artículos escritos para un públi-co generalista, están huérfanos de términos excesivamentetécnicos y lenguaje especializado, pero al mismo tiempo—y ahí está el auténtico mérito— son capaces de explicarlos rudimentos de temas tan abstrusos como la conjeturade Poincaré o los problemas de Hilbert.

Y es que, como el mismo Szpiro dice en el prefacio, «lacomplejidad de las matemáticas no debe esconderse,pero tampoco exagerarse». Después de leer sus artículos,hasta parece cierto.

Reseña de José Ramón Sánchez GarcíaIES Los Ángeles (Almería)

Páginas web de interés

Enciclopedia de matemáticas

eom.springer.de

¿Existe alguna enciclopedia que recoja todos los con-ceptos básicos de las Matemáticas? Si visita esta páginaweb de Springer, podrá comprobar que la pregunta ante-rior tiene una respuesta afirmativa.

Editada por Michiel Hazewinkel y con casi 50 000 no-ciones, esta enciclopedia en línea es una fuente de infor-mación rápida, precisa y completa a nivel de posgrado enel campo de las matemáticas.

Además de ofrecernos una definición rigurosa de cadaconcepto, nos introduce en el contexto histórico en el queapareció y se desarrolló. También menciona los resulta-dos más importantes relacionados con cada noción; con-

tiene explicaciones, análisis, ejemplos, terminología, mé-todos,. . . y cita las referencias de los artículos donde seencuentran.

La Enciclopedia de Matemáticas en línea puede serútil para cualquier matemático, especialmente, para losalumnos que terminan el grado y comienzan algún máster,ya sea orientado a la investigación o a la docencia.

Historia del número uno

www.youtube.com/watch?v=FCAzdjaHkR4

En esta página de YouTube podemos encontrar en cas-tellano un ocurrente documental sobre la historia de lossistemas de numeración en la civilización occidental. Estedocumental, presentado por Terry Jones en 2005 para laBBC, fue dirigido y producido por Nick Murphy.

«Historia del número uno» es una historia de lasMatemáticas explicada de forma amena y divertida. Pue-de ser un material excelente para la enseñanza primaria ylos primeros cursos de la secundaria.

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Territorio Estudiante Volumen IV. Número 3 22 / 24

Citas Matemáticas

«No te preocupes por tus problemas con las matemá-ticas, los míos [con ellas] son todavía mayores».

Albert Einstein (1879-1955),físico alemán.

«Cualquiera capaz de resolver x2−92y2 = 1 en el plazode un año, es un matemático».

Brahmagupta (598-660),matemático y astrónomo indio.

Acertijos

Demasiado grandeSea n un natural tal que 1 ≤ n ≤ 9 e intentemos escri-

bir un número lo más grande posible usando n tres veces.Dos buenos candidatos son nnn y nnn

pero, ¿cuál de elloses más grande?.

Debes tener en cuenta, antes de empezar, que la nota-

ción nn no se refiere al producto de n por sí mismo sino aun entero que consta de dos cifras, ambas iguales a n (así,por ejemplo, si n = 6, hablamos del número 66).

Finalmente, como es lógico, se espera una respuestaen función del valor de n.

MATEMÁTICAS EN TELEVISIÓN

Los Simpson y las MatemáticasMiguel Ángel Burgos PérezAna María Contreras AguilarMacarena Cristina Molina GallardoAurora Sánchez GordoAlumnos de la UAL

Todos hemos vis-to alguna vez uncapítulo de la exi-tosa serie televisi-va «Los Simpson»,que ha ganado nu-merosos premios y ala cual la revista Ti-me calificó como la

mejor serie del siglo XX.Nuestra generación ha crecido con estos ingeniosos di-

bujos animados que tantas risas nos han provocado a lahora de comer y a cuya forma de enfrentar situaciones ab-surdas, surrealistas o esperpénticas hacemos referencia ennumerosas ocasiones de nuestra vida cotidiana (¡hay diá-logos y escenas que algunos de nosotros nos los sabemosde memoria!). Pero, más allá de la famosa frase de Bart,«multiplícate por cero», pocos conocen la estrecha rela-ción entre los habitantes de Springfield y las Matemáticas.

Gran parte de la culpa de la existencia de esta relación

la tiene su creador, Matt Groening, que, desde la emisiónde la primera temporada y a lo largo de estos 22 años,ha querido contar en su elenco de guionistas con un vastonúmero de matemáticos, físicos e informáticos. Estos sonlos responsables de introducir, ya sea de forma subliminalen el «decorado» de las escenas o mediante las bromas depersonajes tan conocidos como Homer, Bart, Lisa o Apu,numerosas citas y referencias matemáticas en clave de hu-mor. Actualmente, el equipo de guionistas cuenta con unfísico, un informático y tres matemáticos.

Al Jean, licenciado en Matemáticas por la Universi-dad de Harvard, es uno de ellos. En una entrevista a unaconocida revista dijo: «Mi referencia matemática favo-rita en la serie estuvo en el episodio cuando Apu estáen el juzgado como testigo de un caso y el abogado lepregunta si tiene buena memoria. Él dice: “Sí, he me-morizado el número π con un millón de decimales” yHomer dice: “mmm. . .π” y empieza a babear. Tuvimosque llamar al Instituto Tecnológico de California, enPasadena, para confirmar si el dato que habíamos da-do como el millonésimo decimal de π (el número 1)era el correcto».

«Siempre pensamos que hay algunos espectadoresque lo entenderán», dice Kenneth Keeler, conocedor de

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que la mayoría de la audiencia ignora el significado ma-temático de sus chistes y, ya sea por la juventud de losespectadores o por su falta de conocimientos en la mate-ria, se ríen sólo de su significado contextual y/o superficial.Keeler se graduó con los máximos honores en la Univer-sidad de Harvard y obtuvo el título de doctor en Mate-mática Aplicada con su tesis titulada «RepresentacionesCartográficas de Códigos Óptimos para Segmentación deImágenes» (Map Representations and Optimal Encodingfor Image Segmentation). Cuenta a su vez con varias pu-blicaciones, como el artículo «Short Encodings of PlanarGraphs and Maps», Discrete Appl. Math. 58 (1995), no 3,239-252, junto con Jeff Westbrook. Éste último que, des-pués de graduarse en Física e Historia de la Ciencia enHarvard, estudió informática en la Universidad de Prin-ceton y se doctoró en Ciencias de la Computación con sutesis «Algoritmos y Estructuras de datos para Algoritmosde Grafos Dinámicos» (Algorithms and Data Structuresfor Dynamic Graph Algorithms), también forma parte delequipo que escribe el guión de la serie.

El último de los científicos que forman parte del equipode guionistas es David Samuel Cohen, licenciado en Físicaen Harvard, con un Máster en Ciencias de la Computaciónpor la Universidad de Berkeley.

Cohen es el responsable del capítulo en el que Homersalta accidentalmente a una tercera dimensión al apoyarseen la pared del salón y se sumerge en un mundo de formasgeométricas y fórmulas flotantes, entre las que se encuen-tra la inocente y sutil ecuación 178212 + 184112 = 192212.Esta claramente contradice el último teorema de Fermatque afirma que si n es un natural mayor que 2, entonces

no existen números enteros a, b y c con abc 6= 0, talesque cumplan la igualdad an + bn = cn.

No obstante, esto no es más que otro ardid humorísti-co. Si comprobamos la ecuación en cualquier calculadora,la duodécima raíz de la suma de 178212 + 184112 es 1922.Sin embargo, es sencillo ver que la ecuación es falsa puesla parte izquierda es impar, mientras que el lado derechoes un número par. Por lo tanto, no hay paradoja; es sim-plemente un error de la calculadora.

Imagen de episodio en el que aparece laecuación 178212 + 184112 = 192212

Para la prepa-ración de este ca-pítulo, Cohen creóun programa de or-denador específicopara lo que los ma-temáticos conoce-mos como los erro-res más cercanos deFermat: combina-ciones de naturalesa, b, c y n que se aproximen mucho a satisfacer la ecua-ción de Fermat y que la precisión finita de las calculadorasdé como cierta.

¡Sorprendente!, ¿no? Pues esto es sólo un extracto dela infinidad de referencias humorístico–matemáticas queexisten en las 22 temporadas de la serie, ya que en la ma-yoría de sus episodios se hace, en mayor o menor medida,un «mate-chiste». Y no sólo en Los Simpson podemosencontrar Matemáticas, sin necesidad de prestar excesivaatención, en Futurama, serie que cuenta con los mismosguionistas, podrás encontrar más humor matemático.

Responsables de las secciones

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Actividades organizadas : Pedro Martínez(pmartine@ual.es).

Entrevistas e investigación : Juan Cuadra(jcdiaz@ual.es) y Juan José Moreno(balcazar@ual.es).

Foro abierto y preguntas frecuentes : MaríaGracia Sánchez-Lirola (mgsanche@ual.es).

2 De la Enseñanza Media a la EnseñanzaUniversitaria:

Experiencias docentes : Manuel Gámez(mgamez@ual.es) y Miguel Pino(mpinomej@gmail.com).

Enseñanza bilingüe en Matemáticas : Eva Acosta(evagavilan1@yahoo.es) y Cándida Hernández(candihernandez@hotmail.com). Colaboradora:Johanna Walsh (Cardiff, UK).

2 Divulgación Matemática

La Historia y sus personajes : FlorencioCastaño (fci@ual.es) y Blas Torrecillas(btorreci@ual.es).

Problemas de interés : Alicia Juan(ajuan@ual.es) y Miguel Ángel Sánchez(misanche@ual.es).

Las Matemáticas aplicadas en otros campos :Juan Antonio López (jlopez@ual.es), FranciscoLuzón (fluzon@ual.es) y Antonio Salmerón(asalmero@ual.es).

Mujeres y matemáticas : Isabel Ortiz(iortiz@ual.es) y Maribel Ramírez(mramirez@ual.es).

Cultura y Matemáticas : José Cáceres(jcaceres@ual.es) y José Luis Rodríguez(jlrodri@ual.es).

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Lecturas recomendadas sobre divulgaciónmatemática : Fernando Reche (freche@ual.es)y Antonio Morales (amorales@ual.es).

Páginas web de interés : José Carmona(jcarmona@ual.es) y José Escoriza(jescoriz@ual.es).

Citas matemáticas : Juan Cuadra(jcdiaz@ual.es) y Alicia Juan (ajuan@ual.es).

Pasatiempos y curiosidades : Antonio Andújar(andujar@ual.es) y José Antonio Rodríguez(jarodrig@ual.es).

Acertijos : Juan Carlos Navarro (jcnav@ual.es).

2 Territorio Estudiante: Miguel Ángel Burgos(burgos__@hotmail.com), Ana María Contreras(marilo_contreras@hotmail.com), Macarena CristinaMolina (pirista_mmg@hotmail.com) y Aurora Sánchez(aurosanchezg@gmail.com)

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