Fractales y caos en las finanzas.

Por Bruno Martínez Warnholtz Socio IMEFU F.Ciencias

La hipótesis de mercados eficientes es la siguiente: Toda la información es ampliamente disponible y se refleja en los precios de las acciones.

Hemos aprendido con el tiempo y de los errores que la dinámica de los precios no es lineal, con lo que se cae el análisis clásico de los mercados bursátiles. Para optimizar el análisis clásico utilizaremos fractales.

¿Qué es un fractal? Se dice que un grafico obtenido por un recorrido aleatorio es fractal si sus patrones de formación se repiten en todas sus escalas. Al analizar los precios de una acción se pensaba que la distribución de probabilidad de los rendimientos debe ser aproximadamente Normal. Esto se ha intentado demostrar, pero nunca se ha logrado. Dos posibilidades han sido ampliamente ignoradas: Que los mercados y activos o valores sean independientes, y que el modelo del inversionista racional no es nada realista.

En 1952, Markowitz propuso que entre mas volátil sea una acción, será percibida como más riesgosa. La volatilidad o el riesgo se toman como la media estadística de la desviación estándar de los rendimientos, o de su varianza. La idea es que la varianza mide la dispersión de los rendimientos, entre más grande sea este número, mayor es la dispersión y habrá grandes altibajos en los rendimientos, y como consecuencia el activo en cuestión se considera riesgoso. Sin embargo, se debe considerar que esto solamente funciona si el sistema analizado es aleatorio. Teniendo esto en cuenta se ha visto en muchos estudios que la distribución típica de un mercado bursátil no es una Normal.

Como ya lo mencionamos antes, la hipótesis asegura que los precios actuales reflejan toda la información disponible al publico inversionista, únicamente nueva información puede alterar los precios. Si esto es cierto, los mercados seguirán una caminata aleatoria. La hipótesis asegura que el movimiento de precios de un día no se encuentra relacionado con el día previo, dado que solamente nueva información genera cambios, esto era fundamental para que funcionara el teorema central del límite en los mercados capitales y este teorema es fundamental para aplicar el calculo probabilístico y los modelos lineales. Pero como ya vimos, las cosas no funcionan como lo esperábamos, la función no es una normal, no podemos aplicar el teorema central del límite y nuestros modelos lineales serán de poca utilidad.

Al estudiar el comportamiento vemos una caminata aleatoria sesgada. Hurst (en los 40´) y posteriormente Mandelbrot (en los 60´) analizaron las caminatas aleatorias sesgadas, Mandelbrot las llamo

Movimientos Brownianos Fraccionarios, nosotros les podemos llamar Series de Tiempo Fractales.

En los gráficos construidos emulando a los gráficos bursátiles se utiliza un número concreto entre 0 y 1, al que se le llama probabilidad fractal, que al ser multiplicado por una longitud que se tomará como patrón nos dará la esperanza matemática asociada a dicho tramo. El 0,618 se ha tomado como dicho número. Lo maravilloso es que en gráficos fractales el número que se encuentra por deducción matemática es muy parecido, resulta ser 0,636, que coincide con el valor medio de las franjas de variación observadas en gran cantidad de gráficos bursátiles.

En conclusión vemos que tras entender que los mercados bursátiles carecen de orden y nuestra hipótesis no es real surge la necesidad de utilizar herramientas de teoría del caos y la geometría fractal, con estas herramientas se han creado métodos con los que se obtienen mejores resultados, mejores incluso que al utilizar métodos económicos. Con estos métodos, como las series de tiempo fractal, hemos podido considerar la complejidad humana y características más realistas de un mercado bursátil.

Bibliografía

Ernesto Teobaldo Gálvez Medina. Análisis Fractal del Mercado de Valores en México. Instituto Politécnico Nacional. Tesis para doctorado en ciencias administrativas. 2005.

Rogelio Ojeda Suárez. Métodos de predicción para series de tiempo fractales. Universidad de las Américas Puebla. Tesis para obtener Licenciatura en Matemáticas y Economía. 2004