NOMBRE: Juan Alvaro Pineda AlvarezCI: 6960196

Fracciones Parciales

Una fraccin parcial para aplicarla a un ejercicio y darle solucin est sujeta a casos, los mismos que son:

1. Cuando el denominador de la fraccin es de primer grado y no est repetido:

Siendo A el contenido a determinarse.Si el grado del numerador es un grado menor que el denominador, conviene expresar el denominador como un producto de factores, por lo que se debe factorizar. Aqu se puede hacer uso de la tabla 1.

2. Cuando el denominador de la fraccin es de primer grado y est repetido:

En donde A, B, C son el contenido a determinarse.

Si el grado del numerador es igual o mayor al del denominador, la fraccin debe reducirse a una expresin mixta dividiendo el numerador para el denominador. Para ello se aplica el Teorema de la Divisin (Prueba de la divisin):

3. Cuando el denominador de la fraccin es de segundo grado y no est repetido:

Donde A y B son las constantes a determinarse.

4. Cuando el denominador de la fraccin es de segundo grado y est repetido:

Donde A, B, C, D, E, F son constantes a determinarse.

Pasos para resolver por el mtodo de fracciones parciales

Esta tcnica se trabaja para el cociente de polinomios, con una variable. Por lo tanto, vamos a considerar F(x), P(x) polinomios de este tipo, con coeficientes en . Adems vamos a exigir que P(x) no sea constante, para evitar casos evidentes. La expresin con la que trabajaremos, es: A continuacin viene una lista con los pasos fundamentales del mtodo de fracciones parciales

a) Dividir polinomios.- Algo que puede suceder al comienzo, es que F(x) tenga grado mayor o igual que P(x), y lo que debemos hacer en este caso, es dividir. Aparece un cociente Q(x) y un resto R(x), con las siguientes propiedades: , o bien el grado de R(x) es menor que el grado de P(x)Si dividimos la primera igualdad por P(x) vamos a obtener: Si fuera R(x)=0, entonces (excepto cuando P(x)=0) es un polinomio y el proceso acaba. Si , entonces nos concentramos en para seguir. Veamos lo que pasa con nuestro ejemplo:

b) Factorizar el denominador.- Esto quiere decir que llevamos P(x) a la forma:..(2) o bien a la forma: (3) dependiendo de nuestros objetivos (normalmente se busca la representacin de esta ltima, sobre todo si queremos calcular integrales). Pasando a frmulas se tiene lo siguiente:

La constante A no debera ser un problema significativo, desde un punto de vista terico y prctico.

En nuestro ejemplo vamos a tener lo siguiente (el factor cuadrtico tiene discriminante negativo):

Salvo casos excepcionales, factorizar polinomios es sumamente complicado. Requiere prctica y conocimiento de ciertos criterios. Por esta razn, casi siempre en los ejercicios propuestos el denominador ya est factorizado, o bien lo que falta se deduce a partir de tcnicas usuales de factorizacin.

c) Obtener las fracciones parciales.- Aqu debemos hacer una observacin: las representaciones (2) y (3) no han agrupado explcitamente los factores repetidos. En este mtodo es necesario hacerlo para el denominador. Lo que viene a continuacin es generar ciertas fracciones de la siguiente manera: Cada factor de la forma , con genera las fraccionesDonde son constantes reales, incgnitas por ahora Cada factor de la forma , con , genera las fracciones:

Donde son constantes reales, incgnitas por ahora Todas estas fracciones generadas, se suman para obtener Veamos lo que ocurre con nuestro ejemplo. Se obtiene la siguiente igualdad:

d) Encontrar el valor numrico de las .- Cuando uno llega a la igualdad enunciada en la parte anterior, pueden igualarse los denominadores, y en el numerador se llega a una igualdad de polinomios (otra forma de verlo, es multiplicar ambos lados de la igualdad por , que ya estaba factorizado). Esta es informacin suficiente para encontrar todos los coeficientes. Vamos a indicar dos mtodos para conseguirlo: igualdad por coeficiente, y evaluacin, con la ventaja que ambos pueden ser combinados, como sea ms cmodo para cada caso.

Antes de eso, veamos lo que sucede con nuestro ejemplo (multiplicamos por):

e) Igualdad por coeficiente.- Dos polinomios son iguales, cuando lo son coeficiente por coeficiente. Usamos este principio para establecer un sistema de ecuaciones que nos dar el valor de las constantes . Veamos con nuestro ejemplo:

De aqu pasamos al siguiente sistema de ecuaciones:

Restando la primera ecuacin de la primera, se obtiene que . Restando la cuarta ecuacin de la segunda se obtiene . Reemplazando esto en las ecuaciones, obtenemos que y que , de donde . A fin de cuentas, llegamos a lo siguiente:

Formalmente, esto termina de resolver el problema (salvo por pequeos detalles tcnicos). Pero es muy habitual que de este mtodo aparezca un sistema de ecuaciones bien complicado. En este ejemplo tuvimos suerte que no fuera as, y se pudo salir del problema en pocos pasos.

EvaluacinEste mtodo es especialmente corto cuando el denominador (ya factorizado) tiene muchos factores (lineales o cuadrticos irreducibles) con exponente 1. El mtodo es evaluar los polinomios, o sea dar valores a . Lo astuto es evaluar en los ceros (reales o complejos) del denominador. Veamos qu sucede en nuestro ejemplo:

Si reemplazamos llegamos a lo siguiente: , de donde . A diferencia del mtodo anterior, llegamos de inmediato al valor de una constante, cosa que antes poda tardar mucho tiempo. Poniendo tenemos lo siguiente: . Ahora nos acordamos que , luego . Aqu con una evaluacin obtuvimos dos incgnitas. Al evaluar (el complejo conjugada) obtenemos la misma informacin, as que no lo haremos.

Hasta aqu no es forzoso tener todos los coeficientes (en nuestro ejemplo falta obtener ). El esquema general para continuar, es el siguiente: reemplazar todas las constantes que hayamos determinado, aislar las incgnitas restantes en el lado derecho, factorizar ambos lados y dividir por los factores comunes. Veamos lo que pasa en nuestro ejemplo:

Normalmente se llega a este punto y repetimos el razonamiento inicial (el mtodo de evaluacin), pero en el ejemplo apenas quedaba una incgnita y por eso terminamos de inmediato. Si hubiera ms constantes por determinar, el proceso se extendera un poco ms. Un camino alternativo a este, es reemplazar las constantes conocidas, derivar, evaluar en todas las races que sean convenientes, y con frecuencia se obtiene "gratis" el valor de algunas constantes. Con prctica, esto resulta mucho ms rpido. En nuestro ejemplo se vera as: