fotografía de página completa - dr. myron evans | … precesión en el perihelio del planeta...

18

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3. R

esul

tado

s co

mpu

taci

onal

es y

grá

fica

s.

3.1

Ecu

acio

nes

de L

agra

nge

rela

tivi

stas

.

Las

ecu

acio

nes

de E

uler

Lag

rang

e re

lati

vist

as (

9-11

) en

tre

s di

men

sion

es,

basa

das

en l

a fu

nció

n de

Lag

rang

e (1

), s

e de

sarr

olla

ron

med

iant

e co

mpu

tado

ra y

res

olvi

eron

con

mét

odos

nu

mér

icos

, ta

l co

mo

se h

a de

scri

to e

n do

cum

ento

s an

teri

ores

. S

e ut

iliz

aron

coo

rden

adas

pola

res

esfé

rica

s (r

, θ, ϕ

). R

eins

erta

ndo

los

térm

inos

γ =

1 / √

1 –

v2 /

c2 y

v a

par

tir

de la

Ec.

(7

), a

dopt

an la

for

ma:

Med

iant

e la

tra

nsic

ión

c →

∞, s

e ob

tien

e la

for

ma

no r

elat

ivis

ta:

Par

a ór

bita

s pl

anas

, re

sult

a su

fici

ente

exp

resa

r la

s ec

uaci

ones

en

dos

dim

ensi

ones

. E

sto

corr

espo

nde

a la

om

isió

n de

l áng

ulo

pola

r θ:

Nue

vam

ente

, pue

de e

fect

uars

e la

tran

sici

ón n

o re

lati

vist

a, q

ue r

esul

ta e

n la

con

ocid

a fo

rma

Es

posi

ble

re-e

xpre

sar

las

Ecs

. (52

, 53)

una

vez

más

. Con

la a

brev

iatu

ra

r o

= ���

(

56)

(el r

adio

de

Sch

war

zsch

ild)

est

as e

cuac

ione

s ad

opta

n la

for

ma

Se

obse

rva

que

esto

es

idén

tico

a l

a fo

rma

no r

elat

ivis

ta,

incr

emen

tada

cad

a un

a co

n un

rmin

o de

ord

en 1

/ c2

(rep

rese

ntad

o po

r r o

). D

ado

que

el p

rodu

cto ��� a

sum

e am

bos

sign

os

alre

dedo

r de

l per

ihel

io, t

enem

os e

n es

ta r

egió

n un

a m

odif

icac

ión

sim

étri

ca d

e la

ace

lera

ción

an

gula

r. E

l po

tenc

ial

grav

itac

iona

l se

mod

ific

a po

r la

pre

senc

ia d

el f

acto

r γ,

per

o m

ás

impo

rtan

te r

esul

ta e

l tér

min

o ad

icio

nal

que

intr

oduc

e un

a de

pend

enci

a re

spec

to d

e �

que

no

esta

ba a

llí e

n el

cas

o no

rel

ativ

ista

. A p

arti

r de

la f

orm

a de

la E

c. (

58)

de la

ext

rem

a de

rech

a ve

mos

que

el

pote

ncia

l se

ve

cont

rarr

esta

do p

or �.

En

el c

aso

ultr

a-re

lati

vist

a, e

l po

tenc

ial

casi

no

tien

e ef

ecto

.

L

as s

oluc

ione

s de

las

Ecs

. (46

-48)

se

repr

esen

taro

n gr

áfic

amen

te e

n la

Fig

. 1. É

ste

es

un s

iste

ma

plan

etar

io g

ravi

taci

onal

, con

los

par

ámet

ros

del

mod

elo

sele

ccio

nado

s de

for

ma

tal

que

los

efec

tos

rela

tivi

stas

fue

sen

visi

bles

. E

l m

ovim

ient

o se

man

tien

e pl

ano

aun

en e

l ca

so r

elat

ivis

ta. P

uede

n ob

serv

arse

las

osci

laci

ones

rad

iale

s de

la ó

rbit

a pe

riód

ica.

La

órbi

ta

pose

e un

asp

ecto

reg

ular

, sin

em

barg

o un

a in

spec

ción

med

iant

e la

grá

fica

de

la ó

rbit

a (F

ig.

2) n

os m

uest

ra q

ue s

e tr

ata

de u

na e

lips

e co

n pr

eces

ión.

El p

lano

de

mov

imie

nto

se e

ncue

ntra

in

clin

ado

haci

a el

pla

no X

Y d

ebid

o a

las

cond

icio

nes

inic

iale

s de

� .

La

gráf

ica

de l

os

mom

ento

s an

gula

res

L y

Lz

(Fig

. 3)

nos

dem

uest

ra q

ue e

n es

te c

aso

rela

tivi

sta

ésto

s ya

no

son

más

con

stan

tes

de m

ovim

ient

o. S

e re

pres

enta

el f

acto

r γ

en la

Fig

. 4. M

uest

ra p

icos

en

el

peri

heli

o do

nde

la v

eloc

idad

orb

ital

es

muc

ho m

ayor

que

en

el a

feli

o. E

sta

vari

ació

n no

s de

mue

stra

que

tene

mos

una

sol

ució

n de

rel

ativ

idad

gen

eral

.

3.2

Pre

cesi

ón e

n el

per

ihel

io d

el p

lane

ta M

ercu

rio

U

na d

e la

s es

casa

s co

nfir

mac

ione

s de

la

teor

ía d

e la

rel

ativ

idad

gen

eral

de

Ein

stei

n fu

e su

exp

lica

ción

de

la p

rece

sión

del

per

ihel

io d

el p

lane

ta M

ercu

rio.

Est

e ef

ecto

es

muy

pe

queñ

o, y

las

inf

luen

cias

de

otro

s pl

anet

as s

obre

la

prec

esió

n de

Mer

curi

o so

n m

ucho

m

ayor

es q

ue la

par

te e

xpli

cada

por

Ein

stei

n. E

sto

se c

omen

tó a

mpl

iam

ente

en

el d

ocum

ento

U

FT 2

39.

En

el d

ocum

ento

UFT

322

, m

enci

onam

os q

ue l

a pr

eces

ión

obse

rvad

a en

el

peri

heli

o es

de

7.96

73 .

10-7

rad

iane

s po

r añ

o. D

ado

que

Mer

curi

o po

see

un p

erío

do o

rbit

al

de 8

8.0

días

, el á

ngul

o de

pre

cesi

ón p

or c

ada

revo

luci

ón e

s de

ϕ =

7.9

673

. 10-7

. ��.�

���.��

rad

= 1

.919

6 . 1

0-7 r

ad.

(5

9)

Est

e va

lor

es m

uy p

eque

ño,

de m

aner

a qu

e un

cál

culo

del

tie

mpo

de

una

evol

ució

n or

bita

l de

be d

e se

r m

uy p

reci

so.

Est

o no

pue

de l

ogra

rse

sin

un c

onsi

dera

ble

esfu

erzo

num

éric

o.

Com

o al

tern

ativ

a, p

ropo

nem

os u

n es

quem

a de

int

erpo

laci

ón,

en d

onde

se

calc

ula

la ó

rbit

a m

edia

nte

efec

tos

rela

tivi

stas

incr

emen

tado

s en

for

ma

arti

fici

al, ∆

ϕ s

e de

term

ina

a pa

rtir

de

la

órbi

ta y

ent

once

s se

efe

ctúa

una

ext

rapo

laci

ón a

l val

or r

eal d

e lo

s pa

rám

etro

s re

lati

vist

as. E

l ra

dio

de S

chw

arzs

chil

d r o

pod

ría

util

izar

se p

ara

ello

en

las

Ecs

. (5

7, 5

8).

Ent

once

s, e

l al

gori

tmo

es:

Com

puta

r ∆

ϕ(r

1), d

onde

r1

es u

n va

lor

incr

emen

tado

de

r o

repe

tir

para

var

ios

valo

res

r 2, r

3, …

par

a co

nstr

uir

una

func

ión ∆

ϕ(r

i) •

extr

apol

ar la

fun

ción

∆ϕ

(ri)

para

el v

alor

r =

ro

Med

iant

e es

te a

lgor

itm

o pu

ede

veri

fica

rse

sim

ultá

neam

ente

la p

reci

sión

num

éric

a.

3.3

Órb

ita

de M

oebi

us

En

cosm

olog

ía, r

esul

ta f

acti

ble

obse

rvar

alg

unas

est

ruct

uras

ext

raor

dina

rias

, com

o un

a ci

nta

de M

oebi

us.

Es

posi

ble

inte

ntar

rep

rodu

cir

esta

est

ruct

ura

de c

inta

med

iant

e un

sen

cill

o cá

lcul

o. U

tili

zam

os d

os m

asas

que

gir

an e

n ór

bita

alr

eded

or d

e un

cen

tro

en c

omún

, en

órbi

tas

incl

inad

as e

ntre

sí.

Las

dos

mas

as s

on i

ndep

endi

ente

s, e

s de

cir

que

supo

nem

os q

ue l

a in

tera

cció

n en

tre

amba

s m

asas

en

órbi

ta e

s pe

queñ

a en

com

para

ción

con

la

grav

edad

del

ce

ntro

. Est

a su

posi

ción

nos

par

ece

razo

nabl

e. L

a co

ndic

ión

inic

ial

de ϕ

de

la s

egun

da m

asa

se h

a de

spla

zado

lige

ram

ente

, de

man

era

de lo

grar

que

las

órbi

tas

no te

ngan

nin

gún

punt

o en

co

mún

. L

a Fi

g. 5

mue

stra

las

órb

itas

, y

en l

a Fi

g. 6

se

repr

esen

ta e

l ve

ctor

dif

eren

cia

entr

e am

bas

mas

as. E

sto

pres

enta

una

est

ruct

ura

del

tipo

de

una

cint

a de

Moe

bius

. Se

supo

ne q

ue

hay

muc

has

más

que

dos

mas

as m

ovié

ndos

e en

el á

rea

de 2

D e

ntre

dos

órb

itas

gra

fica

das.

E

sto

cons

titu

ye u

na e

xplic

ació

n m

uy s

enci

lla

y cl

ásic

a de

la

estr

uctu

ra o

bser

vada

de

Moe

bius

. E

n di

men

sion

es c

ósm

icas

, la

cin

ta d

e M

oebi

us s

e ex

tien

de a

tra

vés

de d

ista

ncia

s en

las

que

la le

y gr

avit

acio

nal d

eja

de s

er v

álid

a. E

l mod

elo

de c

álcu

lo d

e la

cin

ta d

e M

oebi

us

mej

or d

ebie

ra d

e ll

evar

se a

cab

o m

edia

nte

un p

oten

cial

elé

ctri

co, r

epre

sent

ando

el

univ

erso

el

éctr

ico

o de

pla

sma.

Sin

em

barg

o, e

l pot

enci

al e

lect

rost

átic

o es

de

tipo

1 /

r, a

l igu

al q

ue e

l po

tenc

ial

grav

itac

iona

l. Po

r lo

tan

to,

el r

esul

tado

ser

ía c

uali

tati

vam

ente

igu

al a

l m

odel

o gr

avit

acio

nal c

alcu

lado

aqu

í.

3.4

Ecu

ació

n de

Sch

roed

inge

r ra

dial

Com

o ej

empl

o de

la a

plic

abil

idad

del

mec

anis

mo

de L

agra

nge

en f

ísic

a nu

clea

r, r

esol

vim

os

la e

cuac

ión

radi

al d

e S

chro

edin

ger

para

el h

idró

geno

,

en f

orm

a nu

mér

ica.

Aqu

í, n

es

el n

úmer

o cu

ánti

co p

rinc

ipal

, m

ient

ras

que

l es

el

núm

ero

cuán

tico

del

mom

ento

ang

ular

. Am

bos

se r

elac

iona

n co

n lo

s pa

rám

etro

s or

bita

les

clás

icos

Tab

la 1

: P

arám

etro

s de

una

eli

pse

en f

unci

ón d

e lo

s nú

mer

os c

uánt

icos

n, l

.

de e

lips

es a

trav

és d

e

dond

e α

f es

la c

onst

ante

de

estr

uctu

ra f

ina,

m e

s la

mas

a de

l ele

ctró

n, a

es

el s

emie

je m

ayor

de

la

órbi

ta, α

es

la s

emi

lati

tud

rect

a y

ϵ es

la

exce

ntri

cida

d. U

tili

zand

o un

idad

es a

tóm

icas

, se

cal

cula

ron

los

valo

res

de a

, α y

ϵ a

par

tir

de l

os n

úmer

os c

uánt

icos

, tal

com

o se

mue

stra

en

la T

abla

1. O

bvia

men

te, α

es

igua

l a c

ero

para

tod

os lo

s or

bita

les

s, y

la e

xcen

tric

idad

es

igua

l a la

uni

dad.

Alg

unas

sol

ucio

nes

num

éric

as d

e la

Ec.

(60

) se

han

rep

rese

ntad

o en

las

Fig

s. 7

y 8

, y

com

para

das

con

los

valo

res

anal

ític

os c

onoc

idos

de

las

solu

cion

es u

tili

zada

s en

doc

umen

tos

ante

rior

es. P

ara

el c

álcu

lo, l

a se

lecc

ión

de lo

s va

lore

s in

icia

les

es s

in d

uda

un p

robl

ema.

Par

a lo

grar

una

com

para

ción

just

a, u

tili

zam

os lo

s va

lore

s pa

ra ψ

y d

ψ/d

r co

n el

pri

mer

pun

to r

de

la r

ed d

e la

sol

ució

n an

alít

ica.

Ent

once

s, t

anto

el

resu

ltad

o an

alít

ico

com

o nu

mér

ico

se

com

para

n si

n qu

e se

obs

erve

n de

svia

cion

es v

isib

les,

log

ránd

ose

una

perf

ecta

coi

ncid

enci

a.

Si s

e to

man

con

dici

ones

inic

iale

s di

fere

ntes

, las

cur

vas

se m

ecen

hac

ia e

l cur

so c

orre

cto

lueg

o de

asu

mir

uno

s po

cos

punt

os d

e la

red

.

Figu

ra 1

: Tra

yect

oria

s re

lati

vist

as θ

(t),

ϕ(t

), r

(t).

Figu

ra 2

: Órb

ita

r (X

, Y, Z

) de

una

eli

pse

con

prec

esió

n.

Figu

ra 3

: Con

stan

tes

de m

ovim

ient

o no

rel

ativ

ista

s L

y L

z.

Figu

ra 4

: Fac

tor

rela

tivi

sta

γ.

F

igur

a 5:

Órb

itas

r (

X,

Y,

Z)

de d

os m

asas

rep

rese

ntan

do u

na c

inta

de

Moe

bius

.

Figu

ra 6

: Dif

eren

cia

de v

ecto

res

de ó

rbit

a re

pres

enta

ndo

la c

inta

de

Moe

bius

.

Figu

ra 7

: Com

para

ción

del

orb

ital

3p

del h

idró

geno

(nu

mér

ico

y an

alít

ico)

.

Figu

ra 8

: Com

para

ción

del

orb

ital

3d

del h

idró

geno

(nu

mér

ico

y an

alít

ico)

.