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8/2/2019 Formulas Demograficas

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Revista Colombiana de EstadsticaN 3 - 1981

M O D E L O S M A T E M T I C O S E L E M E N T A L E SE N P R O Y E C C I O N E S DE P O B L A C I N

Vav^d 06p.na BoteroProfesor AsistenteUniversidad Nacional

I nt reduce 1 6 n . Uno de los ms importantes problemasque los pases tiene que enfrentar es el crecim ientopoblacional. Las tasas de incremento que prevalecie^ron durante la temprana historia humana solo tuvieron ligeras de sviac iones .Sin emb arg o, a partir delsiglo XIX las tasas de poblacin han estado creciendo hasta tal punto que todos los gobiernos en elmundo estn preocupados. El control natal no es suficientemente conocido y las tasas de mortalidadhan venido decreciendo en toda parte [l ] . Este prblema ha motivado el estudio cientfico del nmerode seres humanos.En el siglo XIII Thomas Malthusfu la primera persona en prop oner un mo de lo materaa^tico [ 2 ] , pero no fui hasta despu s de 19A6 que s te mode lo alcanz completo desarrollo [3J. En estecorto estudio sern examinados los modelos ms sim-


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p i e s e n l as p r o y e c c i o n e s p o b l a c i o n a l e s , c o m o u n t o d o . El pro ps ito de este art cu lo es ayud ar a aq ue llos es tu di an te s int er esa dos en el pro ble ma del c r^c i m i e n t o p o b l a c i o n a l y q ue no e s t n f a m i l i a r i z a d o scon l.

I n i c i a l m e n t e l o s m t o d o s a r i t m t i c o s , g e o m t r i c o s , e x p o n e n c i a l y e x p o n e n c i a l m o d i f i c a d o s e r n ex p l i c a d o s . M s a d e l a n t e , e st o s m t o d o s s e r n a p l i c a d o s a u n c a s o c o n c r e t o : C o t o m b a .

Se ha sel ec ci on ad o nu es tr o p a s porq ue l es re^p r e s e n t a t i v o d e u na n a c i n en d e s a r r o l l o . A d e m s ,s u s i t u a c i n d e m o g r f i c a m u e s t r a c a r a c t e r s t i c a s m uye s p e c i a l e s qu e s e r n d i s c u t i d a s en s t e a r t c u l o .No es til co nsi der ar un pas de sa rr ol la do por queta les pa ses no tien en tasas de cr ec im ie nt o tan ine ta bl es como las de los pa ses en de sa rr ol lo . Fi na lm e n t e , a l g u n a s r e c o m e n d a c i o n e s s e r n h e c h a s b a s a d a sen el caso ana li za do .

CAPITULO IM T O D O S :

E l m e d i o m s e x a c t o p a r a e s t i m a r p o b l a c i n , d e m a n d a l a e x i s t e n c i a d e d a t o s r e l a c i o n a d o s c o n c ad av a r i a b l e i n v o l u c r a d a : N m e r o d e n a c i m i e n t o , m u e r t e sy m i g r a c i o n e s . S i n e m b a r g o , s t o n o e s p o s i b l e s i e m pre y la falta de ta les dat os ob li ga a los de m gr a-


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79f o s a u t i l i z a r d i f e r e n t e s m t o d o s d e p r o y e c c i n . Enest os caso s los dato s de los cen sos con usu alm ent ea s e q u i b l e s y l o s m t o d o s a r i t m t i c o y g e o m t r i c o c si siemp re dan bu en os re su lt ad os fAJ , [ 5j . No o b s t a n t e , el mo de lo que se aju sta mej or a los c am bi osr e a l e s d e l c r e c i m i e n t o p o b l a c i o n a l e s el e x p o n e n c i a l , c u a n d o se h a c e n s u p u e s t o s a d e c u a d o s .

1.1 Mt odo ar it m ti co .El mt odo ari tm t ico asu me que el cambio po bl

cio nal anua l (o por uni dad de tiempo c o n s i d e r a d a ) ,en un rea o re gi n es pe c fi ca , es con sta nte . Si lapo bl ac i n en el tiem po O es P_ y la po bl ac i n , enla mis ma re a, n ao s desp u s es P . En to nc es , lafr mul a para ob te ne r el in cr em en to anu al (^x) estd ad a p o r P - P ^ n O( v e r [ 4 ] p . 8 I ) , [ 6 ] y [ 7 ] .Las es ti ma ci on es de la po bl ac i n en el tiempo t , P *ser n : P^ . P Q + t R^ U > n)

^ t ' ^ n ^ (-n) R A( y n son n m e r o s p o s i t i v o s ) .A t r a v s d e e s t e m t o d o p u e d e n o b t e n e r s e p r o y e c c i o n e sl g i c a s c u a n d o l a t a s a d e c r e c i m i e n t o e s d e c r e c i e n t e(por ej em pl o, Est ado s Un id os du ra nt e la dca da de los60) (Ver[5] p p . 5 5 3 - 5 5 4 ) , y l a s p r e d i c c i o n e s s o n h e -


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80chas para perodos no mayores de 5 aos, ya que elerror de estimacin es directamente proporcional ala cantidad de tiempo.1 . 2 Mtodo geomtr ico.

El mtodo geomtrico asume un porcentaje constante de cambio por unidad de tiempo. Por tanto, sila pobla cin en el tiempo n ha aumentado a P nP,(l+R.)'n 0^""'G'donde Rp es la tasa geomtrica (ver [7] p . 3 5 ).R/^puede ser hallada en la ultima frmula tomando lo^gartmo en ambos lados de la igualdad.

log P^ = log P Q + n l o g d + R g )y Rg - an ti lo g{ il iV :i fl ^l - 1n

Sin embargo, se ha podido mostrar que esta tasano es adecuada cuando son neces arias estim acio nespor largos perodos de tie mpo . Ad em s , se han l ogrdo pobres resultados cuando la tasa de crecimientoes decreciente, o en casos cuando la densidad de poblac i n en una regin dada es tan alta que es de esperarse una tasa decreciente de cambio a largo plazo(ver [4] p.82)

Por otra par te , cuando las pro yec cio nes se ha cen para un perodo corto, esta tasa es preferida ala aritmtica. La tasa geomtrica debe ser escogidacuando el incremento pobl acio nal es dir ect ame nte pro^


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81porcional al nmero de habitantes en un momento dado .

1.3 Mtodo exponencial (Modelo de Malthus).Ya se ha dicho que Malthus fue la primera pers

na en desar rollar un mode lo matem ti co adecuado decrecimiento poblacional. Su preocupacin respectode la limitacin de los recursos econmicos y delexcesivo incremento de la poblacin humana lo motiv suficientemente para desarrollarlo.

Su modelo puede ser expresado como una ecuacindiferencial de primer o rd en , as :

dPdonde ^ es la derivada de la pobl aci n con res pec to al tiempo, y Rp es el incremento poblaciona l(ver [3] p.23).La solucin de esta ecuacin diferencial es:

donde P Poblacin en el tiempo OP^ - Poblacin en el tiempo t

e. - Constante matemtica ( aprox . 2 , 7 I 8 3) [8].Para un perodo fijo n^ esta ecuacin puede ser

expresada como: Rcn^0 ^


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El valor de R s e r entoncesP - P n ^n n O (ver [6] p.379)

donde n = Logaritmo NeperianoPuede demostrarse que la tasa exponencial es el

lmite de la tasa geomtrica constante cuando la l^tima expresin se aplica a cada infinitesimal det iempo.

1.^ Un caso Especial de Exponencial Modificada:En aquellos casos cuando el nmero de habitan

tes en un pas deter minado (o ciudad ) depende nica^men te del nmero de nacim iento s y mu er te s, es muytil modificar el ltimo modelo de la siguiente fo_rma :

^ = (a + b t ) Pd tdonde ( a + b t ) es una ecuacin de primer orden que expresa las tasas geomtricas como una funcin deltiempo. Muy a menudo esta ecuacin se ajusta por elprincipio de los mnimos cuadrados [9j

La solucin de la ecuacin anterior es:p ^ i a t - ^ b t ' )t O ^

Una gran desventaja de este mtodo es que el erroren la prediccin aumenta de una manera desorbitante


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83cuando el perodo de tiempo es muy lar go.

CAPITULO IIEL CASO COLOMBIANO.

La importancia de considerar el caso de Colombia obedece a que nuestro pas titne caractersticas demo grfi cas similares a la mayor a de los pases latinoamericanos. Por otra parte, es conveniente recalcar que Colombia es una de las pocas naciones en desarrollo donde el incremento en la tasa depoblacin ha disminuido.

El impacto de la tecnologa ha causado:a) Ms nacimie ntosdeb ido al mejora miento en la dis

tribucin del servicio mdico,b) menos nacim ien tos debi do al cambio en las activi_

dades sociales (mayor control natal),c) ms mue rte s debido a la exis tenci a de ms p es ti c^

das y a las actitudes de la clase media (ms trabajo y, por tan to, ms enfe rmed ades del coraznpor eje mpl o) ,

d) meno s mue rte s infan tiles debido a una mejor distribucin del cuidado mdico.Las ltimas consecuencias han dado como resulta

do un menor nmero de nacimientos y un^ mortalidad


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fija [lOj.M s a n, el demor ado proceso para registrar las

vari able s conce rnient es al crecimiento poblacio nal(nmero de nac imi ento s, muertes y migra cione s) nopermite p redicci ones di ferente s de aquellas que consideran la poblacin global mente.

Las estimaciones sern hechas para los aos 1980,1990 y 2000. En todos los casos,menos para el ltimo(Exponencial Modificada), los dos ltimos censos sern utilizados.

TABLA DE DATOSAo Poblacin a mediados del ao

(De acuerdo a los censos ) [llj [12]195119641973

11*548.17217'484.50823'004.499

TABLA DE ESTIMACIONES DE POBLACIN

Mtodo 1980 1990 2000AritmticoGeomtricoExponencialExp.Modificado

27*297.82328*485.47228*479.65028*193.042

33*431.14338*655.39338*636.20536*454.876

39*564.46352*456.19152*414.84145*653.269


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85TASAS ESTIMADAS

(Perodo 1964-1973)Mtodo Aritmtico: Ri Mtodo Geomtrico: H Q "Mtodo Exponencial: R5 -Mtodo Exp.Modificado: R^ -

613.3320,03100,0305O,03242-0.000I6

CONCLUSIONES.De acuerdo con el ejemplo, todos los mtodos dan

resultados similares cuando las estimaciones son he^chas para perodos menores de 5 aos. Por otro lado,para perodos largos, puede observarse que los metjDdos exponencial y geomtrico dan valores que difieren slo ligeramente y los cuales son bastante dife^rentes a aquellos obtenidos a travs de los mtodosaritmtico y exponencial modificado. Los ltimosdos producen resultados bastante similares cuandolas proyecciones son hechas a largo plazo.

Sin embargo, los mtodos aritmtico y geomtricodeberan ser seleccionados debido a su simplicidad.En aquellos casos cuando la tasa de crecimiento est disminuyendo es ms adecuado el mtodo aritmtico. En otros casos, cuando la tasa est creciendo,el mtodo geomtrico deberla utilizarse. Es buenorecordar que estos mtodos deberan ser usados so-


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86lamente cuando no existen suficientes datos acercade muertes, nacimientos y migraciones. Cuando estosestn disponibles, el estudiante debe hacer uso deellos. Otros mtodos, naturalmente, deberan ser empleados en tales circunstancias.

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