formulas del c capitulo 5.pdf

257

Cálculo de canalesCapítulo VI

CAPITULO VICALCULO DE CANALES

6.1 Condiciones normales

Los aspectos teóricos más importantes del flujo uniforme en canales han sido ya presentadosen los capítulos I y II. Ahora, en este capítulo VI, se expone esencialmente el cálculo decanales. Es decir, el dimensionamiento de la sección transversal para conducir un gasto dadoen determinadas condiciones.

Supongamos que en un canal escurre libremente un caudal Q . El movimiento es permanentey uniforme. La profundidad del agua (tirante) está determinada por la pendiente, la rugosidad,la forma de la sección transversal y por el caudal Q , que según hemos dicho antes sesupone que es constante. El tirante con el que escurre el agua (o cualquier otro líquido) enestas condiciones se llama tirante normal. El tirante normal es, pues, el que caracteriza almovimiento permanente y uniforme. Si el movimiento fuera, por ejemplo, gradualmente variadohabría para cada sección un tirante diferente del normal (mayor o menor según el caso). Alrespecto se puede observar la Figura 1.4.

En el capítulo II hemos establecido la ecuación general para el cálculo de la velocidad mediaen un conducto

RSCV = (6-1)

en el cual V es la velocidad media, C el coeficiente de Chezy, , R el radio hidráulico y S la

pendiente.

258

Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales

Esta ecuación corresponde a una sección determinada cuyo radio hidráulico R implica un

tirante " y " que es el tirante normal. Esta ecuación (6-1) llamada de Chezy fue establecida en

el capítulo II (ec. 2-42) mediante consideraciones teóricas basadas en las ecuaciones deKarman-Prandtl. Lo esencial en esta ecuación es que el coeficiente C de Chezy tiene unaestructura que es función de las características del escurrimiento y de la naturaleza de lasparedes. La expresión general del coeficiente C es

72

6log18 δ

+=

kR

C (6-2)

R es el radio hidráulico, k la rugosidad absoluta y δ el espesor de la subcapa laminar..

Según los valores relativos de k y de δ el contorno puede considerarse hidráulicamente lisoo hidráulicamente rugoso. Esta es la forma presentada por Thijsse. La ecuación de Chezyresulta ser entonces,

RSk

RV

72

6log18 δ

+= (6-3)

El gasto se obtiene inmediatamente a partir de la ecuación de continuidad.

Los valores de la rugosidad absoluta k pueden obtenerse de la Tabla 6.1 que es una ampliación

de la Tabla 2.1 (o de la Tabla 4.4).

La velocidad media puede expresarse también por medio de la ecuación de Colebrook White,estudiada el capítulo III

+−=

RSRgRkRSgV

8451,2

8,14log82 ν

(6-4)

Esta ecuación es equivalente a la de Chezy.

Muchas veces el canal es hidráulicamente rugoso, entonces las ecuaciones 6-3 ó 6-4, que

son generales, pueden fácilmente reducirse a este caso particular.

259


TABLA 6.1

VALORES DE LA RUGOSIDAD ABSOLUTA k

NOTA: Téngase presente que el valor de k señalado para los contornos muy rugosos (roca,

fondo de arena, etc.) es absolutamente referencial y sujeto a grandes variacionessegún las circunstancias de cada caso particular.

MATERIAL k (m)

Tubos muy lisos sin costura (vidrio, cobre, acero

nuevo con superficie pintada, plástico, etc.)

Fierro forjado

Acero rolado, nuevo

Acero laminado, nuevo

Fierro fundido, nuevo

Fierro galvanizado

Fierro fundido, asfaltado

Fierro fundido, oxidado

Acero remachado

Cemento enlucido

Asbesto cemento, nuevo

Concreto centrifugado, nuevo

Concreto muy bien terminado, a mano

Concreto liso

Concreto bien acabado, usado

Concreto sin acabado especial

Concreto rugoso

Duelas de madera

Piedra asentada y bien lisa

Revestimiento de piedra

Grava

Piedra pequeña

Piedra grande

Roca

Tierra (lisa)

Fondo con transporte de arena

Acequia con vegetación

1,5 x 10-6

4,5 x 10-5

5 x 10-5

4 x 10-5 – 10-4

2,5 x 10-4

1,5 x 10-4

1,2 x 10-4

1 x 10-3 – 1,5 x 10-3

0,9 x 10-4 – 0,9 x 10-3

4 x 10-4

2,5 x 10-5

1,6 x 10-4

10-5

2,5 x 10-5

2 x 10-4 – 3 x 10-4

10-3 – 3 x 10-3

10-2

1,8 x 10-4 – 9 x 10 -4

5 x 10-4

2 x 10-3

10-2

2 x 10-2

5 x 10-2

0,1

3 x 10-3

10-2 – 5 x 10-2

0,1

260


6.2 Fórmulas antiguas

Desde el siglo XVIII se conocía la ecuación de Chezy (6-1), pero se ignoraba la naturaleza y

estructura del coeficiente C . La fórmula se originó en 1768 cuando Chezy recibió el encargo

de diseñar un canal para el suministro de agua a París.

Hubo una larga época en la que se consideró que el coeficiente C era constante e igual a 50,

para cualquier río.

Examinaremos brevemente algunas de las numerosas fórmulas de origen experimental que

en el pasado se establecieron para el coeficiente C .

Las fórmulas que presentaremos a continuación son las de Ganguillet-Kutter, Kutter y Bazin.

Las tres fórmulas se caracterizan por corresponder a la siguiente expresión genérica

RY

XC+

=1

(6-5)

Los valores de X e Y corresponden a cada fórmula particular. . R es el radio hidráulico. Ces el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy.

a) Fórmula de Ganguillet-Kutter

La fórmula, establecida en 1 869 por los ingenieros suizos E. Ganguillet y W. R. Kutter, sebasó en numerosas mediciones, incluyendo el río Mississippi. Durante muchos años estuvobastante extendido el uso de esta fórmula. Su expresión es

Rn

S

SnC

++

++=

00155,0231

00155,0123

(6-6)

C es el coeficiente de Ganguillet-Kutter a usarse en la fórmula de Chezy (6-1), S es la

pendiente, R el radio hidráulico y n un coeficiente de rugosidad (de Kutter), cuyos valores

aparecen en la Tabla 6.2.

261


Conviene comentar algunas particularidades de esta fórmula. Si el radio hidráulico es igual a

1 entonces C resulta ser independiente de la pendiente y la fórmula se reduce a

nC

1= (6-7)

Según señala King, la pendiente S fue introducida en la fórmula de Ganguillet-Kutter para

lograr concordancia con las mediciones efectuadas por Humphreys y Abbott en el río

Mississippi. Sin embargo, parecería que los errores (10 a 15 %) que tuvieron esas mediciones

orientaron erróneamente a Ganguilllet y Kutter. Algunos piensan que si no se hubiera introducido

la influencia de la pendiente, los resultados de la fórmula serían más precisos.

Se observa que la fórmula de Ganguillet-Kutter corresponde a la forma genérica de la ecuación6-5.

La fórmula de Ganguillet-Kutter en el sistema de unidades inglesas es

Rn

S

nSC

++

++=

00281,065,411

811,100281,065,41

(6-8)

b) Fórmula de Kutter

Para pendientes mayores que 0,0005 (1/2 000) la fórmula de Ganguillet-Kutter tiene unaforma particular establecida por Kutter y que es independiente de la fórmula (6-6). La fórmulaes

RmR

C+

=100

(6-9)

Los valores del coeficiente de rugosidad m son diferentes de los valores de n (Kutter). R es

el radio hidráulico. C es el coeficiente a usarse en la ecuación de Chezy. Los valores de m

aparecen en la Tabla 6.3.

262


TABLA 6.2

VALORES DEL COEFICIENTE n DE KUTTER QUE GENERALMENTESE USAN EN LOS DISEÑOS.

SUPERFICIE n

Superficie metálica, lisa, sin pintar

Superficie metálica, lisa, pintada

Superficie metálica, corrugada

Cemento liso

Mortero de cemento

Madera cepillada

Madera sin cepillar

Tablones sin cepillar

Concreto liso

Concreto bien acabado, usado

Concreto frotachado

Concreto sin terminar

Gunita (sección bien terminada)

Gunita (sección ondulada)

Superficie asfáltica lisa

Superficie asfáltica rugosa

Tierra, limpia, sección nueva

Tierra, limpia, sección antigua

Tierra gravosa

Tierra, con poca vegetación

Tierra, con vegetación

Tierra, con piedras

Tierra, con pedrones

Para secciones circulares (trabajando como canal)

Metal, liso

Acero soldado

Acero ribeteado

Fierro fundido

Cemento

Vidrio

0,012

0,013

0,025

0,011

0,013

0,012

0,013

0,014

0,013

0,014

0,015

0,017

0,019

0,022

0,013

0,016

0,018

0,022

0,025

0,027

0,035

0,035

0,040

0,010

0,012

0,016

0,013 – 0,014

0,011 – 0,013

0,010

263


TABLA 6.3

VALORES DEL COEFICIENTE m DE RUGOSIDAD A USARSE EN LA FORMULA DEKUTTER PARA PENDIENTES MAYORES QUE 0,0005

CATEGORIA

FORMA

DESCRIPCION

m

I

II Semicircular

Superficie muy lisa. Cemento muy pulido

Superficie bastante lisa. Madera cepillada

0,12

0,15

III

IV

V

VI

VII

VIII

IX

Rectangular

y

Otras

Superficie bien terminada

Superficie usada. Tuberías de abastecimiento

de agua con mucho tiempo de servicio, pero

sin grandes incrustaciones

Piedra labrada bien acabada

Piedra no bien terminada, usada

Piedra rústica, fondo con poco lodo

Piedra mal terminada, fondo fangoso

Piedra antigua, sin vegetación, fangoso

0,20

0,25

0,30 - 0,35

0,45

0,55

0,75

1,00

Xa

Xb

XIa

XIb

XII

Trapecial

Fondo rocoso. Ancho inferior a 1,50 m. Poca

vegetación

Sección definida, en tierra sin vegetación

En tierra con fondo pedregoso o fangoso.

Poca vegetación. Ancho superior a 2 m

(corresponde a algunos arroyos y ríos)

En tierra o piedra, lecho fangoso, con

vegetación abundante (corresponde a

algunos arroyos y ríos)

En tierra con vegetación muy abundante. Con

mal mantenimiento, lecho fangoso. Arrastre

de fondo

1,25

1,50

1,75

2,00

2,50

264


c) Fórmula de Bazin

Esta fórmula fue establecida por Bazin en 1897

RG

C+

=1

87 (6-10)

C es el coeficiente a usarse en la fórmula de Chezy, R el radio hidráulico, G el coeficiente

de rugosidad de Bazin.

Los valores del coeficiente G aparecen en la Tabla 6.4 determinada por el autor de la fórmula.

TABLA 6.4

VALORES DEL COEFICIENTE G DE RUGOSIDAD A UTILIZARSE

EN LA FORMULA DE BAZIN

Además de las tres fórmulas presentadas ha habido desde fines del siglo XIX una cantidadenorme de ellas. Sólo a título ilustrativo podríamos mencionar las siguientes.

Knauff, quién en realidad presentó un conjunto de fórmulas, cada una de las cuales se aplicasegún la forma de la sección y la naturaleza de las paredes. Utilizó el concepto de rugosidadde Kutter.

CATEGORIA DESCRIPCION G

1 Contorno muy liso, perfectamente ejecutado. Plancha

metálica. Cemento liso, madera muy cepillada. 0,06

2 Contornos lisos. Concreto bien acabado. 0,16

3 Concreto sin pulir. Albañilería de piedra bien terminada. 0,46

4 Canales en tierra, sin vegetación. 0,85

5 Canales en tierra con hierbas. Ríos de cauce irregular,

sin vegetación. 1,30

6

Canales en tierra con vegetación. Fondo de cantos

rodados. Canales en tierra muy erosionados e

irregulares.

1,75

265


Siedek publicó en Viena en 1901 "una nueva fórmula para el cálculo de canales" que es enrealidad bastante complicada. Al igual que muchas fórmulas de esa época está basada enmodificaciones de las ideas de Kutter y Bazin.

Lindboe publicó en 1910 una "nueva fórmula" para el cálculo de la velocidad media en corrientesnaturales.

Matakiewiez publicó en 1910 otra nueva fórmula para cursos naturales (ríos).

Hay muchas otras más como la de Christen (1903), Forchheimer (1915), Groeger (1914),Scobey, etc.

Respecto a las fórmulas empíricas para el cálculo de la velocidad media es conveniente citarlo escrito por el profesor Francisco Javier Domingez.

"Una crítica razonada y científica de las fórmulas anteriores no puede hacerse, pues, enprimer lugar, no descansan en base científica, sino que son fórmulas empíricas de resultadosexperimentales y hay, además, dificultades de otro orden, que impiden una comparaciónjusta. En efecto, ¿Cómo pretender comparar las categorías fijadas por un experimentadorcon las de otro?. Es evidente que en la primera categoría, que es la mejor definida, cabe unacomparación y en ella parece adaptarse mejor a las experiencias la de Bazin que la deGanguillet y Kutter y Manning; pero pasando a otras categorías, mientras más áspera es lapared, más difícil es comparar. Hay otra dificultad y es determinar por simple inspección quecategoría de una fórmula que se quiere usar, corresponde a un canal existente, y es aún másdifícil proyectar un canal dándose a priori la categoría que debe asignársele. Por otra parte, larugosidad de pared de un lecho cambia si está sujeto a posibles embancamientos,deformaciones y vegetaciones, variables de una estación a otra: estamos lejos de haberexpresado en fórmulas la asperidad de la pared de los canales, variable desde un cementoliso hasta una roca’’.

6.3 Fórmula de Manning

Es la fórmula cuyo uso se halla más extendido en la actualidad. Proviene de considerar que

en la fórmula de Chezy el coeficiente C es

nR

C61

= (6-11)

de donde al sustituir en 6-1 se obtiene la fórmula de Manning

266


nSR

V21

32

= (6-12)

y el gasto es

nSAR

Q21

32

= (6-13)

Los valores del coeficiente de rugosidad son los de Kutter (Tabla 6.2), los mismos que seutilizan en la fórmula de Ganguillet-Kutter (6-6).

Se observa que las dimensiones de n son 31

−TL . En consecuencia, al tener n unidades

debería de cambiar de un sistema de unidades a otro. Sin embargo, desde el principio se

impusieron los valores de n determinados por Kutter (sistema métrico decimal) y se halló

una solución práctica que consiste en considerar a n como adimensional e incorporar en la

ecuación de Manning, en unidades inglesas, un factor de corrección que es parte de la fórmula.

Así se tiene, que en el sistema de unidades inglesas, la ecuación de Manning es

21

32486,1SR

nV = (6-14)

Las unidades de 1,486 son ft1/3 /sec. (1,486 = 3,28081/3). En el sistema métrico decimal laconstante vale 1 y sus unidades son m1/3/s.

Dado el carácter empírico de la fórmula de Manning debe esperarse que su validez estélimitada a determinadas condiciones.

Rouse, en su "Hidráulica" señala que: "La fórmula de Manning es aceptable para valoresintermedios de la rugosidad relativa. Tampoco hay que olvidar que una expresión de este tipono puede englobar la acción de la viscosidad. Es, pues, de suponer que su poca exactituddisminuya con números de Reynolds bajos".

En la literatura europea es frecuente que la fórmula aparezca con el nombre de Strickler o deManning-Strickler y con la siguiente forma

21

32

SkRV = (6-15)

siendo,

267


nk

1= (6-16)

La ecuación de Strickler se conoce frecuentemente en los libros técnicos franceses con elnombre de fórmula de Gauckler, quien fue un ingeniero que en 1868 publicó en "Annales desPonts et Chaussées" la fórmula en cuestión, la misma que en 1891 fue atribuida en su formaactual al irlandés Manning.

Algunos autores soviéticos consideran que en lugar de la fórmula 6-11 debería usarse otrasimilar, pero con exponente variable. En 1925 Pavlovski presentó la expresión siguiente

nR

Cx

= (6-17)

Siendo,

( )10,075,013,05,2 −−−= nRnx (6-18)

C es el coeficiente de Chezy en unidades métricas. Esta fórmula es válida para radios

hidráulicos comprendidos entre 0,1 m y 3 m y para valores de n comprendidos entre 0,011 y

0,040.

La ecuación 6-18 se puede simplificar para fines prácticos, con las siguientes ecuaciones

Para R < 1 m x = 1,5 n (6-19)

Para R > 1 m x = 1, 3 n (6-20)

Para el cálculo de un canal, o sea para el dimensionamiento de la sección transversal, deberá

tomarse en cuenta todos los factores que afecten al coeficiente n de Kutter, los mismos queserán analizados más adelante.

Ejemplo 6.1 Se tiene un canal rectangular de 10 m de ancho y 3 m de tirante que conduce agua. La

superficie es de concreto, bien acabado, pero con varios años de uso. La pendiente es 0,0008. Calcular

el gasto utilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Kutter, Bazin, Manning, Chezy y Pavlovski.

Comparar los resultados. (T = 20 °C)

Solución. En primer lugar se calcula de inmediato el radio hidráulico que resulta ser

R = 1,875 m

268


a) Fórmula de Ganguillet-Kutter. La descripción del contorno corresponde a n = 0,014. Entonces,

875,1

014,0

0008,0

00155,0231

0008,0

00155,0

014,0

123

++

++

=C = 77 m1/2/s

de donde,

RSCV = = 2,98 m/s

AVQ = = 89,4 m3/s

b) Fórmula de Kutter (S > 0,0005). La descripción del contorno corresponde a m = 0,25

875,125,0

875,1100

+=C = 85 m1/2/s

V = 3,29 m/s

Q = 98,7 m3/s

c) Fórmula de Bazin. La descripción del contorno corresponde a G = 0,16

875,1

16,01

87

+

=C = 78 m1/2/s

V = 3,02 m/s

Q = 90,6 m3/s

d) Fórmula de Chezy. La descripción del contorno corresponde a k = 3x10-4 m

*V = 0,121 m/s δ = 0,000096 m

νkV*

= 36 (transición) C = 87 m1/2/s

por lo tanto,

V = 3,37 m/s

Q = 101,1 m3/s

269


e) Fórmula de Manning. (n = 0,014)

n

SRV

21

32

= = 3,07 m/s

Q = 92,1 m3/s

(Corresponde a un valor de C igual a 79 m1/2/s, que se obtiene aplicando la ecuación 6-11)

f) Fórmula de Pavlovski. (n = 0,014)

( )10,0014,0875,175,013,0014,05,2 −−−= x = 0,147

n

RC

x

= = 78 m1/2/s

RSCV = = 3,02 m/s

Q = 90,6 m3/s

COMPARACION DE LOS RESULTADOS

Ejemplo 6.2 ¿Cuáles serían los valores del gasto en el canal del ejemplo anterior según las mismas

fórmulas y considerando que el canal fuera de tierra con fondo pedregoso, en buen estado. Comparar

los resultados de ambos ejemplos.

Solución.

a) Ganguillet-Kutter

n = 0,025

C = 45 m1/2/s

V = 1,74 m/s

Q = 52,2 m3/s

FORMULA C V Q

Ganguillet – Kutter

Kutter

Bazin

Chezy

Manning

Pavlovski

77

85

78

87

79

78

2,98

3,29

3,02

3,37

3,07

3,02

89,4

98,7

90,6

101,1

92,1

90,6

Promedio 81 3,13 93,8

270


b) Kutter

m = 1,75

C = 44 m1/2/s

V = 1,70 m/s

Q = 51 m3/s

c) Bazin

G = 1,3

C = 45 m1/2/s

V = 1,74 m/s

Q = 52,2 m3/s

d) Chezy

k = 5x10-2 m

C = 48 m1/2/s

V = 1,86 m/s

Q = 55,8 m3/s

e) Manning

n = 0,025

V = 1,72 m/s

Q = 51,6 m3/s

f) Pavlovski

n = 0,025

x = 0,206

C = 46 m1/2/s

V = 1,78 m/s

Q = 53,4 m3/s

COMPARACION DE LOS GASTOS CALCULADOS (m3/s)

SUPERFICIE

FORMULA

CONCRETO BIEN ACABADO

CON VARIOS AÑOS DE USO

EN TIERRA CON FONDO

PEDREGOSO, BUEN ESTADO

Ganguillet - Kutter

Kutter

Bazin

Chezy

Manning

Pavlovski

89,4

98,7

90,6

101,1

92,1

90,6

52,2

51

52,2

55,8

51,6

53,4

271


De este ejemplo obtenemos algunas conclusiones importantes.

En primer lugar, las diversas fórmulas no dan una gran dispersión en los resultados, para una misma

naturaleza del contorno. En segundo lugar, y esto es muy importante, la velocidad está fuertemente

influenciada por la naturaleza del contorno. En el diseño de un canal será de primerísima importancia

la correcta estimación de la rugosidad de las paredes.

De acá vemos la importancia que tiene el revestimiento. Al obtenerse una superficie más lisa se logra

disminuir el tamaño de la sección transversal ó aumentar la capacidad de descarga del canal.

6.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad n aemplearse en la fórmula de Manning

Básicamente se presentan dos problemas de naturaleza diferente

a) Dado un curso de agua existente calcular el gasto Q que puede escurrir, aplicando la

fórmula de Manning. Para ello se requiere estimar el valor de n que corresponde al

cauce.

b) Dado un problema de diseño hay que considerar para la superficie (revestimiento) que va

a tener el canal, cual es el valor de n que se le asigna.

Las tablas consideran los valores usuales del coeficiente n para condiciones que podríamos

llamar normales. Sin embargo, lo normal es que un canal tenga uno o varios de los problemas

que a continuación se señalan y que modifican el valor original que podía haberse asignado a n .

El coeficiente n depende, pues, esencial, pero no exclusivamente de la aspereza de lasuperficie. También interviene lo siguiente

a) Curvas. No es correcto considerar el coeficiente de rugosidad, que estrictamente es uncoeficiente de resistencia, como independiente del alineamiento del canal. La presenciade curvas aumenta la resistencia. Especialmente si estas son numerosas y de pequeñoradio de curvatura.

b) Vegetación. Es particularmente importante en canales pequeños. Su crecimiento puedealterar esencialmente los valores supuestos en base únicamente a la rugosidad. Esfrecuente en canales en tierra. Su crecimiento desmedido puede dar lugar fácilmente a

aumentos del orden del 50 % en el valor de n .

c) Irregularidades. Los canales en tierra se caracterizan por no tener una seccióntransversal invariable. Las pequeñas irregularidades que pueden ocurrir como consecuenciade bancos, depósitos de sedimentos, etc. alteran el valor de la rugosidad supuesta.

272


Esto se agrava cuando el canal tiene transporte sólido, que motiva una configuraciónvariable del lecho.

d) Tirante. En general al aumentar el tirante se tendrá, de acuerdo a la teoría, que la

rugosidad relativa disminuye y por lo tanto también debe disminuir el coeficiente n .

Cowan determinó que el valor de n a considerarse en los cálculos debería tomar en cuenta

los factores anteriormente señalados, según la ecuación siguiente

( ) 543210 mnnnnnn ++++=

siendo

0n : el valor básico que depende de la rugosidad (aspereza)

1n : es un valor adicional para tomar en cuenta las irregularidades

2n : es un valor adicional para tomar en cuenta las variaciones en la forma y tamaño de la

sección transversal

3n : es para tomar en cuenta las obstrucciones

4n : es para tomar en cuenta la vegetación

5m : es un factor para tomar en cuenta los meandros

Al respecto se incluye la Tabla 6.5 tomada del libro de Ven Te Chow.

6.5 Determinación de la sección transversal

En el cálculo de la sección de un canal debe partirse del hecho siguiente: desde el punto devista hidráulico hay, en principio, un número infinito de soluciones. Si se va a construir uncanal el gasto o caudal está dado por las condiciones de diseño; no proviene de un cálculohidráulico, sino de la función del canal, de la naturaleza del servicio que presta y por cierto delanálisis que se ha hecho de las disponibilidades de agua. El caudal de diseño Q es un datoimpuesto al que debe adecuarse el cálculo de la sección del canal.

Un canal puede servir para abastecer de agua a una ciudad, servir a una irrigación, a unacentral hidroeléctrica o tener un uso múltiple.

Para transportar un gasto Q podemos, dentro de las limitaciones topográficas, adoptar unadeterminada pendiente compatible con la naturaleza del revestimiento, que escogeremos enfunción de varios factores: costo, seguridad, disponibilidad de materiales, etc.

273


TABLA 6.5TABLA DE COWAN PARA DETERMINAR LA INFLUENCIA DE DIVERSOS FACTORES

SOBRE EL COEFICIENTE n

( ) 543210 mnnnnnn ++++=

Tierra 0,020

Roca 0,025

Grava fina 0,024 Superficie del Canal

Grava gruesa

0n

0,028

Suave 0,000

Menor 0,005

Moderada 0,010 Irregularidad

Severa

1n

0,020

Gradual 0,000

Ocasional 0,005 Variación de la Sección

Frecuente

2n

0,010 – 0,015

Despreciable 0,000

Menor 0,010 – 0,015

Apreciable 0,020 – 0,030 Efecto de la Obstrucción

Severo

3n

0,040 – 0,060

Bajo 0,005 – 0,010

Medio 0,010 – 0,025

Alto 0,025 – 0,050 Vegetación

Muy alto

4n

0,050 – 0,1

Menor 1,000

Apreciable 1,150 Intensidad de Meandros

Severo

5m

1,300

274


En esas condiciones podemos diseñar diversas secciones transversales: rectangular, trapecial,semicircular, etc. En la Figura 6.1 se observa varias secciones transversales que se caracterizanpor tener todas un radio hidráulico de 1 m.

Veamos, con un poco más de detenimiento, cuales son los factores limitantes para el diseño.

No siempre un canal conduce agua totalmente libre de partículas sólidas (sedimentos).Debemos admitir, pues, que en muchos casos el agua contendrá partículas en suspensión(arenas, limos, arcillas) de diferente diámetro.

Si la velocidad del canal es pequeña hay la posibilidad de que estas partículas sedimentenformando bancos o depósitos. Dado que la sección transversal se caracteriza por tener unadistribución de velocidades, hay zonas en las que la velocidad es notablemente menor que lavelocidad media.

4 m

1,5 m

6 m

3 m

3 m

4 m

2 m

2,4 m

6 m

1,095 m

20 m

45°

Figura 6.1 Comparación de varias secciones transversales que secaracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m

275


Sin embargo, se considera que, por lo menos en primera aproximación, la velocidad media esun parámetro útil para examinar la posibilidad de sedimentación. Cada partícula sólida se

mantiene en suspensión en función de la relación que existe entre su velocidad de caída wy la velocidad V de la corriente.

Valores altos de esta relación indican tendencia a la sedimentación. A veces las partículasactúan como proyectiles y si la velocidad es alta pueden destruir el revestimiento.

El problema de erosión y sedimentación es más serio en tramos en curva, pues en unamargen la velocidad es muy grande y en la otra muy pequeña.

Según la naturaleza de las paredes hay tablas que dan las velocidades límites.

La velocidad ideal es la que para las características del agua y del revestimiento no produceerosión ni sedimentación y da lugar a un costo mínimo de construcción.

El talud de la sección depende de la naturaleza del terreno. Desde el punto de vista puramentehidráulico se puede lograr los mismos resultados con un canal de cualquier forma.

Los taludes que generalmente se recomienda son los siguientes (en seco)

Los valores consignados en esta tabla deben considerarse meramente referenciales. Siempreconsideramos que el talud se define como 1 vertical y z horizontal.

1z

MATERIAL TALUD z

Roca dura y sana

Roca fisurada

Suelos cementados, firmes

Tierra arcillosa

Tierra arenosa

Arena

0

0,5

1

1,25

1,5

2 ó más

V

wwV

276


La sección hidráulica de un canal debe satisfacer la fórmula de Manning (o alguna de las otrasfórmulas).

nSAR

Q21

32

=

de donde,

21

32

S

QnAR = (6-21)

El miembro de la izquierda describe la geometría de la sección transversal. El valor 3/2AR

generalmente crece al aumentar el tirante. Para un valor del gasto y una rugosidad y pendiente

dadas hay un valor de 3/2AR que corresponde al tirante normal.

Para realizar un buen diseño, debemos tener una idea clara de como varía el gasto con eltirante, lo que se logra efectuando el cálculo respectivo y graficando como se ve en la figuraadjunta.

( )Qfy = (6-22)

Empezaremos por analizar como se realiza el cálculo cuando hay una condición impuesta.Esta puede ser el ancho en la base o el tirante. Si ninguna de estas dos condiciones esimpuesta, entonces tenemos mayor libertad para escoger la sección transversal.

CASO A: Se conoce el ancho b en la base

Los datos son

b : ancho en la base

Q : gasto

S : pendiente

z : talud

n : rugosidad

y

Q

277


La incógnita es el tirante y

Este caso se presenta con alguna frecuencia dado que por razones constructivas se puederequerir para el canal un ancho determinado.

Para la solución de este caso Ven Te Chow ha preparado un gráfico al que se entra con los

valores de 3/8

3/2

bAR

y se obtiene el valor de by

, para cada talud (Figura 6.2), tal como se ve en

el esquema adjunto. El gráfico de Ven Te Chow ha sido ampliado de modo de incluir laMáxima Eficiencia Hidráulica, que más adelante se presentará.

Para el cálculo de 32

AR basta con recordar que (6-21)

Ejemplo 6.3 Se tiene un canal trapecial revestido en tierra en regulares condiciones de conservación.

El ancho en la base es de 4 m. El talud de 45°. La longitud de canal entre los puntos A y B es de 1 000

m. La cota del punto A es 836,5 m y la cota del punto B es 835,8 (ambas cotas están medidas en la

superficie libre). El gasto es de 8 m3/s.Calcular el tirante normal. Dibujar la función gasto-tirante.

8/3

2/3

b

AR

by

z

2

132

S

QnAR =

278

Arturo RochaH

idráulica de tuberías y canales

Figura 6.2 Curvas para determinar el tirante normal (Ven Te Chow)

0,00019

0,001 0,01 0,10,2 0,5

1432 765

0,01

10

0,02

0,030,04

0,060,080,1

0,2

1,00,80,6

0,40,3

2

1086

43

109

0,0001 0,0010,2

0,01 0,15 6 72 3 40,5

1

8/3

2/3

b

AR

D8/3

2/3ARó

z = 1,5z = 2,0z = 2,5z = 3,0z = 4,0

z = 1,0

z = 0,5

z = 0

(recta

ngular)

circular

MEH

Dy

y

b

1z

0,040,03

0,02

0,01

43

2

0,30,4

0,60,81,0

0,2

0,10,080,06

68

10

óyD

yb

D

óy

by

279


Solución.

Q = 8 m3/s

b = 4 m

z = 1

S = 0,0007

n = 0,02 (Tabla 6.2)

21

32

S

QnAR = = 6,04 oo

o 38

32

b

AR= 0,15

De la Figura 6.2 se obtiene b

y = 0,315

de donde

y = 1,26 m

Luego el tirante normal es 1,26 m y se puede calcular toda la sección transversal (para 8 m3/s).

Examinemos ahora el método de tanteos, tanto para resolver este ejemplo sin la ayuda del gráfico de

Ven Te Chow, como para obtener la función gasto - tirante (ec 6-22). Consideremos una sección

trapecial como la mostrada en la figura

Aplicando ecuaciones conocidas se obtienen las expresiones siguientes

( )yzybA += (6 -23)

212 zybP ++= (6-24)

( )212 zyb

yzybR

++

+= (6-25)

De donde,

( )

( )

n

Szyb

yzyb

yzybQ

213

2

212

++

+

+= (6-26)

1z

b

y

280


Reemplazando los datos del ejemplo se tiene

( )yyA += 4

yP 224 +=

( )y

yyR

224

4

+

+=

( )

( ) ( )

02,0

0007,0224

4

4

213

2

+

+

+=y

yy

yyQ

Tenemos así una ecuación con una incógnita, que puede ser resuelta por el método de tanteos.

( ) ( ) 32

224

44323,1

+

++=

y

yyyyQ

Dando valores al tirante y se obtiene lo siguiente

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

0 1 2 3 4 5 6 7 9 10 118

y (m)

Q (m /s)

1,26

3

y(m) Q(m3/s)

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

4,48

5,37

6,34

7,37

8,48

9,66

10,92

281


CASO B: Se conoce el tirante y

Los datos son

y : tirante

Q : gasto

S : pendiente

z : talud

n : rugosidad

La incógnita es el ancho en la base.

Esta condición se presenta cuando por razones de servicio se requiere un tirante determinado.

Para la solución se puede recurrir al método de tanteos descrito anteriormente.

CASO C: Se desconoce los valores de b e y

Para la solución se pueden escoger libremente los valores del ancho en la base y el tirante.Se suele usar entonces el concepto de máxima eficiencia hidráulica que se estudia acontinuación.

6.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.)

Como se ha visto anteriormente hay muchas secciones transversales que satisfacen lasecuaciones de la velocidad media en movimiento uniforme.

Como normalmente los datos son Q , n , z y S hay muchas combinaciones de las incógnitas

b e y , que satisfacen la fórmula de Manning.

Anteriormente hemos visto los casos en los que hay una condición impuesta: Por ejemplo, elancho en la base. Entonces se calcula el tirante que satisface la condición hidráulica. O bienal revés.

También puede darse que haya libertad para escoger los valores del ancho en la base y eltirante.

En estos casos puede buscarse la sección de máxima eficiencia hidráulica.

Se dice que una sección es de máxima eficiencia hidráulica cuando para la misma área,pendiente y calidad de paredes deja pasar un gasto máximo. O bien, es aquella que para elmismo gasto, pendiente y calidad de paredes tiene un área mínima.

282


La sección de M. E. H. se puede interpretar a la luz de la fórmula de Manning

nSAR

Q21

32

=

Luego,

32

21

35

PS

QnA =

525

3

21 P

S

QnA

=

Como en un canal dado, Q , n y S son constantes

52

KPA =

La sección de M. E. H. es aquella que para la misma área tiene el perímetro mínimo. Enconsecuencia la sección de máxima eficiencia hidráulica es la semicircular.

Esto, basándose en la propiedad geométrica de ser el círculo la figura que para la misma áreatiene el perímetro mínimo.

En condiciones normales la sección de M. E. H. involucra la mínima sección de excavación,de revestimiento y de superficie de infiltración. También debe tenerse presente que el perímetromínimo involucra menor rozamiento. Sin embargo, los canales circulares son poco usados.

Naturalmente que en un canal en media ladera la sección de M. E. H. no da la mínimaexcavación.

Hay una patente española, Barragán, para la construcción de canales circulares. Más adelantenos ocuparemos de este tipo de canales.

283


Para obtener la sección de máxima eficiencia hidráulica en la práctica se reemplaza la secciónsemicircular por una trapecial.

Lo que nos interesa es la relación que debe haber entre b e y para que la sección sea de

máxima eficiencia hidráulica. Llamemos m a esta relación

ybm = (6-27)

Mediante simples consideraciones geométricas se obtiene

( ) 2yzmA +=

de donde,

zmA

y+

=

El perímetro es

212 zymyP ++=

Mediante transformaciones sucesivas se obtiene

( )22222 4414 zzmmAzPmP ++++=+

Derivando el perímetro P con respecto a m se obtiene

1z

b

y

T

z y

284


0)(2)12(2 22

=+

−++=

zmPPzmA

dmdP

De donde,

( )zzm −+= 212 (6-28)

Se concluye que para cada talud hay una relación m , que es la que da la máxima eficiencia

hidráulica.

Así por ejemplo, en un canal rectangular z = 0, de donde m = 2. Significa esto que en un

canal rectangular la máxima eficiencia hidráulica se obtiene cuando el ancho es igual al dobledel tirante.

Para las diferentes secciones trapeciales la relación m se obtiene para cada talud, aplicando

la ecuación 6-28.

Los valores más comunes son

En una sección de M. E. H. el radio hidráulico es

( )2

2

12 zymy

yzmR

+++

= (6-29)

reemplazando el valor de m de la ecuación 6-28 se obtiene, luego de simplificar

b = 2 y

y

z 0 0,25 0,5 1 1,5 2 2,5 3 4

m 2 1,56 1,24 0,83 0,61 0,47 0,39 0,32 0,25

285


2y

R = (6-30)

Lo que demuestra que en una sección de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico esigual a la mitad del tirante (sección trapecial).

También puede obtenerse las condiciones de máxima eficiencia hidráulica para talud variable.Se busca así el llamado "talud más eficiente". Para este caso el perímetro es

( )212 zmyP ++=

por condición de M. E. H.

( )zzm −+= 212

sustituyendo se obtiene que el perímetro mínimo es

yzzyPmin 214 2 −+=

0=dz

dPmin

de donde

33

=z (6-31)

En las Tablas 6.9 y 6.10 se presentan cuadros auxiliares para el cálculo de canales enmáxima eficiencia hidráulica.

Ejemplo 6.4 Un canal debe transportar 6 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) impuesta por la

naturaleza del terreno es 60° con la horizontal. Determinar las dimensiones de la sección transversal

con la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0,003 y el coeficiente

de rugosidad de Kutter se ha considerado de 0,025.

Solución.

tg 60° = z

1 = 1,732. Luego, z = 0,577

286


Para máxima eficiencia hidráulica se tiene que,

( )zzm −+= 212 = 1,155 oo

oy

b = 1,155

Para utilizar el gráfico de la Figura 6.2 debemos entrar con la inversa del valor anterior

b

y= 0,866

y obtenemos que,

38

32

b

AR= 0,74

pero,

21

32

S

QnAR = = 2,74 o

oo b = 1,63 m

luego los otros valores son

y = 1,41 m

A = 3,45 m2

V = 1,74 m/s

R = 0,705 m

El cálculo podría haberse hecho de otra manera. A partir de la ecuación

( ) 2yzmA += se obtiene 273,1 yA =

aplicando la fórmula de Manning

( )

025,0

003,02

73,1

213

2

2

=

y

yQ

se obtiene

Q = 2,39 38

y

para Q = 6 m3/s se encuentra y = 1,41 m

(Este problema se podría haber resuelto usando la Tabla 6.9)

287


Con lo que la sección transversal queda así,

Q = 6 m3/s V = 1,74 m/s R = 0,705 m

A = 3,45 m P = 4,89 m y = 1,41 m

Se observa que por ser una sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica el radio hidráulico es igual

a la mitad del tirante y, la longitud de cada talud es igual a la mitad del ancho superficial.

El talud, por la naturaleza del terreno es de 60°. Casualmente resulta ser el talud que da el perímetro

mínimo (talud más eficiente). Al respecto se puede ver la ecuación 6-31. En este caso particular la

sección hidráulica obtenida es la mitad de un hexágono.

Si resolviéramos este mismo problema para un talud diferente de 60° obtendríamos siempre una sección

de máxima eficiencia hidráulica (para el talud respectivo), pero el perímetro sería mayor que 4,89 m.

Con la ecuación Q = 2,39 38

y obtenida, se puede hacer un gráfico

1,63

m1,63 m

1,63 m

3,26 m

1,41 m

60º

Q (m /s)30

10642 8 12 14 16 2018

0,5

1,0

1,5

2,0

y (m)

288


La ecuación que se ha obtenido gasto-tirante es muy importante. Así por ejemplo, si el gasto fuera 10 %

mayor (6,6 m3/s). Entonces

y = 1,46 m

6.7 Concepto de borde libre

Se denomina borde libre (freeboard) a la altura (tirante) adicional que se da a fin de absorberlos niveles extraordinarios que puedan presentarse por encima del caudal de diseño de uncanal.

¿Por qué puede presentarse en un canal un tirante mayor que el correspondiente al del gastode diseño?. Por ejemplo, si se diseña un canal para 30 m3/s y se encuentra que el tirante(normal) es 3,20 m ¿Por qué hemos de esperar un tirante mayor?

Las razones podrían ser. entre otras, las siguientes

a) Cuando se calcula la sección transversal de un canal hay que suponer un valor para larugosidad, pero, en el momento de la construcción y por causas que escapan al ingenierodiseñador puede ser que la superficie tenga una mayor rugosidad. En consecuencia, serequerirá de un tirante mayor para que escurra el mismo caudal.

También puede ocurrir que con el paso de los años el revestimiento del canal se deteriorey tienda a hacerse más rugoso. Si este fenómeno fuera más intenso que el previsto, ladiferencia es tomada por el borde libre.

b) Una mala operación en las compuertas de entrada al canal puede dar lugar a que ingresea éste un caudal mayor que el de diseño.

c) A lo largo de la conducción pueden presentarse ingresos de agua no previstos.

d) Puede ocurrir una obstrucción parcial a lo largo de la conducción. Por ejemplo, caída deun tronco. El borde libre sirve para absorber los incrementos en el tirante que se produzcancomo consecuencia de lo anterior.

e) Por una razón u otra puede presentarse una onda en el canal. El borde libre debe absorberla altura de ola correspondiente.

borde libre

y

289


El borde libre es, pues, una seguridad que toma el ingeniero diseñador contra fenómenos quetienen una cierta probabilidad de ocurrencia.

Entonces la magnitud del borde libre depende esencialmente del grado de seguridad que sedebe dar al canal como consecuencia de su importancia y de una estimación de la posibilidadque ocurra algún fenómeno extraordinario.

En consecuencia, en la determinación de la magnitud del borde libre juega un gran papel lanaturaleza del terreno en que está construido el canal. Si el canal rebalsa y está en zonaarenosa las consecuencias pueden ser mucho más graves que en otro tipo de suelo.

Para dimensionar el borde libre (entendido como una altura vertical adicional al tirante) debemostener en cuenta la forma de la sección transversal y esencialmente la curva gasto-tirante.

Supongamos que se tiene dos secciones transversales como las mostradas a continuación

Si ambas tienen similares velocidades, es evidente, y puede demostrarse mediante el cálculo,que un borde libre igual en ambas, representará en la primera un pequeño aumento de caudaly en la segunda un aumento de caudal bastante mayor.

El análisis de la curva gasto-tirante nos permite visualizar el problema del borde libre bajo unaperspectiva diferente. No pensemos únicamente en centímetros adicionales para el tirante,sino en su equivalente en metros cúbicos por segundo.

Por último, podríamos señalar que en zonas en las que los estudios hidrológicos no ofrecenuna gran confiabilidad, tanto en la estimación de la oferta como de la demanda, y en las quesea cara el agua, es conveniente dimensionar con generosidad el borde libre. Naturalmenteque hay que tener presente como varía el costo de un canal con el tirante. Esta función no eslineal, de modo que es frecuente que un aumento en el tirante produzca un aumento pequeñoen el costo del canal.

Ven Te Chow señala que el borde libre varía entre menos del 5 % y más del 30 % del tirante.Indudablemente se trata de valores extremos.

8 m3 m

290


Para canales en tierra, donde dicho sea de paso es mayor la incertidumbre con respecto alcoeficiente de rugosidad, el Bureau of Reclamation señala que el borde libre varía entre 1 ft(0,30 m) para canales pequeños y poco profundos, hasta 4 ft (1,20 m) para canales grandes,profundos y con caudales de 85 m3/s ó más. Para cálculos preliminares el Bureau recomiendala fórmula siguiente

cylb =.. (6-32)

.. lb : es el borde libre en metros

y : es el tirante en metros

c : es un coeficiente que varía así

0,46 para Q = 0,60 m3/s

0,76 para Q = 85 m3/s

El Bureau of Reclamation recomienda el gráfico de la Figura 6.3

Hay también unas curvas que dan el borde libre en función del tirante y la velocidad, tal como

aparece en la Figura 6.4.

,2 ,3 ,4 ,5 52 3 4 20 5030 40100 m /s,1 1,0 10

0

0,3

0,6

0,9

1,2

Altura del Terraplén sobre la Superficie Libre

Altura del Revestimiento sobre la Superficie Libre

3

ALT

UR

A E

N M

ET

RO

S

GASTO

Figura 6.3 Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation

291


Figura 6.4 Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales revestidos(Tomada de Engineering News Record)

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,00

1

2

3

4

5

6

TIR

AN

TE y

EN

ME

TRO

S

BORDE LIBRE EN METROS

veloc

idad

0,80

m

/s1,0

m

/s

1,4

m/s

1,2

m/s

1,6

m/s

1,8

m/s

2,0

m/s

2,2 m

/s2,4

m/s

2,6 m

/s2,8

m/s

3,6 m

/s

3,4 m

/s

3,2 m

/s

3,0 m

/s

0

292


6.8 Cálculo de canales de sección compuesta

Puede haber canales que tengan una sección transversal como esta

Se dice entonces que es una sección compuesta. Está formada por la suma de dos figurasgeométricas.

También puede ocurrir algo similar en un cauce natural. Un río tiene en época de estiaje uncaudal pequeño, pero en época de abundancia tiene un caudal grande que ocupa las áreasadyacentes.

Una sección compuesta se puede dividir en N secciones parciales de modo que el gasto

total Q es igual a la suma de los gastos parciales

NQQQQQ ........321 +++= (6-33)

Cada parte de la sección tiene su propia rugosidad: 1n , 2n ,......, Nn

Para cada parte de la sección se tendrá que

i

ii n

SRV

21

32

=

Areas deinundación

Q 1 Q 2 3Q

293


212

132

SKn

SRAQ i

i

iii ==

siendo,

i

iii n

RAK

32

=

El gasto total es

( ) 21

1

SKQi

i ∑=

= (6-34)

de donde,

( )A

SKV i∑=

21

(6-35)

que es la expresión de la velocidad media en una sección compuesta.

Rugosidad compuesta

Un canal puede ser construido de modo que el fondo y las paredes tengan rugosidadesdiferentes. Habrá así dos valores para el coeficiente de rugosidad. Uno para el fondo y otrapara las paredes. Se dice entonces que el canal es de rugosidad compuesta.

Estas figuras muestran dos ejemplos característicos de rugosidad compuesta.

Si cada parte de la sección tiene un coeficiente in de Kutter, entonces el problema consiste

en hallar un valor de n que sea representativo de todo el perímetro.

concretopiedravidrio

madera

294


Consideremos que hubiera N rugosidades diferentes. A cada una le corresponde una parte

del perímetro mojado.

Rugosidades: 1n 2n 3n ..... Nn

Perímetros: 1P 2P 3P ..... NP

Supongamos, por facilidad operativa, que sólo hubiera dos rugosidades diferentes. Para cadauna de ellas habrá un radio hidráulico correspondiente y se puede calcular cada velocidadparcial

1

21

32

11 n

SRV =

2

21

32

22 n

SRV =

o bien,

23

21

111

=

S

nVR

23

21

222

=

S

nVR

en consecuencia, y aplicando la ecuación RPA = se tiene que

1

23

21

111 P

S

nVA

= 2

23

21

222 P

S

nVA

=

El área total es igual a la suma de las áreas parciales

21 AAA +=

2

23

21

221

23

21

11

23

21 P

S

nVP

S

nVP

S

Vn

+

=

La pendiente es la misma. Horton y Einstein hicieron la suposición de que la velocidad es unasola.

NVVV ........21 ==

295


Luego,

32

23

2223

11

+

=P

nPnPn (6-36)

que es coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección transversal.

Ejemplo 6.5 Se tiene un canal trapecial de 4 m de ancho en la base. El talud es de 45°. La pendiente es

0,07 %. Originalmente las paredes eran lisas y para un gasto de 6 m3/s el tirante normal era 0,88 m.

Luego el mismo canal se reviste con mortero preparado a base de arena gruesa, con lo que la rugosidad

aumenta, determinándose que para un caudal de 10 m3/s el tirante normal es 1,44 m.

a) Determinar el gasto para un tirante normal de 1,10 m, si el fondo tuviera un acabado rugoso y las

paredes el acabado liso original.

b) Determinar el gasto para el mismo tirante normal, si el fondo fuera liso y las paredes rugosas.

Solución. Si el canal es liso entonces

( ) ( )6

0007,066,029,4 213221

32

1 ==Q

SARn = 0,014

Si el canal es rugoso entonces,

( ) ( )10

0007,097,083,72132

2 =n = 0,020

a) Si el fondo es rugoso y las paredes lisas

32

23

2223

11

+

=P

nPnPn

( ) ( )[ ]( ) 32

322323

11,7

02,04014,011,3

+=n = 0,0175

296


el gasto es

( ) ( )0175,0

0007,079,061,5 213221

32

==n

SARQ = 7,25 m3/s

b) Si el fondo es liso y las paredes rugosas

( ) ( )[ ]( ) 32

322323

11,7

02,011,3014,04

+=n = 0,017

Luego,

( ) ( )017,0

0007,079,061,52132

=Q = 7,46 m3/s

6.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno

Es frecuente tener un conducto cerrado llevando un fluido que no ocupa totalmente la seccióntransversal. Podría ser, por ejemplo, un túnel, una tubería de desagüe o una alcantarilla.

El conducto no trabaja a presión e hidráulicamente es un canal.

Examinemos un tubo circular parcialmente lleno

yD y

Dy

297


Mediante simples consideraciones geométricas se puede determinar el área, perímetro y

demás elementos de la sección transversal ocupada por el fluido. Sin embargo, los cálculos

se pueden simplificar con el gráfico de la Figura 6.6 "Características geométricas en una

sección circular" que nos da para cada valor de la relación Dy el correspondiente valor del

área, perímetro, tirante hidráulico y radio hidráulico.

La tubería que trabaja parcialmente llena se caracteriza por la posibilidad de tener una velocidadmedia y un gasto mayores a los que corresponderían a tubo lleno.

Examinemos en primer lugar las condiciones para tener velocidad máxima en un tuboparcialmente lleno.

Consideremos una tubería cuyo diámetro es D y cuyo radio es r . El flujo corresponde a un

tirante y .

Se trata de hallar la relación Dy que da la máxima velocidad para el flujo. AB es la superficie

libre, θ es el ángulo en el centro.

Las expresiones correspondientes al área, perímetro mojado y radio hidráulico son

( )θθ sen2

2

−=r

A (6-37)

θrP = (6-38)

Figura 6.5 Cálculo de un tubo parcialmente lleno

Dy

A B

θ

298


( )θθθ

sen2

−=r

R (6-39)

Si consideramos las fórmulas de Manning o de Chezy, o cualquier otra para el cálculo de lavelocidad media encontramos que siempre se cumple que

xkRV = (6-40)

Para pendiente y rugosidad constantes, k y x dependen de la fórmula particular empleada.

Por lo tanto, para que la velocidad sea máxima se requiere que el radio hidráulico sea máximo

0=θd

dR (6-41)

0cossen

2 2 =−θ

θθθr

de donde,

èè tg= (6-42)

4934,4=θ rad

θ = 257º 27‘ 10’’ ≈ 257º 30’

θ es el ángulo que corresponde a la velocidad máxima.

Se determina inmediatamente que

θπ −2 = 102º 30’

El tirante es

−=

2cos1 θry (6-43)

De dondeDy

= 0,8128 ≈ 0,81 (6-44)

Por lo tanto, cuando el tirante es D81,0 , la velocidad es máxima.

299


Se observa que el resultado obtenido es independiente de la fórmula con la que se calcule lavelocidad media.

Calculemos ahora cual es el valor de Dy que hace que el gasto sea máximo.

De la Figura 6.5 se obtiene que

( )θθ sen2

2

−=r

A

θrP =

( )θθθ

sen2

−=r

R

El gasto, si usamos la fórmula de Manning, tiene por expresión

nSAR

Q21

32

=

Se observa que para S y n constantes el máximo valor del gasto corresponde al máximo

valor de 32

AR

0

32

=

θd

ARd

(6-45)

θθ ddA

RddR

AR 32

31

32

+−

= 0

θθ ddA

RddR

A =−32

( ) ( ) ( ) ( )θθθ

θθ

θθθθθ sen2

cos12

cossen2

sen23

2 2

2

2

−−=−

−−rrrr

De donde,

300


03sen2cos5 =−− θθθθ (6-46)

θ = 5,278 rad

θ = 302º 24’ 26’’ ≈ 302º 30’

que es el ángulo que corresponde al gasto máximo. Se determina inmediatamente que

θπ −2 = 57º 30’

El tirante es

−=

2cos1 θry

de donde,

Dy

= 0,938 ≈ 0,94 (6-47)

Por lo tanto, cuando se usa la fórmula de Manning para los cálculos, el gasto es máximo

cuando y = 0,94 D .

Si se hubiera empleado la fórmula de Chezy, entonces la condición hubiera sido

θd

ARd

32

= 0

y se habría obtenido

θ = 5,3784 rad

θ = 308º 09’ 35’’ ≈ 308º

Dy

= 0,95 (6-48)

Por lo que cuando se usa la fórmula de Chezy para los cálculos, el gasto es máximo cuando

Dy 95,0= .

En la Figura 6.7 se muestra el gráfico de elementos hidráulicos proporcionales que sirve paraaligerar los cálculos de tubos circulares trabajando parcialmente llenos (como canales).

301

Cálculo de canales

Capítulo VI

Figura 6.6 Características geométricas en una sección circular 0A

A,

0PP

, 0D

d, etc.

0,9

1,0

0,8

0,7

0,6

0,4

0,5

0,3

0,2

0,1

00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3

0,2

0

0,1

0,3

0,4

0,5

0,6

0,9

0,8

0,7

1,0T D0

DZ

02,5

Dd

0

AA 0

RR 0

PP 0

Dy

0

d =

0

AT

Z = A d =AT

A =π . D

40

P = π . D0 0

R =0 4D 0

T

0

2

El subindice "0" correspondea tubo lleno

A

D y

302

Arturo RochaH


Figura 6.7 Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular parcialmente llena.

0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3

0,2

0

0,1

0,3

0,4

0,5

0,6

0,9

0,8

0,7

1,0

Q Q ; ; ; etc.0

Dy

0

* El subindice "0" corresponde a tubo lleno

1,30,30 0,1 0,2 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2

V V0 0RR

Q0Q (n

variable)

Q (n constante)

Q0

A0A N

n

RR 0

V (n constante)

V 0

* N es el coeficiente de Kutter

V

0V (n v

ariab

le)

D0

y

0,9

1,0

0,8

0,7

0,6

0,4

0,5

0,3

0,2

0,1

00 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

303


Gráfico de elementos hidráulicos proporcionales

La Figura 6.7 muestra para cada relación tirante-diámetro de una sección circular parcialmente

llena, la relación existente entre el gasto Q correspondiente a dicha sección y el gasto 0Q

correspondiente al tubo lleno. Hay también una curva que da la relación entre las velocidades

( 0VV ).

Para cada variable (gasto, velocidad) hay en realidad dos curvas, una para coeficiente de

rugosidad constante y otra para coeficiente de rugosidad variable en función de la altura. N

es el coeficiente de rugosidad de Kutter para toda la sección (podría expresarse como 0n ).

En cambio, n es el coeficiente de rugosidad (variable) para la sección parcialmente llena. Así

por ejemplo, si un tubo tiene un coeficiente de rugosidad (a tubo lleno) de 0,013, cuando esté

trabajando a 0,7 D tendrá un coeficiente

015,085,0013,0

85,0=== Nn

puesto que del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales se obtiene que para 7,0=Dy

la relación nN es 0,85.

Examinemos las curvas de gasto y velocidad que corresponden a un coeficiente de rugosidadconstante.

La curva de gastos tiene un máximo que corresponde a Dy igual a 0,94 si se usa la

fórmula de Manning y a 0,95 si se usa la fórmula de Chezy. En el primer caso la relación

0QQ es 1,07 y en el segundo es 1,05.

La curva de velocidades tiene un máximo que se presenta para 81,0=Dy . Corresponde a

0VV igual a 1,14 (según Manning).

Todos estos valores se pueden obtener fácilmente a partir de las ecuaciones anteriormenteestablecidas. Un cuadro comparativo de todos los valores aparece en la Tabla 6.6.

En la Figura 6.7 se observa que para 82,0>Dy (aprox.) hay para cada valor del gasto dos

tirantes posibles. También se cumple que para 5,0>Dy se tiene dos tirantes posibles

para cada valor de la velocidad (uno por encima y otro por debajo de D81,0 ).

304

Arturo RochaH

idráulica de tuberías y canalesTABLA 6.6

SECCIONES CIRCULARES PARCIALMENTE LLENAS

CONDICION

VARIABLES TUBO LLENO

GASTO MAXIMO

(Manning)

GASTO MAXIMO

(Chezy)

VELOCIDAD MAXIMA

A ( )θθ sen2

2

−=rA 0,785 2D 0,765 2D 0,771 2D 0,684 2D

P θrP = 3,142 D 2,639 D 2,689 D 2,247 D

R ( )θθθ

sen2

−=rR 0,25 D 0,29 D 0,287 D 0,304 D

Dy _ 1 0,94 0,95 0,813

θ _ π2 rad

360º

5,278 rad

302º 24’ 26’’

5,3784 rad

308º 09’ 36’’

4,4934 rad

257º 27’ 10’’

0max QQ _ 1 1,07 1,05 _

0max VV _ 1 _ _ 1,14 (Manning)

1,10 (Chezy)

0AA _ 1 0,97 0,98 0,87

0PP _ 1 0,84 0,86 0,72

0RR _ 1 1,15 1,14 1,22

305


Obsérvese que para coeficiente de rugosidad constante, que es el caso que estamos analizando,se cumple que la velocidad media es la misma para medio tubo y para tubo lleno. En cambio,si consideráramos que la rugosidad es variable, entonces la velocidad media en medio tuboes sólo el 80 % de la correspondiente a tubo lleno.

En la práctica no conviene diseñar para la condición de gasto máximo porque entonces lasuperficie libre está tan cerca del extremo superior que cualquier eventualidad tendería a queel escurrimiento sea a tubo lleno, disminuyendo así la capacidad de conducción. Es usualdiseñar para un ángulo de 240°.

Las Tablas 6.7 y 6.8 sirven como ayuda para el cálculo de secciones circulares.

Expresión del caudal máximo para cualquier conducto abovedado

Anteriormente hemos examinado las condiciones de máximo caudal para un conducto circularparcialmente lleno. Ahora examinaremos la misma condición, pero para cualquier conductoabovedado. Siempre se tendrá por continuidad que

AVQ =

de donde

0=+= VdAAdVdQ

que es la condición de máximo caudal. De acá

A

dAVdV −= (6-49)

También debe cumplirse la ecuación de Chezy

RSCV =

o bien,

SPA

CV =

Si reemplazamos este valor de la velocidad en la ecuación 6-49 y además se reemplaza el

valor de dV obtenido de la ecuación de Chezy se llega a

AdPPdA =3 (6-50)

306


Que es la ecuación diferencial que fija la condición de gasto máximo en cualquier conductoabovedado en el que se calcule el gasto con la fórmula de Chezy. Obsérvese que la ecuación6-50 al combinarse con las ecuaciones 6-37 y 6-38 nos daría la condición de gasto máximoen un conducto circular

0sencos3 =+− θθθθ (6-51)

cuya solución es precisamente 3784,5=θ rad que corresponde al resultado de la ecuación 6-

48. Si hubiéramos usado la fórmula de Manning se habría obtenido que el gasto máximo paracualquier conducto abovedado está dado por

AdPPdA 25 = (6-52)

Si reemplazamos en esta ecuación las ecuaciones 6-37 y 6-38 se obtendría la ecuación 6-46.

Expresión de la velocidad máxima para cualquier conducto abovedado

En cualquier conducto abovedado debe cumplirse que

21

SPA

CRSCV ==

de donde,

021

2

21

21

=−

=

−

PAdPPdA

PA

CSdV

0=− AdPPdA (6-53)

que es la condición de máxima velocidad en cualquier conducto abovedado. Esta ecuación nodepende de la fórmula empleada para el cálculo de la velocidad.

Canales cubiertos de hielo

A veces ocurre que en un canal construido en zonas frías se presenta un fenómenoinconveniente: se hiela la parte superior y el canal trabaja como tubería, con la consiguientedisminución en el gasto. Este fenómeno es frecuente en zonas andinas elevadas, especialmentesi el canal tiene pequeña velocidad. Esta circunstancia debe tomarse en cuenta en los cálculosy verificar la capacidad del conducto como si fuese una tubería.

307


Canales circulares

Un canal semicircular es el más conveniente desde el punto de vista exclusivo de la eficienciahidráulica. Sin embargo, este tipo de canales es poco usado por las dificultades constructivasque conlleva. El método español de Barragán considera la construcción mecánica de seccionescirculares. Según dicho ingeniero las secciones circulares representan una economíaimportante frente a las secciones trapeciales (del orden del 22 %). Nuestra opinión es quees difícil una generalización y en cada caso debe hacerse un análisis técnico- económico.

Secciones en herradura

Es frecuente que los túneles se construyan con una sección diferente de la circular. Una delas secciones más empleadas es la sección en herradura. La Tabla 6.8 sirve como ayudapara el cálculo de las secciones en herradura (horseshoe).

Ejemplo 6.6 Por una alcantarilla de 60 cm de diámetro fluye un caudal de 80 l/s. La pendiente es de

0,0008. El coeficiente n de Kutter es 0,015. Calcular la velocidad.

Solución. Si el flujo fuera a tubo lleno se tendría que

( ) ( )

015,0

0008,0460,0

460,0

213

22

0

=π

Q = 0,1505 m3/s ≈ 151 l/s

Luego,

53,015180

0

==Q

Q

del gráfico de elementos hidráulicos proporcionales se obtiene

D

y = 0,52 o

oo y = 0,31 m

para Dy = 0,52 se obtiene

0V

V = 1,02

la velocidad a tubo lleno es

( )2060,0

4150,0

π×

==A

QV = 0,53 m/s

308


o bien, (para verificar)

( ) ( )015,0

0008,015,02132

0 =V = 0,53 m/s

Luego

V = 1,02 x 0,53 = 0,54 m/s

La velocidad es

V = 0,54 m/s

Ejemplo 6.7 Hallar el tirante y que corresponde a la condición de caudal máximo en una sección

cuadrada, de lado a, en la que una de las diagonales es vertical. Usar la fórmula de Chezy.

Solución.

Mediante consideraciones geométricas se

obtiene

MPABaA 212 −=

( )yaABaA −−= 2212

Considerando la semejanza de los triángulos

MAB y MRS se obtiene

( )yaAB −= 22

luego,

2222 yayaA −−=

similarmente se obtiene para el perímetro

yP 22=

tomando en cuenta la ecuación 6-50,

AdPPdA =3

se obtiene

0245 22 =−− ayay

de donde

y = 1,287 a

que es la respuesta buscada.

y

A BP

a

R S

N

M

309


TABLA 6.7PROPIEDADES HIDRAULICAS DE CONDUCTOS CIRCULARES

Dy

2D

A

DP

DR

Dy

2D

A

DP

DR

0,01 0,02

0,03 0,04 0,05

0,06 0,07

0,08 0,09 0,10

0,11 0,12

0,13 0,14 0,15

0,16 0,17

0,18 0,19 0,20

0,0013 0,0037

0,0069 0,0105 0,0147

0,0192 0,0242

0,0294 0,0350 0,0409

0,0470 0,0534

0,0600 0,0668 0,0739

0,0811 0,0885

0,0961 0,1039 0,1118

0,2003 0,2838

0,3482 0,4027 0,4510

0,4949 0,5355

0,5735 0,6094 0,6435

0,6761 0,7075

0,7377 0,7670 0,7954

0,8230 0,8500

0,8763 0,9020 0,9273

0,0066 0,0132

0,0197 0,0262 0,0326

0,0389 0,0451

0,0513 0,0574 0,0635

0,0695 0,0754

0,0813 0,0871 0,0929

0,0986 0,1042

0,1097 0,1152 0,1206

0,21 0,22

0,23 0,24 0,25

0,26 0,27

0,28 0,29 0,30

0,31 0,32

0,33 0,34 0,35

0,36 0,37

0,38 0,39 0,40

0,1199 0,1281

0,1365 0,1449 0,1535

0,1623 0,1711

0,1800 0,1890 0,1982

0,2074 0,2167

0,2260 0,2355 0,2450

0,2546 0,2642

0,2739 0,2836 0,2934

0,9521 0,9764

1,0003 1,0239 1,0472

1,0701 1,0928

1,1152 1,1373 1,1593

1,1810 1,2025

1,2239 1,2451 1,2661

1,2870 1,3078

1,3284 1,3490 1,3694

0,1259 0,1312

0,1364 0,1416 0,1466

0,1516 0,1566

0,1614 0,1662 0,1709

0,1755 0,1801

0,1848 0,1891 0,1935

0,1978 0,2020

0,2061 0,2102 0,2142

Dy

P Perímetro mojado

R Radio hidráulico

A Area

D Diámetro

y Tirante

310


Dy

2D

A

DP

DR

Dy

2D

A

DP

DR

0,41 0,42

0,43 0,44

0,45

0,46

0,47 0,48

0,49 0,50

0,51 0,52

0,53 0,54

0,55

0,56 0,57 0,58

0,59 0,60

0,61 0,62

0,63 0,64

0,65

0,66 0,67

0,68 0,69 0,70

0,3032 0,3130

0,3229 0,3328

0,3428

0,3527

0,3627 0,3727

0,3827 0,3927

0,4027 0,4127

0,4227 0,4327

0,4426

0,4526 0,4625 0,4723

0,4822 0,4920

0,5018 0,5115

0,5212 0,5308

0,5404

0,5499 0,5594

0,5687 0,5780 0,5872

1,3898 1,4101

1,4303 1,4505

1,4706

1,4907

1,5108 1,5308

1,5508 1,5708

1,5908 1,6108

1,6308 1,6509

1,6710

1,6911 1,7113 1,7315

1,7518 1,7722

1,7926 1,8132

1,8338 1,8546

1,8755

1,8965 1,9177

1,9391 1,9606 1,9823

0,2181 0,2220

0,2257 0,2294

0,2331

0,2366

0,2400 0,2434

0,2467 0,2500

0,2531 0,2561

0,2591 0,2620

0,2649

0,2676 0,2703 0,2728

0,2753 0,2776

0,2797 0,2818

0,2839 0,2860

0,2881

0,2899 0,2917

0,2935 0,2950 0,2962

0,71 0,72

0,73 0,74

0,75

0,76

0,77 0,78

0,79 0,80

0,81 0,82

0,83 0,84

0,85

0,86 0,87 0,88

0,89 0,90

0,91 0,92

0,93 0,94

0,95

0,96 0,97

0,98 0,99 1,00

0,5964 0,6054

0,6143 0,6231

0,6318

0,6404

0,6489 0,6573

0,6655 0,6736

0,6815 0,6893

0,6969 0,7043

0,7115

0,7186 0,7254 0,7320

0,7384 0,7445

0,7504 0,7560

0,7642 0,7662

0,7707

0,7749 0,7785

0,7816 0,7841 0,7854

2,0042 2,0264

2,0488 2,0714

2,0944

2,1176

2,1412 2,1652

2,1895 2,2143

2,2395 2,2653

2,2916 2,3186

2,3462

2,3746 2,4038 2,4341

2,4655 2,4981

2,5322 2,5681

2,6061 2,6467

2,6906

2,7389 2,7934

2,8578 2,9412 3,1416

0,2973 0,2984

0,2995 0,3006

0,3017

0,3025

0,3032 0,3037

0,3040 0,3042

0,3044 0,3043

0,3041 0,3038

0,3033

0,3026 0,3017 0,3008

0,2996 0,2980

0,2963 0,2944

0,2922 0,2896

0,2864

0,2830 0,2787

0,2735 0,2665 0,2500

311


TABLA 6.8PROPIEDADES HIDRAULICAS DE CONDUCTOS EN HERRADURA

Dy

2DA

DP

DR

Dy 2D

A

DP

DR

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

0,06 0,07 0,08

0,0886

0,09 0,10

0,11 0,12 0,13 0,14 0,15

0,16 0,17 0,18 0,19 0,20

0,0019 0,0053 0,0097 0,0150 0,0209

0,0275 0,0346 0,0421 0,0491

0,0502 0,0585

0,0670 0,0753 0,0839 0,0925 0,1012

0,1100 0,1188 0,1277 0,1367 0,1457

0,2830 0,4006 0,4911 0,5676 0,6351

0,6963 0,7528 0,8054 0,8482

0,8513 0,8732

0,8950 0,9166 0,9382 0,9597 0,9811

1,0024 1,0236 1,0448 1,0658 1,0868

0,0066 0,0132 0,0198 0,0264 0,0329

0,0394 0,0459 0,0524 0,0578

0,0590 0,0670

0,0748 0,0823 0,0895 0,0964 0,1031

0,1097 0,1161 0,1222 0,1282 0,1341

0,21 0,22 0,23 0,24 0,25

0,26 0,27 0,28 0,29

0,30

0,31 0,32 0,33 0,34 0,35

0,36 0,37 0,38 0,39 0,40

0,1549 0,1640 0,1733 0,1825 0,1919

0,2013 0,2107 0,2202 0,2297

0,2393

0,2489 0,2586 0,2683 0,2780 0,2878

0,2975 0,3074 0,3172 0,3271 0,3370

1,1078 1,1286 1,1494 1,1702 1,1909

1,2115 1,2321 1,2526 1,2731

1,2935

1,3139 1,3342 1,3546 1,3748 1,3951

1,4153 1,4355 1,4556 1,4758 1,4959

0,1398 0,1454 0,1508 0,1560 0,1611

0,1662 0,1710 0,1758 0,1804

0,1850

0,1895 0,1938 0,1981 0,2023 0,2063

0,2103 0,2142 0,2181 0,2217 0,2252

y

D/2

D

D

D

y Tirante

D Diámetro

A Area

R Radio hidráulico

P Perímetro mojado

312


Dy

2D

A

DP

DR

Dy

2D

A

DP

DR

0,41

0,42 0,43

0,44 0,45

0,46

0,47 0,48 0,49

0,50

0,51 0,52

0,53 0,54 0,55

0,56 0,57 0,58

0,59 0,60

0,61 0,62 0,63

0,64 0,65

0,66

0,67 0,68 0,69

0,70

0,3469

0,3568 0,3667

0,3767 0,3867

0,3966

0,4066 0,4166 0,4266

0,4366

0,4466 0,4566

0,4666 0,4766 0,4865

0,4965 0,5064 0,5163

0,5261 0,5359

0,5457 0,5555 0,5651

0,5748 0,5843

0,5938

0,6033 0,6126 0,6219

0,6312

1,5160

1,5360 1,5561

1,5761 1,5962

1,6162

1,6362 1,6562 1,6762

1,6962

1,7162 1,7362

1,7562 1,7763 1,7964

1,8165 1,8367 1,8569

1,8772 1,8976

1,9180 1,9386 1,9592

1,9800 2,0009

2,0219

2,0431 2,0645 2,0860

2,1077

0,2287

0,2322 0,2356

0,2390 0,2422

0,2454

0,2484 0,2514 0,2544

0,2574

0,2602 0,2630

0,2657 0,2683 0,2707

0,2733 0,2757 0,2781

0,2804 0,2824

0,2844 0,2864 0,2884

0,2902 0,2920

0,2937

0,2953 0,2967 0,2981

0,2994

0,71

0,72 0,73

0,74 0,75

0,76

0,77 0,78 0,79

0,80

0,81 0,82

0,83 0,84 0,85

0,86 0,87 0,88

0,89 0,90

0,91 0,92 0,93

0,94 0,95

0,96

0,97 0,98 0,99

1,00

0,6403

0,6493 0,6582

0,6671 0,6758

0,6844

0,6929 0,7012 0,7094

0,7175

0,7254 0,7332

0,7408 0,7482 0,7554

0,7625 0,7693 0,7759

0,7823 0,7884

0,7943 0,7999 0,8052

0,8101 0,8146

0,8188

0,8224 0,8256 0,8280

0,8293

2,1297

2,1518 2,1742

2,1969 2,2198

2,2431

2,2666 2,2906 2,3149

2,3397

2,3650 2,3907

2,4170 2,4440 2,4716

2,5000 2,5292 2,5595

2,5909 2,6235

2,6576 2,6935 2,7315

2,7721 2,8160

2,8643

2,9188 2,9832 3,0667

3,2670

0,3006

0,3018 0,3028

0,3036 0,3044

0,3050

0,3055 0,3060 0,3064

0,3067

0,3067 0,3066

0,3064 0,3061 0,3056

0,3050 0,3042 0,3032

0,3020 0,3005

0,2988 0,2969 0,2947

0,2922 0,2893

0,2858

0,2816 0,2766 0,2696

0,2538

313

Cálculo de canales

Capítulo VI

TABLA 6.9SECCION TRAPECIAL DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICA

ybm =

nSARQ

2132

=1z

b

yθ

θ 90º 75º 58’ 71º 34’ 63º 26’ 60º 56º 19’ 53º 08’ 45º

z 0 0,250 0,333 0,500 0,577 0,667 0,750 1,000

m 2 1,562 1,442 1,236 1,155 1,070 1,000 0,828

zzm −+= 212

m1

0,5

0,640

0,694

0,809

0,866

0,934

1,000

1,207

bym =1

A 2 2y

1,812 2y

1,775 2y

1,736 2y

1,732 2y

1,737 2y

1,750 2y

1,828 2y

( ) 2yzmA +=

P 4 y

3,623 y

3,550 y

3,472y

3,464y

3,474y

3,500 y

3,657 y

yzmP 212 ++=

R

2y

PAR =

32

AR

1,260 38

y

1,141 38

y

1,118 38

y

1,094 38

y 1,091 3

8

y 1,094 3

8

y

1,102 38

y

1,152 38

y

2132

SQ

AR n=

( )

( )

θ =

z1z =

314

Arturo RochaH


ybm =

nSARQ

2132

=1z

b

yθ

z1z =

θ =

θ 38º 40’ 33º 41’ 30º 29º 45’ 26º 34’ 21º 48’ 18º 26’ 14º 02’

z 1,250 1,500 1,732 1,750 2,000 2,500 3,000 4,000

m 0,702 0,606 0,536 0,531 0,472 0,385 0,325 0,246 ( )zzm −+= 212

m1 1,425 1,651 1,866 1,883 2,118 2,596 3,081 4,062 bym =1

A 1,952 2y 2,106 2y 2,268 2y 2,281 2y 2,472 2y 2,885 2y 3,325 2y 4,246 2y ( ) 2yzmA +=

P 3,903 y 4,211 y 4,536 y 4,562 y 4,944 y 5,770 y 6,649 y 8,492 y ( )yzmP 212 ++=

R 2y PAR =

32

AR 1,230 38

y 1,327 38

y 1,429 38

y 1,437 38

y 1,557 38

y 1,817 38

y 2,095 38

y 2,675 38

y 2132

SQ

AR n=

315

Cálculo de canales

Capítulo VI

TABLA 6.10SECCIONES DE MAXIMA EFICIENCIA HIDRAULICA

(Este cuadro ha sido tomado del libro Open-Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

SECCION AREA

A

PERIMETRO MOJADO

P

RADIO HIDRAULICO

R

ANCHO SUPERFICIAL

T

TIRANTE HIDRAULICO

d

FACTOR HIDRAULICO

Z

TRAPECIO

(Mitad de un hexágono) 23y y32

2y y3

34 y

43 2

5

23 y

RECTANGULO

(mitad de un cuadrado) 22y y4

2y y2 y 2

5

2y

TRIANGULO

(Mitad de un cuadrado) 2y y22 y2

41

y2 2y

25

22 y

SEMICIRCULO 2

2yπ

yπ y21

y2 y4π

25

4yπ

PARABOLA

yT 22=

2234 y y2

38

y21

y22 y32

25

398 y

CATENARIA 239586,1 y y9836,2 y46784,0 y917532,1 y72795,0 25

19093,1 y

316

Arturo RochaH

idráulica de tuberías y canalesTABLA 6.11

ELEMENTOS GEOMETRICOS DE DIVERSAS SECCIONES

* Aproximación satisfactoria para el intervalo 10 ≤≤ x , siendo Tyx 4

= , para 1>x , la expresión exacta es ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++++= 22 1ln11

2xxxxTD

( Esta tabla ha sido tomada del libro Open-Channel Hydraulics de Ven Te Chow)

T

y

bz

1

T

yz

1

D yθ

T

1z

T

r y

b

T

y

y

T

b

rr

T

y

SECCION AREA A

PERIMETRO MOJADO P

RADIO HIDRAULICO R

ANCHO SUPERFICIAL T

TIRANTE HIDRAULICO d

FACTOR HIDRAULICO Z

RECTÁNGULO

by yb 2+ yb

by2+

b y 23

by

TRAPECIO

( )yzyb + 212 zyb ++ ( )

212 zybyzyb

++

+ zyb 2+

( )zyb

yzyb2+

+ ( )[ ]

zybyzyb

223

++

TRIANGULO

2zy 212 zy + 212 zzy+

zy2 2y

25

22 zy

CIRCULO

( ) 2sen81 D− D

21

Dθθ

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

sen141

D⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

2sen , ó

( )yDy −2

D⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛−

2sen

sen81

( ) 2

5

5,0

23

232

2 Dsen

sen

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

PARÁBOLA

Ty32

TyT

2

38

+ * 22

2

832

yTyT

+

yA

23

y3

2 5,16

92 Ty

RECTÁNGULO CON ESQUINAS REDONDEADAS

( )yrbr 222

2 ++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π ( ) ybr 22 ++−π

( )

( ) ybr

yrbr

22

222

2

++−

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π

π

rb 2+ y

rb

r+

+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2

22

2π

( )

rb

yrbr

2

222

5,12

+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

π

TRIANGULO CON FONDO

REDONDEADO

( )zzz

rz

T 122

cot14

−−− ( )zzzrz

zT 12 cot121 −−−+

PA

( )[ ]212 zrryz ++− TA

TAA

θθ θ θ

θθθ θ θ

θ

317


PROBLEMAS PROPUESTOS

(Capítulo VI)

1. Hallar una expresión para la pérdida de carga fh en un canal de longitud L , en función dela carga de velocidad y del radio hidráulico.

2. Un canal tiene un ancho en el fondo de 2,5 m. El tirante es 0,8 m y el talud es de 60°. Lavelocidad media es 1,80 m/s. ¿Cuál es el gasto? ¿Cuál es el radio hidráulico? Dibujar lasección transversal.

3. Un canal rectangular tiene un ancho en el fondo de 2 m y un coeficiente de rugosidad deKutter de 0,014. El tirante es 1,20 m y la pendiente 0,0012. Calcular el gasto.

Calcular el tirante con el que fluirá el mismo gasto en un canal triangular, de 90º, que tiene lamisma rugosidad y la misma pendiente.

4. Hallar el radio que debe tener la sección sem icircular de un canal para transportar 3 m 3/s. Lapendiente del canal es 1 en 2 500. Considerar que el coeficiente C de Chezy es 49 m1/2/s.

Si el canal tuviera forma rectangular, pero el mismo ancho y profundidad total que la secciónanterior, ¿Cuál sería el gasto con el mismo valor de C y la misma pendiente?

5. El canal mostrado en la figura tieneuna pendiente de 0,0009. Elcoeficiente n de Kutter es 0,013.Calcular el gasto.

¿En cuánto aumentará el gasto si lapendiente fuera el doble?

6. ¿Qué sucede con el gasto en un canal si se cuadruplica la pendiente y el contorno se hace deuna rugosidad doble?. Explicar detalladamente la respuesta.

7. En el problema número 2 la pendiente del canal es 0,003. Calcular

a) el coeficiente n de Kutterb) el coeficiente C de Ganguillet-Kutterc) la velocidad media a partir del coeficiente de Ganguillet-Kutter. Comparar con la velocidad

media dato del problemad) el coeficiente k de Stricklere) el coeficiente C de Chezy a partir de la fórmula de Pavlovski

90º 1,0 m

1,5 m

318


8. Un canal tiene una rugosidad n = 0,035 (Kutter). Calcular el coeficiente C de Chezy usandolas fórmulas de Ganguillet-Kutter y Manning. El canal es muy ancho y el tirante es 1 m.

9. Hallar los valores de X e Y , a que se refiere la ecuación 6-5, correspondientes a lasecuaciones de Ganguillet-Kutter, Kutter y Bazin.

10. Calcular el gasto en un canal que tiene 1,80 m de tirante. La pendiente es 0,0018. La rugosidadde Kutter a considerarse es 0,018,a) para una sección rectangular de 6 m de anchob) para una sección triangular con un ángulo de 60°c) para una sección circular de 4 m de diámetrod) para una sección parabólica que tiene 4 metros de ancho a la profundidad de 1 m

11. Un canal de sección trapecial, en tierra sin vegetación, debe transportar un gasto de10 m 3/s, con una velocidad no mayor de 1 m/s. El talud es de 30° (con la horizontal). Lapendiente es de 8 en 10 000. Calcular las dimensiones de la sección transversal. Usar lafórmula de Bazin.

12. Un canal trapecial tiene 24 ft de ancho superficial, un talud de 45° y un ancho en la base de8 ft. El canal es de concreto frotachado. La pendiente es 0,0006. Calcular el gasto. Usar lafórmula de Ganguillet-Kutter y la de Manning (en unidades inglesas).

13. Se tiene un canal trapecial de 8 m de ancho en la base y de 2 m de tirante. El talud es de 1,5.El canal es de tierra, sin vegetación, y varios años de uso. La pendiente es 0,0004. Calcularel gasto utilizando las fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin, Manning y Chezy. Compararresultados (la temperatura del agua es 15 °C)

14. En un canal de 0,80 m de ancho y 0,30 m de tirante fluye petróleo. La pendiente del canal es0,0008. El canal es de fierro galvanizado. La viscosidad del petróleo es 10-5 m2/s y su pesoespecífico relativo es 0,86. Calcular el gasto.

15. Un canal trapecial de concreto frotachado tiene una capacidad de 4 m3/s. La pendiente es0,006. El talud es 0,5. Si el ancho en el fondo es de 1 m ¿Cuáles son las dimensiones de lasección transversal y la velocidad media? Si el borde libre fuera de 30 cm ¿Qué caudaladicional podría ser absorbido? (en porcentaje).

16. Se quiere construir un canal con una pendiente de 0,0035 para conducir 4 m3/s ¿Quédimensiones debe tener el canal para que la velocidad no sea superior a 1,5 m/s ? El talud es1,5. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0,025.

17. Se tiene un canal trapecial de 5 m de ancho superficial y 3 m de ancho en el fondo, taludde 60° y coeficiente de rugosidad de Kutter de 0,030. La capacidad del canal es de 10 m3/s.

319


Calcular

a) ¿Cuánto habría que profundizar el canal, conservando el mismo ancho superficial y taludes,para aumentar su capacidad en 50 %?

b) ¿Cuánto habría que ensanchar el canal, conservando la misma profundidad y taludes,para aumentar su capacidad en 50 %?

18. Demostrar que en un canal de máxima eficiencia hidráulica se cumple que la suma de lostaludes es igual al ancho superficial.

19. Demostrar que en una sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica se cumple que

( ) 21221

zyzyb +=+

20. Demostrar que en un canal trapecial de máxima eficiencia hidráulica, cuyo talud es de 45°,

se cumple que 38

32

b

AR = 1,90

21. Demostrar que para un canal que está en máxima eficiencia hidráulica se cumple para lasección más eficiente que

83

21968,0

=

S

Qy n

;

83

21118,1

=

S

Qb n

22. Demostrar que en un canal con una velocidad V dada, la condición de máxima eficienciahidráulica (M. E. H.) corresponde a pendiente mínima.

23. En un canal de M. E. H. el ancho en el fondo es de 3 m y el ancho superficial es 8 m. Lapendiente es 0,006 y el coeficiente n de rugosidad de Kutter es 0,025. Hallar el gasto.

24. El gasto del canal de alimentación de una central hidroeléctrica es de 60 m3/s. El talud es1,25.a) Calcular las dimensiones de la sección transversal para un tirante de 2 m y una pendiente

de 0,0008 (el coeficiente de rugosidad G de Bazin es 0,30).b) Conservando la velocidad del caso anterior ¿Cuáles serían las dimensiones del canal en

condiciones de máxima eficiencia hidráulica? ¿Cuál deberá ser la pendiente del canal?

320


c) ¿Cuál sería la sección de máxima eficiencia hidráulica y la velocidad, manteniendo unapendiente de 0,001?

25. Un canal debe transportar 8 m 3/s. El talud es de 45°. Determinar las dimensiones de lasección transversal con la condición de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendientees 0,002 y el coeficiente de Kutter es 0,022. Si se reviste el contorno con concreto ( n = 0,016)determinar cuáles serían las nuevas dimensiones de la sección transversal.

26. Un canal debe transportar 10 m3/s. La inclinación de las paredes (talud) es 60°. Determinarlas dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener la máxima eficienciahidráulica. La pendiente del canal es 0,005. El canal es de concreto frotachado.

27. Un canal debe conducir 750 l/s. El talud es 2. Determinar las dimensiones de la seccióntransversal con la condición que la pendiente sea mínima. La velocidad no debe ser mayor de1 m/s. (a fin de prevenir erosiones). Considerar que n es 0,03.

En el caso de revestir el canal ( n = 0,022) ¿Con qué tirante fluirá el mismo gasto, manteniendola pendiente y la forma de la sección calculada anteriormente?

28. Un canal debe transportar 6 m3/s. La inclinación de las paredes es de 60° con la horizontal.Determinar las dimensiones de la sección transversal con la condición de obtener máximaeficiencia hidráulica. La pendiente del fondo es 0,003 y el coeficiente de Kutter es 0,025. Si sereviste el canal con concreto frotachado ¿Cuáles serían las nuevas dimensiones de la sección?

29. Un canal trapecial debe transportar 12,5 m3/s. El talud es 0,5. Determinar las dimensiones dela sección transversal de modo de obtener máxima eficiencia hidráulica. La pendiente es0,0015. El coeficiente C de Chezy es 55 m1/2/s.

30. Se trata de diseñar un canal para 8 m 3/s que debe ser construido en media ladera (inclinaciónmedia 30°). El ancho en el fondo es de 4 m. La pendiente del canal debe ser 0,00025 y elcoeficiente de rugosidad de Kutter 0,025. El talud será de 45°. El borde libre se obtendrá dela Figura 6.4. Se pregunta si, desde el punto de vista del costo de excavación, habría resultadomás económico un canal de máxima eficiencia hidráulica.

31. Determinar el talud que debe tener un canal triangular para que sea de máxima eficienciahidráulica.

32. A igualdad de pendiente y calidad de paredes ¿En cuál de los siguientes diseños se obtendráuna mayor velocidad de flujo para el escurrimiento de un mismo gasto?a) Usando un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulicab) Usando un canal triangular da máxima eficiencia hidráulica

321


33. Un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 3,80 m tiene un talud igual a 0,75. La pendientees 1 por 1 000. Si el canal estuviera completamente revestido de albañilería de piedra, entoncespara un gasto de 45 m3/s el tirante sería 3,06 m. Si el mismo canal estuviera revestido conconcreto frotachado se tendría para un gasto de 40 m3/s un tirante de 2,60 m.a) ¿Cuál será el gasto, si el fondo fuese de concreto y las paredes de albañilería de piedra,

siendo el tirante de 3,0 m?b) ¿Cuál será el gasto si el fondo fuese de albañilería y las paredes de concreto, para un tirante de

3 m?

34. Hallar las dimensiones que debe tener un canal trapecial en máxima eficiencia hidráulicapara llevar un gasto de 70 m3/s. La pendiente es de 0,0008 y el talud es de 1,5. El fondo es deconcreto frotachado y los taludes están formados de albañilería de piedra bien terminados.

35. Un canal trapecial transporta 12 m3/s y posee un talud de 60°. El ancho en el fondo es de3 m y el tirante de 1,5 m. Si se necesita transportar 20 m3/s, se desea saber ¿Cuántos metroshabría que profundizar la base del canal manteniendo el talud? Considerar para el concretoantiguo que el coeficiente de Kutter es 0,018 y para el nuevo revestimiento es 0,014. ¿Quédimensión tendría la nueva base del canal?

36. Calcular el radio hidráulico de una sección triangular, a partir de la ecuación 6-29.

37. Hallar las expresiones correspondientes al área, perímetro mojado, radio hidráulico, anchosuperficial, tirante hidráulico y factor hidráulico para un canal circular parcialmente lleno en elque el tirante es el 60 % del diámetro. Hallar también el ángulo en el centro. Hallar luego lasexpresiones correspondientes al gasto y velocidad máximos, para n igual constante y paran igual variable.Como aplicación, calcular todos los valores para D = 16’’, S = 0,001 y n = 0,014. ¿Cuáles el máximo gasto que podría haber en esta tubería y cuál es la máxima velocidad que puedepresentarse?

38. Hallar cual es la relación Dy que corresponde a un ángulo de 240° en una tubería circularparcialmente llena.

39. Determinar el diámetro mínimo de un colector de desagüe para conducir cada uno de losgastos siguientes: 160, 200 y 250 l/s. La velocidad no debe ser menor de 0,60 m/s ¿Cuál es eltirante correspondiente a cada diámetro? La cota del colector en el punto inicial es 100 m yen el punto final es 99,85. La longitud es de 200 m. El coeficiente n de Kutter es 0,014.Dibujar la curva de variación entre Q y D .

40. Determinar el diámetro que debe tener un túnel de sección circular ( n = 0,030) para conducir

322


b/2

b/2

b

un gasto de 20 m3/s de modo que sea la mínima sección posible. La pendiente es 0,0008.Calcular también el tirante y velocidad respectivos.

41. Calcular la pendiente mínima con la cual se podrá tender un conducto circular para queconduzca un gasto de 500 l/s. El diámetro debe ser de 36’’ y a fin de evitar sedimentaciones lavelocidad debe ser superior a 0,60 m/s ( n = 0,014). Determinar también con que tirante seproducirá el escurrimiento.

42. Un conducto oval está formado por arcos circulares. La parte superior es un semicírculo deradio r . El área y el perímetro mojado de la sección debajo del diámetro horizontal delsemicírculo son 3 2r y 4,82 r , respectivamente. Demostrar que la máxima descarga sepresenta cuando la superficie libre subtiende un ángulo de 305° en el centro de curvatura delsemicírculo (usar la ecuación de Chezy).

43. La porción superior de la sección transversal de un canal es un semicírculo de radio r . Laporción inferior es una semielipse de ancho 2 r , profundidad 2 r y perímetro 4,847 r , cuyoeje menor coincide con el diámetro horizontal del semicírculo. El canal debe llevar 15 m3/strabajando a 3/4 ( Dy = 0,75). La pendiente es 1 en 1 000, n = 0,014. Hallar las dimensionesde la sección y el tirante que daría un gasto máximo.

44. Un acueducto tiene la forma que se muestraen la figura

S = 0,0005

Q = 800 l/s

n = 0,012

Calcular el tirante, la velocidad mediacorrespondiente y determinar cual sería eltirante para las condiciones de gasto máximoy de velocidad máxima.

45. Se tiene un conducto de la forma siguiente

maxQ = 100 l/s

S = 0,2%

n = 0,013

Calcular el valor del ancho b , el tirante y lavelocidad media.

1,5 m

0,3 m

0,3 m

1,5 m

formulas del c capitulo 5.pdf

Documents