Vademecum de frmulas de mquinas elctricas Imprimir Vademecum de frmulas de mquinas elctricas Redaccin SicaNews [ newsletter@sicaelec.com ] Vademecum de frmulas de mquinas elctricas Resumen: Enesteartculosepublicanyexplicanunvariadocompendiodefrmulasdeaplicacin para los distintos tipos de mquinas elctricas estticasy rotativas, de corriente continuay de corriente alterna. Desarrollo: En algunas de las frmulas siguientes se emplea la fuente symbol para su notacin. Si los smbolos de las letras 'alfa beta delta' no aparecen as: [o | o], entonces deber instalarse la fuente citada para una lectura adecuada. - Notacin B E f G I j k m N n P pp susceptancia tensin inducida frecuencia conductancia corriente operador j coeficiente nmero de fases nmero de espiras veloc. de rotacin potencia pares de polos [Siemens, S] [Volt, V] [Hertz, Hz] [Siemens, S] [Ampere, A] [1Z90] [adimens.] [adimens.] [adimens.] [rev/min, RPM] [Watt, W] [adimens.] R S s T V X Y Z u q e resistencia potencia aparente resbalamiento cupla tensin en bornes reactancia admitancia impedancia flujo magntico rendimiento velocidad angular [Ohm, O] [Volt-Ampere, VA] [adimens. por unid.] [Newton-metro, Nm] [Volt, V] [Ohm, O] [Siemens, S] [Ohm, O] [Weber, Wb] [adimens. por unid.] [rad/seg] 1 - Transformadores Enuntransformadoridealdedosarrollamientos,conunatensinprimariade fase V1 aplicada en un bobinado de N1 espiras por el que circula una corriente I1 de fase, y conunatensinsecundariadefase V2 inducidaenunbobinadode N2 espirasporelque circula una corriente I2 de fase, se cumplen las siguientes relaciones aproximadas: V1 / V2 = N1 / N2 = a I1 / I2 = N2 / N1 = 1 / a Donde a es la relacin de transformacin. Laimpedancia Z21 referidaalladoprimario,equivalentealaimpedancia Z2 enellado secundario, es: Z21 = Z2 . (N1 / N2)2 = Z2 . a2 Laimpedancia Z12 referidaalladosecundario,equivalentealaimpedancia Z1 enellado primario, es: Z12 = Z1 . (N2 / N1)2 = Z1 / a2 La potencia aparente S para un transformador monofsico vale: S = V1 . I1 = S1 = V2 . I2 = S2 Para un transformador equilibrado de m fases: S = m . V1 . I1 = S1 = m . V 2 . I2 = S2 La regulacin de tensin A V2 de un transformador es la variacin de la tensin secundaria queocurrecuandosedesconectalacarganominaldelsecundario,estandoaplicadala tensin nominal en el primario. Enuntransformadorconunatensinsecundariadevaco E2 yunatensinacarga nominal V2, la regulacin de tensin por unidad A V2pu resulta: A V2pu = (E2 - V2) / V2 Cabe sealar que la tensin base por unidad generalmente es V 2, no E 2. - Ensayo de vaco Siuntransformadorconelsecundariosincargasealimentaconsutensinnominal aplicadaalprimario,entonceslapotenciaqueabsorbedelaredrepresentaelvalordelas prdidas en el hierro del transformador. Losvaloresporfaseequivalenteestrellacorrespondientesalaadmitanciaparalelode magnetizacinYm ysuscomponentes,laconductancia Gm ylasusceptancia Bm, deun transformadorequilibradode m fases,puedencalcularseapartirdelosresultadosdel ensayodevacodadosporlapotenciadeentradadevaco Poc,lacorrienteprimariapor fase I1oc y la tensin primaria por fase V1oc: Ym = I1oc / V1oc Gm = Poc / m V1oc2 Bm = (Ym2- Gm2 ) - Ensayo de cortocircuito Si un transformador con el secundario en cortocircuito se alimenta con una tensin reducida aplicadaalprimario,talquehagacircularlacorrientesecundarianominalatravsdel cortocircuito, entonces la potencia que absorbe de la red representa el valor de las prdidas en el cobre del transformador. Losvaloresporfaseequivalenteestrellareferidaalprimariocorrespondientesa laimpedanciaserietotalZs1 ysuscomponentes,laresistencia Rs1 yla reactancia Xs1, deuntransformadorequilibradode m fases,puedencalcularsea partirdelosresultadosdelensayodecortocircuitodadosporlapotenciade entradadecortocircuito Psc,lacorrienteprimariaporfase I1sc ylatensin primaria por fase V1sc: Zs1 = V1sc / I1sc = Z1 + Z2 . (N1 / N2)2 = Z1 + Z2 . a2 Rs1 = Psc / m I1sc2 = R1 + R2 . (N1 / N2)2 = R1 + R2 . a2 Xs1 = (Zs12- Rs12 ) = X1 + X2 . (N1 / N2)2 = X1 + X2 . a2 Cabe sealar que Z1, R1 y X1 corresponden al primario y Z2, R2 y X2 al secundario. - Ensayo de resistencia de los arrollamientos Sisemidelaresistenciadecadaarrollamientodeltransformadorutilizandounatensin contnua Vdcquehacecircularunacorriente Idc,entonceslaresistenciacorrespondiente vale: R = Vdc / Idc Cabesealarquesielarrollamientoestconectadoentringuloylaresistenciaentredos fases valeRtriang, entonces la resistencia por fase equivalente estrella Restr vale: Restr = Rtriang / 3 Conlosvaloresdelaresistenciaprimaria R1 ysecundaria R2 referidasalatemperaturade trabajodelosarrollamientos,puedensepararselosvaloresdelasprdidasenelcobre primarias P1Cu y secundarias P2Cu por medio de: P1Cu = I12 . R1 P2Cu = I22 . R2 Estos valores de resistencia primaria R1 y secundaria R2 pueden utilizarse para verificar la resistencia Rs1 del ensayo de cortocircuito: Rs1 = R1 + R2 . (N1 / N2)2 = R1 + R2 . a2 - Autotransformadores Enunautotransformadorideal,conunatensinprimariadefase V1 aplicadaenun bobinadode N1+ N2 espirasporelquecirculaunacorriente I1 defase,yconunatensin secundariadefase V2inducidaenunbobinadode N2 espirasporelquecirculauna corriente I2 de fase, se cumplen las siguientes relaciones aproximadas: V1 / V2 = (N1 + N2) / N2 = a I1 / I2 = N2 / (N1 + N2) = V2 / V1 = 1 / a Ntese que la corriente en la seccin de N1 espiras es I1 mientras que a travs del bobinado deN2 espiras circula una corriente (I2 - I1). - Transformadores de tensin En un transformador de tensin ideal, de potencia aparente nominal S y tensin secundaria nominalVS,lamximacorrientesecundaria ISmax ylamximaconductanciasecundariade carga GBmaxresultan: ISmax = S / VS GBmax = ISmax / VS = S / VS2 - Transformadores de intensidad Enuntransformadordeintensidadde medicin ideal,depotenciaaparentenominal S y corrientesecundarianominal IS,lamximatensinsecundaria VSmax ylamxima impedancia secundaria de carga ZBmax valen: VSmax = S / IS ZBmax = VSmax / IS = S / IS2 Enuntransformadordeintensidadde proteccin ideal,depotenciaaparentenominal S, corrientesecundarianominal IS yfactordelmitedeexactitudnominal F,latensinde referencia secundariaVSF y la mxima impedancia secundaria de carga ZBmax valen: VSF = S F / IS ZBmax = VSF / IS F = S / IS2 - Sistema por unidad en transformadores Enpresenciadetransformadoressetrabajacondistintosvaloresbasedetensiones, corrienteseimpedanciasenambosladosdelmismo.Aceptandoquelapotenciaaparente nominal secundaria (subndice 2) es igual a la del primario (subndice 1) resulta: S1 =\3E1lin I1lin = S2 = \3 E2lin I2lin= S Convirtiendo a valores base por fase estrella: 3E1baseI1base = Sbase = 3E2baseI2base E1base / E2base = I2base / I1base Z1base / Z2base = (E1base / E2base)2 La impedancia Z21 referida al lado primario, equivalente a la impedancia Z2 en el lado secundario, es: Z21 = Z2(E1base / E2base)2 = Z2(Z1base / Z2base) Por lo tanto: Z21/ Z1base = Z2/ Z2base Z21pu = Z2pu La impedancia Z12 referida al lado secundario, equivalente a la impedancia Z1 en el lado primario, es: Z12 = Z1(E2base / E1base)2 = Z1(Z2base / Z1base) Por lo tanto: Z12/ Z2base = Z1/ Z1base Z12pu = Z1pu Porsuparte,siporejemplotrabajamosdelladoprimario,latensindecortocircuitopor unidadV1CCpu se relaciona con la impedancia de cortocircuito por unidad Z1CCpu mediante: V1CCpu= V1CC / E1base = I1base Z1CC / E1base = Z1CCpu 2 - Mquinas asincrnicas La expresin que da el valor de la velocidad angular e de una mquina asincrnica es: e =(1 - s) . e s Con: e s =2 t f / pp =2 t ns [RPM] / 60 Donde s representa el resbalamiento por unidad, e s la velocidad angular sincrnica, ns [RPM] lasRPMsincrnicas, f lafrecuenciaderedy pp elnmerodeparesde polos de la mquina asincrnica. Porotrolado,elvalordelavelocidad n[RPM]deunamquinaasincrnicaen RPM es: n[RPM]=(1 - s) . ns [RPM] Como ns [RPM] =60 f / pp n[RPM]=(1 - s) 60 f / pp El resbalamiento por unidad resulta: s =(ns [RPM]- n[RPM]) / ns [RPM] s =(e s - e ) / e s -Conresbalamientonegativo(velocidadmayorquelasincrnica)lamquinaasincrnica es un generador. -Conresbalamientopositivoentre0y1(velocidadmenorquelasincrnica)lamquina asincrnica es un motor. -Conresbalamientopositivomayorque1(velocidadnegativa)lamquinaasincrnicaes un freno. En todos los casos la corriente magnetizante es provista por la red de energa elctrica. La cupla T para la potencia entregada P vale: T = P / e= 60 P / 2 t n [RPM] Enunamquinaasincrnicacon Ns espirasefectivasporfaseenelestatory Nr espiras efectivas por fase en el rotor, que gira con un resbalamiento s, alimentada con una tensin estatrica Es de frecuencia f s, la tensin inducida en el rotor Er y su frecuencia fr valen: Er = s Es (Nr / Ns) fr = s fs Para una corriente rotrica Ir, la corriente equivalente estatrica Irs vale: Irs = Ir ( Nr / Ns) En una mquina asincrnica con una resistencia Rr en el rotor y una reactancia inductiva a rotor bloqueado Xr, la impedancia rotrica Zr a resbalamiento s vale: Zr = Rr + jsXr Laimpedanciaequivalentereducidaalestator Zrf paraunarelacinde frecuencias entre rotor y estator svale: Zrf = Rrs / s + jXrs = Rrs+ jXrs + [ Rrs (1 - s)/ s ]

Enunamquinaasincrnicaquegiraconvelocidadangular e yresbalamiento s,la transferenciadepotenciaenelentrehierro Pt ,lasprdidasenelcobredelrotor Pr,la potenciadesalida P bruta(sindescontarprdidasmecnicas)ylacupladesalida T bruta valen: Pt = esT = Pr / s = P / (1 - s) Pr = s Pt = s P / (1 - s) P = eT = (1 - s)Pt El rendimiento por unidad q de una mquina elctrica en general con una potencia de entrada Pent, una potencia de salida Psal y una potencia de prdidas Pper vale: q = Psal / Pent = Psal / (Psal + Pper) = (Pent - Pper) / Pent El rendimiento bruto de una mquina asincrnica es:

q = P / Pt = 1 - s - Ensayo de vaco Siunamquinaasincrnicaconelrotorsincargasealimentaconsutensinnominal aplicada al estator, entonces la potencia que absorbe de la red representa la suma del valor de las prdidas en el hierro y mecnicas de la mquina. - Ensayo de rotor bloqueado Siunamquinaasincrnicaconelrotorbloqueadosealimentaconunatensinreducida aplicada al estator, tal que haga circular la corriente primaria nominal, entonces la potencia que absorbe de la red representa la suma del valor de las prdidas en el cobre y parsitas de la mquina. - Ensayo de resistencia del estator Se mide la resistencia del arrollamiento del estator utilizando una tensin contnua Vdc que hace circular una corriente Idc, entonces la resistencia correspondiente vale: R = Vdc / Idc 3 - Mquinas sincrnicas Laexpresionesquedanelvalordelavelocidadangularsincrnica e s,lasRPM sincrnicas ns[RPM],deunamquinasincrnicade pp elnmerodeparesdepolos alimentada a la frecuencia de red f son: e s =2 t f / pp =2 t ns [RPM] / 60 ns [RPM] =60 f / pp Donde e s representalavelocidadangularsincrnica, ns[RPM] lasRPM sincrnicas, f lafrecuenciaderedy pp elnmerodeparesdepolosdela mquina asincrnica. La cupla T para la potencia entregada P vale: T = P / e s= 60 P / 2 t ns [RPM] En un generador sincrnico con una tensin inducida estatrica Es, corriente estatrica I s e impedancia sincrnica Zs, su tensin en bornes V vale: V = Es - IsZs = Es - Is(Rs + jXs) Donde Rs es la resistencia estatrica y Xs es la reactancia sincrnica. Porotrolado,enun motor sincrnicoconunatensininducidaestatrica Es,corriente estatrica Is e impedancia sincrnica Zs, su tensin en bornes V vale: V = Es + IsZs = Es + Is(Rs + jXs) Siendo Rs es la resistencia estatrica y Xs es la reactancia sincrnica. Ntesequeelcampodeexcitacindeunamquinasincrnicapuestaenparaleloconuna reddepotenciainfinitadeterminasufactordepotencia.Unamquinasubexcitadaopera conunfactordepotenciaenadelantoyunamquinasobrexcitadafuncionaconunfactor de potencia en retraso. El campo de excitacin de una mquina sincrnica aislada determina su tensin de salida. 4 - Mquinas de corriente continua Enun generadorderivacin conunatensindeinducido Ea,corrientedeinducido Ia y resistencia de inducido Ra, su tensin en bornes V vale: V = Ea - IaRa La corriente de campo If para una resistencia de campo Rf es: If = V / Rf La tensin de inducido Ea y la cupla T, para un flujo magntico u y una velocidad angular e valen: Ea = kf ue = kme T = kf uIa = kmIa Donde kf y km son coeficientes de diseo de la mquina. Ntese que para el generador derivacin la tensin inducida es proporcional a la velocidad y la cupla es proporcional a la corriente de inducido. La transferencia de potencia en el entrehierro Pe de un generador derivacin resulta: Pe = eT = EaIa = kme Ia Enun motorderivacin conunatensindeinducido Ea,corrientedeinducido Ia y resistencia de inducido Ra, su tensin en bornes V vale: V = Ea + IaRa La corriente de campo If para una resistencia de campo Rf es: If = V / Rf La tensin de inducido Ea y la cupla T, para un flujo magntico u y una velocidad angular e valen: Ea = kf ue = kme T = kf uIa = kmIa Donde kf y km son coeficientes de diseo de la mquina. Ntese que para el motor derivacin la tensin inducida es proporcional a la velocidad y la cupla es proporcional a la corriente de inducido. La transferencia de potencia en el entrehierro Pe de un motor derivacin resulta: Pe = eT = EaIa = kme Ia Enun motorserie conunatensindeinducido Ea,corrientedeinducido Ia ,resistenciade inducidoRa y resistencia de campo Rf,su tensin en bornes V vale: V = Ea + IaRa + IaR f = Ea + Ia(Ra + R f) En este motor, la corriente de campo If es igual a la corriente de inducido Ia. La tensin de inducido Ea y la cupla T, para un flujo magntico u y una velocidad angular e valen: Ea = kf ue Ia = kme Ia T = kf uIa2 = kmIa2 Donde kf y km son coeficientes de diseo de la mquina. Ntese que para el motor serie la tensin inducida es proporcional a la velocidad y a la corriente de inducido. Por su parte, la cupla es proporcional al cuadrado de la corriente de inducido. Adems la corriente de armadura es inversamente proporcional a la velocidad a tensin de inducido constante. La transferencia de potencia en el entrehierro Pe de un motor serie resulta: Pe = eT = EaIa = kme Ia2 5 - Rendimiento El rendimiento por unidad q de una mquina elctrica con una potencia de entrada Pent, una potencia de salida Psal y una potencia de prdidas Pper vale: q = Psal / Pent = Psal / (Psal + Pper) = (Pent - Pper) / Pent Pent = Psal + Pper= Psal / q = Pper / (1 - q) Psal = Pent - Pper= Pent . q = Pper . q / (1 - q) Pper = Pent - Psal= Pent . (1 - q) = Psal . (1 - q) / q Deestasfrmulaspuedendeducirseunagranvariedaddeecuaciones,enfuncindelas aplicaciones prcticas y de las unidades a utilizar. Por ejemplo, la potencia elctrica Pent en W que toma un motor con rendimiento porcentual q|%]y que entrega una potencia mecnica Pm [HP] en HP, vale: Pent = Psal / q= Pm [HP] . 745,7 . 100 / q|%]