FORMULAS DE FRENET-SERRET Y EL VECTOR TORSION

El triedro de Frenet es una referencia ortonormal para todo punto en una curva

parametrizada por longitud de arco. En geometría diferencial se consideran

definiciones más generales, sin embargo intuitivamente, en R3, se puede pensar

al triedro de Frenet simplemente como un "carrito" de vectores ortonormales que

se desplazan a lo largo de una curva. Aquí utilizaré la notación T,N,B para

referirme al vector tangente, normal y binormal unitarios.

Las fórmulas de Frenet-Serret describen este triedro empleando precisamente el

cambio de éste respecto al arco de la curva (o la parametrización elegida), y

además de ello ayudan a definir efectiva e intuitivamente el concepto de curvatura

y torsión.

Aquí comparto una demostración de las fórmulas de Frenet-Serret para el caso

particular en R3, donde se lee:

Sea α:I→R3 una curva regular de clase C3, parametrizada por longitud de arco,

entonces:

T˙N˙B˙=κN=τB−κT=−τN(1)(2)(3)

donde κ,τ (escalares) son la curvatura y la torsión respectivamente. Empleo la

notación x˙ como la derivada de x respecto al parámetro longitud de arco,

esperando no incomode al lector.

He aquí una demostración de estas relaciones:

• Tómese en cuenta que, por ser ortonormales, y de modo que sean un sistema de

mano derecha (sólo es necesario definir una de estas relaciones, usualmente 6 y

las otras dos se siguen de ahí usando producto cruz;

naturalmente T≡α˙∥α˙∥ y N=T˙∥T˙∥ ya están definidos), T,N,B satisfacen

T=N×BN=B×TB=T×N(4)(5)(6)

• Primero, por definición

N=T˙∥T˙∥=T˙κ T˙=κN(7)⟹

• Véase ahora que N N=1, entonces⋅  N N˙=0, asi que⋅  N˙ es paralelo al plano

definido por B,T y puede ser escrito como una combinación lineal de B y T, i.e.

N˙=λ1B+λ2T(8)

Así entonces, al derivar B de la definición (6),

B˙=T˙×N+T×N˙=κN×N+T×(λ1B+λ2T)=λ1(T×B)=−λ1N(9)

y con esto también, al derivar N de la definición (5),

N˙=B˙×T+B×T˙=−λ1N×T+B×κN=λ1B−κT(10)

por tanto en la combinación lineal propuesta se identifica,

λ1=τλ2=−κ(11)

con lo que se obtienen finalmente las ecuaciones (1,2,3).

• Finalmente también se encuentra, a partir de B˙=−τN, que

τ=−N B˙(12)⋅

• A menudo la gente expresa las ecuaciones de Frenet-Serret en forma matricial

T˙N˙B˙ = 0−κ0κ0−τ0τ0 TNB (13)⎛⎝⎜⎜ ⎞⎠⎟⎟ ⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟⎛⎝⎜ ⎞⎠⎟

que resulta interesante al estar formada por una matriz antisimétrica.

FORMULAS

Cada uno de estos vectores satisface lo siguiente

               (2)

puesto que

Por otro lado, cada uno de estos vectores en (1) deben ser combinación lineal

de la base (base que a menudo se llama triedro de Frenet), esto es

                           (3)

A partir de estas hipótesis vamos a probar las llamadas fórmulas de Frenet, que

son las siguientes

                         (4)

donde los valores k y t son funciones del parámetro s.

Veamos la demostración de las fórmulas en (4), que no es nada más que

encontrar los valores de aij del sistema de ecuaciones en (3).

Sabemos que

es decir 

lo que se deduce, observando la primera ecuación de (3), que a11 = a13 = 0, y

además

A  este coeficiente le llamaremos coeficiente de curvatura o

simplemente curvatura. De tal modo que

Ahora vamos a demostrar las dos últimas fórmulas de (4). 

Multipliquemos por el producto punto las dos últimas ecuaciones de (4) por el

vector normal y binormal, respectivamente. Obtenemos que

de modo que a22 = a33 = 0. Ahora derivemos respecto de s la igualdad

y obtenemos

Al coeficiente a23 le llamaremos coeficiente de torsión y lo denotaremos

por a23 = t( s ), y de paso, en virtud de la tercera ecuación en (3), hemos

encontrado que a31 = 0 y a32 = - a23 = -t( s ). Con esto hemos demostrado la

tercera fórmula de Frenet. 

Notemos que solo nos falta determinar el coeficiente a21. Vamos a derivar

respecto de s la igualdad

entonces

Por lo tanto a21 = - k( s ). De tal modo que, en virtud de la segunda ecuación de

(3), nos queda que

y con esto hemos demostrado la segunda fórmula de Frenet.

EJEMPLOS FISICOS

http://ciclolimite.blogspot.mx/2012/02/frenet-serret-y-el-triedro-movil.html

http://www.uantof.cl/facultades/csbasicas/Matematicas/academicos/emartinez/calculo3/frenet/frenet.html