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Bases Matemáticas

Potencias y radicales Expresiones algebraicas

Ecuación Cuadrática o de segundo orden (caso parábolas)

Completar cuadrados

Mat. Osman Villanueva García – [email protected] 1 de 11

a±b 2=a2±2abb2

a±b 3=a3±3a2b3ab2±b3

abn=ann1an−1b

nn−12

an−2b2nn−1n−2

1⋅2⋅3an−3b3

⋯bn

abc 2=a22ab2acb2

2bcc2

a−bc 2=a2−2ab2acb2−2bcc2

a2−b2

=aba−b a3b3=aba2−abb2

a3−b3

=a−ba2abb2

an−bn=a−ban−1an−2ban−3b2

⋯abn−2bn−1

a⋅xn=b⋅xn=a±bxn

xm⋅xn=xmn

xm

xn=xm−n

x−n=1xn

xn

yn= xy

n

xm n=xnm=xmn

a⋅nx=b⋅

nx=a±b

nx

nx⋅y=nx⋅n ynxn y

=n xy= xy

1n

nxm=nx m=x

mn

n−x=i

nx

Forma General : Ax2BxC=0

Raíces o soluciones : x1 ,x2=−B±B2

−4AC2A

Forma Normal : x2pxq=0

Raíces o soluciones : x1 ,x2=−p2± p

2

4−q

p=−x1x2 ; q=x1⋅x2

Forma para graficar : y=ax±h2±kSu gráfica es una parábola con:vértice en el punto V −h,k ;

Si a0, abre hacia arriba ; con a0 abre hacia abajoSi h0, se desplaza h unidades hacia la izquierda ;Si h0, se desplaza h unidades hacia la derecha ;Si k0, se desplaza k unidades hacia arriba ;Si k0, se desplaza k unidades hacia abajo ;

y=Ax2BxC

=Ax2BAxC

Truco: Sumar y restar 'un cero'

=Ax2BAx B2A

2

− B2A 2

CDe trinomio a binomio

=Ax B2A

2

− B2

4A CPor lo tanto:

y=a x±h 2±k

mailto:[email protected]

Funciones

Definición: Se llama función “f” a una relación del conjunto X al conjunto Y que asigna a cada elemento “x” de X un único elemento “y” del conjunto Y.

El elemento “y” del conjunto Y es el valor de f en “x” y se denota por f(x) (se lee “f de x”). El conjunto X es llamado DOMINIO de la función. Si x está en el dominio, decimos que f está bien definida en x , o que f(x) existe. La terminología f es no definida en x significa que “x” no pertenece al dominio de f.

El rango o imagen de la función f es el subconjunto de Y que consiste de todos los posibles valores f(x) para “x” en el conjunto X.

Exponenciales y logaritmos

El logaritmo en la base “b” de un número “x” es el exponente “y” al que hay que elevar la base para obtener dicho número (x).

Si b=10, logaritmo base 10 o común (log). Si b=2, logaritmo binario (lb) y si b=e, logaritmo natural (ln).La base de los logaritmos naturales: e=2.71828183...

Propiedades del logaritmo (en base cualquiera)


X Y

w

z xf(w)

f(z)f(x)

f

log1=0 ; loga a=1logx⋅y =logx logy

log xy =logx−logy

log x n=n log x

lognx=

1n

logx

cambio de base:

logbx =logax⋅logba=logax

logab

Cualquier exponencial se escribe:ax=ex ln a

Cualquier logaritmo se escribe:

logax =lnx ln a

Transformación de logaritmos :log10 x =log10 e⋅ln x =0.434294⋅ln x

ln x =log10x

log10e=2.302585⋅log10 x

Exponencial : y=bx , b0, b≠1,x∈ℝ. Dominio : −∞ ,∞. Imagen : 0,∞

Logaritmo : y=logb x, {b, x }∈ℝ. , b≠1. Dominio: 0 ,∞ . Imagen : −∞ ,∞

Formas equivalentes: y=logb x ⇔ x=b y


Trigonometría

La medida en radianes de un ángulo es la razón entre la longitud s y el radio r de un arco de círculo correspondiente:

rad=sr

. De donde rad=180o .

Funciones trigonométricas

Función Definición

Dominio Imagen Amplitud Período

f(x) = sen()sen =

yr

ℝ[-1,1]

1

2

f(x) = cos( )cos =

xr

ℝ [-1,1]

1

2

f(x) = tan( )tan =

yx ℝ∖[2k1

2∣k∈ℤ]

ℝ Indefinida

f(x) = csc( )csc =

ry

ℝ∖[k∣k∈ℤ](-∞, -1] ∪ [1, ∞) Indefinida 2

f(x) = sec( )sec =

rx ℝ∖[2k1

2∣k∈ℤ]

(-∞, -1] ∪ [1, ∞) Indefinida 2

f(x) = cot( )cot =

xy

ℝ∖[k∣k∈ℤ] ℝIndefinida


0

ry

x X

Y

Funciones de sumas y diferencias de ángulossenx±y =senx⋅cos y ±cos x ⋅seny cosx±y =cos x ⋅cos y ∓senx ⋅seny

tanx±y =tan x ±tan y

1∓tan x ⋅tany

cot x±y =cot x ⋅cot y ∓1cot y ±cotx

Relaciones fundamentalessen2x cos2x =1

1tan2x =

1cos2x

=sec2x

tanx⋅cot x =1

1cot2x=1

sen2x


Período: Una función f es periódica, si existe un número real positivo k tal que f(x+k)=f(x), para toda x en el dominio de f. El entero más pequeño k, si existe, se denomina periodo de f.Sea f(x) = sen(x) o f(x) = cos(x) curva básica.

Tipo de función Condición Período Gráfica

f(x) = sen(Bx) f(x) = cos(Bx)

Bk=2 k = 2/B Si 0<B<1 la curva básica se alarga.Si B>1 la curva básica se comprime

f(x) = Asen(Bx+C) f(x) = Acos(Bx+C)

|A|=amplitud k = 2/B Las gráficas de las funciones corresponden a las gráficas de la forma: f(x) = sen(Bx) o f(x) = cos(Bx), pero se desplazan C/B unidades a la derecha (Si C/B<0) o a la izquierda (Si C/B<0).

f(x) = Atan(Bx+C) f(x) = Acot(Bx+C)

|A|=amplitud k = /B Las gráficas de las funciones corresponden a las gráficas de la forma: f(x) = tan(Bx) o f(x) = cot(Bx), pero se desplazan C/B unidades a la derecha (Si C/B<0) o a la izquierda (Si C/B<0).

Valores básicos:

x 0 /6 /4 /3 /2

sen (x) 0 12

22

32

1 0

cos (x) 1 32

22

12

0 -1

tan (x) 0 1

31 3 indefinido 0

Funciones Trigonométricas inversas

Función Dominio Imagen

f(x) = sen-1() [-1,1] [-/2, /2]

f(x) = cos-1( ) [-1,1] [0, ]

f(x) = tan-1( )ℝ

(-/2, /2)

f(x) = csc-1( ) (-∞, -1] ∪ [1, ∞) [-/2, 0) ∪ (0, /2]

f(x) = sec-1( ) (-∞, -1] ∪ [1, ∞) [0, /2) ∪ (/2, ]

f(x) = cot-1( )ℝ

(0, )



Sea ∆ABC un triángulo oblicuángulo (ángulos no rectos) cualquiera.

Ley de senos: sen a

=senb

=senc

o bien: a

sen =

bsen

=c

senRequerimientos:a) Dos ángulos y cualquier lado.b) Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos.

Ley de cosenos:

a2=b2

c2−2bccos

b2=a2c2−2accosc2=a2

b2−2abcos

Requerimientos:a) Tres lados.b) Dos lados y un ángulo comprendido entre ellos.

Ley de tangentes: aba−b

=

tan

2

tan −

2

aca−c

=

tan

2

tan −

2

bcb−c

=

tan

2

tan −

2

Requerimientos:a) Un lado y dos ángulos, uno opuesto y el otro adyacentes a dicho lado.

Geometría Analítica

La gráfica de la ecuación Ax2BxyCy2

DxEyF=0 es una cónica o una cónica degenerada. Si la gráfica es una cónica, entonces es:a) Parábola si B2

−4AC=0.b) Elipse si B2

−4AC0.c) Hipérbola si B2

−4AC0.


A

B C

bc

a


Geometría AnalíticaRecta

Definición: Recta es toda línea tal que, si una parte cualquiera de ella se coloca de cualquier modo con sus extremos sobre otra parte cualquiera, las dos partes coinciden en todos sus puntos.

Un punto P(x,y) está en la recta si y sólo si satisface cualquiera de las siguientes ecuaciones AxByC=0 o y=mxb , donde A, B y C son números reales en la primera ecuación y, de la

segunda, m es la pendiente (inclinación) de la recta y b es la ordenada al origen (punto donde corta la recta al eje “y”).

La pendiente o inclinación es; m=mov. verticalesmov. horizontales

=cat. opuestocat. adyacente

=y2−y1

x2−x1

=tan

Ecuaciones lineales (rectas)

Forma Ecuación Dos rectas perpendiculares

m1m2=−1

general AxByC=0 dos rectas paralelas m1=m2

pendiente-ordenada

y=mxb Distancia entre dos puntos

dP ,Q=x2−x12y2−y1

2

punto-pendiente

y−y1=mx−x1 Punto medio entre dos puntos xm , ym = x1x2

2,y1y2

2 dos puntos y−y1

x−x1

=y2−y1

x2−x1

Ángulo entre dos

rectas, con

2tan =

m2−m1

1m2m1

analogíam=−

AB, b=−

CB

Distancia de P1(x1 ,y1) a la recta Ax+By+C d=

Ax1By1C

±A2B2


(0,b)

Rectay=mx+b

Eje y

Eje x

Cateto opuesto

Cateto adyacente

θ

m=tan θ

0

Rectas ⊥m

1 = -1/m

2

Eje y

Eje x

Rectax= k

k

h

Recta y= h


Circunferencia

Definición: Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos en el plano que equidistan de un punto fijo C llamado centro.

Un punto P(x,y) está en la circunferencia de un círculo si y sólo si d C ,P =r , donde r es un valor constante positivo llamado radio.

Ecuaciones del círculo

Centro Ecuación

(0, 0) x2y2

=r2

(h,k) x−h2y−k2=r 2

Desarrollando términos de la última ecuación y simplificando obtenemos una ecuación de la forma:

x2y2

DxEyF=0 ,

en donde los coeficientes D, E y F son números reales.

En términos de está última ecuación, el centro tiene coordenadas: C h,k=C −D2 ,−E2 . Y el radio

queda determinado por: r=D2E2

−4F2

=h2k2

−F .

Recta tangente T a la circunferencia en P1(x1, y1) es:

y=r2−x−hx1−h

y1−kk


(0,0)

r(h,k)

r

h

k

(h,k)

r

h

k

P1(x

1,y

1)

y 1

x1 Eje x

Eje yRecta tangente T en P

1


Parábola

Definición: Una parábola es el conjunto de todos los puntos en el plano que equidistan de un punto fijo F (foco) y una linea recta l (directriz) en el plano.

Un punto P en el plano está en la parábola si y sólo si dP ,F =d P ,Q , con Q un punto sobre l determinado por la linea desde P perpendicular a l.

Ecuaciones de la parábola

Vértice Abertura hacia Ecuación Foco Directriz

(0, 0) arriba o abajo x2= 4py F(0, p) y =−p

(0, 0) derecha o izquierda y2= 4px F(p, 0) x =−p

(h,k) arriba o abajo x−h2 = 4py−k F(h, k+p) y = k−p(h,k) derecha o izquierda y−k2 = 4px−h F(h+p, k) x = h−p

Recta tangente T a la parábola en P1(x1, y1)

y=2y1−kx−x1

x1−hy1

Desarrollando términos de la penúltima ecuación y simplificando obtenemos una ecuación de la forma:

y=Ax2BxC ,

en donde los coeficientes son números reales y A es distinta de cero.


P(x,y)

F(0,p)

Parábola x2=4py

Eje y

Eje x

Q(x,-c)

Directriz. “y=-c”

vértice

P(x,y)

F(h+p,k)

Parábola (y-k)2=4p(x-h)

Eje y

Eje x

Q(h

-p,y

)D

irec

triz

. “x

=h-

p”V(h,k)

h

k

P

F(h,k+p)

Parábola (x-h)2=4p(y-k)

Eje y

Eje x

Q

DirectrizV(h,k)

k

x1

h

y 1

Recta tangente T en P

1(x

1, y

1)

P1


Elipse

Definición: Una elipse es el conjunto de todos los puntos en el plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 , llamados focos, es constante.

Un punto P(x,y) en el plano está en la elipse si y sólo si d P ,F1dP ,F2=2a , donde 2a es la distancia entre los dos vértices (eje mayor). Además a > c (coordenada de los focos).

Ecuaciones de la elipse

Centro Eje mayor Ecuaciónpara a2 > b2

Focoscon c2= a2-b2

Vértices Puntos finalesEje menor

(0, 0) sobre el eje “x” x2

a2y2

b2=1±c ,0 ±a,0 0,±b

(0, 0) sobre el eje “y” x2

b2y2

a2=10,±c 0,±a ±b ,0

(h,k) paralelo al eje “x” x−h2

a2 y−k2

b2 =1h±c ,k h±a,k h ,k±b

(h,k) paralelo al eje “y” x−h2

b2 y−k2

a2 =1h ,k±c h ,k±a h±b,k

Desarrollando términos de la penúltima ecuación y simplificando obtenemos una ecuación de la forma:

Ax2Cy2

DxEyF=0 ,

en donde los coeficientes son números reales. A y C son reales positivos distintos.

La excentricidad “e” de una elipse es:

e=ca

.

Como la distancia focal es

c=a2−b2

a, entonces 0e1.El segmento perpendicular al eje focal que pasa por cada foco es el llamado “lado recto” = 2b2/a.

Recta tangente T a la elipse en P1(x1, y1)

y=−b2

a2⋅x1−hx−x1

y12−k

y1


P

Elipse (x-h)2 + (y-k)2 = 1 a2 b2

Eje y

Eje x

c

(h,k)

x1

h

y 1


1(x

1, y

1)

P

1k

F1

F2

b

2a


Hipérbola

Definición: Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos en el plano, tales que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 (focos) es una constante positiva.

Un punto P(x,y) en el plano está en la hipérbola si y sólo si cualquiera de las siguientes proposiciones es cierta:

dP ,F2−dP ,F1=2a o d P ,F1−dP ,F2=2a donde 2a es la distancia entre los dos vértices

(eje transversal), y además a < c (coordenada de los focos).

Ecuaciones de la hipérbola

Centro Eje transversal

Ecuaciónpara a2 > b2

Focoscon c2= a2+b2

Vértices Puntos finalesEje conjugado

RectasAsíntotas

(0, 0) sobre el eje “x”

x2

a2−y2

b2=1±c ,0 ±a,0 0,±b

y=±ba x(0, 0) sobre el eje

“y”x2

b2−y2

a2=10,±c 0,±a ±b ,0

y=±ab x(h,k) paralelo al

eje “x”x−h2

a2 −y−k2

b2 =1h±c ,k h±a ,k h ,k±b

y=k±bha x(h,k) paralelo al

eje “y”x−h2

b2 −y−k2

a2 =1h ,k±c h ,k±a h±b,k

y= k±ahb xDesarrollando términos de la penúltima ecuación y simplificando obtenemos una ecuación de la forma:

Ax2Cy2

DxEyF=0 ,

en donde los coeficientes son números reales. A y C son iguales con signos opuestos.

Distancia focal: c=a2b2 .

El segmento perpendicular al eje focal que pasa por cada foco es el llamado “lado recto” = 2b2/a.

Recta tangente T a la hipérbola en P1(x1, y1) es:

y=b2

a2⋅x1−hx−x1

y1−ky1


P

Hipérbola (x-h) 2 - (y-k) 2 = 1 a2 b2

Eje y

Eje xx1

h

y 1


1(x

1, y

1)

P1

k

F1

F2

b

2a

Lad

o re

cto

a F

1


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