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Facultad de Matemáticas

FORMULARIO NORMALIZADO OFERTA TRABAJOS FIN DE GRADO ENMATEMÁTICAS POR PARTE DE LOS DEPARTAMENTOS

Dpto.: Análisis Matemático

Profesor Tutor: Renato Alvarez Nodarse

Tema de trabajo ofertado: Una teoría unificada de las funciones especiales

Requisitos (opcional): Leer textos matemáticos en inglés. Conocimientos básicos deanálisis real y complejo y de álgebra lineal. Disposición a programar con un programade ordenador (maxima u octave).

Breve descripción del trabajo propuesto1: El objetivo de este trabajo es introducir alestudiante a la teoría de las funciones especiales utilizando el método unificadopropuesto por Nikiforov y Uvarov en los años 60 del siglo XX. En primer lugar, desdeel punto de vista teórico, el alumno deberá familiarizarse con el método de Nikiforov yUvarov de representación integral de las soluciones de una ecuación diferencial de tipohipergeométrico y, en segundo, tendrá que ser capaz de aplicarla a distintos tipos defunciones especiales, entre ellas las funciones de Bessel y los polinomios ortogonales.

En Sevilla, a 1 de octubre de 2018.

(Se ruega no firmar el documento, que será colgado en la web del Centro)

1 Extensión máxima permitida del formulario completo: una carilla.


FORMULARIO NORMALIZADO OFERTA TRABAJOS FIN DE GRADO DEL

GRADO EN MATEMÁTICAS POR PARTE DE LOS DEPARTAMENTOS

Dpto.: ....ANÁLISIS MATEMÁTICO................................................................................ Profesor Tutor:......LUIS BERNAL GONZÁLEZ.............................................................. Tema de trabajo ofertado:..FAMILIAS DE FUNCIONES SUAVES SINGULARES…..

Requisitos (opcional)1: Sería conveniente haber cursado la asignatura Análisis

Funcional………………………………………………………...

Breve descripción del trabajo propuesto2: Se propone el tema de construir funciones en un intervalo de la recta real que, siendo infinitas veces derivables en cada punto, no sean analíticas en ninguno. Se estudiará el tamaño topológico y algebraico de la familia de esta clase de funciones, así como el de la subfamilia de las así llamadas funciones singulares en el sentido de Pringsheim.

En Sevilla, a 8 de Octubre de 2018 .


1 Se recomienda al profesorado hacer un uso mínimo de la imposición de requisitos, ya que tras la asignación de alumnos a TFG con acuerdo previo con el tutor, el resto de alumnos serán distribuidos entre los TFG restantes disponibles intentando, en la medida de lo posible, cumplir con los requisitos exigidos en cada trabajo, caso de que los hubiere. 2 Extensión máxima permitida del formulario completo: una carilla.


FORMULARIO NORMALIZADO OFERTA TRABAJOS FIN DE GRADO EN

MATEMÁTICAS POR PARTE DE LOS DEPARTAMENTOS

Departamento:

Análisis Matemático Profesores Tutores:

María del Carmen Calderón Moreno José Antonio Prado Bassas

Tema de trabajo ofertado:

Modos de convergencia

Requisitos (opcional)1: Recomendable haber cursado (o estar cursando) las asignaturas Análisis Funcional y Análisis de Fourier

Breve descripción del trabajo propuesto2:

En este trabajo estudiaremos diferentes modos de convergencia de sucesiones de funciones, tanto las clásicas (convergencias puntual y uniforme) como aquéllas que proceden de Teoría de la Medida (convergencia casi uniforme, convergencia uniforme en casi todo, convergencia en medida, convergencia en norma L1

,…). Asimismo, estudiaremos los modos de convergencia que proceden del concepto de dualidad en espacios normados (convergencia débil y convergencia débil*).

Estudiaremos las relaciones que hay entre los distintos tipos de convergencia, demostrándolas o dando contraejemplos que las refuten.







Dpto.: ANÁLISIS MATEMÁTICO

Profesor Tutor: TOMÁS DOMÍNGUEZ BENAVIDES

Tema de trabajo ofertado: TEOREMA DE CAUCHY-PEANO EN ESPACIOS DE

BANACH DE DIMENSIÓN INFINITA.

Requisitos (opcional)1 Haber cursado la asignatura de Análisis Funcional de Tercero

del Grado en Matemáticas


Se repasará el Teorema de Cauchy-Peano, sobre existencia de solución de una ecuación

diferencial, en espacios de dimensión finita notando la importancia de la compacidad

local de Rn para su demostración. Se mostrarán contraejemplos a este teorema en

espacios de Banach de dimensión infinita y se verá como el teorema puede mantener su

validez si añadimos algunas hipótesis relacionadas con la compacidad.

Bibliografía:

1. A. Ambrosetti. Un teorema di esistenza per le equazione differenziali negli spazi

di Banach, Rend. Sem Mat. Padova 39 (1967), 349-361.

2. J. M. Ayerbe Toledano; T. Domínguez Benavides, G. López Acedo, Measures of

Noncompactness in Metric Fixed Theory, Springer Basel 1997.

3. C. Corduneanu. Equazione differenziali negli spazi de Banach. Teoremi di

esistenza e prolongabilita, Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Nat.

XXIII (1957), 226-230.

4. J. Dieudonné. Deux exemples singuliers d’équations différentielles, Acta Sci.

Math. Szeged 12, (1950). Leopoldo Fejér et Frederico Riesz LXX annos natis

dedicatus, Pars B, 38–40.

5. A. N. Godunov, Peano’s Theorem in Banach spaces, Funkcional. Anal. i

Priložen. 9 (1974), no. 1, 59–60.

En Sevilla, a 08 de Octubre de 20 18 .

(Se ruega no firmar el documento,

que será colgado en la web del Centro)

1 Se recomienda al profesorado hacer un uso mínimo de la imposición de requisitos, ya que tras la

asignación de alumnos a TFG con acuerdo previo con el tutor, el resto de alumnos serán distribuidos entre

los TFG restantes disponibles intentando, en la medida de lo posible, cumplir con los requisitos exigidos

en cada trabajo, caso de que los hubiere. 2 Extensión máxima permitida del formulario completo: una carilla.

Departamento de Análisis Matemático


MATEMATICAS POR PARTE DE LOS DEPARTAMENTOS

Departamento: Analisis Matematico

Profesor tutor: Jose Antonio Facenda Aguirre

Tema del trabajo ofertado: La desigualdad de Hardy: su historia y algunos resultados rela-cionados.

Requisitos (opcional)1: Es conveniente que el alumno haya cursado la asignatura optativaAnalisis Funcional.

Breve descripcion del trabajo propuesto2: La desigualdad discreta de Hardy afirma que sip > 1 y (ak) es una sucesion de numeros reales no negativos, entonces

∞∑n=1

(1

n

n∑k=1

ak

)p

≤(

p

p− 1

)p ∞∑n=1

apn;

mientras que la version continua nos dice que si p > 1 y f ≥ 0 es una funcion de potenciap-esima integrable en (0,+∞), entonces f es integrable en el intervalo (0, x), para todo x > 0 y∫ ∞

0

(1

x

∫ x

0f(t) dt

)p

dx ≤(

p

p− 1

)p ∫ ∞

0f(x)p dx.

En el trabajo se propone demostrar estos resultados, comentar su historia y probar algunosresultados relacionados con estas desigualdades.

En Sevilla, a 8 de octubre de 2018


que sera colgado en la web del Centro)

1Se recomienda al profesorado hacer un uso mınimo de la imposicion de requisitos, ya que tras la asignacion dealumnos a TFG con acuerdo previo con el tutor, el resto de alumnos seran distribuidos entre los TFG restantesdisponibles intentando, en la medida de lo posible, cumplir con los requisitos exigidos en cada trabajo, caso deque los hubiere.

2Extension maxima permitida del formulario completo: una carilla.




Dpto.: Análisis Matemático Profesor Tutor: Juan Carlos García Vázquez Tema de trabajo ofertado: La paradoja de Banach-Tarski.

Requisitos (opcional)1:

leer artículos y libros en inglés.

Conocimientos de Análisis Matemático (SFIL, DFVV, IFVV).

Breve descripción del trabajo propuesto2: El trabajo consistirá en el estudio del teorema de Banach-Tarski y sus variantes. El teorema es el siguiente: Sean X e Y subconjuntos acotados y de interior no vacío del espacio euclídeo de tres dimensiones. Existe una partición finita {X(1),…,X(n)} de X y una partición finita {Y(1),…,Y(n)} de Y tales que cada Y(j) es congruente con X(j) para cada j=1,2,…,n. (congruente significa que uno se obtiene de otro mediante la aplicación de rotaciones y traslaciones). .







Dpto.: Análisis Matemático Profesor Tutor: Juan Carlos García Vázquez Tema de trabajo ofertado: La curva de Hilbert y otras curvas que rellenan áreas o

volúmenes.


Leer artículos y libros en inglés.

Conocimientos básicos de Análisis Matemático (SFIL, DFVV, IFVV, FVC).

Breve descripción del trabajo propuesto2: El trabajo consistirá en el estudio de curvas (aplicaciones continuas definidas en el intervalo [0,1] y con valores en espacios de dos o más dimensiones) que rellenan conjuntos de medida no nula. Se estudiarán, entre otros, los siguientes aspectos: estudio analítico de las curvas más famosas (Hilbert, Peano, Sierpinski, Lebesgue, Schoenberg), métodos efectivos de construcción de este tipo de curva, posibles aplicaciones a la computación (ordenamientos de estructuras de datos).







Dpto.: Análisis Matemático Profesor Tutor: M. Ángeles Japón Pineda Tema de trabajo ofertado: Teorema de puntos fijos con aplicaciones.

Requisitos (opcional)1: Preferiblemente haber cursado la asignatura optativa de

Análisis Funcional

Breve descripción del trabajo propuesto2: En 1922, S. Banach probó en su tesis el siguiente resultado: Sea (M,d) un espacio métrico completo y T:M-->M una aplicación contractiva, es decir, existe una constante k en el intervalo (0,1) tal que d(Tx,Ty)< k d(x,y) para todo x,y en el dominio. Entonces T tiene un único punto fijo. En resultado anterior constituye uno de los teoremas más importantes dentro de la teoría métrica de punto fijo con numerosas aplicaciones en diversas ramas de las matemáticas. En este trabajo se pretende estudiar algunas extensiones del teorema de Banach y aplicar los resultados obtenidos en distintas áreas: resolución de ecuaciones, teoría de fractales, semigrupos, existencia de medidas invariantes,…

Sevilla a 9 de Octubre de 2018



FORMULARIO NORMALIZADO PARA LA OFERTA DE TRABAJOS DE FIN DE GRADO EN MATEMÁTICAS POR PARTE DE LOS DEPARTAMENTOS

Dpto.: Análisis Matemático Profesor Tutor: Miguel Lacruz Martín Tema de trabajo ofertado: El algoritmo alternante de von Neumann

Requisitos: Conocimientos básicos de Álgebra Lineal y Análisis Funcional

Breve descripción del trabajo propuesto: Sea H un espacio de Hilbert, sean E y F dos subespacios cerrados de H, y sean P y Q las proyecciones ortogonales de H sobre E y F, respectivamente. Dado un vector x en H, consideramos la sucesión alternante de proyecciones ortogonales

{Px, QPx, PQPx, QPQPx,…} ç

primero sobre E, luego sobre F, después de nuevo sobre E, y así sucesivamente. Un clásico teorema de John von Neumann asegura que esta sucesión converge en norma hacia la proyección ortogonal de x sobre la intersección de E y F. El objetivo del proyecto que se propone es múltiple:

1. Aportar una demostración detallada de la convergencia del algoritmo alternante. 2. Estudiar el ritmo de convergencia de la sucesión iterada de las proyecciones. 3. Generalizar el algoritmo alternante a más de dos subespacios. 4. Investigar las aplicaciones a la solución aproximada para un sistema homogéneo

de ecuaciones lineales. 5. Desarrollar generalizaciones a espacios de Banach uniformemente convexos.

El plan de este proyecto es el trabajo personal del alumno en la lectura de la literatura indicada por el tutor, que en forma de libros o artículos permitan alcanzar los objetivos. El tutor se reunirá con el alumno semanalmente para seguir el desarrollo del trabajo.

En Sevilla, a día 10 de octubre de 2018



FORMULARIO NORMALIZADO PARA LA OFERTA DE TRABAJOS DE FIN DE GRADO EN MATEMÁTICAS POR PARTE DE LOS DEPARTAMENTOS

Dpto.: Análisis Matemático Profesor Tutor: Miguel Lacruz Martín Tema de trabajo ofertado: Normas de multiplicadores de Schur

Requisitos: Conocimientos básicos de Álgebra Lineal y Análisis Funcional

Breve descripción del trabajo propuesto: Se define el producto de Schur de un par de matrices A=(ajk) y B=(bjk), ambas de dimensiones n x m, mediante la sencilla expresión

A · B := (ajk bjk). A pesar de su apariencia inocente, este producto tiene profundas implicaciones en Análisis Funcional. Un clásico teorema de Schur asegura que, para cualquier par de matrices A y B, de dimensiones n x m, se tiene la desigualdad

||A · B || ≤ ||A|| · ||B||.

Esto significa que cualquier matriz A puede ser considerada como un operador de multiplicación en el álgebra de matrices n x m, a saber, B à A·B, cuya norma de multiplicador se denota como ||A||m. Ahora, el teorema de Schur se expresa por medio de la desigualdad ||A||m. ≤ ||A||. Un moderno teorema de Stinespring permite representar la norma de multiplicador de una matriz A como

||A||m = inf ||X||1,2 ||Y||2,∞ , donde X e Y recorren todas las posibles factorizaciones A=XY. La meta de este proyecto es llevar a cabo los siguientes objetivos.

1. Proporcionar demostraciones detalladas de los teoremas de Schur y Stinespring. 2. Clasificar aquellas matrices extremales A que verifican la igualdad ||A||m. = ||A||

en el teorema de Schur. 3. Estudiar la norma del operador de truncación triangular superior en el espacio de

matrices, recuperando y afinando clásicos resultados de Kwapien y Pelczynski en este nuevo contexto.

En Sevilla, a día 10 de octubre de 2018



GRADO EN MATEMÁTICAS

POR PARTE DE LOS DEPARTAMENTOS

Dpto.: Análisis Matemático.

Profesor Tutor: Victoria Martín Márquez

Tema de trabajo ofertado: El algoritmo de Douglas-Rachford para resolver cuadrados

mágicos

Requisitos (opcional)1: Conocimientos básicos de análisis funcional y disposición para

leer textos en inglés.

Breve descripción del trabajo propuesto2: Un cuadrado mágico es una matriz n × n,

cuyos elementos son los números enteros comprendidos entre 1 y n², y con la propiedad

de que la suma de los elementos de la matriz por filas, columnas y diagonales

principales coincide. La búsqueda de cuadrados mágicos puede plantearse como un

problema de viabilidad no convexo. El algoritmo de Douglas-Rachford es un método

iterativo que utiliza la proyección sobre conjuntos para la resolución de problemas de

viabilidad cuya convergencia está garantizada para conjuntos convexos en espacios de

Hilbert. En el caso no convexo, a pesar de no existir demostración teórica, este

algoritmo ha resultado ser eficiente en diferentes problemas, como es el caso de la

resolución de Sudokus. El objetivo de este trabajo es el estudio de dicho algoritmo y su

aplicación en la resolución de cuadrados perfectos.










GRADO EN MATEMÁTICAS


Dpto: Análisis Matemático

Profesor Tutor: Manuel Ordóñez Cabrera

Tema de trabajo ofertado: Convergencia de sumas de variables aleatorias con

propiedades de integrabilidad uniforme.



Tras la introducción y desarrollo del concepto de integrabilidad uniforme, se estudiarán

diversos teoremas límites para sumas de variables aleatorias cuando éstas poseen la

propiedad de integrabilidad uniforme u otras propiedades más débiles relacionadas con

ella.

En Sevilla, a 11 de Octubre de 2018










Dpto.: ...... Análisis Matemático ........................................................................................ Profesor Tutor:........ Luis Rodríguez Piazza ....................................................................... Tema de trabajo ofertado: ........... El Teorema de Kahane-Katznelson-de Leeuw.............

.............................................................................................................................................

Requisitos (opcional)1:.... haber cursado o cursar en el año académico 2018-19 todas

las asignaturas obligatorias del Departamento. No es requisito indispensable; pero sí

es interesante haber cursado o cursar “Análisis Funcional” y “Análisis de Fourier”.

Breve descripción del trabajo propuesto2: El Teorema de Kahane-Katznelson-de Leeuw establece que dada cualquier sucesión (an)nÎZ en l2 (Z) (es decir, con ånÎZ |an|2 <+¥), existe una función continua u 2p-perió-dica cuyos coeficientes de Fourier verifican |û(n)| > |an|, para todo nÎZ. Esto quiere decir que sobre el tamaño de los coeficientes de Fourier de una función continua no se puede decir nada mejor que que son de cuadrado sumable, lo mismo que se puede decir de las funciones de L2. El objetivo principal del trabajo será presentar al menos una demostración de este teorema, así como de alguna generalización del mismo. Pero antes se estudiará el tamaño de los coeficientes de Fourier de funciones de L1 (lema de Riemann-Lebesgue y ver que no se puede decir nada mejor) y de algunos otros espacios Lp. NOTA: este trabajo también se oferta a alumnos del doble grado Física-Matemáticas. Sólo un alumno de entre los dos grados podrá realizarlo.






GRADO EN MATEMÁTICAS POR PARTE DE LOS DEPARTAMENTOS

Dpto.: Análisis Matemático Profesor Tutor: M. Carmen Romero Moreno Tema de trabajo ofertado: Teorema de Runge

Requisitos (opcional)1:........................................................................................................

.............................................................................................................................................

Breve descripción del trabajo propuesto2: Pruebas del Teorema de Runge como primer teorema de aproximación en Variable Compleja y aplicaciones.

En Sevilla, a 10 de octubre de 2018 .





MATEMÁTICAS



Profesor Tutor; Rafael Villa Caro.

Tema de trabajo ofertado: Análisis de Fourier en Geometría Convexa.

Requisitos (opcional)1: Ninguno.


El estudio de la geometría de cuerpos convexos a través de sus secciones y proyecciones

tiene multitud de aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas y de las ciencias.

En este trabajo se muestra cómo expresar en términos de Análisis de Fourier ciertas

propiedades geométricas de los cuerpos convexos, y cómo usar Métodos de Análisis

Armónico para resolver problemas geométricos.

Entre otros, se discutirá la mejor estimación para el volumen de secciones del cubo

unidad por hiperplanos (que es igual a √2), o el problema de Busemann-Petty, que trata

de determinar si dado un cuerpo K cuyas secciones por hiperplanos que pasan por el

origen tienen siempre volumen menor menor que las de otro cuerpo L, se verifica que el

volumen n-dimensional de K es menor que el de L. (La respuesta es positiva para n≤4 y

negativa para n>4.)

Referencia: Fourier Analysis in Convex Geometry, A. Koldobsky. Mathematical

Surveys and Monographs Volume: 116; 2005.

Este estudio tiene como objetivo la ampliación de los conocimientos adquiridos en las

asignaturas Cálculo Infinitesimal (B), Series de Funciones e Integral de Lebesgue (OB)

e Integración de Funciones de Varias Variables (OB). También se usarán herramientas

vistas en otras asignaturas, tales como Análisis Funcional (OP), Matemática Discreta

(OB) o Teoría de la Probabilidad (OB), dentro del Plan de Estudios del Grado en

Matemáticas.

En Sevilla, a 11 de Octubre de 2018.







MATEMÁTICAS



Profesor Tutor; Rafael Villa Caro.

Tema de trabajo ofertado: Medidas log-cóncavas.

Requisitos (opcional)1: Ninguno.


En [1] se relacionan los cuerpos convexos (conjuntos compactos y convexos de Rn) con

las funciones log-cóncavas, que engloban de forma funcional a aquéllos. En [2] se hace

una revisión completa de los conceptos que pueden trasladarse de una teoría a otra. El

trabajo consiste en estudiar dicha revisión, y tratar de generalizar dichos resultados y

conceptos al caso no simétrico.

Este estudio tiene como objetivo la ampliación de los conocimientos adquiridos en las

asignaturas Cálculo Infinitesimal (B), Series de Funciones e Integral de Lebesgue (OB)

e Integración de Funciones de Varias Variables (OB). También se usarán herramientas

vistas en otras asignaturas, tales como Análisis Funcional (OP), Matemática Discreta

(OB) o Teoría de la Probabilidad (OB), dentro del Plan de Estudios del Grado en

Matemáticas.

[1] K. Ball, Logarithmically concave functions and sections of convex sets in Rn, Studia

Math., 88, no. 1, pp. 69-84, 1988.

[2] B. Klartag and V. D. Milman. Geometry of log-concave functions and measures.

Geom. Dedicata, 112:169182, 2005.

En Sevilla, a 11 de Octubre de 2018.








Dpto.: Análisis Matemático.......................................................... Profesor Tutor: Rafael Espínola García Tema de trabajo ofertado: Dimensiones fractales Requisitos (opcional)1:........................................................................................................

.............................................................................................................................................

Breve descripción del trabajo propuesto2: En este trabajo se propone el estudio del concepto de dimensión fractal a través de su cálculo en algunos de los fractales más clásicos. Se estudiarán las dimensiones de Hausdorff y de empaquetamiento, entre otras, y se verán distintas técnicas para su estimación en ejemplos concretos.

En Sevilla, a 11 de octubre de 2018 .



formulario normalizado oferta trabajos fin de … · funcional y análisis de fourier breve...

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