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- 156 - Es la ciencia que tiene por objeto el estudio de los cuerpos, sus leyes y propiedades mientras no cambie su composición, así como el de los agentes naturales con los fenómenos que en los cuerpos producen su influencia. La física puede dividirse de un modo general en dos: Física Experimental y Física Matemática. En la pri- mera, la labor de investigación tiene a obtener sólo datos y axiomas de la Física matemática. Esta última a su vez, partiendo de esos datos experimentales, es- tablece principios de los cuales se deduce, mediante los recursos del cálculo, fórmulas generales. DEFINICIONES FENÓMENO Toda apariencia o manifestación del orden material o espiritual. ENERGÍA Causa capaz de transformarse en trabajo mecánico. MAGNITUD Tamaño o cantidad de un cuerpo. MEDIDA Expresión comparativa de las dimensiones o cantidades. DIMENSIÓN Longitud, extensión o volumen de una línea, de una superficie o de un cuerpo, respectivamente. A partir de Einstein, se considera la cuarta dimensión: “el tiempo”. CANTIDAD Todo lo que es capaz de un aumento o disminución y puede, por consiguientes, medirse o contarse. ECUACIONES DIMENSIONALES Son expresiones de la forma algebraica que, valién- dose de las unidades fundamentales representadas por las letras M, F, L, T, se usa para probar fórmulas, equivalencias o para dar unidades a una respuesta (M: masa; F: fuerza; L: longitud; T: tiempo). SISTEMAS DE UNIDADES UNIDADES DEL SISTEMA ABSOLUTO Sub-sistema L M T CGS cm g s MKS m kg s FPS pie lb s UNIDADES DEL SISTEMA TÉCNICO, GRAVITACIONAL O PRÁCTICO Sub-sistema L F T CGS cm g s MKS m kg s FPS pie lb s FÍSICA FÍSICA

Author: liceo-samuel-roman-rojas-combarbala

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  • - 156 -

    Es la ciencia que tiene por objeto el estudio de loscuerpos, sus leyes y propiedades mientras no cambiesu composicin, as como el de los agentes naturalescon los fenmenos que en los cuerpos producen suinfluencia.

    La fsica puede dividirse de un modo general en dos:Fsica Experimental y Fsica Matemtica. En la pri-mera, la labor de investigacin tiene a obtener slodatos y axiomas de la Fsica matemtica. Esta ltimaa su vez, partiendo de esos datos experimentales, es-tablece principios de los cuales se deduce, mediantelos recursos del clculo, frmulas generales.

    DEFINICIONES

    FENMENO

    Toda apariencia o manifestacin del orden material oespiritual.

    ENERGA

    Causa capaz de transformarse en trabajo mecnico.

    MAGNITUD

    Tamao o cantidad de un cuerpo.

    MEDIDA

    Expresin comparativa de las dimensiones o cantidades.

    DIMENSIN

    Longitud, extensin o volumen de una lnea, de unasuperficie o de un cuerpo, respectivamente. A partirde Einstein, se considera la cuarta dimensin: eltiempo.

    CANTIDAD

    Todo lo que es capaz de un aumento o disminuciny puede, por consiguientes, medirse o contarse.

    ECUACIONES DIMENSIONALES

    Son expresiones de la forma algebraica que, valin-dose de las unidades fundamentales representadaspor las letras M, F, L, T, se usa para probar frmulas,equivalencias o para dar unidades a una respuesta(M: masa; F: fuerza; L: longitud; T: tiempo).

    SISTEMAS DE UNIDADES

    UNIDADES DEL SISTEMA ABSOLUTO

    Sub-sistema L M T

    CGS cm g s

    MKS m kg s

    FPS pie lb s

    UNIDADES DEL SISTEMA TCNICO, GRAVITACIONAL O PRCTICO

    Sub-sistema L F T

    CGS cm g s

    MKS m kg s

    FPS pie lb s

    FSICAFSICA

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 156

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 157 -

    UNIDADES SUMPLEMENTARIAS

    MAGNITUD NOMBRE SMBOLO

    ngulo radin rad

    ngulo slido estereo radin sr

    UNIDADES DERIVADAS

    MAGNITUD NOMBRE SMBOLO

    rea metro cuadrado m2

    Volumen metro cbico m3

    kilogramo porDensidad kg/m3Metro cbico

    Velocidad metro por segundo m/s

    Fuerza y peso newton N

    Presin pascal Pa

    Ejemplo:

    Determinar la ecuacin dimensional del pesoespecfico.

    Procedimiento:

    WSabiendo que: Pe = V

    Pero:

    d LW = F = m . a = M . = M = MLT-2t2 T2

    y : V = L3

    Sustituyendo en la primera ecuacin:

    MLT-2Pe =

    L3

    Pe = ML-2T-2

    UNIDADES DEL SISTEMA INTERNACIONAL DE MEDIDA SI

    UNIDADES DE BASE

    MAGNITUD NOMBRE SMBOLO DIMENSIN

    Longitud metro m L

    Tiempo segundo s T

    Masa kilogramo kg M

    Intensidad de amperio A lcorriente Elctrica

    Temperatura kelvin K

    Intensidadcandela ca J

    Luminosa

    Cantidad demol mol N

    sustancia

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 157

  • - 158 -

    CONVENCIONES BSICAS

    a) La suma o resta de unidades iguales produce la mis-ma unidad:

    6T + 8T - T - 7T = T

    b Las constantes y los coeficientes numricos sereemplaza por 1:

    5M - 6,5M + 9,8M = M

    + 10L = 1 + L = L

    c) Se escriben en forma de enteros, si hay denomina-dos se escribe con potencia de signo negativo paradarle la forma de entero.

    LMEjemplo: = LMT-2T2

    d) El signo | | significa ecuacin dimensional de.

    e) La dimensin de un ngulo o funcin trigono-mtrica es un nmero, como tal dimensional-mente es 1.

    60 = 1

    cosec 45 = 1

    f) Dimensionalmente los logaritmos valen 1.

    | log 8 = 1

    | logn17 = 1

    VECTORES

    Vector significa que conduce. Los vectores sirvenpara representar: fuerza, velocidad, aceleracin, etc.

    MAGNITUD

    La magnitud expresa el tamao de un cuerpo o ladimensin de algn fenmeno. Puede ser escalar ovectorial.

    MAGNITUD ESCALAR O MODULO

    Es aquella que est plenamente determinada por unnmero y una unidad de medida o especie.

    Ejemplos:

    i) L = 18 yardas

    ii) m = 14 lb

    iii) t = 6 semanas

    MAGNITUD VECTORIAL

    Es aquella que adems de tener un nmero y unaespecie tiene direccin y sentido:

    Ejemplos:

    i) a = 9,8m/s2

    ii) F = 15 newton

    iii) V = 30 km/h

    REPRESENTACIN GRFICA DE UN VECTOR

    Se representa por un segmento de una recta orienta-da. Se utiliza para representar fuerzas, pesos, acelera-ciones, etc.

    Direccin Sentido

    Magnitud

    SUMA Y RESTA DE VECTORES

    A.- MTODOS GEOMTRICOS

    MTODO POLGONAL O POLGONOFUNICULAR

    SUMA.- Para sumar vectores:

    Se traza, en un mismo plano, los vectores uno acontinuacin del otro, respetando su magnitud,direccin y sentido se une el origen del primerocon el extremo del ltimo y este trazo es la resul-tante con su magnitud, direccin y sentido.

    Ejemplos: Sumar los vectores:_ _ _

    i) a , b y c

    _ _a c

    _b

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 158

  • _b

    _ _a c

    _ _ _R = a + b + c

    Resultante

    _ _ _ _ii) a, b, c, d

    _ _a c

    _ _b d

    _c

    _d

    _b

    _a

    _ _ _ _R = a + b + c + d

    DIFERENCIA

    Se traza el vector minuendo y a continuacin elsustraendo pero en sentido contrario. Se une elorigen del primero con el extremo del segundo yse obtiene la resultante con su magnitud, direc-cin y sentido.

    _ _Ejemplo: Restar a - b

    _b

    _a

    _-b

    _a

    _ _ _R = a - b

    MTODO DEL PARALELOGRAMO

    SUMA

    Se traza los dos vectores que se va a sumar, par-tiendo de un mismo punto, luego se completa elparalelogramo; la diagonal es la resultante.

    Ejemplo:_ _

    Sumar los vectores a, b

    _ _a b

    _ _a R

    _b

    _ _ _R = a + b

    RESTA

    Se traza el vector minuendo y luego el vector sus-traendo partiendo de ambos del mismo origenpero el sustraendo con sentido contrario. La diag-onal del paralelogramo formado es la resultante.

    Ejemplo: _ _

    Restar: a - b

    _ _a b

    _a

    _-b

    F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 159 -

    Resultante

    Result

    ante

    Resul

    tante

    Resu

    ltant

    e

    R D

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 159

  • - 160 -

    B.- MTODOS ANALITICOS

    Consiste en calcular algebraicamente la resul-tante.

    MTODO DEL PARALELOGRAMO

    SUMA

    Resultante de la suma a + b

    _______________________RS = a2 + b2 + 2 . a . b . cos

    RS_a

    _b

    RESTA

    Resultante de la diferencia a - b

    _______________________RS = a2 + b2 - 2 . a . b . cos

    _R

    _a180-

    _ _b b

    RESULTANTE POR LEY DE SENOS_ _

    SUMA: Sumar a + b

    R a b = = sen sen sen

    _b

    _a

    _R

    DIFERENCIA: Restar a - b

    R a b = = sen sen sen

    _-b

    _a

    _R

    DIRECCIN DE LA RESULTANTE

    Est dada por el ngulo que forma la resultante conuno de los vectores.

    Q

    _ _a R

    _

    O b S T

    a . sen sen = ____________________

    a2 + b2 + 2 . a . b sen

    a . sen tg =

    b + a . cos

    DESCOMPOSICIN DE UN VECTOR EN SUSELEMENTOS RECTANGULARES

    _Por el origen del vector ( a ) que se quiere descom-poner, se traza un sistema de ejes perpendiculares(eje rectangulares), sobre estos ejes . Se proyecta elvector, la proyeccin sobre el eje x, se llama com-ponente horizontal ax, la proyeccin sobre el eje yse llama componente vertical ay.

    Ejemplo:

    y

    _a_

    ay

    _ax x

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 160

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 161 -

    ax : componente hortizontal.

    ay : componente vertical.

    Donde: ax = a cos

    ay = a sen

    Otro ejemplo:

    ybx

    x

    _ _b by

    RESULTANTE POR DESCOMPOSICIN RECTANGULAR

    _ _Hallar la resultante de a + b

    Se descompone a y b en el sistema de ejes rectan-gulares.

    Rx = suma de componentes horizontales.

    Ry = suma de componentes verticales.

    _______R = R2 + R2 x y

    _ _R = resultante final o suma de a + b

    y

    _a_

    ay_bx

    x_ax

    _ _b by

    _ _Para hallar Rx y Ry, se suma algebraicamente los vec-tores que estn sobre los ejes x e y:

    _ _ _ax + bx = Rx

    _ _ _ay + by = Ry

    y

    Rxx

    RRy

    Finalmente:_ _ _ _______

    Rx + Ry = R R2 + R2 = Rx yDIRECCIN DE LA RESULTANTE

    Rytg =

    Rx

    MECNICA

    Mecnica es la parte de la Fsica que trata del movi-miento y de las fuerzas que pueden producirlo, con-sideradas con toda generalidad, as como del efectoque producen en las mquinas. Tienen tres partes:

    1.- Mecnica de slidos:

    a) Cinemtica

    b) Esttica

    c) Dinmica

    2.- Mecnica de los lquidos:

    a) Hidrosttica

    b) Hidrodinmica

    3.- Mecnica de los gases:

    a) Neumosttica

    b) Neumodinmica

    A. CINEMTICAEs el estudio del movimiento de los slidos, inde-pendientemente de las causas que lo originan.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 161

  • - 162 -

    CONCEPTOS

    MOVIMIENTO

    Accin o efecto del desplazamiento de un cuerpo en unlapso de tiempo con respeto a otro que se supone fijo.

    TRAYECTORIA

    Es la lnea geomtrica descrita por las distintas posi-ciones que va ocupando un punto o cuerpo, que semueve en un lapso de tiempo.

    Segn la trayectoria del movimiento puede ser:

    a) Rectilneo b) Curvilneo

    c) Circuferencial d) Parablico

    CLASES DE MOVIMIENTO

    a) Uniforme b) Variado

    c) Uniformemente variado

    MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORME(M.R.U.)

    e mV = Unidades SI: t s

    Donde:

    V = velocidad o rapidez.

    e = distancia recorrida en el timpo t.

    t = tiempo que dura el movimiento.

    MOVIMIENTO VARIADO

    Cuando su velocidad o rapidez vara desordenada-mente.

    VELOCIDAD O RAPIDEZ MEDIA

    Es un promedio de las rapideses de un mvil.

    etVm = tT

    o:

    e1 + e2 + Vm = t1 + t2 +

    V1 + V2Vm = 2

    MOVIMIENTO RECTILNEO UNIFORMEMENTEVARIADO (M.R.U.V.)

    V = Vf - Vi

    V = variacin de la rapidez o velocidad.

    Vf = velocidad o rapidez final.

    Vi = velocidad o rapidez inicial.

    ACELERACIN

    Va = t

    o:

    Vf - Via = t

    mUnidades SI: s2

    RAPIDEZ FINAL CON VELOCIDAD INICIAL

    Vf = Vi + a . t

    m mUnidades: V = ; a = ; t = ss s2

    ESPACIO e RECORRIDO CON ACELERACINY VELOCIDAD INICIAL

    1e = Vi . t . a . t2

    2

    1cuando Vi = 0: e = . a . t2

    2

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 162

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 163 -

    PRINCIPIO DE LA INDEPENDENCIA DE LOSMOVIMIENTOS (Principios de Galileo)

    Si un cuerpo tiene movimiento compuesto, cadauno de los movimientos se cumple como si los demsno existieran.

    MOVIMIENTO PARABLICO (Introduccin a labalstica)

    El movimiento de un proyectil en el vaco resulta dela composicin de un movimiento horizontal rectil-neo y uniforme, y un movimiento vertical uniforme-mente variado por la accin de la aceleracin de lagravedad.

    CARACTERSTISTICAS DEL MOVIMIENTOPARABLICO

    y

    Vy Vx

    VxH Vx

    Viy

    Vix -Vy xD

    VELOCIDAD FINAL Vf EN FUNCIN DEVi, a, e

    V2 = V2 2 . a . ef i

    MOVIMIENTO VERTICAL

    Es el movimiento de un cuerpo que sigue la direc-cion radial de la Tierra. El movimiento es uniforme-mente variado, la aceleracin es la aceleracin de lagravedad (g = 9,8 m/s2). Cuando el movimiento eshacia arriba, la aceleracin g es negativa, cuandoel movimiento es hacia abajo, la aceleracin g espositiva.

    h = Vi . t gt2

    Vf = Vi gt

    V2 = V2 + 2ghf i

    Donde:

    h: altura de subida o de cada

    g: aceleracin de la gravedad (9,8 m/s2 o 32pies/s2). De subida (-), de bajada (+).

    MOVIMIENTO COMPUESTO

    Es aquel en el cual existen simultneamente 2 o ms tipos de movimiento. Por ejemplo: movimiento hori-zontal y vertical a la vez.

    y

    h

    D xe

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 163

  • - 164 -

    a) Forma de la trayectoria: parabola.

    b) Velocidad del movimiento horizontal Vx: CONSTANTE

    Vx = Vi . cos

    c)Velocidad vertical Vy: UNIFORMEMENTEVARIADA

    1) Rapidez vertical inicial:

    Vi y = Vi . sen

    2)Rapidez vertical en un punto cualquiera de latrayectoria, de acuerdo al tiempo.

    Vy = Vi sen g . t

    d)Tiempo t de vuelo cuando H decrece hastacero.

    1H = Vi . sen - . g . t2

    2

    Entonces, cuando H = 0:

    2Vi . sen t = g

    e) Tiempo para alcanzar su mxima altura H.

    La altura es mxima cuando Vy = 0

    Vy = Vi . sen - gt

    de donde y considerando Vy = 0

    Vi . sen t = g

    f ) Alcance vertical H:

    V2 . sen2 iH = 2g

    El alcance vertical es mximo cuando = 90

    g) Alcance horizontal D

    V2 . sen2iH = 2g

    El alcance horizontal es mximo cuando = 45

    MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORME(M.C.U.)

    Es aquel en el cal la trayectoria es una circunferen-cia; barre arcos y barre ngulos iguales en tiemposiguales.

    PERODO

    Es el tiempo t que tarda un mvil en dar una vueltaa una revolucin a la circunferencia.

    Velocidad lineal V:

    arco LV =

    t

    Velocidad angular

    ngulo =

    t

    radUnidades SI: s

    V

    L

    VELOCIDAD O RAPIDEZ ANGULAR Y PERODO

    Siendo T el perodo o tiempo empleado por unmvil en dar una vuelta(2 radianes), la velocidadangular es:

    2 = T

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 164

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 165 -

    RELACIN ENTRE LA VELOCIDAD ANGULAR YLA VELOCIDAD TANGENCIAL

    V = . R

    FRECUENCIA f

    Es la inversa del periodo t.

    1f = T

    ACELERACIN CENTRPETA, RELACIN CONLA VELOCIDAD TANGENCIAL Y LA VELOCI-DAD ANGULAR

    V2ac = R

    ac = 2 . R

    MOVIMIENTO CIRCUNFERENCIAL UNIFORMEMENTE VARIADO(M.C.U.V.)

    Es el movimiento circunferencial que tiene acel-eracin. Su rapidez vara con el tiempo.

    ACELERACIN ANGULAR

    w = t

    f - 1 = t

    radUnidades SI: s2

    RELACIONES DE VELOCIDAD O RAPIDEZ FINAL, NGULO RECORRIDO

    f = 1 + t

    1 = 1 . t t2

    2

    2 2f =1 2

    B. ESTTICA

    Estudia las condiciones que debe cumplirse para queun cuerpo indeformable, sobre el que actan fuerzasy/o cuplas, se mantenga en equilibrio; es decir paraque las fuerzas o cuplas se anulen entre s.

    FUERZA

    Es una magnitud vectorial que modifica la situacinde los cuerpos, variando su estado de reposo omovimiento, variando la velocidad de los cuerpos,aumentando, disminuyendo o variando su direccin.TODA FUERZA APARECE COMO RESULTADO DELA INTERACCIN DE LOS CUERPOS.

    RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS

    Tambin se llama composicin de fuerzas. Hay varioscasos:

    1) CUANDO ESTAN EN UN MISMA LINEA DEACCIN y tienen el mismo sentido, la resultantees la diferencia de las fuerzas.

    _ _F1 F2

    _ _ _R = F1 + F2

    2) CUANDO ESTAN EN UNA MISMA LINEA DEACCION y tienen sentido contrarios, la resul-tante es la diferencia de las fuerzas.

    _ _F1 F2

    _ _ _R = F1 - F2

    3) CUANDO FORMAN CUPLA con respecto a unmismo eje. Cupla es una par de fuerzas paralelasde igual mdulo pero de sentidos opuestos.

    La resultante tiene las siguientes caractersticas:

    a) Su eje de rotacin es el mismo que el de loscomponentes.

    b) Su sentido, es el de la cupla mayor.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 165

  • - 166 -

    c) Su medida, la diferencia de las cuplas.

    d) Su punto de aplicacin es cualquiera, es unvector libre.

    El equilibrio se consigue aplicando una cuplaigual y de sentido contrario.

    R = F2 . d2 - F1 . d1

    como F1 = F2 = F, entonces:

    R = F (d2 - d1)

    Unidades SI: N . m

    d1 F

    d2 F

    4) CUANDO LAS FUERZAS SON CONCURREN-TES, las resultantes se halla por el polgono defuerzas, por el paralelogramo, o por el siste-ma de ejes cartesianos.

    Ejemplo: Hallar la resultante de las fuerzas de lafigura:

    _F1

    _F2

    _F3

    a) Por el mtodo del polgono de fuerzas:

    _ _F1 F2

    _ _R F3

    b) Mtodo del Paralelogramo.

    (Paso 1)_F1 _

    R1

    _F2

    (Paso 2)_R1

    _ _F3 R

    ______________________ _2 _2 _ _R1 = F1 + F2 + 2 F1 F2 cos

    ______________________ _2 _2 _ _R1 = R1 + F3 + 2 R1 F3 cos

    c) Mtodo del sistema de ejes coordenados:

    y_F1

    F1yF3x F1x

    x

    F2x

    F3y F2y_ _F3 F2

    1) Fx = F1x + F2x - F3x

    2) Fy = F1y - F2y - F3y

    __________________ _ 2 _ 2R = ( Fx ) + ( Fy)

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 166

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 167 -

    5) CUANDO SON PARALELAS Y DEL MISMO SEN-TIDO, las caractersticas del a resultante son:

    A O B

    _F2

    _F1

    _R

    Su recta de accin es paralela a las fuerzas.

    Su sentido, el sentido de las fuerzas.

    Su medida, la suma.

    Su punto de aplicacin est situado en un puntoque divide a la barra que une las fuerzas en seg-mentos inversamente proporcionales a las fuerzas(Relacin de Stevin).

    Sea O el punto de aplicacin de la resultante,entonces:

    F1 F2 R = = BO AO AB

    6) CUANDO SON PARALELAS Y DE SENTIDOCONTRARIO, las caractersticas de la resultanteson:

    _F1

    B OA _

    R

    _F2

    Su recta de accin paralela a las fuerzas.

    Su sentido es el de la fuerza mayor.

    Su medida, la diferencia.

    Su punto de aplicacin est situado en un puntoque divide a la barra que une las fuerzas en seg-mentos inversamente proporcionales a las fuerzas(Relacin de Stevin).

    Sea O el punto de aplicacin de la resultante,entonces:

    F1 F2 R = = BO AO AB

    CONDICIONES DE EQUILIBRIO EN UN CUERPO

    PRIMERA CONDICIN DE EQUILIBRIO OEQUILIBRIO DE TRASLACIN

    Cuando un cuerpo est en reposo o en movimien-to rectilneo uniforme, la suma de todas lasfuerzas ejercidas sobre l debe ser igual a cero.

    F = 0

    Cuando la fuerzas se descomponen en sus com-ponentes rectangulares se debe tener que:

    Fx = 0

    Fy = 0

    NOTA IMPORTANTE

    Un cuerpo est en reposo cuando soporta lasacciones de tres fuerzas concurrentes que seanulan.

    TEOREMA DE LAMYO LEY DE LOS SENOS

    En un tringulo funicular. los lados que repre-sentan las fuerzas son proporcionaleas a los senosde los ngulos opuestos.

    _F3

    _F1

    _F2

    F1 F2 F3 = = sen sen sen

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 167

  • - 168 -

    MOMENTO DE FUERZA

    Con respecto a un punto O con respecto a un eje,se calcula as:

    Mo = F . d

    Unidades SI: n . m

    O: punto de giro( o apoyo)

    F: fuerza

    d: distancia del punto de giro a la fuerza

    F

    d

    O

    SEGUNDA CONDICIN DE EQUILIBRIO OEQUILIBRIO DE ROTACIN

    Cuando un cuerpo permanece en reposo o, cuan-do rota con velocidad uniforme, la suma de todoslos momentos debe ser cero:

    M = 0

    DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.) O DIA-GRAMA LIBRE

    Es un grfico donde se indica TODAS LAS FUERZASque se actan sobre el cuerpo. Precisamente, las car-actersticas del D.C.L. es que todas las fuerzas queactan sobre el cuerpo concurren a un punto comn.

    Ejemplo: Sea el sistema:

    T

    45 OR

    W

    Diagrama del cuerpo libre:

    T

    45 O R

    WDonde:

    T = tensin del cable que soporta la barra.

    R = reaccin de la pared sobre la barra.

    W = peso de la barra,atraccin que la Tierraejerce sobre la barra.

    O= punto de concurrencia de las fuerzas.

    DESCOMPOSICIN DE FUERZAS EN SUSCOMPONENTES RECTANGULARES

    El procedimiento indica que las fuerzas de un sis-tema en equilibrio se grafique en un DIAGRAMA deCUERPO LIBRE. El punto de concurrencia de estasfuerzas se hace coincidir con el punto de interseccinde un Sistema de ejes rectangulares. Cada una de lasfuerzas se proyecta sobre los ejes x e y del sis-tema rectangular, hallando las componentes de lasfuerzas sobre los ejes x e y.

    Ejemplo:

    C

    30 T

    RT

    A O

    R30

    P BP

    Sistema Diagrama libre

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 168

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 169 -

    y

    TR

    60 30

    O x

    P

    Descomposicin sobre los ejes x e y

    T T sen 60

    60

    T cos 60 O

    Descomposicin de T

    R sen 30 R

    30

    O R cos 30

    Descomposicin de R

    MQUINAS SIMPLES

    Una mquina simple es un mecanismo o conjunto demecanismos que mediante fuerzas mecnicas, trans-forma un trabajo motor en trabajo til.

    Hay dos tipos: mquinas simple tipo palanca ymquinas simples tipo plano inclinado.

    Palanca

    Tipo palanca { PoleasTornosPlano inclinado

    Tipo plano inclinado{ Cua TornilloA) TIPO PALANCA

    PALANCA

    Es una barra rgida sometida a dos esfuerzos(Resistencia R y fuerza F) y apoyada en unpunto.

    Segn la posicin de la resistencia R, fuerza Fy punto de apoyo A, puede ser: inter-apoyantes,inter-resistentes e interpotentes.

    r fO F

    A

    R

    fO r

    A F

    R

    rO f

    A F

    R

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 169

  • - 170 -

    Donde:

    R = resistencia

    A = apoyo

    F = fuerza de accin

    CONDICIONES DE EQUILIBRIO DE LA PALANCA

    Mo = 0 que es lo misom que:

    R . r = F . f

    Donde:

    r = brazo de resistencia

    f = brazo de fuerza

    TORNO O CABRESTANTE

    Es una palanca inter-apoyante.

    R . r = F . f

    f

    R

    r f

    A

    F

    R

    POLEA FIJA

    Es una palanca inter-apoyante. No ahorra fuerza.

    R = F

    r r

    A

    F

    R

    POLEA MVIL

    Es una palanca inter-resistente.

    A

    F

    RF = 2

    r r

    R

    POLEA MVIL DE FUERZAS NO PARALELAS

    Es una palanca inter-resistente.

    F1 F1A

    F/2 a/2

    r r

    R

    F = 2 cos R 2

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 170

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 171 -

    POLIPASTO

    Son de tres clases: Aparejo potencial o trocla,aparejo factorial o motn y aparejo diferencial otecle.

    a) APAREJO POTENCIAL O TROCLA

    Es un conjunto de poleas mviles con una fija.

    RF = 23

    R8

    R4

    R2

    RF = R 2n

    b) APAREJO FACTORIAL O MOTN

    Es un conjunto de poleas mviles y un con-junto de poleas fijas.

    RF = 6

    d1

    RF = n

    n = nmero total de poleas entremviles y fijas.

    d2R

    c) APAREJO DIFERENCIAL O TECLE

    Consta de una polea con 2 dimetros distintosy con periferias dentadas y una polea fija tam-bin con permetro dentado, la cual lleva lacarga.

    rF

    R

    W W__ __2 2

    W (R - r)F =

    2R

    W

    B) TIPO PLANO INCLINADO:

    1. PLANO INCLINADO

    Como su nombre lo indica es un plano incli-nado que forma un ngulo con la horizontal.

    F h = P d

    BF

    d

    h

    P cos P

    A C

    P sen

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 171

  • - 172 -

    2.- TORNILLO, GATO O CRIC

    d

    P

    F h = P 2d

    Fh

    3.- CUA

    Es una pieza mcanica que puede tener laforma de un cono o una cua propiamentedicha.

    d/2 d/2

    h R cos R cos

    R Rl

    2RdF = _______d2 + 4h2

    VENTAJA Y RENDIMIENTO MECNICO

    a) Ventaja mecnica actual o real VA

    WVA = F

    W = peso o resistencia que vencer

    F = fuerza real empleada para vencer W

    b) Ventaja mecnica ideal Vi

    fVi = r

    f = desplazamiento de la mquina en vacio.

    r = desplazamiento de la mquina en carga.

    c) Rendimiento mecnico.-

    TuRe = Tm

    VARe = Vi

    Tu = trabajo til realizado por la mquina.

    Tm = trabajo motor o trabajo recibido por lamquina.

    C) DINMICA

    Parte de la mecnica que trata de las leyes del mo-vimiento en relacin con las fuerzas que lo pro-ducen. Se divide en Hidrodinmica, que se ocupade la mecnica de los liquidos, Aerodinmica odinmica de los gases y Dinmica de los puntos ode los cuerpos rgidos.

    PRINCIPALES CONCEPTOS

    FUERZA

    Es un concepto matemtico, que se puede definircomo todo aquello que modifica el estado demovimiento de un cuerpo. TODA FUERZAAPARECE COMO RESULTADO DE LAINTERACCIN DE LOS CUERPOS.

    MASA

    Es la cantidad de materia que hay en un cuerpo.Un concepto ms cabal: masa es la medida de lainercia de un cuerpo, a mayor masa mayor inercia.

    PESO

    Es la fuerza que hace la Tierra para atraer lamasa de un cuerpo hacia su centro.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 172

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 173 -

    RELACIN ENTRE PESO Y MASA

    Pm = g

    NUnidades SI: = kgm/s2

    m = masa, en kg

    P = peso de la masa m, en N

    g = aceleracin de la gravedad terrestre; en m/s2

    La unidad de masa del SI es el KILOGRAMOkg:

    N mkg = N = kg . m S2s2

    1 KILOGRAMO kg.- Es la masa que hay en1 dm3 de agua pura a 4 C.

    SEGUNDA LEY DE NEWTON

    La aceleracin que adquiere un cuerpo de masa m,bajo la accin de una fuerza F, es directamenteproporcional a la fuerza F e inversamente propor-cional a la masa m.

    Fa =

    m

    UNIDADES DE FUERZA

    1 NEWTON:(unidad de fuerza del SI):

    Es la fuerza que se aplica a 1 kg para provocarlela aceleracin de 1m/s2.

    m1N = 1kg . S2

    1 DINA:

    Es la fuerza que se aplica a 1 g para provocarle laaceleracin de 1 cm/s2.

    cm1 dina = 1 g . S2

    1 POUNDAL:

    Es la fuerza que se aplica a 1 lib-masa para provo-carle la aceleracin de 1pie/s2.

    pie1 Poundal = 1 lib - m .

    s2

    1 LIBRA- FUERZA:

    Es la fuerza que se aplica a 1 slug para provocar-le la aceleracin del pie/s2.

    pie1lib - f = 1 slug .

    s2

    1 slug = 32,2 lib - masa

    RESUMEN

    El sistema oficial es SI, los dems son slo referen-ciales:

    SISTEMA MASA FUERZA

    mSI kg N = kg . s2

    cmaceptadas g dina = g . por SI s2

    pieF.P.S. lib-m poundal = lib-m .

    s2

    pieTec. Ingls slug lib-f = slug .

    s2

    EQUIVALENCIAS DE UNIDADES DE MEDIDA DEMASA Y FUERZA

    1 kg = 1 000 g 1N = 105 dinas

    1 slug = 32,2 lib-m 1N = 0,224 lib-f

    1 lib-f = 32,2 poundal

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 173

  • - 174 -

    ROZAMIENTO, FUERZA DE ROZAMIENTO OFRICCIN

    Es una fuerza tangencial que est presente entre dossuperficies en contacto y que se opone al movimien-to relativo (desplazamiento) de uno con respecto alotro. Puede ser rozamiento esttico o cintico.

    Fe Re = o e = N N

    Fce = N

    N

    Fe

    RP

    e = coeficiente de rozamiento esttico (cuandoestn en reposo).

    c = coeficiente de rozamiento cintico (cuandoestn en movimiento).

    Fe = R = fuerza mnima para romper el estado dereposo.

    Fc = Fuerza necesaria para mantener un cuerpoen movimiento.

    N = fuerza perpendicular al plano de apoyo deun cuerpo.

    P = peso de un cuerpo, el vector que lo repre-senta siempre est dirigido al centro de laTierra. (Es vertical).

    NOTA: Con freceuncia se usa por e

    DINMICA DE LA ROTACIN O ROTACINDINMICA

    Es el estudio de la rotacin o giro de una masa mate-rial m alrededor de un punto.

    DINMICA CIRCUNFERENCIAL

    Un cuerpo en rotacin siempre tiene una aceleracincentrpeta ac. La fuerza centrpeta Fc ocasiona lapresencia de la aceleracin centrpeta.

    La fuerza centrpeta nunca es una fuerza independi-ente aplicada a un cuerpo, es la resultante de todas lafuerzas radiales aplicadas al cuerpo.

    V2 Vac = R ac

    R

    La TENSIN de una cuerda que sirve de radio degiro en un movimiento circuferencial de un plano,vara con la posicin del cuerpo que gira. As:

    A

    E TATE mgmg sen

    mg cos TBB

    mg TD

    D TC mgmg cos

    mg sen C

    mgmg

    En A : TA = Fc - m . g

    En B : TB = Fc

    En C : TC = Fc + m . g

    En D : TD = Fc + m . g . cos

    En E : TE = Fc - m . g . cos

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 174

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 175 -

    MOMENTOS DE INERCIA DE ALGUNOS SOLIDOS

    m . R2 m . R2 m . h2I = I = + 2 4 12

    Eje

    Ejem m

    R

    h

    Cilindro macizo con respecto a su eje. Cilindro macizo cos respecto a un dimetro central.

    2 2I = m . R2 I = m . R25 3

    Eje

    m 2R m 2RR

    Eje

    Esfera maciza con respecto a un Cascarn esfrico muy delgado con respecto a un

    dimetro cualquiera (eje). dimetro cualquiera (eje).

    m . h2 m . h2I = I =

    12 3Eje Eje

    h h

    Varilla delgada respecto a un eje que pasa por el Varilla delgada respecto a un eje que pasa por uncentro y perpendicular a la longitud. extremo perpendicular a la longitiud.

    Donde:

    V2Fc = FRAD - m . ac = m . R

    MOMENTO DINMICO DE ROTACIN: M

    F

    M = m . . R2 (I)R

    m

    m = masa que rota, en kg

    = aceleracin angular, en s-2

    R = radio rotacin, en m

    MOMENTO DE INERCIA: I

    Es la resistencia que ofrece a la rotacin de un cuerpo.

    I = m . R2 (II)

    Comparando (I) con (II):

    M = . I

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 175

  • CENTRO DE GRAVEDAD

    Es el punto donde se supone est concentrado todo el peso de un cuerpo.

    TEOREMA DE VARIGNON

    En cualquier sistema de fuerzas se cumple que, la suma de todos los momentos producidos por las fuerzascomponentes, con respecto a un punto, es igual al momento producido por la fuerza resultante con respec-to al mismo punto.

    Tomando momentos con respecto al punto A:

    x1x

    x2

    x3A

    F3 F2 F1R

    - 176 -

    m . R2 3I = I = m . R2 I = m . R2

    2 2

    Eje Eje

    Eje

    Aro con respecto a cualquier Aro con respecto a cualquier Aro con respecto a su ejedimetro (eje). lnea tangente (eje).

    m a2 + b2I = (R2 + r2) I = m . 2 12

    c

    a

    m Eje Eje

    b

    Cilindro anular (o anillo) con respecto Paraleleppedo con respecto al eje central.al eje del cilindro.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 176

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 177 -

    Expresin que sirve para calcular el punto deaplicacin de las resultantes.

    F1 . x1 + F2 . x2 + F3 . x3 = Rx

    F1 . x1 + F2 . x2 + F3 . x3 x = R

    POSICIN DEL CENTRO DE GRAVEDAD

    Se determina con respecto a un sistema de ejes coor-denados ( xg,yg ) mediante la relacin: C.G. (x, y)

    F1 . x1 + F2 . x2 + xg = F1 + F2 +

    F1 . y1 + F2 . y2 + yg =

    F1 + F2 +

    Ejemplo:

    Hallar las coordenadas del centro de gravedad dela figura:

    y

    8A2

    108 A3A1

    2 5

    x

    Los pesos o fuerzas F son perpendiculares a lasreas A:

    A1 = 2 . 2 = 4 ; x1 = -5 , y1 = 0

    A2 = 10 . 8 = 80 ; x2 = 0 , y2 = 4

    A3 = 8 . 5 = 40 ; x3 = 8 , y3 = 1,5

    A1 . x1 + A2 . x2 + A3 . x3xg = A1 + A2 + A3

    A1 . y1 + A2 . y2 + A3 . y3yg = A1 + A2 + A3

    Sustituyendo valores numricos:

    4(-5) + 80 . 0 + 40 . 8 xg = = 2,424 + 80 + 40

    4 . 0 + 80 . 4 + 40 . 1,5yg = = 3,064 + 80 + 40

    CENTROS DE GRAVEDAD DE FIGURASGEOMTRICAS

    DE PERMETROS:

    De una lnea: es el punto medio.

    C.G.

    Del permetro de un tringulo: es la interseccinde las bisectrices del tringulo formado al unir lospuntos medios de los lados.

    C.G.

    De un paralelogramo: es la interseccin de lasdiagonales.

    C.G.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 177

  • - 178 -

    De un rectngulo: es la interseccin de las dia-gonales.

    C.G.

    De una circunferencia: es su centro.

    C.G.

    De una semicircunferencia: est a 2r/ de la base.

    2ry =

    C.G

    y

    De un arco de circunferencia:

    cuerdaest a r . ; del centro.arco

    A

    r

    C.G.O

    x

    r

    B

    AB (cuerda)x = AB (arco)

    DE REAS:

    De un tringulo: es la interseccin de las medi-anas, a 1/3 de la base.

    C.G.

    De un paralelogramo: rombo, rectngulo ycuadrado, es la interseccin de las diagonales.

    C.G.

    C.G

    C.G.

    C.G

    Trapecio:

    B + 2b hy = . B + b 3

    De la base mayor.

    b

    C.G.

    hy

    B

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 178

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 179 -

    De un semicrculo:

    4ry = 3

    De la base

    C.G.

    y

    r r

    De un cuadrante de crculo:

    4rx = y = 3

    r C.G.

    y

    x

    De un sector circular:

    2 cuerda ABx = . r

    3 arco AB

    Del centro

    A

    r

    C.G.xO

    r

    B

    DE VOLUMENES:

    De un prisma o cilindro, en eje:

    hy = 2

    De la base

    C.G h C.G.

    y y

    Pirmide o cono, en el eje:

    hy = 4

    De la base

    hC.G.

    hC.G.

    y

    De una esfera, es el centro de la figura.

    R C.G.

    De una semiesfera:

    3Ry = 8

    De la base.

    C.G.

    y

    R

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 179

  • - 180 -

    TRABAJO, POTENCIA Y ENERGA

    A) TRABAJO

    Es lo realizado por una fuerza, aplicada sobre unamasa, cuando la desplaza una distancia. El traba-jo es una magnitud escalar.

    T = F . d Unidades SI: N.m.

    d

    F

    En general:

    T = f . d . cos

    d F

    UNIDADES DE TRABAJO

    La unidad SI de trabajo es el JOULE J. Un sub-mltiplo es el ERGIO erg.

    1 JOULE (Unidad SI)

    Es el trabajo realizado por la fuerza de 1 newtonque, aplicado sobre un cuerpo lo desplaza unadistancia de 1 m.

    1 J = 1 N . 1 m

    1 ERGIO erg (No es unidad SI)

    Es el trabajo realizado por la fuerza de 1 dina, queaplicada a un cuerpo lo desplaza una distancia de1 cm.

    1 erg = 1 dina . 1 cm

    EQUIVALENCIAS DE UNIDADES DE TRABAJO

    1 J = 107 erg

    B) POTENCIA

    Es el trabajo realizado en un tiempo determinado:

    TP = t

    Donde:

    P = potencia media.

    T = trabajo realizado por una fuerza, en J.

    t = intervalo de tiempo empleado, en s.

    UNIDADES DE POTENCIA

    La unidad de potencia es el watt W

    1 WATT W

    Es el trabajo realizado por 1 joulio en 1 segundo.

    1 J1 W =

    1 s

    1kW . h = 3,6 . 106 J

    1 H.P. (Horse Power)

    Es el trabajo realizaco por 735 N.m en 1 segundo.

    735 N . m1 H.P. =

    s

    o:

    735 J1 H.P. =

    s

    C) ENERGA

    Es la capacidad que tiene todo cuerpo pararealizar un trabajo. Puede ser: Energa Potencial yEnerga Cintica.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 180

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 181 -

    ENERGA POTENCIAL (Ep)

    Es la capacidad almacenda para realizar un trabajoque tiene un cuerpo en reposo, en virtud a su peso ya su altura, con respecto a un nivel de referencia.

    Ep = P . h

    P h

    Nivel de Referencia

    ENERGA CINTICA (Ec)

    Es la capacidad que tiene un cuerpo, en movimiento,para realizar un trabajo en virtud a su masa m y asu velocidad V.

    1Ec = m . V2

    2

    V

    P = m . g

    NOTA.-

    Las unidades de medida son iguales a las detrabajo.

    TRABAJO TRANSFORMADO O ENERGATRANSFORMADA. CONSERVACIN DE LAENERGA

    Es el trabajo realizado o energa desarrollada por uncuerpo en movimiento al pasar de una posicin Aa una posicin B.

    TA - B = Ecf Eci

    TA - B = Trabajo realizado por una fuerza F de Ahasta B.

    Ecf = Energa cintica final.

    Eci = Energa cintica inicial.

    F

    A d B

    TRABAJO EN LAS ROTACIONES

    T = M .

    T = Trabajo, en J

    M = Momento aplicado al cilindro (F.R), en N . m

    = Angulo girado por el cilindro

    R

    F

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 181

  • - 182 -

    ENERGA CINTICA DE ROTACIN

    1Ec = . I . 2

    2

    I = momento de inercia (m . R2)

    = velocidad angular ( . t)

    UNIDADES DE TRABAJO Y ENERGA

    J erg kW . h

    1 J 1 107 2,78 . 10 -7

    1 erg 10-10 1 2,78 . 10 -14

    1 kW . h 0,36 . 107 0,36 . 1014 1

    UNIDADES DE POTENCIA

    W kW erg/s HP

    1W 1 0,001 107 136 . 10 -5

    1 kW 1000 1 1010 136

    1 erg/s 10 -7 10 -10 1 136 . 10 -10

    1 HP 735 0,735 735 . 107 1

    IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

    IMPULSO es el esfuerzo F que se hace durante untiempo muy pequeo t sobre una masa, paradarle un movimiento.

    I = F . t Unidades SI: N . s

    CANTIDAD DE MOVIMIENTO

    Es la velocidad V impresa a una masa m con unafuerza determinada.

    C = m . V

    EL MOVIMIENTO OSCILATORIO Y ELPNDULO

    A) PNDULO SIMPLE

    Pndulo, es un objeto cualquiera que est sus-pendido de un punto fijo, mediante una cuerda.

    ELEMENTOS DE UN PNDULO SIMPLE

    L

    h

    A B

    1) LONGITUD L, de la cuerda, desde el punto desuspensin hasta el centro de gravedad del objetosuspendido, medido en m.

    2) OSCILACIN 2AB, es el arco recorrido en ida yvuelta por el objeto suspendido desde una de lasposiciones extremas a la otra, medido en rad.

    3) PERODO T, tiempo que demora en una oscila-cin, medido en s.

    4) AMPLITUD , ngulo barrido por la cuerda delpndulo con una de sus posiciones extremas y lavertical, medido en rad.

    5) FRECUENCIA f, es el nmero de oscilacionesen cada unidad de tiempo, medido en hertz; secalcula as:

    1 1f = Unidades SI: = hertT s

    LEYES DEL PNDULO

    1ra. Ley:

    El perodo T de un pndulo, es independientede su oscilacin 2AB.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 182

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 183 -

    2da. Ley:

    El perodo T de un pndulo, es independientede su masa m.

    3ra. Ley:

    El perodo T de un pndulo es directamente pro-porcional a la raz cuadrada de la longitud de L.

    T T1 = __ __L L1

    4ta. Ley:

    El perodo T de un pndulo es inversamente pro-porcional a la raz cuadrada de la gravedad g.

    T T1 = __ __g1 g

    PNDULO QUE BATE SEGUNDOS

    Es aquel pndulo cuyo perodo dura 2 segundos.

    T = 2s

    FRMULA GENERAL DEL PNDULO:

    L

    T = 2 gMOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE OMOVIMIENTO VIBRATORIO ARMNICO

    Es un movimiento peridico y lineal, cuya acel-eracin a es directamente proporcional a sudesplazamiento x pero con sentido contrario:

    a = - K . x

    ELEMENTOS DE UN MOVIMIENTO ARMNICOSIMPLE

    El movimiento armnico simple es el movimientolineal que realiza la proyeccin P, sobre undimetro, de un punto M que se desplaza sobreuna circunferencia con velocidad circunferencialuniforme.

    QVt = w R

    S M

    O V P

    x

    R R

    Los elementos son:

    ELONGACIN x.- Es una magnitud vectorialcuyo valor se mide desde el centro de la circun-ferencia o desde el centro de vibracin, hasta P.

    Se calcula asi:

    x = R . cos ( t)

    2 . tx = R . cos unidades SI: m

    T

    x = R . cos 2 . f . t

    AMPLITUD R.- Es la elongacin mxima.

    PERODO T.- Tiempo que demora el punto Pen hacer una vibracin; es decir, una ida yvuelta. Se calcula as:

    Tiempo transcurridoT =

    Nmero de vibraciones

    FRECUENCIA f.- Es el nmero de vibracionespor unidad de tiempo, se mide en ciclos porsegundo (c.p.s) y se denomina hertz. Se calcu-la as:

    Nmero de vibracionesf =

    Tiempo transcurrido

    o:

    1f = T

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 183

  • - 184 -

    RESORTES

    FUERZA DEFORMADORA: LEY DE HOOKE

    Para cambiar la forma de un cuerpos se requiere laaccin de una fuerza que se llama fuerza defor-madora, la cual es proporcional a la deformacin,siempre que no se pase del lmite de elasticidad delcuerpo deformado.

    La ley de Hooke se expresa as:

    F = K . x

    K = constante elstica, propia de cada material

    x = deformacin o elongacin

    F

    x

    FUERZA RECUPERADORA:

    F = -K . x

    VELOCIDAD, ACELERACIN, PERODO YFRECUENCIA

    CLCULO DE LA VELOCIDAD V

    V = Vt . sen t

    = t

    V = -2 . f . R . sen 2 . f . t

    2 . R 2V = . sen . t

    T T

    _______V = 2 . f R2 x2

    CLCULO DE LA ACELERACIN

    42a = - . x

    T2

    o:

    a = - 2 . xo:

    a = - 42 . f2 . x

    VELOCIDAD Y ACELERACIN MXIMAS______

    Si V = 2 . f R2 x2 ; V es mxima cuando x = 0

    Vmx = 2 . f . R

    La aceleracin mxima se obtiene en los extremos; esdecir, en la elongacin mxima cuando x = R.

    Si a = - 2 x, aceleracin es mxima cuando x = R

    amx = 2 . R

    o:

    amx = 42 . f2 . R

    o:

    42amx = . RT2

    PERODO Y FRECUENCIA

    _____

    mT = 2 K____

    1 Kf = 2 m

    donde:

    m = masa del cuerpo que tiene movimientoarmnico, medido en kg.

    K = constante de elasticidad del resorte o elstico.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 184

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 185 -

    DENSIDAD Y PESO ESPECFICO

    La densidad es el resultado de comparar, por divi-sin, la masa m de un cuerpo con su volumen V.

    m = V

    Peso especfico es el resultado de comparar, pordivisin, el peso W de un cuerpo entre su volu-men V.

    W = V

    RELACIN ENTRE DENSIDAD Y PESOESPECFICO

    Su deduccin:

    W = V

    Pero: W = m . g

    m . g = V

    mPero: = V

    Finalmente:

    = . g

    ESTTICA DE LOS FLUDOS

    Es el estudio de los lquidos en reposo. Tambin se ledenomina HIDROSTTICA que es slo el estudiodel agua en reposo.

    CONCEPTOS Y DEFINICIONES

    PRESIN (P)

    Es una magnitud tensorial. La unidad SI de presines el PASCAL Pa.

    NPa = m2

    La presin es la accin de una fuerza F repartida enun rea A.

    F

    A

    FP =

    A

    PRINCIPIO DE PASCAL

    La presin que soporta un lquido lo transmite entodas direcciones y en la misma magnitud.

    Ejemplo:

    La fuerza F sobre el mbolo es 60 N, rea delmbolo 0,2 m2. Cada orificio tiene 1 cm2, la pre-sin con que sale el agua por cada orificio es:

    F 60NP = = = 300 Pa

    A 0,2m2

    o:

    NP = 300 m2

    PRENSA HIDRULICA

    En una prensa hidrulica, la fuerza se multiplica ancuando la presin por unidad de rea es la misma.

    F1

    A1h1h2

    A2

    F2

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 185

  • - 186 -

    Multiplicacin de fuerza

    F1 F2 = A1 A2

    Carrera o desplazamiento (h1, h2) de los mboloso pistones.

    h1 h2 = A1 A2

    PRINCIPIO DE LA HIDROSTTICA

    La presin que soporta un cuerpo que est sumergidoen un liquido se distribuye en toda la superficie delcuerpo y en forma perpendicular a esta superficie.

    PRESIN HIDROSTTICA

    Sea un cuerpo A sumergido.

    P = h .

    h = produndidad a la que est sumergido el cuer-po, en m.

    = peso especfico del lquido, n N/m3

    P

    h

    A

    VASOS COMUNICANTES

    Son un conjunto formado por dos o ms recipientesconectados entre s. Cuando al sistema se le llena unmismo lquido, el nivel superior en todos los recipi-entes alcanza el mismo nivel horizontal.

    LEY FUNDAMENTAL DE LAHIDROSTTICA

    La diferencia de presiones entre dos puntos, en unmismo lquido, es igual al peso especfico del lqui-do por la diferencia de profundidades.

    P = (hA - hB)

    hB

    hA

    B

    A

    E

    EMPUJE HIDROSTTICO: E

    1) Todo cuerpo sumergido en un fludo soporta unafuerza de abajo hacia arriba, perdiendo aparente-mente una parte de su peso, esa fuerza se llamaempuje E.

    2) El volumen V de un lquido que es desalojadopor un cuerpo cuando se sumerge en un lquido,es igual al volumen del cuerpo.

    3) La aparente prdida de peso, cuya magnitud esigual a la del empuje que experimenta un cuerposumergido en un lquido, es igual al peso del vol-umen del lquido desalojado.

    PRINCIPIO DE ARQUMEDES

    El empuje E, o aparente prdida de peso queexperimenta un cuerpo sumergido en un lquido, esigual al peso del volumen del lquido desalojado.

    E = V .

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 186

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 187 -

    E = empuje del lquido = prdida aparente depeso del cuerpo.

    V . = peso del lquido desalojado

    V = volumen del cuerpo = volumen del lqui-do desalojado.

    = peso especfico del lquido

    P

    B

    E

    RELACIN ENTRE EL EMPUJE Y EL PESOESPECFICO DE LQUIDOS

    El empuje que soporta un cuerpo sumergido en unlquido, es directamente proporcional al pesoespecfico del lquido.

    E1 E2 = 1 2

    NEUMOLOGA

    Es el estudio de los gases. Los gases son fluidos aero-formes.

    Los principios de Pascal y Arqumides tratados eneste captulo se cumple tambin para los gases.

    Principio de Pascal

    La presin externa ejercida sobre un gas se trans-mite ntegramente a toda la masa gaseosa.

    Principios de Arqumides

    Todo cuerpo sumergido en un gas, experimenta laaccin de una fuerza vertical de abajo hacia arribaque es igual al peso del volumen del gas desaloja-do. Esta la razn por la que algunos cuerpos muylivianos, como un globo lleno de Helio, se elevanen la atmsfera.

    FUERZA ASCENSIONAL (Fas).-

    Es una fuerza vertical de abajo hacia arriba que ejerceun gas sobre un cuerpo sumergido en su masa.

    Fas = E w

    E = empuje del gas, hacia arriba

    W = peso del cuerpo

    EL CALOR

    Es una forma de energa de los cuerpos como conse-cuencia de la vibracin molecular. El calor tambinse define como energia de transito.

    La unidad de calor SI es el JOULE J. Tasmbinpuede usarse la CALORIA cal.

    A) DILATACIN

    Es el aumento que experimenta un cuerpo en susdimensiones.

    A.1) DILATACIN LINEAL LEs el aumento en su longitud (una dimensin)que experimenta una barra.

    L = . L . t

    Donde:

    L = dilatacin lineal, en m. = coeficiente de dilatacin lineal propio de

    cada cuerpo.

    L = longitud de la barra, en m.

    t = variacon de la temperatura, en C.

    LONGITUD FINAL Lf

    Es la longitud al final de la elevacin de la tem-peratura.

    Lf = L (1 + . t )

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 187

  • - 188 -

    A.2) DILATACIN SUPERFICIAL AREA FINAL Af

    Dilatacin superficial, es el aumento que exper-imenta un cuerpo en sus DOS dimensiones.

    A = . A . t

    Af = A(1 + . t)

    A.3) DILATACIN VOLUMTRICA VVOLUMEN FINAL Vf

    Dilatacin volumtrica es el aumento queexperimenta un cuerpo en sus TRES dimen-siones.

    V = . V . t

    Vf = V (1 + . t)

    VARIACIN DEL PESO ESPECFICO CON LATEMPERATURA.-

    if = 1 + . t

    f = peso especfico final.

    i = peso especfico inicial.

    = coeficiente de dilatacin volumtrica.

    B. CALORIMETRA

    Es el estudio de la medida del calor.

    UNIDADES PARA MEDIR EL CALOR

    1) JOULE J.- Es la unidad SI para medir el calor.

    2)CALORA cal (no es sistema SI).- Es otra unidadpara medir el calor. Se define as:

    Es la cantidad de calor que necesita la masa de 1gramo de agua pura para elevar su temperaturaen 1 C (de 14,5 C a 15,5 C).

    1 cal = 4,186 J

    3) B.T.U. (British Termical United)(No es unidad SI).-

    Es la unidad inglesa para medir el calor, se defineas: Cantidad de calor que necesita 1 libra-masade agua pura para subir su temperatura en 1 F.

    EQUIVALENCIA DE 1 B.T.U. EN CALORAS

    1 B.T.U. = 252 caloras

    CALOR ESPECFICO C.e.

    Es la cantidad de calor que gana o pierde la masa de1 g de una sustancia para subir o bajar 1 C su tem-peratura.

    ALGUNOS CALORES ESPECFICOS

    cal( en )g . CLquidos

    Agua 1,00

    Agua de mar 0,95

    Alcohol 0,60

    Mercurio 0,033

    Slidos

    Aluminio 0,212

    Cobre 0,093

    Fierro 0,11

    Hielo 0,53

    Plomo 0,031

    Zinc 0,093

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 188

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 189 -

    LEY DE DULONG Y PETIT

    Ma . Ce = 6,22

    Ma = masa atmica de un elemento, en g

    Ce = calor especfico del elemento, en cal/g . C

    CALOR SENSIBLE Q (CALOR GANADO OPERDIDO)

    Es la cantidad de calor que un cuerpo gana o pierdeal variar su temperatura.

    Q = Ce . m . t

    Q = cantidad de calor ganado o perdido, en cal

    C.e. = calor especfico, en cal/g . C

    m = masa del cuerpo, en g

    t = variacin de la temperatura, en C

    EQUIVALENCIA EN AGUA DE UNCALORMETRO

    Es una porcin de masa de agua M que absorbe lamisma cantidad de calor que la masa m de uncalormetro.

    MH2O . CeH2O = mcal . Cecal

    TEOREMA FUNDAMENTAL DE LACALORIMETRA

    Al ponerse en contacto 2 cuerpos, hay una trans-misin de calor y el calor ganado por uno de elloses igual al calor perdido por el otro.

    Q calor ganado por = Q calor perdidouno de ellos por el otro

    CAPACIDAD CALORFICA Cc

    Es la cantidad de calor que absorve cierta masa de uncuerpo para elevar su temperatura en 1 C.

    CC = m . Ce

    TEMPERATURA DE EQUILIBRIO DE UNAMEZCLA.- TEMPERATURA FINAL tf

    Est dada bajo el principio fundamental de que enuna mezcla de cuerpos de temperaturas diferentes, elcalor entregado por uno de los cuerpos es igual alcalor absorbido por el otro, lo que origina una tem-peratura intermedia de la mezcla, llmada tambintemperatura final tf o temperatura de equilibrio.

    Q1 = Q2

    Ce1 . m1 . t1 + Ce2 . m2 . t2 + ...tf =

    Ce1 . m1 + Ce2 . m2 + ...

    C. CAMBIO DE FASE

    Por accin del calor todos los cuerpos cambian defase o de estado. Mientras dura el cambio de fase,la temperatura no vara.

    CALORES LATENTES

    Es la cantidad de calor que gana o pierde una unidadde masa durante el cambio de estado.

    QCf = M

    De fusin, si gana

    De solidificacin, si pierde

    QCv = m

    De vaporizacin, si gana

    De condensacin, si pierde

    D. TRANSMISIN DE CALOR

    El calor se transmite por CONVECCIN en loslquidos y gases, por CONDUCCIN en los sli-dos y por RADICACIN. En este libro se trataslo la transmisin del calor por conduccin.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 189

  • - 190 -

    TRANSMISIN DEL CALOR POR CONDUCCIN

    Es el calor que pasa a travs de la masa de un cuerpo.

    s

    CANTIDAD DE CALOR TRANSMITIDO Q

    Es la cantidad de calor que pasa de un punto a otro atravs de un conductor.

    Q = KSG

    Q = cantidad de calor transmitido a travs delconductor.

    K = coeficiente de conductibilidad trmicapropia de cada sustancia.

    S = seccin del conductor.

    G = gradiente o cada de la temperatura (t1 - t2).

    = tiempo durante el cual se ha transmitido elcalor.

    t1 - t2G = e

    e = espesor del conductor o longitud segnsea el caso.

    t1 - t2 = diferencia de temperaturas en las caras deun cuerpo.

    TRABAJO MECNICO DEL CALOR

    Experimentalmente, Joule encontr el equivalentemecnico del calor:

    1 cal = 4,186 J

    1 J = 0,24 cal

    TERMODINMICA

    Es el estudio de la fuerza mecnica del calor o tam-bin el estudio de la relacin que existe entre elcalor y el trabajo.

    TRABAJO REALIZADO POR UN GAS: W

    Cuando se calienta un gas a presin P constante, serealiza un trabajo (Ley de Charles).

    W = P . V Unidades SI: J

    P = presin que soporta el gas constante

    V = variacin de volumen

    V = V2 V1

    P

    P

    h

    V1 V2

    1 atm . L = 101,3 N . m

    o:

    1 atm . L = 101,3 J

    o:

    1 atm . L = 24,15 cal

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 190

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 191 -

    CALOR ABSORBIDO POR UN GAS: Q

    Es la cantidad de calor que absorbe una masa gaseosam para aumentar su temperatura t, mantenien-do su presin o su volumen constante.

    QQ = Ce . m . t Ce =

    m . t

    Q = calor absorbido por un gas en J

    M = masa del gas que absorbe calor en g

    t = variacin de la temperatura en C

    calCe = calor especfico del gas en g . C

    PRIMERA LEY DE LA TERMODINMICA

    En toda transformacin entre calor y trabajo la can-tidad de calor entregado a un sistema es igual al tra-bajo realizado W, ms el aumento de su energainterna E.

    Q = W + E

    Q = calor entregado

    W = trabajo realizado

    E = variacin de energa interna

    RENDIMIENTO R O EFICIENCIA EN UNAMQUINA TRMICA

    El rendimiento de una mquina trmica que absorbecalor para transformarlo en trabajo, depende delcalor entregado Q y el trabajo realizado W:

    W% = . 100Q

    o:

    Q1 Q2R = Q1

    o:

    T1 T2R = T1

    Q1 = calor entregado en J.

    Q2 = calor absorbido por la fuente fra o calor noaprovechado en realizar trabajo, en J.

    T1 = temperatura absoluta mayor en K.

    T2 = temperatura absoluta menor en K.

    SEGUNDA LEY DE LA TERMODINMICA(Rudolf Clausius 1850)

    En una mquina trmica es imposible el movimien-to continuo que, sin recibir calor del exterior, puedatransferir calor un foco fro a otro foco caliente.

    ELECTROSTTICA

    Estudia las cargas elctricas en reposo.

    PRIMERA LEY DE LA ELECTROSTTICA

    Es una ley CUANTITATIVA: Los cuerpos cargadoscon el mismo signo de electricidad se repelen, loscuerpos cargados con signos contrarios se atraen.

    TABLA TRIBOELCTRICA

    La tabla indica que: una sustancia frotada con la quele precede en el orden de la tabla, se carga negativa-mente; frotada con la que le sigue se carga positiva-mente.

    1. Piel de gato 5. Marfil

    2. Vidrio 6. Seda

    3. Mica 7. Algodn

    4. Lana 8. Platino

    SEGUNDA LEY DE LA ELECTROSTTICA:LEY DE COULOMB

    Es una ley CUANTITATIVA: La fuerza de atraccino repulsin en la lnea que une los centros entre doscargas electrostticas, es directamente proporcionalal producto de sus masas elctricas, e inversamenteproporcional al cuadrado de la distancia que separasus centros.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 191

  • - 192 -

    Se atraen:

    dF F

    + -Q q

    Se repelen:

    dF F

    + +Q q

    Q . qF = K

    d2

    1 Q . qF = .

    4 d2

    F = fuerza de atraccin o repulsin, en newtons(N).

    Q,q = masas elctricas que pueden ser positivas y/onegativas, en coulombios (C).

    d = distancia entre los centros de masa elctrica,en metros m.

    K = coeficiente de proporcionalidad que dependedel medio ambiente y de las unidades de F,Q, q, d.

    = coeficiente de permitividad del medio, enC/N . m2.

    UNIDADES ELCTRICAS

    UNIDADES SI

    F, en newton N

    Q y q, en coulombio C

    d, en metro m

    N . m2K = 9 . 109 C2

    (en el vaco o en aire)

    PERMITIVIDAD

    Es el grado de dificultad que ofrece una medio alpaso de la corriente elctrica.

    El valor de K depende de la permitividad.

    La permitividad en el aire o en el vaco se denota o

    1K = (I)

    4 . O

    1 CO = . ()4 . 9 . 109 N . m2

    CO = 8,85 . 10 -12 ()N . m2

    Sustituyendo () en (I):

    N . m2K = 9 . 109 C2

    En un medio distinto al aire o vaco la permitivi-dad es siempre mayor.

    > O

    o:

    = . O

    = constante adimensional, llamada constantedielctrica relativa o capacidad inductivaespecfica.

    En el vaco o en el aire: = 1

    UNIDADES ELCTRICAS COULOMB C

    Es la unidad SI de masa elctrica, se define como:una carga elctrica situada frente a otra igual, a 1 mde distancia y en el vaco, que se repelen o se atraencon una fuerza de 9 . 109 N.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 192

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 193 -

    EQUIVALENCIAS (e = carga de un electrn)

    1 C = 8,25 . 1018 e

    1 C = 3 . 109 u.e.q.

    1 (-e) = 1,6 . 10 -19 C

    1 (+e) = 1,6 . 10 -19 C

    1 u.e.q. = 0,33 . 10-9 C

    1 u.e.q. = 2,72 . 109 e

    1 e = 0,48 . 10-9 u.e.q.

    Masa 1 e = 9,11 . 10 -31 Rg

    Masa 1 protn = 1,67 . 10 -27 Rg

    1 u.e.q. = 1 stc = 1 franklin

    CAMPO ELCTRICO

    Es un ambiente que rodea a una masa elctrica yque est sometido a la influencia de esta carga o masaelctrica. (Es como la atmsfera que rodea a laTierra).

    Los campos elctricos se representan por lneasimaginarias que se llaman lneas de fuerza.

    Convencionalmente, se acepta que las lneas deaccin, o de fuerza de un campo elctrico nacen enuna carga positiva y se dirigen hacia una carganegativa.

    + -

    Campo de una carga (+) Campo de una carga (-)

    (nacen las lneas (llegan las lneasde accin) de accin)

    CAMPOS DE CARGAS IGUALES

    Las lneas de accin se rechazan, en ambos casos.

    + +

    Ambas positivas

    - -

    Ambas negativas

    CAMPO DE CARGAS DISTINTAS

    Las lneas de accin se complementan.

    + -

    Carga Cargapositiva negativa

    INTENSIDAD DEL CAMPO ELCTRICO E

    Es una magnitud vectorial E que representa la

    fuerza F, de atraccin o repulsin, ejercida sobrecada unidad de carga q en un punto del campoelctrico.

    FE =

    q

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 193

  • - 194 -

    UNIDADES SI

    F = fuerza, en newton N

    q = carga puntual, en coulomb C

    NE = intensidad de campo, en C

    FFq - + q

    +

    INTENSIDAD E DEL CAMPO, A UNA DISTAN-CIA r DE LA MASA CREADORA DEL CAMPO

    QE = K

    r2

    N . m2K = constante = 9 . 109 C2

    NE = intensidad de campo, en C

    Q = masa elctrica, creadora del campo, encoulombios C.

    r = distancia del punto, en el campo, a la car-ga Q, en metros m.

    Q

    + qr

    +

    POTENCIAL ELCTRICO

    Potencial elctrico de un punto en un campo elctri-co, es el trabajo que se realiza para trasladar launidad de carga elctrica ubicada en el infinito, hastael punto P ubicado dentro del campo.

    W PVP = q

    UNIDADES SI

    VP = potencial en el punto P, en voltios V.

    WP = trabajo realizado para llevar q desde elinfinito hasta P, en joules J.

    q = carga puntual, en coulombios C.

    DIFERENCIA DE POTENCIAL

    Es el trabajo que se realiza para trasladar una cargapuntual desde un punto A hasta un punto B, ambosubicados en el mismo campo.

    VAB JVB - VA = V = q C

    B+

    Q++

    A

    El trabajo W puede ser:

    a) Positivo, si:

    Potencial de B > Potencial de A

    b) Negativo, si:

    Potencial de B < Potencial de A

    c) Nulo, si:

    Potencial de B = Potencial de A

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 194

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 195 -

    Comnmente, se supone A en el infinito, en con-secuencia VA = 0.

    WB VB = q

    POTENCIAL W DE UN PUNTO EN FUNCINDE E Y r

    V = E . r

    POTENCIAL V DE UN PUNTO EN LAS PROXIMIDADES DE LA CARGA Q

    QV = K

    r

    1 QV = . 4O r

    UNIDADES SI:

    N . m2K = 9 . 109 joulioC2 V = } coulombioQ = coulombio C = voltio Vr = metro m

    Q B

    r

    TRABAJO ELCTRICO

    WAB = q (VB VA)

    o:

    W = q . V

    W = trabajo, en joules J

    Q = carga trasladada, en coulombios C

    VA = potencial en el punto A, en voltios V

    VB = potencial en el punto B, en voltios V

    1 Q . qW = .

    4O

    r

    Esta frmula permite calcular el trabajo que deberealizarse para separar 2 cargas elctricas Q y q,una distancia r o para juntarlas.

    CAPACIDAD ELCTRICA

    Es la cantidad de carga elctrica almacenada por unconductor o por un condensador por unidad dediferencias de potencial.

    A) CAPACIDAD DE LOS CONDUCTORESAISLADOS

    QC =

    V

    UNIDADES SI:

    C = capacidad, en faradios F

    Q = carga almacenada, en coulombios C

    V = diferencia de potencial, en voltios V

    1 coulombio1 faradio = 1 voltio

    o:CF = V

    EQUIVALENCIA DE 1 FARADIO EN u.e.c.-

    1 faradio = 9 . 1011 u.e.c.

    OTRAS EQUIVALENCIAS (en micro y pico faradios).-

    El prefijo SI para 10-12 es pico p, que sustituye a mm.

    1 faradio = 106 f

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 195

  • - 196 -

    1 f = 106 pf

    1 faradio = 1012 pf

    1 f = 9 . 105 u.e.c.

    1 pc = 0,9 u.e.c.

    B) CAPACIDAD DE UNA ESFERA AISLADA

    Si se considera el potencial V en la superficie:

    Q

    R RC = K

    1Como K = ; se tiene:

    4O

    C = 4O R

    CONDENSADORES

    Son aparatos o dispositivos que sirven para guardar oalmacenar cargas elctricas, pero por poco tiempo.

    Un condensador lo forman dos cuerpos, y entreellos existe un campo elctrico y una diferencia depotencial.

    CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR

    QC =

    V

    - +

    Colector Condensador

    - +G

    Generador Tierra

    DielctricoCampo elctrico

    Diferencia de potencial

    Unidades que se emplea:

    u.e.q.c.g.s. : u.e.c. =

    u.e.v.

    coulombioUnidades SI: faradio = Voltio

    1 microfaradio f = 10-6 faradios

    1 picofaradio pf = 10-12 faradios

    CAPACIDAD DE UN CONDENSADOR PLANO

    AC =

    d

    C = capacidad, en metros m.

    A = rea del condensador, en m2.

    d = distancia entre placas, en m.

    PARA CALCULAR EN FARADIOS.-

    AC = . O d

    C = capacidad, en faradios F

    = constante del dielctqrico, en el aire y vaco = 1

    faradiosO = 8,85 . 10-12 metro

    G

    - - - - - - - - - -- - - - - + +

    + + + + + Dielctrico

    Tierra

    G- +

    - - + +- - - + +

    - - - - + + - - - + +- - + +- +

    Dielctrico Tierra

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 196

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 197 -

    CONSTANTES DIELCTRICAS

    Vaco 1 Ebonita 2,5

    Aire 1 Gutapercha 4,5

    Agua 81 Mrmol 8,0

    Alcohol 27 Mica 5,0

    Bakelita 5,0 Resina 2,5

    Azufre 3,5 Madera seca 4,5

    Vidrio 5,5

    CAPACIDAD DE CONDENSADOR ESFRICO YCILNDRICO

    Esfera:

    RrC = O R - rRDielctrico

    r

    R

    Dielctricor

    Cilindro:

    hC = O R2 In r

    hC = O R4,6 log

    r

    ASOCIACIN DE CONDENSADORES

    A. EN SERIE O CASCADA

    C1 C2 C3-Q -Q -Q

    +Q +Q +Q

    V1 V2 V3

    VA B

    SUS CARACTERSTICAS:

    1) V = V1 + V2 + V3 +

    2) Q = Q1 + Q2 + Q3 +

    1 1 1 13) = + + + .C C1 C2 C3

    B. EN PARALELO

    A

    Q1 Q2 Q3

    V

    C1 C2 C3

    B

    SUS CARACTERSTICAS:

    1) V = V1 = V2 = V3 =

    2) Q = Q1 + Q2 + Q3 +

    3) C = C1 + C2 + C3 +

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 197

  • - 198 -

    C. EN BATERA O MIXTO

    - + - + - +A

    - + - + - +BG

    - + - + - +C

    SUS CARCTERSTICAS:

    C1C = N n

    La capacidad de cada uno de los condensadoreses igual a C1.

    N = nmero de conexiones en serie

    n = nmero de condensadores en cada serie

    ENERGA DE UN CONDENSADOR

    Cuando un condensador se carga, empieza con Q = 0y por consiguiente la diferencia de potencial tambines 0: V = 0, a medida que se va cargando, la diferen-cia de potencial subre de 0 a V y el valor medio esla diferencia, entre dos: V/2.

    El trabajo necesario para trasladar una carga Q atravs de una diferencia de potencial V/2 es:

    1W = VQ2

    o:

    1W = CV22

    o:

    1 Q2W = . 2 C

    Unidades SI:

    W en joules J.

    Q en coulombios C.

    V en voltios V.

    C en faradios F.

    ELECTRODINMICA

    Es el estudio de partculas elctricas en movimientoa travs de conductores.

    CORRIENTE ELCTRICA

    Es el flujo de electrones a travs de un conductor.

    PARTES DE UN CIRCUITO ELCTRICO

    GENERADOR

    Conductor

    Interruptor

    Receptor

    UNIDADES SI PARA MEDIR LA CORRIENTE

    ELCTRICA

    INTENSIDAD

    Qi =

    t

    i = intensidad, en amperios: A.

    Q = masa elctrica, en coulombios: C.

    T = tiempo, en segundos: s.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 198

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 199 -

    DIFERENCIA DE POTENCIAL

    WE = Q

    E = fuerza electromotriz, (f.e.m.) en voltiosV.

    W = energa desplazada, en joulios: J.

    Q = carga elctrica desplazada, en coulom-bios: C.

    RESISTENCIA ELCTRICA

    ER = i

    R = resistencia del conductor o aparato recep-tos, en ohmios: .

    E = f.e.m. en voltios V.

    i = intensidad, en amperios A.

    NOTA.-

    1) La letra que se usa como smbolo del ohmioes .

    2)Al voltaje o diferencia de potencial tam-bin se le llama cada de potencial.

    3) El ohmio patrn es la resistencia queofrece un alambre de mercurio (Hg) de1,063 m de longitud, de 1 mm de dime-tro de seccin, a 0C, al paso de un am-perio de corriente elctrica cuando la di-ferencia de potencial es de 1 voltio.

    RESISTENCIA DE LOS CONDUCTORES

    La resistencia, es la dificultad que ofrece un conduc-tor al paso de la corriente.

    LEY DE POUILLET

    La resistencia de un conductor homogneo, de sec-cin recta constante, es directamente proporcionala su longitud L e inversamente proporcional a suseccin recta A.

    LR = A

    R = resistencia del conductor, en ohmio

    = resistividad, o resistencia especfica propia decada material, en ohmios . cm

    L = longitud del conductor, en metros: m

    A = rea de la seccin del conductor, en m2

    CONDUCTANCIA

    Es la inversa de la resistencia.

    1G = R

    G = conductancia, en ohms:

    R = resistencia, en ohms:

    ASOCIACIN DE RESISTENCIAS

    R(a)

    (b)

    Representacin de una resistencia

    (a) americana (b) alemana

    E +-

    Representacin de un generador

    A. EN SERIEE

    i - + i

    i i

    R1 R2 R3

    SUS CARACTERSTICAS:

    1) i = i1 = i2 = ...

    2) R = R1 + R2 + R3 +

    3) E = E1 + E2 + E3 +

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 199

  • - 200 -

    B. EN PARALELO

    i - + i

    R1i1 i1R2i2 i2

    i iR3i3 i3

    SUS CARACTERSTICAS:

    1) i = i1 + i2 + i3 +

    i i i i2) = + + + R R1 R2 R3

    3) E = E1 = E2 = E3 =

    Las intensidades en cada ramal son inversamenteproporcionales a sus resistencias:

    i1 i2 i2 i3 = ; = R2 R1 R3 R2

    i1 i3 = R3 R1

    FUERZA ELECTROMOTRIZ Y RESISTENCIATOTAL EN UN CIRCUITO

    Cada de tensin externa

    Ee = i . Re

    Cada de tensin interna

    Ei = i . ri

    Cada de tensin total

    ET = Ee + Ei

    CORRIENTES DERIVADASLEYES DE KIRCHOFF

    La direccin que se les asigna a la corriente en cadanudo es arbitraria. Si ha sido equivocada, el procesode solucin matemtico lo indicar.

    A i1 R3 i1 B i3 C

    i2 i3

    R2 R4

    - +ri r1E1 E2

    F i1 R1 i1 E D

    1ra. LEY: DE LOS NUDOS

    La suma algebraica de las intensidades de las corri-entes que llegan a un nudo es cero o La suma delas intensidades que llegan a un nudo es igual a lasuma de las intensidades que salen del nudo.

    i = 0

    Ejemplo:

    Nudo B : i2 + i3 = i1

    2da. LEY: DE LAS MALLAS

    La suma algebraica de las fuerzas electromotrices deuna malla cualquiera es igual a la suma algebraicade los productos de las intensidades por las respec-tivas resistencias.

    E = i . R

    Ejemplo:

    Para la malla ABEF

    E1 + E2 = i1 . R1 + i2 . r1+ i2 . R2 + i1 . R3 + i1 . r1

    PUENTE DE WHEATSTONE

    Si el puente de Wheatstone se halla en equilibrio, elproducto de las resistencias opuestas, son iguales.

    R1 . R3 = R2 . R4

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 200

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 201 -

    i1 i1R1 R2

    i1 i1

    A Bi2 i2

    R4 R3i2 i2i

    + -E

    ENERGA Y POTENCIA DE LACORRIENTE ELCTRICA

    ENERGA ELCTRICA

    Es la capacidad de la corriente elctrica para realizarun trabajo. Puede ser: a) Energa consumida poraparatos elctricos; b) Energa producida por un ge-nerador.

    a) ENERGA CONSUMIDA O DISIPADA

    W = V . Q (I)

    UNIDADES SI

    W = energa consumida, en joules J.

    V = diferencia de potencial, en volts: V.

    Q = carga elctrica consumida, en coulombiosC.

    La frmula (I) puede tomar otras formas:

    Si: Q = i . t

    W = V . i . t

    VSi: i = R

    V2 . t W = R

    Si : V = i . R

    W = i2 . R . t

    b) ENERGA PRODUCIDA POR UNGENERADOR

    W = E . Q (II)

    W = energa del generador, en joules J.

    E = f.e.m. del generador, en volts: V.

    Q = carga suministrada por el generador, encoulombs C.

    POTENCIA DE LA CORRIENTE ELCTRICA

    W jouleP = (I) watt =

    t s

    JW =

    s

    La fmurla (I) puede tomar otras formas en fun-cin de otras mediciones de corrientes, as:

    Si: W = E . Q

    E . Q P = t

    Si: Q = i . t

    P = i . E

    ESi: i = R

    E2 P = R

    Si: E = i . R

    P = i2 . R

    EQUIVALENCIAS:

    1 k . W = 103 W

    1kW . h = 3,6 . 106 J

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 201

  • - 202 -

    EFECTO JOULE o LEY DE JOULE

    El calor Q disipado por un conductor al pasar lacorriente a travs de l, es directamente propor-cional a la energa elctrica W gastada para vencerla resistencia del conductor.

    Q = 0,24 . W

    Si: W = i2 . R . t

    Q = 0,24 . i2 . R . t

    Donde:

    0,24 = factor de conversin de joules a caloras(0,24 cal/J).

    Q = calor producido, en caloras: cal.

    i = intensidad de la corriente, en amperes:A.

    R = resistencia del conductor, en ohms: .

    t = tiempo que circula la corriente, en segun-dos: s.

    1 J = 0,24 cal

    RENDIMIENTO DE LA CORRIENTE ELCTRICA

    Pu(I) = Pt

    = rendimiento adimensional.

    Pu = potencia utilizada en watts W o kW.

    Pt = potencia suministrada, en watts W o kW.

    Pu= Pt - Potencia perdida en el generador.

    Pu= E . i i2 . R.

    Sustituyendo en (I) y efectuando:

    i . R = 1 - E

    amperio . ohmio A . = 1 - = 1 - voltio V

    MAGNETISMO Y ELECTROMAGNETISMO

    A) MAGNETISMO

    Propiedad que tienen algunos cuerpos de atraer elhierro, de acuerdo a ciertas leyes fsicas.

    LNEAS DE FUERZA DE UN CAMPOMAGNTICO

    Son lneas imaginarias que van de un polo a otro polode un imn.

    S N

    Lneas de fuerzas magnticas en un campo creadopor polos diferentes:

    N S

    Lneas de fuerza magnticas en un campo creado porpolos diferentes:

    N N

    LEYES MAGNTICAS

    1ra. LEY CUALITATIVA

    Polos iguales se repelen, polos contrarios se atraen.

    2da. LEY CUANTITATIVA (Coulomb Magntica)

    La fuerza de atraccin o repulsin entre dos polosmagnticos es directamente proporcional a las ma-sas magnticas de los polos, e inversamente propor-cional al cuadrado de la distancia que las separa.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 202

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 203 -

    m1 . m2F = KM.

    d2

    UNIDADES SI:

    F = fuerza de atraccin o repulsin, enN.

    m1 . m2 = masas magnticas de los polos, enamperio . metro A . m.

    d = distancia entre polos, en metros m.

    KM = constante magntica.

    N . m2= 10 -7 (A . m)2

    m1 m2F F

    d

    DEFINICIN DE A . m

    La unidad de masa magntica A . m es la que escapaz de rechazar o atraer a otra masa magnticaigual y que est a 1 m de distancia, en el vaco, conuna fuerza de 10 -7 N.

    INTENSIDAD B DE UN PUNTO DEL CAMPOMAGNTICO

    Es el poder magntico de un punto en las cercanas deun imn. Sea mO una masa magntica de polo en unpunto de un campo, la intensidad se expresa as:

    FB =

    mO

    B = intensidad del campo magntico, medido en

    teslas T.

    Un submltiplo de tesla es el gauss

    1 T = 104 G 1 G = 10-4 TF = fuerza, en N.

    mO = masa magntica, en A . m.

    mO BP

    F

    d

    INTENSIDAD DE CAMPO MAGNTICO PRODUCIDA POR UN POLO

    MB = KM d2

    B = intensidad del campo magntico a la distan-

    cia d, en tesla T.

    M = masa magntica del polo, en A . m.

    d = distancia del polo a un punto del campo, enmetros m.

    KM = constante de permeabilidad magntica, en:

    N . m2KM = 10

    -7 (A .m)2

    FLUJO MAGNTICO

    Se llama flujo magntico al nmero total delneas magnticas que atraviesan perpendicular-mente una seccin S determinada.

    = B . S

    Norte S Sur

    Seccin

    Si el plano atravesado forma un ngulo con laslneas magnticas, el valor del flujo es:

    = B . S cos

    Norte S Sur

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 203

  • - 204 -

    DENSIDAD MAGNTICA B

    Est dada por el nmero de lneas magnticas queatraviesan una unidad de rea.

    B =

    S

    NOTA.-

    Convencionalmente la intensidad de flujomagntico y la densidad de flujo magnticoson iguales.

    = flujo magntico en weber Wb1 Wb = 1T . m2.

    B = densidad del flujo magntico, en T/m2.

    S = rea en m2.

    B) ELECTROMAGNETISMO

    Es el estudio de la relacin que hay entre la corri-ente elctrica y el magnetismo.

    EFECTO OERSTED

    Siempre que por un conductor pasa corriente elctri-ca, alrededor suyo se crea un campo magntico cuyaslneas de fuerza la envuelven, su sentido u orienta-cin depende de la direccin de la corriente.

    Al campo magntico creado por la corriente que cir-cula se le llama campo magntico inducido.

    REGLA DE LA MANO DERECHA (de Ampere)

    Poniendo la palma de la mano estirada sobre el con-ductor, con el pulgar apuntando el sentido de la cor-riente, los dems dedos indican hacia donde apuntanlas lneas de fuerza del campo magntico.

    i

    LEY DE BIOY Y SAVART

    La intensidad magntica inducida en un punto cer-cano a un conductor recto y largo, por donde cir-cula corriente elctrica, es directamente propor-cional a la intensidad de la corriente e inversamenteproporcional a la distancia del punto considerado alconductor.

    O iB = .

    2 R

    B = intensidad del campo, en teslas T.

    i = intensidad de la corriente elctrica, en am-peres A.

    R = distancia del punto en el campo al conduc-tor en m.

    KM = constante magntica.

    N . m2= 10 -7 (A . m)2

    INTENSIDAD DE CAMPO CREADA POR UNCONDUCTOR CIRCULAR

    a) En el centro:

    O iBc = .

    2 R

    b) En un punto del eje:

    O iR2

    Bp = . 2 (x2 + R2)3/2

    R S

    N

    - +

    i i

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 204

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 205 -

    LEY DE LA CIRCULACIN DE AMPERE

    INTENSIDAD DE CAMPO EN EL INTERIOR DEUN SOLENOIDE:

    Solenoide es un alambre enrollado, por donde circu-la la corriente, y que tienen la forma de un resorte.

    L

    N S

    + -

    Es un espiral de un alambre conductor de corrienteelctrica.

    N . iB = O

    L

    o:

    B = O . n . i

    B = intensidad del campo magntico, en teslasT.

    N = nmeros de espiras.

    i = intensidad de la corriente, en A.

    L = longitud del solenoide, en m.

    0 = permeabilidad del espacio libre .

    T . m= 4 . 10 -7

    A

    NSi: = n, se tiene la segunda frmulaL

    BOBINA, SOLENOIDE ANULAR O TOROIDALDE ROWLAND

    Cuando se junta los extremos de un solenoide,arquendolo, para hacer una corona o anillo,ocurre que:

    1) En el extremo, el campo magntico es cero.

    2) En el interior, el valor de H es igual en cual-quier punto.

    3) El radio para el clculo es el radio medio.

    INTENSIDAD DEL CAMPO EN EL INTERIOR DEUN TOROIDE

    R1 + RERa = 2

    RE R1

    - +

    iB = O . . N2Ra

    o:iB = 2 KM . . N

    Ra

    FLUJO A TRAVS DE UN SOLENOIDE:(Cuando el ncleo es aire)

    N = O . . iL

    FLUJO A TRAVS DE UN SOLENOIDE:(Cuando el ncleo no es aire)

    N = 4 KM . r . . i . SL

    o:

    N = O . r . . i . SL

    o:

    N = . . i . SL

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 205

  • - 206 -

    = flujo, en webers (1 Wb = 1 T . m2)

    i = intensidad de corriente, en amperios A.

    Nn = , nmero de espiras por unidad

    L de longitud ( # espiras/m).

    S = rea circular de la bobina, en m2.

    = permeabilidad magntica del material.

    O = permeabilidad magntica del espacio libre ovaco.

    OKM = 4

    PERMEABILIDAD MAGNTICA RELATIVA r

    BNO = B

    o:

    mO =

    o:

    r = O

    r = permeabilidad relativa de una material.

    m = flujo magntico en un material.

    = flujo magntico en el espacio libre o vaco.

    DENSIDAD DEL FLUJO INDUCIDO B ATRAVS DEL NCLEO

    B =

    S

    B = densidad magntica de flujo inducido, en tes-las T.

    = flujo magntico, en webers Wb.

    S = seccin del solenoide, en m2.

    NOTA:

    La densidad magntica con la intensidadmagntica o induccin magntica se igualan(es el mismo concepto).

    EFECTO FARADAY

    Es un efecto contrario al de Oersted, es decir que elmagnetismo produce corriente elctrica.

    Cuando se acerca y se aleja un imn a un solenoide,se crea en el solenoide una corriente que Faraday lallam corriente inducida.

    Sea un imn A con sus lneas de fuerza y un sole-noide S:

    1) Si el imn no se mueve, el nmero de lneas queatraviesa el solenoide no vara. No hay corrien-te inducida.

    SA

    2) Si el imn se acerca, el nmero de lneas queatraviesa el solenoide aumenta. Hay corrienteinducida.

    S

    A

    3) Si el imn se aleja, el nmero de lneas queatraviesa el solenoide disminuye. Hay corrientede sentido contrario al anterior.

    S

    A

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 206

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 207 -

    VioleVioleVioleViole

    Platinofundente

    4) Si el imn se acerca y se aleja repetida y rpida-mente, el nmero de lneas que atraviesa elsolenoide tambin aumenta rpidamente ycomo consecuencia la intensidad de la corrienteinducida aumenta. La corriente que circula porel solenoide es CORRIENTE ALTERNA.

    Sea 1 el flujo inicial y sea 2 el flujo final de mayorvalor, la variacin del flujo es:

    = 2 - 1

    La velocidad o rapidez de variacin del flujo ser:

    v =

    t

    LEY DE FARADAY

    La fuerza electromotriz inducida en un solenoide esdirectamente proporcional, pero de signo contrario,al nmero de espiras del solenoide y a la rapidezcon que cambia el flujo magntico que encierra.

    N . F = -

    t

    F = fuerza electromotriz, en voltios V.

    N = nmero de espiras.

    = variacin del flujo magntico, en Wb.

    t = perodo de tiempo en s.

    PTICA

    Es el estudio de la luz, as como de todos los fen-menos relacionados con ella.

    Segn Newton, la luz es una emisin corpuscular delos cuerpos.

    Segn Huygens, la luz es un fenmeno ondulatorio.Maxwell sostena que la luz est constituda porondas transversales de naturaleza electromagntica.

    Plank postula la teora de los quanta. Segn estateora la energa de un haz luminoso est concentra-da en paquetes constituyendo corpsculos energti-cos o fotones.

    Actualmente se cree en la doble naturaleza de la luz:corpuscular y ondulatoria.

    VELOCIDAD DE LA LUZ

    300 000 km/s

    UNIDAD DE INTENSIDAD DE LA LUZ

    Viole es la intensidad de la luz emitida por unaplancha de platino de 1cm2 en estado fundente.

    11 candela = Viole

    20

    11 buja = Viole

    20

    1 cad = 1 buja

    A) ILUMINACIN

    Es la incidencia de los rayos luminosos sobre unasuperficie.

    UNIDAD DE ILUMINACIN E

    I cos 1 bujaE = 1 lux =

    d2 1 cm2

    E = iluminacin, en lux.

    I = intensidad luminosa, en bujas.

    d = distancia del foco a la zona iluminada, en cm

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 207

  • - 208 -

    Foco

    Pantalla

    d

    FLUJO LUMINOSO f

    Es la intensidad de carga luminosa recibida por unasuperficie.

    f = E . A

    f = flujo luminoso, en lmenes.

    E = iluminacin, en lux.

    A = rea iluminada, en m2.

    1 lumen = 1 lux . 1 m2

    Pantalla

    Diaframa

    INTENSIDAD LUMINOSA I

    Es la cantidad de flujo emitido por un manantial porcada unidad de ngulo slido.

    Foco

    fI =

    I = intensidad luminosa, en bujas.

    f = flujo luminoso, en lmenes.

    = ngulo slido, en estereoradianes o radianes.

    FLUJO TOTAL DE INTENSIDAD fT

    fT = 4 . I

    fT = flujo total de iluminacin, en lmenes.

    = en radianes.

    I = intensidad luminosa, en bujas.

    UNIDADES FOTOMTRICAS S.I.(S.I. = Systeme International dUnites)

    Propiedad que se mide Unidad S.I. Smbolo

    Intensidad luminosa (I) Candela cd

    Flujo luminoso () Lumen Im

    Iluminacin (E) Lux (1m/m2) Ix

    Luminancia (L) cd/m2 cd/m2

    REFLEXIN DE LA LUZ

    Es el rebote que experimentan los rayos luminosos alincidir sobre una superficie, cambiando de direccin.La superficie puede ser rugosa o pulimentada, dandoorigen reflexin difusa y reflexin regular,respectivamente.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 208

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 209 -

    LEYES DE LA REFLEXIN REGULAR

    El ngulo i de incidencia es igual al ngulo r dereflexin.

    El rayo de incidencia, el rayo de reflexin y la nor-mal estn en un mismo plano perpendicular alplano de incidencia.

    NGULO DE INCIDENCIA i y NGULO DEREFLEXIN r

    NORMAL N es una recta perpendicular al plano enel punto de incidencia del rayo luminoso.

    Ni = de incidencia

    r = de reflexin

    i r

    ESPEJOS

    Son superficies pulimentadas que sirven para pro-ducir reflexin regular y producir imgenes. Losespejos pueden ser planos o esfricos.

    ESPEJOS PLANOS

    Son superficies pulimentadas planas que al incidirlos rayos luminosos proporcionan una imagen de lassiguientes caractersticas:

    a) Derecha.

    b) Virtual, es decir detrs del espejo.

    d) Del mismo tamao del objeto.

    e) Simtrico con respecto al espejo.

    objeto: O

    i r

    Espejo

    imagen: I

    ESPEJOS ESFRICOS

    Son casquetes esfricos pulidos. Si est pulido pordentro el espejo es cncavo o convergente; si estpulido por fuera el espejo es convexo o divergente.

    Cncavo Convexo o

    convergente divergente

    ELEMENTOS DE UN ESPEJO ESFRICO

    R

    V F C

    f

    1) CENTRO DE CURVATURA, es el centro C de laesfera.

    2) POLO DEL CASQUETE, es el vrtice V.

    3) EJE PRINCIPAL, es la recta que une el vrtice Vy el centro de curvatura C.

    4) ABERTURA, es el ngulo formado por el ejeprincipal y el radio que pasa por el borde del es-pejo.Normalmente los espejos esfricos no tienenms de 10 de abertura, lo que significa que su ra-dio siempre es muy grande.

    5) FOCO PRINCIPAL, es el punto F del eje principalpor donde pasan los rayos reflejados del espejo.

    6) DISTANCIA FOCAL, es la distancia f del focoprincipal al vrtice V del espejo, su valor: f = R/2.

    7) EJE SECUNDARIO, es cualquier eje que no sea elprincipal y que pasa por el centro C del espejo.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 209

  • - 210 -

    RAYOS PRINCIPALES

    1. Todo rayo paralelo al eje principal, se reflejapasando por el foco F.

    V O

    F C

    2. Todo rayo que pasa por el foco F, se reflejaparalelo al eje principal.

    V O

    F C

    3. Todo rayo que pasa por el centro de curvatu-ra C, se refleja sobre s mismo.

    V O

    F C

    POSICIN DEL OBJETO Y LA IMAGEN EN UN ESPEJO CONCVO

    Cuando el objeto est ms all del centro decurvatura.

    F CV O

    I

    Imagen:

    Real Invertida de menor tamao

    El objeto est sobre el centro de curvatura:

    OV F C

    I

    Imagen:

    Real Invertida del mismo tamao del objeto

    El objeto est entre el foco y el centro de cur-vatura:

    O

    FV C

    I

    Imagen:

    Real Invertida de mayor tamao

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 210

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 211 -

    El objeto est sobre el foco:

    O C

    F

    Imagen:

    Los rayos reflejados no se cortan, luego no hayimagen, o la imagen est en el infinito.

    El objeto est entre el foco y el vrtice

    I

    O F C

    Imagen:

    Virtual, porque se cortan en la prolongacindel rayo reflejado.

    Derecha de mayor tamao que el objeto.

    Cuando se trata de punto que est en el ejeprincipal:

    IF C O

    Imagen:

    En el eje principal.

    IMAGEN DE UN ESPEJO CNCAVO

    O

    I CF

    Imagen:

    Virtual derecha ms chica que el objeto.

    POSICIN DE LA IMAGEN (Frmula de Descartes):

    1 1 1 = + f i o

    f = distancia del foco al vrtice.

    i = distancia de la imagen al vrtice.

    o = distancia del objeto al vrtice.

    F C O

    f

    i2f

    o

    NOTA:

    1) Esta frmula es vlida para espejos cncavosy convexos.

    2) Signos de las imgenes: imagen real + i, ima-gen virtual: -i.

    3) Signos de las magnitudes:

    Para espejos cncavos:

    R y F son positivos (+)

    Para espejos convexos:

    R y F son negativos (-)

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 211

  • - 212 -

    TAMAO DE LA IMAGEN I(O tamao del objeto)

    iI = O o

    C) REFRACCIN DE LA LUZ

    Es el fenmeno fsico que consiste en el cambide direccin que experimenta un rayo luminososal incidir en la superficie de separacin entre dosmedios de distinta densidad,debido a que el rayoluminoso cambia su velocidad.

    La refraccin se produce cuando el rayo luminosoincide en forma oblcua a la superficie de sepa-racin entre dos medios distintos.

    R.i Superficiede separacin

    iAire

    rAgua

    NDICES DE REFRACCIN

    NDICE DE REfRACCIN ABSOLUTO n

    Cn =

    V

    n = ndice de refraccin.

    C = velocidad de la luz en el vaco 300 000 km/s

    V = velocidad de la luz en el otro medio.

    NDICE DE REFRACCIN RELATIVO nA B

    VAnA B = VB

    VA = velocidad de la luz en el medio A.

    VB = velocidad de la luz en el medio B.

    LEYES DE LA REFRACCIN

    1ra. LEY: Es cualitativa:

    El rayo incidente, la normal y el rayo refractado estnen un mismo plano, llamado plano de incidencia.

    2da. LEY: Es cuantitativa:

    La relacin del seno del ngulo de incidencia y elseno del ngulo de refraccin es constante e igual alndice de refraccin.

    sen i = nA Bsen r

    nA B = ndice de refraccin del medio B con respec-to al medio A.

    iA

    Br

    NGULO LMITE Y REFLEXIN TOTAL : L

    Cuando la luz va del agua al aire:

    N N N

    Aire 1 2 3 4

    L

    Agua

    El rayo 1 pasa de frente, no refracta ni refleja.

    El rayo 2 refracta y refleja.

    El rayo 3 refracta a 90 y refleja.

    El rayo 4 todo refleja porque el ngulo de inci-dencia es mayor que el ngulo lmite L.

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 212

  • F O R M U L A R I O M A T E M T I C O

    - 213 -

    1SenL = n

    n = ndice de refraccin del agua con respecto alaire.

    L = ngulo lmite de refraccin.

    LMINA DE CARAS PARALELAS.DESPLAZAMIENTO d DEL RAYO

    Sea por ejemplo el vidrio de una ventana de espesorh, a travs del cual pasa un rayo de luz.

    hd = . sen ( i - r ) cos r

    N NRayo

    iAire n A

    rh

    i CVidrio

    Aire n Be

    Rayo

    PRISMA PTICO. CALCULO D DEDESVIACIN

    sen i sen e = = nsen r sen i

    D = i + e -

    A

    D

    N NI = i - r I = e- i

    i er i

    DESVIACIN MNIMA DE PRISMA:

    Sucede cuando e = i

    Dm = 2i A

    NDICE DE REFRACCIN CON DESVIACINMNIMA:

    Dm + Asen

    2n =

    Asen 2

    IMGENES POR REFRACCINCuando un cuerpo est sumergido

    Determinacin de profundiad aparente pa o pro-fundidad aparente pa o profundidad real pr.

    Pa n2 = Pr n1

    N Nn2r

    A B

    pa n1r

    I prObjeto luminoso i

    N Nn2

    A B

    pa n1i

    I prObjeto luminoso r

    formu. mat.3 15/11/05 12:23 Pgina 213

  • - 214 -

    LENTES

    Son cuerpos refractantes, refrigerantes, limitados pordos superficies o ambas esfricas, o una esfrica y laotra plana.

    CONVERGENTES

    Cncavo cnvexaBiconvexa Plano cnvexa o

    Meniscoconvergente

    DIVERGENTES

    Convexo concvaBiocncava Plano cncava o

    Meniscodivergente

    ELEMENTOS DE LAS LENTES

    1) Eje principal CC1

    2) Centro de curvatura CC y C1

    3) Centro ptico

    4) Foco principal F

    5) Distancia focal OF = f = R/2

    CF = FO

    y OF1 = F1 C1

    C F F1 C1 C F F1 C1

    O O

    f f1 f f1

    RAYOS PRINCIPALES EN LAS LENTESCONVERGENTES Y DIVERGENTES

    I)

    F F F

    F

    Todo rayo paralelo al eje principal, en una lenteconvergente, se refracta pasando por el foco. Si lalente es divergente, la prolongacin del rayorefractado es la que pasa por el foco.

    II)

    C F F1 C1 F F1 C1

    Todo rayo que pasa por el centro ptico no sedesva, sea la lente cncava o convergente.

    III)

    C F F1 C1 F F1 C1

    Todo rayo que pasa por el foco de una lente con-vergente, que incide en una lente, se refracta pa-ralelo al eje principal. Todo rayo que incide enuna lente divergente, cuya prolongacin pasa porel foco se refracta paralelo al eje principal.

    formu. mat.3