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FORMULARIO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

ECUACIONES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO

Ecuación diferencial separable ( ) ( )

Ecuación diferencial homogénea

(

) cambio

Ecuaciones diferenciales casi homogéneas

(

)

Si: , se cortan el cambio es: , donde ( ) es el punto de corte Si son paralelas: , el cambio es:

Ecuación diferencial lineal:

( ) ( )

∫ ( ) ∫ ( ) ∫ ( )

Ecuación diferencial tipo Bernoulli:

( ) ( )

Ecuación diferencial exacta: ( ) ( )

Es exacta si se cumple:

Factores de integración:

.

/ ( ) ∫ ( )

.

/ ( ) ∫ ( )

Ecuación diferencial de Riccati ( ) ( ) ( )

Cambio: ( ) ⁄

Donde ( ) es un solución de la ecuación diferencial

Manipulaciones diferenciales

( ) (

)

(

)

.

/

( ) .

/

(

)

(

( ))

APLICACIONES DE ECUACIONES DE PRIMER ORDEN APLICACIONES GEOMETRICAS

La pendiente y la pendiente normal

,

La ecuación de una recta tangente en ( ) es:

( )

La ecuación de una recta normal en ( ) es:

( )

Longitudes de la subtangente y la

subnormal

,

Los segmentos interceptados por la recta tangente

en los ejes “ ” y “ ”

,

Los segmentos interceptados por la recta normal

en los ejes “ ” y “ ”

,

Longitud de curva

√ (

) √ (

)

Área

Las longitudes de la recta tangente entre el punto ( ), con los segmentos interceptados por la recta tangente en los ejes “ ” y “ ”

√ (

) , √ (

)

Las longitudes de la recta normal entre el punto ( ), con los segmentos interceptados por la recta normal en los ejes “ ” y “ ”

√ (

) , √ (

)

MODELOS DE CRECIMIENTO

, Cantidad presente , Constante de proporción

PROBLEMAS DE MEZCLAS

( )

( )

Cantidad de un sustancia EL tiempo Volumen inicial , Velocidad de flujo entrante , Velocidad de flujo saliente ( ) , Concentración entrante

APLICACIÓN A LOS CIRCUITOS ELECTRICOS

( ) ,

( )

, La corriente (amperios) , La carga (culombios) EL tiempo , La inductancia (henrios) , Capacidad del condensador (faradios) , La resistencia (ohmios) , Fuerza electromotriz (voltios)

LEY DE ENFRIAMIENTO 0 CALENTAMIENTO DE NEWTON

( )

Temperatura EL tiempo ,proporción Temperatura del ambiente

ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR

Ecuación diferencial a coeficientes constantes homogénea

Con 1) Si: son reales distintos

2) Si: son reales iguales

3) Si: son complejos

cos sen

Otra solución L.I. a de: ( ) ( )

∫ ∫ ( )

( )

Fórmulas para reducir el orden

Ecuación diferencial Cauchy - Euler

Cambio: , (Para trasformar a coeficientes constantes) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) . . .

ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL NO HOMOGÉNEA

MÉTODOS PARA HALLAR LA SOLUCIÓN PARTICULAR DE ( ) ( ) ( )

Variación de parámetros (Variación de constantes)

.

/ (

) (

( ))

O P E R A D O R E S

Teoremas (Métodos Abreviados)

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) , ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) (

)

( ) ( )

( ) ( ) , ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) (

)

( ) ( )

( ) ( )

( )

, ( )- ( )

( ) ( )

Coeficientes indeterminados (tanteo)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

APLICACIONES DE ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN

CIRCUITOS ELÉCTRICOS SENCILLOS

( )

( )

, La corriente (amperios) , La carga (culombios) EL tiempo , La inductancia (henrios) , Capacidad del condensador (faradios) , La resistencia (ohmios) , Fuerza electromotriz (voltios)

CAIDA LIBRE

CAIDA RETARDADA Resistencia proporcional a

, altura , masa tiempo , gravedad , constante de proporción

EL SISTEMA MASA RESORTE

, ecu. de movimiento , La masa EL tiempo , rigidez , constante de amortiguamiento

LEY DE HOOKE

, masa , alargamiento , constante de proporción

FRECUENCIA DE OSCILACION

√ ⁄

PERIODO DE OSCILACION ⁄

TRANSFORMADA DE LAPLACE * ( )+ ∫ ( )

( ) → Definición

* +

, * +

, * ( )+ ( ) ( )

* +

, * +

, * ( )+ ( ) ( ) ( )

* +

, * ( )+

(

) { ( )( )} ( ) ( ) ( ) ( )( )

* +

, * ( )+ ( ) Traslación {∫ ( ) ( )

}= ( ) ( ) convolución

* +

, * ( )+ ( ) ( )

( ) * ( )

+ ( ) ( ) * ( )+ ( )

* +

, {

( )

} ∫ ( )

* ( )+

* +

, {∫ ( )

}

( )

* ( ) ( )+ * ( )+ ( )

* +

, * ( )+

∫ ( )

* ( ) ( )+ * ( )+

TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE (ANTITRANSFORMADA)

{

} {

}

{ ( )( )} ( ) ( ) * ( )+ * ( )+ ( ) Traslación

{

} {

} {∫

( )}

( )

* ( ) ( )+ ∫ ( ) ( )

convolución

{

}

( ) , {

}

{

( )

} ∫ ( )

* ( ) + *

( )

( ) ( )

{

} {

} { .

/} ( ) * + ( )

MÉTODO DE SERIES

Si de : ( ) ( ) ( ) y ( ) son analíticas en (Punto regular) ∑ ( )

Si de : ( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) ( ) son analíticas en (Punto singular regular)

∑ ( ) ∑ ( )

Ecuación indicial ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Segunda solución y términos logarítmicos para ( ) Caso 1 Si no es un entero ∑

∑

Caso 2 Si ∑

( ) ∑

Caso 3 Si ∑

( ) ∑