DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS

Curso 2010 – 2011

CUADRO DE DERIVADAS CUADRO DE INTEGRALES

y = c y′ = 0

∫

adx = a · x+ c

y = u± v± . . . y′ = u′± v′± . . .∫

a ·udx = a ·∫

udx

y = u · v y′ = u′ · v+u · v′∫

(u± v± . . .) dx =∫

udx±∫

vdx± . . .

y =u

vy′ =

u′ · v−u · v′v2

∫

[

u]n

u′ dx =1

n+1

[

u]n+1

+ c n 6=−1

y =[

u]n

y′ = n ·[

u]n−1 ·u′

∫

u′

udx = ln

∣

∣u∣

∣+ c

y = lnu y′ =u′

u

∫

euu′ dx = eu + c

y = loga u y′ =u′

uloga e

∫

auu′ dx =1

lnaau + c

y = eu y′ = eu u′∫

cosu ·u′ dx = senu+ c

y = au y′ = au lna ·u′∫

senu ·u′ dx =−cosu+ c

y = senu y′ = cosu ·u′∫

tgu ·u′ dx =− ln[

cosu]

+ c

y = cosu y′ =−senu ·u′∫

cotgu ·u′ dx = ln[

senu]

+ c

y = tgu y′ = sec2 u ·u′∫

secu · tgu ·u′ dx = tgu+ c

y = secu y′ = secu · tgu ·u′∫

cosecu · cotgu ·u′ dx =−cosecu+ c

y = cosecu y′ =−cosecu · cotgu ·u′∫

sec2 u ·u′ dx = tgu+ c

y = cotgu y′ =−cosec2 u ·u′∫

cosec2 u ·u′ dx = cotgu+ c

y = arcsenu y′ =u′

√

1−[

u]2

∫

u′√

1−[

u]2

dx =

{

arcsenu+ c

−arccosu+ c

y = arccosu y′ =− u′√

1−[

u]2

∫

u′

1+[

u]2

dx =

{

arc tgu+ c

−arc cotg u+ c

y = arc tgu y′ =u′

1+[

u]2

∫

u′

u

√

[

u]2−1

dx =

{

arc sec u+ c

−arc cosec u+ c

y = arc sec u y′ =u′

|u|√

[

u]2−1

∫

u ·dv = u · v−∫

v ·du

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Curso 2010 – 2011

TRIGONOMETRÍA

Valores para los principales ángulos

Relaciones fundamentales α 0◦ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦

sen2α + cos2α = 1senα 0

1

2

√2

2

√3

21

tg2α +1 = sec2αcosα 1

√3

2

√2

2

1

20

cotg2α +1 = cosec2αtgα 0

√3

31

√3 ∞

sen(

π2±α

)

= cosα sen(π±α) =∓senα sen(

3π2±α

)

=−cosα sen(2π±α) =±senα

cos(

π2±α

)

=∓senα cos(π±α) =−cosα cos(

3π2±α

)

=±senα cos(2π±α) = cosα

tg(

π2±α

)

=∓cotgα tg(π±α) =± tgα tg(

3π2±α

)

=∓cotgα tg(2π±α) =± tgα

Sumas y diferencias de ángulos Ángulo doble: Ángulo mitad:

sen(α±β ) = senα · cosβ ± cosα · senβ sen2α = 2 · senα · cosα cosα

2=±

√

1+ cosα

2

cos(α±β ) = cosα · cosβ ∓ senα · senβ cos2α = cos2α− sen2α senα

2=±

√

1− cosα

2

tg(α±β ) =tgα± tgβ

1∓ tgα · tgβtg2α =

2tgα

1− tg2αtg

α

2=±

√

1− cosα

1+ cosα

senα± senβ = 2 · sen α±β

2· cos α∓β

2senα · senβ =−1

2

[

cos(α +β )− cos(α−β )]

cosα + cosβ = 2 · cos α +β

2· cos α−β

2cosα · cosβ = 1

2

[

cos(α +β )+ cos(α−β )]

cosα− cosβ =−2 · sen α +β

2· sen α−β

2senα · cosβ = 1

2

[

sen(α +β )+ sen(α−β )]

Teorema del seno Teorema del coseno

a

sen A=

b

sen B=

c

senC

a2 = b2 + c2−2bc · cos A

b2 = a2 + c2−2ac · cos B

c2 = a2 +b2−2ab · cosC

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Ecuación paramétrica Ecuación continua Ec. punto–pendiente Ecuación explícita Ecuación general

x = xA +λ · vx

y = yA +λ · vy

x− xA

vx

=y− yA

vy

y− yA = m(x− xA) y = m · x+n A · x+B · y+C

Recta que pasa por Distancia punto – Ángulo entre dos Paralelismo: Perpendicularidad:dos puntos, A y B recta: D(P,r) rectas: cosα(r,r′) r‖r′: r ⊥ r′:

x− xA

xB− xA

=y− yA

yB− yA

A · x0 +B · y0 +C√A2 +B2

A ·A′+B ·B′√A2 +B2 ·

√A′2 +B′2

vx

ux

=vy

uy

~v ·~u = 0

A

A′=

B

B′6= C

C′A ·A′+B ·B′ = 0

m = m′ m ·m′ =−1

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Curso 2010 – 2011

LUGARES GEOMÉTRICOS

Punto medio Baricentro Interpolación Lugar geométrico

M ≡(

x1 + x2

2,y1 + y2

2

)

G≡ 1

3

(

~a+~b+~c)

Pk ≡~a+k

n·(

~b−~a) Conjunto de puntos que

cumplen una condición

Circunferencia Elipse Hipérbola Parábola

d(P,O) = R = cte d(P,F)+d(P,F ′) = 2a = cte d(P,F)−d(P,F ′) = 2a d(P,F) = d(P,d) =p

2

(x− xo)2 +(y− yo)

2 = R2 (x− xo)2

a2+

(y− yo)2

b2= 1

(x− xo)2

a2− (y− yo)

2

b2=±1

(x− xo)2 = 2p(y− yo)

(y− yo)2 = 2p(x− xo)

x2 + y2± . . . = 0 Ax2 +By2± . . . = 0 Ax2−By2± . . . = 0Ax2±Dy± . . . = 0

By2±C x± . . . = 0

Distancia focal a2 = b2 + c2 c2 = a2 +b2 —

Excentricidad e =c

a⇒ 0 < e < 1 e =

c

a⇒ e > 1 e = 1

NÚMEROS COMPLEJOS

Unidad imaginaria Forma binómica Forma cartesiana Forma polar Forma trigonométrica

i =√−1 z = a+bi z = (a,b) z = zϕ z = z · (cosϕ + i senϕ)

Módulo Argumento Conjugado: z = Opuesto −z = Inverso

z = |z|=√

a2 +b2 ϕ = arc tgb

a

a−bi

z−ϕ

z(cosϕ− i senϕ)

−a−bi

zπ+ϕ

z(−cosϕ− i senϕ)

z/z2

(

1z

)

−ϕ(

1z

)

(cosϕ− i senϕ)

Suma y diferencia Producto Cociente Potencias Raíces

Usar f. binómica: Usar la forma polar, preferiblemente

(a±a′)+(b±b′) i zϕ ·yϑ = (z ·y)ϕ+ϑ

zϕ

yϑ=

(

z

y

)

ϕ−ϑ

(

zϕ

)n= (zn)n·ϕ n

√zϕ =

(

n√

z)

ϕ+2π kn

Fórmula de Euler Fórmula de De Moivre

ea+ϕi = ea · (cosϕ + i senϕ)[

r · (cosϕ + i senϕ)]n

= rn · (cosnϕ + i sennϕ)

LÍMITES

COCIENTES CALCULABLES INDERTERMINACIONES

k

∞

= 0 ;k

0= ∞ ;

∞

k= 0 ;

0

k= 0 ;

0

∞

= 0 ∞−∞ ; 0 ·∞ ; 1∞ ; ∞0 ; 00 ;

∞

∞

;0

0