forma alternativa de la derivada y notación de
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FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA Y
NOTACIÓN DE LEIBNITZElaborado por:
Ing. Camilo Andrés Ortiz Daza
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Objetivo • Representar a la derivada como una forma alternativa.• Mostrar la definición de Leibnitz para la derivada como la razón de
cambio de una función.
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1. Forma Alternativa de la Derivada
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1. Forma Alternativa de la Derivada
𝑚𝑠𝑒𝑐=𝑓 (𝑥2 )− 𝑓 (𝑥1)
𝑥2−𝑥1
Si consideramos a y a entonces la pendiente de la secante es:
𝑚𝑠𝑒𝑐=𝑓 (𝑥 )− 𝑓 (𝑐)
𝑥−𝑐
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1. Forma Alternativa de la Derivada
• Entonces la derivada de una función en un punto “c” se escribe como:
lim𝑥→𝑐
𝑓 (𝑥 )− 𝑓 (𝑐)𝑥−𝑐 =𝑚𝑡𝑎𝑛
• Considerando el limite cuando x tiende a c tenemos que:
lim𝑥→𝑐
𝑓 (𝑥 )− 𝑓 (𝑐)𝑥−𝑐 = 𝑓 ´ (𝑐)
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2. Notación de Leibnitz• Se refiere a la razón de cambio de una función, se llama razón de
cambio al cociente entre el cambio presentado en f(x) y el cambio presentado en x. Así, el cambio en f(x) será:
∆ 𝑓 = 𝑓 (𝑥2)− 𝑓 (𝑥1)
• El cambio en x será:
∆ 𝑥=𝑥2−𝑥1
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2. Notación de Leibnitz
• La pendiente de la tangente se expresa como sigue:
𝑚𝑠𝑒𝑐=∆ 𝑓∆ 𝑥
𝑚𝑡𝑎𝑛= lim∆ 𝑥→0
∆ 𝑓∆𝑥
• Así pues, la pendiente de la secante se escribe como:
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2. Notación de Leibnitz
• Llamado diferencial de f, dicho diferencial es la ecuación de la recta tangente en un punto dado.
𝑑 𝑓𝑑𝑥 = lim
∆ 𝑥→0
∆ 𝑓∆𝑥
• En notación de Leibnitz la derivada se escribe como:
𝑑𝑓=𝑚𝑑𝑥
• Por último, si entonces:
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Conclusiones • La derivada puede ser escrita de forma alternativa como un cociente
que representa el cambio de la función con respecto a x.• La razón de cambio también es la pendiente de la recta tangente bajo
la curva, teniendo en cuenta que el cambio debe ser infinitamente pequeño.• La diferencial de f consiste en la ecuación de la recta tangente que
pasa bajo la curva.