Fonaments Físics de les Estructures

Tema 14.- Bigues Isostàtiques

Objectius:

Entendre el funcionament d’una biga.

Conèixer les forces internes que actuen en una biga.

Calcular los esforços tallants i els moments flectors

sobre una biga.

Dibuixar els diagrames de tallants i flectors.

BiguesBiga és tot sòlid homogeni i isòtrop

engendrat per una secció S,

que generalment admet un pla de simetria i el centre de gravetat

del qual descriu una línia, denominada directriu, que és

perpendicular en tot moment a aquesta secció.

BiguesLes bigues permeten la transmissió de les forces exteriors en l’interior

de qualsevol construcció tècnica .

La missió principal de les bigues és treballar a flexió i absorbir forces

perpendiculars a la seua

directriu.

BiguesLa posició més comuna d’una biga és l’horitzontal , però poden estar

inclinades, com succeeix en les teulades i escales, i les càrregues són

verticals o perpendiculars a la biga. Fins i tot poden estar col·locades

en posició vertical, per a absorbir les càrregues del vent o la pressió del

terreny o l’aigua .

Bigues de gelosiaLes bigues fetes amb barres

unides entre si, que es coneixen

com a bigues de gelosia.

Bigues d’ànima plenaLes bigues en què la secció es manté constant

en tota la seua

longitud, de qualsevol

composició, s’anomenen bigues d'ànima plena.

Poden ser de formigó armat, de fusta, perfils

laminats, …

Isostatisme i hiperestatismePer a determinar les reaccions en els suports es poden utilitzar

les tres

condicions de l’equilibri isostàtic

pla:

Es diu que una biga té sustentació o suport isostàtic

(biga isostática

externa) si les incògnites en el conjunt dels seus suports no són més

de tres (H=0). Si hi ha més de tres incògnites es diu que la biga és

hiperestàtica (H≥1).

GRAU D’HIPERESTATISME d’una biga H=L-n

L= nombre de lligams o enllaços desconeguts (reaccions en els suports).

n= nombre d’equacions possibles per a l'equilibri isostàtic

pla.

0; 0; 0;X Y AF F M

Isostatisme i hiperestatisme

L=3 H=0

L=4 H=1

L=4 H=1

Biga birecolzada simple

Biga birecolzada hiperestàtica

Biga encastada en volada hiperestàtica

Les bigues contínues, o bigues amb diversos suports són

hiperestàtiques

(H≥0)

L’hiperestatisme

pot evitar-se introduint articulacions intermèdies

(biga articulada o biga Gerber)

L'articulació permet utilitzar una quarta equació relativa a l'equilibri

del moment respecte de l’articulació.

Isostatisme i hiperestatisme

L=4 n=4 H=0

L=4 n=3 H=1Biga hiperestàtica

Biga isostàtica

Tipus de sol·licitacionsD’acord amb les càrregues a què es troben sotmeses les bigues,aquestes es poden classificar en:

Biga amb càrregues puntuals o concentrades i moments.

Biga amb càrrega distribuïda uniforme.

Densitat lineal de càrrega q(x) = constant (kN/m)

Biga amb càrrega distribuïda no uniforme.

Densitat lineal de càrrega q(x) = variable

Efectes de les càrregues sobre les biguesPer a l’anàlisi dels esforços que hi ha en l’interior d’una biga

sotmesa a

forces exteriors (càrregues + lligams) se suposarà el següent:

El principi de superposició és vàlid tant per a les càrregues com per

als esforços.

Els sistemes que s’estudien són isostàtics.

El sistema de forces que actua sobre la biga, siga

continu o siga

discret, està contingut en el pla de simetria d’aquesta .

M

V

directriu N

Esforç tallant

Esforç axial

Moment flector

Les components de l’esforç i del moment interns són:

Efectes de les càrregues sobre les biguesEl sistema de forces exteriors a què està sotmesa la biga és un

sistema en equilibri.

Pel mètode de seccions, si la suposem dividida en dues parts, les

forces i moments externs s’equilibren amb les forces i moments

interns que apareixen en la secció.

M

V

directriuN

-M-N

-V

F1

RA

F2RB

F5F4

pla de simetria

Conveni de signesQuant als signes que cal

atribuir a aquests

esforços, es poden

considerar les orientacions

relatives dels diferents

vectors a un costat i a

l’altre d’una llesca de biga,

obtinguda fent dos talls (m

i n), com els que mostra la

il·lustració (a) de la fig.

12.17.

N N N N

M M M M

(a)

(b)

(c)

(d)

t racciócompressió

VVVV

+

+

+

+ -

-

-

-

Figura 12.17 Conveni de signes per als esforços iel moment en la secció d’una biga

Conveni de signes

Els esforços tallants són positius si el parell de forces que es

produeix en la llesca té el sentit de les agulles del rellotge, i negatiu

quan el parell té el sentit contrari.

El moment flector

és positiu en la secció dreta en sentit antihorari

i

en l’esquerra en sentit horari.

MM

V V

llesca d’una biga

+

Efectes de les càrregues sobre les biguesEfecte tallant: Es produeix per l’antagonisme entre las càrregues que

actuen cap avall i les reaccions que actuen cap amunt, produint esforços

tallants en la secció transversal de la biga.

Els valors dels esforços tallants (V) s’obtenen per la suma algebraica de

les forces verticals ubicades a un costat de la secció en estudi.

Efectes de les càrregues

sobre las bigues: 0Y Y Y

Y Y

F F F V

V F F

(suma de les càrreguesamb els seus signes)

Efectes de les càrregues sobre les biguesEfecte flector: Es produeix per les distàncies entre les càrregues que

actuen cap avall i les reaccions que actuen cap amunt, produint moments

flectors

en la secció transversal de la biga.

Els valors dels moments flectors

(M) s’obtenen per la suma algebraica

dels moments de les forces verticals ubicades a un costat o l’altre de la

secció en estudi.

M

V

directriu

(suma de moments d’acord al seu signe)

izq dchaM M M esq. dreta

Equilibri intern d’una bigaRelacions entre càrregues, esforços tallants i moments flectors.

CAS GENERALQuan la càrrega que actua q (x) és una funció de la posició x en

la biga .

Seleccionem una llesca d’espessor infinitesimal dx.

Les condicions d’equilibri per a la llesca són:

0

02 2

YF V q dx V dV

dx dxM V M V dV M dM

dx

M+dMM

V V+dV

q(x)

llesca d’una biga

Equilibri intern d’una biga

0

02 2

YF V q dx V dV

dx dxM V M V dV M dM

dx

M+dMM

V V+dV

q(x)

llesca d’una biga

De la primera equació resulta: ( )dVq dV q x dxdx

De la segona s’obté: dMV dM Vdxdx

Equilibri intern d’una bigaDe la primera equació resulta: ( )dVq dV q x dx

dx

De la segona s’obté: dMV dM Vdxdx

Aleshores en un tram finit de la biga:

( )V q x dx ( )M V x dx

Resolució d’una biga

Es calculen les reaccions en els suports. Aquestes, juntament amb

les càrregues aplicades formen el sistema de forces exteriors amb el

qual es treballa .

S’identifiquen els trams de biga que cal prendre, a la vista del

sistema de forces exteriors.

Començant per l’esquerra de la biga, es plantegen per a cada tram les

equacions diferencials que s’han obtingut en l’apartat anterior,

i es

contrasten els resultats per a les fronteres entre trams contigus. En

finalitzar l’últim tram, els esforços i moments interns han de ser nuls.

Resolent les equacions s’obtindrien les lleis analítiques dels esforços

tallants i axials i dels moments flectors.

La representació gràfica d’aquestes lleis les denominarem diagrames

d’esforços tallants o d’esforços axials, i de moments flectors.

Diagrames de tallants i flectorsSón la representació en gràfiques dels valors del tallant i flectors

que es presenten

en diferents seccions de la biga en estudi.

La línia d’abscisses representa l’eix horitzontal de la biga. En

els eixos d’ordenades,

es representen els valors d’esforç tallant i moment flector

en cada punt de la biga.

En el diagrama d’esforços tallants, les càrregues concentrades es representen per

línies verticals, mentre que les càrregues distribuïdes lineals es representen per

línies rectes amb pendent constant. Els espais sense càrrega s'uneixen per línies

horitzontals. Els punts on els tallants canvien de signe es coneixen com punts de

tall nul i son els llocs de la biga on es produeix la màxima flexió.

A diferència dels diagrames de tallants, en els de flectors

els valors positius es

col·loquen en la part inferior de l’eix horitzontal i els negatius en la part superior.

Així, simulen la corba elàstica que fa la biga.

Donada la biga de la figura, sotmesa a una càrrega distribuïda en tota la seua extensió, es demana: a) Reaccions en els suports; b) Equacions de l’esforç tallant V(x) i del moment flector M(x) en la secció transversal de la biga; c) Dibuixa els diagrames d’ambdues magnituds, i determina el mòdul i posició dels seus valors màxims.

Y

X

1 kN/m

A B

2m

A B

5 kN

Exemple 1

Y

X

1 kN/m

A B

2m

A B

5 kN

Per a determinar la reacció i el moment de reacció en l’encastament s’estableixen les equacions d’equilibri segons el diagrama de sòlid lliure: una força de reacció amb dos components RAx i RAy i un moment de reacció MA .

La càrrega uniformement distribuïda pot substituir-se per una càrrega puntual en el seu centre de gravetat: 2 kN en x = 1 m.

;25120 AAZ MM

;5210 AYY RF

12AM kN

7AYR kN

L’equilibri determina que la reacció horitzontal siga nul·la:

0AXR

Y

X

1 kN/m

A B

2m

A B

5 kN

En aquest cas les càrregues i suports defineixen un únic tram per a obtenir V(x) i M(x) en la biga.

Sent : q(x) = 1 kN/m

1 1( ) 1 (1) 7 ( ) 7V x dx x C V C V x x kN

2

2 2

2

( ) 7 7 (0) 12 0 02

( ) 7 122

xM x x dx x C M C

xM x x kN m

20 x

Y

X

1 kN/m

A B

2m

A B

5 kN

En l’extrem dret de la biga, i incorporant la càrrega externa, les forces internes s’anul·len, és a dir, els diagrames han de ser tancats (comprovació per a descobrir errors en la resolució).

L’esforç tallant és .El moment flector és .

(2 ) 2 7 5 0V

0122724)2( M

Les variacions de V i M al llarg de la biga es poden representar gràficament en els diagrames que es presenten a continuació.

( ) 7V x x

0 1 20

2

4

6

posición x (m)

Esfu

erzo

Cor

tant

e V

(x) (

kN)

posició x (m)

Esf

orç

Tal

lant

V (

kN)

Dels diagrames es dedueix que els valors màxims del mòdul de l’esforç i moment interns es produeixen en l’encastament:

0,120,7

xMxV

máx

máx

2

( ) 7 122xM x x

1 2

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

posición x (m)

Mom

ento

flec

tor

M(x

) (kN

.m)

posició x (m)

Mom

ent

Flec

tor

M (

kN·m

)

màx

màx

Y

X

2m

10 kN 3 kN/m

A B1m 2m

4 kN.m

La biga de la figura està carregada i recolzada els punts A (suport fix) i B (de corrons). Determineu les equacions de l’esforç tallant V(x) i del moment flector M(x) en les seccions transversals de la biga. Dibuixa el diagrama d’ambdues magnituds, i determineu el mòdul i posició dels seus valors màxims.

Exemple 2

Per a determinar les reaccions en els suports de la biga s’estableixen les equacions d’equilibri estàtic segons el diagrama de sòlid lliure: una força de reacció amb dos components RAx i RAy i una altra reacció vertical, perpendicular a la possible direcció de moviment. La càrrega distribuïda es equivalent a una càrrega puntual de 6 kN en x = 4 m.

;16410450 AYBZ RM 10AYR kN

;6100 BYAYY RRF 6BYR kN

Y

X

2m

10 kN 3 kN/m

A B1m 2m

4 kN.m

L’equilibri determina que la reacció horitzontal siga nul·la: 0AXR

Per a determinar els esforços i moments interns utilitzem el mètode general i s’apliquen les condicions de contorn.

Tram AC: q(x) = 010 x

Y

X

2m

10 kN 3 kN/m

A B1m 2m

4 kN.m

1 1( ) 0 (0) 10 ( ) 10AYV x dx C V R C V x kN

2 2( ) 10 10 (0) 0 ( ) 10M x dx x C M C M x x kN m

Tram CD: q(x) = 031 x

Y

X

2m

10 kN 3 kN/m

A B1m 2m

4 kN.m

3 3( ) 0 (1) 10 10 0 ( ) 0V x dx C V C V x kN

4 4( ) 0 (1) 10 4 6 ( ) 6M x dx C M C M x kN m

Tram DB: q(x)= 3 kN/m53 x

Y

X

2m

10 kN 3 kN/m

A B1m 2m

4 kN.m

5 5( ) 3 3 (3) 0 9 ( ) 3 9V x dx x C V C V x x kN

26

26

3( ) 3 9 9 (3) 62

15 3 15( ) 92 2 2

M x x dx x x C M

C M x x x kN m

En l’extrem dret de la biga, incorporant la reacció en B, les forces internes s'anul·len (diagrames tancats).L’esforç tallant és: El moment flector és:

06231010)5( V75 15(5 ) 9 5 02 2

M

Les variacions de V i M al llarg de la biga es poden representar gràficament.

1 2 3 4 5

-5

0

5

10

posición x (m)

Esfu

erzo

Cor

tant

e V

(x) (

kN)

posició x (m)

Esf

orç

Tal

lant

V (

kN)

Dels diagrames es dedueix que els valors màxims del mòdul de l’esforç i moment interns són:

1 2 3 4 50

5

10

posición x (m)

Mom

ento

flec

tor

M(x

) (kN

.m)

Mom

ent

Flec

tor

M (

kN·m

)

posició x (m)

m1x,10Mm1x0,10V

màx

màx