fmmc cap 4 elasticidad mayo 05 2014

Captulo 4. Elasticidad Lineal

1

CAPTULO 4

ELASTICIDAD LINEAL

Introduccin

La elasticidad lineal es la parte de la mecnica de los medios continuos que estudia elcomportamiento de slidos cuyas propiedades son independientes del tiempo.

Los esfuerzos y las deformaciones estn relacionados linealmente y es comn asumir que elmaterial es homogneo (sus propiedades son las mismas en cualquier punto) e istropo (suspropiedades son independientes de la direccin adoptada), con lo cual las ecuacionesconstitutivas de los materiales elsticos lineales homogneos e istropos se simplificanbastante.

En este captulo se desarrollan las ecuaciones constitutivas de los materiales elsticos lineales,homogneos e istropos y se presenta el procedimiento de funciones de esfuerzo para resolverproblemas elsticos.

4.1 Planteamiento matemtico para definir las relaciones constitutivas enun continuo cualquiera

Para establecer la relacin entre las fuerzas que actan en un medio continuo y losdesplazamientos que provocan, es necesario seguir la siguiente secuencia:

Re

ij ijFuerzas T E Desplazamientos

laciones Constitutivas

Considrese que el estado de esfuerzos y deformaciones de un medio continuo corresponde alestado A o inicial, dado por

0i j AE = ; 0i j AT =

FIGURA 4.1 Relaciones entre esfuerzos y deformaciones en un medio continuo elstico lineal

Al aplicar las fuerzas { }iF se establece un campo de desplazamientos ui v j wk = + + , el cualgenera en cada punto del medio continuo un tensor deformacin i j BE y este a su vez generaun tensor esfuerzo i j BT .

0i j BE ; 0i j BT Sabemos que:

1 12 2

1 1;

2 21 12 2

xx yx zx

xx yx zx

i j xy yy zy i j xy yy zy

xz yz zz

xz yz zz

T E

= =

Ya que fsicamente existe relacin entre los tensores i jE y i jT , se puede escribir:

( )1 , , , , ,xx xx yy zz xy xz yz =( )2 , , , , ,yy xx yy zz xy xz yz =( )3 , , , , ,zz xx yy zz xy xz yz = (4.1)

x

z

yt = 0Estado inicial

t = t

P

Q

P'

Q'

"A"Estado final

"B"

F1

2F

FiQ

P

33

( )1 , , , , ,xy xx yy zz xy xz yz =( )2 , , , , ,xz xx yy zz xy xz yz =( )3 , , , , ,yz xx yy zz xy xz yz =

Las ecuaciones (4.1) definen las relaciones constitutivas de los medios continuos, siendo lasfunciones y continuas y derivables.Las relaciones constitutivas que se seleccionan en la mecnica del medio continuo sonrelaciones probadas experimentalmente, que permiten describir de manera razonable elcomportamiento real de los materiales.

Se considera que el tiempo transcurrido entre el estado A y el estado B es una cantidadpequea, por lo que sera posible establecer, siguiendo las ideas de continuidad que

xx B = xx xxA d +

yy B = yy yyA d +

zz B = xx xxA d + (4.2)

xy B = xy xyA d +

xz B = xz xzA d +

yz B = yz yzA d +

Desarrollando las diferencias totales de las ecuaciones 4.2, se tiene:

[ ] [ ] 1 1 1 1 1 1xx xx xx yy zz xy xz yzB Axx yy zz xy xz yz

d d d d d d

= + + + + + +

[ ] 2 2 2 2 2 2yy xx xx yy zz xy xz yzABxx yy zz xy xz yz

d d d d d d = + + + + + +

[ ] [ ] 3 3 3 3 3 3zz xx xx yy zz xy xz yzB Axx yy zz xy xz yz

d d d d d d

= + + + + + +

1 1 1 1 1 1xy xy xx yy zz xy xz yzB A

xx yy zz xy xz yz

d d d d d d = + + + + + +

[ ] [ ] 2 2 2 2 2 2xz xz xx yy zz xy xz yzB Axx yy zz xy xz yz

d d d d d d

= + + + + + +

3 3 3 3 3 3yz yz xx yy zz xy xz yzB A

xx yy zz xy xz yz

d d d d d d = + + + + + +

Estas ltimas ecuaciones pueden ser escritas como

[ ] [ ] 11 21 31 41 51 61xx xx xx yy zz xy xz yzB A C C C C C C = + + + + + +

12 22 32 42 52 62yy yy xx yy zz xy xz yzB AC C C C C C = + + + + + +

[ ] [ ] 13 23 33 43 53 63zz zz xx yy zz xy xz yzB A C C C C C C = + + + + + + (4.3)

14 24 34 44 54 64xy xy xx yy zz xy xz yzB AC C C C C C = + + + + + +

[ ] [ ] 15 25 35 45 55 65xz xz xx yy zz xy xz yzB A C C C C C C = + + + + + +

16 26 36 46 56 66yz yz xx yy zz xy xz yzB AC C C C C C = + + + + + +

Obsrvese que en las expresiones planteadas (4.3) aparecen 36 operadores diferenciales i jCque representan las constantes elsticas del material. El desarrollo anterior indica que paradefinir a i j BT es necesario conocer los tensores i j AT , i j BE y los 36 operadoresdeferenciales i jC .

Estas relaciones indican que es posible seguir la siguiente secuencia:

{ }Rei j i j iB BE laciones Constitutivas T F Por lo tanto, para relacionar a los desplazamientos que se generan en el medio continuo esnecesario conocer a 36 operadores diferenciales respecto al tiempo, lo que conduce a definir alas fuerzas { }iF que provocaron la aparicin de .Para definir a esos 36 operadores es necesario analizar pruebas experimentales en diversosmateriales y observar las caractersticas de su respuesta, sta deber compararse conformulaciones tericas para predecir dicha respuesta con suficiente aproximacin. Eningeniera es comn establecer ciertas hiptesis que permitan simplificar las formulacionesmatemticas.

Las hiptesis comunes son:

55

1 El material que ocupa el continuo es homogneo (slo existirn seis relaciones).2 El material es istropo.3 Las direcciones principales de esfuerzos coinciden con las direcciones principales de

deformacin.

Tomando en cuenta las hiptesis anteriores, supongamos que en un punto del medio continuose conocen los tensores esfuerzo y deformacin en un sistema de referencia principal:

1

2

3

0 00 00 0

ijT

=

;

1

2

3

0 00 00 0

ijE

= Para este caso particular, las relaciones constitutivas se reducen a

1 11 1 21 2 31 3C C C = + +2 12 1 22 2 32 3C C C = + + (4.4)3 13 1 23 2 33 3C C C = + +

Obsrvese que la tercera hiptesis reduce a nueve el nmero de operadores diferencialesnecesarios.Cambiando los ejes 2 y 3 por 3' y 2', al aplicar las ecuaciones constitutivas anteriores, setendr:

1 11 1 21 3' 31 2 'C C C = + + (4.5)Debido a la indiferencia respecto al marco de referencia, se debe tener que:

' '11 1 21 2 31 3 11 1 21 313 2C C C C C C + + = + +21 31C C= (4.6)

Por lo anterior, la ecuacin (4.5) queda como:

( )1 11 1 21 2 3C C = + +( ) ( )1 11 21 1 21 1 2 3C C C = + + + (4.7)

llamando a

11 21 2C C G = y 21C = (4.8)

y tomando en cuenta que 1 1 2 3J = + + , entonces la ecuacin (4.7) queda como:1 1 12G J = + (4.9)

siendo y G dos constantes elsticas conocidas como constantes de Lam. Para 2 y 3se tiene:

2 2 12G J = + (4.10)3 3 12G J = + (4.11)

Por las hiptesis planteadas, las ecuaciones (4.9) a (4.11) se pueden generalizar como

12n nG J = + (4.12)De esta manera, el problema de la dinmica de continuos homogneos, istropos y concoincidencia de direcciones principales de esfuerzos y deformaciones, se reduce a la bsquedade dos operadores diferenciales y G en lugar de 36.

4.2 Ecuaciones constitutivas de los materiales elsticos lineales en un marcode referencia principal

Considrese que en un punto de un medio continuo se establece el tensor deformacin:

1

2

3

0 00 00 0

ijE

=

(4.13)

El tensor esfuerzo correspondiente, tomando en cuenta la ecuacin 4.12, resulta igual a

1 1

1 2

1 3

2 0 00 2 00 0 2

ij

J GT J G

J G

+ = + +

(4.14)

Estas expresiones pueden ser ligeramente transformadas, descomponiendo los tensores esfuerzoy deformacin en sus componentes volumtrica y desviadora, esto es:

11

2

3

0 0 1 0 00 0 0 1 0

30 0 10 0

ijJE

= =

11

12

13

0 03

0 03

0 03

J

J

J

+

Ahora las componentes del tensor i jT son:

77

1

1

1

3 2 0 03

3 20 03

3 20 03

ij

G J

GT J

G J

+ + =

+ 1

1

12

13

2 0 03

0 2 03

0 0 23

JG

JG

JG

+

Analizando las componentes de ambos tensores, y haciendo ( )3 2 3G K + = se concluye que:[ ] [ ]3v vT K E= (4.15)[ ] [ ]2o oT G E= (4.16)

Las ecuaciones (4.15) y (4.16) muestran una relacin simple entre las componentesvolumtrica y desviadora de los tensores i jT y i jE , a travs de las constantes K y G quereciben el nombre de mdulo volumtrico y mdulo de rigidez al cortante, respectivamente.

4.3 Ecuaciones constitutivas de los materiales elsticos linealeshomogneos e istropos en un marco de referencia cartesiano

Supongamos que en un punto del medio continuo se establecen los tensores i jE y i jT en unmarco de referencia cartesiano, esto es:

1 12 2

1 12 21 12 2

xx yx zx

jk xy yy zy

xz yz zz

E

=

;xx yx zx

jk xy yy zy

xz yz zz

T

=

Tratemos de encontrar la forma que adquieren las relaciones constitutivas para relacionar aesos tensores.

Para ello calculemos n y n con objeto de aplicar la relacin constitutiva previamentederivada para materiales istropos (ecuacin 4.12).

Por definicin:n ijt T n =

Desarrollando:

( cos cos cos )n xx yx zxt i = + + ( cos cos cos )xy yy zy j + + +( cos cos cos )xz yz zz k + + +

(4.17)

El esfuerzo normal se calcula como2 2 2cos cos cos 2 cos cosn n xx yy zz xyt n = = + + +

2 cos cos 2 cos cosyz zx + + (4.18)De manera anloga, se puede establecer para la deformacin normal

n2 2 2cos cos cos cos cosn xx yy zz xy = + + +

cos cos cos cosyz zx + + (4.19)Aplicando la ecuacin (4.12)

1 2n nJ G = + ,se tiene:

2 2 2cos cos cos 2 cos cosxx yy zz xy + + + 2 cos cos 2 cos cosyz zx + +2 2 2

1(cos cos cos )J = + + 2 2 22 ( cos cos cos cos cosxx yy zz xyG + + + +cos cos cos cos )yz zx + +

Para que exista igualdad se debe cumplir que:

1 2xx xxJ G = + ;xy xyG =

(4.20)1 2yy yyJ G = + ; yz yzG =1 2zz zzJ G = + ; zx zxG =

Estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones constitutivas de los materiales elsticoslineales, homogneos e istropos.

Las ecuaciones (4.20) se pueden expresar en forma matricial como

99

2 0 0 0

2 0 0 0

2 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

xx xx

yy yy

zz zz

xy xy

yz yz

zx zx

G

G

G

G

G

G

+ + + =

(4.21)

Estas ecuaciones toman la siguiente forma:

[ ] [ ][ ]C = (4.22)siendo:

[ ] : matriz de esfuerzos[ ] : matriz de deformaciones[ ]C : matriz de constantes elsticas del medio

Las ecuaciones (4.21) pueden ser escritas en notacin indicial como2ij ij kk ijG = + (4.23)

Siendo ij la delta de Kronecker (tensor de orden 2).Para expresar las deformaciones en funcin de los esfuerzos, es necesario invertir la matriz deconstantes elsticas y operar matricialmente, esto es:

[ ] [ ] [ ]1C = (4.24)En lugar de buscar invertir la matriz de constantes elsticas se seguir el siguienteprocedimiento. De la ecuacin (4.20), los esfuerzos normales se pueden escribir como

( )2xx xx yy zzG = + + +( )2yy xx yy zzG = + + + (4.25)

( )2zz xx yy zzG = + + +

Resolviendo el sistema para , ,xx yy zz empleando el mtodo de Cramer, se tiene que eldeterminante de la matriz de coeficientes es:

( 2 ) ( 2 )( 2 ) 2 ( 2 )( 2 )

GG

G GG

G

++

= + = ++

+

( 2 )( ) ( 2 )G

G

++ +

+

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 2G G G G = + + + + + ( ) ( )2 3 2 3 3 3 22 4 4 2 2G G G G G = + + + +

2 2 2 3 3 2 3 3 3 24 4 8 8 2 2G G G G G G = + + + + + [ ]2 3 212 2 4 3 2G G G G = + = + (4.26)

En consecuencia:

1 ( 2 )( 2 )

xx

xx yy

zz

GG

= +

+

( )( ){ } ( ){ } ( ) ( )( ){ }21 2 2 2 2xx xx yy zz yy zzG G G G = + + + + + ( )2 2 2 2 21 4 4 2 2xx xx yy yy zz yy zz zzG G G G = + + + ( )( ) ( )1 4 2xx xx yy zzG G G = + +

2(4 )( ) 2 ( )(4 )( )4 [3 2 ]xx xx yy zz

G G GG GG G

+

= + ++ Haciendo:

21 (4 )( ) 2

; (4 )( )4 [3 2 ]G G G

vE G GG G

+= =

++

Simplificando:

11

11

1 ( );[3 2 ] 2( )

Gv

E G G G +

= =

+ +(4.27)

( )1xx xx yy zzvE = + (4.28)De manera similar, para yy y zz

( )1yy yy xx zzvE = + (4.29)

( )1zz zz xx yyvE = + (4.30)Las ecuaciones (4.28), (4.29) y (4.30) son las leyes generalizadas de Hooke para relacionardeformaciones unitarias con esfuerzos normales.

Para establecer la relacin entre los esfuerzos cortantes y las deformaciones angulares basta recurrir a lo anteriormente establecido.

xyxy G

= (4.31)yz

yz G = (4.32)

xzxz G

= (4.33)

En notacin indicial, las ecuaciones (4.28) a (4.33), quedan representadas de la siguientemanera:

12 (3 2 ) 2ij ij kk ijG G G

= ++ (4.34)

PROBLEMA 4.1

En el continuo que se muestra en la figura (4.2) se establece el tensor:

0 00 0 00 0 0

xx

ijT

= a) Calcule los elementos del tensor deformacin y de una interpretacin fsica a las constantes

elsticas E y .

FIGURA 4.2 Interpretacin fsica de las constantes E , v

El tensor de deformaciones unitarias quedar definido por

0 00 00 0

xx

ij yy

zz

E

=

Aplicando las relaciones constitutivas:

; ;xx xx xxxx yy zzv vE E E = = =

0 0

0 0

0 0

xx

xx

ij

xx

E

E vE

vE

=

Dado que:

1xx xxE

=

y

xz

13

13

y haciendo xx xxx y = = ; siendo la pendiente m E=La constante E representa la pendiente del diagrama esfuerzo-deformacin de una barra prismticasometida a tensin uniaxial y recibe el nombre de mdulo de Young. Esta contante elstica es unacaracterstica del material y tiene las mismas unidades que un esfuerzo [F/L2].

El mdulo E slo puede ser aplicable cuando se defina la lnea recta en el diagrama esfuerzodeformacin y ste sea independiente del tiempo. En caso contrario, diremos que el material esinelstico y esto implicar que las relaciones constitutivas del continuo deben involucrar operadoresdiferenciales respecto al tiempo.

Analicemos ahora la interpretacin fsica de v.

Del tensor ijE se tiene que:

;

xx

yy yy zz

xxxx xx xx

vE v v

E

= = = =

donde v resulta ser la relacin entre las deformaciones unitarias transversales y la longitudinal envalor absoluto y recibe el nombre de relacin de Poisson. Tericamente esta constante elstica tomavalores entre 0 y 0.5, siendo el segundo valor el que corresponde a un material incompresible.

Si ; ; ;xx yyx y y vx v = = = resulta ser constante slo cuandola relacin entre xx y yy es una constante.4.4 Energa de deformacin elstica para un estado uniaxial de esfuerzos

Supongamos que la curva esfuerzo-deformacin para un material elstico lineal, sometido a unestado de esfuerzos uniaxial, es como se muestra en la figura (4.15).

i

FF

iF

d

FIGURA 4.15 Definicin de energa de deformacin elstica

La energa que un cuerpo absorbe como resultado de su deformacin bajo cierta carga se llamaenerga de deformacin (W). sta se puede expresar como

0W Fd

= (4.49)La energa de deformacin por unidad de volumen o densidad de energa U , se puedeexpresar como

0

1U FdV

= (4.50)Para una partcula elemental de un medio continuo de volumen dV dxdydz= y asumiendoque la fuerza se aplica en la direccin x , se tiene:

0 0 0

x xx xxx xxx xx xx xx

F dU d E ddxdydz

= = = Integrando se obtiene:

2

2 2xx xx xxU

E

= = (4.51)

El rea bajo la parte lineal de la curva uniaxial es una medida de la capacidad delmaterial para almacenar energa elstica. Esta medida se llama mdulo de resiliencia (R) yse puede calcular como

2

0

12 2

LE LELE LER d E

= = = (4.52)

FIGURA 4.16 Definicin de mdulo de resiliencia

2

1

R2

1RLE

LE

4.5 FUNCIN DE ESFUERZOS DE AIRY

15

siendo LE y LE la deformacin longitudinal y el esfuerzo normal en el lmite elstico,respectivamente.

4.5 Energa de deformacin elstica para un estado triaxial de esfuerzos

Para un estado general de esfuerzos (principales) el trabajo total realizado por los esfuerzos1 2 3, , ser la suma de los trabajos efectuados por cada uno de ellos de manera

independiente (figura 4.17).

FIGURA 4.17 Energa de deformacin elstica para un estado general de esfuerzos

Por lo tanto, el trabajo realizado por 1 se calcula como1 1

12

dW dV = (4.53)De esta forma, la densidad de energa resulta:

1 112

dW UdV

= = (4.54)Repitiendo el razonamiento para las dems caras de la partcula elemental, se concluye que ladensidad de energa de deformacin elstica U almacenada en el material, debido a un estadode esfuerzos principales 1 2 3, , , es:

1 1 2 2 3 31 ( )2

U = + + (4.55)tomando en cuenta que

1 1 2 31 ( ( ))vE

= +

12

3

x

y

z

dx

dy

dz

2 2 1 31 ( ( ))vE

= +

3 3 1 21 ( ( ))vE

= +Sustituyendo estas ltimas ecuaciones en la ecuacin (4.59), se obtiene:

1 1 2 3 2 2 1 3 3 3 1 21 [ ( ( )) ( ( )) ( ( ))]

2U v v v

E = + + + + +

2 2 21 2 3 1 2 2 3 3 1

1 [ 2 ( )]2

U vE

= + + + +

21 2 3 1 2 2 3 3 1

1 ( ) 2(1 )( )2

U vE

= + + + + + 21 2

1 2(1 )2

U I v IE

= + ; Dado que 2(1 )EG

v=

+

21 21

2I IUE G

= (4.56)

La densidad de energa se puede descomponer como

V OU U U= + (4.57)

Siendo VU la densidad de energa volumtrica y OU la densidad de energa desviadora odistorsional.

Asumiendo que existe la siguiente relacin:V VU T ; parte isotrpica (dilatacin o compresin)

O OU T ; parte distorsional o desviadora

La energa de deformacin volumtrica se puede calcular como

2V V

VU

= ; 1 2 3V = + + ; 1 2 33V + +=

V VK = ; 3(1 2 )EK

v=

;2(1 )

EGv

=

+

2 21

2 2 18V V

V VIU

K K = = =


17

2 21 1 3(1 2 )

18 18VI I vU

K E

= =

21

(1 2 )6V

vU IE

= (4.58)

La energa de deformacin desviadora se puede calcular como

UO = U UV

221 21

1 (1 2 )2 6O

I I vU IE G E

= Desarrollando esta ltima ecuacin, se obtiene:

{ }2 2 21 2 2 3 3 11 ( ) ( ) ( )12OU G = + + (4.59)Las densidades de energa volumtrica y desviadora estn relacionadas con los esfuerzosnormal y cortante octadricos mediante las siguientes expresiones, respectivamente:

2 2oct VKU = (4.60)2 4

3oct OGU = (4.61

4.6 Solucin de problemas elsticos haciendo uso de funciones de esfuerzo

Las relaciones constitutivas de los materiales elsticos lineales, homogneos e istroposquedaron expresadas en trminos de esfuerzos a partir de las ecuaciones (4.20), las cualespodrn ser utilizadas para solucionar problemas elsticos empleando funciones de esfuerzos,conocidas como funciones de Airy.

4.6.1 Funcin de esfuerzos de Airy en coordenadas cartesianas

Airy propone el empleo de una funcin ( ),x y = , continua y derivable, que permite definira los elementos de un tensor cartesiano i jT en el que no existan fuerzas de cuerpo.

Mediante el uso de la mecnica del medio continuo, Airy logra definir las condiciones quedebe satisfacer la funvin para cumplir los requisitos de continuidad y equilibrio. Lasecuencia a seguir es:

Rei j i j

Esttica Dinmica CinemticaT laciones Constitutivas E

Para un estado de esfuerzo plano, los elementos del tensor esfuerzo se pueden calcular como

00

0 0 0

xx yx

ij xy yyT

=

=

2 2

2

2 2

2

0

0

0 0 0

x yy

x y x

(4.35)

Veamos qu sucede desde el punto de vista de equilibrio al aceptar esta definicin:

Por 0 ; 0yxxx zxx xF fx y z

= + + + =

2 2

2 0 0xfx y y x y

+ + = 0xf =

Por 0 ; 0xy yy zyy yF fx y z

= + + + =

2 2

2 0 0yfx x y y x

+ + = 0yf =

Por 0 ; 0yzxz zzz zF fx y z

= + + + =

0zf =

En consecuencia, al aceptar la definicin de Airy, el equilibrio de medios continuos sin fuerzasde cuerpo es automticamente satisfecho. As, cuando ( ),x y = es continua y derivable, elequilibrio en el medio se cumple.

PROBLEMA 4.2

a) Sea 2Ax = , con A=constantePor definicin de funcin de Airy:


19

0 0 00 2 00 0 0

ijT A

=

FIGURA 4.3 Barra prismtica sometida a un estado de esfuerzo uniaxial

Por lo tanto, la funcin 2Ax = resuelve el problema de una barra sometida a fuerzas colinealesde magnitud 2Abt

b) Sea la funcin 2By = , con B=constanteEsta funcin representa la solucin de un continuo sometido a dos fuerzas horizontales colineales demagnitud:

2HF Bht=c) Sea la funcin 2 2Ax By = +

Esta funcin al ser la suma de las funciones ya analizadas en los incisos a) y b), resuelve elproblema de una barra prismtica sometida a estado de esfuerzos biaxial.

h

b t

Fuerza resultante IF I = 2AbtV

t

h

d

FIGURA 4.4 Barra prismtica sometida a un estado de esfuerzo biaxial

d) Sea la funcin Cxy = , con C=constanteEsta funcin resuelve el estado de cortante puro.

0 00 0

0 0 0ij

CT C

=

FIGURA 4.5 Estado de cortante puro

Para buscar los desplazamientos generados en el continuo por un conjunto de fuerzas definidas por( ),x y = , se sustituyen los elementos del tensor deformacin, expresadas en funcin de

esfuerzos y de las constantes elsticas, en trminos de la definicin de Airy, esto es,

2 22

2

2 22

2

2

1 (1 ) 02

1 (1 ) 02

10 0

v vE y G x y

Eij v vG x y E x

vE

+ = +

(4.36)

Para afirmar la existencia del campo de desplazamiento , debe comprobarse la compatibilidad dei jE . La primera ecuacin del primer grupo de compatibilidad es:

2 22

2 2yy xyxx

x yy x

+ =

C

C


21

2 2 2 22 2

2 2 2 2

1 1(1 ) (1 )v v v vE Ey y x x

+ + + 2 21

G x y x y

= Desarrollando:

4 4 2 2 4

4 4 2 2

2(1 )1 (1 ) vv vE E Ey x x y

+ + + =

4 4 2 2 2 2

4 4 2 2 2 2(1 )v vy x x y x y

+ + + + 4

2 22(1 )v x y

= +

De aqu puede escribirse:

4 4 4 4 4

4 4 4 2 2 4(1 ) 2v vy x x x y y

+ + + + 4

2 22(1 )v x y

= +

4 4 4 4 4

4 2 2 4 2 2 2 22 2 2v vx x y y x y x y

+ =

4 4 4

4 2 2 42 0x x y y

+ + =

Esta ltima expresin puede escribirse como

2 2( ) 0 = (4.37)La primera ecuacin del primer grupo de ecuaciones de compatibilidad se satisface si es unafuncin biarmnica.

Verifiquemos ahora la segunda ecuacin del primer grupo.2 22

2 2yy yzzz

y zz y

+ =

22

20 0v

Ey + =

En consecuencia:2

22 0

v

E y =

22

2 0v

E y

= (4.38)

Esta ltima ecuacin se satisface si 0v = , o bien, si2

2y

es una funcin armnica cuando 0v La tercera ecuacin del primer grupo es:

2 22

2 2xx zxzz

x zx z

+ =

2

22 0

v

Ex =

22

2 0v

E x

= (4.39)

La ecuacin (4.39) es vlida si 0v = , o bien, verificando que2

2x

es una funcin armnica

cuando 0v .

Revisemos ahora la primera ecuacin del segundo grupo:2

2

0 0

yz xyxx xz

y z x x y z

= + + =

Segunda ecuacin del segundo grupo:2

2

0 0

yy yz xyxz

x z y x y z

= + =

Tercera ecuacin del segundo grupo:2

2 yz xyzz xzx y z x y z

= +

2 2222 0; 0zz v

x y x y E = =


23

22 0v

E x y

= (4.40)

La ecuacin (4.40) es vlida si 0v = , o bien, si2

x y

es una funcin armnica cuando 0v .En consecuencia, en medios elsticos en equilibrio, existe solucin cuando es posible definir a unafuncin de Airy ( ),x y = con los siguientes requisitos:a) Si 0v = ; debe ser una funcin biarmnica.b) Si 0v ; debe tener derivadas segundas armnicas, es decir, i jT debe tener a sus elementos

armnicos.

PROBLEMA 4.3

Sea 3Cy = una funcin continua y derivable, asociada al continuo que se muestra en la figura(4.6). Matematicamente se puede demostrar que 4 0 = y 2 0i jT = , por lo tanto es solucinde algn problema elstico, el cual se identifica acontinuacin.

FIGURA 4.6 Barra prismtica sometida a flexin pura

Aplicando la definicin de Airy, se obtienen los elementos del tensor esfuerzo:

6 ; 0 ; 0xx yy xyCy = = =Por lo tanto i jT resulta igual a :

6 0 00 0 00 0 0

ij

CyT

=

Ahora se analizarn cada una de las caras de la barra para conocer si existe un estado de esfuerzos.

x

z

Lh

b = 1

y

En 0 ;x n i= =

6 0 00 0 00 0 0

ij

CyT

=

6n ijt T n Cy i = = 6 ; 6n n nt n Cy Cy i = = =

6 6 0n n nt Cyi Cyi = = =

FIGURA 4.7 Volumen de esfuerzos normales en 0x =

El volumen de esfuerzos, que se muestra en la figura (4.7), resulta ser un par M alrededor del eje zEn la cara ;x L n i= =

6 0 00 0 00 0 0

ij

CyT

= 6n ijt T n Cy i = =

6n n n Cyi = = 6 ( 6 )n n nt Cyi Cyi = =

0n =

3Ch

-3Ch

M

( 6 ) 6n nt n Cy i i Cy i = = =


25

El volumen de esfuerzos mostrado en la figura (4.7), es equivalente a un par M en la cara x L=

En la cara ;2hy n j= = :

3 0 00 0 00 0 0

ij

ChT

= 0n ijt T n = = la cara se encuentra descargada.

En la cara ;2hy n j= = :

3 0 00 0 00 0 0

ij

ChT

= 0n ijt T n = = la cara se encuentra descargada.

La funcin de esfuerzos propuesta resuelve el problema de una barra prismtica sometida a flexinpara cualquier material elstico.

Dado que 6 zMCI

= , entonces nz

Mt y i

I

= Esta ltima ecuacin se conoce como frmula de la escuadra, la cual es de suma importancia enmecnica de materiales.

4.6.2 Funcin de esfuerzos de Airy en coordenadas cilndricas

Existen algunos problemas elsticos donde la geometra del medio continuo es tal que elmanejo de los tensores esfuerzo y deformacin se facilita mucho si se utiliza un sistema dereferencia diferente al cartesiano, por ejemplo, el cilndrico o esfrico.

En el caso particular de un sistema de referencia cilndrico, el tensor esfuerzo resulta igual a

rr r zr

ij r z

rz z zz

T

=

Este estado de esfuerzos se representa en un elemento diferencial de volumen en la figura(4.9).

FIGURA 4.9 Estado de esfuerzos en un elemento diferencial de volumen en coordenadas cilndricas

En coordenadas cilndricas, las ecuaciones de equilibrio se pueden expresar como

1 1 ( ) 0rrr zrrr r

fr r z r

+ + + + = (4.41)

1 2 0r zr

fr r z r

+ + + + =

(4.42)

1 1 0zrz zzrz zf

r r z r

+ + + + =

(4.43)

Siendo fr , f y fz , las componentes del vector fuerza de cuerpo en coordenadas cilndricas.

En coordenadas polares, el tensor esfuerzo se reduce a

rr r

ijr

T

=

Por lo tanto, las ecuaciones de equilibrio que debe satisfacer la funcin de Airy para un estadode esfuerzo plano y fuerzas de cuerpo nulas son:

1 1 ( ) 0rrrrr

r r r

+ + =

(4.47)

dz

zz

zr z

rr

rz

r

rz

dr dr

4.6 FUNCIONES DE ESFUERZOS EN COORDENADAS CILNDRICAS

27

1 2 0rr

r r r

+ + =

(4.44)

La funcin de Airy en trminos de coordenadas polares resulta:( ),r =

Realizando el cambio de variables, se puede establecer que2

2r

=

(4.45)

2

2 2

1 1rr

r r r

= +

(4.46)

1r

r r

= (4.47)Para comprobar la compatibilidad de deformaciones, bastar establecer la definicin de 2 encoordenadas cilndricas.

2 22

12 2 yy xx rrIx y = + = + = = +

2 2

22 2 2

1 1r r r r

= + +

Siendo:2 2

22 2 2

1 1r r r r

= + + (4.48)Con esta definicin se puede revisar la armona y la biarmona en problemas especficos.

PROBLEMA 4.5

Sea la funcin:

( )P r sen = continua y derivable donde P es una constante.

a) Determine los elementos del tensor esfuerzo i jTb) Identifique el tipo de problema que resuelve la funcin propuesta.

Clculo de los elementos del tensor esfuerzo.

00

0 0 0

rr r

ij rT

=

Psen

r

=

( )cosP r sen

= +

2

2 cos ( ( 1) cos )P Pr

r sen

= +

[ 2cos ]Pr sen =

1 0r r

= =

2[ 2cos ] cosrr

P P Psen sen

r r r = + =

0; 0r = =

Por lo tanto, los elementos del tensor esfuerzo son:

cos 0 02 0 0 0

0 0 0r

PTr

=

En cualquier medio este tensor genera un campo de esfuerzos en el cual 0r zf f f= = = . Ya quenicamente existe un slo trmino rr , calculemos:

2 22

2 2 2

1 1rr rr

r rr r

= + + 2

cosrr

Pr

=

22

cosrrP

r r

=

2srr

Pen

r

=


29

2

2 34

cosrrP

r r

=

2

22

cosrrPr

=

23 3 3

4 2 2cos cos cos

rr

P P Pr r r

= + +

2 20 ; 0rr ijT = =

Por lo tanto, el tensor propuesto es armnico y resuelve problemas elsticos para cualquier mediocon 0v

La funcin propuesta representa al estado radial simple y corresponde al problema de una placa depequeo espesor sometida a una fuerza horizontal de magnitud P.

0 00 0 00 0 0

rr

ijT

=

FIGURA 4.10 Estado radial simple

2cos

rr

Pr

=

La fuerza que acta sobre un elemento dA rd= es rrrd y su componente vertical es( ) cosrr rd La fuerza resultante vertical es:

2Prpi

drrr

dr

P

22 20 0

42 cos cosv rrPF rd d

= =

2

0

4 22 4v

P senF P

= + =

La figura (4.11) muestra que todos los puntos del semiespacio, excepto los de la frontera superior,contribuyen a soportar la carga P .

La funcin propuesta ( )P r sen = genera el estado radial simple que aplicado a unsemiespacio elstico conduce a la solucin de Flamant.

Variacin de rr con constante y r variable.

[ ] [ ]0 0 2;rr rr Py r = == =

Haciendo2

;P

c r x = = cyx

= ; la variacin de esta ltima funcin se muestra en la

figura (4.11).

FIGURA 4.11 Variacin de rr para cte = = cte. y r variable

Ahora definiremos el lugar geomtrico de los puntos del semiespacio con el mismo valor del esfuerzoprincipal.

2rr

Pr

= En la relacin con la figura (4.12), el punto A que se encuentra sobre la circunferencia tiene comoradio vector:

Py

x

variacin hiperblica

= cte = 0


31

cosr D =Por lo tanto, el esfuerzo radial vale:

2 2 cos 2cos

cosrr

P P Pr D D

= = =

En consecuencia, ya que A se encuentra sobre la circunferencia, se debe tener el mismo esfuerzo

radial2

rr

PD

= en todos los puntos de la circunferencia, exceptuando al punto de tangencia dela circunferencia con la frontera superior.

Se llama isobara a la circunferencia de dimetro D correspondiente al esfuerzo2

rr

PD

= .

FIGURA 4.12 Lugar geomtrico del semiespacio con el mismo valor de rr

En la figura (4.13) se muestra la construccin de isobaras para diferentes valores de rr .

P

D r

A

Dcos

= rr 2PDpi

rA 1/4D1/2D

3/4DD4 rr

rr

rr4/3 2 rr

P

FIGURA 4.13 Isobaras para el estado radial simple

PROBLEMA 4.6

La funcin de Airy 2rBrLA n += , es vlida para el medio continuo que se muestra en lafigura, siendo A y B dos constantes. El continuo (tubo) est sometido a una presin interna

ip y una presin externa ep .

PePe

aa

br

rb

PiPi

alLongitudinCortelTransversaCorte

rr

FIGURA. 4.14 Tubo de seccin transversal cilndrica sometido a una presin interna pi y externa pe. a)corte transversal; b) corte longitudinal.

a) Determine los elementos del tensor esfuerzo i jTb) Evale el valor de las constantes A y B.

Las contantes A y B se evaluarn para dos casos particulares:

a) Suponiendo pi0 y pe=0

para;0;

;===

==

err

irr

pbrpar

Clculo de los elementos del tensor esfuerzo.

2

2

2

2

2 ;11

rrrrrr

=

+

=

;22 Br

Arr +=

2

1

2

rr r

A Br

= = +


33

0r =

;22 Br

Api += BbA 20 2 +=

Resolviendo para A y B , se tiene:

=

=

12;

2

2

22

22

a

bpB

baab

pA ii

Sustituyendo las constantes A y B , en rr y , se tiene:

;1

1

2

2

2

2

=

a

br

bpirr

2

2

2

2

1

1

ibpr

ba

+ =

b) Para el caso en que 0ip y 0ep se deja como ejercicio al lector demostrar que los

elementos de tensor esfuerzo jiT estn dados por:

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

bar

a

p

a

br

b

p eirr

= ;2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

bar

a

p

a

br

b

p ei

+

+=

0r =4.7 Ecuaciones de Navier-Cauchy

Las ecuaciones de Navier-Cauchy permiten ligar los desplazamientos y las fuerzas de cuerpo,con las constantes elsticas del material. Para ello partiremos del campo de desplazamientos

kwjviu ++=Por definicin, las deformaciones unitarias quedan definidas por :

yw

z

v

z

w

x

w

z

u

yv

x

v

yu

x

u

yzzz

xzyy

xyxx

+

=

=

+

=

=

+

=

=

Por otra parte, las ecuaciones constitutivas de los materiales elsticos lineales, homogeneos eistropos, estn dadas por (ecuacin 4.20):

1 2 ( ) 2

( ) 2

( ) 2

xx xx

yy

zz

uJ G div Gx

vdiv Gywdiv Gz

= + = +

= +

= +

+

=

+

=

+

=

z

u

x

wGyw

z

vGx

v

yuG

zxyzxy ;;

Para definir las fuerzas de cuerpo haremos uso de las ecuaciones de equilibrio del mediocontinuo. As por suma de fuerzas en x igual a cero, se tiene (ecuacin 1.82):

0=+

+

+

x

zxyxxx fzyx

Sustituyendo los esfuerzos en trminos de los desplazamientos en la ecuacin anterior, setiene:

0

0

0)()()2())((

2

2

222

2

2

2

2

2

2

=+

+

+

++

=+

+

+

+

+

+

+

=+

+

+

+

+

+

x

x

x

fz

w

yv

x

u

xGuGdiv

x

fz

wGzx

wGyx

vGyuG

x

uGx

uGdivx

fz

u

x

wGzx

v

yuG

yxuG

xdiv

x

Por lo tanto la primera ecuacin de equilibrio toma la forma

( ) 02 =++

+ xfuGdivx

G (4.49)

De manera similar, sustituyendo los esfuerzos en trminos de deformaciones en la ecuacin deequilibrio (1.83), se obtiene

( ) 02 =++

+ yfvGdivyG (4.50)

Finalmente, sustituyendo los esfuerzos en trminos de deformaciones en la ecuacin deequilibrio (1.84), se llega a

( ) 02 =++

+ zfwGdivz

G (4.51)


35

Multiplicando la ecuacin (4.49) por i , la (4.50) por j y la (4.51) por k y sumando miembroa miembro, se obtiene

( )( )[ ] fGdivgradG

fGdivgradG=++

=+++

2

2 0

Pero:

( )( )( )

( )( )

211221

21122

+

+

+

=+ G

( )( ) ( ) 212112 =+

=+GG

Por lo tanto:

Gfdivgrad =

+

2

211 (4.52)

Esta ltima ecuacin se conoce como ecuacin de Navier-Cauchy y representa un sistema detres ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden, donde las incognitas son lascomponentes del vector desplazamiento u, v y w, la cual se puede resolver tomano en cuentalas condiciones de frontera del problema, ya sea que se conozcan los desplazamientos o losesfuerzos en dicha frontera. En la mayora de los problemas de elasticidad las condiciones defrontera son tales que sobre una parte de la frontera se conocen los desplazamientos en tantoque sobre otra parte se conocen los esfuerzos.

4.8 Solucin de problemas elsticos haciendo uso de funciones dedesplazamientos

Las ecuaciones de Navier-Cauchy pueden ser resueltas mediante mtodos numricos, como esel caso del mtodo del elemento finito, que se puede aplicar a una gran variedad de problemascon condiciones de frontera complejas, o bien empleando mtodos analticos para condicionesmuy particulares.

Otra forma de resolver dichas ecuaciones es empleando funciones potenciales escalares yvectoriales, haciendo uso del teorema de Helmholtz, el cual establece que cualquier campovectorial (u,v,w) puede ser expresado como:

grad rot = +siendo una funcin potencial escalar y una funcin potencial vectorial.

4.8.1 Funciones potenciales escalares en trminos de desplazamientos(Funcin de Lam)

En este problema se define al campo de desplazamientos y se buscan las fuerzas que dieronorigen a ese campo.

La secuencia a seguir sera:

Funcin de desplazamientos jkE jkT Fuerzas

Lam propuso definir al campo de desplazamientos mediante una funcin potencial escalar (x,y,z), que llam la funcin potencial de desplazamientos, mediante la cual se puedeestablecer:

zGw

yGv

xGu

=

=

= 2;2;2 (4.53)

Multiplicando estas ltimas ecuaciones por los vectores unitarios i , j y k , respectivamente, ysumndolas, se obtiene:

== gradG2 (4.54)Usando esta definicin la ecuacin de Navier se simplifica de la siguiente manera:

( ) fG

GG

divgradG =++22

2 (4.55)

Dado que 2=graddiv , entonces( ) ( )( ) ( )( ) f

GG

GfGGfGG

=+=+

=++

2

2

22

22

222

Para fuerzas de cuerpo nulas, la ecuacin anterior se satisface si

( ) 00 22 == (4.56)Si se establece que sea una funcin armnica, la ecuacin de Navier se satisface.

En consecuencia, funciones de Lame armnicas, resuelven el problema de encontrar elcampo de desplazamientos .

Con la definicin anterior, el primer invariante del tensor deformacin se puede expresarcomo:


37

[ ] gradG

divdivJ21

1 ==

As J1 queda como

[ ] 021

21 2

1 === GgraddivGJ(4.57)

Dado que el primer invariante del tensor deformacin es cero, la deformacin volumtrica esnula, por lo tanto al aplicar la definicin de Lam slo ser posible generar soluciones aproblemas en las cuales nicamente existe componente distorsional.

PROBLEMA 4.7Sea:

( ) BxyyxA += 22 ; una funcin contnua y derivable.0222 == AA

Tratemos de definir al campo de desplazamientos, su cinemtica y los esfuerzos que genera.Por definicin:

( )( )

( )021

221

21

221

21

Gw

BxAyGyG

v

ByAxGxG

u

=

+=

=

+=

=

Lo anterior implica que se trata de un campo de deformacin plana.El tensor de deformaciones unitarias es:

=

0000

2

021

GA

GB

GB

GA

jk

Para definir a los esfuerzos se puede establecer que :

02

22

22

2

2

2

2

2

2

=

==

=

==

=

==

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

zG

Ay

G

Ax

G

0;0;222

=

==

==

=

zxzyB

yx xzyzxy

Por lo tanto el tensor esfuerzo queda como:

+

=

=

0000000

000020002

0000202

BB

AA

ABBA

jk

Este tensor esfuerzo representa un estado de cortante puro.

Finalmente para terminar de describir el problema, obtengamos el rotacional del campo .

+

=

=

yxyxzxzxi

zyzyG

zGyGxG

zyx

kjirot

222222

21

21

21

21

La operacin anterior conduce a 0=rotPor lo tanto, el empleo de la definicin de Lam, nicamente permite resolver un casoparticular de soluciones elsticas: problemas en los cuales no existe componente volumtrica yadems resultan siempre ser problemas irrotacionales.

4.8.2 Funciones potenciales vectoriales; Vectores Galerkin

Galerkin en 1930 propuso seleccionar una funcin de desplazamientos definida por:kFjFiFF zyx ++= , siendo zyx FFF ,, funciones contnuas de .,, zyx

El campo de desplazamientos se selecciona de tal forma que constituya una solucin de laecuacin de Navier, por lo que:


39

( )FdivcG = 22 (4.58)

siendo c es una constante que puede ser ajustada para satisfacer la ecuacin de Navier:

fdivgradG =

+ 2112 (4.59)

Sustituyendo en la ecuacin (4.58) la (4.59), se obtiene:

( ) fFdivcdivgrad 221

1 22=

+ Haciendo operaciones se llega:

fFdivdivdivcdivc 221

121

224=

+ Matemticamente se puede demostrar que:

( ) 0tan22

===

teconsdivdivdivdivdivdiv

Por lo que se puede lograr hacer desaparecer estos trminos si:

021

12121

121

1 =

++=

+

cc

( )= 12c (4.60)

Por lo tanto:

( ) ( ) == 121244 fFfF (4.61)

Debe entonces seleccionarse a funciones F que satisfagan la ecuacin (4.61) para que elequilibrio y las relaciones constitutivas elsticas sean satisfechas tambin en el clculo delcampo de desplazamientos .Sustituyendo la ecuacin (4.60) en la (4.58) se pueden calcular las componentes del vectordesplazamiento como:

( ) Fdivx

FGu x

= 2122 (4.62)

( ) Fdivy

FGv y

= 2122 (4.63)

( ) Fdivz

FGw z

= 2122 (4.64)

Si se deriva la ecuacin (4.62) con respecto a x , la (4.63) con respecto y , la (4.64) respecto az y se suman miembro a miembro, se obtiene:

( ) FdivFdivGdiv 22122 = ( ) FdivGdiv 2212 = (4.65)

Esta ltima ecuacin muestra una dependencia entre la divergencia del vector de Galerkin y lacomponente volumtrica del tensor deformacin dada por div .A partir de las ecuaciones (4.62) a la (4.64) se pueden definir los elementos del tensordeformacin jk y mediante las relaciones constitutivas para los materiales elsticos linealeshomogeneos es istropos se pueden conocer los elementos de tensor esfuerzo jk .Puesto que:

xxxx Gdiv 2+=

Siendo ( )

212

=G y Fdiv

Gdiv 2

221 =

Tomando en cuenta que,

( )G

Fdivx

FxGx

uxxx 2

1212

2

22

=

=

Sustituyendo en xx, obtenemos,

( )( ) ( )

( ) Fdivx

Fx

Fdiv

GFdiv

xF

xGGFdiv

GG

xxx

xxx

2

222

2

222

12

21

2122

221

212

+=

+

=

Finalmente se obtiene

( ) Fdivx

Fx

xxx

+

= 2

22212 (4.66)

Procediendo de manera similar para los otros esfuerzos se llega a,

( ) Fdivy

Fy yyy

+

= 2

22212 (4.67)


41

( ) Fdivz

Fz

zzz

+

= 2

22212 (4.68)

( ) Fdivyx

Fx

Fy yxxy

+

=

2221 (4.69)

( ) Fdivzy

Fy

Fz

zyyz

+

=

2221 (4.70)

( ) Fdivxz

Fz

Fx

xzzx

+

=

2221 (4.71)

a) Anlisis de la accin de un vector de Galerkin en un semi espacioelstico

Sea:

( ) ( )( )

++= zRzLnRPkF 2122(4.72)

Referido a un sistema de referencia cilndrico, tal como se muestra en la figura (4.15).Donde:

=P cte= relacin de Poisson=z profundidad

[ ] 2/1222 zyxR ++= : magnitud del vector de posicin de un punto cualquiera del medio.

.

FIGURA 4.15 Vector Galerkin en un punto de un semiespacio elstico lineal

La funcin propuesta es contnua y derivable en todos los puntos del semiespacio elstico,excepto en el origen del marco de referencia. Su aplicacin dar resultados vlidos si 0R .A partir del vector propuesto se puede obtener el campo de desplazamientos.

( ) ( ) ( )zzrr eweveu ++= Siguiendo las definiciones del campo de desplazamientos se obtienen:

( )

+

=

=

+

=

2

2

2

124

0

214

Rz

GRw

v

zRRz

GRr

u

z

r

(4.72)

En el campo slo existen desplazamientos ,, zr wu siendo ,0=v lo cual implca unacondicin axisimtrica ya que las funciones no dependen de .Los desplazamientos en la superficie del medio ur, esto es, para z=0, valen:

[ ] ( )[ ] ( )( )[ ][ ] ( )( )

+

=

+

=

=

=

=

2211

2114221

4

0

0

ru

rGru

zr

zr (4.73)

r

[ ] 0=zruFigura 4.16 Variacin del desplazamiento ur en funcin de r

Los desplazamientos ru en la superficie varan inversamente proporcionales a su distancia alpolo del marco de referencia y siempre estan dirigidos hacia dicho polo.


43

Figura 4.17 Campo de desplazamientos en la superficie de un semi-espacio elstico lineal

Los desplazamientos verticales en la superficie del semi espacio quedan definidas por:

[ ] ( )[ ] ( )rGr

w zz

=

==

2

01212

4(4.74)

A partir del campo de desplazamientos, y siguiendo la secuencia de Galerkin, se obtiene elsiguiente campo de esfuerzo.

( )

( )

5

2

5

3

2

3

2

2

2Pr3

;232

21

2132

Rz

Rz

zRR

Rz

R

zRR

Rzr

R

rzzz

rr

=

=

+

=

+

+

=

(4.75)

En la superficie, donde ,0=z se tiene:

[ ] ( )[ ] ( ) [ ][ ][ ] 0

02

21

212

0

0

020

20

=

=

=

=

=

=

=

==

=

zrz

zzz

zrrz

zrr

r

Pr

P

(4.76)

En las partculas de la superficie existe un estado de esfuerzo plano, que corresponde a unestado de cortante puro, excepto en ,0=r donde el vector de Galerkin no define al estado deesfuerzos.

En el semi-espacio elstico con21

= , en la superficie se tienen siempre partculasdescargadas, excepto en .0=r

Si21

existir cortante puro en las partculas superficiales.

Analicemos ahora que sucede a una profundidad D bajo la superficie.

22 DrR +=

FIGURA. 4.18 Esfuerzo normal zz a una profundidad D

[ ] ( )5223

2

3

Dr

PDDzzz

+=

= (4.77)

Simplificando se puede escribir:

[ ]25

22

1

23

+

==

Dr

DP

Dzzz (4.78)

Haciendo,

[ ] BDzz NDP

2== ; con TanDr

= y25

2

1

23

+

=

Dr

N B

FIGURA 4.19. Variacin de NB con la relacin r/D

Conocida la variacin de BN se puede representar la variacin espacial de los esfuerzos zz .Los esfuerzos zz varan con el inverso del cuadrado de la profundidad del plano .Dz =

Dr

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

N B


45

La funcin propuesta conduce a la solucin fundamental de Boussinesq, ampliamente utilizadaen la Mecnica de Suelos.

b) Vectores Galerkin para resolver el problema de Mindlin.

Primer caso: Resuelve el problema de una carga concentrada aplicada a una profundidad c ,bajo la superficie de un semi espacio elstico. La carga es normal a la superficie dirigida haciael semi espacio y el origen del marco de referencia coincide con la proyeccin P del punto deaplicacin de la carga sobre la superficie (figura 4.20).

FIGURA 4.20 Carga concentrada en el interior de un semiespacio elstico

El campo de desplazamientos y los esfuerzos quedan definidos por el vector de Galerkin entodos los puntos del semi espacio excepto en el punto de aplicacin de la carga, en el cualexiste una discontinuidad y resulta imposible valuar los esfuerzos y desplazamientos.

Segundo caso. Resuelve el problema de una carga paralela a la superficie aplicada a unaprofundidad c , en sentido paralelo al eje de las x .

FIGURA 4.21 Carga puntual horizontal aplicada en el interior de un semiespacio elstico

X

Z

P

R1

R2

Y

Z

C

C

PUNTO Q

r

C

Y P

Z

X

lineal

La combinacin de ambas soluciones permite resolver el problema de una fuerza cualquieraaplicada en un punto situado a una profundidad c , y en cualquier direccin, mediante elprincipio de superposicin.

Problemas propuestos del captulo

PROBLEMA 4.11

Sea la funcin3

234 3F xy

xyc c

= , una funcin continua y derivable.

a) Calcule los elementos del tensor esfuerzo jiT .

b) Analice el estado de esfuerzos en cada una de las caras del medio continuo que semuestra en la figura y una vez analizado el equilibrio diga qu tipo de problemaresuelve la funcin propuesta.

Solucin

a)

=

043

43

43

43

23

3

2

3

2

3

c

Fc

Fyc

Fc

Fyc

Fxy

T ji

b) Ya que el tensor no tiene trminos armnicos, la solucin no es aplicable a medios continuos con0v . Obviamente 4 0 = ; es decir, resuelve el problema en medios elsticos en los

cuales 0v = . La funcin representa la solucin de una mnsula sin fuerzas de cuerpo,sometida a una carga en su extremo libre, tal como se muestra en la figura (4.8).

FIGURA 4.22 Mnsula sometida a una carga puntual en su extremo libre

z

x

y

F

empotramientoL


47

PROBLEMA 4.12

Para la barra que se muestra en la figura se conoce el campo de desplazamientos y est dadopor:

Barraindeformable

L

x

y

z

Datos de la barra de plomo:

L: Longitud de la barra; n: relacin de Poisson: E: Mdulo de Elasticidad; : peso especficodel material de la barra.

Campo de desplazamientos:

( )2 2 2 2; ; ;

2

z x yxz yzui v j wk u v w

E E E

+ + + + = + + = = =

Determinar:

a) El tensor deformacin Eijb) El tensor esfuerzo Tij

Solucin:

a) b)0 0

0 0

0 0

ij

z

EzE

Ez

E

=

0 0 00 0 00 0

ijTz

=

fmmc cap 4 elasticidad mayo 05 2014

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