flujo haciazanjas pozos-1

Flujo hacia zanjas - pozos

Universidad de Los AndesFacultad de IngenieríaDepartamento de Vías

Geotecnia para Hidráulica

Flujo hacia zanjas - pozos

Prof. Silvio Rojas

Septiembre, 2009

A la memoria del Profesor

Juan Francisco Lupini Bianchi

Prof. Silvio Rojas


Geotecnia para hidráulica

I.- FLUJO PROVENIENTE DE UNA LINEA FUENTE DE FILTRAC IÓN

I.1-FLUJO HACIA ZANJAS DE PENETRACIÓN TOTALI.1.1- Acuifero confinado - Flujo artesiano

Línea fuente

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Para flujo estacionario (flujo establecido de bombeo), se plantea:

Línea fuente

Donde:Q: Caudal de bombeo proveniente del estrato confinadok: Permeabilidad del estrato arenosoi:Gradiente de la superficie de abatimiento debido al bombeo (extracción del caudal Q)dh : Variación de la carga en un diferencial de longitud dyD: Espesor del estrato confinadox: Longitud de zanja consideradaD.x: Area de filtración considerada hacia la zanja, en el acuifero confinado.

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H:Carga total disponible en la línea fuente, antes del abatimiento (carga correspondiente al acuifero confinado).L: Longitud de influencia en el abatimiento del nivel piezométrico inicial, por el bombeo establecido en la zanja.h: Carga total en el estrato de arena, a una distancia "y" de la zanja y dentro de la zona de influencia del bombeo.hw: Altura de agua establecida dentro de la zanja para flujo estacionario.

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Integrando entre las condiciones de borde, establecidas en la figura 1, resulta:

Resolviendo la ec. 2:

Veamos la expresión de la carga a la distancia "y" a partir de la zanja :

Resolviendo la ec. 4: Sustituyendo la ec. 3 en la ec. 5, se tiene:

despejando la carga "h", se escribe:

Esta ec. 6, define la geometría de la línea piezométrica abatida por el establecimiento del bombeo. Prof. Silvio Rojas



Para obtener la expresión de "h", también se puede integrar entre:

Sustituyendo la ec. 3 en la ec. 8:

Despejando "h", se obtiene:

Esta ec. 9 es equivalente a la ec. 6, y también define la geometría de la línea piezométrica abatida por el establecimiento del bombeo.

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¿Qué expresiones se obtienen, si se considera que el flujo esturbulento a través del estrato de arena confinado?

M. Anandakrishnan and Varadarajalu (1963)Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division Proceedings of the American Society of Civil EngineersSM 5"Laminar and Turbulent Flow of Water Through Sand" "Laminar and Turbulent Flow of Water Through Sand"

donde:v: Velocidad del flujo a través del suelok´: Coeficiente de flujo turbulenton: Exponente turbulentoi: Gradiente hidráulico.

De la ec. 10, se obtiene la velocidad "v":

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Sabiendo que la expresión del caudal de infiltración es el producto de lavelocidad por el área, se tiene entonces que para es te caso de flujoturbulento artesiano, la expresión del caudal será será:

Sustituyendo la expresión del gradiente, la ec. 12, queda:

Ordenando términos e integrando, resulta:

Expresión del caudal para flujo turbulento

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Para la expresión de la línea de abatimiento cuando se considera, flujo turbulento se plantea:

Igulando la ec. 16 y la ec. 18, se escribe:

La ec. 20 es la misma ec. 6 correspondiente a flujo laminar. Significa que laturbulencia no tiene influencia en el abatimiento de la línea piezométrica. Sinembargo la turbulencia debe ser determinante en la longitud "L" y la altura deagua dentro de la zanja.

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I.1.2- Acuifero libre - Flujo gravitacional

Línea fuente

Observaciones:

1.- Las equipotenciales no son verticales2.- Las líneas de corriente no son horizontales3.- El gradiente no es constante con la profundidad. Sin embargo se aplica que el gradiente se expresa como:

Línea fuente

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4.- La altura de agua en la zanja (hw), no coincide con la altura de lasuperficie de abatimiento del N.F (superficie piezométrica). Entonces seobserva que existe una supercie libre de filtración.

Consideremos que "hw" coincide con la superficie de abatimiento una vezestablecido un flujo estacionario por bombeo a través de la zanja:

Donde:Q: Caudal de bombeo proveniente del acuifero librek: Permeabilidad del estrato arenosoi:Gradiente de la superficie de abatimiento debido al bombeo (extracción del cuadal Q)dh : Variación de la carga en un diferencial de longitud dyh: Carga total en determinada sección y que determina el área de filtración hacia la zanjax: Longitud de zanaja consideradah.x: Area de filtración considerada hacia la zanja, en el acuifero libre. Prof. Silvio Rojas

H:Carga total disponible en la línea fuente, antes del abatimiento (carga correspondiente al acuifero libre).L: Longitud de influencia en la rebaja del N.F, por el bombeo establecido en la zanja.h: Carga total en el estrato de arena a una distancia "y" de la zanja y dentro de la zona de influencia del bombeo.hw : Altura de agua establecida dentro de la zanja para flujo estacionario.

Integrando la ec. 21, se tiene:

Carga a la distancia "y" a partir de la zanja :

Resolviendo la ec. 4:

Igualando la ec. 23 en la ec. 25:

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Esta define la geometría de la líneapiezométrica abatida por el establecimiento delbombeo. Sin embargo ella debe ser corregidapor la altura (hs) de la superficie de infiltraciónlibre indica en la fig. 2.

La expresión definitiva será:

Corrección de h por la altura

Para obtener la expresión de "h", también se puede integrar entre:

Sustituyendo la ec.23 en la ec. 28:

Corrección de h por la altura (hs) de la superficie de infiltración

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Despejando "h", se obtiene:

Esta ecuación, también debe ser corregida por la altura (hs) de la superficie de filtración libre.

Esta ec. 29 es equivalente a la ec.26, para determinar la línea deabatimiento del N.F en el caso deacuiferos libres.

¿Qué expresiones se obtienen, si se considera que el flujo esturbulento a través del estrato de arena confinado?

Ecuación que representa la velocidad del flujoturbulento en la masa de suelo.

Para el caso de flujo gravitacional, la ec. 13 se modifica encuanto al area de filtraciónen el estrato, resultando:

Ordenando términos e integrando, resulta:

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La expresión del caudal será:

Caudal cuando se considera, flujo turbulento:

Igualando la ec. 33 y la ec. 35, se escribe:

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Corriendo por la altura de filtración en la zanja, se tiene:

La ec. 38 no es la misma ec. 29 o 26 correspondiente a flujo laminar. Significa quela turbulencia tiene influencia en el abatimiento de la línea piezométrica.

Línea de abatimiento cuando se considera flujo turbulento

Gráfica para flujo gravitacional en zanjas de penetración total, para determinar la altura de la superficie de filtración.

L / H

hw / Hhs / H

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I.1.3- Flujo artesiano y Flujo gravitacional

Línea fuente

Se estudia el caso de un acuifero confinado, pero donde la altura de agua (hw) en la zanja que se establece, debido al bombeo, alcanza una altura menor al espesor (D) del estrato confinado de arena.

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La red de flujo en la figura 3, indica que cerca de la zanja se presenta flujogravitacional y a cierta distancia de la zanja ya el flujo se hace artesiano. Se

Línea fuente

gravitacional y a cierta distancia de la zanja ya el flujo se hace artesiano. Seconsidera que el punto donde la curva de abatimiento del nivel piezométricointersecta la línea de estratificación, que separa el estrato permeable delimpermeable, es donde existe el cambio de artesiano a gravitacional. Este puntoestá ubicado a partir del borde de la zanaja con la distancia Li.

Caso artesianoEn este caso la carga varía entre h=D y h = H, entre las distancias y= Li, y=L,respectivamente.

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Caso gravitacional

En esta caso la carga varía entre h=hw y h=D, entre las distancias y=0 y y=Li,respectivamente.

Distancia LiDistancia Li

De la ec. 40 y 42, se determina la longitud "Li":

Expresión del caudal

La sustitución de la ec. 44 en 42, resulta:Prof. Silvio Rojas



Altura piezométrica para el caso artesiano ( distancia "y" entre y=Li, y= L)

Igulando la ec. 40 y la ec. 46, resulta:Igulando la ec. 40 y la ec. 46, resulta:

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Altura piezométrica para el caso gravitacional (distancia "y" entre y = 0, y = Li)

Igualando la ec. 42 y la ec. 49, resulta:

Corrigiendo por superficie libre de filtración

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I.2-FLUJO HACIA ZANJAS DE PENETRACIÓN PARCIALI.2.1- Acuifero confinado - Flujo artesiano

Generalmente este casose presenta, debido aque el espesor delestrato permeable esconsiderable, y

Línea fuente

considerable, ymecánicamente escostoso la penetracióncompleta del estrato.

Cuando la zanja es de penetración parcial, la carga hidráulica residual "hd" aguas abajo de la zanja, a una distancia EA de la zanja, es mayor que la altura "hw" dentro de la zanja.

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Caudal hacia la zanja se determina a través de:

Comentario (s.r)

Es un planteamiento para llegar a la ec. del autor

La carga "hd" aguas abajo viene dada por se obtiene a través de:La carga "hd" aguas abajo viene dada por se obtiene a través de:

Comentario (sr)

Sustituyendo ec. 52 en 54:

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La distancia EA se estima de la figura:

Fig. Flujo artesiano para una zanja de penetración parcial

Poca la diferencia

W: Penetración del pozo en el acuifero confinado.

b: Ancho zanja.

desde una línea fuente.

Comentario (sr)

El bombeo que extrae el caudal "Q“ a través de la zanja, produce tanto la curva deabatimiento a la derecha de la zanja, como la curva de abatimiento a la izquierda.Por tanto se puede plantear:

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Sustituyendo 52, 55 y 55, en 57, resulta:

¡Es un planteamiento de este

¡Es un planteamiento de este desarrollo!


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I.2.2- Acuifero libre - Flujo gravitacional

El flujo y descenso del nivel del agua, causado por el bombeo en una zanjade penetración parcial en un estrato permeable, el cual es alimentado poruna línea fuente, es mostrado en la figura 5.

Lo indicado son los resultados del modelo estudiado por Chapman ( ):

Lo indicado son los resultados del modelo estudiado por Chapman, válido para:

Lo cual comprende el rango de la mayoría de los problemas

Línea fuente

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El caudal hacia la zanaja puede ser determinado por :

La máxima carga aguas abajo de la zanja, puede ser obtenida por:

Comentario (sr)

Estimando los flujos por la derecha y por la izquierda, se tiene:

¡Es un ¡Es un planteamiento de este desarrollo!


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II.- FLUJO PROVENIENTE DE DOS LINEAS FUENTES DE FILT RACIÓN

II.1-FLUJO HACIA ZANJAS DE PENETRACIÓN TOTAL

Generalmente el flujo hacia zanjas de longitud infinita se origina de doslíneas fuentes.Si se considera que la zanja está ubicada simetricamente y pa ralelarespecto a las dos líneas fuentes, el flujo hacia la zanja se e stimacomo dos veces el correspondiente a una sola línea fuente.

II.1.1- Acuifero confinado - Flujo artesiano

Para una línea fuente lasPara una línea fuente lasexpresiones fueron:

Para dos líneas fuentes, será:

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II.1.2- Acuifero libre - Flujo gravitacional

Para una línea fuente:

Para dos líneas fuentes:

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II.1.3- Flujo artesiano y Flujo gravitacional

Comportamiento del caso artesiano


Comportamiento del Caso gravitacional


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Distancia Li

De la ec. 40 y 42, se determina la longitud "Li":

Expresión del caudal

La sustitución de la ec. 44 en 42, resulta:


Para dos líneas fuentes:Para dos líneas fuentes:

II.2-FLUJO HACIA ZANJAS DE PENETRACIÓN PARCIAL

El bombeo en zanjas de penetración parcial de gran longitud, en estratospermeables, será simétrico con respecto a la zanja y puede ser considerado como eloriginado por dos líneas fuentes equidistantes y paralelas a la zanja.

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II.2.1- Acuifero confinado - Flujo artesiano

Caudal hacia la zanja se determina a través de:

:Factor el cual depende de la relación entre W/D.

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Para zanjas de penetración parcial, flujo artesiano.

Se considera que para distancias mayores de 1.3D, la carga "h" incrementa linealmente, Se considera que para distancias mayores de 1.3D, la carga "h" incrementa linealmente, y se calcula a partir de:

Para y>1.3D

Para y<1.3D, existe convergencia de flujo hacia la zanja, y el problema se resuelvea través de la red de flujo. Aquí ya la carga "h" no varía linealmente con "y".

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Para y<1.3D

En este caso el caudal será:

donde:h representa pérdida de carga en la zona.

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II.2.2- Acuifero libre - Flujo gravitacional

El flujo y descenso del nivel del agua, causado por el bombeo en una zanjade penetración parcial en un estrato permeable, el cual es alimentado pordos líneas fuente, es mostrado en la figura 10.

Lo indicado son los resultados del modelo estudiado por Chapman ( ):

Lo indicado son los resultados del modelo estudiado por Chapman, válido para:

Lo cual comprende el rango de la mayoría de los problemasProf. Silvio Rojas

El caudal hacia la zanja proveniente de una línea f uente paralela se determinó a través:

Para dos fuentes lineales:

La ec. (60) de Chapman, para flujo gravitacional proveniente de una líneafuente en zanja de penetración parcial, el flujo pasó por debajo de la zanjafuente en zanja de penetración parcial, el flujo pasó por debajo de la zanjay penetró aguas abajo de la zanja. Por tanto la ec. 70 para flujo simétricorespecto a la zanja no es exacto.

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II.3-FLUJO HACIA DOS ZANJAS DE PENETRACIÓN PARCIALUBICADAS EQUIDISTANTES DEL CENTRO Y PARALELAS A DOSLINEAS FUENTES

II.·3.1- Acuifero confinado - Flujo artesiano

Se rebaja el nivel piezométrico del acuifero artesiano en una cierta longitud deexcavación (2l), lo cual se realiza con dos líneas de tubos filtrantes de penetraciónparcial, espaciados cerradamente y simulados por dos zanjas como se muestra en lafig. 11. Se considera que el flujo es simétrico hacia las zanjas, y por tanto se estimaque es originado por dos fuentes lineales ubicadas a la misma distancia de laszanjas.

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El caudal hacia las zanjas se estima por:

Para una fuente lineal:

Para dos fuentes lineales:

La carga "hd" en el centro de la excavación, puede ser estima a través de:

AL estimar la carga en estecaso a través de la ec. 53,se está considerando quese está considerando quelas zanjas están losuficientemente separadas,de manera que no existeinterferencia en ladistribución de las presionesde una zanja respecto a laotra. Si las zanjas estánpróximas el estimado de"hd" es conservador.

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II.·3.2- Acuifero libre - Flujo gravitacional

Para hacer las estimaciones del caudal y carga, se aplicará el modelo de Chapman, válido para:

La rebaja del nivel freático está hecho por las dos líneas de tubos filtrantes depenetración parcial, cerradamente espaciados, equidistantes del centro de laexcavación, simuladas por dos zanjas y donde se considera además que ambaslíneas son alimentadas por dos fuentes lineales paralelas a las zanjas.

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La carga "hd" en el centro de la excavación se estima a través de:

donde:C1, C2: constantes obtenidas de las figuras indicadas abajo.

El caudal hacia las zanjas se estima por:

Para una línea fuente.

Para dos líneas fuentesPara dos líneas fuentes

Constantes para corregir el flujo hacia dos zanjas de penetración parcial en acuiferos gravitacional.

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IV.- CORRECCIÓN A UN SISTEMA DE POZOS REMPLAZANDO ZA NJAS

Engelud, demostró que a la reducción de la carga en zanja, simulando unsistema de pozos, debería corregirse cuando se utiliza un grupo finito depozos, remplazando la zanja. El procedimiento de Engelud, fuedesarrollado para sistema de pozos de penetración total; ellos pueden serextendidos para aplicar a pozos de penetración parcial.

Fig. 13.- Lïnea de pozos de penetración total representando a una zanja, en

IV.1-FLUJO ARTESIANO

el caso de flujo artesiano. La fig 13a muestra la planta, fig. 13b se ilustra el perfil a lo largo de la hilera de pozos y la fig. 13c, se indica el corte desde la fuente al sistema de pozos. Prof. Silvio Rojas

Algunas observaciones:1.- Considere una líneainfinita de pozos depenetración totalseparados a unadistancia "a"

distancia "L" de la fuente a la hilera de pozos

2.- La línea depozos estánalimentados poruna línea fuente delongitud infinita.

la carga media "hm" el punto medio entre pozos

carga "hw" dentro de cada pozo

carga "hd" aguas abajo de cada pozo.

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Si los pozos son remplazados por una zanja de penetración total delong. infinita, entonces la reducción de la línea piezométrica delacuifero artesiano en una longitud de zanja "a", se estima a travésde la ec. 3, resultando:

donde:H: Carga total en la línea fuentehw: Carga en el centro de la zanja.Qw: Caudal hacia la zanja de longitud "a".Todos los demás se conocen.

Sin embargo existe una pérdida de carga adicional en el caso de los pozos debido a la convergencia del flujo hacia los pozos. Esta pérdida de carga adicional se estima, a través de las siguientes expresiones:

IV.1.1.- Correcciones para transformar la estimación referidas a zanjas en estimaciones referidas a pozos:

Para el centro del pozo de penetración total:

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Para el centro del pozo de penetración parcial:

donde:rw: Radio efectivo del pozo.a: Espaciamiento de los pozos.qa: Factor de corrección (fig. )

En el medio de entre pozos de penetración total:

En el medio de entre pozos de penetración parcial:

donde:qm: Factor de corrección (fig. )

Aguas abajo del pozo de penetración total:

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Aguas abajo del pozo de penetración parcial:

IV.1.2.- Abatimiento en pozos y cargas en pozos

Ahora se aplicará las correcciones a los abatimientos correspondientes a las zanjas para estimar los abatimientos t cargas en pozos.

Nota: A partir de este punto el caudal Qw, ya está referido al caudal del pozo de bombeo.

Para el centro del pozo de penetración total:

Aplicando la ec. 75 a la ec. 74, se tiene:Aplicando la ec. 75 a la ec. 74, se tiene:

Abatimiento correspondiente a un pozo de bombeo

Carga en el pozo de bombeo

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Para el centro del pozo de penetración parcial:

Aplicando la ec. 76 a la ec. 74, resulta:comentario(sr):

Para pozos de penetración parcial en flujo artesiano, el caudal se expresaba, como:

comentario(sr): ¿Se le debe sumar EA a la long. L?

Abatimiento correspondiente al centro del pozo de bombeo

Carga en el pozo de bombeo

En el medio de entre pozos de penetración total:

Carga "hm"La encontrar "hm", a la altura "hw" de la ec. 82, se le suma la corrección Dhm de la ec. 77

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Sustituyendo las expresiones mencionadas

Desarrollando:

hm hw∆hm...........)(85

En el medio de entre pozos de penetración parcial:

La encontrar "hm", a la altura "hw" de la ec. 84, se le suma la corrección Dhm de la ec. 78

hm hw∆hm...........)(85

Sustituyendo las ecuaciones mencionadas en 85, se tiene:

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Aguas abajo del pozo de penetración total:

Carga "hd"

La encontrar "hd", a la altura "hw" de la ec. 82, se le suma la corrección Dhd de la ec. 80

Sustituyendo:

Se observa que la carga aguas abajo de la zanja Se observa que la carga aguas abajo de la zanja es la misma hw de la ec 74, correspondiente a zanjas.

Al comparar las cargas hw, hm y hd, determinadas con las ecuaciones 82, 86 y 90, para pozos de pemetración total, se observa que: hw < hd < hm

La ec. 88 y 89, son equivalentes, por tanto:

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De la ec. 90, se tiene:

Combinando la ec. 91 y 92:

Aguas abajo del pozo de penetración parcial:

Carga "hd"

La encontrar "hd", a la altura "hw" de la ec. 84, se le suma la corrección de la ec. 80 La encontrar "hd", a la altura "hw" de la ec. 84, se le suma la corrección de la ec. 80

Sustituyendo en la ec. 88, resulta:

La misma ec. 90, y valen los comentarios hechos anteriormente.

De la ec. 94, se tiene:

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Relacionando 96 y 97, se tiene:

Fig. 14.- para obtener los factores de corrección

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