Flujo en medios porosos: Ley de DarcyExperiencia de DarcyEn 1856, en la ciudad francesa de Dijon, el ingeniero Henry Darcy fue encargado del estudio de la red de abastecimiento a la ciudad. Parece que tambin deba disear filtros de arena para purificar el agua, as que se interes por los factores que influan en el flujo del agua a travs de los materiales arenosos, y present el resultado de sus trabajos como un apndice a su informe de la red de distribucin. Ese pequeo apndice ha sido la base de todos los estudios fsicomatemticos posteriores sobre el flujo del agua subterrnea.En los laboratorios actuales disponemos de aparatos muy similares al que utiliz Darcy, y que se denominan permemetros de carga constante1 (Figura 1)

Bsicamente un permemetro es un recipiente de seccin constante por el que se hace circular agua conectando a uno de sus extremos un depsito elevado de nivel constante. En el otro extremo se regula el caudal de salida mediante un grifo que en cada experimento mantiene el caudal tambin constante. Finalmente, se mide la altura de la columna de agua en varios puntos (como mnimo en dos, como en la Figura 1).Darcy encontr que el caudal que atravesaba el permemetro era inealmente proporcional a la seccin y al gradiente hidrulico.

1 En laboratorio, el permemetro se sita verticalmente y con el flujo ascendente para facilitar la evacuacin del aire contenido inicialmente en el material poroso.Es decir: variando el caudal con un grifo y/o moviendo el depsito elevado, los niveles del agua en los tubos varan. Podemos probar tambin con permemetros de distintos dimetros y midiendo la altura de la columna de agua en puntos ms o menos prximos. Pues bien: cambiando todas la variables, siempre que utilicemos la misma arena, se cumple que:

Si utilizamos otra arena (ms gruesa o fina, o mezcla de gruesa y fina, etc.) y jugando de nuevo con todas las variables, se vuelve a cumplir la ecuacin anterior, pero la constante de proporcionalidad lineal es otra distinta. Darcy concluy, por tanto, que esa constante era propia y caracterstica de cada arena. Esta constante se llam permeabilidad (K) aunque actualmente se denomina conductividad hidrulica2. Como el caudal Q est en L3/T, la seccin es L2, e h e l son longitudes, se comprueba que las unidades de la permeabilidad (K) son las de una velocidad (L/T).Actualmente, la Ley de Darcy se expresa de esta forma:

Velocidad real y velocidad de DarcySabemos que en cualquier conducto por el que circula un fluido se cumple que:Caudal = Seccin x Velocidad (3)L3/T = L2 x L/TSi aplicamos esta consideracin al cilindro del permemetro de Darcy, y calculamos la velocidad a partir del caudal y de la seccin, que son conocidos, obtendremos una velocidad falsa, puesto que el agua no circula por toda la seccin del permemetro, sino solamente por una pequea parte de ella. A esa velocidad falsa (la que llevara el agua si circulara por toda la seccin del medio poroso) se denomina velocidad Darcy o velocidad de flujo:Velocidad Darcy = Caudal / Seccin total (4)2 Existe cierta confusin en las denominaciones de K y de k (que aparece en la pgina siguiente): aqu utilizamos K= conductividad hidrulica y k= permeabilidad intrnseca. Pero en el uso comn a veces nos referimos a la K como permeabilidad, a ella nos referimos con las expresiones formacin permeable, medimos con el permemetro; y la k a veces aparece como permeabilidad (sin el adjetivo intrnseca).La parte de la seccin total por la que puede circular el agua es la porosidad eficaz3; si una arena tiene una porosidad del 10% (0,10), el agua estara circulando por el 10% de la seccin total del tubo. Y para que el mismo caudal circule por una seccin 10 veces menor, su velocidad ser 10 veces mayor. Por tanto, se cumplir que:Velocidad lineal media = Velocidad Darcy / me (5)(me = porosidad eficaz)Denominamos velocidad lineal media, y no velocidad real, al resultado de la expresin (5) debido a lo siguiente: esa frmula refleja correctamente la velocidad real de las partculas en una seccin cualquiera del medio poroso, por ejemplo, en la mostrada en la figura 2. Pero no es exacta para calcular con ella el tiempo de recorrido entre dos puntos.

En la figura 3 se muestra un tubo de longitud L1 lleno de arena por el que se hace circular agua.

Calculamos la velocidad lineal media mediante las expresiones (4) y (5), y con esa velocidad evaluamos el tiempo de recorrido a lo largo del tubo de dicha figura (tiempo=L1 /velocidad).Si despus medimos experimentalmente ese tiempo de recorrido aadiendo un colorante al agua, obtendramos un tiempo ligeramente superior, ya que la distancia recorrida ha sido mayor: no L1 sino L2 (que es desconocida).Si llamamos velocidad real a la registrada a lo largo de un recorrido a travs de un medio poroso, sera igual a:Velocidad Real = Velocidad lineal media coeficienteEse coeficiente depende de la tortuosidad del medio poroso, y aproximadamente puede ser de 1,0 a 1,2 en arenas.En la prctica, habitualmente se utiliza la expresin (5) diciendo que hemos calculado la velocidad real, pero debemos ser conscientes del error que se comente al despreciar la tortuosidad del recorrido.Flujo a travs de varias capas: Permeabilidad equivalenteEn un medio estratificado, con frecuencia se produce el flujo a travs de varias capas, y deseamos aplicar la ley de Darcy globalmente al conjunto de capas. Los dos casos ms sencillos son cuando consideramos el flujo paralelo a los contactos entre las capas o el flujo perpendicular a las capas.Permeabilidad (o conductividad hidrulica) equivalente es un valor promedio que podemos asignar al conjunto de capas considerado como una unidad. Y hablaremos de K equivalente horizontal (Kh) o K equivalente vertical (Kv) refirindonos respectivamente a los dos casos citados (suponiendo las capas horizontales, el flujo paralelo a las capas es horizontal, y el flujo perpendicular a las capas es vertical).(La deduccin de las frmulas se encuentra en el Apndice 2).3 Efectivamente, como explicbamos en el tema anterior, el agua no puede fluir por toda la porosidad, ya que el agua adherida a los granos es relativamente inmvil. Reproducimos una figura del tema anterior.

AnisotropaCon frecuencia la K vertical de una formacin detrtica es menor que la K horizontal, debido a la forma y disposicin de los granos (en la figura, a la izquierda), o a la presencia de lminas intercaladasde menor permeabilidad (a la derecha).Para una descripcin matemtica del medio permeable, puede ser necesario asignar tres valores Kx, Ky y Kz. Por ejemplo, en el programa MODFLOW debemos introducir los valores de la conductividad hidrulica en las direcciones, aunque generalmente se utiliza Kx = Ky.Generalmente no se dispone de un conocimiento del medio poroso suficiente para poder especificar el valor de la conductividad hidrulica (K) en las tres direcciones del espacio: X, Y (horizontales) y Z (vertical) y con frecuencia debemos limitarnos a asignar a una formacin geolgica un valor de K suponindolo vlido para cualquier direccin (medio istropo).

Limitaciones de la Ley de DarcyLa Ley de Darcy puede no cumplirse por las siguientes razones:1). La constante de proporcionalidad K no es propia y caracterstica del medio poroso, sino que tambin depende del fluido

Esta cuestin es fundamental en geologa del petrleo o en el flujo de contaminantes, donde se estudian fluidos de diferentes caractersticas. En el caso del agua, la salinidad apenas hace variar el peso especfico ni la viscosidad. Solamente habra que considerar la variacin de la viscosidad con la temperatura, que se duplica de 35 a 5 C, con lo que se la permeabilidad de Darcy (K) sera la mitad y tambin se reducira en la misma proporcin el caudal circulante por la seccin considerada del medio poroso. Las aguas subterrneas presentan mnimas diferencias de temperatura a lo largo del ao en un mismo acufero, pero en otros entornos s pueden producirse diferencias de temperatura notables.Por tanto, aunque sabemos que K depende tanto del medio como del propio fluido, como la parte que depende del fluido normalmente es despreciable, para las aguas subterrneas a efectos prcticos asumimos que la K de Darcy, o conductividad hidrulica es una caracterstica del medio poroso.2). La relacin entre el caudal y el gradiente hidrulico no es lineal en algunas circunstancias. Esto puede suceder cuando el valor de K es muy bajo o cuando las velocidades del flujo son muy altas.En el primer caso, por ejemplo, si aplicamos la Ley de Darcy para calcular el flujo a travs de una formacin arcillosa, el caudal que obtendramos sera bajsimo, pero en la realidad, si no se aplican unos gradientes muy elevados, el agua no llega a circular, el caudal es 0.En el segundo caso, si el agua circula a gran velocidad, el caudal es directamente proporcional a la seccin y al gradiente, pero no linealmente proporcional, sino que la funcin sera potencial:

Donde el exponente n es distinto de 1.Para estudiar este lmite de validez de la ley de Darcy se aplica el nmero de Reynolds.Este coeficiente se cre para canales abiertos o tuberas, y en general valores altos indican rgimen turbulento y valores bajos indican rgimen laminar. Para medios porosos se aplica la frmula utilizada para canales o tubos, pero sustituyendo el dimetro de la conduccin por el dimetro medio del medio poroso y considerando la velocidad Darcy:

Es imposible conocer el grado de turbulencia del flujo a travs de un medio poroso, pero experimentalmente se ha observado que deja de cumplirse la Ley de Darcy (el caudal deja de ser linealmente proporcional al gradiente) cuando R alcanza un valor que vara entre 1 y 10.(Es decir: R10, no se cumple Darcy; R entre 1 y 10, puede cumplirse o no).Esa falta de precisin del valor lmite ser debida a otros factores diferentes del dimetro medio de los granos: heterometra, forma, etc.En el flujo subterrneo las velocidades son muy lentas, los valores e R muy bajos, y prcticamente siempre la relacin es lineal, salvo en las proximidades de captaciones bombeando en ciertas condiciones.Apndice 1. Variacin de la conductividad hidrulica con el fluido.

Apndice 2. Flujo a travs de varias capas:Obtencin de la permeabilidad equivalente