Flujo en Cavidad a Altos

Numeros de Reynolds

por

Diana Cristina Ojeda Aristizabal

Trabajo de Grado

presentado al Departamento

de Ingenierıa Mecanica

para acceder al tıtulo de Ingeniera Mecanica

Director

Jose Rafael Toro

Universidad de los Andes

Bogota, Colombia

Diciembre 9 de 2008

Indice general

1. Introduccion 2

2. Bifurcacion en el Flujo en Cavidad 42.1. Diferencias Cualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. Soluciones Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Estabilidad 103.1. Banda de Vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2. Anillo de Vorticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. Conclusiones 21

A. Calculos Detallados 23

Capıtulo 1

Introduccion

El flujo en cavidad es el estudio del movimiento de un fluido viscoso confina-do en una caja, el movimiento se genera cuando la tapa superior se deslizahorizontalmente. Es un problema con geometrıa y condiciones de frontera sen-cillas pero que da lugar a comportamientos interesantes a diferentes numerosde Reynolds. Los estudios del flujo en cavidad provienen de dos motivacionesdiferentes, algunos buscan entender las caracterısticas dinamicas del sistema yel mecanismo detras de la formacion de estructuras en el flujo; otros buscanprobar nuevos metodos numericos para flujos internos y utilizan este problemacomo problema de prueba. Nuestro estudio proviene de la primera motivacion,especıficamente buscamos entender el origen de las soluciones periodicas quese obtienen para cierto rango de numeros de Reynolds.

Veamos primero como evoluciona el sistema a partir del deslizamiento subitode la tapa superior. Con este fin, es necesario estudiar la evolucion de la vor-ticidad y la formacion de vortices, es decir la formacion estructuras ordenadasde partıculas que giran alrededor de un mismo centro. Un problema que esinteresante en si mismo pues nos permite observar el proceso de formacion devortices y entender el papel de la viscosidad en la generacion y evolucion dela vorticidad. De hecho, el flujo en cavidad es uno de los escenarios que utilizaGustafson en su artıculo Four principles of vortex motion [4] para ilustrar cua-tro principios empıricos que propone como base para una teorıa de dinamicade vortices. En la descripcion de la evolucion del sistema sequiremos las ideaspresentadas en [4].

Inicialmente, cuando la tapa se desliza subitamente hacia la izquierda, se formauna capa delgada de vorticidad infinita debido a la condicion de no desliza-miento; poco despues se forma una zona de recirculacion debajo de la tapa

2

3

que posteriormente genera un pequeno vortice en la pared izquierda. Luego,la vorticidad de la capa delgada se difunde por accion de la viscosidad y elpequeno vortice que se formo se separa de la pared, crece y se mueve hacia elcentro de la cavidad. Como respuesta a la accion del vortice central, las paredesgeneran una banda de vorticidad negativa que rodea a la zona de vorticidadpositiva correspondiente al vortice central. Finalmente este vortice central ylas paredes pueden inducir la formacion de vortices secundarios en las esquinasde la cavidad.

En el siguiente capıtulo veremos los detalles de la formacion y la dinamicade los vortices secundarios pues es principalmente la interaccion entre estosvortices y el vortice central que determina la periodicidad de la solucion. Es-tudiaremos los resultados presentados en [1] y [3] y buscaremos una relacionentre estos resultados que hasta el momento no existıa. Esperamos de esta for-ma contribuir al entendimiento de la naturaleza periodica de las soluciones delflujo en cavidad.

Capıtulo 2

Bifurcacion en el Flujo enCavidad

En este capıtulo estudiaremos los resultados de Bruneau y Saad presentados en[2] y los resultados de Auteri et al. presentados en [1] acerca de la transicion desoluciones estacionarias a soluciones periodicas que presenta el flujo en cavidad.Usaremos los resultados de [2] para observar las diferencias cualitativas entreel flujo a diferentes numeros de Reynolds. Estudiando los resultados de [1]buscamos entender el mecanismo que da lugar a soluciones periodicas. Para elrango del numero de Reynolds que estudiaremos se forma siempre un vorticeprincipal central, la presencia y la naturaleza de los vortices secundarios en lasesquinas depende del numero de Reynolds.

2.1. Diferencias Cualitativas

Para visualizar el flujo a diferentes numeros de Reynolds presentamos las grafi-cas de lıneas de corriente y vorticidad obtenidas en [2]. Como ejemplo de solu-ciones estacionarias presentaremos las soluciones correspondientes a Re = 1000y Re = 5000. Despues presentaremos un ciclo completo de lıneas de corrientepara una solucion periodica a Re= 10000. Empezamos con las soluciones esta-cionarias para Re = 1000.

4

5

Figura 2.1: De izquierda a derecha. Lıneas de corriente y contornos de vorticidadpara Re=1000. [2].

Para este numero de Reynolds se forman dos vortices secundarios en las es-quinas inferiores. Podemos aumentar un poco el numero de Reynolds y con-servar una solucion estacionaria, sin embargo pueden aparecer nuevos vorticessecundarios, como ejemplo presentamos una solucion para Re=5000.

Figura 2.2: De izquierda a derecha. Lıneas de corriente y contornos de vorticidadpara Re=5000. [2].

En este caso se forma otro vortice secundario en la esquina superior derecha,en este momento estamos cerca a la transicion a soluciones periodicas. La esti-macion del numero de Reynolds crıtico difiere entre varios estudios por ejemploAuteri et. Al. lo ubican en el intervalo [8017.6, 8018.8) mientras que Bruneauy Saad lo ubican en el intervalo [8000, 8050]. Para observar las caracterısti-cas de las soluciones periodicas presentamos a continuacion una solucion paraRe = 10000.

6

Figura 2.3: Lıneas de corriente para un ciclo completo a Re = 10000. [2].

El comportamiento de los vortices secundarios de las esquinas derechas es evi-dencia de la naturaleza periodica de la solucion. El vortice de la esquina inferiorderecha se divide en dos vortices que despues empiezan a unirse de nuevo; enel proceso se genera un tercer vortice que queda atrapado en la esquina. Estevortice desaparece una vez los dos vortices iniciales se unen para formar elvortice secundario original. Lo mismo sucede con el vortice de la esquina su-perior derecha. Observe que las lıneas de corriente al comienzo del ciclo sonidenticas a las obtenidas al final del ciclo.

7

2.2. Soluciones Periodicas

Ahora buscamos entender el mecanismo detras de las soluciones periodicas pre-sentadas en la seccion anterior. Para investigar la componente oscilatoria de lasolucion, Auteri et. Al. estudiaron la distribucion en frecuencia de la energıacinetica total. La densidad de potencia espectral para Re = 8125 se presentaa continuacion.

Figura 2.4: Densidad de potencia espectral de E(t) para Re = 8125. [1].

En base a estos datos y para identificar las estructuras que toman parteen el movimiento periodico, aplicaron un filtro a la vorticidad en el rango0,42 ≤ f ≤ 0,48. La componente de la vorticidad en este rango de frecuenciarevela la presencia de una calle de vortices que rodean al vortice central, enla figura 2.5 presentamos un ciclo completo en nueve campos de vorticidaddespues de aplicar el filtro.

8

Figura 2.5: Ciclo completo del campo de vorticidad despues de aplicar un filtro. [1].

Auteri et al. atribuyen esta calle de vortices a la perdida de estabilidad dela capa que separa el vortice principal de los vortices secundarios. Por otrolado, el campo de vorticidad presenta una zona central de vorticidad positivarodeada por una banda de vorticidad negativa. En 1989 Dritschel estudio laestabilidad de esta distribucion de vorticidad para el caso no viscoso en suartıculo On the stabilization of a two-dimensional vortex strip by adverse shear[3]. Utilizando dinamica de contornos, obtuvo el siguiente resultado que tieneuna forma similar a la situacion presentada en la figura 2.5.

9

Figura 2.6: Evolucion de un anillo delgado de vorticidad que rodea a un vorticecentral uniforme de la misma vorticidad. [3].

Podemos observar como el anillo de vorticidad se degenera en un arreglo cir-cular de vortices y se forma una configuracion similar a la de la figura 2.5. Elobjetivo en los proximos capıtulos es relacionar el resultado de Auteri et al.presentado en la figura 2.5 y el resultado de Dritschel presentado en la figuraanterior.

Capıtulo 3

Estabilidad

El objetivo de este capıtulo es estudiar la estabilidad de un anillo de vorticidad.Veremos que la amplitud de una perturbacion pequena en las curvas que limi-tan el anillo, crece exponencialmente con el tiempo; y que cuando la amplitudde la perturbacion se magnifica, el anillo de vorticidad se degenera en una callede vortices. De esta forma buscamos explicar la presencia de la calle de vorticesen las simulaciones del flujo en cavidad para Re = 8125 presentadas en [1]. Enefecto, los contornos de vorticidad en las simulaciones presentan una zona cen-tral de vorticidad positiva rodeada por una banda de vorticidad negativa.

Primero estudiaremos la estabilidad de una banda de vorticidad con el metodode dinamica de contornos desarrollado por Zabusky et al. [5]. Despues estudia-remos la estabilidad de un anillo de vorticidad. En todo momento suponemosque el fluido es incompresible, no viscoso y bidimensional. Seguiremos el pro-cedimiento presentado en [3].

3.1. Banda de Vorticidad

Suponemos que la banda esta acotada por las dos lıneas y = ±12∆ y que fuera

de la banda el flujo es irrotacional. Calcularemos el campo de velocidad enla region encima de la banda. Tomamos un punto x con coordenadas (0, x2)donde x2 > 1

2∆. Con la ley de Biot-Savart obtenemos las siguientes expresiones

10

11

para la velocidad en x:

u(x) = − ω

2π

∫Ω

x2 − y2

|x − y|2dS(y)

v(x) =ω

2π

∫Ω

−y1

|x − y|2dS(y).

Donde u(x) y v(x) son la primera y segunda componente de la velocidad respec-tivamente y Ω es la banda de vorticidad. Para calcular estas integrales usamoscoordenadas polares centradas en el punto x, la region de integracion en elplano (r, θ) esta dada por

0 < θ < πx2 − 1

2∆

sin θ< r <

x2 + 12∆

sin θ

x(0, x2)

y(y1, y2)

θ

∆

r

En estos terminos podemos calcular u(x):

u(x) = − ω

2π

∫ π

0

∫ x2+12∆

sin θ

x2− 12∆

sin θ

x2 − x2 + r sin θ

r2rdrdθ

= − ω

2π

∫ π

0

∆dθ = −ω∆

2.

De la misma forma obtenemos v(x):

v(x) =ω

2πlımα→∞

∫ α

−α

∫ x2+12∆

sin θ

x2− 12∆

sin θ

−r cos θ

r2rdrdθ

= −ω∆

2πlımα→∞

∫ α

−α

cos θ

sin θdθ

= −ω∆

2πlımα→∞ log |sin θ| |α−α = 0

12

El calculo del campo de velocidad debajo de la banda es analogo. Concluimosque para el fluido fuera de la banda de vorticidad, el campo de velocidadesta dado por

u(x) =

−1

2ω∆ si x2 > 1

2∆,

12ω∆ si x2 < 1

2∆

(3.1)

v(x) = 0. (3.2)

Ahora introducimos perturbaciones pequenas en las fronteras superior e inferiorde la banda de vorticidad de la forma

η±(x1, t) = Re[a±f(x1, t)] (3.3)

donde Re denota la parte real y

f(x1, t) = exp(ikx1 − iσt), con k > 0.

Para calcular la evolucion del contorno de la banda utilizamos las siguientesparametrizaciones:

Borde superior c+(x′) = (x′, 12∆ + η+(x′, t)), −∞ < x′ < ∞

Borde inferior c−(x′) = (x′,−12∆ + η−(x′, t)), −∞ < x′ < ∞.

(3.4)

La idea es plantear expresiones para la dinamica del contorno que proporcionenuna restriccion en σ. Observe que si σ tiene parte imaginaria positiva, la ampli-tud de la perturbacion crecerıa exponencialmente. Estudiaremos la dinamicadel contorno inferior, el tratamiento del contorno superior es analogo. Veamosprimero que sucede con u(x) en presencia de la perturbacion. Usando dinamicade contornos, obtenemos que para x en la frontera inferior

u(x) = − ω

4π

∫ +∞

−∞log

∣∣(x1 − x′1)

2 + ∆2∣∣ dx′

1 +ω

2π

∫ +∞

−∞log |x1 − x′

1| dx′1,

que es la misma velocidad que obtendrıamos si no hubiera perturbacion alguna,luego por la ecuacion (3.1) tenemos que u(x) = −1

2ω∆.

Encontremos ahora una ecuacion para v(x) en la frontera inferior. Para aclararla notacion, se entiende que en todo momento estamos tomando partes reales.Por un lado v(x) esta dada por

v(x) =Dη−Dt

=∂η−∂x1

dx1

dt+

∂η−∂t

=∂η−∂x1

u +∂η−∂t

. (3.5)

13

Por la forma de η−(x1, t) tenemos que

v(x) =

(k

2ω∆ − σ

)ia−f(x1, t). (3.6)

Por otro lado, usando las ecuaciones de dinamica de contornos y las parametriza-ciones en (3.4), encontramos la siguiente expresion para v(x):

v(x) = − ω

2π

∫ +∞

−∞log |x1 − x′

1| a−∂

∂x′1

f(x′1, t)dx′

1

+ω

2π

∫ +∞

−∞log

∣∣(x1 − x′1)

2 + ∆2∣∣1/2 a+

∂

∂x′1

f(x′1, t)dx′

1

= −ωik

2πa−

∫ +∞

−∞log |x1 − x′

1| f(x′1, t)dx′

1

+ωik

2πa+

∫ +∞

−∞log

∣∣(x1 − x′1)

2 + ∆2∣∣1/2 f(x′

1, t)dx′1.

Al factorizar f(x1, t) y hacer la sustitucion w = x′1 − x1 tenemos que

v(x) = −ωik

2πf(x1, t)

(a−

∫ +∞

−∞log |w| eikwdw − a+

∫ +∞

−∞log

∣∣w2 + ∆2∣∣1/2 eikwdw

)

= −ωik

2πf(x1, t)

(∫ +∞

−∞log

∣∣∣∣ wa−

(w2 + ∆2)a+/2

∣∣∣∣ eikwdw

)

Al igualar este ultimo resultado con (3.6) tenemos que(σ

ω− k

2∆

)a− =

k

2πI. (3.7)

Donde I es la parte real de la integral del lado derecho de (3.7). El calculo deesta integral se puede encontrar en el apendice A donde, usando el teorema deresiduos de Cauchy, llegamos al siguiente resultado

I = − π

2ka− +

π

2ke−∆ka+.

Al reemplazar I en (3.7) obtenemos la siguiente ecuacion para a±:(σ

ω+

1

2(1 − ∆k)

)a− − 1

2e−∆ka+ = 0. (3.8)

Siguiendo el mismo procedimiento con el contorno superior obtenemos otraecuacion para a±: (

σ

ω− 1

2(1 − ∆k)

)a+ +

1

2e−∆ka− = 0. (3.9)

14

Para encontrar una solucion no trivial de (3.8),(3.9), el determinante del sis-tema debe ser 0, luego necesariamente

σ(k) = ±1

2ω

[(1 − k∆)2 − e−2k∆

]1/2. (3.10)

Observe que si las perturbaciones son tales que k∆ esta entre 0 y 1.2784,σ es un numero imaginario y por lo tanto la amplitud de la perturbacioncrece exponencialmente. La existencia de este modo inestable demuestra lainestabilidad de la banda de vorticidad.

3.2. Anillo de Vorticidad

Consideremos ahora un anillo de vorticidad de radio interno a y radio externob, la distribucion de vorticidad esta dada por

ω(r) =

ω Si a ≤ r ≤ b,

0 De lo contrario.

Para calcular el campo de velocidad podemos usar dinamica de contornos, deesta forma obtenemos que

v(x) =ω

2π

[∮C+

α · dc+(y) − ∮C−

α · dc−(y)∮C+

β · dc+(y) − ∮C−

β · dc−(y)

]

=ω

2π

[∮C+

α · dc+(y)∮C+

β · dc+(y)

]+

−ω

2π

[∮C−

α · dc−(y)∮C−

β · dc−(y)

]

Donde C± son los contornos exterior e interior del anillo respectivamente y α, βestan dados por

α(x, y) =

[− log |x − y|0

]y β(x, y) =

[0

− log |x − y|]

.

Por lo tanto el campo de velocidad es la superposicion del campo generadopor un disco de vorticidad ω y radio b y el campo generado por un disco devorticidad −ω y radio a. Luego el campo de velocidad esta dado por

v(r) =

⎧⎪⎨⎪⎩

0 Si r ≤ a,ω2r

(r2 − a2) Si a < r < b,ω2r

(b2 − a2) Si r ≥ b.

(3.11)

u(r) = 0.

15

Donde v(r) es la velocidad tangencial y u(r) es la velocidad radial. Observeque v(r) es continua en r = a y r = b. Para estudiar la estabilidad linealintroducimos perturbaciones pequenas en los contornos exterior e interior delanillo, de la forma

η±(θ, t) = Re[E±f(θ, t)] (3.12)

donde Re denota la parte real y

f(θ, t) = exp(imθ − iσt),

con m un entero positivo. Observe que en la frontera interior se tiene que

u =Dη−Dt

=∂η−∂t

+v

a

∂η−∂θ

, (3.13)

y en la frontera exterior

u =Dη+

Dt=

∂η+

∂t+

v

b

∂η+

∂θ. (3.14)

Para calcular la velocidad radial debemos encontrar la funcion de corrienteinducida por la perturbacion. Observe que esta funcion de corriente satisfacela ecuacion de Laplace salvo en las fronteras del anillo pues solamente allı in-cluimos perturbaciones. Por lo tanto

1

r

∂

∂r

(r∂ψ′

∂r

)+

1

r2

∂2ψ′

∂θ2= 0, (3.15)

donde ψ′(r, θ, t) es la funcion de corriente de la perturbacion. Ahora buscamosuna solucion de la forma

ψ′(r, θ, t) = F (r)exp(imθ − iσt) (3.16)

donde m y σ son los mismos parametros en la definicion de η±. Ahora reem-plazamos esta expresion para ψ′ en (3.15) y obtenemos la siguiente ecuaciondiferencial para F (r):

d2F

dr2+

1

r

dF

dr− m2

r2F = 0. (3.17)

Para solucionar esta ecuacion basta suponer una solucion de la forma F (r) = rk

y encontramos que la solucion general es una combinacion lineal de rm y r−m.Necesitamos una solucion tal que F (r) sea finito cuando r tiende a infinito o acero. Por lo tanto la solucion que buscamos es

F (r) =

⎧⎪⎨⎪⎩

Arm Si r ≤ a,

Brm + Cr−m Si a < r < b,

Dr−m Si r ≥ b.

(3.18)

16

Como la velocidad radial esta dada por u = −1r

∂ψ′∂θ

, sabemos que tiene la formaU(r)exp(imθ − iσt) donde

U(r) =

⎧⎪⎨⎪⎩−imArm−1 Si r ≤ a,

−imBrm−1 − imCr−m−1 Si a < r < b,

−imDr−m−1 Si r ≥ b.

(3.19)

Al imponer la continuidad en r = a y r = b obtenemos las siguientes ecuaciones:

Aam−1 − Bam−1 − Ca−m−1 = 0 (3.20)

Bbm−1 + Cb−m−1 − Db−m−1 = 0 (3.21)

Tambien es necesario que la velocidad tangencial sea continua a traves de lasfronteras del anillo perturbado. Linealizando v(r, θ, t) alrededor de las fronterasno perturbadas obtenemos las relaciones:

v(a + η−(θ, t), θ, t) = v(a, θ, t) +∂v

∂r(a, θ, t)η−(θ, t)

v(b + η+(θ, t), θ, t) = v(b, θ, t) +∂v

∂r(b, θ, t)η+(θ, t)

(3.22)

Observe que la velocidad tangencial es la superposicion de la velocidad dadapor (3.29) y la velocidad que resulta de la perturbacion. Para calcular ∂v

∂rsolo

usamos la parte dada por (3.29), por lo tanto

∂v

∂r=

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0 si r ≤ aω2

(1 + a2

r2

)si a < r < b

− ω2r2 (b2 − a2) si r ≥ b.

(3.23)

Como la velocidad dada por (3.29) es continua en r = a y r = b, basta imponercontinuidad en r = a para la expresion

dψ′

dr+

∂v

∂rη−,

y en r = b para la expresion

dψ′

dr+

∂v

∂rη−.

Usando las ecuaciones (3.16),(3.23) y (3.12) para ψ′,∂v∂r

y η± respectivamente,obtenemos las siguientes ecuaciones para para A, B, C y E±:

Amam−1 − Bmam−1 + Cma−m−1 − ωE− = 0 (3.24)

Bmbm−1 − Cmb−m−1 + ωE+ + Dmb−m−1 = 0. (3.25)

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Si ahora usamos en (3.13) y (3.14) las expresiones para η− y u, y evaluamosen a y b respectivamente, obtenemos las ecuaciones

−Amam−1 + E−σ = 0 (3.26)

−E+σ +ω

2b2

(b2 − a2

)mE+ + Dmb−m−1 = 0. (3.27)

Y hemos encontrado seis ecuaciones, a saber (3.20), (3.21), (3.24), (3.25), (3.26)y (3.27) con las incognitas A, B, C, D, E+, E−. Recopilamos las ecuaciones acontinuacion

Aam−1 − Bam−1 − Ca−m−1 = 0

Bbm−1 + Cb−m−1 − Db−m−1 = 0

Amam−1 − Bmam−1 + Cma−m−1 − ωE− = 0

Bmbm−1 − Cmb−m−1 + Dmb−m−1 + ωE+ = 0

−Amam−1 + σE− = 0

Dmb−m−1 +(ωm

2b2

(b2 − a2

) − σ)

E+ = 0.

Para garantizar la existencia de una solucion no nula del sistema anterior,el determinante del sistema debe ser cero. Usando el software Mathematica,encontramos que los valores de σ que anulan este determinante son

σ =ωm

4

(1 − a2

) ± 1

2ω

[(1 − 1

2m

(1 − a2

))2

− a2m

]1/2

, (3.28)

donde a = a/b. Cuando(1 − 1

2m (1 − a2)

)2− a2m < 0, σ tiene parte imaginarianegativa y por lo tanto la amplitud de la perturbacion crece exponencialmente.Los valores de a correspondientes dependen del valor de m, para m = 1 ym = 2 la expresion dentro del radical nunca es negativa. Para otros valores dem presentamos a continuacion el rango de a que hace inestable la perturbaciony donde se alcanza el valor mas negativo de la expresion en el radical.

m Rango de a Valor de a mas inestable3 (0.5,1) 0.70714 (0.6435,1) 0.78615 (0.7221,1) 0.83156 (0.7720,1) 0.86097 (0.8067,1) 0.88168 (0.8321,1) 0.8969

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Observe que cuando el valor de m aumenta, la longitud de onda de la per-turbacion es mas pequena. En estos casos el rango de a que hace inestable laperturbacion es mas estrecho, siempre con extremo derecho 1. Por lo tanto losanillos correspondientes son mas delgados. Adicionalmente el valor mınimo deIm(σ) disminuye y la perturbacion se vuelve mas inestable. La existencia deestos modos inestables demuestra la inestabilidad del anillo de vorticidad.

Es posible usar el mismo metodo para analizar la estabilidad de un anillo devorticidad que rodea un vortice libre de circulacion Γ. En este caso el campode velocidad esta dado por

v(r) =

⎧⎪⎨⎪⎩

Γ2πr

Si r ≤ a,ω2r

(r2 − a2) + Γ2πr

Si a < r < b,ω2r

(b2 − a2) + Γ2πr

Si r ≥ b.

(3.29)

u(r) = 0.

Donde v(r) es la velocidad tangencial y u(r) es la velocidad radial. Las ecua-ciones (3.20) y (3.21) siguen siendo validas pues introducimos una perturbaciondel mismo tipo. Al igual que antes, debemos garantizar la continuidad de la ve-locidad tangencial total. Usamos de nuevo la linealizacion de v(r, θ, t) alrededorde las fronteras, ahora ∂v

∂resta dada por

∂v

∂r=

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩− Γ

2πr2 si r ≤ aω2

(1 + a2

r2

)− Γ

2πr2 si a < r < b

− ω2r2 (b2 − a2) − Γ

2πr2 si r ≥ b.

(3.30)

Siguiendo el mismo procedimiento que antes llegamos a las ecuaciones (3.24)y (3.25). Al momento de usar en (3.13) y (3.14) las expresiones para η− y u,y evaluar en a y b respectivamente, obtenemos dos ecuaciones diferentes a lascorrespondientes al caso anterior, a saber

−Amam−1 + E−

(σ − Γm

2πa2

)= 0 (3.31)

−E+σ +

(ω

2b2

(b2 − a2

)+

Γ

2πb2

)mE+ + Dmb−m−1 = 0. (3.32)

Ası tenemos de nuevo un sistema de seis ecuaciones, a saber (3.20), (3.21),(3.24), (3.25), (3.31) y (3.32) con las incognitas A, B, C, D, E+, E−. Recopila-

19

mos las ecuaciones a continuacion

Aam−1 − Bam−1 − Ca−m−1 = 0

Bbm−1 + Cb−m−1 − Db−m−1 = 0

Amam−1 − Bmam−1 + Cma−m−1 − ωE− = 0

Bmbm−1 − Cmb−m−1 + Dmb−m−1 + ωE+ = 0

−Amam−1 +

(σ − Γm

2πa2

)E− = 0

Dmb−m−1 +

(ωm

2b2

(b2 − a2

)+

Γm

2πb2− σ

)E+ = 0.

Al igual que antes, para garantizar la existencia de una solucion no nula delsistema anterior, el determinante del sistema debe ser cero. Usando el softwareMathematica, encontramos que los valores de σ que anulan este determinanteson

σ = ωm4

[Λ (1 + a) +

(1 − a2

)] ± 12ω

[(1 − 1

2m(1 − a2

)(1 − Λ)

)2 − a2m]1/2

,

donde a = a/b y Λ = Γπa2ω

. Cuando[1 − 1

2m (1 − a2) (1 − Λ)

]2 − a2m < 0, σtiene parte imaginaria negativa y por lo tanto la amplitud de la perturbacioncrece exponencialmente. Observe que si Λ ≥ 1, la banda es estable pues en esecaso σ serıa real. Sin embargo nos interesa lo que sucede cuando la banda esnegativa pues esta es la situacion que se presenta en la cavidad. Ası como enel caso anterior, el extremo derecho de los intervalos inestables de a es 1. En lasiguiente grafica mostramos los extremos izquierdos de los intervalos inestablesde a para diferentes valores de Λ.

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Figura 3.1: Extremos izquierdos de los intervalos inestables de a.

Observe que para los valores mayores de m, que corresponden a perturbacionescon longitudes de onda menores, el extremo izquierdo del intervalo inestablede a es mayor, por lo tanto los anillos inestables son mas delgados. Por otrolado, en presencia de un vortice libre con circulacion negativa, los extremosizquierdos son mayores que los correspondientes para el caso Λ = 0.

Capıtulo 4

Conclusiones

Hemos estudiado el origen de las soluciones periodicas del flujo en cavidad, unproblema poco estudiado en la literatura acerca del flujo en cavidad. El puntode partida de nuestro estudio fue el analisis de Fourier que hicieron Auteri etal. en [1]; el resultado presentado en la figura 2.5 mostraba la presencia de unacalle de vortices que circulaba alrededor del vortice central y pasaba por lapared derecha de la cavidad. Es en esta pared donde observamos una dinamicainteresante en la solucion periodica presentada en la figura 2.1, atribuimos elcomportamiento de los vortices de las esquinas de la derecha a esta estructurade vortices. Aun no es claro el mecanismo exacto mediante el cual este compor-tamiento tiene lugar, en un estudio posterior se podrıa estudiar este mecanismocon la ayuda de experimentos computacionales.

Para sentar una base solida para estudios posteriores, estudiamos en detalle lainestabilidad en la zona que rodea al vortice principal. Mostramos que una dis-tribucion de vorticidad similar en el caso no viscoso es inestable y se degeneraen una calle de vortices. El analisis de estabilidad presentado en el capıtulo3 demuestra la inestabilidad pero no establece en que forma se degenera ladistrubucion inicial de vorticidad; sin embargo Dritschel utiliza dinamica decontornos para estudiar la evolucion de esta distrubucion de vorticidad en [3].La similitud de la grafica 2.2 a la situacion encontrada por Auteri et al. fue laguıa del estudio que realizamos.

La presencia de esta calle de vortices es una diferencia entre las soluciones a ba-jo numero de Reynolds y a alto numero de Reynolds. Si la viscosidad del fluidoes muy alta, no es posible que se organicen estructuras de este tipo pues in-mediatamente la viscosidad se encarga de suavizar el campo de vorticidad. Porlo tanto para numeros de Reynolds pequenos no existe esta calle de vortices,

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lo cual coincide con la solucion estable en estos casos.

Haremos un ultimo comentario acerca de la suposicion de no viscosidad en elanalisis de estabilidad. Evidentemente nada interesante sucederıa en la cavidadsi el fluido fuera no viscoso. En efecto, en el capıtulo 1 vimos que la viscosidades esencial para introducir vorticidad al fluido. En nuestro estudio, asumimosque el fluido era no viscoso para entender la estabilidad de la distribucion devorticidad que se origino por el proceso que explicamos en el capıtulo 1. Porlo tanto el objetivo del capıtulo 3 era estudiar la evolucion de la vorticidadmas no su generacion. El ultimo paso para validar el presente estudio es rea-lizar experimentos numericos que permitan establecer de forma concluyente larelacion entre la calle de vortices y la naturaleza periodica de la solucion.

Apendice A

Calculos Detallados

Presentaremos el calculo detallado de la integral a la que llegamos en la seccion3.1. La repetimos a continuacion∫ +∞

−∞log

∣∣∣∣ wa−

(w2 + ∆2)a+/2

∣∣∣∣ cos(kw)dw. (A.1)

Usamos integracion por partes con

U = log

∣∣∣∣ wa−

(w2 + ∆2)a+/2

∣∣∣∣ (A.2)

dV = cos(kw)dw. (A.3)

Por lo tanto

I = lımL→∞1

k

[log

∣∣∣∣ wa−

(w2 + ∆2)a+/2

∣∣∣∣ sin(kw)

]L

0

− 1

k

[a−

∫ L

0

sin(kw)

wdw − a+

∫ L

0

w sin(kw)

w2 + ∆2dw

]

El primer termino es nulo pues a− y a+ son valores pequenos comparables.La primera integral del segundo termino se puede encontrar en un manual deintegrales y vale π/2. Nos concentramos en el calculo de la ultima integral, quellamaremos en adelante I2. Para calcular esta integral usaremos el teorema deresiduos de Cauchy, con este fin definimos la funcion de variable compleja

f(z) =zeikz

z2 + ∆2.

Para integrar sobre la curva DL formada por un semicırculo superior de radioL y centro en el origen y el segmento en el eje real que cierra el semicırculo,

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denotamos CL el segmento circular de DL. Procedemos ası a calcular I2:

I2 =1

2lımL→∞ Im

[∫DL

f(z)dz −∫

CL

f(z)dz

]

=1

2Im

[lımL→∞

(2πi Resz=∆if(z) −

∫CL

f(z)dz

)]

=1

2Im

[lımL→∞ 2πi

∆ie−∆k

2∆i

]

=1

2πe−∆k.

En el tercer paso del calculo utilizamos la desigualdad de Jordan para concluirque la integral sobre CL es cero. Por lo tanto la integral I esta dada por

I = − π

2ka− +

π

2ke−∆ka+. (A.4)

Bibliografıa

[1] Auteri, F., Parolini N., Quartapelle L. Numerical Investigation on theStability of Singular Driven Cavity Flow. J. Comput. Phys. 183 (2002),1–25.

[2] Bruneau, C.-H., Mazden, S. The 2D Liddriven cavity problem revisited.Computers and fluids 35, (2006), 326–348.

[3] Dritschel, D. On the Stabilization of a Two-Dimensional Vortex Strip byAdverse Shear. J. Fluid Mech. 206 (1989), 193–221.

[4] Gustafson, K. Four principles of vortex motion en Vortex Methods andVortex Motions. Siam, Philadelphia (1991), 95–141.

[5] Zabusky, N.J., Hughes, M.H., Roberts, K.V. Contour Dynamics for theEuler Equations in Two Dimensions. J. Comput. Phys. 30 (1979), 96–106.

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