flujo compresible en toberas
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FLUJO COMPRESIBLE EN TOBERAS
1) PARAMETRO ADIMENSIONAL PREDOMINANTE = Número de Mach= M
M < 1 escurrimiento subsónico o de “baja velocidad”
M = 1 escurrimiento sónico o crítico
M > 1 escurrimiento supersónico
√
dp = variación de presión
= variación de densidad
A MAYOR variación de densidad MENOR velocidad del sonido.
cgases < clíquidos < csólidos
Ejs.: C aire = 340 m/s C agua líquida = 1400 m/s C sólidos (tiende a infinito)
En gases esta velocidad depende de la temperatura y para fluidos por el interior
de conductos también depende de características de este último.
3) OBJETIVO DE LAS TOBERAS: Incrementar la velocidad del fluido.
4) GEOMETRIAS TIPICAS:
Tobera convergente (velocidad máxima = c)
Tobera convergente-divergente (única que permite velocidades supersónicas)
5) APLICACIONES: Turbinas a gas o vapor
6) RESTRICCIONES
Gas ideal
Calor específico
Proceso isentrópico
Escurrimiento unidimensional
Se desprecian las variaciones de energía potencial
No se realiza trabajo
Se desprecian las pérdidas de carga
7) ECUACIONES BASICAS
Ecuación de continuidad
Ecuación de la energía
Ecuación de la entalpía y la primera ley de la termodinámica
Para gases ideales
Ecuación de estado
Ecuación del número de Mach
√
A partir de dichas ecuaciones se pueden deducir numerosas relaciones entre
variables.
Cuando el número de Mach es igual a uno se acostumbra a designar las variables
con el superíndice asterisco (*), como P*, T*, v* = c, etc.
[(
)
]
A = área de la sección transversal de la tobera donde el número de Mach = M
A* = área de la sección transversal de la tobera donde el número de Mach = 1
Sugerencia: Para k =1,4 hacer un gráfico (A/A*) versus número de Mach.
8) RELACION entre AREA SECCION TRANSVERSAL, VELOCIDAD y
NUMERO de MACH
Escurrimiento dA dv Observaciones
Subsónico M < 1 + -
Si el área aumenta la velocidad disminuye
- + Si el área disminuye
la velocidad aumenta
Sónico M = 1 0 ¿? M = 1 ocurre sólo
en una sección donde el área es constante
Supersónico M > 1 + +
Si el área aumenta la velocidad aumenta
- - Si el área disminuye
la velocidad disminuye
Se observa que si el escurrimiento es subsónico su comportamiento es similar al
escurrimiento incompresible.
Se observa que el escurrimiento supersónico sólo es posible en secciones
divergentes pero, obviamente debe partir del reposo o baja velocidad la que
debe ir aumentando progresivamente en un sector convergente hasta alcanzar el
Mach = 1. Es decir que se debe usar una tobera convergente divergente y la
única sección en que el Mach puede lograr el valor uno es en la garganta de la
tobera.
9) RELACION CON CONDICIONES DE ESTANCAMIENTO
Si el fluido antes de ingresar a la tobera viene desde un estanque o en un
conducto pero a una velocidad relativamente pequeña con respecto a la del
sonido, se desprecia su efecto y definen condiciones de estancamiento, es decir
velocidad cero o prácticamente cero.
Las condiciones de estancamiento se caracterizan con el subíndice cero (To, Po,
ρo y obviamente Mo = cero).
9.1) Relación entre las condiciones de estancamiento con las condiciones en
cualquier sección de la tobera
Es bastante conveniente relacionar las condiciones en cualquier sección de la
tobera con las condiciones de estancamiento.
Por ejemplo la velocidad del fluido en cualquier punto de la tobera se puede
obtener de alguna de las siguientes ecuaciones
√ √
√ (
) √ [
]
Obviamente, si se dispone de la información conviene usar la expresión más
sencilla como por ejemplo, obtener la velocidad de la ecuación del flujo másico,
o del número de Mach:
√
2
1
11
2
T
kTo M
1
1kT
o To
1
12
1
11
2
ko
kM
k
P
Po o
12
1
11
2
k
k
P
Pok
M
Se debe considerar temperaturas y presiones ABSOLUTAS
Con las relaciones anteriores se pueden confeccionar tablas en función del
número de Mach con cierto valor de k constante, como la siguiente.
TABLA FLUJO ISENTROPICO k = 1,4
Velocidades Areas Presiones Densidades Temperaturas
M V/V* A/A* P/Po rho/rho_o T/To
0,125 0,137 4,673 0,989 0,992 0,997
0,150 0,164 3,910 0,984 0,989 0,996
0,175 0,191 3,368 0,979 0,985 0,994
0,200 0,218 2,964 0,972 0,980 0,992
0,225 0,245 2,651 0,965 0,975 0,990
0,250 0,272 2,403 0,957 0,969 0,988
0,275 0,299 2,201 0,949 0,963 0,985
0,300 0,326 2,035 0,939 0,956 0,982
0,325 0,352 1,896 0,929 0,949 0,979
0,350 0,379 1,778 0,919 0,941 0,976
0,375 0,405 1,677 0,907 0,933 0,973
0,400 0,431 1,590 0,896 0,924 0,969
0,425 0,457 1,515 0,883 0,915 0,965
0,450 0,483 1,449 0,870 0,906 0,961
0,475 0,509 1,391 0,857 0,896 0,957
0,500 0,535 1,340 0,843 0,885 0,952
0,600 0,635 1,188 0,784 0,840 0,933
0,700 0,732 1,094 0,721 0,792 0,911
0,800 0,825 1,038 0,656 0,740 0,887
0,900 0,915 1,009 0,591 0,687 0,861
1,000 1,000 1,000 0,528 0,634 0,833
1,100 1,081 1,008 0,468 0,582 0,805
1,200 1,158 1,030 0,412 0,531 0,776
1,300 1,231 1,066 0,361 0,483 0,747
1,400 1,300 1,115 0,314 0,437 0,718
1,500 1,365 1,176 0,272 0,395 0,690
1,600 1,425 1,250 0,235 0,356 0,661
1,700 1,482 1,338 0,203 0,320 0,634
1,800 1,536 1,439 0,174 0,287 0,607
1,900 1,586 1,555 0,149 0,257 0,581
2,000 1,633 1,688 0,128 0,230 0,556
2,100 1,677 1,837 0,109 0,206 0,531
2,200 1,718 2,005 0,094 0,184 0,508
2,300 1,756 2,193 0,080 0,165 0,486
2,400 1,792 2,403 0,068 0,147 0,465
2,500 1,826 2,637 0,059 0,132 0,444
2,600 1,857 2,896 0,050 0,118 0,425
2,700 1,887 3,183 0,043 0,106 0,407
2,800 1,914 3,500 0,037 0,095 0,389
2,900 1,940 3,850 0,032 0,085 0,373
3,000 1,964 4,235 0,027 0,076 0,357
A = área de la sección transversal de la tobera donde el número de Mach = M
A* = área de la sección transversal de la tobera donde el número de Mach = 1
v = velocidad en la sección transversal donde el número de Mach = M
v* = velocidad en la sección transversal donde el número de Mach = 1
9.2) Relación entre las condiciones de estancamiento con las condiciones en la
sección donde el número de Mach = 1 que se designan con superíndice *
2*
1T To
k
1
12*
1
k
ok
12
*1
k
k
P Pok
Si Mach = 1 y además k = 1,4 (aire isentrópico), se tiene:
5* 0,833
6T To To
* 0,634 o
* 0,528P Po
Es decir, para que se logre Mach = 1 en alguna sección de la tobera la
presión debe ser un 52,8 % de la presión de estancamiento.
10) FLUJO MASICO EN UNA TOBERA
Obviamente se puede calcular si se conocen las condiciones de densidad y
velocidad en una sección transversal.
Si se relacionan las condiciones de densidad y velocidad de una sección
cualquiera de la tobera con las condiciones de estancamiento, se puede deducir
la siguiente expresión para el flujo másico.
√ [
]
Con presión = P en la sección transversal de la tobera donde el área = A
Se puede demostrar que el flujo se hace máximo cuando:
12
1
k
kP
Po k
Dicha razón de presiones ocurre sólo cuando el número de Mach = 1.
O sea, si en algún punto de una tobera M = 1, entonces el flujo másico que
recorre todas las secciones de la tobera es el máximo posible para las
condiciones geométricas y de operación de dicha tobera.
Si además k = 1,4 (aire isentrópico), se cumple que el flujo másico es máximo si
en algún punto de la tobera 0,528 *P Po P
Dicha situación sólo puede ocurrir a la salida de una tobera convergente o en la
garganta de una tobera convergente divergente.
11) ANALISIS DEL ESCURRIMIENTO EN TOBERAS
11.1) Introducción
La tobera se considera conectada a un estanque o sector donde reinan las
condiciones de estancamiento.
Se recuerda que el proceso es isentrópico a lo largo de toda la tobera.
Pst = presión en la sección de salida de la tobera.
Pas = presión en el ambiente de salida de la tobera.
En general la Pst = Pas, pero como se verá NO siempre es así.
√ (
) √ [
]
Obviamente, si P = Pas = Po la velocidad es cero.
11.2) TOBERA CONVERGENTE
Distribuciones de presión a lo largo de la tobera convergente
a) Si Po > Pst = Pas > P*
Hay escurrimiento, la velocidad va aumentando a medida que
recorre la tobera, pero el flujo másico es menor que el flujo máximo pues el
número de Mach es 0 < Mach < 1 en todos los puntos de la tobera.
Hay muchas presiones que cumplen lo indicado.
b) Si Po > Pst = Pas = P*
Hay escurrimiento, la velocidad va aumentando a medida que
recorre la tobera, Mach = 1 en la sección de salida de la tobera y el flujo
másico es el máximo posible para dicha tobera operando entre dichas Po y Pas.
c) Si Po > Pst = P* > Pas
Hay escurrimiento, la velocidad va aumentando a medida que
recorre la tobera, Mach = 1 en la sección de salida de la tobera y el flujo
másico es el máximo posible para dicha tobera operando entre dichas Po y P*.
Fuera de la tobera la presión disminuye desde P* hasta Pas.
Pas
Pst
salida de
la tobera
Presión
P*
Po
P(b)
P(a)
Longitud de
la tobera
11.3) TOBERA CONVERGENTE DIVERGENTE
Es un tubo de Venturi en el que se distingue “agua arriba” un sector
convergente de longitud relativamente pequeña y “aguas abajo” un sector
divergente relativamente largo, unidos en la garganta de la tobera que es la
sección de menor área transversal.
Si la tobera opera en forma subsónica su comportamiento es similar al
escurrimiento de fluidos incompresibles.
Se definen dos presiones de diseño, para las cuales la presión en la
garganta es justo la presión crítica (P*), es decir, para ambas presiones se
cumple que el número de Mach en la garganta es M = 1.
P_dis_sub = presión de diseño subsónico
P_dis_super = presión de diseño supersónico
Distribuciones de presión a lo largo de la tobera convergente divergente
a) Si Po > Pst = Pas > P_dis_sub
Hay escurrimiento, la velocidad va aumentando a medida que
recorre el sector convergente de la tobera, alcanza su mayor valor al pasar por
la garganta y luego va disminuyendo al recorrer el sector divergente, el número
de Mach es 0 < Mach < 1 en todos los puntos de la tobera. Por lo tanto, el
flujo másico es menor que el flujo máximo posible.
Hay muchas presiones que cumplen lo indicado.
Pas
Pst
Longitud de
la tobera
P*
Po
P(c) = P_dis_super
P(a)
Presión
Garganta Salida de
la tobera
(P(b) = P_dis_sub
P(e)
P(d)
b) Si Po > Pst = Pas = P_dis_sub
Hay escurrimiento, la velocidad va aumentando a medida que
recorre el sector convergente de la tobera, al pasar por la garganta su magnitud
es igual a la velocidad del sonido (c) y luego va disminuyendo al recorrer el
sector divergente, el número de Mach es M = 1 en la garganta y 0 < Mach < 1
en cualquier otor punto de la tobera.
Por lo tanto, el flujo másico es el máximo posible para dicha tobera operando
entre dichas Po y Pas.
c) Si Po > Pst = Pas = P_dis_super
Hay escurrimiento, la velocidad va aumentando a medida que
recorre el sector convergente de la tobera, al pasar por la garganta su magnitud
es igual a la velocidad del sonido (c) y luego sigue aumentando al recorrer el
sector divergente. El número de Mach es < 1 en el sector convergente; M = 1
en la garganta y M > 1 (supersónico) en el sector divergente.
El mayor número de Mach se alcanza en la sección de salida de la tobera.
Para igual razón A/A* es posible encontrar dos números de Mach, uno subsónico y
otro supersónico.
Ejemplo: ver tabla de flujo isentrópico con k = 1,4.
Si A/A* = 2,403
M = 0,25 y P/Po = 0,957
M = 2,40 y P/Po = 0,068
Si Po = 15 bar absolutos
P_dis_sub = 0,957 · 15 = 14,35 bar abs.
P_dis_super = 0,068 · 15 = 1,02 bar abs.
d) Si Po > Pst = P_dis_super > Pas
Hay escurrimiento, la velocidad va aumentando a medida que
recorre el sector convergente de la tobera, al pasar por la garganta su magnitud
es igual a la velocidad del sonido (c) y luego sigue aumentando al recorrer el
sector divergente. El número de Mach es < 1 en el sector convergente; M = 1
en la garganta y M > 1 (supersónico) en el sector divergente.
El mayor número de Mach se alcanza en la sección de salida de la tobera.
Fuera de la tobera la presión disminuye desde P_dis_super hasta Pas.
e) Si Po > Pst y P_dis_sub > Pas > P_dis_super
Hay escurrimiento, con flujo máximo, la velocidad va aumentando
a medida que recorre el sector convergente de la tobera, el número de Mach es
< 1 en el sector convergente. Al pasar por la garganta su magnitud es igual a la
velocidad del sonido (c) M = 1 en la garganta y luego sigue aumentando al
recorrer el sector divergente con M > 1 (supersónico) PERO en el algún punto
del sector divergente el escurrimiento cambia bruscamente de supersónico a
subsónico (fenómeno de onda de choque, irreversible es decir NO isentrópico).
El mayor número de Mach es subsónico con P > P_dis_sub en la sección de salida
de la tobera.
Fuera de la tobera la presión disminuye desde P_dis_sub hasta Pas.
oooOOOooo