fluidos_-_dinamica
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mecanica de fluidos 1 y 2TRANSCRIPT
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MECANICA DE FLUIDOS
DINAMICA
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CONTENIDO• Fluidos en movimiento • La ecuación de continuidad • Ecuación de Bernoulli • Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli
– Movimiento de un fluido con velocidad constante– Flujo de salida de un tanque
![Page 3: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/3.jpg)
Fluidos en movimiento
Nos concentraremos en el flujo estable, es decir, en el movimiento de fluido para el cual v y p no dependen del tiempo. La presión y la velocidad pueden variar de un punto a otro, pero supondremos que todos los cambios son uniformes.
Un gráfico de velocidades se llama diagrama de línea de flujo. Como el de la siguiente figura.
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Emplearemos las siguientes hipótesis:
1. El fluido es incomprensible.
2. La temperatura no varía.
3. El flujo es estable, y entonces la velocidad y la presión no dependen del tiempo.
4. El flujo no es turbulento, es laminar.
5. El flujo es irrotacional, de modo que no hay circulación.
6. El fluido no tiene viscosidad.
SIPLIFICACIONES
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La ecuación de continuidad
Considere el siguiente tubo de flujo. De acuerdo a la conservación de la masa, se tiene:
1v1 A1 =2v2 A2
Si nos restringimos a fluidos incomprensibles, entonces 1=2 y se deduce
que:
v1 A1 =v2 A2
El producto (velocidad perpendicular a un área) x (área) es el flujo, .
• La masa de un fluido no cambia al fluir
A1
A2
v1
v2
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EjemploCada segundo 5525 m3 de agua fluyen sobre los 670 m del risco de la porción Horseshoe Fall de las cataratas del Niágara. El agua llega aproximadamente a 2 m de fondo cuando alcanza el risco ¿Cuál es su rapidez en ese instante?
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Ecuación de Bernoulli
212
1222
1212
1222
1 VvVvmvmvK
Dado la ley de la conservación de la energía:
Wneto = K + U
La fuerza ejercida por la presión p1 es: p1A1, y el trabajo realizado por esta fuerza es:
W1 = F1x = p1A1x1 = p1V
similarmente para el lado derecho
W2 = -F2x2 = -p2A2x2 = -p2V,
El trabajo neto es
W1 + W2 = p1V – p2V = (p1 – p2)V
K es
U es
1212 VghVghmghmghU
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2222
121
212
11 ghvpghvp
En otras palabras:
constante221 ghvp
simplificando
La ecuación de Bernoulli establece que la suma de la presión, (p), la energía cinética por unidad de volumen (1/2 v2) y la energía potencial gravitacional por unidad de volumen ( gy) tiene el mismo valor en todos los puntos a lo largo de una línea de corriente.
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Fluido en reposo
Para un fluido en reposo v = 0, entonces
p + gh = constante
Esta es la ley de Pascal
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Efecto Bernoulli
Para un flujo horizontal
p + ½ v2 = constante
La presión en menor donde la velocidad del fluido es mayor y viceversa.
v1 < v2
p1 > p2
v2v1
p1 p2
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Tarea
Por una manguera contra incendios de 6.35 cm de diámetro fluye agua a una relación de 0.012 m3/s. La manguera termina en una boquilla con diámetro interior de 2.20 cm. ¿Cuál es la rapidez con la cual el agua sale de la boquilla?
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El tubo de Venturi
1
2
12
2
12121 A
Avpp
2
22
1
2112
2AAPP
Av
La altura promedio del fluido es constante, entonces
222
12
212
11 vpvp
De la ecuación de continuidad
v1 A1 =v2 A2
Es fácil llegar a:
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Ley de Torricelli
0222
10
212
10 gvpgyvp
gyv 2
La presión del aire en la superficie del líquido (1) es la misma que en el orificio (2), entonces podemos establecer
Suponiendo que v1 = 0 (el nivel del líquido cambia muy lentamente), llegamos a
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Discusión
¿Dónde es más grande la presión, en A o en B?
A B
¿Por qué se levanta el techo con un viento fuerte?
¿Por qué sale líquido por la boquilla al apretar la perilla?
¿Hacia donde es empujada la pelota, hacia arriba o hacia abajo?
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TareaEn un gran tanque de almacenamiento abierto en la parte superior y lleno de agua se forma un pequeño hoyo en un costado, en un punto 16 m por debajo del nivel del agua. Si la relación del flujo de la fuga es de 2.5 x 10-3 m3/min., determine a) la rapidez (m/s) con que sale el agua por el hoyo, b) el diámetro de éste.
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Tarea para la casaEn la figura P15.43 se muestra un sifón con el que se extrae agua de un tanque. El sifón tiene un diámetro uniforme. Considere flujo estable sin fricción, a) Si la distancia h= 1.00 m, encuentre la rapidez del flujo de salida en el extremo del sifón, b) ¿Cuál es el límite de la altura en la parte superior del sifón sobre la superficie del agua? (Para tener un flujo continuo de líquido la presión no debe descender por debajo de la presión de vapor del líquido.)
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v
3. Flujo reptante alrededor de una esfera sólida
z
x
y
(x,y,z)
( , , )r
Flujo reptante
Re .p
Dv
0 1
Solución analítica
r
v Rsen
R r
43
2
coso
mv Rp p gz
R r
23
2
cosr
R Rv v
r r
33 1
12 2
R Rv v sen
r r
33 1
14 4
Magnitudes derivadas
Fuerza normal: cos sennz r RF p R d d R g Rv
2 2 3
0 0
42
3
Fuerza tangencial: sen sentz r r RF R d d Rv
2 2
0 04
Fuerza total:(Ley de Stokes)
3 34 42 4 6
3 3(flotacion) (resistencia de forma) (fricción)
zF R g Rv Rv R g Rv
Ft
Fn
F
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Rotacional de un campo vectorial: [ ]
x y z
x y z
vx y z
v v v
Laplaciana de un campo escalar: 2 2 2
22 2 2
( . )s s s
s sx y z
Laplaciana de un campo vectorial: 2 2 2 2x x y y z zv v v v
Operadores diferenciales
Operador nabla: x y zx y z
Gradiente de un campo escalar: x y zs s s
sx y z
Divergencia de un campo vectorial: ( . )yx z
vv vv
x y z
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Derivadas con respecto al tiempo
Derivada parcial: c
t
Derivada total: dc c c dx c dy c dz
dt t x dt y dt z dt
Derivada substancial: x y z
Dc c c c cv v v
Dt t x y z
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z
xy
x xv x x x
v
z zv
z z zv
y y
v
y y yv
Ecuación de continuidad
velocidad de velocidad de velocidad de
acumulación = entrada salida
de materia de materia de materia
CARA ENTRADA SALIDA
x x xv y z x x x
v y z
y y yv x z y y y
v x z
z z zv x y z z z
v x y
x xx x x
y yy y y
z zz z z
x y z y z v vt
x z v v
x y v v
yx zvv v
t x y z
![Page 21: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/21.jpg)
Forma vectorial:
. vt
Transformación:
. .
.
v vt
Dv
Dt t
.
Dv
Dt
Fluidos incompresibles (ρ=constante):
. 0v
![Page 22: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/22.jpg)
( ) ( ) ( ) 0x y zv v vt x y z
1 1( ) ( ) ( ) 0r zrv v v
t r r r z
22
1 1 1( ) ( ) ( ) 0rr v v sen v
t r r sen r senr
Coordenadas rectangulares (x, y, z):
Coordenadas cilíndricas (r, θ, z):
Coordenadas esféricas (r, θ, Φ):
La ecuación de continuidad en los diferentes sistemas de coordenadas
![Page 23: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/23.jpg)
z
xy
xx x xx x x
zx z
zx z z
yx y
yx y y
Ecuación de movimiento
Transporte convectivo: CARA ENTRADA SALIDA
x x x xv v y z x x x x
v v y z
y y x yv v x z y x y y
v v x z
z z x zv v x y z x z z
v v x y
velocidad de velocidad de velocidad de suma de
acumulación = entrada + salida + fuerzas sobre
de c.d.m. de c.d.m. de c.d.m. el sistema
Balance:
Transporte viscoso: CARA ENTRADA SALIDA
x xx xy z xx x x
y z
y yx yx z yx y y
x z
z zx zx y zx x z
x y
Balance a la componente x:
![Page 24: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/24.jpg)
Balance de fuerzas: xx x xy z p p g x y z
Término de acumulación: xvx y z
t
Substituyendo en el balance:
y x yxx x x z x xx zxx
v vv v v v v pg
t x y z x y z x
. .v
vv p gt
.Dv
p gDt
Haciendo uso de la ecuación de continuidad:
![Page 25: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/25.jpg)
Ley de Newton
22 .
3
22 .
3
22 .
3
yx xxx yx xy
y yzyy yz zy
z z xzz xz zx
vv vv
x y x
v vvv
y y z
v v vv
z x z
22 .
3yx x x z x
x
vDv v v v vpv g
Dt x x x y y x z x z
22 .
3yz z x z z
z
vDv v v v vpv g
Dt z x x z y y z z z
22 .
3y y y yx z
y
Dv v v vv vpv g
Dt y x x y y y z y z
La ecuación de movimiento, para un fluido newtoniano:
![Page 26: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/26.jpg)
Fluido de densidad y viscosidad constantes. (Ec. Navier-Stokes)
2Dv
v p gDt
Sistemas de flujo sin efectos viscosos. (Ec. Euler)
Dvp g
Dt
Fluido en reposo.
0 p g
Formas simplificadas de la ecuación de movimiento
.Dv
p gDt
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La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares(en función de τ)
yxx x x x xx zxx y z x
v v v v pv v v g
t x y z x x y z
y y y y xy yy zyx y z y
v v v v pv v v g
t x y z y x y z
yzz z z z xz zzx y z z
v v v v pv v v g
t x y z z x y z
componente x:
componente y:
componente z:
![Page 28: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/28.jpg)
La ecuación de movimiento en coordenadas rectangulares(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)
componente x:
componente y:
componente z:
2 2 2
2 2 2x x x x x x x
x y z xv v v v v v vp
v v v gt x y z x x y z
2 2 2
2 2 2y y y y y y y
x y z y
v v v v v v vpv v v g
t x y z y x y z
2 2 2
2 2 2z z z z z z z
x y z zv v v v v v vp
v v v gt x y z z x y z
![Page 29: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/29.jpg)
La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas(en función de τ)
componente r:
componente θ:
componente z:
2
1 1( )
r r r rr z
r rzrr r
v vv v v v pv v
t r r r z r
r gr r r r z
22
1
1 1( )
rr z
zr
v v v v v v v pv v
t r r r z r
r gr r zr
1 1( )
z z z zr z
z zzrz z
vv v v v pv v
t r r z z
r gr r r z
![Page 30: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/30.jpg)
La ecuación de movimiento en coordenadas cilíndricas(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)
componente r:
componente θ:
componente z:
2
2 2
2 2 2 2
1 1 2
r r r rr z
r rr r
v vv v v v pv v
t r r r z r
vv vrv g
r r r r r z
2 2
2 2 2 2
1
1 1 2
rr z
r
v v v v v v v pv v
t r r r z r
v vvrv g
r r r r r z
2 2
2 2 2
1 1
z z z zr z
z z zz
vv v v v pv v
t r r z z
v v vr g
r r r r z
![Page 31: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/31.jpg)
La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas(en función de τ)
componente r:
componente θ:
componente Φ:
2 2
22
sen
1 1 1( ) sen
sen sen
r r r rr
rrr r r
v v vvv v v v pv
t r r r r r
r gr r r rr
2
22
cot 1
sen
1 1 1 cot( ) sen
sen sen
rr
rr
v vv v v v v v v pv
t r r r r r r
r gr r r r rr
22
1cot
sen sen
1 1 1 2cot( )
sen
rr
rr
v v v v v v v v vv pv
t r r r r r r
r gr r r r rr
![Page 32: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/32.jpg)
La ecuación de movimiento en coordenadas esféricas(para fluidos newtonianos de ρ y μ constantes)
componente r:
componente θ:
componente Φ:
2 2
22 2 2 2
sen
2 2 2 2cot
sen
r r r rr
r r r
v v vvv v v v pv
t r r r r r
vvv v v g
r r r r
2
22 2 2 2 2
cot 1
sen
2 2cos
sen sen
rr
r
v vv v v v v v v pv
t r r r r r r
vvvv g
r r r
22 2 2 2 2
cotsen
1 2 2cos
sen sen sen sen
rr
r
v v v v v v v v vvv
t r r r r r
v vvpv g
r r r r
En estas ecuaciones:2
2 22 2 2 2 2
1 1 1sen
sen senr
r rr r r
![Page 33: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/33.jpg)
Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas rectangulares
22 ( . )
3
22 ( . )
3
22 ( . )
3
xxx
yyy
zzz
vv
x
vv
y
vv
z
yxxy yx
y zyz zy
z xzx xz
vv
y x
v v
z y
v v
x z
.yx z
vv vv
x y z
![Page 34: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/34.jpg)
Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas cilíndricas
22 ( . )
3
1 22 ( . )
3
22 ( . )
3
rrr
r
zzz
vv
r
v vv
r r
vv
z
1
1
rr r
zz z
z rzr rz
v vr
r r r
v v
z r
v v
r z
1 1. z
rv v
v rvr r r z
![Page 35: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/35.jpg)
Componentes del tensor esfuerzo cortante en coordenadas esféricas
22 ( . )
3
1 22 ( . )
3
cot1 22 ( . )
sen 3
rrr
r
r
vv
r
v vv
r r
v vvv
r r r
1
sen 1
sen sen
1
sen
rr r
rr r
v vr
r r r
v v
r r
vvr
r r r
22
1 1 1. sen
sen senr
vv r v v
r r rr
![Page 36: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/36.jpg)
Ecuación de energía mecánica
Ecuación de movimiento:
.Dv
p gDt
212
. . . .D
v v p v v gDt
2 21 12 2
. . . . . : .v v v pv p v v v v gt
, multiplicándola escalarmente por :v
![Page 37: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/37.jpg)
Forma adimensional de las ecuaciones de variación
Propiedades físicas constantes:
Magnitudes características: L, V, p0
* * * * * *02
** * *
2 2 2*2 2 2
*2 *2 *2
*
, , , , ,
x y z
p pv tV x y zv p t x y z
V L L L LV
Lx y z
Lx y z
D L D
V DtDt
Ecuación de continuidad: * *. 0v
Ecuación de movimiento:*
* * *2 ** 2
Dv gL gp v
LV gDt V
Grupos adimensionales característicos: Número de Reynolds: ReLV
Número de Froude:2V
FrgL
![Page 38: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/38.jpg)
Capa límite y flujo potencial
Flujo potencial
Fluido ideal:
constante0 ,
Velocidad originada por un campo potencial ():
x yv vx y
Ecuación de continuidad ( = constante):
0yxvv
x y
Ec. Laplace
2 2
2 20
x y
Carácter irrotacional:
2
20
x
yx
y
vvy x y v
y xv
x x y
0v
![Page 39: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/39.jpg)
Función de corriente ():
x
y
vy
vx
2 2
0 02 2
v vp gz p gz
constante2
2
v Pz
g g
![Page 40: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/40.jpg)
Capa límite
![Page 41: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/41.jpg)
“Despegue” de la capa límite
![Page 42: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/42.jpg)
Ec. Continuidad
• Si la seccion del tubo disminuye, la rapidez aumenta y viceversa.
• Cambia v de acuerdo a sección transeversal pero la razones de flujo de volumen son las mismas.
![Page 43: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/43.jpg)
Ec. Continuidad
• En caso de que líquido sea compresible...
1A1v1 = 2A2v2
Si fluido es incompresible
1 = 2
![Page 44: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/44.jpg)
Ec. Bernoulli
• Según Ec. Continuidad, rapidez de flujo de un fluido puede variar a lo largo de las trayectorias del fluido.Presión tb puede variar.
• Depende de :– Altura– Presión– Rapidez de flujo OJO: Flujo estable de un
fluido incompresible sin viscosidad!!!
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Ec. Bernoulli
p1A1
p2A2
y1
y2
v1
v2
Flujo
P1 + gy1 + ½ v12= P2 + gy2 + ½
v22
Dónde:
P1,2= presiones
Gy1,2 + ½ v12= E potencial y E cinética para la masa entre 2 ptos.
“ el trabajo efectuado por el fluido circundante sobre un vol unitario del fluido es igual a la suma de los cambios de E cinética y E potencial por unidad de volumen que ocurre durante el flujo”.
![Page 46: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/46.jpg)
Flujo
• Determinado por dos factores:– Gradiente de presión– Resistencia
diferencia de presiónes entre los extremos del vaso
impedimento
de la sangre
para fluir a
través del vaso
Q= P
R
![Page 47: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/47.jpg)
Número de Reynolds
• Es la medida de la tendencia a la turbulencia .
Re = v x d
Dónde:
v=velocidad (cm/seg)
d=diametro (cm)
=viscosidad (poises)
=densidad
![Page 48: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/48.jpg)
Número de Reynolds
• Re>200-400: flujo turbulento
• Re>2000: siempre hay flujo turbulento
![Page 49: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/49.jpg)
Viscosidad
• Plasma tiene viscosidad relativa respecto al agua de 1.8.
• Plasma + eritrocitos tienen viscosidad de 3 ó 4 (Tc de 37°C)
• Por tanto, se requieren de P mucho más altas para mantener el flujo de sangre a través de un lecho capilar.
![Page 50: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/50.jpg)
Relación: Presión-Flujo
• Ley de Poiseuille
Cambios muy pequeños en r afectarán Q.
Q = (P1 – P2 ) r 4
8 L
![Page 51: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/51.jpg)
Desviación de Poiseuille
• Tanto P como Q son pulsátiles, y la sangre es un complejo compuesto por plasma y células. Puesto que las paredes de los vasos no son rígidos, las oscilaciones de P y Q están desfasadas.
Grado de desviación = r 2
Donde si 0.5, relación P/Q se ajusta a Poiseuille.
![Page 52: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/52.jpg)
Viscosidad
• DEF: fricción interna dde un fluído.• Fuerzas viscosas se oponen al movimiento
de una porción de un fluído relativo a otro.• Fluido viscoso tiende a adherirse a una
superficie sólida en contacto con ella.Casi siempre existe capa pegada a pared que se mantiene en “reposo”...
![Page 53: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/53.jpg)
Viscosidad
• Sangre en que fluye a través de pequeños tubos fluye de manera como si su fuese menor.
• Efecto Fahraeus-Lindqvist: Hto. En vasos pequeños es menor.Capa de plasma ocupa mas volúmen. Aumento de flujo sanguíneo y hay reducción aparente de viscosidad en arteriolas la cual reduce la E necesaria pa impulsar sangre en microcirculación.
![Page 54: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/54.jpg)
Viscosidad
• Separación periférica de plasma : En sangre circulante, ER tienden a acumularse en el centro donde v es máx pero la gradiente de v entre capas adyacentes es menor. Entonces plasma fluye practicamente sin células cerca de paredes de vasos.
![Page 55: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/55.jpg)
Viscosidad
• Acumulación de ER en centro de corriente sanguínea significa que viscosidad es mayor en el centro y menor hacia paredes.
• Diferencial de v en torrente sanguíneo significa que la viscosidad altera el perfil de v de sangre.
![Page 56: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/56.jpg)
• La hidrodinámica es la parte de la hidráulica que estudia el comportamiento de los líquidos en movimiento. Para ello considera entre otros parámetros a la velocidad, la presión y el flujo del líquido.
• En el estudio de la hidrodinámica el Teorema de Bernoulli, trata de la ley de la conservación de la energía, es de primordial importancia, pues señala que la suma de las energías cinética, potencial y de presión de un líquido en movimiento en un punto determinado es igual a la de otro punto cualquiera. La hidrodinámica investiga fundamentalmente a los fluidos incompresibles.
![Page 57: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/57.jpg)
• Las aplicaciones de la hidrodinámica se evidencian en el diseño de canales, puertos presas, cascos de los barcos, hélices turbinas y ductos en general.
• Con el objetivo de facilitar el estudio de los líquidos en movimiento, generalmente se hacen las siguientes suposiciones:
• 1.- Los líquidos son completamente incompresibles.
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• 2.- Se considera despreciable la viscosidad. Es decir, se supone que los líquidos son ideales, por ello no presentan resistencia al flujo, lo cual permite despreciar las pérdidas de energía mecánica producidas por su viscosidad; pues como sabemos, durante el movimiento esta genera fuerzas tangenciales entre las diversas capas de un líquido.
![Page 59: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/59.jpg)
3.- El flujo de los líquidos se supone estacionario o de régimen estable. Esto sucede cuando la velocidad de toda partículas del líquido es igual al pasar por el mismo punto. Por ejemplo en la figura siguiente se observa la trayectoria seguida por la partícula de un líquido, esto es, su línea de corriente al pasar por el punto A.
![Page 60: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/60.jpg)
A
![Page 61: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/61.jpg)
Gasto, flujo y ecuación de continuidad.Gasto.- Cuando un líquido fluye a través de una tubería, es muy común hablar de su gasto, que por definición es: la relación existente entre el volumen del líquido que fluye por un conducto y el tiempo que tarda en fluir.
![Page 62: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/62.jpg)
G = V/tG = Gasto en m3/seg.
V= Volumen del líquido que fluye en metros cúbicos (m3)
t = tiempo que tarda en fluir el líquido en segundos (seg).
![Page 63: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/63.jpg)
• El gasto también puede calcularse si se conoce la velocidad del líquido y el área de la sección transversal del la tubería. Ver la figura siguiente:
A1 A2
vt
1 2
![Page 64: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/64.jpg)
• Para conocer el volumen de líquido que pasa del punto 1 al 2 de la tubería, basta multiplicar entre sí el área, la velocidad del líquido y el tiempo que tarda en pasar por los puntos:
• V = A v t (1)• Y como G = V/t (2)• Sustituyendo 1 en 2:• G = A v t • t• G = Av.
![Page 65: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/65.jpg)
• Donde G = gasto en m3/seg.
• A = área de la sección transversal del tubo en metros cuadrados (m2).
• v = velocidad del líquido en m/seg.
• En el sistema C.G.S. el gasto se mide en cm3/seg o bien, en unidades prácticas como litros/seg.
![Page 66: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/66.jpg)
FLUJO
• Se define como la cantidad en masa del líquido que fluye a través de una tubería en un segundo.
• F = m/t.• Donde F = flujo en kg/seg.• m = masa del líquido que fluye en kilogramos
(kg).• t = tiempo que tarda en fluir en segundos
(seg).
![Page 67: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/67.jpg)
• Como la densidad de un cuerpo es la relación entre su masa y volumen tenemos:
• ρ= m/V (1). Por lo tanto m = ρ V (2),• Por lo que el flujo será:• F = ρ V (3). Y como G = V/t (4)• t• Sustituyendo 4 en 3:• F = G ρ.• Donde F = flujo en kg/seg• G = Gasto en m3/seg.• ρ = densidad en kg/m3.
![Page 68: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/68.jpg)
ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
Para comprender el significado de esta ecuación veamos la figura
siguiente:
![Page 69: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/69.jpg)
La ecuación de continuidad
Considere el siguiente tubo de flujo. De acuerdo a la conservación de la masa, se tiene:
1v1 A1 =2v2 A2
Si nos restringimos a fluidos incomprensibles, entonces 1 =2 y se deduce que
v1 A1 =v2 A2
El producto (velocidad perpendicular a un área) x (área) es el flujo, .
![Page 70: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/70.jpg)
• La tubería de la figura anterior reduce de manera considerable su sección transversal o área entre los puntos 1 y 2.
• Sin embargo es constante la cantidad de líquido que pasa por los puntos 1 y 2, al considerar que los líquidos son incompresibles. Para ello, en el tubo de mayor sección transversal, la velocidad del lìquido es menor a la que adquiere al pasar al punto 2, donde la reducción del área se compensa con el aumento en la velocidad del líquido.
![Page 71: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/71.jpg)
• Por lo tanto el gasto en el punto 1 es igual al gasto en el punto 2.
• G1 = G2 = constante.• A1V1 = A2V2.• A1= Area menor en m2.• V1 = velocidad en el área 1 en m/seg.• A2= Area mayor m2.• V2 = velocidad en el área 2 en m/seg.
![Page 72: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/72.jpg)
TEOREMA Y ECUACION DE BERNOULLI.
• El físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782), al estudiar el comportamiento de los líquidos, descubrió que la presión de un líquido que fluye por una tubería es baja si su velocidad es alta y, por el contrario, es alta si su velocidad es baja.
• Por lo tanto, la Ley de la conservación de la energía también se cumple cuando los líquidos están en movimiento. Con base en sus estudios Bernoulli, enunció el siguiente teorema que lleva su nombre.
![Page 73: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/73.jpg)
Teorema de Bernoulli.
• “En un líquido ideal cuyo flujo es estacionario, la suma de las energías cinética, potencial y de presión que tiene un líquido en un punto, es igual a la suma de estas energías en otro punto cualquiera”.
• El líquido posee, tanto en el punto 1 como en el 2, tres tipos de energía:
• 1.- Energía cinética, debido a su velocidad y a la masa del líquido: Ec = 1/2mv2.
![Page 74: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/74.jpg)
• b) Energía potencial, debido a la altura del líquido, respecto a un punto de referencia:
• Ep = m g h.• c) Energía de presión, originada por la presión que
las moléculas del líquido ejercen entre sí, por lo cual el trabajo realizado para el desplazamiento de las moléculas es igual a la energía de presión. Todas estas energías se ilustran en la figura siguiente:
![Page 75: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/75.jpg)
Ecuación de Bernoulli Dado que Wneto = K + U, se puede llegar a
2222
121
212
11 ghvpghvp
En otras palabras:
constante221 ghvp
![Page 76: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/76.jpg)
Veamos la figura siguiente para comprender la energía de presión
del líquido.
1
A1 A2
2 l
![Page 77: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/77.jpg)
Puesto que la energía de presión es igual al trabajo realizado, tenemos:
E presión = T = F l (1).
Como P = F/A, por lo tanto F = PA (2)
Sustituyendo 2 en 1: E presión = P A l.
![Page 78: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/78.jpg)
• El área de la sección transversal del tubo multiplicado por la distancia l recorrida por el líquido nos da el volumen de éste que pasa del punto 1 al 2, A l = V, de donde la ecuación 1 queda:
• E presión = PV (4)• Como ρ = m/V por lo tanto V = m/ ρ .• Sustituyendo 5 en 4 tenemos:• E presión = P m/ ρ.
![Page 79: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/79.jpg)
• Donde E presión = Energía de presión en Joules.• P = Presión en N/m2 o pascal.• m = masa del líquido en kilogramos (kg).• ρ = Densidad del líquido en kg/m3.• Así de acuerdo al Teorema de Bernoulli, la
suma de las energías cinética, potencial y de presión en el punto 1, es igual a la suma de estas energías en el punto 2.
![Page 80: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/80.jpg)
• Ec1 + Ep1 + E presión 1 = Ec2 + Ep2 + E presión 2-
• Al sustituir dichas expresiones por sus respectivas expresiones, tenemos:
• 1/2mv12 + mgh1 + P1m/ρ1 = 1/2mv2
2 + mgh2 + P2m/ρ2.
• Si dividimos la expresión anterior entre la masa se obtiene la ecuación correspondiente al Teorema de Bernoulli, para expresar la energía por unidad de masa:
• v12 + gh1 + P1/ρ1 = v2
2 + gh2 + P2/ρ2.
• 2 2
![Page 81: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/81.jpg)
• Aunque el Teorema de Bernoulli, parte de la consideración de que el líquido es ideal (por lo cual se desprecian las pérdidas de energía causadas por la viscosidad de todo líquido en movimiento), su ecuación permite resolver con facilidad muchos problemas sin incurrir en errores graves por despreciar esas pérdidas de energía pues resultan insignificantes comparadas con las otras energías.
![Page 82: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/82.jpg)
Problemas de la ecuación de continuidad y de la ecuación de
Bernoulli.• 1.- Calcular el gasto de agua de una tubería al circular 1.5 m3 en ¼ de minuto.
• Datos Fórmula Sustitución• G = ? G = V/t G = 1.5 m3 • 15 seg• G = 0.1 m3/seg.• V = 1.5 m3 • t = 15 seg
![Page 83: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/83.jpg)
• 2.- Calcular el tiempo que tardará en llenarse un tanque cuya capacidad es de 10 m3 al suministrarse un gasto de 40 l/seg.
• Datos Fórmula• t = ? t = V/G • V = 10 m3.• G = 40 l/seg.• Conversión de unidades;• 40 l x 1 m3 = 0.03 m3/seg.• seg 1000 l• Sustitución y resultado:• t = 10 m3. = 250 seg.• 0.03 m3/seg.
![Page 84: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/84.jpg)
• 3.- Calcular el gasto de agua por una tubería de diámetro igual a 5.08 cm, cuando la velocidad del líquido es de 4 m/seg.
• Datos Fórmula• G = ? G = v A• d = 5.08 cm= 0.0508 m. A = π/4 d2.• v = 4 m/seg• Cálculo del área: A = 3.14/4 x (0.0508 m)2.• A = 0.002 m2.• Sustitución y resultado:• G = 4 m/seg x 0.002 m2. = 0.008 m3/seg.
![Page 85: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/85.jpg)
• 4.- Determinar el diámetro que debe tener una tubería, para que el gasto de agua sea de 0.3 m3/seg a una velocidad de 8 m/seg,
• Datos Fórmulas• d = ? A = G/v• G = 0.3 m3/seg. A = π/4d2.• v = 8 m/seg. Despejando a d:• d = √4 A• π• A = 0.3 m3/seg. = 0.0375 m2.• 8 m/seg.• ____________• d = √ 4 (0.0375 m2.) = 0.218 metros.• 3.14
![Page 86: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/86.jpg)
• 5.- Por una tubería fluyen 1800 litros de agua en un minuto. Calcular a) el gasto. b)
• El flujo. La densidad del agua es de 1000 kg/m3.• Datos Fórmulas• V = 1800 l = 1.8 m3. a) G = V/t• t = 1 min = 60 seg. B) F = G ρ• ρH20 = 1000 kg/m3. • Sustitución y resultados:• G = 1.8 m3./ 60 seg. = 0.03 m3/seg.• F = 0.03 m3/seg x 1000 kg/m3. = 30 kg/seg.
•
![Page 87: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/87.jpg)
• 6.- Por una tubería de 3.81 cm de diámetro circula agua a una velocidad de 3 m/seg. En una parte de la tubería hay un estrechamiento y el diámetro es de 2.54 cm, ¿qué velocidad llevará el agua en ese punto?.
• Datos Fórmulas• d1= 3.81 cm = 0.0381 m. G1 = G2.• v = 3 m/seg o bien A1v1 = A2 v2
• d2 = 2.54 cm = 0.0254 m. v2 = A1v1 •
A2
• v2 = ? A = π/4d2.
![Page 88: FLUIDOS_-_DINAMICA](https://reader036.vdocumento.com/reader036/viewer/2022081401/557202e04979599169a43a01/html5/thumbnails/88.jpg)
• Sustitución y resultados:
• v2 = π/4 d12 v1 = d1
2 v1 • π/4 d2
2 d22
• v2 = (0.0381 m)2 x 3 m/seg = 6.74 m/seg.• (0.0254 m)2.
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Hidráulica
• Es la aplicación de la mecánica de fluidos en ingeniería, para construir dispositivos que funcionan con líquidos, por lo general agua o aceite.
• La hidráulica resuelve problemas como el flujo de fluidos por conductos o canales abiertos y el diseño de presas de embalse, bombas y turbinas.
• Se basa en el principio de Pascal, que establece que la presión aplicada en un punto de un fluido se transmite con la misma intensidad a cada punto del mismo.Blaise Pascal (Filosofo y Científico,1647) el principio que lleva su nombre, con aplicaciones muy importantes en hidráulica.
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Presa de Itaipú, Paraguay• Es un proyecto en funcionamiento conjunto de
Brasil y Paraguay sobre las aguas del río Paraná, y su central hidroeléctrica, la mayor del mundo, de la que se obtienen importantes recursos energéticos para ambos países y el conjunto regional. Con una altura de 196 m y 8 km de largo, cuenta con 14 vertederos que actúan como cataratas artificiales. Como se muestra en la foto adjunta
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Fluído
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Hidrodinámica
• Es parte de la física que estudia el movimiento de los fluidos.
• Está rama de la mecánica de fluidos se ocupa de las leyes de los fluidos en movimiento; estas leyes son complejas, la hidrodinámica tiene importancia práctica mayor que la hidrostática.
• Abordaremos conceptos básicos.
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DINÁMICA DE FLUIDOS
• Los principios físicos más útiles en las aplicaciones de la mecánica de fluidos son el balance de materia, o ecuación de continuidad, las ecuaciones del balance de cantidad de movimiento y el balance de energía mecánica.
• Existen diversos tipos de fluidos: Flujo de fluidos a régimen permanente o intermitente: aquí se tiene en cuenta la velocidad de las partículas del fluido, ya sea esta cte. o no con respecto al tiempo
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ECUACION DE CONTINUIDAD • Esta expresión expresa la idea de que la
masa de fluido que entra por el extremo de un tubo debe salir por el otro extremo.
A2 v2 = A1 v1
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Representación Gráfica de la Ecuación de continuidad:
Ley de conservación de la masa en la dinámica de los fluidos:A1.V1 = A2.V2 = constante
Recordar que P = F/A = F = P.A
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GASTO VOLUMÉTRICO Y LA ECUACIÓN DE CONTINUIDAD
El gasto volumétrico o caudal es el volumen de agua que pasa a través de una sección de tubería por unidad de tiempo. Se expresa en m3/s, L/s, Pie3/s dependiendo del sistema de unidades en que se trabaje.
Donde:Q = Gasto volumétrico, m3/sV = velocidad promedia del fluido en la sección transversal de estudio, m/sA = Superficie de la sección transversal, m2T = Tiempo en que circula en volumen V a través de la sección, en segundoV = Volumen que atraviesa la sección transversal, m3
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ECUACIÓN DE BERNUILLI.
• Para el caso de un flujo irracional a régimen permanente de un fluido incompresible no viscoso, es posible caracterizar el fluido en cualquier punto de su movimiento si se especifica su rapidez, presión y elevación.
• Estas tres variables se relacionan con la ecuación de Bernuilli (1700−1782). En este caso hay que tener en cuenta dos consideraciones:
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TEOREMA DE TORRICELLI• Es una aplicación de Bernuilli y estudia el flujo de un
líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad
ghV 2
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NÚMERO DE REYNOLDS
• La distinción entre los dos tipos de flujos fue inicialmente demostrada por Reynold en 1883.
• Reynolds encontró:
Para bajas velocidades de flujo (No se Produce mezcla alguna, coloreando el liquido). Entonces el flujo era laminar.
Al aumentar la velocidad se alcanza una velocidad crítica(se produce mezcla), se difuminándose la vena coloreada. Esto quiere decir un flujo turbulento.
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NÚMERO DE REYNOLDS• El flujo sea laminar o turbulento a través de
un tubo se puede establecer teniendo en cuenta el valor de un parámetro adimensional, el número de Reynolds:
Re = ρVD/u
Donde: ρ = Densidad del fluidoV = Velocidad promedioD = Diámetro del tubou = viscosidad.
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El valor del número de Reynolds (Re) es dimensional.
• Para re < 2100 tenemos flujo laminar
• Para re > 4000 tenemos flujo turbulento.
• Para 2100 < re < 4000 existe una zona de transición, donde el tipo de flujo puede ser tanto laminar como turbulento.
• Esta ecuación solo debe utilizarse para fluidos de tipo newtoniano, es decir, la mayoría de líquidos y gases.
Sin embargo hay fluidos no newtonianos, los cuales no tienen un único valor de la viscosidad independiente del esfuerzo cortante.
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Ecuación de Bernoulli
• (principio de conservación de la energía) para flujo ideal (sin fricción).
Donde:
p/ρ = energía de presión por unidad de masa.g.h = energía potencial por unidad de masa.v²/2 = energía cinética por unidad de masa.
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Ecuación de Bernoulli
Ecuación de Bernoulli para flujo en reposo: v1 = v2 = 0
p1 + d.g.h1 = p2 + d.g.h2
Ecuación de Bernoulli para flujo real (con fricción)
H0 = perdida de energía por rozamiento desde 1 hasta 2.
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Canalizadores o canales
• Se calcula el caudal (Q), aplicando la relación existente de volumen (V) sobre tiempo (t), otra forma de medir el caudal de los ríos es midiendo la velocidad (V) de la corriente del agua, multiplicada por el área transversal (A) en el punto de medición, se reporta en m3/ min o unidades equivalentes.
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Método del flotador
• El caudal se estimó multiplicando la velocidad del flotador (m/S) por el área transversal (m2) del canal.
2)( mAreaxsmVelocidadQCaudal
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Método del cubo y cronómetro
• se toman valores de tiempo de llenado de un volumen conocido de agua. se aplica en canales o conductos pequeños.
min
minllenadodetiempo
litroscubodelVolumenlitrosCaudal
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Flujo de volumen: (caudal).• Q = A .V [m³/s]
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¿PREGUNTAS?