fluidos 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE HIDRAÚLICA E HIDROLOGÍA

DETERMINACIÓN DEL CENTRO DE PRESIONES Y ESTABILIDAD DE CUERPOS

FLOTANTES

2.1. CENTRO DE PRESIONES

2.1.1. PROPÓSITOS DEL EXPERIMENTO

Determinar experimentalmente la ubicación del centro de presiones de la fuerzahidrostática ejercida por una altura de agua sobre una superficie curva, analizarla relación entre las coordenadas de este centro de presiones y la altura de aguaque ejerce presión, y verificar lo obtenido experimentalmente con lo que seconoce teóricamente.

2.2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES

2.2.1. PROPÓSITOS DEL EXPERIMENTO

Definir los conceptos de Metacentro, altura metacéntrica, baricentro,ángulo de carena. Diferenciar los tipos de estabilidad (vertical, lineal y rotacional). Diferenciar los estados en los que puede flotar un cuerpo. Determinar cuando se produce un estado de equilibrio de un cuerpoflotante.

1

1. OBJETIVOS



FLOTANTES

La estática trata con los fluidos sin movimiento, o más concretamente, con los fluidos que nosufren ninguna deformación, o lo que es lo mismo, en los cuales no existe ningún gradiente develocidades. En la estática trataremos con fluidos en ausencia de movimiento relativo.La consecuencia directa de la anterior es que la única forma de evitar que aparezcan gradientes develocidad es que no existan esfuerzos cortantes sobre el fluido. Lo que nos indica que para que unfluido esté en reposo o bien no existen esfuerzos sobre él, o si existen estos son esfuerzos normales ya compresión ( los fluidos no soportan esfuerzos a tracción ).El caso más simple es la fuerza que ejerce un fluido sobre una superficie horizontal, como puede ser elfondo de un depósito de almacenamiento de agua. La única fuerza que ejerce el fluido sobre el fondoes el peso del propio fluido.

2.1. CENTRO DE PRESIONESSe denomina centro de presiones de un cuerpo al punto sobre el cual se debe aplicar la resultante de todas las presiones ejercidas sobre la superficie plana o curva de un cuerpo para que el efecto de la resultante sea igual a la suma de los efectos de las presiones.Se trata de un concepto que no necesariamente ha de coincidir con el centroide geométrico, el centro de masas o el centro de gravedad. La coincidencia o no de estos conceptos permite analizar la estabilidad de un cuerpo inmerso en un fluido.

Este punto puedeser descrito, por ejemplo, mediante coordenadas respecto a un sistema dereferencia arbitrario.

Siempre es necesario saber no sólo cuál es la magnitud de unafuerza sino cuál es su punto de aplicación, pues de ello dependerá la distribuciónde los esfuerzos, fuerzas, pares, etc. que se generen, para de esta manera poder diseñar las estructuras que estarán sometidas a dichas fuerzas.

2

2. INTRODUCCIÓN

http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_gravedad



http://es.wikipedia.org/wiki/Centro_de_masas

http://es.wikipedia.org/wiki/Centroide



FLOTANTES


Principio de Arquímedes

Desde hace más de 2200 años el principio de Arquímedes es utilizado por elhombre. Cuando un cuerpo es introducido (sin importar su geometría)completamente en un fluido de densidad conocida se puede conocer suvolumen midiendo la perdida aparente en peso de este. En conclusión, Arquímedes planteó:¨todo cuerpo sumergido en un líquido experimenta un empuje ascensional igual alpeso del líquido que desaloja¨.Con este principio surgen los conceptos de flotabilidad y flotación.

Flotabilidad: Es la tendencia de un fluido para ejercer una fuerza de apoyo sobreun cuerpo colocado en el.

Estabilidad: Se conoce como la propiedad que tiene un cuerpo para regresar a suposición original luego de haber sido inclinado con respecto a su eje.Al observar la flotabilidad de varios objetos cuyo material de constitución es diferente, cada uno presenta características diferentes. Como es el caso de losobjetos constituidos por madera, plástico u otros materiales ligeros, que flotan enel agua. Esto permite apreciar que el fluido donde se encuentran inmersos ejerzan una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo. Esta fuerza que tiende a empujar elcuerpo hacia la superficie se denomina fuerza de empuje

La fuerza de empujeestá asociada a la presión de un fluido y, está a su profundidad. Para elcaso se considera una placa sumergida en un fluido con una densidad, unespesor h, una distancia s y un área A.

El problema de la estabilidad de un cuerpo flotante es muy importante en laMecánica de Fluidos y de gran importancia para los ingenieros. Con elconocimiento de esta teoría podremos determinar la seguridad que tiene uncuerpo al desplazarse por un fluido, es decir el cuerpo no se volcará sobreeste. El concepto de estabilidad es tal vez el que deba quedar bien claro eneste laboratorio, pues en el mundo de los ingenieros todo deberá ser diseñadobajo este criterio. Con el conocimiento de la altura metacéntrica y laubicación del centro de gravedad se determinará si el equilibrio es estable,inestable o diferente. Posteriormente se realizará una comparación con losresultados hallados teóricamente.

33. TEORÍA



FLOTANTES


3.1.1. Fuerzas sobre Superficies Planas

3.1.1.1. Superficies Horizontales

El caso más simple de fuerza provocada por la presión hidrostática es cuando tenemos un depósito de paredes rectas. En este caso, como la profundidad se mantiene constante sobre toda la superficie, la presión también lo será:

De la ecuación general de la hidrostática:

Así, como la altura se mantiene constante sobre toda la superficie, la presión hidrostática será mantendrátambién constante. Para calcular la fuerza equivalente que la presión ejerce sobre la superficie del fondo:

Ahora hay que determinar cuál es la dirección y el sentido. Pero antes vamos a abordar una característicacomún a todos los casos.

La fuerza que ejercerá la presión hidrostática siempre será

perpendicular ala superficie que baña.

4

h h



FLOTANTES

¿Puede ocurrir que la fuerza resultante no fuese normal a la superficie ?La respuesta es no. ¿Quéocurriría si la fuerza resultante no fuese normal a la superficie?Imaginemos que existe una fuerza resultante que no es normal a la superficie.

Volviendo al caso de una superficie horizontal, la fuerza será vertical. Ahora, ¿En qué sentido?, en elsentido del empuje de la presión del fluido sobre la superficie.

5

Si la fuerza resultante no es normala la superficie, nosotros siemprepodremos desdoblarla en dosfuerzas equivalentes, una normal ala superficie y otra paralela a lamisma.

Si la fuerza resultante no es normala la superficie, nosotros siemprepodremos desdoblarla en dosfuerzas equivalentes, una normal ala superficie y otra paralela a lamisma.

¿ Alguien ha visto alguna vez que alllenar un vaso conagua, esta deforma natural seponga a darvueltas sobre símisma?



FLOTANTES

Determinar el sentido es siempre sencillo, sólohay que ver la presión ejercida por el fluidohacia donde empuja la superficie.

Ahora, sólo falta saber en qué punto debemos aplicar la fuerza. En el caso de superficieshorizontales es muy sencillo, ya que sobre la superficie aparece una distribución constante devectores, los vectores presión, por tanto, la fuerza, que es el equivalente a todos ellos se colocaráen el punto medio de la superficie.Existe una forma alternativa de verlo, siguiendo el símil mecánico. Podemos dibujar un vector normal asuperficie, cuyo módulo se el del valor de la presión en ese punto. Con ello dibujaremos la formageométrica a escala de la distribución de presiones sobre la superficie. El vector fuerza tendrá el valordel área que dibujamos, el sentido será perpendicular a la superficie, y pasará sobre el CDG de lafigura que representa la distribución.

Como hemos podido ver, el cálculo del equivalente mecánico de la distribución de presiones sobreuna superficie horizontal es muy sencillo. ¿Es siempre tan sencillo? Sí, pero hay que saber verlo.Por ejemplo, el equivalente mecánico de la fuerza ejercida por la presión hidrostática en lassiguientes figuras es el mismo.Hay que recordar siempre que la presión hidrostática en cualquier plano horizontal es la misma,y sólo depende de la profundidad a la que se encuentra

4.1.1.2. Superficies VerticalesEn las superficies verticales, a diferencia de lo que ocurría en las horizontales, ahora, la presión no esconstante, sino que varía con la profundidad h.

6



FLOTANTES

Hay una variación continua de la presión con la profundidad, por tanto, ya no podemos calcularla fuerza como presión por área, sino que tendremos que tener en cuenta esta variación, lo quematemáticamente equivale a utilizar una integración a través de toda el área.Imaginemos una superficie vertical, y sobre ella vamos a calcular la fuerza debida a la presión hidrostáticasobre una superficie muy pequeña, diferencia, sobre la cual podemos suponer que como es de dimensionestan pequeñas, la presión la podemos considerar como constante en toda ella.

La presión en un punto y de la superficie diferencial valdrá, y por tanto, la presión sobrela superficie la podemos calcular como:

Consideremos una superficie rectangular plana, de L de ancho y H de longitud . Para calcular la fuerzasobre la superficie, podemos actuar por integración:

7



FLOTANTES

Es decir, la fuerza sobre la superficie rectangular se puede calcular como:

¿Qué significado físico tiene esta fórmula? En el siguiente dibujo se explica. Como se puede ver, lapresión en el CDG es la presión promedio sobre la superficie, por tanto, tiene lógica que al multiplicar la presión promedio por A nos de cómo en el caso de las superficies horizontales la fuerza ejercida por lapresión hidrostática sobre la superficie.

Acabamos de deducir la expresión para la fuerza sobre una superficie plana rectangular, pero

¿Quéocurre cuando la superficie que tengo es triangular, circular, elíptica o tiene una forma indefinida? Elproceso es análogo:

Ahora lo que debemos hacer es resolver esa integral. Pero como esto puede llegar a ser engorroso,podemos hacer uso de una definición muy conocida

8



FLOTANTES

Como podemos ver, la fuerza sobre una superficie vertical debida a la presión hidrostática lapodemos calcular siempre como la presión hidrostática sobre el centro de gravedad de lasuperficie multiplicada por el área de la misma.

Ya tenemos calculado el módulo de la fuerza, ahora nos falta calcular donde colocar el punto en el queaplicaremos esta fuerza.

Veamos que ocurre para el caso particular en que la superficiees rectangular, es decir A=H.L. Para que la fuerza la podamosutilizar como el equivalente mecánico, el vector fuerza ha deproducir el mismo par que la distribución original, por tanto:

Al punto de aplicación de la fuerza resultante (xc , yc) se le llama centro de presiones

Igual que antes cabe preguntarse por el caso general, en el que la superficie tiene una forma cualquiera.Para ello, de forma análoga tendremos que:

Que nos queda una integral que deberíamos resolver para cada caso. Pero, podemos hacer uso de otradefinición para facilitarnos el trabajo.

9



FLOTANTES

Con lo que tendríamos que:

La coordenada en x se obtendría de forma análoga

Que nos queda una integral que deberíamos resolver para cada caso. Pero, podemos hacer uso de otradefinición para facilitarnos el trabajo.

El problema es que todo nos lo dan respecto a unos momentos de inercia que no nos son de utilidad, ya quelo normal es hacer uso de unos ejes que pasen por el CDG del objeto y así evitar problemas con los ejes dereferencia. Para evitar este problema haremos uso del teorema de Steiner.

10



FLOTANTES

Utilizando Steiner podemos rescribir las coordenadas del centro de presiones como:

En resumen, podemos calcular las coordenadas del centro de presiones utilizando las siguientes fórmulas, en las que los momentos de inercia ya se calculan teniendo en cuenta unos ejes que pasen por su CDG, y para los cuales existen infinidad de tablas

¿Tiene algún otro significado físico importante estas fórmulas? Si, de ellas podemos extraer las siguientesconclusiones importantes:

Como I x ’ x’>0 siempre, yc>yCDG, es decir, el centro de presiones siempre estará a mayorprofundidad que el centro de gravedad

I x ’ y ’ puede ser tanto positivo como negativo, por lo que no podemos afirmar nada respecto al xc

3.1.1.3. Superficies Inclinadas

11

Sobre la superficie, debido a la acción de lapresión hidrostática, aparecerá una fuerza normala la misma. La presión hidrostática depende dela profundidad, tendremos:

Integrando a toda la superficie:

Si llamamos HCDG a la profundidad del centro degravedad de la superficie sumergida:



FLOTANTES

El punto de aplicación de esta fuerza, que será normal a la superficie, lo calculamos de igual modo que elcaso anterior:

12

Sobre la superficie, debido a la acción de lapresión hidrostática, aparecerá una fuerza normala la misma. La presión hidrostática depende dela profundidad, tendremos:

Integrando a toda la superficie:

Si llamamos HCDG a la profundidad del centro degravedad de la superficie sumergida:



FLOTANTES

Que como podemos ver, coincide con la expresión para las superficies verticales. Hay que notar que yc semide sobre la superficie inclinada. Y a esta expresión le podemos aplicar también Stenier, con lo que lasexpresiones quedan también como:

Las superficies inclinadas son la generalización de las verticales, y por tanto, estas son sólo unaparticularización para ángulo 90°También podíamos entender la fuerza sobre una superficie inclinada como la suma de dos fuerzas, una vertical,debida al peso del líquido sobre la superficie, y otra horizontal, debida a la presión hidrostática sobre laproyección de la superficie sobre la vertical:

13

Suponiendo que la superficieinclinada es plana y se mantieneel ángulo constante



FLOTANTES

yccoincide también en ambos casos ya que depende de los mismos parámetros, A, yCDGyI’x’xy en ambos casos son los mismos.

Tal como ya se ha comentado, la fuerza resultante sobre una superficie inclinada se puede descomponer en dos componentes:

Fv: una fuerza vertical, debido al peso del fluido sobre la superficie. FH: una horizontal equivalente a la presión hidrostática sobre la superficie vertical proyección.

Si se ha de cumplir que:

Como FH1=FH2, forzosamente se cumplirá que FV1=FV2, por tanto:

14

Ambas fuerzas resultantes coinciden en módulo y dirección, pero tiene sentidos contarios.

El módulo de las fuerzas resultantes es igual, ya que ésta sólo depende de hCDG yde A, y en ambos casos son el mismo

La FH, como era deesperar, coincide enambas configuraciones

Es decir, FV2 es igual al peso del líquidoimaginario sobre la superficie. Estelíquido tendrá la misma superficie libreque el que ocupa el lado derecho de lasuperficie



FLOTANTES

3.1.1.4. Superficies curvas

Sobre la superficie, debido a la acción de la presión hidrostática,aparecerá una fuerza normal a la misma. La presión hidrostática depende de la profundidad, tendremos:

Si

queremos integrar a toda la superficie para obtener una fuerzaresultante nos encontramos con:

Ahora, como la superficie es curva, el ángulo va variando en cadapunto, no podemos sacarlo fuera de la integral, y por tanto, nopodemos llegar a la expresión simplificada de los casos anterioresUtilizando lo que acabamos de deducir en el caso anterior, lo que haremos es calcular la fuerzaresultante como la composición de las dos fuerzas, vertical y horizontal, y el centro de presiones,utilizando las coordenadas de cada una de las componentes.

15

Las coordenadas del centro de presionescoincidirán con las coordenadas correspondientesa cada una de las componentes:

La profundidad a la que se encuentra el centro depresiones coincidirá con la yc de la superficievertical proyectada

La coordenada Xc coincidirá con la coordenada XCDG del volumen de fluido (real o imaginaria ) sobre la superficie.



FLOTANTES

3.2. ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES Y SUMERGIDOS

La estabilidad de un cuerpo parcial o totalmente sumergido es vertical y obedece al equilibrio existente entre el peso del cuerpo (W) y la fuerza de flotación (F f )

F f=W (en el equilibrio)

ambas fuerzas son verticales y actúan a lo largo de la misma línea. La fuerza de flotación estará aplicada en el centro de flotación (CF) y el peso estará aplicado en el centro de gravedad (CG)

La estabilidad de un cuerpo parcialmente o totalmente sumergido es de dos tipos:

ESTABILIDAD LINEAL: Se pone de manifiesto cuando desplazamos el cuerpo verticalmente hacia arriba. Este desplazamiento provoca una disminución del volumen del fluido desplazado cambiando la magnitud de la fuerza de flotación correspondiente. Como se rompe el equilibrio existente entre la fuerza de flotación y el peso del cuerpo (F f≠W), aparece una fuerza restauradora de dirección vertical y sentido hacia abajo que hace que el cuerpo regrese a su posición original, restableciendo así el equilibrio.De la misma manera, si desplazamos el cuerpo verticalmente hacia abajo, aparecerá una fuerza restauradora vertical y hacia arriba que tendera a devolver al cuerpo su posición inicial. En este caso el centro de gravedad y el de flotación permanecen en la misma línea vertical.

ESTABILIDAD ROTACIONAL:Este tipo de estabilidad se pone de manifiesto cuando el cuerpo sufre un desplazamiento angular. En este caso, el centro de flotación y el centro de gravedad no permanecen sobre la misma línea vertical, por lo que la fuerza de flotación y el peso no son colineales provocando la aparición de un par de fuerzas restauradoras. El efecto que tiene dicho par de fuerzas sobre la posición del cuerpo determinara el tipo de equilibrio del sistema:

Equilibrio estable: cuando el par de fuerzas restauradoras devuelve el cuerpo a su posición original. Esto se produce

16

http://picasaweb.google.com/lh/photo/N18I_sxmIPHlRMZIw4iG5_4q3aFTx4hbJGHmAB0wwX8?feat=embedwebsite

http://picasaweb.google.com/lh/photo/AvWV_nZXKpG9rzQtT7yFyP4q3aFTx4hbJGHmAB0wwX8?feat=embedwebsite

http://picasaweb.google.com/lh/photo/7dXrJwH6LO4m4cr9hG8Zu_4q3aFTx4hbJGHmAB0wwX8?feat=embedwebsite



FLOTANTES

cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte inferior del mismo, de manera que el centro de gravedad se encuentra por debajo del centro de flotación.

Equilibrio inestable: cuando el par de fuerzas tiende a aumentar el desplazamiento angular producido. Esto ocurre cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la parte superior del cuerpo, de manera que el centro de gravedad se encuentra por encima del centro de flotación

Equilibrio neutro: cuando no aparece ningún par de fuerzas restauradoras a pesar de haberse producido un desplazamiento angular. Podemos encontrar este tipo de equilibrio en cuerpos cuya distribución de masas es homogénea, de manera que el centro de gravedad y el centro de flotación coinciden.

ESTABILIDAD DE CUERPOS PRISMATICOS

Hay ciertos objetos flotantes que se encuentran en equilibrio estable cuando su centro de gravedad está por encima del centro de flotación. Esto entra en contradicción con lo visto anteriormente acerca del equilibrio, sin embargo este fenómeno se produce de manera habitual, por lo que vamos a tratarlo a continuación.

Vamos a considerar la estabilidad de cuerpos prismáticos flotantes con el centro de gravedad situado por encima del centro de flotación, cuando se producen pequeños ángulos de inclinación.La siguiente figura muestra la sección transversal de un cuerpo prismático que tiene sus otras secciones transversales paralelas idénticas. En el dibujo podemos ver el centro de flotación CF, el cual está ubicado en el centro geométrico (centroide) del volumen sumergido del cuerpo (V d) el eje sobre el que actúa la

fuerza de flotaciónF festá representado por la línea vertical AA´ que pasa por el punto CF.

Vamos a suponer que el cuerpo tiene una distribución de masa homogénea, por lo que el centro de gravedad CG estará ubicado en el centro geométrico del volumen total del cuerpo (V). El eje vertical del cuerpo está representado por la línea BB´ y pasa por el punto CG.

17

http://picasaweb.google.com/lh/photo/8ChwI4mMpuE3sK-xExK8-P4q3aFTx4hbJGHmAB0wwX8?feat=embedwebsite

http://picasaweb.google.com/lh/photo/raz3xSoVAMyVQ0CkS_Uig_4q3aFTx4hbJGHmAB0wwX8?feat=embedwebsite

http://picasaweb.google.com/lh/photo/eLNOG85MpOXVeqFu2n3q6P4q3aFTx4hbJGHmAB0wwX8?feat=embedwebsite

http://picasaweb.google.com/lh/photo/00W0mkk5I93464Sx4MFrtP4q3aFTx4hbJGHmAB0wwX8?feat=embedwebsite



FLOTANTES

Cuando el cuerpo está en equilibrio, los ejes AA´ y BB´ coinciden y la fuerza de flotación y el peso actúan sobre la misma línea vertical, por lo tanto son colineales, como muestra la figura.

Ahora inclinamos el cuerpo un Angulo pequeño en sentido contrario a las agujas del reloj. Como vemos, el volumen sumergido habrá cambiado de forma, por lo que su centroide CF habrá cambiado de posición. Podemos observar también que el eje AA´ sigue estando en dirección vertical y es la línea de acción de la fuerza de flotación.

Por otro lado, el eje del cuerpo BB´ que pasa por el centro de gravedad CG habrá rotado con el cuerpo. Ahora los ejes AA´y BB´ ya no son paralelos, sino que forman un Angulo entre sí igual al

Angulo de rotación. El punto donde intersecan ambos ejes se llama METACENTRO (M). En la figura siguiente podemos ver que el metacentro se encuentra por encima del centro de gravedad y actúa

como pivote o eje alrededor del cual el cuerpo ha rotado.

Como sabemos, la fuerza de flotaciónactúa verticalmente en el centroide CF y a lo largo del eje AA´, mientras que el peso actúa sobre el centro de gravedad CG y también en dirección vertical. En esta

configuración ambas fuerzas no son colineales, por lo que actúan como un par de fuerzas restauradoras que hacen girar al cuerpo en sentido contrario a la rotación producida en un principio, devolviendo al cuerpo a su posición inicial. Se dice entonces que el cuerpo se encuentra en equilibrio

estable.Si la configuración del cuerpo es tal que la distribución de masas no es homogénea, la ubicación del

metacentro puede variar. Por ejemplo, consideremos un cuerpo prismático cuyo centro de gravedad se encuentra sobre el eje vertical del cuerpo BB´ pero descentrado, como lo indica la figura.

Cuando inclinamos el cuerpo, puede ocurrir que el metacentro M este ubicado ahora por debajo del centro de gravedad. Como el metacentro actúa de eje de rotación alrededor del cual el cuerpo gira, el par de fuerzas W yF factúan como un par de fuerzas restauradoras, haciendo girar el cuerpo en el mismo sentido en el que se realizo la rotación y dándole la vuelta, sin alcanzar la posición que tenia

inicialmente. Se dice entonces que el cuerpo presenta equilibrio inestable.

En resumen, cuando el metacentro M se encuentra por encima del centro de gravedad CG, el cuerpo presenta equilibrio estable.

Cuando el metacentro M se encuentra por debajo de CG el equilibrio es inestable, y cuando el metacentro coincide con CG, está en equilibrio neutro.

La distancia entre el metacentro y el centro de flotación se conoce como "altura metacéntrica" y es una medida directa de la estabilidad del cuerpo. Esta distancia se calcula mediante la siguiente

expresión:

18



FLOTANTES

MF= IV d

Donde I es elmomento de inercia de lasección horizontal del cuerpo flotante y V d es el

volumen de fluido desplazado por el cuerpo


4.1.1. MÉTODO

i) Nivelar el recipiente. Ubicar la pesa deslizante indicando la longitud 10 cm(x0) en la regla graduada horizontal. Si la superficie horizontal del cuadrantecilíndrico no se hallase perfectamente horizontal (observar el nivel de burbujaadherido), nivelar utilizando el contrapeso.ii) Abrir la llave de ingreso de agua para empezar el llenado del recipiente. Lallave de desagüe debe estar completamente cerrada.iii) A medida que la superficie libre se aproxima al cuadrante cerrar parcialmente la llave de ingreso para que el llenado sea más lento.iv)Como norma, se considera que la superficie de agua es tangente alcuadrante cuando el contacto entre estos (visto de perfil) es de 4 cm omenos. Entonces se cierra completamente la llave de ingreso y se verificaque no se haya alterado lo dispuesto en el punto i.v) Leer la altura a la que se encuentra la superficie libre del agua, h0, haciendouso de la regla graduada vertical ubicada a un lado del recipiente. Debetenerse cuidado de evitar errores de paralaje.vi) Continuar con el llenado del recipiente abriendo nuevamente la llave deingreso. Se observará que la superficie curva empieza a levantarse por efectode la fuerza hidrostática del agua. La pesa deslizante debe ser desplazada afin de equilibrar este empuje.vii) Para obtener los valores de desplazamiento de la pesa deslizantecorrespondientes a las diferentes alturas de agua que se experimenten, seconsidera conveniente empezar por el extremo superior, de modo que sellenará el recipiente hasta alcanzar la altura máxima de agua (sin llegar alradio interior del cuadrante cilíndrico). Cerrar la llave de ingreso de agua.

19

4. MÉTODOS Y EQUIPOS



FLOTANTES

viii) Correr la pesa deslizante hasta una longitud exactax i. Abrir la llave dedesagüe hasta conseguir que la superficie horizontal del cuadrante estéexactamente horizontal (observar nivel de burbuja correspondiente). Cerrarla llave de desagüe.ix.)Leer la altura a la cual se ubica la superficie libre de aguahi.x.)Repetir los pasos viii y ix según el número de mediciones que se deseen hacer. Tanto la distancia x i como la altura de agua hi irán disminuyendo hasta llegara la distancia inicial x0.

4.1.2.EQUIPOSEl elemento principal es un cuadrante cilíndrico pivotado en su centro geométrico(ver fotografías), balanceado por un contrapeso y rígidamente conectado a unelemento de pesa deslizante. Este sistema basculante se aloja en un recipiente quepuede almacenar agua a diferentes alturas. La pesa deslizante produce el torqueque equilibra la fuerza hidrostática producida por el agua.

El recipiente está provisto de dos llaves, una para el ingreso del agua y otra para suevacuación; de este modo puede realizarse el experimento en condición estática,cerrando ambas llaves y, así mismo, variar la altura de agua con facilidad. Elrecipiente cuenta además con un sistema de nivelación que consiste de cuatrotornillos en la base y dos niveles de burbuja instalados transversalmente.

Dimensiones:Radio interior del cuadrante cilíndrico 135 mmRadio exterior del cuadrante cilíndrico (R) 250 mmLongitud perpendicular al dibujo (B) 115 mmMasa de la pesa deslizante (W/g) 0,605 kg


20



FLOTANTES

4.2.1. MÉTODOPara la presente práctica se van a determinar las alturas metacéntricas, paratres diferentes posiciones del centro de gravedad del cuerpo flotante.Como puede observarse, el equipo consta de la barcaza, masa deslizante porun eje vertical y masa deslizante por un eje horizontal. La masa deslizantevertical sirve para modificar la posición del centro de gravedad del cuerpoflotante.La masa horizontal es la que nos dará la variación de la posición del centrode empuje. Es obvio que el centro de gravedad pasa por el eje de simetríadel sistema.

Ahora detallamos el procedimiento a seguir:i) Registra los pesos de la barcaza , el peso deslizante , el pesoajustable, el largo y ancho de la barcaza.ii) Definir un sistema de coordenadas, como sugerencia lo localizamos en elcruce de los ejes de deslizamiento de las masas. Llamaremos X aldeslizamiento Horizontal e Y al deslizamiento Vertical desde este punto.iii) Cada posición del centro de gravedad del cuerpo flotante o Sistema sefija con la pesa que se desliza por la barra vertical (perpendicular a labase del cuerpo). Se ha denominado este desplazamiento distancia Y lacuál se mide desde el origen antes definido.iv) Colocar la masa vertical en una determinada posición, anotando el valorde Y, y se coloca la masa horizontal en el origen de coordenadas. Elángulo que forma el péndulo en el transformador o ángulo de carenadebe de ser cero para esta posición, de no ser así se deberá girar unpoco la masa vertical sobre su eje hasta conseguir.v) Deslizar la masa horizontal (puede utilizarse las gradaciones del ejehorizontal o una regla) hasta colocarla en una determinada posición.Luego se anota la posición X y el ángulo de carena q una vez que elcuerpo alcanza el equilibrio.vi) Repetir el paso anterior cuantas veces se crea conveniente (tres mínimo)viii) Variar la posición del centro de gravedad deslizando la masa vertical,repitiendo el paso tres y cuatro nuevamente.

4.2.2. EQUIPOSConsta de una barcaza de metal (ver figura) de forma rectangular que flotalibremente, en agua y de un vástago vertical soportado por cuerdas del quepende un hilo con plomada, que permite leer en grados el ángulo de carenade la barcaza logrado, mediante el desplazamiento de una masa de 200 gr. Alo largo de un riel horizontal transversal a la barcaza.El centro de gravedad puede ser variado por medio de una masa deslizable(de posición) de 500 gr que puede colocarse en diferentes posiciones a lolargo del vástago.

Instrumentos

Marcas centimetradas en las varillas de desplazamiento de las pesas. Precisión 1 cm. División Mínima 1 cm.

21



FLOTANTES

Péndulo con arco transportador Precisión 1° Sexagesimal Rango + 15° Sexagesimales División mínima 1° Sexagesimal


La distribución de presiones al interior del agua ejerce una fuerza hidrostáticasobre las superficies que entran en contacto con estas presiones. En el casoestudiado se tienen dos superficies en contacto con el agua para cada altura deagua: una superficie plana vertical y una superficie curva.

22

5. PROCEDIMIENTOS DEL CÁLCULO



FLOTANTES

Esquema de Fuerzas Hidrostáticas Actuantes

Se tiene una fuerza horizontal sobre la superficie plana y las componentes horizontal y vertical de la fuerza sobre lasuperficie curva

El objetivo del laboratorio es determinar la ubicación del centro de presiones de lafuerza actuante sobre la superficie curva. La componente vertical actuará a unadistancia xcp del pivote y la componente horizontal actuará a una distancia ycp delpivote. La pesa deslizante tiene un peso W que ha sido desplazado una distancia Ddesde su posición inicial para equilibrar estas fuerzas hidrostáticas (D=d – d0). Lacarga de agua que ejerce presión sobre las superficies es H puesto que por debajode h0 no hay contacto con las superficies (H=h– h0). Tomando momentos respectoal pivote tendríamos lo siguiente:

F v∗xcp=WD

La componente horizontal de la fuerza hidrostática sobre la superficie curva secancela con la fuerza horizontal sobre la superficie plana pues ambas tienen elmismo valor y la misma ubicación. Los pesos del cuadrante, del contrapeso, etc.estaban equilibrados al inicio de la experiencia, de modo que también se cancelan.Entonces:

xcp=WDFv

(a)

Utilizando las mediciones efectuadas podemos determinar Xcp experimentalmente.Podemos representar de otro modo las fuerzas actuantes, sería equivalente alesquema mostrado anteriormente.

Esquema de Fuerzas Hidrostáticas Actuantes

Se tiene una fuerza horizontal sobre la superficie plana y la distribución de presiones en la superficie curva,equivalente a las componentes horizontal y vertical actuantes sobre esta.

23



FLOTANTES

La fuerza horizontal sobre la superficie curva, Fh, es igual en magnitud y ubicaciónque la actuante sobre la superficie plana vertical.Nuevamente, tomando momentos respecto al pivote tendríamos lo siguiente:

Fh∗ycp=WD

La distribución de presiones genera fuerzas que pasan por el pivote de modo que nogeneran momento.Entonces:

ycp=WDFh

(b)

Utilizando las mediciones efectuadas podemos determinar ycp experimentalmente.

24



FLOTANTES


25

a: Deslizamiento de la masa horizontalW s: Peso del sistema (Barcaza + Masa vertical)W h: Peso de la Masa horizontalW t: Peso totalH: Altura Metacéntrica (l sin θ)l: Desplazamiento del Centro de Gravedad

B: Centro de Empuje inicialB’: Centro de Empuje finalO: Origen de coordenadasG: Centro de gravedad del SistemaG’: Centro de Gravedad Proyectado en el Eje MB’M: Metacentro

θ



FLOTANTES

Tomamos momentos en el centro de empujes B’ (Para eliminar la componentede flotación o empuje de agua).

W s∗l=a∗W h

l=MG∗sin θ

MG= lsinθ

=

W h

W s

∗a

sin θ

(1)

La determinación del CG se realiza fácilmente, la distancia entre el centro deflotación “B” y el metacentro “M” se puede determinar considerando elempuje aplicado en el nuevo centro de flotación, como la resultante del empuje en la posición primitiva y las fuerzas “P” que representan las pesas delvolumen desplazando por las cuñas emergida y sumergida por la rotación.Tomando momento respecto al punto B, se tiene

E∗r=P∗n

→V∗γ∗r=

12∗D

2∗D

2tan

θ∗γ∗23

D∗L(a)

(L: longitud de la barcaza perpendicular a la hoja)

Además:

MB=r tan θ

→r=

D3

12∗tanθ

V∗L

(b)

De a y b:

MB=L∗D3

12V= IV

(2)

26



FLOTANTES

Es fácil ubicar G, ya que la ubicación de B es conocida (a la mitad del calado de la barcaza). Podemos expresar:

BG=MB−MG

Calculamos el MB teórico para lo que se necesitamos el momento de inerciarespecto al eje de giro de la barcaza y el volumen desalojado

MB= IV

V=Wγ

=2690 cm3

I= L∗D3

12=25100cm4

El calado de la barcaza es:

C= VL∗D

=3.68cm

La profundidad del centro de flotación es:

BC=C2

=1.845cm

En el gráfico, se observa

r=MB∗sinθ ( ∆MBR ¿

r+a=xhcosθ

(∆OSN )

→a=xhcosθ

−MB∗sin θ

27

6. PRESENTACIÓN DE LOS RESULTADOS

Xi (cm) hi (cm)i=0 10 6.6i=1 11.95 9.8i=2 13.8 11.05i=3 17.5 12.4i=4 19.2 13.1i=5 20.95 13.75

i=6 23.25 14.05



FLOTANTES


De la figura 1, se concluye que:

Fh=γ (H2 )(BH ) (1)

Además:

F v=γ∗V sumergido

V sumergido=B(ÁreaBOC−ÁreaAOB)

ÁreaBOC=θ R2

2y

ÁreaAOB=(R−H )∗AB

2

AB=√R2−(R−H )2 →AB=√H (2 R−H )

θ=cos−1 R−HR

De lo mencionado, se concluye:

F v=γ ( cos−1 R−HR

∗R2

2−

(R−H ) √H (2R−H )2 )B (2)

DATOS OBTENIDOS EN EL LABORATORIO

Llenado Vaciado

28

Xi (cm) hi (cm)i=6 21.3 14.1i=5 19.4 13.45i=4 17.55 12.85i=3 15.8 12.1i=2 13.9 11.2i=1 12.1 10.1

i=0 10 6.6

Hi (m) Fhii=0 0 0i=1 0.032 0.5776128i=2 0.0445 1.117009519i=3 0.058 1.8975483i=4 0.065 2.383216875i=5 0.0715 2.883692419

i=6 0.0745 3.130757269

Hi(m) Fhii=6 0.075 3.172921875i=5 0.0685 2.646780919i=4 0.0625 2.203417969i=3 0.055 1.706326875i=2 0.046 1.1935827i=1 0.035 0.690991875

i=0 0 0



FLOTANTES

Cuadro 1 Cuadro 2

B=0.115mR=0.25mW=5.93505N

De los datos y de la ecuación 1, obtenemos las fuerzas horizontales Fhi (N) que se muestran en las siguientes tablas

Llenado Vaciado

Cuadro3 Cuadro 4

De la ecuación 2 y los cuadros 1,2, 3, 4 obtenemos las fuerzas verticales Fv i(N) que se muestran en las siguientes tablas

29

Fvii=0 0i=1 2.9852i=2 4.8568i=3 7.1644

i=4 8.4610

i=5 9.7196

i=6 10.3172

Fvii=6 10.4177i=5 9.1325i=4 7.9907i=3 6.6287

i=2 5.0996

i=1 3.4082

i=0 0

hi (cm) Xcpi (cm)i=0 6.6 -i=1 9.8 3.87697i=2 11.05 4.64362i=3 12.4 6.21306i=4 13.1 6.45342i=5 13.75 6.68635

i=6 14.05 7.62220

hi (cm) Xcpi (cm)i=6 14.1 6.4377i=5 13.45 6.1089i=4 12.85 5.6077i=3 12.1 5.1931i=2 11.2 4.5390i=1 10.1 3.6569

i=0 6.6 -



FLOTANTES

Llenado Vaciado

Cuadro 5 Cuadro 6

De la ecuación a y los cuadros 5 y 6 obtenemos las componentes x del centro de presiones (xcp), las cuales mostraremos en las siguientes tablas

Llenado Vaciado

Cuadro7 Cuadro 8

De la ecuación b y los cuadros 3 y 4 obtenemos las componentes y del centro de presiones ( ycp), las cuales mostraremos en las siguientes tablas

30

hi (cm) Ycpi (cm)i=0 6.6 -i=1 9.8 20.0365i=2 11.05 20.1907i=3 12.4 23.4581i=4 13.1 22.9112i=5 13.75 22.5367

i=6 14.05 25.1183

hi (cm) Ycpi (cm)i=7 14.1 21.1370i=6 13.45 21.0782i=5 12.85 20.3364i=4 12.1 20.1739i=3 11.2 19.3926i=2 10.1 18.0373

i=1 6.6 -

2

3

4

5

6

7

8

9

9 10 11 12 13 14 15

Xcp (c

m)

H (cm)

H vs Xcp

Llenado

Vaciado

H Xcp

(Llenado)Xcp

(Vaciado)9.8 3.877 4.050

10.1 4.470 3.65711.05 4.644 4.37811.2 4.739 4.53912.1 5.867 5.19312.4 6.213 5.34112.85 6.456 5.60813.1 6.453 5.80013.45 6.436 6.10913.75 6.686 6.34914.05 7.622 6.44714.1 7.885 6.438



FLOTANTES

Llenado Vaciado

Cuadro 9 Cuadro 10

GRÁFICOS:

Cuadro 111

1 Los datos en rojo se calcularon mediante la interpolación polinómica de quinto grado

31

16

18

20

22

24

26

9 11 13 15

Ycp (c

m)

H (cm)

H vs Ycp

Ycp (Llenado)

Ycp (Vaciado)

H Ycp

(Llenado)Ycp

(Vaciado)9.8 20.037 19.905

10.1 20.952 18.03711.05 20.191 19.07111.2 20.357 19.39312.1 22.860 20.17412.4 23.458 20.17712.85 23.395 20.33613.1 22.911 20.58513.45 22.222 21.07813.75 22.537 21.41714.05 25.118 21.25514.1 25.899 21.137



FLOTANTES

Cuadro 122


2 Los datos en rojo se calcularon mediante la interpolación polinómica de quinto grado

32

h ( cm) x ( cm) θ ( ˚)2 0.74 1.47 2.28 32 1.44 2.56 3.58 4.62 1.94 3.56 58 6.82 1.54 4.36 78 9.1

5

12

17

21

h ( cm) x ( cm) θ ( ˚ ) G ( cm)2 0.7 2.17274 1.4 2.17006 2.2 2.58168 3 2.76902 1.4 6.75414 2.5 6.19956 3.5 5.82588 4.6 5.73572 1.9 7.95934 3.5 7.66336 5 7.46958 6.8 7.52892 1.5 7.05954 4.3 8.34326 7 8.56138 9.1 8.4704

5

12

17

21



FLOTANTES

DATOS OBTENIDOS EN EL LABORATORIO UBICACIÓN DE “G” CON RESPECTO A LA BASE DE LA BARCAZA

DETERMINACIÓN DE “a”, “GM”, “BG” Y “G” A PARTIR DE LAS ECUACIONES DEMOSTRADAS

h ( cm) x ( cm) θ ( ˚) a ( cm) GM ( cm) BG ( cm) G ( cm)2 0.7 1.886 8.643 0.688 2.1734 1.4 3.773 8.646 0.685 2.1706 2.2 5.646 8.234 1.097 2.5828 3 7.523 8.047 1.284 2.7692 1.4 1.773 4.062 5.269 6.7544 2.5 3.597 4.616 4.715 6.2006 3.5 5.442 4.990 4.341 5.8268 4.6 7.278 5.080 4.251 5.7362 1.9 1.692 2.857 6.474 7.9594 3.5 3.438 3.153 6.178 7.6636 5 5.210 3.346 5.984 7.4698 6.8 6.952 3.287 6.044 7.5292 1.5 1.756 3.756 5.574 7.0594 4.3 3.312 2.473 6.858 8.3436 7 4.908 2.255 7.076 8.5618 9.1 6.626 2.345 6.985 8.470

5

12

17

21

33

*H: altura metacéntrica (GM)

*H: altura metacéntrica (GM)

h (cm) x (cm) H (cm)2 8.6434 8.6466 8.2348 8.0472 4.0624 4.6166 4.9908 5.0802 2.8574 3.1536 3.3468 3.2872 3.7564 2.4736 2.2558 2.345

5

12

17

21

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10

H (c

m)

X (cm)

X vs H

h=5

h=12

h=17

h=21

x (cm) y (cm) H(cm)5 8.643112 4.061717 2.856521 3.75645 8.645912 4.616317 3.152621 2.47275 8.234212 4.990117 3.346421 2.25465 8.046912 5.080117 3.286921 2.3455

2

4

8

60

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20 25

H (cm

)

Y (cm)

Y vs H

x=2

x=4

x=6

x=8



FLOTANTES

GRÁFICOS:

34

h=12

θ ( ˚) r ( cm)1.4 0.22802.5 0.40703.5 0.56964.8 0.7808

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.7 1.4 2.2 3

r (cm

)

θ(̊ )

h=5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

1.4 2.5 3.5 4.8

r (cm

)

θ(̊ )

h=12

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.9 3.5 5 6.8

r (cm

)

θ(̊ )

h=17

0.00

0.50

1.00

1.50

2.00

1.5 4.3 7 9.1

r (cm

)

θ(̊ )

h=21



FLOTANTES

RADIO METACÉNTRICO VS ÁNGULO DE CARENA:

h=5

θ ( ˚) r ( cm)0.7 0.11401.4 0.22802.2 0.35823 0.4883

35

h=17

θ ( ˚) r ( cm)1.9 0.30943.5 0.56965 0.8132

6.8 1.1048

7.70

7.90

8.10

8.30

8.50

8.70

0.7 1.4 2.2 3GM

(cm

)

θ(̊ )

h=5

3.00

3.50

4.00

4.50

5.00

5.50

1.4 2.5 3.5 4.6

GM

(cm

)

θ(̊ )

h=12

2.40

2.70

3.00

3.30

3.60

1.9 3.5 5 6.8

GM

(cm

)

θ(˚)

h=17

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

1.5 4.3 7 9.1

GM

(cm

)

θ(˚)

h=21



FLOTANTES

h=21

θ ( ˚) r ( cm)1.5 0.24434.3 0.69967 1.1371

9.1 1.4757

ALTURA METACÉNTRICA VS ÁNGULO DE CARENA

h=5θ (˚) GM (cm)0.7 8.6431.4 8.6462.2 8.2343 8.047

h=12θ (˚) GM (cm)1.4 4.0622.5 4.6163.5 4.9904.6 5.080

h=17θ (˚) GM (cm)1.9 2.8573.5 3.1535 3.346

6.8 3.287

36

2.00

2.50

3.00

3.50

4.00

1.5 4.3 7 9.1

GM

(cm

)

θ(˚)

h=21



FLOTANTES

h=21θ (˚) GM (cm)1.5 3.7564.3 2.4737 2.255

9.1 2.345

7.1. DEFINICIONES

En estática de fluidos, o hidrostática, no hay movimiento relativo entre laspartículas de fluido, es decir, no existen esfuerzos cortantes, el único esfuerzopresente es un esfuerzo normal, la presión.

Todos los puntos ubicados en un mismo plano horizontal, dentro de un mismofluido, tienen la misma presión.

La superficie librede un líquido es horizontal. En realidad es concéntrica conla tierra pero en dimensiones reducidas (comparadas con las de la tierra) esprácticamente horizontal.

El gráfico de presionesmuestra la distribución de la presión sobre unasuperficie en contacto con un fluido (principalmente se aplica al caso de unlíquido).

Una superficie curva en contacto con un líquido experimentará una fuerzahidrostática que suele ser analizada según sus componentes horizontal yvertical.

La componente horizontalde la resultante de las presiones que un líquidoejerce sobre una superficie curva es igual en magnitud y de sentido contrarioa la resultante de las presiones que el fluido ejerce sobre la proyección de lasuperficie sobre un plano vertical y tiene la misma línea de acción, es decir,pasa por el centro de presión de dicha proyección.

La componente verticalde la fuerza resultante de las presiones que un líquidoejerce sobre una superficie curva es igual al peso del volumen de líquido que se encuentra verticalmente por encima de esta y se extiende hasta el nivel dela superficie libre. En el caso en el cual la superficie recibe una presióncontraria en sentido a este peso, la componente vertical tendrá el mismovalor (será evaluada del mismo modo) pero tendrá sentido contrario. El puntode aplicación se ubicaría en el CG del volumen.

Se conoce como fuerza de flotación a la fuerza resultante que ejerceun fluido sobre un cuerpo sumergido (total o parcialmente), la cualactúa siempre en forma vertical y hacia arriba. La fuerza de flotaciónactúa a través del centroide del fluido desplazado y es igual al peso del volumen del fluido desplazado y es igual al peso del volumen delfluido desplazado por el sólido.

Puede decirse que un cuerpo flota cuando se encuentra parcialmentesumergido, o sea parte de su volumen esta fuera de fluido. Un cuerposumergido se presenta cuando la totalidad de su volumen esta dentrodel fluido.

37

7. ANEXOS8.

θii =0 0

i =1 0.511523004

i =2 0.605882228

i =3 0.695083854

i =4 0.737725968

i =5 0.775601537

i =6 0.792594412

θii =6 0.79539883

i =5 0.758308913

i =4 0.722734248

i =3 0.67613051

i =2 0.61633929

i =1 0.535526654

i =0 0



FLOTANTES

Flotador, es el nombre que se da al cuerpo que flota Flotación, es el nombre que se da a la parte sumergida El plano de flotación viene determinado por la intersección de la superficie del fluido con el

flotador Carena, es el volumen de fluido desalojado por la flotación o parte sumergida. Centro de carena, es el centro de gravedad de la parte de fluido que desaloja el flotador. Eje de flotación, es la línea que une el centro de gravedad del flotador con el centro de carena. Cabeceo, es el movimiento del flotador alrededor de su eje longitudinal Balanceo, es el movimiento del flotador alrededor de su eje transversal

7.2. CUADROS

7.2.1. Cuadros utilizados en los cálculos de Centro de Presiones

Llenado Vaciado

Llenado

Vaciado

38

Área BOC Área AOB Fvii =0 0 0 0

i =1 0.015985094 0.013339035 2.9852

i =2 0.01893382 0.01462871 4.8568

i =3 0.02172137 0.015370796 7.1644

i =4 0.023053937 0.015554034 8.4610

i =5 0.024237548 0.015622001 9.7196

i =6 0.024768575 0.015623382 10.3172

Área BOC Área AOB Fvii =6 0.024856213 0.015621875 10.4177

i =5 0.023697154 0.015602073 9.1325

i =4 0.022585445 0.015502449 7.9907

i =3 0.021129078 0.015253376 6.6287

i =2 0.019260603 0.014740323 5.0996

i =1 0.016735208 0.013714152 3.4082

i =0 0 0 0

fluidos 2

Documents