Flexión y CorteTeoría de Jouravski

Curso de Estabilidad IIbIng. Gabriel Pujol

Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

Es de nuestro interés calcular el eje de un carretón solicitado por un par de fuerzas P y

verificar las tensiones tangenciales

Datos: mlmccmkg

cmkgtP admadm 20,1;30,0;600;1200;8 22

Dado que el sistema posee tanto simetría geométrica como simetría de cargas las reacciones de vínculo en A y B resultan:

tmcPMtPRR BA 4,2;8

Con estos valores, graficamos los diagramas de esfuerzo Flexor y Corte:

Si al reducir al baricentro de la sección en estudio, las fuerzas que actúan a uno u otro lado de la misma se obtiene momento flector M y esfuerzo de corte Q, como por ejemplo en el tramo AC o DB del eje de la figura, la solicitación a la que se encuentra sometido dicho tramo se denomina flexión transversal (flexión y corte asociado)

Dimensionemos en primer término el eje del carretón a la flexión pura, para posteriormente

verificarlo al corte

El momento flector M genera tensiones normales en la sección transversal, tensiones que calculamos con la fórmula de Navier, así:

xxz W

MyJM

32;

2;

64;

3

max

4 dWdydJcPM xx

332dcP

adm

y reemplazando en y despejando d será:

donde, para la sección circular del eje resulta:

cm

cmkgcmkgcPd

adm

131200

30800032323

2

3

Adoptamos como valor inicial para el cálculo, un eje del carretón de diámetro d = 13 cm

Analizamos ahora, el efecto del corte en los tramos del eje AC y DB

Debido a la relación que existe entre M y Q (dM/dz = Q) la presencia de esfuerzo de corte Q implica necesariamente la variación del momento flector M.

La existencia de Q, originará además, tensiones tangenciales en las secciones transversales.

La existencia de tensiones de corte en la sección origina la existencia de deformaciones angulares ( = /G).

En la flexión transversal, a diferencia de la flexión pura, las secciones transversales de la barra no permanecen planas.

El error que se comete al no considerar el alabeo de la sección es del orden de H/L (en valor unitario, donde H es la altura de la sección y L la luz entre apoyos) en el caso de vigas con esfuerzo de corte Q variable, y totalmente nulo en el caso de esfuerzo de corte Q constante.

Por consiguiente en esas condiciones la tensión calculada obtenida para flexión pura, es también válida para flexión transversal.

Por medio de las dos secciones 1-1 y 2-2 distanciadas dz, aislamos un elemento

diferencial del eje

En la dirección “z” actúan las tensiones normales z sobre las caras izquierda y derecha (z1 y z2 respectivamente).

Definimos un plano de corte longitudinal (PCL) situado a una distancia “y” del eje neutro de la sección.

y

Si planteamos el equilibrio en el volumen de control del elemento diferencial del eje situado por sobre el plano de corte longitudinal, las resultantes R1 y R2 de las fuerzas provocadas por las tensiones (z1 y z2) no serán iguales ya que los momentos flectores que las generan difieren en dM.

volumen de control R1 R2

La condición de equilibrio FZi = 0 se puede escribir: R1+H-R2=0

H

PCL

Si suponemos yz = cte tendremos:

y

R1 R2

H

PCLyz

dzbH yyz

*2

**2

xx

FxFz

SJdMMR

dFyJdMMdFR

*1

**1

xx

FxFz

SJMR

dFyJMdFR

y las resultantes R1 y R2 serán:

y

Reemplazando H, R1 y R2 en H = R2 - R1, resulta:

**x

xx

xxyyz S

JdMS

JM

JdMMdzb

yx

x

yx

xyz bJ

SQbJS

dzdM

**

Expresión de Jouravski

El significado de cada factor en la fórmula de Jouravski es:

yx

xyz bJ

SQ

*

yz : tensión de corte longitudinal para la coordenada “y”.

Q: esfuerzo de corte en la sección estudiada (se obtiene del diagrama de esfuerzo de corte y generalmente se utiliza el valor máximo, sea positivo o negativo). El esfuerzo de corte Q depende de la coordenada “x” de la sección donde se calcula yz.

Jx: momento de inercia de la sección respecto del eje “x”.

Sx*: momento estático, respecto al eje “x”

(plano de corte longitudinal), de la parte de la sección transversal que se encuentra por encima de la línea donde se calcula yz.

by: ancho de la sección en correspondencia con la coordenada “y” donde se calcula yz .

Veamos que dice Cauchy respecto a las tensiones yz:

y

R1 R2

H

PCLyzzy

De acuerdo a la ley de reciprocidad de las tensiones tangenciales (Cauchy), en el plano de la sección “xy” que es perpendicular al plano longitudinal “xz”, existen tensiones tangenciales de dirección vertical (zy) que serán numéricamente iguales a las longitudinales horizontales (yz).

dFQF

zy y para que se satisfaga la condición de equilibrio FYi = 0 debe ser:

y para la sección circular del eje resulta:

222 yRby 464

44 RDJ x

el momento estático de la sección ubicado por sobre el plano de corte longitudinal es:

R

y

yy dbSdbdS

R

y

y dRS 222

y reemplazando by será:

23

2223

22

32

32 yRRS

R

y

y

y reemplazando valores tendremos:

42

122

23

22

23

42

RyR

yRQzy

4

22

34

RyRQ

zy

distribución cuadrática

0zyvalor mínimo para y = R

valor máximo para y = 0

FQ

RQ

zy 34

34

2

verificamos las tensiones normales debidas a la flexión y las tangenciales debidas al corte en

los punto C y D

Datos: mlmccmkg

cmkgtP admadm 20,1;30,0;600;1200;8 22

adm

admx

cmkg

cmkg

FQ

cmkg

cmcmkg

WM

22max

23max

max

801338000

34

34

1111216

240000

222

333

max

1334

134

2163213

32

2400003080008000

cmcmdF

cmcmdW

cmkgcmkgcPMkgPRQ

x

A

C D

verificamos las tensiones normales debidas a la flexión y las tangenciales debidas al corte en

los punto C y D

222

2

2max

2

601338000

5562

1111

2

cmkg

cmkg

FQ

cmkgcm

kg

Ryzy

Ryz

las fibras ubicadas a una distancia R del plano de corte longitudinal que contiene al baricentro estarán solicitadas por tensiones = max y = 0

las fibras ubicadas sobre el plano de corte longitudinal que contiene al baricentro estarán solicitadas por tensiones = max y = 0

las fibras ubicadas a distancias intermedias, por ejemplo y = R/2 será:

calculamos las tensiones principales

En el presente estado plano de tensiones (todas las tensiones con subíndice “x” son nulas), las fibras superiores estarán sometidas a compresión mientras que las inferiores a tracción. Las tensiones máximas y mínimas las calculamos como sigue (fibras ubicadas a una distancia y = R/2 del plano de corte longitudinal):

22

2

2

2

222

2

max1 12004,562604

0556

2

0556

42 cmkg

cmkg

cmkgcm

kgcmkg

admzyyzyz

0;60;0;556 255

25

zxxzyxxyRyyzRyzyyxRyz cmkg

cmkg

22

2

2

2

222

2

min2 12004,6604

0556

2

0556

42 cmkg

cmkg

cmkgcm

kgcmkg

admzyyzyz

22

2

2

2

22

2

max 6004,284604

0556

4 cmkg

cmkg

cmkgcm

kg

admzyyz

trazamos la correspondiente circunferencia de Mohr

562,4 kg/cm2 =

= 556 kg/cm2

60 kg/cm2 =

= 60 kg/cm2

Analicemos los resultados obtenidos:

La fibra más solicitada será la ubicada a una distancia R del plano de corte longitudinal que contiene al baricentro de la sección ( = max y = 0)

En este caso resultan ser las tensiones principales: 1 = max = 1111 kg/cm2 < adm y 2 = 3 = 0

Se justifica considerar al corte despreciable (frente a la solicitación por flexión) y dimensionar el eje sólo a flexión simple.

Bibliografía

Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

Muchas Gracias