El magnetismo es una rama de la física muy compleja ya que no puede ser explicado únicamente mediante postulados de la mecánica clásica, por lo que aquí trataremos brevemente algunos de los fenómenos más básicos. El fenómeno del magnetismo era conocido ya por los antiguos griegos desde hace más de 2000 años. Se observaba que ciertos minerales (imanes) podían atraer o repeler pequeños objetos de hierro. De hecho, el nombre de magnetismo proviene de la provincia griega Magnesia, donde se encuentran los yacimientos más importantes de la magnetita (Fe3O4), mineral con acusadas propiedades magnéticas.Aunque se tenía conocimiento de este fenómeno de forma experimental no fue hasta mediados del siglo XIX cuando se formularon teóricamente todas las interacciones de tipo eléctrico y magnético, resumidas en las ecuaciones de Maxwell.

Nociones previas

Las propiedades magnéticas son más acusadas en los extremos del imán, que se denominan polos magnéticos, polo Norte (N) y polo Sur (S). Del mismo modo que cargas eléctricas del mismo signo se repelen y de distinto se atraen, imanes que se acercan por polos iguales se repelen y si se acercan por polos opuestos se atraen. Es imposible aislar un único polo magnético, de modo que si un imán se parte en dos, en cada trozo vuelve a haber un polo Norte y uno Sur.De forma análoga al campo eléctrico en magnetismo hablamos en términos de un vector llamado campo magnético B representado por sus líneas de campo de modo que en cada punto del espacio el campo es tangente a dichas líneas.El hecho de que los polos magnéticos nunca se puedan dar por separado se traduce en que las líneas de campo son siempre cerradas, saliendo del polo Norte y entrando por el polo Sur.

Cuando un trozo de hierro, un imán o un hilo de corriente se colocan en una zona en la que existe un campo se ven sometidos una fuerza que tiende a orientarlos de una forma determinada.

Materiales magnéticos

El comportamiento de los materiales en presencia de un campo magnético sólo puede explicarse a partir de la

mecánica cuántica, ya que se basa en una propiedad del electrón conocida como espín. Se clasifican fundamentalmente en los siguientes grupos:

Ferromagnéticos: constituyen los imanes por excelencia, son materiales que pueden ser magnetizados permanentemente por la aplicación de campo magnético externo. Por encima de una cierta temperatura (temperatura de Curie) se convierten en paramagnéticos. Como ejemplos más importantes podemos citar el hierro, el níquel, el cobalto y aleaciones de éstos.

Paramagnéticos: cada átomo que los constituye actúa como un pequeño imán pero se encuentran orientados al azar de modo que el efecto magnético se cancela. Cuando se someten a la aplicación de un B adquieren una imanación paralela a él que desaparece al ser retirado el campo externo. Dentro de esta categoría se encuentran el aluminio, el magnesio, titanio, el wolframio o el aire.

Diamagnéticos: en estos materiales la disposición de los electrones de cada átomo es tal que se produce una anulación global de los efectos magnéticos. Bajo la acción de un campo magnético externo la sustancia adquiere una imanación débil y en el sentido opuesto al campo aplicado. Son diamagnéticos por ejemplo el bismuto, la plata, el plomo o el agua.

Relación entre campos eléctricos y magnéticos

A continuación se comentan, de forma cualitativa, algunas de los fenómenos que ponen de manifiesto la interacción entre campo eléctricos y campos magnéticos:

Una brújula cambia de orientación cerca de una corriente eléctrica: las brújulas son pequeños imanes sujetos a un soporte de forma que puedan girar libremente. De forma casi fortuita, el científico danés Oersted se percató de que una brújula sufría desviaciones al estar cerca de una corriente eléctrica. Si se disponen varias brújulas en torno a un hilo conductor, se observa que cuando no circula corriente eléctrica, todas ellas apuntan al Norte de la Tierra, debido al efecto del campo magnético terrestre (sección sabías que... de esta página). Si se hace circular una corriente, se orientan formando una circunferencia en torno al hilo.

En ausencia de corriente eléctrica las brújulas apuntan al Norte (a). Cuando circula una corriente por el conductor las brújulas se orientan en torno al conductor(b).

A partir de este hecho se empezó a estudiar la relación existente entre la electricidad y el magnetismo, fenómenos que se consideraban independientes. Se comprueba que, además de los imanes, la corriente eléctrica genera campo magnético y finalmente se concluye que el campo creado por los imanes responde a corrientes eléctricas a nivel microscópico por lo que:

la corriente eléctrica es la única fuente de campo magnético.

En el siguiente enlace podrás ver cuánto vale el campo generado por una corriente eléctrica que circula por un conductor.

Un hilo de corriente sufre una fuerza en presencia de un campo magnético: en este caso la relación entre corriente eléctrica y magnetismo se manifiesta de forma inversa que en el ejemplo anterior: un hilo de corriente, cuando se encuentra en una región del espacio en la que existe un campo magnético, sufre una fuerza perpendicular al hilo. Si se invierte sentido de la corriente se comprueba que la desviación del hilo se produce en sentido contrario.

La fuerza ejercida por el campo magnético que sufre un conductor por el que circula una corriente eléctrica cambia de sentido si se invierte el sentido de la corriente.

Es decir, no sólo los imanes sufren una fuerza en

presencia de un campo magnético, también podremos calcular la fuerza de B sobre un hilo de corriente.

Inducción magnética: con el primer ejemplo quedó en evidencia que una corriente eléctrica genera un campo. ¿Sucede el fenómeno inverso?, es decir, ¿un campo magnético genera un campo eléctrico? Se comprueba que si, por ejemplo, se acerca y se aleja un imán cerca de un material conductor se detecta una intensidad de corriente, pero si el imán permanece en reposo desaparece esa corriente. A este proceso se le denomina inducción magnética y se resume diciendo que un campo magnético (exactamente, flujo magnético) variable genera una corriente eléctrica. Este hecho fue enunciado por primera vez por Faraday (Ley de Faraday) y constituye el principio básico del funcionamiento de los generadores eléctricos.

Espectro electromagnético: todas estas interacciones entre campos eléctricos y campos magnéticos fueron resumidas y formuladas matemáticamente por Maxwell en las llamadas ecuaciones de Maxwell; quedan demostradas también la existencia de las ondas electromagnéticas. El primero en generar estas ondas predichas teóricamente por Maxwell fue Hertz, quien las llamó ondas de radio. Estas ondas están formadas por un campo magnético B y uno eléctrico E, perpendiculares entre sí y perpendiculares a la dirección de propagación, que se transmiten en el vacío a la velocidad c de 3 108 m/s, cumpliéndose en cualquier instante la relación E = c B. El conjunto de estas ondas en todo su rango posible de frecuencias constituye el espectro electromagnético, del cual la luz visible representa un pequeño intervalo (entre 400 y 700 nm de longitud de onda).

El campo magnético B es una magnitud vectorial. Puede estar producido por una carga puntual en movimiento o por un conjunto de cargas en movimiento, es decir, por una corriente eléctrica.

La unidad de campo magnético en el Sistema Internacional es el tesla (T). Un tesla se define como el campo magnético que ejerce una fuerza de 1 N (newton) sobre una carga de 1 C (culombio) que se mueve a velocidad

de 1 m/s dentro del campo y perpendicularmente a las líneas de campo.

El tesla es una unidad muy grande, por lo que a veces se emplea como unidad de campo magnético el gauss (G) que, aunque no pertecece al Sistema Internacional sino al sistema CGS, tiene un valor más acorde con el orden de magnitud de los campos magnéticos que habitualmente se manejan.

1 T = 10.000 gauss

Campo magnético creado por una carga puntual

Cuando una carga q se mueve con una cierta velocidad, como se muestra en la siguiente figura, crea un campo magnético en todo el espacio.

Dicho campo viene dado por la expresión:

Donde,

q es la carga creadora del campo

v es la velocidad de dicha carga

r es la distancia desde el punto donde se encuentra la carga hasta el punto P donde se está calculando el campo

ur es un vector unitario que va desde el punto donde se encuentra la carga hacia el punto donde se calcula el campo

μ0 es una constante denominada permeabilidad del espacio libre. Su valor en el Sistema Internacional es μ0 = 4π 10-7 T m/A

La dirección y el sentido del campo B vienen dados por la regla de la mano derecha, y su módulo es el módulo del producto vectorial:

Dirección y sentido Módulo

Cuando la carga q es negativa, el sentido de B es opuesto al que se muestra en la figura. El campo magnético en la dirección del movimiento es nulo, ya que en este caso los vectores v y ur son paralelos y su producto vectorial es cero.

Una corriente eléctrica es un conjunto de cargas desplazándose por un material conductor. Por tanto, al igual que una carga puntual, una corriente creará un campo magnético.

Campo magnético creado por una corriente (Ley de Biot-Savart)

En la figura inferior se ha representado un hilo conductor de forma arbitraria por el que circula una intensidad de corriente I. Si por el hilo conductor circulan n cargas q por unidad de volumen, la corriente viene dada por:

Siendo A la sección del hilo y vd la velocidad de desplazamiento de las cargas.

Se puede representar un elemento de corriente mediante un vector de longitud dl y sentido el sentido de circulación de la corriente.

El campo magnético dB que crea el elemento de corriente de longitud dl en un punto P del espacio es el campo magnético que crea en ese punto una carga puntual moviéndose a la velocidad de desplazamiento multiplicado por el número total de cargas que contiene el elemento de corriente:

Reagrupando,

Y finalmente:

Donde μ0 es la permeabilidad del espacio libre.

La dirección y el sentido del campo dB vienen dados por la regla de la mano derecha, y su módulo es el módulo del producto vectorial que aparece en la expresión anterior:

Dirección y sentido Módulo

El campo total creado por el hilo en el punto P es la integral del campo creado por el elemento de corriente extendida a todo el hilo:

En general esta integral es complicada de calcular, salvo para situaciones sencillas en que la forma del hilo que transporta la corriente tiene cierto grado de simetría.

Campo creado por una espira circular

Muchos de los dispositivos que se emplean para crear campos magnéticos cuentan entre sus componentes con bobinas. Cada vuelta de hilo de la bobina se denomina espira. El campo magnético producido por una espira circular en su centro es sencillo de calcular, ya que la integral anterior se simplifica por simetría.

Para cualquier elemento de corriente dl que tomemos sobre la espira, el campo que produce en su centro es un vector en la dirección X y sentido positivo, como se observa en la parte derecha de la figura superior.

El módulo del campo dB creado por cualquier elemento de corriente viene dado por:

donde R es el radio de la espira.

El campo total B es la integral de la expresión anterior a toda la circunferencia:

Si la corriente circula en sentido contrario al representado, el vector campo magnético es de sentido opuesto.

FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA ELÉCTRICA

Es conocido que un conductor por el que circula una corriente sufre una fuerza en presencia de un campo magnético. Puesto que la corriente está constituída por cargas eléctricas en movimiento, empezaremos por estudiar la fuerza sobre una única carga.

Fuerza de Lorentz

Al observar experimentalmente cómo es la fuerza que un campo B ejerce sobre una carga eléctrica q se cumple que:

Si la carga está en reposo, el campo B no ejerce ninguna fuerza sobre ella.

La fuerza es máxima cuando la velocidad de la carga v y el campo B son perpendiculares y es nula cuando son paralelos.

La fuerza es perpendicular al plano formado por v y B.

La fuerza es proporcional al valor de la carga q y a la velocidad v.

Si la carga cambia de signo, la fuerza cambia de sentido

Resumiendo todos estos hechos, se concluye que la fuerza que un campo B ejerce sobre una carga eléctrica q que se mueve con una velocidad v viene dada por la expresión:

La fuerza electrostática es tangente en cada punto a las líneas de campo eléctrico, sin embargo, para el campo magnético se cumple que:

La fuerza magnética es perpendicular a las líneas de campo B .

Si la carga q se encuentra además bajo la acción de un campo eléctrico E, la fuerza resultante que actúa sobre ella es:

conocida como la fuerza de Lorentz.

Movimiento de una carga en un B uniforme: ciclotrón

Supongamos que en una región del espacio existe un campo B uniforme y una carga q se desplaza con una velocidad v perpendicular al campo. Como se ha visto, la fuerza que actúa sobre la carga es siempre perpendicular a la velocidad, luego provoca una aceleración normal que hace que se curve la trayectoria y se genera un movimiento circular en el que la fuerza magnética actúa de fuerza normal o centrípeta y en el que el módulo de la velocidad permanece constante, por no existir ninguna fuerza tangencial.

Expresamos la segunda ley de Newton en la dirección normal:

Como la velocidad v y el campo B son perpendiculares, el módulo de F será igual a qvB, por lo que el radio de la trayectoria circular es:

Se puede también calcular el periodo T del movimiento:

Un dispositivo experimental basado en este fenómeno se denomina ciclotrón, su aplicación más importante es la de acelerador de partículas cargadas para bombardear núcleos atómicos y provocar reacciones nucleares. Para ello se debe combinar el campo magnético con un campo eléctrico. Otra aplicación del movimiento de una carga en un campo magnético es el espectrómetro de masas, (en la sección sabías que... de esta página encontrarás más información).

Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica

Una corriente eléctrica es un conjunto de cargas en movimiento. Conocida ya la fuerza que el campo B ejerce sobre una única carga, calculamos ahora la fuerza sobre un conductor por el que circula una corriente.

Fuerza sobre un conductor rectilíneo

Imaginemos un conductor rectilíneo de sección A por el que circula una corriente eléctrica I. La fuerza a la que se ve sometido cuando se encuentra en un campo B uniforme será la suma de la fuerza sobre todas las cargas.

Si n es el número de cargas q por unidad de volumen, y vd la velocidad de desplazamiento de las mismas, el número de cargas en un elemento de volumen de longitud l es:

por lo que la fuerza total se calculará multiplicando el número de cargas por la fuerza ejercida sobre cada una de ellas:

Definimos el vector l como un vector de módulo la longitud del conductor y dirección y sentido el que indica la intensidad de corriente. Recordando la expresión de la intensidad I podemos escribir la fuerza como:

Por las propiedades del producto vectorial se deduce que:

Cuando el campo B es paralelo al conductor, la fuerza magnética ejercida sobre el conductor es nula. .

Fuerza sobre un conductor de forma arbitraria

Si el conductor tiene sección constante pero una forma arbitraria y el campo no es uniforme, la fuerza se calcula mediante la integral, tomando un elemento diferencial de corriente según el sentido de la intensidad:

Aunque el conductor no sea rectilíneo, si el campo B es uniforme la expresión anterior se simplifica ya que se puede sacar B fuera de la integral. Entonces, según se aprecia en el dibujo, la fuerza total que B ejerce sobre

el conductor de longitud l no rectilíneo es la misma que ejercería en caso de que el conductor fuera rectilíneo y uniera los puntos inicial (a) y final (b) del conductor (l´).

ESPIRA

Un conductor cerrado plano se llama espira. Si una espira se coloca en una región del espacio en la que existe un B uniforme, se ve sometida a una fuerza dada por la expresión para la fuerza sobre un conductor no rectilíneo obteniendo en este caso que:

ya que la suma de todos los vectores dl sobre una trayectoria cerrada es nula. Es decir:

La fuerza neta ejercida por un campo B uniforme sobre un circuito cerrado de corriente es nula. .

Sin embargo la espira no permanece en reposo ya que el momento ejercido por las fuerzas magnéticas es distinto de cero. Según la ecuación de la dinámica de rotación, este hecho provoca un giro en la espira de modo que la aceleración angular adquirida sea paralela al momento de las fuerzas.

Analizamos como ejemplo el movimiento de una espira rectangular.

Espira rectangular

Sea una espira rectangular de lados a y b situada en un campo magnético B uniforme, contenido en el plano de la espira. Calculamos la fuerza neta que ejerce el campo sumando la fuerza sobre cada uno de los lados. La fuerza es nula sobre cada uno de lados a, por ser el campo paralelo al conductor.

Aplicamos la expresión para la fuerza sobre un conductor rectilíneo para cada lado b (lado 1 y lado 2):

El resultado es un par de fuerzas, (igual módulo y sentido opuesto), que ejercen un momento (τ) con respecto al centro del lado a, tal y como se muestra en la imagen frontal de la espira. Como los momentos ejercidos por ambas fuerzas tienen el mismo sentido, el módulo del momento resultante vendrá dado por la expresión:

donde A es el área de la espira.

Debido al momento resultante de las fuerzas la espira aquiere una aceleración angular paralela a dicho momento y se produce una rotación.

Pasemos a generalizar este resultado cuando el campo B no está contenido en el plano de la espira.

Momento magnético de una espira μ

Definimos una mueva magnitud, llamada momento magnético de la espira μ que es independiente del campo magnético y que sólo tiene en cuenta las características del conductor (intensidad de corriente y área). El vector área A tiene de módulo el área de la espira, dirección perpendicular al plano que la contiene y sentido el que da la regla de la mano derecha según el sentido de la corriente eléctrica:

Las unidades del μ en el S.I. son Am2

La expresión general para el momento de las fuerzas queda:

que coincide con el resultado obtenido en el ejemplo anterior cuando μ y B son perpendiculares.

El momento de las fuerzas, y por tanto, la aceleración angular dependerá del ángulo θ entre μ y B; si la espira está colocada con su momento paralelo al campo, es decir, el plano de la espira es perpendicular al campo, el momento de las fuerzas es nulo y por tanto la espira no sufre ninguna rotación.

Como resumen se puede enunciar que debido al momento de las fuerzas magnéticas:

una espira en un campo magnético B adquiere una aceleración angular, es decir, gira, de modo que su momento magnético μ tiende a colocarse paralelo al campo magnético.

Este constituye el principio de funcionamiento de los motores eléctricos.

Flujo del campo magnético. Ley de Ampère

El flujo del campo magnético se define de manera análoga al flujo del campo eléctrico.

Flujo del campo magnético

El flujo del campo magnético Φm a través de una superficie se define:

donde dS es un vector perpendicular a la superficie en cada punto.

Como las líneas del campo magnético son cerradas (no existen monopolos), el flujo a través de cualquier superficie cerrada es nulo:

Por tanto, al contrario de lo que ocurría con la ley de Gauss, el flujo del campo magnético no puede emplearse para calcular campos magnéticos.

Ley de Ampère

La ley que nos permite calcular campos magnéticos a partir de las corrientes eléctricas es la Ley de Ampère. Fue descubierta por André - Marie Ampère en 1826 y se enuncia:

La integral del primer miembro es la circulación o integral de línea del campo magnético a lo largo de una trayectoria cerrada, y:

μ0 es la permeabilidad del vacío

dl es un vector tangente a la trayectoria elegida en cada punto

IT es la corriente neta que atraviesa la superficie delimitada por la trayectoria, y será positiva o negativa según el sentido con el que atraviese a la superficie.

Campo magnético creado por un hilo infinito

Como aplicación de la ley de Ampère, a continuación se calcula el campo creado por un hilo infinito por el que circula una corriente I a una distancia r del mismo. Las líneas del campo magnético tendrán el sentido dado por la regla de la mano derecha para la expresión general del campo creado por una corriente, por lo que sus líneas de campo serán circunferencias centradas en el hilo, como se muestra en la parte izquierda de la siguiente figura.

Para aplicar la ley de Ampère se utiliza por tanto una circunferencia centrada en el hilo de radio r. Los vectores y dl son paralelos en todos los puntos de la misma, y el módulo del campo es el mismo en todos los puntos de la trayectoria. La integral de línea queda:

Empleando la ley de Ampère puede calcularse el campo creado por distintos tipos de corriente. Dos ejemplos clásicos son el del toroide circular y el del solenoide ideal (*), cuyos campos se muestran en la siguiente tabla.

Toroide circular Solenoide ideal*

(*) Un solenoide ideal es una bobina de longitud grande cuyas espiras están muy juntas. En la expresión del campo magnético que crea, n es el número de espiras por unidad de longitud.

Inducción magnética

La inducción magnética es el proceso mediante el cual campos magnéticos generan campos eléctricos. Al generarse un campo eléctrico en un material conductor, los portadores de carga se verán sometidos a una fuerza y se inducirá una corriente eléctrica en el conductor.

Cualquier dispositivo (batería, pila…) que mantiene la diferencia de potencial entre dos puntos en un circuito se llama fuente de alimentación.

La fuerza electromotriz ε (fem) de una fuente se define como el trabajo realizado por el dispositivo por unidad de carga, por lo que las unidades de fuerza electromotriz son los voltios. Cuando decimos que un campo magnético genera una corriente eléctrica en un conductor, nos referimos a que aparece una fem (llamada fem inducida) de modo que las cargas del conductor se mueven generando una corriente (corriente inducida).

Este hecho se observa fácilmente en el siguiente experimento: si acercamos o alejamos un imán a un conductor que no está conectado a ninguna fuente de fuerza electromotriz, se detecta con un amperímetro que aparece una corriente eléctrica en el conductor. La corriente desaparece si el imán se mantiene en la misma posición, por lo que se llega a la conclusión de que sólo una variación del flujo del campo magnético con respecto al tiempo genera corriente eléctrica.

La ley que explica esta interacción entre la fuerza electromotriz inducida y el campo magnético es la Ley de Faraday:

En donde Φm es el flujo del campo magnético. Por tanto, para que aparezca una fuerza electromotriz (fem) inducida debe variar el flujo del campo magnético a través de la superficie delimitada por el conductor. De la definición de flujo:

se deduce que hay tres formas de variar el flujo del campo magnético: variar el módulo del campo, la superficie que lo atraviesa o el ángulo que forman ambos.

En la siguiente animación se muestra un ejemplo: la superficie delimitada por la espira rectangular va aumentando o disminuyendo al desplazarse la varilla; se produce entonces una variación del flujo magnético con lo que se genera una corriente. El sentido de la corriente generada es tal que tiende a compensar la variación de flujo que la ha originado.

Cuando el lado móvil de la espira deja de moverse no hay variación del flujo del campo magnético, por lo que desaparece la corriente.

El signo menos de la ley de Faraday indica el sentido que va a llevar la corriente inducida y se conoce como Ley de Lenz:

El sentido de la corriente inducida es tal que tiende a oponerse a la causa que lo produce.

La ley de Lenz significa que la corriente inducida en un circuito tendrá un sentido tal que el campo magnético generado por dicha corriente compense la variación del flujo que la ha causado.

En la animación anterior, el sentido de la corriente debe ser el que aparece en la figura: al desplazarse la barra a la derecha aumenta el flujo hacia dentro, mientras que el campo magnético generado por la corriente inducida es opuesto al existente por lo que hace aumentar el flujo hacia afuera de la página. Si la varilla se desplaza hacia la izquierda se produce el caso opuesto.

También se puede mostrar la fuerza que el campo B ejerce sobre la varilla cuándo por ella circula la corriente. Resulta siempre opuesta a la velocidad de desplazamiento, ya que en caso contrario se aceleraría la varilla y no se compensaría la variación de flujo.

El fenómeno de la inducción magnética constituye el principio básico de los generadores eléctricos. En la sección Sabías que... se analiza su funcionamiento.

PROBLEMA1

Una bobina consta de 1.000 espiras circulares de alambre fino y radio 0,1 m. Si la corriente vale 10 A, hallar el campo magnético debido a: a) una sola espira y b) toda la bobina.*

Como viste en campo magnético creado por una espira circular, el campo creado por una sola espira, B, vale:

B = 2π k' i / r

Donde k' es la constante de Biot-Savart, que vale k' = 10-7 Tm/A; i es la intensidad de corriente que circula por cada espira; y r es el radio de las espiras. Entonces:

B = 2π 10-7 TmA-1 10 A / 0,1 m

B = 6,26 x 10-5 T

Como el sentido de la corriente es el mismo en todas las espiras, los campos son iguales y se suman entre sí. De modo que el campo producido por la bobina, Bb, valdrá:

Bb = 1.000 B

Bb = 6,26 x 10-2 T

Otra manera de razonar la última pregunta (tal vez rebuscada, pero en el fondo correcta) sería pensar que el enrollamiento de la bobina forma un único cable conductor integrado por 1.000 fibras. Pero un solo cable al fin, que tendrá una corriente de 10.000 A. Resulta obvio que por este camino de razonamiento llegamos al mismo resultado.

Queda claro que un modo de crear campos magnéticos grandes consiste en construir enrollamientos numerosos, de muchas vueltas.

2) Un alambre transporta una corriente de 50 A. ¿Cuál es el valor del campo magnético a 10 cm de distancia?*

Como viste en campo magnético creado por un conductor rectilíneo, el campo creado por el alambre, B, valdrá:

B = 2 k' i / r

donde k' es la constante de Biot-Savart, que vale k' = 10-7 Tm/A; i es la intensidad de corriente que circula por el alambre; y r es la distancia al alambre. Entonces:

B = 2 10-7 TmA-1 50 A / 0,1 m

B = 10-4 T

50 A es la corriente que necesitarías para mantener encendidas en forma simultánea unas 200 lamparitas de 60 W. Y el campo magnético generado por esa corriente a 10 centímetros del cable es del orden del doble que el campo magnético terrestre. Sin embargo es improbable que una brújula se vea afectada por esta corriente como sí lo hace el campo magnético terrestre... ¿por qué será?

3) En un espectrómetro de masas los iones de carbono (12 uma) describen una circunferencia de radio de 9 centímetros y los de oxígeno describen una de radio de 10,4 centímetros. Si el campo magnético en el que ingresan y la diferencia de potencial con la que se los hace ingresar son los mismos para ambos iones, ¿cuál es la masa de los iones de oxígeno?*

Como viste en Fuerza magnética sobre una carga en movimiento, la fuerza magnética sobre los iones es siempre perpendicular a la velocidad. Por lo tanto esa fuerza será de tipo centrípeta, y durante su permanencia en el campo los iones describirán circunferencias.

La dinámica de las partículas estará descripta por:

FM = m ac

donde FM es la fuerza que reciben del campo magnético, m es la masa de la partícula que sea, y ac será su aceleración centrípeta.

La aceleración centrípeta la podemos reemplazar por su equivalente:

FM = m v2 / r

donde v es la velocidad con la que se mueven dentro del campo (que es la misma con la que ingresan) y r es el radio de la circunferencia en la que giran.

Las crucecitas que indican la presencia del campo hacen referencia a

vectores normales al

plano en que están dibujados, y representan la

cola de las flechas (como huyendo de los ojos del lector).

El sentido contrario se

representa con un círculo con un punto en el

centro (la punta de la flecha).

Por otro lado, la fuerza magnética depende de estas características:

FM = q v B sen Θ

sen 90° = 1

donde q es la carga de los iones, B la intensidad del campo magnético y Θ el ángulo que forman la velocidad y el campo. En los espectrómetros de masa el campo y la velocidad de ingreso forman 90 grados, de modo que podemos prescindir de ese factor (y si así no fuera, tampoco afectaría el cálculo ya que sería el mismo ángulo para ambos iones). Si juntamos las expresiones (ambas hablan de la misma fuerza) nos queda:

q v B = m v2 / r

Cancelando una velocidad y reordenando...

r q B = m v

O, lo que es lo mismo:

r2 q2 B2 = m2 v2

Prestemos un poco de atención al dispositivo de aceleración que arroja los iones dentro del campo. La energía cinética que adquieren los iones, ½ m v2, es igual al producto de sus cargas eléctricas, q, por la diferencia de potencial, ΔV, del campo eléctrico que los acelera:

q ΔV = ½ m v2

Si combinamos esta expresión con la anterior, nos queda:

r2q B2 = 2 m ΔV

Ahora... esta expresión es válida para ambos iones: el de carbono y el de oxígeno. Por lo tanto, para cada uno escribiremos:

rc2 q B2 = 2 mc ΔV

ro2 q B2 = 2 mo ΔV

A la diferencia de potencial y a la intensidad de campo no le puse subíndice porque se trata de los mismos para ambos iones, es algo externo a ellos. Y a la carga de cada ión tampoco le puse subíndice porque es la misma para ambos: se trata de la carga de un único electrón (así funcionan los espectrómetros de masa). Si dividimos miembro a miembro las dos expresiones resulta:

rc2 / ro

2 = mc / mo

De ahí despejamos la masa del oxígeno:

mo = mc . ro2 /rc

2

mo = 12 uma . 10,42 cm2 / 9,02 cm2

mo = 16 uma

Si se quieren relacionar las unidades de masa atómica con kilogramos habrá que conocer el valor del campo eléctrico y magnético. Pero contando con una masa atómica de referencia (en este caso la del carbono) no es necesario.

Un haz de partículas de carga +e describe un círculo de 3 m de radio en un campo magnético de 0,2 T perpendicular al círculo. a) ¿Cuál es el ímpetu (cantidad de movimiento) de las partículas? b) Si las partículas son protones, cuya masa es 1,67 x 10-27 kg, ¿cuál es su velocidad?*

Este ejercicio te prepara para resolver el siguiente, el del ciclotrón. Pero veamos: como viste en Fuerza magnética sobre una carga en movimiento, la fuerza magnética sobre los iones es siempre perpendicular a la velocidad. Por lo tanto esa fuerza será de tipo centrípeta, y durante su permanencia en el campo los iones describirán circunferencias.

La dinámica de las partículas estará descripta por:

FM = m ac

donde FM es la fuerza que reciben del campo magnético, m es la masa de la partícula que sea, y ac será su aceleración centrípeta.

La aceleración centrípeta la podemos reemplazar por su equivalente:

FM = m v2 /r

donde v es la velocidad de las partículas y r el radio de la circunferencia.

Una carga eléctrica moviéndose en un campo magnético uniforme recibe una fuerza magnética que la obliga a moverse en círculos.

Por otro lado, la fuerza magnética depende de estas características:

FM = e v B sen Θ

donde e es la carga de los iones, B la intensidad del campo magnético y Θ el ángulo que forman la velocidad y el campo. Es dato del enunciado que la velocidad de las partículas y el campo forman 90 grados, de modo que podemos prescindir de ese factor. Si juntamos las expresiones (ambas hablan de la misma fuerza) nos queda:

q v B = m v2 /r

Cancelamos una de las velocidades y despejamos el impulso, I = m v

q B = m v/r

m v = e B r

I = e B r

I = 1,602 x 10-19 C . 0,2 T . 3 m

advertencia sobre

defecto de tipeo enNo me salen

I = 9,612 x 10-20 kg m/s

Acordate que T (tesla) es igual a:

T = N/Am = kg m/s²Am = kg/sC

Conociendo el impulso y la masa, el resto es pan comido:

v = I / m

v = 9,612 x 10-20 kg m/s / 1,67 x 10-27 kg

v = 5,76 x 107 m/s

6) Un cable horizontal de 100 metros de largo transporta una corriente de 10 A. ¿A qué distancia habría que colocarle otro cable paralelo que transporte idéntica corriente, para que la fuerza de atracción entre ambos sea de un kilogramo fuerza?*Ejercicio sencillo si los hay. Un caso de aplicación directa de la expresión que describe las fuerzas magnéticas entre conductores eléctricos, que podés encontrar acá.

La expresión es esta:

F/Δx = 2 k' i i' / d

donde F/Δx representa la fuerza por tramo de cable (en nuestro caso 100 m), k' es la constante de Biot-Savart, i e i' son las corrientes (en nuestro caso 10 A ambas) y d la distancia que separa los cables paralelos. Por lo tanto la distancia entre los cables:

d = 2 k' i i' Δx/ F

d = 2 10-7Tm/A 100 A2 100 m /10 N

Valor de la constante de Biot-Savart:

k'=10-

7Tm/A

d = 0,2 mm

7) Un solenoide de 30 cm de longitud consta de 1.000 espiras. Hallar el valor de campo magnético en el interior de la bobina, si la intensidad de corriente es de 2 A. El diámetro de la bobina se considera pequeño en comparación con su longitud.*

Una bobina o solenoide es una sucesión de espiras alineadas. Constituye un dispositivo excelente para generar campos magnéticos potentes y uniformes (en su interior). El campo, justamente en su interior, se calcula con la siguiente expresión:

B = 4π k' i n

donde n es el cociente entre el número de espiras, N, y la longitud de la bobina, L. En nuestro caso, en el que tenemos N = 1000 espiras y L = 0,3 m...

n = 1.000 / 0,3 m = 3.333 m-1

Por lo tanto:

B = 4π 10-7TmA-1 . 2 A . 3.333 m-1

Valor de la constante de Biot-Savart:

k'=10-

7Tm/A

B = 8,38 x 10-3 T

Un campo más de cien veces más potente que el campo magnético terrestre metido en un dispositivo pequeñito. Si en el interior se coloca una pieza cilíndrica ferromagnética (un núcleo) el campo puede crecer todavía otras cien veces más. Tal dispositivo (bobina más núcleo) se denomina electroimán.

8) Una bobina rectilínea fue construida con un hilo conductor cuyo espesor -con aislante incluido- es de 1,25 mm, y de manera tal que las espiras se tocan. Calcular la intensidad de corriente para generar un campo magnético de 2,512 x 10-2 tesla, estando la bobina en el vacío.*

La clave del ejercicio -como te habrás dado cuenta- es que el largo de la bobina, L, es igual al diámetro del cable, d, por el número de espiras, N. O sea que:

L = N . d

Tenelo presente y después retomamos el asunto.

Según la expresión de campo magnético en una bobina:

B = 4π k' i N / L

Tenemos que la intensidad de corriente estará dada por:

i = B N d / 4π k' N

i = B d / 4π k'

i = 2,512 x 10-2 T . 1,25 x 10-3 m / 4π 10-7TmA-1

Valor de la

constante de Biot-

Savart:

k'=10-

7Tm/A

i = 25 A