fisica - winder 2da

7/25/2019 Fisica - Winder 2da

http://slidepdf.com/reader/full/fisica-winder-2da 1/17

15) Hallar el C.G. de la siguiente distribución

i i

i

x m 12m2 2m 2 m 0 0 0 0 2 m 2 2m

m 12m

= =

∑ 12m1

i i

i

y m 0 0 0 0 6 m 6 2m 6 m 6 2m 36m3

m 12m 12m

= = =

∑

i i

i

zm 4 2m 4 m 4 m 24m2

m 12m 12m

= = =

∑

∴

c c cC.G. x y z 132=

16) Hallar el C.G. del siguiente cilindr!"

]

H2 2

H22! !

c 2 H H2

! !

z Hr zdzzdm z d# z r dz H2 2$

dm d# H 2r dz r dz z

ρπρ ρπ

ρ ρπ ρπ

= = = = = = =

∫ ∫

∫ ∫

∫

∫

∴

c c c

HC.G. x y z 00

2

= =

÷

1%) Hallar C.G. del c!n! de altura H y base circular &



2

c 2

zdm z d# z r dz$

dm d# r dz

πρρ ρπ

ρ ρπ= = = =

∫ ∫

∫ ∫

∫

2r

z H z dzH

πρ

2

2

r

H

r

H z dzH

÷

=

2H

!

2

z H z dz

r

H

÷

∫

2H

! H z dz

[ ]

[ ]

H H2 2 2 2 3

! !H 2 2

! 2

z H 2Hz z dz zH 2Hz z dz

H 2Hz z 2H z

= =

∫ ∫

∫

2Hz

2

H2 3 42

!H 3

3 3 3

!

z z zH 2H

2 3 4

Hz H H33

=

4 44 4

33

H 2 H 6 ' 3 1H H

32 3 4 12 12 H H1 1

12H H3 33

= = = =

c

H$

4

∴

c c c

HC.G. x y z 00

4

= =

÷

1') Hallar el C.G. de la semies(era

2 2 2

c 2 2

zdm z d# ren r dz &en r dz &en &$

dm d# r dz r dz

ρ θρπ θρπ θ

ρ ρπ ρπ

= = = = =

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

2C!s &θ

2

C!s d

&

θ θ

2C!s &θ C!s dθ θ*2 3

!*2 3

!

& C!s en d

C!s d

π

π

θ θ θ

θ θ=

∫

∫

*2 *24 4

*2 3

! ! !*2 2 2 2

!

u C!s& && u du 4 4

C!s C!s d 1 )en C!s d C!s d )en C!s d

π π

π

π

θ

θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ

= = =

∫

∫

∫ ∫

4 4

*23 33

!

& &C!s C!s 0

4 2 4en enen en 023 en en0+

2 3 3

π

π

πθθ π

= =

÷

u C!s

du )en d

du )en d

θ

θ θ

θ θ

=

=

=



c

& &3&4 4$

21 '1

33

= = =

∴

c c c

3&C.G. x y z 00

'

= =

÷

1,) -e la gura" una semies(era sólida de radi! a 24cm/ c!n! rect! sólid! de una radi!a 24cm altura ,6cm #arilla en (!rma de cilindr! de radi! 2cm y l!ngitud 40 cm u distancia del #rtice del c!n! se encuentra ubicad! el C.G. del sistema

a 24cm

,6cm

=

=

HC.G.

4

2& H

3

π=

r 2cm

l 40cm

=

=

HC.G.

22 & Hπ

a 24cm3&

C.G.'

32 &

3π

2 32

i iC.G.

2 2 3i

26 24 ,6 ,6 20 a 40 ,6 40 , 24

x 3 372 24 ,6 2 40 24

3 3

ππ π

ππ π

÷ ÷

= =

∑

∑

34%/435.01 5'/30%.,6 41/,'/1%3.,5 48603/,16.06552.6,,%cm

5%/,05.'35%, 502.654' 2'/,52.,1%, '%/361.40'4,

= = =

20) Hallar el C.G. de un sect!r de circun(erencia de un alambre.

c

xdm xd9x

7 dm xd9=

∫

∫ ∫

2

!!

! !

r C!s drC!s rd

rd r d

θθ

θ θ

λ θ θθλ θ

θ λ θ= =

∫

∫

∫ ∫

]

]

!

!

ren renθ

θ

θ θ

θθ= =

c

ren rydm ren d9 :

dm xd9

θθλ= = =

∫

∫ ∫

!d

r

θθ

[ ]

]

[ ]

!

!!

r C!s r C!s 1 r 1 C!s

d

θ

θ θ

θ θ θ

θ θθ θ

= = =

∫

∴

c c c

r 1 C!sC.G. x y z 0 0

'

θ

= =

÷



21) Hallar la distancia del !rigen ;<= se encuentra su C.G.

>1)" 1 1

2a 2ax y

π π

=

÷

>2)" 2 2

2 2x y 1 a 1 a

π π

=

÷ ÷

÷

1 2

19 9 a

2π=

1 1 2 2C.G.

1 2

a 2a a 2a1 a9 x 9 x 2 2

7a a9 92 2

π ππ π

π π

÷

÷ ÷

= =

C.G.

a7

2

C.G.

a 2u a 21 a

a2 2 :

a a 2

2 2

π π

π ππ π

÷

÷ ÷ ÷

= =

C.G.

a 2u a 21 a

42 2 : a

a a 22 2

π π

ππ ππ π π

÷

÷ ÷ ÷

= =

∴

222 2

C.G. C.G. 2

a 4 a 1 4d 7 : a

2 2 2

π π

π π

= = =

÷

÷

d 0.52a

22) 9a ?laca !m!gnea muy delgada de lad! a '%/%4cm/ ?resenta un agu@er!semicircular. a u distancia del #rtice ;-= se encuentra su centr! de gra#edad

1 1

2ax /y 0/

2

=

÷

21 a

2 2

2a 2ax /y 0/

3 2π

=

÷

2

2 a'

π=

22

1 1 2 2C.G. 2

21 2

aa 0 0

x x '7 0 a

a'

π

π

÷

= = =

2 2

1 1 2 2C.G. 2

21 2

2 2 2a a a a a

y y 3 2 ' 42 ' 3 2 : '%/%4 50cm

6 'aa'

π

ππ

ππ

÷ ÷

= = = ≈

23) u distancia del lad! ;2a= se encuentra el centr! de gra#edad de la ?laca

!m!gnea muy delgada cuy!s b!rdes s!n arc!s de circun(erencia a 13/43cm



1 1

ax /y a/

2

=

÷

21 2a

2 2

4 4x /y 1 a/ 1 a

3 3π π

=

÷ ÷

÷

22 a

4

π=

3 3

4 4x /y 1 a / 1 a

3 3π π

=

÷ ÷

÷

22 a

4

π=

22

1 1 2 2 3 3C.G. 2 2

21 2 3

a 4 42a 0 1 1 a

x x x 4 3 37 0

a a2a

4 4

π

π π

π π

÷

÷ ÷

= = =

22

1 1 2 2 3 3C.G. 2 2

21 2 3

a a 4 42a 1 1 a

y y y 10 32 4 3 3 : 13/43 3cm

3 4a a2a

4 4

π

ππ π

ππ π

÷÷

÷ ÷

= = = ≅

24) Hallar la !rdenada :cm del centr! de masa de ?laca !m!gnea ue ?resenta unagu@er! ?ara el cas! a 4& 'cm=

a 4& 'cm=

a&4

Ag60+

a

2

=

3 a

2

" 1x 0

1 a a 3 3a 3ay a2 3 2 6 6

= = =

21

1 3 3 a a a

2 2 4

= =

÷

" 2x 0

2y 0

22 2

2 a a a 1616 16π π

=



22

1 1 2 2

21 2 2

3 a0 a 0 16

4 16x x 7cm 0

3 aa 16

4 16

π

π

÷

÷

= = =

232

1 1 2 22

1 2 2 2

3 3 33 3 3 aaa a 0 16

y y 6 46 4 16 :cm 3 a 4 3 16

a 16 a4 16 16

π

ππ

÷

= = =

163 3 3 '

2 3 1 '6 4 2/2cm4 3 16 4 3 16π π

= = ≅

25) Hallar la altura del c!n! c!m?act! ?ara ue el centr! de gra#edad >C.G.) del sólid!

se encuentre en el centr! de la base del c!n! a ' 6cm

1 1 2 2

1 2

1 ' 6 4 6

y y 3 4

01 ' 63

÷

= = =

236 6 0

12 =

2 6 2 ' 2 2 2 3 3 2 2 3 4'× × × = =

∴ 4'cm

26) Hallar el ?r!duct! de las c!!rdenadas del centr! de masa >7cm . :cm) del alambre

m!strad!. i 2& 2π



2 2

2 23

2 2

2 2

B+ 9 x y 9x 9y

& & & & &1

2 2 2 2

& 3& & & &2

2 2 2 2

2&3 & & & 2&

1 3 A!tal 2 & 1 & 2&

4 4

π ππ

π ππ

π π

π

π π

÷ ÷

÷ ÷

÷

22

2

9x 2 &7cm & 2 &

9 2 &C.G.

9y 2& & :cm

9 2 &

ππ

π

π π

= = = =

=

= = =

∑

∑

∑

∑

2 2& &C.G. 7cm:cm &

π

π π= = = = π 2

2%) ara u #al!r del Dngul! ; θ =/ el centr! de gra#edad del alambre !m!gne! muydelgad! se ubica en el !rigen.

1 2

2&x /y 0/

π

=

÷

19 &π

2 2

aen aC!sx y & /

2 2

θ θ

=

÷

29 a

C.G. C.G.C.G. 7 /: 0/0=

1 1 2 2C.G.

1 2

a)en0 & & ax 9 x 9 27 0

9 9 & a

θπ

π

÷

= = =

aen&2

θ⇒ = E>1)

1 1 2 2C.G.

1 2

2& aC!s& a

y 9 y 9 2 : 09 9 & a

θπ

π

π

= = =

22 a

2& C!s 02

θ =

2 24& a C!sθ E>1)

>1) en >2)2

2a4 en a C!s

2

θ θ

=

÷

2 2 2a en a C!sθ θ

21 C!s C!sθ θ=

2C!s C!s 1 0θ θ =



12

1 1 4 1 5C!s

2 2θ

± ±

= =

1 1

2 2

1 5C!s 5/'2+

2

1 5C!s 1/62+

2

θ θ

θ θ

= → ≅

⇒

= → ≅

DINÁMICA DEL CENTRO DE GRAVEDAD

i d!s masas ! cuer?!s se encuentran en m!#imient! relati#!/ ent!nces el centr! degra#edad se enc!ntrarD en m!#imient! cuyas ecuaci!nes s!n las siguientes"

F ect!r ?!sición del C.G.

1 1 2 2 n nc

m r m r ... m rr

=

ur

F 9a aceleración del C.G.c 1 1 2 2 n n

c

dr m m ... m

dt

= =

uur

F 9a aceleración del C.G.

c 1 1 2 2 n nc

d m a m a ... m aa

dt

= =

uur

F egunda 9ey de Bet!n

c

Ia

uur⇒

cI a

IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

IMPULSO (I): e dene c!m! el e(ect! de una (uerza s!bre un determinad! cuer?! enun tiem?! determinad!. atemDticamente el im?uls! se dene de la siguiente manera"

I m a×d#

I mdt



! !

t

t Idt md#

∫

123 >F)

J Idt∫

ó J Idt∫

CANTIDAD DE MOVIMIENTO (P): -en!minad! tambin m!ment! lineal/ se denec!m! el ?r!duct! de la masa ?!r la #el!cidad/ ademDs se determina ?!r el segund!miembr! de la ecuación >F)/ ! sea"

!

md

∫

→

]

!

! m m =

m

Kl m!ment! lineal de un sistema de cuer?!s se !btiene ?!r" i ∑

∴ J

Choque de Part!u"a#

Ks el im?act! de 2 ó mDs cuer?!s y ?ueden ser c!ues elDstic!s e inelDstic!s.

I$ Choque E"%#t&!oKs cuand! en el c!ue se c!nser#a la cantidad de m!#imient! y la energLacintica/ siend! las ecuaci!nes"

i) ntes -es?usKc Kc∑

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1m m m m

2 2 2 2µ µ=

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2m m m mµ µ=

>1)

ii) ntes -es?us ∑

1 1 2 2 1 1 2 2m m m mµ µ= >2)

II$Choque I'e"%#t&!oKs cuand! en la c!lisión/ sól! existe la c!nser#ación de la cantidad de m!#imient! yademDs des?us del im?act! l!s cuer?!s se mue#en @unt!s.

ntes -es?us ∑

1 1 2 2 1 2m m m m µ=

K@em?l!s"01) Mna (uerza 3 2tI 4t 2e B=

se a?lica s!bre un cuer?!/ cual es el im?uls! ue

?r!duce la (uerza en el ?rimer segund!.

1 3 2t

!J Idt 4t 2e dt= =

∫



142t

!

4t 2e

4 2

=

[ ]

14 2t

!t e

=

[ ] [ ]

4 2 41 e 0 1=

22 e B eg=

02) 9a (uerza23 2 t

I 4t t i 5te @ B=

ur r r/ se a?lica s!bre un cuer?!. Calcular el im?uls!

ue !rigina esta (uerza en el inter#al! del tiem?! de 2 a 3 seg.

23 3 3 2 t

2 2J Idt 4 t i 5te @ dt

= =

∫

r ur r r

2

34 3

t

2

t t 54 i e @

4 3 2

=

r r

2 23 3

4 3 4 23 5 2 53 i e @ 2 i e @3 2 3 2

= ÷ ÷÷ ÷

r r r r

J %1/4i 0/046@

03) 3 mó#iles de 2/ 4/ y 5 Ng se encuentran en m!#imient!/ c!n #el!cidadesres?ecti#as"

1 4i 3@ m*Ng 2 '@ m*Ng 3 6i 12@ m*Ng

Hallar la magnitud y dirección de la cantidad de m!#imient!.

1 2 3

1 1 2 2 3 3 m m m

2 4i 3@ 4 '@ 5 6i 12@

'i 6@ 32@ 60i 60@ 3'i 22@ =

2 2 3' 22 44 ≅

ur

1 22 Aan 30+

3'θ

= ≅

÷

04) Mna (uerza2 1

I 3t t 5 B4

/ actOa en su cuer?! de 2Ng. Calcular"

a) Kl im?uls! en l!s 2 ?rimer!s segund!sb) 9a #ariación de la cantidad de m!#imient!c) 9a #ariación de la #el!cidad

a)2 2

0

1J Idt 3t t 5 dt

4

= =

÷

∫

33t

3

2 223

0

2t5t 2

4 2

=

4

15 2 ' 10 1'/5 B seg

22 = =

b) 2 2 J 1'/5 Ng m *seg=

c) ]

!!

!

J m d# m# m m= = =

1'/5 2



∴

1'/5 P,/25 m*seg

2

05) 2 cuer?!s de 2 y 3 Ng se mue#en en lLnea recta en la misma dirección c!n#el!cidades res?ecti#as de 6 y 4 m*seg. -eterminar las #el!cidades des?us de lac!lisión elDstica.

i) ntes -es?usKc Kc∑

2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2m m m mµ µ=

2 2 2 21 22 6 3 4 2 3µ µ=

2 21 2120 2 3µ µ

E>1)

ii) ntes -es?us ∑

1 1 2 2 1 1 2 2m m m mµ µ=

1 22 6 3 4 2 3µ µ= E>2)

&es!l#iend!" 2 21 22 3 120µ µ =

E>1)

21 22 3 24µ µ =

E>2)

-e >2) 1 22 24 3µ µ

21

24 3

2

µµ

=

&eem?lazand! en >1)"2

222

24 32 3 120

2

µµ

=

2222

'1' 3 120

2

µµ

=

÷

2 22 2

3' 40

2 µ µ =

2 2 22 23 64 16 2 '0µ µ µ =

2 22 2 21,2 4' 3 2 '0µ µ µ =

22 2

2 2

2 2

2

5 4' 112 0

4 20

5 24 2'

2'

µ µ

µ µ

µ µ

µ

=

→

→

2 24 5 2' 0µ µ =

2 4 0µ = 2 4µ =

25 2' 0µ = 2

2'

5µ =



F i" 2 4µ = →

1

24 3 46 m*s

2µ

= =

F 2

2'

5µ = →

1

2'24 3

120 '4 3653/6 m*s

2 10 10µ

÷

= = = =

06) Calcular la #el!cidad des?us del im?act! y el #al!r del Dngul! en el grDc!

siguiente"

-

-

x x

y y

=

=

∑ ∑

∑ ∑

F -x x∑

F -y y∑

1 1 1 2 xm m m µ 2 2 1 2 ym m m µ

x2 ' 2 3 µ y3 5 2 3 µ

x

16

5µ = y

153

5µ = =

⇒

x y

16i @ i 3@

5µ µ µ =

r r r r r

2 216 3 4/3, m*seg5

µ

= =

÷

1 3 Aan 43/2+

16

5

θ

= ≅

÷

÷

0%) Mn cuer?! ex?l!si#! se mue#e a 1' Nm*/ ciert! ?unt! de la trayect!ria/ estecuer?! ex?l!si!na en 3 (ragment!s iguales. Mna ?rimera sigue la misma dirección de50 Nm*/ el segund! c!n una dirección de 60+ ?!r encima del ?rimer! y el tercer(ragment! se mue#e ?!r deba@! del ?rimer! a 60+. Hallar las #el!cidades de l!s

(ragment!s des?us de la ex?l!sión.

-

-

x xy y

=

=

∑ ∑

∑ ∑



F

2x 1 3x

m m m mm 1'

3 3 3 3µ µ µ = 2

mC!s60+

3µ

m50

33 C!s60+µ

2 3

1 154 50

2 2µ µ

=

÷

÷

2 3 'µ µ = E>1)

F 2 3

m m0 en60+ en60+

3 3µ µ 2 3 0µ µ = E>2)

&es!l#iend! >1) y >2) 2 3 'µ µ = E>1)

2 3 0µ µ = E>2)

2 3µ µ

Kn >1)" 2 3 'µ µ =

32 'µ =

3 4 Nm*µ =

∴ 2 4 Nm*µ =

0') Mn mó#il de masa 6 Ng y #el!cidad de 4 m*seg se mue#e acia la dereca y c!cac!ntra un cuer?! de 3 Ng y #el!cidad de 6 m*seg y se mue#e acia la izuierda.-es?us del c!ue amb!s cuer?!s se mue#en @unt!s. Hallar la ?rdida de energLacintica.

- ∑

1 1 2 2 1 2m m m m µ=

6 4 3 6 6 3 µ=

24 1'0/6% m*seg

,µ

= =

2 22 2 1 2

1 1 1 1Kc m 6 4 3 6 102@

2 2 2 2

= =

22- 1 2

1 1Kc m m 6 3 0/6% 2/02@

2 2µ = =

- Kc Kc Kc 2/02 102 ,,/,'@= = =

0,) Mna es(era de masa ;m= y #el!cidad ;= c!can elDsticamente c!ntra una es(era demasa ;= ue se encuentra en re?!s!. Hallar la relación de la energLa transmitida a!tra es(era c!n res?ect! a la energLa inicial.



- ∑

"

1m 0 1 2m µ µ 1 1 2m m µ µ= E>1)

-Kc Kc∑

"

221m 0

2 21 2m µ µ

2 2 21 1 2m m µ µ=

E>2)

-e >1)" 1 21

m

m

µµ

=

Kn >2)"2

2 21 21 2

m m m

m

µµ

=

÷

22 2 21 1 2 2m m mµ µ

2 21m 2 2

1m 2 2 21 2 2 22m mµ µ µ

22µ

1 22m µ=

m

12

2m m

µ =

F

2 2 22 1 1

A 2 2

2m 4m 1 1 1Kc

2 2 m 2 mµ

= = =

÷

F2

1

1Kc m

2

∴

A

1

2KcKc =

2 214m

2

m1

2

21m

24m m

=

10) 2 ?artLculas de masa ;m= y ;3m= se a?r!ximan una a la !tra del e@e ;x= c!n las

mismas #el!cidades iniciales ; ! =. 9a masa ;m= se des?laza acia la izuierda y la

masa ;3m= acia la dereca/ de m!d! ue ;m= se mue#e acia aba@! des?us delc!ue en un Dngul! rect! res?ect! a su dirección inicial.

a) Kncuentre las #el!cidades nales de las 2 masas

b)CuDl es el Dngul! ;θ = al cual se des#La ;3m=

F x xJnicial Iinal

2! ! ( 3m i m i 3m C!s iθ=

2! ( 2 3 C!s

θ E>1)

F Jnicial Iinal

2 1Q 0 3m en @ m @θ



2 1Q 0 3 en @ @θ E>2)

1

!(

2 3en

3C!sθ

θ

=

÷

i" i ( N NK K

2 1

2 2 2 2! ! Q

1 1 1 13m m 3m m

2 2 2 2

=

2 1

2 2 2! Q

3 12

2 2

2 2 2! Q 4 3

E>3)

Kn" >3)2!4 3 !2

3

22

!2 AanC!s

θθ

÷

124 4

2!

,

22! 22

en4

C!sC!s

θ

θθ

4 2 4C!s θ = 4

3

2en θ

2 2 1C!s en

3θ θ =

2 2 11 )en )en

3θ θ =

2 11 2en

3θ =

2 12en 1

3θ=

2 22en

3θ =

1 3en

3 3θ = =

6C!s

Rθ =

F3 1

Aan3 2

θ = =

⇒

1( ! !

1 2 1/41

2=

F2(

2

3=

!

6

3

2

3⇒

2

!( !

2 0/'16

6

3

= =

∴

3arcen

3θ

=

÷

DINÁMICA DEL MOVIMIENTO ANGULAR

Kn el m!#imient! circular >!#. r!taci!nal) las ecuaci!nes de !#. 9ineal tambin secum?len/ c!nsiderand! l!s ?arDmetr!s angulares en lugar de l!s ?arDmetr!s lineales.



Moe'to A'u"ar (L)

Ks una magnitud as!ciada al m!#imient! angular/ y se dene c!m! el ?r!duct! del#ect!r ?!sición y la cantidad de m!#imient!.

-!nde" r xi y@ zN

F ara una s!la ?artLcula"

i @ N

9 m x y x

x y z

=

ur

F ara un sistema de ?artLculas"

1 1 2 n 1 1 2 2 n n9 9 9 9 ... 9 r r ... r = = × × ×

9 ri i×

Re"a!&*' e'tre L(Moe'to A'u"ar) + M (Moe'to de ,uer-a)

r I×

9 r ?×

9 r m×

d9 d drr m m

dt dt dt× ×

r ur ur

S

d9

r ma m r Idt = × × = ×

r r ur ur r ur

d9

dt =

uur

Moe'to A'u"ar (L) e' Moe'to C&r!u"ar

9 r ?×

9 r m×

rm en,0+ → rH

rm r 2

r m

29 mr 9 JH

Moe'to de I'er!&a (I)

A!d! cuer?! c!n m!#imient! r!taci!nal ?!see un m!ment! de inercia dada ?!r"

2J mr

F i se tiene un sistema de cuer?!s ?untuales/ el m!ment! de inercia serD"

9 r ? r m mr × = × = ×

!ment! lineal ! cantidad de m!#imient!

ect!r ?!sición

!ment! de inercia

&adi! de la r!tación



2 2 2 2i i 1 1 2 2 n nJ mr m r m r ... m r=

F i el cuer?! en r!tación es c!ntinu! ?!r c!nsiguiente el m!ment! de inercia sedetermina ?!r"

2J r dm

∫

2 2r x y

2 2 2r x y

⇒

2 2J x y dm

2x

c!n res?ect! a 7

J y dm∫

2y

c!n res?ect! a :

J x dm∫

2 2J x dm y dm

∫

∴ y x zJ J J J =

F ara cuer?!s lineales"

2

J r d9λ∫F ara cuer?!s su?erciales" 2J r dτ∫

F ara cuer?!s #!lumtric!s" 2J r dρ∫

fisica - winder 2da

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