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Pamplona Centro de Educación Virtual y a Distancia Programas de Educación a Distancia Margarita Rico Villamizar Rubén Robayo Medina Luis Gustavo Araque 43 Años Formando Colombianos de Bien Álvaro González Joves Rector María Eugenia Velasco Espitia Decana Facultad de Estudios Avanzados, Virtuales, a Distancia y Semiescolarizados Luis Armando Portilla Granados Director Centro de Educación Virtual y a Distancia Universidad de Física I (Acción Formación y Organización de La Materia I)

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Pamplona

Centro de Educación Virtual y a Distancia

Programas de Educación a Distancia

Margarita Rico Villamizar Rubén Robayo Medina

Luis Gustavo Araque

43 Años Formando Colombianos de Bien Álvaro González Joves Rector María Eugenia Velasco Espitia Decana Facultad de Estudios Avanzados, Virtuales, a Distancia y Semiescolarizados Luis Armando Portilla Granados Director Centro de Educación Virtual y a Distancia

Universidad de

Física I (Acción Formación y Organización de La Materia I)

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Tabla de Contenido Presentación UNIDAD 1. Magnitudes Físicas y Unidades de Medidas

Horizontes Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 1.1 MEDICIÓN 1.2 MAGNITUDES FÍSICAS FUNDAMENTALES Y UNIDADES DE MEDIDAS

1.2.1 Longitud 1.2.2 Masa 1.2.3 Tiempo 1.2.4 Sistemas de Unidad 1.2.5 Submúltiplos y Múltiplos

1.3 NOTACIÓN CIENTÍFICA 1.3.1 Conversión de Unidades

Proceso de Comprensión y Análisis UNIDAD 2: Vectores

Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 2.1 CANTIDADES ESCALARES 2.2 CANTIDADES VECTORIALES 2.3 SUMA Y RESTA DE VECTORES 2.4 VECTORES UNITARIOS 2.5 MULTIPLICACIÓN DE VECTORES

2.5.1 Multiplicación de Vectores por un Escalar 2.5.2 Multiplicación Escalar de Vectores 2.5.3 Multiplicación Vectorial de Vectores

2.6 PRODUCTOS TRIPLES Proceso de Comprensión y Análisis

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UNIDAD 3: Estática Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 3.1 PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO 3.2 SEGUNDA CONDICIÓN DE EQULIBRIO 3.3 CENTRO DE GRAVEDAD 3.4 MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Proceso de Comprensión y Análisis

UNIDAD 4: Cinemática

Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 4.1 CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO EN UNA DIRECCIÓN

4.1.1 Velocidad 4.1.2 Aceleración 4.1.3 Movimiento Uniforme Acelerado 4.1.4 Caída Libre de los Cuerpos

4.2 MOVIMIENTO EN EL PLANO 4.2.1 Movimiento Parabólico 4.2.2 Movimiento Circular Uniforme

Proceso de Comprensión y Análisis UNIDAD 5: Dinámica

Horizonte Proceso de Información 5.1 FUERZA 5.2 PRIMERA LEY DE NEWTON

5.2.1 Interpretación de la Primera Ley de Newton 5.3 TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON 5.4 SEGUNDA LEY DE NEWTON 5.5 UNIDADES 5.6 METÓDICA RECOMENDABLE PARA LA SOLUCIÓNDE PROBLEMAS Y

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 5.7 FUERZAS NORMALES. 5.8 FUERZAS DE FRICCIÓN O DE ROZAMIENTO Proceso de Comprensión y Análisis

UNIDAD 6: Conservación de la Energía

Horizonte Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información

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6.1 TRABAJO 6.2 TRABAJO Y ENERGÍA 6.3 ENERGÍA POTENCIAL Proceso de Comprensión y Análisis

UNIDAD 7: Maquinas Simples

Núcleo Temático y Problemático Proceso de Información 7.1 DIVERSOS TIPOS DE MAQUINAS SIMPLES

7.1.1 Plano Indicado 7.1.2 Torno 7.1.3 Palancas 7.1.4 Poleas

BIBLIOGRAFÍA GENERAL

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Presentación La educación superior se ha convertido hoy día en prioridad para el gobierno Nacional y para las universidades públicas, brindando oportunidades de superación y desarrollo personal y social, sin que la población tenga que abandonar su región para merecer de este servicio educativo; prueba de ello es el espíritu de las actuales políticas educativas que se refleja en el proyecto de decreto Estándares de Calidad en Programas Académicos de Educación Superior a Distancia de la Presidencia de la República, el cual define: “Que la Educación Superior a Distancia es aquella que se caracteriza por diseñar ambientes de aprendizaje en los cuales se hace uso de mediaciones pedagógicas que permiten crear una ruptura espacio temporal en las relaciones inmediatas entre la institución de Educación Superior y el estudiante, el profesor y el estudiante, y los estudiantes entre sí”. La Educación Superior a Distancia ofrece esta cobertura y oportunidad educativa ya que su modelo está pensado para satisfacer las necesidades de toda nuestra población, en especial de los sectores menos favorecidos y para quienes las oportunidades se ven disminuidas por su situación económica y social, con actividades flexibles acordes a las posibilidades de los estudiantes. La Universidad de Pamplona gestora de la educación y promotora de llevar servicios con calidad a las diferentes regiones, y el Centro de Educación Virtual y a Distancia de la Universidad de Pamplona, presentan los siguientes materiales de apoyo con los contenidos esperados para cada programa y les saluda como parte integral de nuestra comunidad universitaria e invita a su participación activa para trabajar en equipo en pro del aseguramiento de la calidad de la educación superior y el fortalecimiento permanente de nuestra Universidad, para contribuir colectivamente a la construcción del país que queremos; apuntando siempre hacia el cumplimiento de nuestra visión y misión como reza en el nuevo Estatuto Orgánico: Misión: Formar profesionales integrales que sean agentes generadores de cambios, promotores de la paz, la dignidad humana y el desarrollo nacional. Visión: La Universidad de Pamplona al finalizar la primera década del siglo XXI, deberá ser el primer centro de Educación Superior del Oriente Colombiano.

Luis Armando Portilla Granados. Director CEVDUP

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UNIDAD 1 Magnitudes Físicas y Unidades de Medida

Horizontes • Distinguir las cantidades físicas fundamentales.

• Conocer los diferentes sistemas de unidades.

• Expresar resultados de mediciones en distintas unidades. Núcleos Temáticos y Problemáticos Medición

Magnitudes Físicas Fundamentales y sus Unidades de Medida

Notación Científica

Conversión de Unidades Proceso de Información La física es esencialmente una ciencia experimental y por lo tanto, en gran medida una ciencia empírica. Es la observación de los fenómenos de la naturaleza, lo que ha aportado gran parte (prácticamente todo) del conocimiento que se tiene del mundo físico. Así pues, la prueba definitiva de cualquier teoría física es su concordancia con las observaciones y mediciones de los fenómenos físicos. De manera que podemos afirmar que la física es una ciencia de la medición. No obstante en la vida cotidiana, también tienen lugar continuamente muchos hechos relacionados con las mediciones, es muy frecuente plantearse o escuchar inquietudes como las siguientes:

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• ¿Cuánto hay de Pamplona a Málaga? (Se entiende que se preguntó la distancia o longitud del camino entre las dos ciudades).

• ¿Cuántas fanegadas mide la finca de Juan? (Se pregunta el área del terreno)

• ¿Cuánto tiempo se gasta para ir en carro de Bucaramanga a Santa Marta? (Se supone piden horas y su fracción).

• ¿Cuántos metros cuadrados tiene el apartamento que vas a comprar? (Se pide el área del apartamento).

• ¿Qué pesa más: un elefante o una ballena? (Se hace alusión a cuál mamífero tiene más masa?

• ¿Qué capacidad tiene un tanque (de almacenamiento de agua) eternit? (Se pide volumen agua que puede contener)

• ¿Qué temperatura tiene Bucaramanga, Pamplona y Tunja?

• ¿Qué ciudad es más caliente: Cúcuta o Barranca? (Indirectamente se pide la temperatura promedio de cada ciudad?

• ¿A cómo esta el kilo o la libra de carne, papa etc.? (Se pide el precio por unidad de masa, siendo la unidad de masa el kilogramo)

• ¿A cómo se cotiza la libra de café en el mercado internacional? (Se pide el precio por unidad de masa, tomando la libra como unidad) ¿A cómo se compra el saco de café de 60 kilos?

• ¿Por qué el nadar bajo el agua se siente cierto malestar? (Se hace alusión a la presión del agua sobre el cuerpo?

• ¿Cuál es la masa de la tierra, la masa de un átomo, de una molécula? En las anteriores preguntas hay involucrados dos hechos; el de efectuar mediciones o por lo menos hacer apreciaciones y aproximaciones, y el expresar los resultados mediante números apropiados, que deben ir acompañados de lo que llamamos unidades. Y ¿Qué es medir?, ¿Qué es medición? 1.1 MEDICIÓN Se puede definir medición como la técnica mediante la cual se asigna un número a una propiedad física, como resultado de una comparación de dicha propiedad con otra similar tomada como patrón, la cual se ha adoptado como unidad. Medir una cantidad es pues, compararla con otra tomada como patrón de referencia. Dicho patrón se denomina unidad de la cantidad. Así las cosas para

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responder las cuestiones planteadas se tendrían que efectuar mediciones de diferentes cantidades físicas con los aparatos adecuados como por ejemplo:

• Mediciones de intervalos de tiempo (relojes o cronómetros).

• Mediciones de masa (balanza, romanas, básculas etc.).

• Mediciones de temperatura (termómetros).

• Mediciones de presión (manómetros).

• Mediciones de longitud para calcular: el área de una superficie plana

• Mediciones de longitud, para el cálculo de volúmenes. Mediciones de Longitud para el Cálculo de Volúmenes

Al responder las preguntas iniciales en su orden tendremos las siguientes cantidades o magnitudes físicas.

• Longitud: expresada en m o Km.

• Áreas: expresadas en m*m = m2.

• Masa: expresada en kilogramos (gramos o según el caso en toneladas).

• Tiempo: expresado en segundos (minutos u horas).

• Temperatura: expresado en grados centígrados °C, o grados Farengeith °F,

Largo

Ancho

V= Largo * Ancho * Espesor

espesor h

V = π R2h = área *altura

Volumen del cilindro requiere dos longitudes, h y R

A = π R2R

Para el área del circulo se requiere medir una longitud, el radio.

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• Presión: expresado en milímetros de mercurio, en atmósferas, en newton x m2. u otras.

La anterior situación es sólo una muestra de algunos casos sencillos de mediciones de algunas de las magnitudes físicas fundamentales. También podemos considerar a manera de ejemplo sencillo que describiendo los procedimientos empleados para medir longitud y tiempo, se puede a partir de ello, definir la velocidad de un cuerpo en movimiento como la longitud o el espacio recorrido dividida entre el intervalo de tiempo que dura el recorrido.

V=

1.2 MAGNITUDES FÍSICAS FUNDAMENTALES Y SUS UNIDADES DE

MEDIDA 1.2.1 Longitud Al considerar la localización de los puntos materiales, tiene gran significado la medición de la distancia entre cualquier par de puntos mediante un patrón de longitud. Esta distancia se determina mediante el número de veces que el patrón de longitud esté contenido en el segmento de recta que une los puntos. Así por ejemplo, si se afirma que una viga tiene 20 metros de longitud, esto indica que la viga es 20 veces más larga que un objeto cuya longitud se ha definido como un metro; siendo el metro, el patrón o unidad de longitud. 1.2.2 Masa Se define la masa como un coeficiente positivo, característico de cada partícula o cuerpo, que determina su comportamiento al interactuar con otros cuerpos. No debe confundirse la masa de un cuerpo dado con su peso, puesto que los dos son magnitudes diferentes. Así el peso es la fuerza con que la tierra y cualquier cuerpo colocado en su superficie o su vecindad, se atraen mutuamente. La fuerza es una Magnitud Vectorial. La masa es una Magnitud Escalar. Rigurosamente hablando se distinguen dos tipos de masa: masa inercial y masa gravitacional, la primera se involucra cuando se emplea la segunda Ley de Newton, y la segunda cuando se trabaja con la Ley Universal de la Gravitación de Newton.

X metros (m)

t segundos(s)

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Hasta la fecha no se le ha encontrado diferencia en los valores de dichas masas para un mismo cuerpo, es decir, la masa inercial es idénticamente igual a la masa gravitacional. 1.2.3 Tiempo La unidad de tiempo es importante para medir la duración de los diferentes eventos y fenómenos que ocurren en el universo y en particular en la tierra, en nuestra vida diaria. En la determinación del patrón del tiempo, juegan un papel preponderante los procesos o fenómenos periódicos, o sea aquellos eventos que se repiten a intervalos regulares de tiempo, como la rotación diaria de la tierra, o el movimiento de un péndulo, o las vibraciones de los átomos en un sólido como el cuarzo o el cesio, etc. Actualmente se define el segundo como 9192631770 períodos de cierta vibración del átomo de Cesio. Dos relojes de estos coinciden entre sí con una precisión de una parte en 1x10, o alrededor de un segundo en un millón de años, lo cual quiere decir que tales relojes se adelantan o se retrasan uno respecto al otro un segundo cada millón de años. 1.2.4 Sistemas de Unidades Para evitar el caos con la proliferación de unidades (puesto que se tienen pulgadas, pies, libras, slugs etc), se han definido en la mecánica tanto las cantidades fundamentales, como los sistemas de unidades. Se mencionarán los más importantes o los más utilizados, a saber: las establecidas y aprobadas en la Conferencia General de Pesas y Medidas, la cual definió al Sistema de Unidades Métrico Decimal como Sistema Internacional, S.I. (o antiguo M.K.S.), el sistema cegesimal o C.G.S. y el sistema inglés. En la tabla se dan los diferentes sistemas de unidades y los respectivos patrones para las cantidades fundamentales, que son las de longitud, masa y tiempo.

Sistema

Patrón

S.I Antiguo MKS

Cegesimal CGS

Inglés Técnico (poco usado)

Longitud Metro (m) Centímetro (cm) Pie Metro (m)

Masa Kilómetro (Kg) Gramo (gr) Slug Unidad Técnica de Masa

Tiempo Segundo (s) Segundo (s) Segundo (s) Segundo (s)

TABLA 1: Sistemas de Unidades

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Han existido hasta nuestros días, varios patrones de longitud, masa y tiempo, de manera que se remitirá al lector interesado en esa parte histórica a las referencias bibliográficas. Actualmente la longitud del metro patrón ha sido adoptada como la distancia que recorre la luz en el vacío, en el intervalo de tiempo dado por 1/299792458 seg. 1.2.5 Submúltiplos y Múltiplos Se utilizan muy a menudo submúltiplos y múltiplos de los patrones del S.I., por ejemplo algunos múltiplos y submúltiplos del metro son: 1 decímetro = 1/10 m = 0.1 m = (1) (10-1 m)

1 centímetro = 1/100 m = 0.01 m = (1) (10-2 m)

1 milímetro = 1/1000 m = 0.001 m = (1) (10-3 m)

1 micrómetro= 1/1000000 m = 0.000001 m = (1) (10-4 m) Algunos Múltiplos 1 Decámetro = 10 m = (1) (10 m) = 101 m

1 Hectómetro = 100 m = (1) (100 m) = 102 m

1 Kilómetro = 1000 m = (1) (1000 m) = 103 m

1 Gigámetro = 1000000 m = (1) (1000000 m) = 106 m Existen más múltiplos y submúltiplos en el Sistema Internacional de unidades con prefijos que se dan a continuación:

PREFIJO SIMBOLO Factor de Multiplicación deci d 10-1=0.1 centi c 10-2=0.01 mili m 10-3=0.001

micro µ 10-6=0.000001 nano n 10-9=0.000000001 pico p 10-12=0.000000000001

femto f 10-15=0.000000000000001 atto a 10-18=0.000000000000000001

TABLA 2: Submúltiplos

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PREFIJO SIMBOLO Factor de Multiplicación Deca D 101= 10 Hecto H 102 = 100 Kilo K 103 = 1000

Mega M 106 = 1000000 Giga G 109 = 1000000000 Tera T 1012= 1000000000000 Peta P 1015 = 1000000000000000 Exa E 1018 = 1000000000000000000

TABLA 3: Múltiplos 1.3 NOTACIÓN CIENTÍFICA Para darle sentido a lo anterior damos como referencia algunas longitudes, intervalos de tiempo, y masas que se han medido o estimado. Se escribe una cantidad en notación científica cuando se expresa como un número comprendido entre uno y diez multiplicado por una potencia de diez positiva o negativa, ejemplo 3.5x10 "4. La notación científica es útil para expresar en forma cómoda y compacta cantidades que son muy grandes o muy pequeñas. En la columna tercera de las tablas 2 y 3 se muestra la representación de las potencias de 10. Algunas Longitudes Medidas • Radio de nuestra galaxia: 6 (1019) metros.

• Distancia a la estrella más cercana: 4.3 (1016) metros.

• Radio del Sol: 6.9. (108) metros.

• Tamaño del virus de la poliomielitis: 1.2 (10-8) metros

• Radio de un átomo de hidrógeno: 5 (10-11) metros

• Radio efectivo de un protón: 1.2 metros. Algunos Ejemplos de Intervalos de Tiempo Medidos • Edad de la Tierra: 1.3 (1017) segundos

• Edad de la pirámide de Cepos: 1.5 (1016) segundos

• Rotación de la Tierra alrededor de su eje: 8.6 (104) segundos;

• vida media del neutrón libre: 7 (102) segundos.

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Algunos Ejemplos de Valores de Masa Medidos • Masa de la Tierra: 5.98 (1024) Kg.

• Masa del Sol: 6 (129) Kg.

• Masa de toda el agua de los océanos: 1.4 (1021) Kg.

• Masa de un átomo de uranio: 4 (10-25) Kg.

• Masa de un protón: 1.7 (10-27) Kg.

• Masa de un electrón: 9.1 (10-31) Kg.

1.3.1 Conversión de Unidades Como casi todo estudiante tiene en mente, la física se asocia con una gran cantidad de fórmulas, por ejemplo:

• h = 1/2 g * t2 (1.1) Para la caída libre.

• V = V0 + a*t (1.2) la velocidad final en el movimiento uniformemente variado.

• F = e * V * Bsenθ (1.3) La fuerza de Lorentz o fuerza magnética sobre una carga eléctrica elemental, e, en movimiento con velocidad V en presencia de un campo magnético de inducción B.

Pero el asunto a dilucidar con cualquier fórmula es el siguiente: • Las cantidades físicas se relacionan precisamente mediante igualdades

algebraicas o ecuaciones que llamamos fórmulas.

• En dichas igualdades las cantidades físicas están representadas por símbolos algebraicos (en nuestro caso letras del alfabeto español o griego) en donde con cada símbolo se asocia un valor numérico, por ejemplo, 9.8 y las respectivas unidades, por ejemplo, m/s2 o ms-2 que como no es difícil de comprobar en el caso dado, dicho símbolo corresponde al de g, aceleración de caída libre de los cuerpos o aceleración de la gravedad, g = 9.8 m/s2

Bueno y ¿para qué el simbolismo y las unidades? pues veremos que en la fórmula • h debe representar la distancia vertical o altura de la caída libre, que se

expresará en m, en cms o en pies de manera que la parte derecha de la igualdad.

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• A saber: 1/2gt2 debe tener unidades de longitud, lo cual significa que las unidades respectivas deberán simplificarse o cancelarse mutuamente para dar las unidades de la parte izquierda. Así tendremos: En h (m) = ½ gt2 (ms"2) t2 (s2) los (segundos)2 del denominador se cancelan con los (segundos) 2 del numerador (correspondiente a t2).

Se debe hacer hincapié en el hecho de que en una ecuación deben aparecer o reducirse las unidades para que todas las unidades figuren en el mismo sistema, sea el SI, el CGS etc, porque no es correcto operar simultáneamente con unidades de diferentes sistemas. Por ejemplo,

v = vo+ at si vo está dado en [kms / h] y a está dado en [cm / s2], t dado en [segundos], entonces las unidades de V serian muy difíciles de determinar si no se redujesen los km/h a cm/s o los cm/s2 a km/h2 y al final expresar la velocidad o bien en km/h o bien en cm/s (o en m/s2) ¿Y cómo se reducen las unidades? Ejemplo Es sencillo reducir o transformar unidades del sistema internacional SI al cegesimal y viceversa, dado que 1mt = 100 cm (no significa que 1 sea igual a 100 sino que la longitud de un metro es igual a la longitud de 100 cm), al igual que al escribir 1 kg = 1000 gr se sobreentiende que un kilogramo es la misma cantidad de masa que 1000gr , así, se pide expresar la velocidad de 72 km.h-1, en m.s-1. Solución Partimos del hecho que un Km. es igual a mil m, y una hora es igual a 60 minutos y un minuto igual a 60 s por lo que una hora resulta igual a 60x60 = 3600 s. Por lo tanto el resultado pedido es: 72km.h -1=72(1000m/3600s)= 20m.s-1

En la formula a la izquierda de la igualdad se deben tener unidades de fuerza por lo cual en la parte derecha las unidades correspondientes también deberán serlo como se escribe a continuación: F (new) = e(coul) B(kg/coul.s) V(m/s) = Newton

= kg.m/s2 = newton.

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Ejemplo

• Cuantos m2 hay en 5 cm2 Solución 1m = 100 cm entonces

(1m)(1m)= 1m2

(100cm)(100cm) = (100cm)2

Im2=10000cm2

104 cm2=1.10 4cm2

Y encontramos la equivalencia: 1m2= 1.104cm2 por lo cual hacemos el siguiente planteamiento: si 1m2 son 1.104cm2, entonces 5cm2 serán una fracción x de 1m2 así:

1m2 1.104 cm2

X 5 cm2

de donde X =

y finalmente de x = (5/1.104) m2 = 5.10-4 m2

Luego 5 cm2 son 5.10 -4m2

Como 1m = 100 cm = 1000 mm = 1000000µm

• Cuántos m2 representan 0.5 micrómetros (µ) Se establecemos la relación 1m = 1.106 µm Ahora 0.5µ = (5/10) µ=5.10-1µ Se establece la relación: 1m 1.10+6µ

X 5.10-1µ

(1m2 )(5cm2)

1.104cm2

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de donde

X= X = 5.10-7m Problema inverso ¿Cuántas micras son 5.105m = 500000 m?

• Si un Å (un ángstrom) es igual a 1.10-10 m expresar el radio del átomo 5,3.10-

11 m en Å. 1Å 1.10-10 m

X 5,3 .10-11 m De lo cual se obtiene

(1A)(5,3.10 -11m) X = X = 1 Å x 5,3 ,10 -11x 1.10+10 = 1Å 5,3.10-1

= 5,3.10-1Å= 0.53 Å Así el radio del átomo es igual a 0.53 Å Ejemplo El radio de la tierra es aproximadamente 6378 km, expresar dicho radio en metros utilizando notación científica. Rt = 6378 km. y

1km = 1000 m o 103 m

Rt = 6,378.103 km. = 6,378. 106m Tomando dos cifras después de la coma se tiene Rt = 6,38.106 m, o como aparece líneas arriba Rt = 6,4.106m.

1m.5.10-1µ

1.10-6µ

1.10 -10m

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Ejemplo La velocidad de la luz en el vacío es C = 299792 km.S-1. expresar dicho número en notación científica, en ms-1

C = 299792 x 1000m.s-1 = 299792x 103 m.s-1

C = 29979,2x104 m.s-1

C = 2997,92 x 105 m.s-1 = 299,792.106 m.s-1

C = 29,9792x107 m.s-1

C = 2,99792.108 m.s-1

O aproximando el 2,99 a 3 y despreciando los números 792 puede escribirse C=3.108m.s-1

Proceso de Comprensión y Análisis Idear algunos patrones de longitud, masa y tiempo y realizar algunas mediciones. Sugerencias Medir largo de una habitación en "pies", se puede tomar una cuerda y hacer dos o más nudos en ella y definir la distancia entre dos nudos consecutivos como la unidad de longitud, de forma que pueda medir la estatura y la circunferencia de la cabeza, y así establecer la relación entre las dos magnitudes. • Realizar la medición del área de una habitación (el piso), y así midiendo

longitudes se comprenderá que con medidas sencillas se pueden medir magnitudes más complicadas como áreas y volúmenes.

• Intentar medir los volúmenes de algunos cuerpos sencillos con el propio patrón

de longitud. Por ejemplo: brazadas, pies, cuartas, etc. ¿Cuál sería el volumen de una panela rectangular?, ¿y el de otros cuerpos como tarros, vasijas o pimpinas plásticas?

• Identificar las ventajas y desventajas de los patrones de longitud ideados • Definir algunos patrones de masa: por ejemplo una pastilla de chocolate puede

ser un gramo.

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• Efectuar la medida de la masa de algunos objetos si se tiene a mano alguna balanza.

• Sugerir algunos fenómenos periódicos que puedan servir como relojes y definir

el respectivo patrón de tiempo. Escoger la opción correcta • Medir una magnitud física es:

- Pesarla

- Hallar su longitud.

- Compararla con un patrón de su especie.

- Hallar su volumen

- Hallar su masa. • El aparato indicado para medir la masa de un cuerpo es:

- Báscula

- Densímetro

- Dinamómetro

- Balanza

- Manómetro • Para medir la fiebre de un infante, se utiliza un:

- Manómetro

- Decámetro

- Termómetro

- Calorímetro • Resolver

− ¿Cuántos m2 son 0.25 cm2?

− ¿Cuántos cm3son 1.5 m3?

− ¿Cuántos mm son 18 km?

− ¿Cuántos cm2 son 2m2?

− ¿Cuántos cm.s-1 son 36m. S-1?

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• La densidad del agua es 1g.cm-3, donde la densidad se define como la razón de la masa de un cuerpo a su volumen. Expresar dicho valor en kilogramos por metro cúbico.

• Una pulgada es igual a 2,54 cm y una milla igual a 1,609km, expresar la

longitud de una milla en pulgadas, y una pulgada en km. • Un litro es igual a 1000 cm3, cuántos litros son 0,83m3, y un mililitro cuántos

m3 son? • Tomando el radio de la tierra como 6,4. (106)m, calcular el volumen de la

tierra, y asumiendo la masa de la tierra como 5,983. 1024 kg. calcular la densidad de la tierra, expresarla en gramos por centímetro cúbico, en notación científica.

• La cantidad √80000 puede escribirse en notación científica como:

- 2√2 (102)

- -√2 (102)

- -2√2(102)

- -2 (102)

- 4. (102)

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UNIDAD 2 Vectores

Núcleos Temáticos y Problemáticos Cantidades Escalares

Cantidades Vectoriales

Suma y Resta de Vectores

Vectores Unitarios

Multiplicación de Vectores

Productos Triples Proceso de Información En las ciencias y tecnologías tales como física, matemáticas, ingeniarías, odontología, medicina se encuentra cantidades de dos tipos: 2.1 CANTIDADES ESCALARES Cantidades que se representan por medio de un número (llamado magnitud), un signo y una unidad. Son escalares, por ejemplo: la longitud (3.0 m); la masa (el "peso" de una persona, 70.0 kg); el tiempo (9,30 a.m.); la temperatura (15° C); y cualquier número real. Los escalares se indican por una letra de tipo ordinario: a, b, c, Las operaciones con escalares obedecen las mismas reglas del álgebra elemental.

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2.2 CANTIDADES VECTORIALES Cantidades que para su determinación exigen además de un número (magnitud), una dirección y un sentido. Son vectores, entre otros, el desplazamiento (3.0 m al norte), la velocidad (5.0 m/s al este), la aceleración (9.8 m/s2 al sur), la fuerza (50.0 N noreste). Gráficamente, un vector se representa por un segmento orientado. La longitud del segmento (cuerpo) es la magnitud, según la escala establecida; la dirección del segmento es la correspondiente del vector y la flecha indica el sentido del vector. Se distinguen en el vector el origen o punto de aplicación, donde se inicia el vector el cuerpo, que es la magnitud del vector, el extremo que da el sentido al vector, tal como se muestra en la figura La recta en que se apoya el segmento se llama directriz del vector.

FIG. 2.1: Representación Geométrica de un Vector. Se muestran los elementos que lo conforman: origen, Cuerpo y Extremo

Los vectores se representan analíticamente, en un texto impreso, por una letra negrilla (V) y en manuscrito por una letra con una pequeña flecha encima (V). V o |V| representan la magnitud o módulo del vector.

FIG. 2.2: Una mosca moviéndose sobre una mesa describe una trayectoria errática (línea de trazos). En un tiempo ti se ha movido de O a P. OP es el desplazamiento (vector) desde O en tal intervalo de tiempo.

La misma situación se tiene para el movimiento de P a Q en el tiempo t2 donde se tiene el desplazamiento PQ.

CUERPO

ORIGEN EXTREMO

Q P

O

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Considerar una mosca moviéndose sobre una mesa, como se muestra en la figura La línea delgada es el movimiento actual (errático), corresponde a la distancia (escalar) realmente caminada. Si se toman las observaciones en puntos específicos se tiene que la distancia más corta de un punto a otro es una recta (OP), si se orienta (coloca flecha) se tiene un vector que se denomina desplazamiento. Lo mismo vale para el movimiento de P a Q. El desplazamiento de un punto a otro está determinado solamente por las posicione4s de los puntos de salida y de llegada. 2.3 SUMA Y RESTA DE VECTORES Los vectores pueden sumarse tanto gráfica como analíticamente. Para realizar la suma en forma gráfica, FIG. 2.3 se coloca un vector a continuación de otro (el origen del segundo en el extremo del primero); el vector que une el origen del primero con el extremo del último es el vector resultante o vector suma: C=A+ B

FIG. 2.3: Para sumar vectores se lleva el origen del segundo al extremo del primero y la suma es el vector que une el origen del primero con el extremo del último. La Ley del triángulo de la suma de vectores.

Otra forma de realizar la suma es hacer coincidir los orígenes de los dos vectores y por sus extremos trazar paralelas a cada uno de los vectores para completar un paralelogramo, FIG. 2.4 La diagonal trazada desde el origen común al vértice opuesto es la suma o resultante

FIG. 2.4: Para sumar vectores se puede completar el paralelogramo trazando por los extremos de los vectores paralelas a cada uno de ellos. Ley del Paralelogramo de la Suma de Vectores

B

C

A

AC

B

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Si en la suma intervienen más de dos vectores se van colocando uno a continuación de otro (origen del uno en el extremo del anterior) y la resultante o suma es el vector que une el origen del primero con el extremo del último como se muestra en la FIG. 2.5, se tiene: D = A + B + C.

FIG. 2.5. Para sumar, gráficamente, varios vectores se van colocando los vectores sumando en forma consecutiva y la resultante o suma es el vector que une el origen del primero con el extremo del último D=A+B+C.

En el caso de varios vectores se pueden utilizar cualquiera de los dos métodos descritos (ley del triángulo o ley del paralelogramo) para ir reuniendo (sumando) por parejas los vectores que intervienen. En el caso presentado en la FIG. 2.5 se puede buscar la resultante de A y B, y esta sumarla con C para obtener finalmente D. La sustracción (resta) de dos vectores, A - B, se define como otro vector C que sumado con B produce el vector A. En la FIG. 2.6 se indica la sustracción de vectores y se tiene:

C = A - B = A + (-B) = A + (- 1) B O sea para restar dos vectores se suma al vector minuendo el opuesto del vector sustraendo. También se puede realizar dibujando los vectores a partir de un mismo punto (origen común), FIG. 2.7 la diferencia es el vector que va del extremo del segundo al extremo del primero.

FIG. 2.6: Sustracción de vectores es sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

A

B

C

D=A+B+C

C = A-B

B

A

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FIG. 2.7: Dos vectores que se van a restar se dibujan con sus orígenes en un punto común y el vector que va del sustraendo al minuendo es el vector diferencia.

El método geométrico de sumar vectores no es muy útil cuando se manejan vectores en tres dimensiones. En este caso se recurre a descomponer el vector en sus componentes con respecto a un sistema de coordenadas. En las figuras se tiene un sistema de coordenadas, cartesiano rectangular, en dos dimensiones donde la abscisa se llama X y la ordenada Y. En la FIG.2.8 el vector se coloca tal que su origen coincida con el origen del sistema y en la segunda FIG. 2.9 el origen del vector está en una posición diferente al origen del sistema coordenado. La desviación angular u orientación del vector se determina, por convención, con respecto a la abscisa positiva. Si el ángulo se toma con respecto a la ordenada, o en otro cuadrante, solo basta recordar que siempre el coseno corresponde al lado adyacente y el seno al lado opuesto.

FIG. 2.8 El origen del vector se encuentra en el origen del sistema de coordenadas. El ángulo se mide a partir de la abscisa positiva y rotando en sentido contrario a las manecillas del reloj.

A

C = A-B

B

V Cosθ

V

V senθ

Y

X

θ

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FIG. 2.9: el origen no coincide con el origen del sistema coordenado. El origen del vector está en el punto (X1, Y1)

Las componentes del vector son: Para la otra FIG. 2.8 Vx = V cosθ; Vy = V senθ Para la otra FIG. 2.9 Vx = X2 –x1= V COS θ

Yy = y2 – y1= V sen θ En otras palabras las componentes del vector corresponden a las proyecciones del vector en cada uno de los ejes coordenados. La proyección de un vector en un eje se obtiene trazando por el origen y el extremo del vector perpendiculares a dicho eje, según se indica en las FIG. 2.8 Y 2.9. Es importante notar que los componentes del vector no son vectores, son escalares. La medida angular, por convención, se toma positiva girando el vector en contra de las manecillas del reloj (en sentido izquierdo). Se recalca que no siempre es necesario que el origen del vector esté en el origen del sistema coordenado. El vector se puede mover a cualquier lugar en el espacio de coordenadas cuidando que éste desplazamiento no lo altere, es decir, no cambie su magnitud, su dirección ni su sentido, tal que sus componentes sean también inalteradas. Para sumar vectores, analíticamente, se reúnen las componentes correspondientes a cada uno de los ejes coordenados. El vector resultante o vector suma tendrá

Y

X

Y1

Y2

X1 X2

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como componentes en cada uno de los ejes coordenados su suma respectiva. Considere los vectores A, B, C cuyas componentes son:

Ax = A cos θ1; Ay = A sen θ1

Bx = B cos θ2; BY= B sen θ2

Cx = C cos θ3; Cy = C sen θ3

Realizando la suma: S = A + B + C se tiene: Sx = Ax+ BX + CX

= A Cos θ1 + B Cos θ2 + Cos θ3

SY = AY+BY +CY

= A senθ1 + B sen θ2 + C senθ3

La magnitud del vector resultante se calcula usando la relación del triángulo rectángulo de Pitágoras: S2=SX

2+SY2

La posición del vector se establece por: tan θ = SY / SX por lo tanto: θ = arc tan SY / SX

El vector se escribe: S = S a θ Ejemplo Un buque navega hacia el este a 12.0 m/s. Un pasajero atraviesa caminando la cubierta con una velocidad de 5.0 m/s hacia el norte. ¿Cuál es la velocidad del pasajero respecto al mar? Solución: El pasajero tiene dos velocidades simultáneas. Por estar a bordo del buque se está moviendo con éste a 12.0 m/s (AB) y por otra parte su velocidad de 5.0 m/s sobre la cubierta (BC). Por lo tanto, su velocidad respecto al mar, es la suma (vectorial) de estas dos velocidades (AC), ver . FIG. 2.10. El triángulo que se forma es rectángulo y según el teorema de Pitágoras: AC2 = AB2 + BC2

= (12.0 m/s)2 + (5.0 m/s)2

= (169.0 m2/s2)-(13.0 m/s)2

AC =13.0 m/s

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FIG. 2.10: Un pasajero a bordo de un buque que camina sobre su cubierta está sujeto a dos velocidades y por lo tanto la velocidad respecto al mar es la suma vectorial de ambas.

La magnitud de la velocidad del pasajero respecto al mar es de 13.0 m/s. Para hallar la dirección: tan θ = 5.0/ 12.0 = 0.4167

θ = arc tan 0.4167 = 22° 37'

AC = 13.0 m/s a 22° 37' al norte del este. 2.4 VECTORES UNITARIOS La representación de vectores usada hasta ahora no es muy práctica, ya que se han tenido que trazar figuras para representarlos y encontrar sus componentes. Por otra parte se hubiera podido describir la dirección, sentido y magnitud de cada vector empleando palabras y en tal caso la figura sería superflua, pero este método tampoco es práctico. Lo anterior hace necesario un método más compacto, flexible y de mayor utilidad, para representar los vectores. Para lograrlo se emplean los vectores unitarios que presentan gran facilidad de representación incluso en tres dimensiones. En el sistema coordenado cartesiano rectangular, en tres dimensiones ver FIG. 2.11, se definen tres vectores de longitud (magnitud) unidad: i: apunta en la dirección +x; j: apunta en la dirección +y; k: apunta en la dirección +z. Como los vectores tienen longitud (magnitud) unidad, pueden emplearse para dar dirección y sentido a cantidades (multiplicación de un vector por un escalar). Por ejemplo, si se multiplica una fuerza de 8.0 N por i se obtiene 8.0i N, o sea una fuerza en la dirección +x con magnitud 8.0N.

A

C

B

5.0 m/s

12.0 m/s

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FIG. 2.11: Los vectores unitarios tienen el mismo origen, son no coplanarios y forman un sistema a derechas o dextrorsum ya que girando de i a j por el menor ángulo se avanza en la dirección y sentido de k. Lo mismo aplica para los otros giros.

Al multiplicar la componente de un vector (escalar) por un vector unitario se forma un vector que sería el vector componente rectangular. Así cualquier vector en tres dimensiones puede escribirse como la suma vectorial de los vectores componentes: V = Vxi+Vyj+vzk Las componentes, rectangulares, de V están dadas por: Vx = V • i, la componente de V en la dirección x

Vy = V • j, la componente de V en la dirección y

Vz = V • k; la componente de V en la dirección z Con base en lo anterior, la resultante del ejemplo puede escribirse: V = (12.0i + 5.0j + 0.0k) m/s

V = (12.0i + 5.0j) m/s Ejemplo Encontrar la suma de los siguientes vectores: A = Axi + Ay j + Az k

B = Bxi + BYj + BZk

C = CXi + CYJ + CZK

x

y

Z

i j

k

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Solución Tal como se indicó al emplear la descomposición de vectores, las componentes se asocian según cada eje coordenado y la operación se reduce a realizar su suma algebraica. Las componentes x, y, z de los tres vectores están indicadas por los subíndices: RX= AX+ BX + CX

Ry = AY + BY + CY

RZ = AZ + BZ+ CZ

R = RX i + RY j + RZ k R= (A X+B X+CX)i + (AY+BY +CY) j + (AZ +BZ + CZ) k R = A+B+C Ejemplo Encontrar la suma de los siguientes vectores: A = 5.0 i -3.0 j + 4.0 k

B = -2.0 i + 6.0 j -2.0 k

C = 3.0 i + 2.0 j+3.0 k Solución Basta reunir las componentes, rectangulares, correspondientes y efectuar las sumas algebraicas: R = A+B+C

= (5.0-2.0 + 3.0) +

= (-3.0+ 6.0 +2.0) j +

= (4.0-2.0 + 3.0)k

R = 6.0i + 5.0j + 5.0k Si se consideran los vectores A, B, C y los escalares n, m se cumple:

• A + B = B + A La suma de vectores es conmutativa.

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• A + (B + C) = (A + B) + C la suma de vectores cumple la propiedad asociativa de la suma.

• mA = Am; propiedad conmutativa del producto por un escalar

• m(nA) = (mn) A; Propiedad asociativa del producto por un escalar.

• (m + n)A = mA + nA; Propiedad distributiva del producto por un escalar respecto de la suma de escalares.

• m(A + B) = mA + mB, propiedad distributiva del producto por un escalar respecto de la suma de vectores.

2.5 MULTIPLICACIÓN DE VECTORES En las operaciones anteriores (suma y sustracción) los vectores que intervienen deben ser de la misma naturaleza, o sea, a vectores desplazamientos se suman vectores desplazamiento; a vectores velocidad se suman vectores velocidad, etc. Se aplica el mismo criterio que en las cantidades escalares donde carece de sentido sumar cantidades de diferente naturaleza, por ejemplo huevos con caballos. Como en los escalares, se pueden multiplicar vectores de diferente naturaleza, unos con otros, por ejemplo: posición (r) y fuerza (F), para obtener cantidades de nuevas dimensiones físicas, torque (i). Debido a que los vectores tienen tanto magnitud como dirección y sentido, su multiplicación no se ajusta a las mismas reglas algebraicas de la multiplicación escalar; es por lo tanto necesario establecer otras nuevas. 2.5.1 Multiplicación de un Vector por un Escalar Un vector (V) se puede multiplicar por un escalar (k) para obtener un nuevo vector (S): kV = S La magnitud de este nuevo vector es: S = k V Al multiplicar un vector (V) por 1 se obtiene el vector opuesto (V) que tiene las mismas magnitud y dirección pero sentido opuesto. A diferencia de los escalares, los vectores no son positivos ni negativos: si V = - W solo indica que W es el opuesto de V.

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2.5.2 Multiplicación Escalar de Vectores Es conocido también como Producto Escalar, producto punto o producto interno. La magnitud de éste producto se define como: A • B = AB cosθ. Donde A es la magnitud del vector A; B es la magnitud del vector B , y cosθ es el coseno del ángulo formado por los dos vectores como se indica en la FIG. 2.12

FIG. 2.12: Para determinar la magnitud del producto interno o producto punto se toma el coseno del ángulo entre los vectores.

A • B es un escalar, un número, pero nunca un vector. Si A y B son perpendiculares (θ = 90°) se tiene que A • B = 0 y se dice que los vectores son ortogonales. Con A = Axi + Ayj + Azk

se verifica que A • A = A2 = Ax2 + Ay

2 + Az2 , el cuadrado de la magnitud de A.

El producto escalar satisface:

• A • B = B * A; propiedad conmutativa.

• -A • (B + C) = A • B + A • C; propiedad distributiva del producto escalar respecto de la suma.

• -m(A • B) = (mA) • B

= A • (m B)

= (A • B)m

Siendo m un escalar. • -i • i=1; j • j=1; k • k=1

i • j=0; j • k=0; k • i=0

j • i=0; k • j=0; I • k=0 Dos vectores unitarios son normales entre sí y se tiene que cos 90° =0

A

B

θ

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2.5.3 Multiplicación Vectorial de Vectores También conocido como producto vectorial, producto cruz o producto aspa o producto externo de vectores. El producto vectorial produce como resultado otro vector Dados los vectores A y B Al efectuar el producto externo se obtiene otro vector: C = A x B.

FIG. 2.13: El producto vectorial da como resultado un vector normal (perpendicular) al plano formado por los vectores que intervienen, con dirección y sentido de un sistema derecho.

El producto vectorial satisface:

• La magnitud de C es igual a la medida del área del paralelogramo de lados adyacentes, A y B, es decir: C = اA * Bا = AB sen θ.

• La dirección de C es perpendicular al plano determinado por A y B y avanza en el sentido de la regla de la mano derecha (en contra de las manecillas del reloj) cuando A se gira hacia B.

• -A*B = - B*A; este producto no es conmutativo.

• Si A*B = 0, y ninguno de los vectores es nulo, ambos tienen la misma dirección (θ= 0º, o θ = 180º)

• Para cualquier vector, A, se cumple que A * A = 0, porque un vector es paralelo consigo mismo.

• El producto vectorial es distributivo con relación a la suma de vectores:

A (B + C) = A*B + A*C

• -m (A*B) = (mA)B

= A (m B)

= (A* B)m

Siendo m un escalar.

A

BC

θ

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• i * j = k; j * k = i; k * i=j

j * i =-k; k * j =-i;

i * k =-j

i * i = 0; j * j =0; k * k = 0 Ejemplo dados los vectores A = Axi + Ay j + Az k y B = Bxi + Byj + Bzk . Hallar:

• A + B;

• A - B;

• A * B;

• A x B. Solución

• A + B = (Axi + Ayj + Azk) + (Bxi + Byj + Bzk)

= (Ax + Bx)i + (Ay + By)j + (Az + Bz)k

• A - B = (Axi + Ayj + Azk) + (Bxi + Byj + Bzk)

= (Ax – Bx)i + (Ay – By)j + (Az - Bz)k

• A • B = (Axí + Ayj + Azk) • (Bxí + Byj + Bzk)

= AxBx(i•i) + AxBy(i•j) + AxBy(i•k) + AyBy(j•i) + AyBy(j•j) + AyBz(j•k)

+ AzBx(k•i) + AzBy (k•j) + AzBz(k•k)

A • B = AxBx + AyBy + AzBz

Aplicando las propiedades del producto punto. En otras palabras: A • B = ∑Ai Bi

• A x B para esta operación existen dos formas generales: por determinantes o

usando el símbolo de Levi-Civita. Empleando determinates:

i j k AX AY AZ BX BY BZ

=A*B=

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= i (AyBz – AzBy)+

= J (AzBX – AXBZ)+

= K (AXBY – AYBX) Empleando el símbolo Levi-Civita: A x B =ε1mn e1 Am Bn

En este caso e1mn representa, en orden consecutivo, uno de los vectores unitarios (i, j, k), Am y Bn son las componentes (Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz) de los vectores. Como lo indica el símbolo inicial siempre se debe llevar en forma consecutiva el manejo de los ejes, es decir, el orden x, y, z. En el símbolo ε1mn cualquier permutación cíclica (1mn), (mn1), (n1m) tiene el valor 1 cualquier permutación acíclica (1mn), (1nm), (m1n) produce el valor 1; cualquier otro cambio da por resultado 0. Al desarrollar se obtiene el mismo resultado obtenido por determinantes. Es una forma condensada de escribir y trabajar esta operación de vectores. 2.6 PRODUCTOS TRIPLES Si se tienen tres vectores, A, B, C, se pueden obtener una serie de combinaciones entre ellos utilizando el producto escalar y el producto vectorial.

• (A • B)C fácilmente se comprueba que es diferente de A(B • C) • A • (B * C) = B • (C * A) = C • (A * B), el triple producto escalar. Corresponde

al volumen de un paralelepípedo de aristas A, B, C con signo positivo o negativo según que los vectores formen un triedro a derechas o a izquierdas. Este producto se representa por [ABC].

• A (B * C) se encuentra que es diferente que (A * B) C porque el producto vectorial no goza de la propiedad asociativa. Este producto es llamado el triple producto vectorial.

• A * (B * C) = B (A•C) – C (A•B) • (A * B) * C = B (A•C) – A (B•C)

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Proceso de Comprensión y Análisis • ¿Cuál es la resultante de una velocidad de 40.0 m/s y otra de 70.0 m/s si

forman, entre sí, un ángulo de 37º ? • Considerar un desplazamiento de magnitud 3.0 m y otro de magnitud 4.0 m.

¿Cómo se pueden combinar para obtener un desplazamiento de:

- 7.0 m

- 1.0 m

- 5.0 m • Dados los vectores A = 5.0i - 4.0j; B = 7.0i + 8.0j, encontrar la dirección y

magnitud de: A; B; A + B ; A - B; B – A • Dados los vectores A = 3.0i + 5.0j - 2.0k y B = -3.0j + 6.0k, encontrar C tal

que se cumpla que 2A + 7B + 4C = O • Una habitación tiene 4.0 m de ancho, 5.0 m de largo y 3.0 m de alto. Escribir

el vector que va de una esquina a la diagonalmente opuesta. Calcular su magnitud y trazar el gráfico correspondiente.

• Escribir una relación para el vector desplazamiento del punto (0, 3, -1) m al

punto (-2, 6, 4) m. Expresar la relación en la notación i, j, k y obtener su magnitud. Graficar.

• Un bote tiene una velocidad de 4.0 km/h en aguas tranquilas. Cruza un río de

15.0 m de ancho cuya corriente tiene una velocidad de 3.0 km/h. ¿Cuál es la dirección y magnitud de la velocidad resultante y en qué punto del lado opuesto se detiene?

• Utilizar el método de descomposición rectangular y la notación i, j, k para encontrar la resultante del siguiente conjunto de fuerzas: 200.0 N, al este; 300.0 N, 60º norte del este; 100.0 N, noroeste, 200.0 N, al sur.

• Encontrar las componentes de un desplazamiento que sumado al

desplazamiento (7.0i - 4.0j) dará como resultante el desplazamiento (5.0í - 3.0j) m.

• Encontrar el vector desplazamiento del punto (0,3, -1) m al punto (-2, 6, 4)

m. Expresar la respuesta en la notación i, j, k. Asimismo obtener la magnitud y dirección del desplazamiento en descomposición de vectores.

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• Un avión recorre 450.0 km hacia el oeste y luego 200.0 km a 60º norte del oeste. Hallar el desplazamiento resultante gráfica y analíticamente.

• Dados los vectores: A = 2i - 3j - k; B = i + 4j - 2k; hallar:

− A * B

− B * A

− (A + B) * (A • B) • Demostrar que:

(A * B) * (C * D)=

B(A • C * D) - A(B • C * D) =

C(A • B * D) - D(A • B * C) • Dos lados de un triángulo son los vectores A = 3i + 6j - 2k ; B = 4i - j + 3k.

Hallar los ángulos del triángulo. • Hallar el trabajo realizado por la fuerza F = 2i -j - k N al desplazar un sólido

puntual a lo largo del vector r = 3i + 2j - 5k m. • Hallar la suma o resultante de los siguientes desplazamientos:

- = 10.0 m al noroeste

- = 20.0 m 30º al norte del este

- = 35.0 m al sur

- = 5.0 m 30º este del norte • Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los

vectores: A = 2i + 4j - 5k ; y B = i + 2j + 3k. • Sobre un sólido puntual en P actúan tres fuerzas coplanarias (están en el

mismo plano): F1 = 150.0 N al este; F2 = 100.0 N al sur; F3 = 200.0 N a 30º norte del este. Hallar la fuerza que es necesario aplicar en P para que el sólido permanezca en reposo.

• Demostrar que los vectores A = 3i + j - 2k; B = - i + 3j + 4k; C = 4i - 2j - 6k

pueden ser los lados de un triángulo. Hallar las longitudes de las medianas de dicho triángulo.

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• Dados A = 3i-2j-5k; B = -2i + 4j - 3k; C = 6i + 2j - 7k. Hallar:

− 4A - 2B + 3C

− |A + B + C|

− |3A - 4B +5C|

− un vector unitario con la dirección y sentido del vector 3A - 4B + 5C. • Los vectores de posición de los puntos P y Q son, respectivamente, r1= 3i + 3j-

2k y r2 = 5i - 3j + 3k. Determinar el vector PQ en notación i, j, k y hallar su módulo.

• Hallar el ángulo formado por los vectores A = 3i + 4j + 2k y B = 6i - 4j - 2k. • Un avión vuela hacia el noroeste a una velocidad de 300.0 km/h y encuentra

que allí hay un viento de 75.0 km/h hacia el este. ¿Cuál es la velocidad, dirección y sentido que lleva el avión?

• Dados los vectores de posición: r1 = 2i - j + k; r2= i + 3j - 2k; r3 = - 2i + j -

3k; r4 = 3i + 2j + 5k; hallar los valores de los escalares a, b, c tales que r4 = ar1 + br2+cr3

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UNIDAD 3 Estática

Núcleos Temáticos y Problemáticos Primera Condición de Equilibrio

Segunda Condición de Equilibrio

Centro de Gravedad

Método de Resolución de Problemas Proceso de Información En ciencias y tecnologías tales como física, ingeniarías, odontología, medicina se trata con objetos o sistemas que se encuentran en reposo y permanecen en reposo. Por ejemplo: una casa, un puente, una computadora, etc. A esta parte de la física se le llama estática y su conocimiento es de vital importancia ya que los conceptos que presenta son de gran aplicabilidad. Las leyes básicas del equilibrio de sólidos y líquidos (la estática del griego statikos = equilibrio) fueron formuladas por el científico griego Arquímedes quien vivió en Siracusa, capital de la colonia griega en Sicilia; asesinado en el año 212 a. C. cuando contaba 75 años; por soldados romanos que capturaron la ciudad. La mayoría de sus descubrimientos están contenidos en sus dos volúmenes del equilibrio de planos donde al inicio se lee: "Dos pesos se balancean a distancias recíprocamente proporcionales a esos pesos", conocida como la ley del nivel de Arquímedes (ver FIG. 3.1). Hoy esta ley es usada, igualmente, por un campesino que pretende mover una gran roca o por un ingeniero que diseña una gran obra. En general se tiene que el cuerpo o sistema está sometido a la acción de fuerzas y por lo tanto es necesario saber las condiciones bajo las cuales el mismo se encuentra en equilibrio.

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Cuando un objeto se encuentra en reposo se dice que está en equilibrio estático debido a la acción de fuerzas externas.

FIG. 3.1: Dos pesos se balancean a distancias recíprocamente proporcionales a sus pesos.

Si estas fuerzas son concurrentes (aquellas que actúan a través de un punto), producen una traslación y hay equilibrio cuando se verifica una primera condición de equilibrio. Si las fuerzas no son concurrentes (actúan en diferentes puntos del cuerpo) hay tendencia a producir tanto traslación como rotación; para obtener el equilibrio se debe cumplir una segunda condición de equilibrio. 3.1 PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO Considerar un objeto colocado sobre una mesa. La fuerza de la gravedad atrae el objeto hacia abajo y si la mesa no estuviera presente caería al piso. La fuerza con la que la tierra atrae los objetos hacia el piso se conoce como el peso (W) del objeto y se mide en unidades de fuerza o sea en newton (N). Si se dice que un objeto pesa 60.0 N significa que la atracción de la tierra sobre el objeto es de 60.0 Como el objeto no cae se concluye que el empuje (N) de la mesa equilibra la acción de la fuera de gravedad. O sea, si el objeto pesa (W) 75.0 N la mesa debe empujarlo con una fuerza (N) de 75.0 N.

FIG. 3.2: Para que el objeto no caiga y permanezca en reposo las dos fuerzas (N, empuje de la mesa y W, peso del objeto) que actúan sobre él deben equilibrarse.

10.0kg 6.0kg

5.0 unidades3.0 unid.

N

W

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Esta situación se muestra a la derecha de la FIG. 3.2 en el Diagrama de Cuerpo libre, que resume la situación al mostrar el objeto bajo estudio como un punto, sobre el que se muestran las fuerzas ejercidas. En otras palabras el punto representa un objeto específico, y las fuerzas que se muestran son solo aquellas que actúan sobre él. El objeto sobre la mesa, está sometido a fuerzas laterales por cuerdas atadas a bloques que cuelgan a los lados.

FIG. 3.3: Objeto sobre una mesa sometido a fuerzas laterales a través de cuerdas atadas a pesos suspendidos. Los diagramas de cuerpo libre muestran solo las fuerzas que actúan sobre los objetos aislados.

Como los bloques colgantes se mantienen en reposo es claro que las cuerdas los tiran hacia arriba con una fuerza (tensión) igual a la atracción de la tierra sobre cada uno de ellos, en este caso 5.0 N. La tensión en una cuerda se define como la fuerza que ejerce sobre el objeto al cual está atada. Como las cuerdas atadas a los pesos son inelásticas y pasan sobre las poleas, las tensiones de las cuerdas sobre el cuerpo de la mesa son las mismas y éste permanecerá en reposo estático. En los diagramas de cuerpo libre, los cuerpos bajo estudio, han sido aislados y solo las fuerzas que actúan sobre ellos son mostradas. Para que el bloque central permanezca en reposo es claro que las fuerzas se deben anular por pares, es decir, las fuerzas que se contraponen deben ser de igual magnitud y dirección pero de sentido opuesto. Esto es: N= - W; T1 = - T2 En otras palabras, la resultante de las fuerzas resultante que actúa sobre el punto (objeto) debe ser cero (0). Por lo anterior la primera condición, necesaria, para el equilibrio es: ΣF=0 Lo cual implica que: a = 0 y SFx = 0; ZFy - 0, ΣFz = 0

w

W2=5.0N W1=5.0N W2 W1

T2=5.0N TI=5.0N T2 N T1

W

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Ejemplo En la situación mostrada en la figura, el objeto pesa 60.0 N. Si θ1 = 53º y 02 = 37º, ¿cuánto valen T1 y T2?. Solución Primero se aísla el objeto a estudiar y se señalan las fuerzas que actúan sobre él (diagrama de cuerpo libre), el peso (W) y las tensiones T1 y T2, FIG. 3.5. Como las tensiones no están en ninguno de los ejes coordenados es necesario descomponerlas en sus componentes (ver unidad anterior).

FIG. 3.4: Objeto suspendido por dos cuerdas. Una techo y la otra a una pared, formando diferentes ángulos con la horizontal.

T1X= T1 cos θ1; T1y = T1 sen θ1

T2X= T2 Cos θ2; T2Y = T2 sen θ2

FIG. 3.5: Diagrama de cuerpo libre donde se muestran las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Como las tensiones, T1 y T2, no descansan en los ejes coordenados, se descomponen en sus componentes, T1X, T1Y, T2X, T2Y

T1

θ1

T2

θ2

T2y

T1T2 T1y

T2y w T1x

θ1 θ2

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Empleando la primera condición de equilibrio se tiene: ΣFX = O = T1 Cos θ1 – T2 Cos θ2(1)

ΣFY = O+ T1 sen θ1 + T2senθ2-w(2)

Se tienen dos incógnitas (T1 y T2) y dos ecuaciones, por lo tanto es posible solucionar. De la ecuación (1) se tiene: T1= T2 COSθ2 / COSθ1(3)

Sustituyendo en la segunda: (T2cosθ2/cosθ2)senθ1+ T2senθ2 -W=0(4)

T2=Wcos θ1/(senθ1Cosθ1 + senθ2cosθ1)(5)

Por propiedades trigonométricas: (senθ cosθ + senθ cosθ ) = sen (θ1 + θ2) Utilizando lo anterior se tiene: T2= W Cosθ1/ sen (θ1+θ2)(6)

T1=W cosθ2/sen(θ1 +θ2)(7)

Al sustituir los valores se encuentra que: sen (53º + 37º) = sen 90º = 1 y por lo tanto: T1 = 60.0 N * sen 53° = 60.0 N * 0.8

=48.0N T2 = 60.0 N * sen 37º = 60.0 N * 0.6

=36.0N Ejemplo Encontrar la tensión en la cuerda y la compresión en el puntal, que se supone sin peso, si el bloque suspendido tiene 1,000.0 kg.

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FIG. 3.6: El puntal se encuentra horizontal contra la pared y sostenido por una cuerda que forma un ángulo de 30º con el extremo del puntal en el cual está suspendido un bloque.

Solución Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre. Fig. 3.7

FIG. 3.7 Diagrama de cuerpo libre para el puntal. La compresión se indica como C. Como la tensión no está en ninguno de los ejes, se descompone en sus componentes rectangulares.

Sobre el diagrama de cuerpo libre se aplica la primera condición de equilibrio:

ΣFx = O =C - Tcos 30º (1)

ΣFY= O = Tsen 30º - W (2) De la ecuación (2) se obtiene:

T = W/sen 301 = 1000.0 kg/0.5

= 2000.0 kg Esta es la tensión de la cuerda.

30°

C

W

Tsen 30º

Tcos 30º

30º

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De la relación (1) se tiene:

C = T cos30º = 2000.0 kg * 0.866

C = 1732.0 kg Esta es la compresión del puntal. Los cálculos se han hecho directamente en kilogramos. No se pierde objetividad ya que para convertir a fuerzas, unidades en newtones, solo basta multiplicar por 9.8 m/s2

Ejemplo

Encontrar la tensión en la cuerda y la compresión en el puntal de la FIG. 3.8, que se supone sin peso, si el bloque suspendido tiene 1,500.0 kg

FIG. 3.8: Un extremo del puntal se encuentra apoyado en el piso y el otro está sostenido por una cuerda de la cual se suspende un bloque de 1,500.0 kg.

Solución

Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre, FIG. 3.9

FIG. 3.9Diagrama de cuerpo libre para el puntal en el piso. El puntal se indica en el primer cuadrante al suponer que la fuerza la ejerce en esa dirección y sentido. La tensión ejercida por la cuerda atada al piso está en la dirección indicada. Como el puntal y la cuerda no están en ninguno de los ejes coordenados se deben descomponer en sus componentes rectangulares.

45° 30°

CY 45°

C

W

T

30º

CY

TX

TY

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Aplicando la primera condición de equilibrio a las fuerzas que actúan (se toman las componentes), en el diagrama de cuerpo libre, se tiene:

ΣFX = O = Ccos45º - Tcos30º (1)

ΣFY = O = Csen45º + Tsen30-W (2) De la relación (1) se obtiene:

C = TCos 30º/Cos 45º (3) Al sustituir (3) en (2) se tiene:

(Tcos30º/cos45º) sen45º - Tsen30º-W = 0

Cos 45º/sen 45º = 0.707/0.707 = 1 Por lo tanto: T(cos 30º - sen 30º) = W T = W / (Cos 30º - sen 30º)

= 1,500.0 kg/(0.866-0.5)

= 1,500.0 kg/0.366

= 4.098.4 kg ¿Qué es la tensión en la cuerda? Sustituyendo en la ecuación (3) C= 4,098.4 kg * 0.866 / 0.707

C = 5,020. 1kg ¿Qué es la compresión que recibe el puntal? Los valores de tensión y compresión se calcularon en kilogramos. Si se desea en newtones multiplique por 9.8 m/s2. Ejemplo Un bloque de 30.0 kg se arrastra a velocidad constante sobre la superficie de un plano inclinado por una cuerda, que pasa sobre una polea sin rozamiento, atada a una masa de 10.0 kg que cuelga libremente. Calcular:

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• el ángulo de inclinación del plano

• la tensión de la cuerda

• la fuerza normal ejercida por el plano sobre el bloque. Solución Una vez leído el problema se hace un dibujo que muestre la situación planteada y a continuación se traza el (los) diagrama(s) de cuerpo libre sobre el (los) que se pone(n) el (los) sistema(s) coordenado(s) y permite(n) plantear las ecuaciones que lleven a la solución.

W = 30.0 kg * 9.8 m/s2 = 294.0 N

W1 = 10.0 kg * 9.8 m/s2 - 98.0 N Aplicando la primera condición de equilibrio a los diagramas de cuerpo libre en la FIG. 3.10 se tiene • Para la masa de 10.0 kg:

ΣFy = O = T – W1 (1) • Para la masa de 30.0 kg:

ΣFx = O - T - W sen α (2)

ΣFy = 0 = N-W cos α (3)

FIG. 3.10.1: En la parte superior se muestra la situación planteada en el problema

α 10.0 kg

30.0 kg

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FIG: 3.10.2: diagramas de cuerpo libre. A la izquierda para la masa sobre el plano inclinado, nótese que el sistema coordenado se traza paralelo al plano. El peso siempre se dirige hacia la tierra. En el lado derecho la situación para el cuerpo suspendido.

De la ecuación (1) se obtiene: T = W1= 98.0N Tensión de la cuerda De la ecuación (2)

sen α= T/W = 98.0 N/294.0 N

α = arc sen 0.3333 - 19.47° Este es el ángulo que debe formar el plano inclinado con el piso. De la ecuación (3): N = W cos α = 294.0 N * cos 19.47º

= 294.0N * 0,943

= 277,2 N Es la fuerza perpendicular o normal que el plano ejerce sobre el bloque. 3.2 SEGUNDA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO Hasta este momento se han considerado fuerzas que actúan (se interceptan) en un punto y son, por ello, llamadas fuerzas concurrentes. El objeto está en equilibrio cuando se cumple que la suma vectorial de estas fuerzas es igual a cero, lo cual implica que se anulan por pares por estar enfrentadas.

T

10.0kg

W2 W

N T

Wx 30.0kg

Wy

α

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Si dos fuerzas iguales y opuestas actúan sobre una varilla, sin ser concurrentes, se encuentra que la suma vectorial es cero (ΣF = 0), pero la varilla no permanecerá en reposo si no que comenzará a girar y se tiene que la primera condición de equilibrio no es suficiente.

FIG. 3.11: Aún cuando la fuerza resultante es cero, la varilla no permanece en reposo.

Esto lleva a la necesidad de establecer una segunda condición para el equilibrio. En la FIG. 3.12, se muestran situaciones en las cuales la varilla no gira. En (a) la línea de fuerza pasa por el pivote; en (b) las fuerzas son iguales, pero están en los extremos de la varilla (tienen el mismo brazo de palanca); en (c) la fuerza de la derecha tiene el doble de magnitud que la de la izquierda pero su brazo de palanca es la mitad del de aquella; en d) la componente vertical (Fy), de la fuerza de la derecha, que podría producir giro, es igual a la fuerza aplicada a la izquierda; la componente horizontal (Fx) no produce giro porque su línea de fuerza pasa por el pivote.

FIG. 3.12: En los casos mostrados la varilla no gira en el pivote que pasa por el centro.

(d)

dd

FF

Brazo de Palanca

Línea de Fuerza

Pivote

(b)

d d/2

(a)

F

F 2F

(c)

Fsenθ θ

F

Fy

d dFx

F

F

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Para que se presente un giro es necesario que la fuerza aplicada (F) en un punto multiplicada por el brazo de palanca (d) de como resultado un momento de torsión, o momento de la fuerza, o torque o torca (i). El brazo de palanca y la línea de fuerza o línea de acción de la fuerza deben formar un ángulo de 90º, ver figura, o sea, deben ser normales (perpendiculares. De acuerdo con esto la magnitud del momento de fuerza o torque es:

= d F sen 90º = d F. El brazo de palanca es la longitud de la perpendicular trazada desde el pivote a la línea de fuerza.

FIG. 3.13: El brazo de palanca y la línea de fuerza son siempre normales (perpendiculares) La magnitud del momento de torsión es brazo de palanca x fuerza: ι= r F sen θ = r sen θ F = d F

La segunda condición de equilibrio establece que cuando varias fuerzas coplanares (aquellas que están en el mismo plano) actúan sobre un cuerpo, cada una trata de producir un giro y el momento resultante es la suma algebraica de los momentos producidos por las distintas fuerzas. Para que un cuerpo esté en equilibrio rotacional la suma de los momentos producidos por las fuerzas que actúan sobre él debe ser 0:

Σι=0. En la figura se tiene que brazo de palanca (d) es r sen θ y por lo tanto:

= d F = r senθ F = r F senθ Por definición de operaciones vectoriales (ver unidad anterior) se tiene que lo anterior define el torque como un vector: ι = r x F.

pivote

Brazo de

Palanca

Línea de fuerza

r

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Las unidades del momento de fuerza o torque se expresan en función de las unidades de fuerza y de las unidades de distancia. En el sistema SI la unidad de momento es N • m Ejemplo Calcular la tensión de las cuerdas que sostienen una tabla uniforme de peso 200.0N si a 1/4 del extremo derecho se suspende un peso de 500.0 N, como se muestra en la FIG. 3.14.

FIG. 3.14Tabla homogénea a la cual se le suspende un peso a 1A de uno de sus extremos y se cuelga de dos cuerdas atadas a sus extremos.

Solución Lo primero es aislar la tabla como objeto a estudiar y sobre el mismo trazar las fuerzas que actúan (diagrama de cuerpo libre).

FIG. 3.15: Diagrama de cuerpo libre. La tabla es el objeto bajo estudio, sobre este se muestran las diferentes fuerzas que actúan.

Como la tabla es uniforme y homogénea su peso se toma actuando en su centro de gravedad. Como se encuentra en equilibrio se tiene:

T1 T2

¾ L

w

¼ L

T1

P

T2

1/2L 1/4L 1/4L

200.0N W

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ΣFX = O, no hay fuerzas en x (1)

ΣFY = O = T1 + T2 - W - 200.0 N (2) Σι=0. Para plantear esta ecuación se debe considerar un punto pivote. Cualquier punto es apropiado pero se elige uno que elimine parte de las incógnitas. Para éste caso se puede elegir el punto P o el punto Q. Tomando el punto P como pivote, T1 no aparece en la ecuación ya que su línea de fuerza pasa por él.

Σι = O = LT2 - 3/4L Wt – 1/2L Ws (3) El peso suspendido (Ws) y el peso de la tabla (Wt) tienden a girar la tabla en el sentido de las agujas del reloj (negativo), mientras que T2 lo hace hacia la izquierda (positivo). De ecuación (3) se tiene: T2 = 3/4 Wt + 1/2 Ws

= 3/4 * 500.0 N + l/2 * 200.0 N

= 375.0 N + 100.0 N = 475.0 N Note que la longitud (L) de la tabla se elimina al quedar en los términos a derecha e izquierda de la igualdad. Al sustituir este valor en la ecuación (2) se tiene: T1=WS+Wt-T2

= 500.0 N + 200.0 N - 475.0 N = 225.0N Solucionando el problema planteado. Ejemplo Una viga de acero, sección I, está clavada en una pared y sobresale de ella 8.0 m, FIG. 3.16. Si el peso de la viga es de 2,100.0 N, ¿Cuál es el momento de esta viga respecto a un punto situado 3.0 m por debajo del punto de anclaje?

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FIG. 3.16: La viga se encuentra empotrada en la pared pero el pivote se supone 3.0 m por debajo del punto de anclaje.

Solución Hay dos formas, generales, para resolver este problema: ι= d F = 4.0m*2100.0 N

= 8,400.0 N m La otra es tomando r y el sen θ

r2 = (3.0m)2 + (4.0m)2

r = 5.0m θ = arc sen 4/5 = arc sen 0.8 = 53° Luego ι= r W sen θ

= 5.0 m* 2,100.0 N* sen 53º

= 10,500.0 Nm* 0.8

=8,400.0 N m Ejemplo Una viga de 30.0 kg tiene un extremo fijo a una pared y se sostiene en forma horizontal por un cable atado al otro extremo formando un ángulo de 45°. De este extremo se suspende un bloque de 100.0 kg. Calcular la tensión en el cable y la fuerza ejercida por la pared sobre la viga.

3.0m

8.0m

4.0m

w

5.0mr

θ

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Solución Lo primero es hacer un dibujo que represente la situación que plantea el problema y luego trazar el diagrama de cuerpo libre, como se muestra en la FIG. 3.17 La pared ejerce, sobre la viga, una fuerza vertical (V), que no permite que esta caiga o resbale, y una fuerza horizontal (H), que impide que la viga se meta en la pared. El peso de la viga se considera aplicado en su centro de gravedad. Wv = 30.0 kg * 9.8 m/s2 = 294.0 N Peso de la viga. Ws = 100.0 kg * 9.8 m/s2 = 980.0 N Peso suspendido en el extremo.

FIG. 3.17: La viga se apoya en la pared y se balancea por la cuerda atada en el extremo libre. En el diagrama de cuerpo libre, parte inferior de la figura, se muestran las fuerzas que actúan sobre la viga lo mismo que el punto, A, que se toma como pivote.

100

45°

A

H

V

30.0 Kg.

T

Ty45º

Tx

100.0 Kg.

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Aplicando las condiciones de equilibrio, en diagrama de cuerpo libre, se tiene:

ΣFx = 0 = H-Tcos45º (1)

ΣFy = 0 = V + Tsen45º - Wv - Ws (2)

ΣFz = 0, no hay fuerzas (3)

Para aplicar la segunda condición de equilibrio se toma como pivote el punto A que es el extremo contra la pared, y se eliminan H y V: Σι= 0 = LTsen 45º - 1/2LWv - LWs (4) De la relación (4) se obtiene: T = 1/2 Wv + Ws)L / L sen45º

= 1/2*294.0N + 980.0 N)/ 0.707

= 1,127.0N/0.707

= 1,594.0 N De la ecuación (1):

H = T cos 45º

= 1,594.0 N* 0.707

= 1,127.0 N

De la ecuación (2): V = Wv + Ws - T sen 45º

= (294.0+980.0 - 1594.0 * 0.707) N

= 147.0 N Estas fuerzas, H y V, pueden considerarse como las componentes de la fuerza, resultante, que hace la pared. Por lo tanto ésta fuerza será: F2 = V2 + H2

= (147.0 N)2 + (l,127.0 N)2 = 1,291,738.0 N2

F =1,136.5 N

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Para la dirección:

θ = arc tg 147/1,127 = 7.43º Así la fuerza de la pared es:

F = 1,136.5 N a 7.43º norte del este. También puede escribirse como:

F = 1,127.0 i + 147.0j N Utilizando los vectores unitarios definidos en la unidad anterior. 3.3 CENTRO DE GRAVEDAD Sobre cada partícula de un cuerpo rígido actúa una fuerza gravitado nal dirigida hacia la superficie de la tierra (niig). La resultante de todas estas fuerzas es el peso del cuerpo: W = Σmi g = Mg donde M = Σmi

Este peso se supone o se toma como si estuviese concentrado en un punto que se llama el centro de gravedad o el centro de masa y que afecta a todo el sistema. Si el cuerpo es homogéneo el centro de gravedad (CG) coincide con el centro geométrico. Si el cuerpo es de forma irregular, su CG se determina experimentalmente suspendiéndolo de dos puntos de su periferia y trazando las perpendiculares desde aquí. El punto donde estas perpendiculares se cortan es el centro de gravedad. Considerar el centro de gravedad es importante en la resolución de problemas, ya que simplifica grandemente las operaciones al tomar todo el peso del sistema en dicho punto. 3.4 MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS En los problemas de equilibrio estático se trabaja, a menudo, con varios cuerpos, barras, cuerdas, etc. Y para resolverlos se aconseja emplear el siguiente método: • Leer el problema (entenderlo).

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• Hacer un dibujo, si no es dado, donde se muestren todos los datos del problema.

• Trazar el diagrama de cuerpo libre, esto es, aíslar el cuerpo bajo estudio y las

fuerzas externas que actúan sobre él. A veces intervienen fuerzas de magnitud y dirección desconocidas, en tal caso suponga una dirección; si al solucionar se obtiene un valor negativo, para la fuerza, indica que el sentido supuesto es el contrario. Basta invertir el sentido para tener la respuesta correcta.

• Dibujar un sistema coordenado sobre el diagrama, de cuerpo libre, colocando el

cuerpo en equilibrio en el origen de dicho sistema. Recuerdar que este le sirve de referencia para aplicar las condiciones de equilibrio:

ΣFx = 0, ΣFy= 0; ΣFz = 0;

• Si las fuerzas no coinciden con los ejes coordenados, descomponerlas en sus componentes. (Ver unidad anterior).

• Escribir las ecuaciones que considera resuelven el problema. Tomar como guía y base el diagrama de cuerpo libre.

• Analizar que tenga tantas ecuaciones como incógnitas haya.

• Resolver las ecuaciones para solucionar las incógnitas.

• Chequear que las unidades sean las correctas. No mezclar unidades de diferentes sistemas, por ejemplo no tomar algunas unidades en SI y otras en sistema inglés o en sistema cgs.

Ejemplo Una barra uniforme de 80.0 kg se mantiene horizontal por tres cables atados a ella así: uno en forma horizontal en un extremo, otro en el mismo extremo en forma vertical y el último en el otro extremo formando un ángulo de 53º con la horizontal. A 1/4 de la longitud de la barra a partir del último cable se para un hombre de 90.0 kg. Calcular la tensión en los cables. Solución Lo primero es hacer un dibujo que represente la situación y luego el diagrama de cuerpo libre como se muestra en la FIG. 3.18.

Wt = 80.0 kg * 9.8 m/s2 = 784.0 N

Wh = 90.0 kg * 9.8 m/s2 = 882.0 N

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La tensión T3 no está en ninguno de los ejes coordenados por lo tanto se descompone en sus componentes: T3x = T3 cos 53º T3y = T 3sen 53º

FIG. 3.18: En la parte superior se muestra la situación que plantea el problema y en la inferior el diagrama de cuerpo libre donde se muestran todas las fuerzas externas que intervienen. El peso de la tabla está en su CG.

Note que en este caso es bueno tomar un pivote en la izquierda, donde están las tensiones T1y T2. Aplicando las condiciones de equilibrio se obtiene:

ΣFx = 0 = T3x-T2 (1)

ΣFy = 0 = T3y + T1 – Wh – Wt (2)

Σt= 0 = T 3yL - (3L/4)Wh 12W tL (3) Note que la componente T3x no produce ningún momento porque su línea de fuerza pasa por el pivote De la ecuación (3) se tiene:

T3y = (34WhL + 1/2 WtL) / L

T3 (3/4 784.0 + 1/2 882.0)N/ sen53º

= (588.0 + 441. 0)N/ 0.8 = 1,286.3 N

53° L/4

T2

T1

1/2L

T3Y T3

53°

1/4L 1/4L

Wt

T3X

Wh

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Sustituyendo este valor en la ecuación (1) se obtiene:

T2 =T3Y

=1,286.3 N * cos53º

= 1,286.3 N* 0.6

= 771.8 N Sustituyendo el valor de T3 en la ecuación (2) se obtiene:

T1 = Wh Wt T3Y

= (882.0 + 784.0 - l,286.3/sen53º)N

= (882.0 + 784.0 - 1,286.3/0. 8)N

= (1,666.0- 1,607.9) N

T1 = 58.1 N Proceso de Comprensión y Análisis • Una puerta de 2.0 m de alto y 1.0 m de ancho gira sobre bisagras separadas

1.5 m entre sí y cada una a 25 cm del borde más próximo a la misma. Si la puerta tiene 30.0 kg y su centro de gravedad está en su centro geométrico. Encuentre la dirección y fuerza ejercida por cada bisagra suponiendo que soporta la mitad del peso.

• ¿Qué fuerza hacen los soportes, FIG. 3.19, que sostienen un tablero uniforme

de 48.0 N de peso y 3.0 m de longitud que se encuentra en reposo colocado horizontalmente sobre ellos?

FIG. 3.19: Un tablero de 3.0 m de longitud descansa sobre unos soportes. El soporte de la izquierda está en un extremo mientras que el soporte de la derecha está a 1.2 m del extremo derecho del tablero.

1.8m 1.2m

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• Una regla homogénea de 1.0 m de longitud tiene una masa de 50.0 g. En un extremo (0) se cuelga una masa de 35.0 g y en el otro (100) se cuelga una masa de 80.0 g. ¿Dónde hay que colocar un fulcro (punto de apoyo) para que la regla permanezca horizontal?

• Una viga horizontal de 8.0 m de longitud y peso despreciable está fijada a una

pared. Del otro extremo se cuelga una carga de 20.0 kN y se soporta por una cuerda que forma un ángulo de 40° con la viga. Calcule las componentes vertical y horizontal de la fuerza que ejerce la pared y la tensión del cable. ¿Qué dirección tiene la fuerza que ejerce la pared?

• Rehacer el ejercicio anterior si ahora la viga pesa 4.0 kN. • Una compuerta está sujeta a un poste por dos bisagras y un alambre, como se

muestra en la figura 3.20. El alambre está colocado de tal forma que la componente horizontal de la fuerza ejercida por la bisagra superior es cero. Calcular la componente horizontal de la fuerza ejercida por la bisagra inferior, la tensión del alambre y la suma de las componentes verticales de las fuerzas de las bisagras.

• De una placa metálica uniforme cuadrada de 25.0 cm de lado se cortó de una

de sus esquinas un cuadro de 5.0 cm de lado. Encontrar el centro de gravedad.

FIG. 3.20: Una compuerta, en un cercado, se mantiene en posición por medio de dos bisagras y un alambre. El alambre está fijado a 0.5 m del extremo derecho de la compuerta y forma un ángulo de 25° con esta, su otro extremo está asegurado al poste de soporte.

2.0m

0.5m25°

1.0m

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• Una fuerza F = (174.Oi + 203.Oj - 166.Ok) N actúa sobre un objeto en un punto cuyo vector posición respecto a un punto de referencia O es r = (1.35i - 2.22J) m. Calcular el momento de esta fuerza respecto al punto O.

• Examinar la situación de una persona que se dobla hacia adelante en lo que

concierne a los músculos de la espalda y a las fuerzas de compresión en la columna vertebral. Explicar por qué puede presentarse una lesión en la espalda si se levanta un cuerpo pesado doblándose hacia adelante que poniéndose de cuclillas.

• Arquímedes decía que era capaz de mover la Tierra si se le proporcionaba una

palanca y un punto de apoyo el principio en que se basaba. ¿Es posible realizar esto?

• ¿Debe necesariamente haber materia en la posición del centro de masa de un

objeto? • Un niño y un hombre deben transportar una viga pesada. ¿Cómo deben

situarse los dos para que el hombre soporte el doble de peso que el niño? • Una escalera de mano de 6.0 m, y 50.0 kg, descansa contra una pared en un

punto situado a 4.8 m sobre el piso. El centro de gravedad de la escalera está 1/3 de la longitud tomado desde la base. Un hombre de 80.0 kg sube a la mitad de la escalera. Suponiendo la pared lisa (sin rozamiento), encontrar las fuerzas ejercidas por el sistema sobre el piso y sobre la pared.

• Una regla de 1.0 m está sostenida sobre el filo de una navaja en la marca 50.0

cm. Cuando se ponen 2 monedas en la marca 12.0 cm, se encuentra que la regla se balancea en la marca 45.5 cm. La masa de una moneda es de 5.0 g, ¿cuál es la masa de la regla? Tratar de comprobar experimentalmente su respuesta.

• Una fuerza F = (6.0i + 2.0j) N actúa en el punto x = O, y = 500.0 cm.

Encontrar su momento de torsión tomando el origen como pivote.

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UNIDAD 4 Cinemática

Núcleos Temáticos y Problemáticos Cinemática del Movimiento en una Dirección

Movimiento en el Plano Proceso de Información La mecánica es la rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos, fenómeno que puede ser tratado desde dos enfoques diferentes. El primero es la simple descripción del movimiento (cinemática) y el segundo es el análisis de la causa que lo produce (dinámica). Esta unidad trata la parte correspondiente a cinemática. Intenta aclarar los conceptos de posición, desplazamiento, velocidad y aceleración. Al finalizar distinguirá si un movimiento se realiza o no con velocidad constante, si se realiza sobre una recta, sobre un plano o en el espacio. Podrá resolver algunos problemas sobre el movimiento de los cuerpos. 4.1 CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO EN UNA DIRECCIÓN Antes de entrar en detalle responder: • ¿Cuándo decimos que un cuerpo está en movimiento?

• Observar las siguientes figuras: “Cuerpos en movimiento”

- Una flecha girando alrededor de un punto fijo. FIG. 4.1

- Un objeto deslizándose por una rampa. FIG. 4.2

- Un trompo girando alrededor de su eje. FIG. 4.3

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71

Cuando un balón rueda sobre el piso cambia de localización, y a la vez está girando (como en el caso del trompo), pero para simplificar el estudio, en esta primera parte, se considera solo el cambio de localización, ignorando el movimiento de rotación que se estudiará mas adelante. De otro lado considérese el movimiento de un avión. Para tomar altura, vuela en una trayectoria helicoidal: (movimiento en el espacio tridimensional) como se muestra en la FIG. 4.4 Una vez haya alcanzado determinada altura podría volar describiendo círculos a una altura fija: (movimiento en dos dimensiones) FIG. 4.5 o moviéndose siguiendo una línea recta: (movimiento en una dimensión) FIG. 4.6.

FIG. 4.1 FIG. 4.2

FIG. 4.3

FIG. 4.4

x

y

x0 x0

0 x

FIG. 4.5

FIG. 4.6

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• Dar ejemplos de movimiento que se realice en una, dos y tres dimensiones.

• Imaginar un globo en movimiento. ¿Cómo puede indicar en un momento dado la ubicación del globo?

• ¿Cómo puede describir la posición de una ficha sobre un tablero de Bingo?

• ¿La posición de una bola de billar que se desliza sobre un canal recto? Para iniciar por lo más sencillo, se empieza con movimientos en una dimensión como el de la bola de billar que se desliza sobre un canal. Este es un movimiento unidimensional puesto que el objeto está limitado a moverse sobre una recta. En este tipo de movimientos para ubicar la posición del objeto se traza un eje, que comúnmente se llama eje de las x, sobre la línea donde se realiza el movimiento (sobre línea del canal en el ejemplo), sobre el eje se marca un punto llamado origen (ver figura el marcado con 0), así, en un cierto momento, se puede describir (ubicar) la posición de la bola dando el valor de x. Como el objeto se puede mover a ambos lados del origen, se escoge una dirección como positiva y la dirección contraria como negativa.

Eje X

FIG. 4.8

FIG. 4.7

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73

4.1.1 Velocidad Considérese un automóvil que viaja sobre un camino recto, recorriendo 10m cada segundo. Sobre el camino se escoge un punto de partida; se coloca el reloj en cero y se empieza a medir el tiempo y el espacio recorrido a partir de la marca. Es así como se observa que al transcurrir un segundo el recorrido es de 10m, a los 2 seg el recorrido es de 20m, y así sucesivamente. ¿Qué recorrido habrá hecho el automóvil en un tiempo de 3,4,5... segundos?

TIEMPO ESPACIO

1 10 2 20 3 4 5

Para representar gráficamente la posición del automóvil en función del tiempo, se traza un sistema de ejes coordenados, el eje horizontal representa el tiempo (medido en segundos) y el eje vertical representa la posición (medida en metros), sobre este plano se representan cada uno de los puntos de la tabla así el punto (0,0) indica que en el tiempo cero (cuando se inició el conteo) la posición es de cero metros (está en el origen convencido). El punto (1,10) indica que cuando transcurrió un segundo la posición es de 10 m y así sucesivamente. Al unir estos puntos se obtiene la recta que se muestra en la figura. Las coordenadas de un punto cualquiera de la recta indican respectivamente el tiempo transcurrido y el espacio recorrido durante ese tiempo.

FIG. 4.9: Gráfica del espacio recorrido (en m) contra tiempo (en s).

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74

Tomar por ejemplo el punto P (marcado en la gráfica) trazar las rectas que pasan por P y son perpendiculares a cada uno de los ejes, observar que la recta vertical (que pasa por P) intercepta al eje que indica el tiempo en el punto t = 4 s y la recta horizontal (que pasa por P) intercepta al eje que indica el espacio recorrido x = 40mt; esto es, cuando han transcurrido 4 s el espacio recorrido es 40 m. Tomar ahora dos puntos sobre la recta, el primero llamarlo punto inicial P¡ las coordenadas de este punto son (ti, xi), el segundo punto llámelo punto final Pf y sus coordenadas (t f x f). Xf - xi: La diferencia de espacios entre el punto inicial y el final.

Tf – ti : La diferencia entre los tiempos. Al efectuar el cociente (xf –x i) / (tf -ti) da 10 m/s que indica que el automóvil se mueve a una velocidad de 10 m/s. Observar que la respuesta es siempre la misma sin importar los puntos que tome porque se está trabajando con un objeto (automóvil) que se mueve con velocidad constante de 10 m/s. Al volver sobre la gráfica de la FIG. 4.9 que representa el espacio recorrido en función del tiempo se observa que es una recta que pasa por el origen (puesto en el momento que se empezó a medir el tiempo t = 0 s el espacio recorrido es de X = 0x m). Esta recta tiene por pendiente 10 m/ s.

1 2 3 4 5 6

50

100

150

200

• • • ••

Tiempo

Dis

tan

cia

FIG. 4.10

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El movimiento de caída libre1 de un cuerpo no es un movimiento en velocidad constante. En la FIG. 3.10 se muestra el movimiento de un objeto que cae libremente y a la derecha se muestra la posición x en función del tiempo. Los valores de la posición x se miden partiendo del punto donde el objeto se deja caer, en el momento que se suelta. En este punto se empieza a medir el tiempo t = 0s y a medir la posición, x = 0 Comparar este ejemplo de movimiento con el ejemplo anterior. La gráfica de la posición en función del tiempo ya no es recta; al tomar dos puntos: uno inicial Pi y otro final Pf el cociente ( Xf- X¡ ) / (tf -1¡) varía según los puntos que se tomen. Se tiene ahora un ejemplo de movimiento con velocidad no constante. En estos tipos de movimiento se puede diferenciar entre velocidad media y velocidad instantánea. La velocidad media durante un intervalo de tiempo (desde t1 hasta t2) se define como el cociente de las diferencias de los espacios recorridos entre la diferencia de los tiempos.

X2 – X1 Vm = (Ec. 4.1)

t2 – t1

∆ x Vm = (Ec. 4.1 a)

∆ t Al tomar el intervalo de tiempo muy pequeño, t2 muy cercano a t1 la diferencia de t2- t1 casi cero; se obtiene la velocidad que posee el cuerpo en el instante t1.

X2 – x1

V(t1) = Lim (Ec. 4.2) t2→ t1 t2 – t1

∆ x

V(t) = Lim (Ec. 4.2 a) t→ 0 t∆ t

La velocidad de una partícula es la rapidez con que cambia de posición al transcurrir el tiempo. 1 Caída cerca de la superficie de la tierra, despreciando la resistencia del aire.

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La velocidad media se refiere simplemente al desplazamiento total entre el tiempo total transcurrido. La velocidad instantánea es la velocidad de la partícula en un instante dado. Cuando la velocidad es constante la velocidad instantánea es la misma media y el movimiento se dice que es uniforme. En este tipo de movimiento la posición es función lineal del tiempo. El desplazamiento es un vector, el tiempo es un escalar, por tanto, la velocidad es un vector. Ejemplo Un automóvil sobre una carretera recta, parte de un punto 0 y recorre 200 Km en 3 horas, luego se devuelve al Km 150 en una hora Observar que le desplazamiento total fue 150 Km., Por qué la suma de dos desplazamientos: un desplazamiento X1= 200 Km. y un desplazamiento X2 = -50 Km (negativo por realizarse en dirección contraria, se devolvió) Tiempo Total 4 h. Velocidad media 120.5 Km/h. ¿Por qué? Ejemplo Dos autos salen de dos ciudades A y B distantes entre sí 600 km con velocidades de 80km/h y 100 km/h respectivamente, uno al encuentro del otro pero el de A sale dos horas antes. ¿Al cuánto tiempo y a qué distancia se encuentran? Empezando a contar el tiempo cuando sale el auto A, siendo la ciudad A el punto cero. El desplazamiento del auto A en función del tiempo viene dado por: X A (t)= (80 kms/hora).t

150 2000

X1

X2

FIG. 4.11

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El auto B durante las dos primeras horas se mantiene en reposo situado a 600 km de A (recuerde: la ciudad A es nuestro punto cero) y el tiempo se empezó a contar cuando parte el auto A. Cuando hayan pasado tres horas (t = 3) el auto B sólo ha estado una hora en movimiento y se encuentra en la posición: X(3) = 600 km - 100 km/h. 1 h X(3) = 500km. En general X B (t)= 600 km-100 km/h (t - 2 h)

X B(t) - 600 km - 100 km/h t + 200 km X B(t)= 800 km-100 km/h t

Los autos se encuentran cuando ambos estén a la misma distancia de A, es decir: XA ( t ) = XB (t )

80km/h t = 800 km-100 km/horA t

180km/h t = 800 km

t = = 4.44h Al reemplazar este valor de (t = 4.44 h ) en la ecuación XA o en la ecuación de XB se obtiene XA = XB =355.2 km.

800180

••

• • •

100

600

700

300

200

500

400

0 1 2 3 4 5 6 7 8

• •

• •

••

• ••

AUTO A

AUTO B

FIG. 4.12

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los autos se encuentran a 4.44 horas después de salir del punto A, a 355,2 km de A. 4.1.2 Aceleración Excepto en ciertos casos especiales la velocidad de un cuerpo varía continuamente durante el movimiento y se dice entonces que el cuerpo se mueve con movimiento acelerado o que tiene aceleración. En el movimiento de un objeto en caída libre como el que se ilustró en la figura 7, al medir experimentalmente las diferentes posiciones del objeto en diferentes momentos o tiempos (t = 0, t = 1, t = 2) se comprueba que la posición del objeto satisface la ecuación X (t) = 9.8m/s2 t Al trazar ahora una nueva gráfica de velocidad contra tiempo (el tiempo se representa en el eje horizontal y la velocidad en el eje vertical). Se obtiene la gráfica que se observa en la FIG. 4.13, es decir una recta que pasa por el origen el punto (0,0) indica que cuando se empezó a medir el tiempo el cuerpo estaba en reposo (V = 0) el punto (1,9.8) indica que al segundo 1 la velocidad es 9.8 m/s y así sucesivamente.

70

60

50

40

30

20

10

0

0 1 2 3 4 5 6

X(m)

V(m

/s)

FIG. 4.12

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Por ser una ecuación lineal, al tomar dos puntos cualesquiera de la gráfica, un punto inicial Pí y otro final Pf el cociente (Vf - V i)/(tf - t i) es constante. Este cociente es llamado aceleración media de la partícula cuando se mueve de Pi

a Pf durante el intervalo de tiempo de t i a tf

am = Am = = (Ec. 4.3) Al considerar un intervalo de tiempo muy pequeño, t2 muy cercano a ti la diferencia de t2 - t 1casi cero; se tiene lo que se llama aceleración instantánea, que es la aceleración que posee el cuerpo en un instante, en este caso en el instante t1

A(t1) = Lim (Ec.4.4) A(t) = Lim (Ec.4.4a) La aceleración de una partícula es la rapidez con que cambia de velocidad al transcurrir el tiempo. La aceleración media se refiere simplemente al cambio de velocidad entre el tiempo total transcurrido. La aceleración instantánea es la aceleración de la partícula en un instante dado. Cuando la aceleración es constante, la aceleración instantánea es la misma media y el movimiento se dice que es uniformemente acelerado. La velocidad es un vector, el tiempo es un escalar, por tanto, la aceleración es un vector. 4.1.3 Movimiento Uniformemente Acelerado Si la velocidad es lineal, el cociente que aparece en las ecuaciones 4.3 y 4.4 es el mismo para cualquier intervalo de tiempo (es decir independientemente de los

Variación de la velocidad (Vector)

Variación del tiempo (escalar)

Vf - vi

Tf - t

∆ V∆ V

V2 - V1

t2→t1

∆ V∆ t

t2→t1

t→0

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puntos que se tomen) y se dice que el cuerpo se mueve con aceleración constante, es decir la velocidad varia uniformemente durante todo el movimiento. Se estudian ahora las ecuaciones para este tipo de movimiento (uniformemente acelerado), y se comparan con las del movimiento uniforme. Para mayor facilidad se toma como punto inicial, el momento en que se empieza a medir el tiempo (ti =0 ó t1=0) y se designa por X0 y V0 y la posición y la velocidad en ese momento respectivamente y por X y V la posición y velocidad cuando ha transcurrido un tiempo t. Según esto, al retomar las ecuaciones 4.1, 4.2 y 4.3 se tiene: • Para el movimiento uniforme o movimiento con velocidad constante (V=V0

para cualquier momento y por tanto a=0): V= equivalente a x=xo + vt (Ec.4.5) • Para el movimiento uniformemente acelerado: a = Equivale a V=V0 + at (Ec.4.6)

Vm= (Ec.4.7) y como X= X0 + Vmt, se obtine X=X0 + v0 + at2/2 (Ec. 4.8) Combinando las ecuaciones 4.6 y 4.8 se llega a: V2 = V0

2 + 2a(X - X0) (Ec.4.9) Ejemplo Un cuerpo parte del reposo y a los 4 segundos alcanza una velocidad de 20 m/s. ¿Cuál es su aceleración? Solución Como parte del reposo v0 = 0m/s. Tiempo que estuvo en movimiento t=4s. Velocidad final vf = 20 m/s. ¿Tipo de movimiento? Como hay cambio de velocidad es acelerado. Supongamos movimiento uniformemente acelerado.

X - X 0

t

V - v 0

t

V + v 2

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∆ v 20m/s A = = 5m/s

∆ t 4s 4.1.4 Caída Libre de los Cuerpos El ejemplo más sencillo de movimiento uniformemente acelerado es el de un cuerpo que cae a la tierra, desde una altura no demasiado grande, movimiento denominado caída libre. La aceleración de un cuerpo en caída libre es la aceleración debida a la gravedad que es aproximadamente 9,8 m/s o lo que es lo mismo 32 pies/s o 980 cm/s, se representa por g y se le denomina simplemente gravedad. Ejemplo Desde un globo en reposo se deja caer un cuerpo. Calcular su posición y velocidad al cabo de 1,2,3,4 segundos. Como el movimiento es vertical (caída hacia la tierra) el espacio recorrido lo designamos con y así la ecuación 4.8 toma forma:

y = y0 + v0t + 1/2 at2

Si se toma como punto cero el punto donde estaba el globo cuando se soltó el cuerpo, se tiene que V0 = 0 Además se trata de caída libre luego la aceleración es la gravedad, con estas consideraciones se tiene que: y = g t2/2 [Ec. 4.10] y por tanto al cabo de un segundo ha caído una distancia

y = 9.8 (m/s2). 1s2/2

= 4.9 m al cabo de dos segundos ha caído una distancia

y = 9.8(m/s2).(2s)2 /2

= 9.8(m/s2 ).4s 2/2

= 19.6 m

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En la misma forma se obtiene que a los 3 segundos ha caído 44.1 m y a los 4 segundos a caído 78.4 m. Para calcular la velocidad se parte de la ecuación 4.6, tomando v=0 y a=g es decir v = g.t al transcurrir un segundo la velocidad es:

v = 9,8 (m/s2) . 1 s = 9,8 m /s Al transcurrir dos segundos la velocidad es: v = 9,8 (m/s2) . 2s=19.6m/s y al transcurrir 3 y 4 segundos la velocidad es 29,4 m/s y 39,2 m/s respectivamente. Ejemplo Un niño se asoma por la ventana de un edificio a una altura de 10m sobre el piso y lanza una bola verticalmente hacia arriba con una velocidad de 12 m/s. Despreciando la resistencia del aire hallar la altura máxima sobre el piso que alcanza la bola y el tiempo total transcurrido en el momento de tocar el suelo. Solución Primero que todo se fija un punto cero, un origen de coordenadas, por ejemplo el punto cero en el piso. Por ser movimiento vertical se acostumbra a llamar y al eje (línea) donde se realiza el movimiento y se mide la altura como positiva hacia arriba. Llamando h la altura de la ventana, es decir h=10 m, esta es la altura inicial (cuando se inicia el movimiento t=0). La velocidad inicial es 12 m/s (positiva puesto que se tomo hacia arriba) la gravedad va dirigida hacia abajo y entonces

0

20

17.35

14.77

10

t=1.22s Vf=0

t = 0.58

t=0 vo=0

10m

• •

• •

FIG. 4.13

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a=-9,8 m/s2=-g esta aceleración hace que la bola suba, vaya perdiendo velocidad, en el momento que la velocidad se haga cero (v=0) el cuerpo deja de subir e inicia su caída, en ese momento ha alcanzado la altura máxima. Las ecuaciones 4.6 y 4.8 se convierten en:

v = v0 - g t (Ec. 4.11)

y = y0+v0 t- gt 2/2 (Ec. 412) La altura máxima se logra cuando:

0 = v0- gt es decir t = v0 / g y por tanto:

ymáx = y0 + Vo (Vo /g) -g (Vo / g)2 /2

ymáx = yo + vo2 / 2g (Ec. 4.13)

Al sustituir los valores tenemos: ymáx = 10m + (12m/s)2/2 (9.8 m/s) ymáx = 17.35m. Observar la FIG. 4.13 Para calcular el tiempo total transcurrido al caer al piso, se sabe ya que subiendo hasta la altura máxima gasta un tiempo:

t = v0/g= t = = 1,22 s

Hace falta calcular el tiempo que emplea en caer desde la altura máxima hasta el piso. Para esto se tiene como momento inicial, el en que la bola se encuentra en el punto máximo por tanto v0=0 y y0= ymáx y el punto cuando la bola cae al piso es y=0. La aceleración sigue siendo la gravedad con signo negativo por estar dirigida hacia abajo, ya que se esta considerando como positiva la dirección hacia arriba. Luego se parte de: y = y0+v0 t –g t2/2 y teniendo en cuenta las consideraciones queda 0 = ymáx + 0.t –g t 2/2 es decir:0 - ymáx -g t2/2

12m/s

9,8m/s2

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al despejar t se obtiene: t = √ t= √ = 1.88 s

tiempo total transcurrido = tiempo de subida + tiempo de bajada tiempo total = 1,221 s + 1,801 s tiempo total = 3,10 s 4.2 MOVIMIENTO EN EL PLANO Son muy escasos los movimientos que se realizan en una dimensión o sobre una recta, la mayoría de los movimientos se realizan describiendo una curva o trayectoria en el plano o en el espacio. Para describir estos movimientos se inicia como en el caso de una dimensión por fijar un punto cero, y también se fija un sistema de coordenadas con este orden, en un cierto t el objeto estará en algún punto P que es especificado por sus coordenadas (x,y,z), el vector r que tiene su origen en cero y extremo en P es el vector posición en ese tiempo t como se muestra en la FIG. 4.14 Si el objeto en movimiento se encuentra en un momento t1 en el punto P1 de coordenadas (x1 ,y1, z 1) es decir, con vector de posición r1 = x11 + y1 j+ z1k y en un momento posterior t2 se encuentra en el punto P2 de coordenadas (x2, y2, z2)

2 ymáx g

2(17,35)

9,8m/s2

FIG. 4.14

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con vector de posición r2 = x2i + y2j+ z2k el objeto se ha movido a lo largo de su trayectoria desde el punto P1 hasta el punto P2, el desplazamiento durante este intervalo de tiempo, ∆t = t 2 – t2, se describe por el vector.

∆r = r2 – r1 es decir por el vector p 1p1

∆r = (x2-x1)1 + (y2–y1)j + (z2 –z1)k (Ec. 4.16)

∆r = ∆x1 + ∆yj + ∆zk (Ec. 4.17) La velocidad media durante este intervalo, se define en forma análoga a como se definió para el movimiento unidimensional, sección 4.1.1 es decir, como el cociente del desplazamiento entre el intervalo de tiempo. Esto es:

r2 – r1 ∆r x2 – x1| y2 – y1 z2 – z1

Vm = = = = 1+ j + k (Ec.4.18) t2 – t2 ∆t ∆t ∆t ∆t

∆x ∆y ∆z

Vm = 1 + j + k (Ec. 4.19) ∆t ∆t ∆t

Como se observa en estas ecuaciones, la velocidad media es una cantidad vectorial que tiene la misma dirección que ∆r y su magnitud es la de ∆r dividido entre ∆ t. La magnitud de ∆r es siempre la distancia entre P1 y P2, independientemente de la forma real de la trayectoria que siga la partícula. Por lo tanto, la velocidad media será la misma para cualquier trayectoria que siga la partícula de P1 a P2 en el intervalo de tiempo ∆t. La velocidad instantánea v, en el punto P1, se define como el límite al que se aproxima la velocidad media cuando el punto P2 se toma cada vez más próximo al punto P1, es decir cuando el intervalo de tiempo es casi cero.

∆r Velocidad instantánea v = lím [Ec. 4.20] ∆t → 0 ∆t El vector velocidad instantánea o simplemente velocidad, tiene la dirección de la recta tangente a la trayectoria en ese punto. Si la velocidad es constante en cualquier punto entonces la velocidad media en cualquier intervalo es la misma sin importar el intervalo de tiempo que se considere. Si la velocidad no es constante, entonces es posible hablar de aceleración como el cambio de la velocidad por unidad de tiempo y se hablará como en el caso del movimiento unimensional de aceleración media y aceleración instantánea.

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V2 – V1 ∆v Am = = [Ec. 4.21]

t2 – t1 ∆t

∆vx ∆vy ∆v Am = 1 + j + k [Ec. 4.22]

∆t ∆t ∆t

∆v Aceleración instantánea a = Lim [Ec. 4.23]

∆t→0 ∆t El vector aceleración instantánea no tiene la misma dirección del vector velocidad, el vector a señala hacia la parte cóncava de la trayectoria. Cuando se trata de movimientos cuya trayectoria esta contenida en un plano, ó simplemente movimiento en el plano, tienen validez las ecuaciones 4.15 a 4.23, solo que basta con tan sólo dos componentes. Cuando la partícula se mueve en una trayectoria curva en el plano el vector aceleración puede descomponerse en dos componentes rectangulares, una at en la dirección de la trayectoria (en la dirección de la recta pendiente a la curva en ese punto), y un componente am en la dirección normal a la trayectoria. Ver FIG. 4.15 Estas componentes no tienen direcciones fijas, varían de acuerdo al punto, sin embargo tienen un significado físico. La componente tangencial a11 se debe al cambio en la dirección de la velocidad, mientras que la componente normal aT se debe al cambio en la dirección de la velocidad.

FIG. 4.15

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4.2.1 Movimiento Parabólico Entre los ejemplos más sencillos de movimiento en el plano (aparte del movimiento lineal) esta el movimiento parabólico es decir cuando la trayectoria es una parábola o parte de ella. Caso Particular Cuando el Vector Velocidad Inicial es Horizontal Imaginar que una esfera rueda sobre la superficie de una mesa, y que la esfera se mueve con movimiento uniforme, con una cierta velocidad V0. ¿Qué tipo de trayectoria seguirá la esfera cuando se termine la superficie de la mesa?. Ensayarlo haciendo rodar una esfera sobre una mesa, de superficie bastante liza para que el rozamiento sea mínimo. Al hacer varios lanzamientos con distintas velocidades ¿Qué se puede observar? Para lograr hacer mediciones y describir la trayectoria, se puede utilizar una rampa como la que se muestra en la figura y soltar la esfera desde un mismo punto P, (desde una misma altura h), para que al salir de la rampa, salga siempre en la misma velocidad inicial V0

¿Cómo se podrá medir en distintos puntos de la trayectoria los valores de las coordenadas X y Y? Ingeniar algo. Al tomar estas medidas, se observa que al expresar y en función de X se obtiene que Y=k x2, que corresponde a una trayectoria parabólica. Si se toma como punto cero, punto inicial, cuando la esfera abandona la rampa y considerando que la esfera sale con una velocidad inicial V0=V0 i (velocidad dirigida en el eje de las X), y teniendo en cuenta que sobre la esfera actúa la gravedad dirigida hacia abajo, es decir, en la dirección j. Observar la FIG.4.16, j

FIG: 4.16

x

x

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está dirigido hacia abajo, como la esfera cae es más conveniente tomar como dirección positiva del eje y la dirigida hacia abajo, es decir cuando haya caído 1m la coordenada tendrá el valor de 1m. En cualquier momento t se tiene que:

a(t) = 01 + g j, es decir ax = 0 ay = g La componente de la velocidad en la dirección del eje X es constante, Vx=V0 luego X=V0t En la dirección del eje Y el movimiento es uniformemente acelerado, con V0y= 0 y ay = g, luego Vy = gt y Y=1/2 t2

Por consiguiente V(t) = Vo1+ g t j

R(t) = V0t1 + ½ g t2 j Ejemplo Un proyectil es lanzado horizontalmente desde una altura de 36 metros con velocidad de 45 m/s. • ¿Cuánto tiempo gasta el proyectil en caer al piso?

• ¿Cuál es el alcance horizontal?

• ¿Con qué velocidad cae al piso? Solución El tiempo que gasta en caer, es el tiempo que gasta en recorrer verticalmente una altura de 36m.

FIG. 4.17

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Colocando el origen en el punto de lanzamiento y considerando como positiva la dirección y hacia abajo, cae cuando Y=g t 2/2. El alcance horizontal es la distancia que alcanza ha recorrer en la dirección de las X antes de caer al piso. Como ya se dijo en la dirección del eje X, el movimiento es uniforme: X= V0 t V0 es la velocidad inicial con la cual se lanzó v0 = 45 m/s. (observar que el proyectil fue lanzado horizontalmente luego esta es velocidad inicial en la dirección del eje X) Como el proyectil dura en el aire 2.7 s. tenemos que el alcance horizontal es

x = 45m/s 2.7s = 121.5 m La velocidad cuando cae al piso t = 2.7 s V(t) = V01 +g t j Es decir V = 45m/s1+ 9.8 m/s2 . 2.7 s j V = 45 m/s1+ 26.46 m j Este es el vector velocidad al caer, cuya magnitud es:

V= √(45 m/s)2 + (26.46 m/s)2

V= √2725.13 (m/s) 2= 52.20 m/s Caso General Tomar una pelota (u otro objeto cualquiera) lanzarla a un compañero que se encuentre a una distancia X de Ud. Representar este lanzamiento mediante un dibujo. ¿Cuál es la trayectoria de la pelota? Para que la pelota llegue a su compañero Usted ha tenido que lanzarla con una cierta velocidad, velocidad inicial Vo. Representar en su dibujo este vector. ¿Qué diferencias se encuentran entre este movimiento y el descrito en la sección anterior? ¿Cuál será la máxima altura que alcanza el objeto? Representarlo en un dibujo. ¿Cuál será el alcance horizontal? Tomar un origen de coordenadas; el punto de lanzamiento; una dirección positiva para el eje de las Y: la dirigida hacia arriba, una dirección positiva para el eje de las X: a dirigida horizontalmente en la dirección de avance de la pelota.

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Teniendo en cuenta estas consideraciones, trazar ahora los ejes coordenados sobre el dibujo de la trayectoria. Llamar θ al ángulo que forma el vector velocidad inicial V0 en el eje positivo de las X. ¿Quién es θ en su dibujo? El vector V0 se puede expresar como V0 = Vox1+ Voy j. Si conoce la magnitud de Vo y el valor del ángulo θ, Cuál será el valor de Vo X y de V o Y? Imaginar que en un momento t distinto del inicial la pelota se encuentra en un punto P de la trayectoria. En este punto P: ¿Cuál es el vector posición r? ¿Cuál el vector velocidad v? ¿Cuál el vector aceleración? Representar gráficamente. Analizar la Ec (4.19), la cual dice que cada componente de la velocidad es la variación de la coordenada correspondiente por unidad de tiempo y la Ec (4.22) cuyo mensaje es que cada componente de la aceleración es la variación de la velocidad por unidad de tiempo de cada componente de la velocidad. Esto nos dice que el movimiento horizontal (movimiento en x), y el movimiento vertical, (movimiento en y), son independientes y el movimiento real es una superposición de estos movimientos. Observar los gráficos siguientes, ellos dan respuesta a las preguntas iniciales y además ayudan a descubrir las ecuaciones de este movimiento. Es así como se ilustra que el vector aceleración en cualquier punto de la trayectoria es a =-g j (signo menos por estar a dirigida hacia abajo y se ha tomado como dirección positiva del eje Y, la dirigida hacia arriba) o mejor: a= o1 –g j, es decir, en el movimiento en el eje de las X, la variación de la velocidad es nula ax=0, el movimiento horizontal es un movimiento uniforme (velocidad en X constante). El movimiento en Y es un movimiento uniformemente acelerado ay = -g.

FIG. 4.17

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4.2.2 Movimiento Circular Uniforme Este movimiento como su nombre lo indica es un movimiento en una trayectoria circular y si bien su vector velocidad no es constante, porque, cambia de dirección, la magnitud del vector velocidad (rapidez) si es constante.

Vo

Vox = Vo cosθ Vx = Vox = kte

Voy = Vo senθ

FIG. 4.18

Ay=g ax=0X(t)i

Y(t)j

V

FIG. 4.19

V1

r1V1

V2

r2 V2

AV

FIG. 4.20

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Como ya se dijo, el vector velocidad es tangente a la trayectoria luego en el movimiento circular el vector velocidad es perpendicular al radio. En la FIG. 4.20 se representa una partícula que se mueve con movimiento circular uniforme en dirección contraria a las manecillas del reloj y con trayectoria de radio R. Suponer que en el momento t1 se encuentra en el punto P1 y su vector velocidad en ese momento es V1 y un momento después, t2, se encuentra en el punto P2 con velocidad V2; en este intervalo de tiempo la partícula se ha desplazado desde P1 hasta P2 y el vector desplazamiento es P1P2 = ∆s, el vector velocidad ha variado en V2 - V1 = ∆v luego su aceleración media en este intervalo es am = (V2 -V1) / (t2-t1, ) = ∆v/∆t Proceso de comprensión y Análisis • Expresar el valor aproximado de la velocidad en metros por segundos (m/s)

para cada uno de los objetos de la fila.

- Una hormiga que camina

- Una persona que camina con paso regular

- Un corredor de pista corriendo la milla

- Un automóvil en una autopista

- Un avión a reacción de aerolínea (650 mi/h, o cerca del 90% de la velocidad del sonido.

- Un satélite artificial cerca de la tierra (radio de la órbita, 7000 km; periodo, aproximadamente 90 min).

- La luna en su órbita alrededor de la tierra (radio de la órbita de aproximadamente 3653 días.

• Dos trenes parten de una misma estación, uno a 50 km/h y el otro a 72km/h.

- ¿A qué distancia se encontrará uno del otro al cabo de 120 minutos?

- ¿Si marchan en la misma dirección?

- ¿Si marchan en direcciones opuestas?

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• Un automóvil se desplaza por una carretera de acuerdo con el gráfico:

- Describir el movimiento del auto

- Calcular la distancia total recorrida.

- ¿Cuál fue el desplazamiento del auto? • La velocidad de un avión es 980 km/h y la de otro 300 m/s. ¿Cuál de los dos

es más veloz? • Dos automóviles A y B se desplazan en una misma carretera tal como lo ilustra

el grafico.

- Describir el movimiento de cada cuerpo.

- Calcular la velocidad de cada uno.

- Encontrar el espacio recorrido por cada móvil en 2 horas.

t (h)

0 03 0.6 0.9 1.2

-24

24

V(km/h)

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• El siguiente ejercicio “Experiencias Sugeridas” puede ser realizado por máximo cuatro participantes. Tomar una caja o bloque homogéneo, tal como una panela, un ladrillo o un trozo de madera de forma regular. Necesitará también un dinamómetro, un cronómetro, una regla graduada o metro y mucha paciencia. Proceda así: Número 1:

- Medir el peso del objeto (bloque) (anotar el resultado).

- Colocar el objeto sobre una superficie horizontal, puede ser el piso, una mesa, etc.

- Aplicar lentamente una fuerza horizontal mediante el dinamómetro, pero hasta un punto tal que el bloque no se mueva, es decir hasta un punto justamente antes de que se mueva; la indicación del dinamómetro en ese punto le dirá cual es la fuerza de fricción estática, repita el proceso varias veces, y en cada uno determinar el coeficiente de fricción estática.

Número 2:

- Con el cuerpo sobre una superficie horizontal aplicar con el dinamómetro una fuerza que forme un ángulo aproximado de 30º - 45º con la horizontal, tenga cuidado que el ángulo conserve ese valor cuando el cuerpo se este moviendo.

- Sobre el piso o mesa haga marcas borrables a lo largo del posible desplazamiento, por ejemplo cada 5 o 10 cm o más, que servirán para medir la velocidad.

- Alistar el cronómetro y poner el cuerpo en movimiento bajo la acción del dinamómetro cuidando que el ángulo se mantenga constante así como la velocidad, para lo cual se procurará recorrer distancias iguales en tiempos iguales. Esto no es sencillo de lograr pero posiblemente sus resultados serán estables.

- Un ayudante tomará nota de la indicación del dinamómetro, que si todo va bien mientras dure el recorrido tendrá una misma indicación.

- Con los datos de ángulo medido y mantenido e indicación del dinamómetro se determinará la fuerza de fricción. (¿Por qué?). Calcular el coeficiente de fricción cinético. Compararlo con el valor obtenido en el caso estático.

Número 3:

- Uso del plano inclinado. Pueden repetirse los pasos de la experiencia anterior.

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- Para el caso estático se requiere encontrar el ángulo que forme con la horizontal, una tabla o lámina plana, un plano inclinado, sobre la cual se colocará una tabla o lámina plana, que conforme un plano inclinado, sobre la cual se colocará un objeto (libro), de forma que dicho objeto no llegue a moverse; el ángulo de elevación se va aumentando poco a poco hasta que el objeto comience a deslizar.

- Cuando se encuentre el ángulo θ para el cual el objeto justo empiece a moverse, entonces el valor del ángulo θ encontrado, permitirá determinar el coeficiente de fricción estático.

- Puede repetirse el experimento logrando que el cuerpo deslice por la tabla con velocidad constante. Se repetirán algunos pasos del experimento y se medirá µs

- ¿Cómo deberán estar relacionadas los coeficientes µs y µk? Nota: Vale la pena que se reunirse los diferentes grupos formados y discutir las dificultades y experiencias que deja el experimento así como sus resultados. podrán hacer preguntas al tutor o pueden sugerir otras experiencias y mostrarlas. En las preguntas y ejercicios que se proponen a continuación intentar resolver individualmente. Después conformar pequeños grupos con otros compañeros (3-4 participantes), discutir los planteamientos y respuestas hasta llegar a un consenso. Tomar nota de los aspectos más importantes de las soluciones propuestas, para discutirlas con el tutor. • ¿Qué masa tiene un cuerpo que pesa 1 din en un punto donde g - 980 cm.s2? • Cuando un automóvil (sea bus, camión, etc), frena bruscamente, los pasajeros

son lanzados hacia adelante, fuera de sus asientos. ¿Qué fuerza causa este movimiento?, ¿Qué ley o leyes de Newton se involucran?

• Un pasajero en un bus advierte que una pelota que estaba en reposo en el

pasillo empieza a moverse de repente hacia la parte trasera del bus. Buscar dos explicaciones posibles para el hecho y un método para establecer cuál es la correcta.

• Si nos llevaran en el próximo viaje a la luna, portando una balanza, ¿habría

diferencia en la luna al determinar para un objeto la masa y el peso? • ¿Por qué una persona puede lanzarse de cabeza al agua desde una altura de

10m sin lesionarse, mientras que si salta desde la terraza de un edificio de 10m y aterriza sobre el pavimento resultará gravemente accidentada?

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• ¿Si las unidades fundamentales del sistema S.I fueran la fuerza, la longitud y el tiempo, en vez de las de masa, longitud y tiempo, cuáles serían las unidades de masa en función de las nuevas unidades fundamentales?

• Para empujar una caja hacia arriba sobre una rampa, ¿es mejor empujarla

horizontal o paralelamente a la rampa?, ¿Por qué? • Un globo de helio (lleno) se mantiene en el aire sin ascender ni descender.

¿Esta en equilibrio?, ¿Qué fuerzas actúan sobre él? • Calcular la aceleración de la gravedad en Marte y en la luna, partiendo de la ley

de la gravitación universal y que Wmarte –mgmarte; W luna= mg • ¿En qué cuerpo celeste (marte, luna tierra) Ud. saltará más alto?, ¿dónde le

será más fácil transportar un objeto de 25 Kilos en sus brazos?.

- masa de marte Mm = 0.11 MT; radio de marte Rm = 3394 Km

- masa de la luna M1 = 0.012 MT; radio de la luna R1 = 1378 Km • Un bloque de masa M, se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado liso, que

forma un ángulo a con la horizontal,

- ¿Cuál es la fuerza que obliga al bloque a deslizarse sobre el plano?

- ¿Cuál es la aceleración del bloque?. • Un bloque A descansa sobre una mesa sin rozamiento y está unido por una

cuerda que pasa por una polea a un bloque suspendido B. La masa del bloque B desciende 0.8 m en 1 s.

- Representar en un diagrama todas las fuerzas que actúan en el bloque B, y calcular la tensión en la cuerda

- Representar en un diagrama todas la fuerzas ejercidas sobre A y calcular su masa

- Hacer un dibujo que describa la situación física que plantea el problema. • Un cuerpo que se mueve con aceleración constante, recorre el espacio que

separa dos puntos, distantes 54m, en 6 seg. Su velocidad cuando pasa por el segundo es 13,5 m/s.

- ¿Cuál es su aceleración?

- ¿Cuál es su velocidad en el primer punto?

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• Un automóvil acelera a partir del reposo hasta 96 Km/h en 3.5 s.

- ¿Cuál es la aceleración media durante ese tiempo? Expresar el resultado en kilómetros por hora por segundo, g la aceleración gravitatoria.

- Suponiendo que la aceleración es constante, ¿qué distancia viaja el automóvil durante este tiempo?

- Suponer que en una carrera de 400 m el automóvil mantiene una aceleración igual a la que se encontró en la parte a. ¿Cuál sería su velocidad final?, ¿Cuál su velocidad media?, ¿Cuánto tiempo tardaría en completar la carrera?

• En movimiento unidimensional:

- ¿Qué dirección tienen los vectores desplazamiento, velocidad y aceleración?

- ¿Qué se puede decir de las componentes tangencial y normal de la aceleración?

• Una piedra fue lanzada en dirección horizontal. A los 0.5 s de comenzar el

movimiento el valor numérico de la velocidad de la piedra era 1.5 veces mayor que la velocidad inicial. Hallar la velocidad inicial de la piedra. La resistencia del aire no se tiene en cuenta.

• Teniendo en cuenta las consideraciones anotadas intentar probar las siguientes

ecuaciones el movimiento parabólico.

- V = V OX1 + (V OY – g t)j

- R = V OX 1+(V OYt-1/2gt2)j

- Ts = V02 sen 20/g (ts representa tiempo de subida).

- Ymáx = 2Vo2 cos θ sen θ / g

• El movimiento circular uniforme es un ejemplo de movimiento en el plano.

- ¿Qué sucede con las componentes normal y tangencial del vector aceleración?

- ¿Cómo puede calcular el valor de cada una de estas componentes?

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UNIDAD 5 Dinámica

Horizonte Lograr la comprensión de las tres leyes básicas de la mecánica, su correcta interpretación y aplicación en los diferentes fenómenos y problemas tanto del entorno como de la práctica pedagógica Núcleos Temáticos y Problemáticos Fuerza

Primera Ley de Newton

Tercera Ley del Movimiento de Newton

Segunda Ley de Newton

Unidades

Metódica Recomendable para la Solución de Problemas y Ejercicios de Aplicación

Fuerzas Normales.

Fuerzas de Fricción o de Rozamiento Proceso de Información Muchas inquietudes surgen en la mente humana, tratando de interpretar o explicar algunos interrogantes que el individuo experimenta, en su interacción permanente con la naturaleza y en especial con el mundo físico. Como la mecánica es la ciencia que estudia el movimiento y sus causas, y siendo el movimiento un hecho que se percibe y experimenta en todo momento y en todo lugar, antes de entrar en detalle sobre el desarrollo del tema, vale la pena reflexionar sobre las siguientes cuestiones:

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• ¿Qué se necesita para que un cuerpo que esté en reposo empiece a moverse?

• ¿Qué se necesita para detener un cuerpo que esté en movimiento?

• Si un cuerpo se mueve sobre una recta ¿qué se necesita para desviarlo?

• ¿Qué tienen en común estos tres procesos? La respuesta a estos interrogantes se aclaran en la medida que se le dé significado al concepto de fuerza.

La mecánica se basa en tres leyes naturales que relacionan la fuerza y el movimiento, establecidas por primera vez por sir Isaac Newton (1642 - 1727), y publicadas en 1686 en su Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Los fundamentos matemáticos de la ciencia de la Naturaleza). Fueron muchos los científicos que precedieron a Newton en este campo, pero el más importante fue Galileo Galilei2 (1564 - 1642) que, en sus estudios sobre el movimiento acelerado, había establecido los fundamentos que permitieron a Newton la formulación de sus tres leyes. 5.1 FUERZA La fuerza es un concepto fundamental en física. Al empujar o tirar un cuerpo, decimos que ejercemos una fuerza sobre él. Los objetos inanimados también pueden ejercer fuerzas; un resorte tensado ejerce fuerzas sobre el objeto que intenta estirarlo o comprimirlo, un gas contenido en un cilindro ejerce fuerzas sobre las paredes del recipiente que lo contiene; una locomotora ejerce una fuerza que intenta estirarlo o comprimirlo, un gas contenido en un cilindro ejerce fuerzas sobre el tren que empuja o del que tira. La fuerza de atracción gravitatoria con que la Tierra atrae a los cuerpos se denomina peso del cuerpo. Las fuerzas gravitatorias (al igual que las fuerzas eléctrica y magnética) pueden actuar sin contacto a través del vacío. La fuerza sobre un objeto resultante del contacto directo con otro cuerpo se llama fuerza de contacto, a escala atómica, las fuerzas de contacto proceden principalmente de la atracción y repulsión eléctrica entre los electrones y los núcleos que constituyen los átomos de la materia.

2 Ya antes Galileo había generalizado los resultados de sus experimentos con declaraciones equivalentes a la Primera y Segunda Ley, aunque no pudo completar la descripción de la dinámica por no haberse dado cuenta del significado de la Tercera Ley y adolecer por tanto de impresición en su idea de fuerza.

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Como se dijo (unidad 2), la fuerza es una cantidad vectorial. Para describir una fuerza necesitamos indicar la dirección sobre la que actúa, así como su magnitud, que es una descripción cuantitativa de "cuánto" o "con qué intensidad" empuja o tira la fuerza, expresado en función de una unidad patrón de fuerza. Se define la unidad de fuerza en función de las unidades de masa, longitud y tiempo. La unidad de fuerza en el sistema SI es el newton, que abreviado se escribe N, que es la fuerza que le imprime a un cuerpo de un kg de masa una aceleración de 1m.s-2

Las restantes unidades de fuerza se dan en la tabla 5.1. Un instrumento utilizado generalmente para medir fuerzas es el dinamómetro que consiste en un resorte helicoidal, contenido en una funda protectora, que lleva en un extremo una aguja que se mueve sobre una escala. Cuando una fuerza actúa sobre el dinamómetro, varía la longitud del resorte y, por tanto, la lectura en la escala. El efecto de una fuerza depende también de la posición del punto en que ésta se aplica. Por ejemplo, cuando se empuja horizontalmente una puerta, la eficacia de una fuerza dada depende de la distancia de su punto de aplicación a los goznes sobre los que gira la puerta.

FIG. 5.1 Dos fuerzas aplicadas a un cuerpo por separado, equivalen a la acción de una sola conocida como la resultante.

Considerar ahora el siguiente problema físico. Dos fuerzas, representadas por los vectores F1 y F2 en la FIG. 5.1, se aplican simultáneamente sobre el mismo punto A de un cuerpo. ¿Es posible producir el mismo efecto aplicando una sola fuerza en A? Y si lo es, ¿Cuál sería su magnitud y dirección? Sólo se puede responder a la pregunta mediante el experimento; la experiencia muestra que una sola fuerza cuya magnitud, dirección y línea de acción es la del vector suma FR de las fuerzas originales, es en todos los aspectos equivalente a ellas. Esta fuerza única se llama resultante de las fuerzas originales. Por tanto, el proceso matemático de hallar el vector suma de dos fuerzas corresponde a la operación física de hallar la resultante de las fuerzas, por tanto, el proceso matemático de hallar el vector suma de dos fuerzas corresponde a la operación física de hallar la resultante de las dos fuerzas aplicadas simultáneamente un punto dado.

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El hecho de que las fuerzas pueden sustituirse por el vector suma es de gran importancia, puesto que, también permite representar una fuerza por medio de sus componentes, recordemos en este punto que una fuerza como vector se puede representar por medio de sus componentes. Por lo tanto, cualquier fuerza puede sustituirse por sus componentes rectangulares, aplicadas sobre el mismo punto. 5.2 PRIMERA LEY DE NEWTON Uno de los efectos de una fuerza es modificar el estado de movimiento del cuerpo. En el caso más general, una fuerza única que actúa sobre un cuerpo produce a la vez cambios en sus movimientos de traslación y rotación. No obstante, cuando varias fuerzas actúan simultáneamente sobre un cuerpo produce a la vez cambios en sus movimientos de traslación y rotación. No obstante, cuando varias fuerzas actúan simultáneamente sobre un cuerpo, sus efectos pueden compensarse entre sí, dando como resultado que no exista cambio en su movimiento de traslación ni en el de rotación. Cuando ocurre esto, se dice que el cuerpo está en equilibrio. Esto significa:

• Que el cuerpo en conjunto permanece en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo y velocidad constante.

• Que el cuerpo no gira o que lo hace con velocidad constante. La afirmación de que un cuerpo está en equilibrio completo, cuando se satisfacen las condiciones requeridas, es la esencia de la primera la Ley del movimiento de Newton. Newton no la expresó exactamente con estas palabras. Su definición original (traducida del latín, en que fueron escritos los principios) dice: “Todo cuerpo continúa en su estado de reposo, o de movimiento rectilíneo uniforme, a menos que sea impedido a cambiar dicho estado por fuerzas que actúan sobre él” Aunque Newton no mencionó explícitamente el movimiento de rotación, es evidente por su obra que comprendió perfectamente las condiciones que han de satisfacer las fuerzas cuando la rotación es nula o constante. 5.2.1 Interpretación de la Primera Ley de Newton La primera Ley del movimiento de Newton no es tan evidente como parece. En primer lugar, esta ley afirma que, en ausencia de fuerzas aplicadas, un cuerpo permanece en reposo o se mueve con movimiento rectilíneo uniforme. En consecuencia, cuando un cuerpo se ha puesto en movimiento, no es necesario ejercer una fuerza sobre él para mantenerlo en movimiento.

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Esta afirmación parece contradecir la experiencia cotidiana. Supongamos que se ejerce una fuerza con la mano para mover un libro sobre el tablero horizontal de una mesa. Cuando el libro se aleja de la mano y dejamos de ejercer una fuerza sobre él, no sigue moviéndose indefinidamente, sino que disminuye su velocidad y se para. Si deseamos que siga moviéndose uniformemente, hemos de continuar ejerciendo una fuerza sobre él. Esta fuerza sólo es necesaria a causa de la fuerza de rozamiento en dirección opuesta que ejerce la mesa sobre el libro en movimiento. Cuanto más lisas sean las superficies de la mesa y el libro, menor será la fuerza de rozamiento y menor, por tanto, la fuerza que hemos de ejercer para mantener en movimiento el libro. La primera ley afirma que si pudiéramos eliminar por completo el rozamiento, no se necesitaría ninguna fuerza para mantener en movimiento el libro, una vez iniciado. Es más, la ley implica que, si la fuerza resultante sobre el libro es nula, como sucede cuando la fuerza de rozamiento está equilibrada por una fuerza igual hacia adelante, el libro sigue moviéndose uniformemente. En otras palabras, una fuerza resultante nula equivale a no aplicar ninguna. Además, la primera ley define indirectamente lo que se conoce como sistema de referencia inercial. Para comprender lo que significa este término hemos de admitir que el movimiento de un cuerpo dado sólo puede expresarse en función de otro. Su movimiento en relación con un cuerpo puede ser muy diferente del relativo a otro. Así, un pasajero de un bus (o avión) que despega puede estar en reposo respecto al bus (o avión), pero moviéndose cada vez más a prisa respecto a la tierra. Un sistema de referencia es un conjunto de ejes coordenados ligados con algún cuerpo o cuerpos determinados que permanecen en reposo, o se mueven con movimiento uniforme y rectilíneo, es decir sin aceleración. No existe, por tanto, un sistema de referencia inercial único, sino muchos equivalentes entre sí. Por último la primera ley de Newton contiene una definición cualitativa del concepto de fuerza, o al menos de un aspecto del concepto de fuerza, como "aquello que cambia el estado de movimiento de un cuerpo". (Por supuesto, las fuerzas también producen otros efectos, tal como variar la longitud de un resorte). Cuando observamos que un cuerpo, en reposo respecto a la Tierra, empieza a moverse, o cuando acelera, se retarda o cambia de dirección, deducimos que actúa una fuerza resultante sobre él.

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5.3 TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO DE NEWTON Cualquier fuerza dada es sólo un aspecto de una interacción entre dos cuerpos. Se sabe que siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejerce sobre el primero una fuerza de la misma magnitud, dirección opuesta y con la misma línea de acción. No es posible, por tanto, la existencia de una fuerza aislada. Las dos fuerzas que intervienen en toda interacción entre dos cuerpos reciben a menudo los nombres de "acción" y "reacción", pero esto no implica que su naturaleza sea distinta, o que una fuerza sea la "causa" y la otra su "efecto". Cualquiera de ellas puede considerarse como "acción", y la otra como su "reacción". Newton estableció esta propiedad de las fuerzas en su tercera ley del movimiento. Según sus palabras: “A cada acción se opone siempre una reacción igual; es decir, las acciones mutuas entre dos cuerpos son siempre iguales y están dirigidas hacia partes contrarias” Ejemplo Considérese una persona que hala horizontalmente un cable fijo a un bloque que descansa sobre una mesa horizontal como se ve en la figura, estando en reposo inicialmente el sistema. Establézcanse las fuerzas de acción y reacción en cada caso.

Fig. 5.2.1: Fuerzas ejercidas sobre el cable por la mano y el bloque en el caso dado resultan iguales y opuestas de forma que la F resultante sobre el cable es cero. La persona hala del cable con una fuerza FAP = FRC. Igualmente, el cable ejerce una fuerza FAP sobre el bloque y éste a su vez ejerce una fuerza de reacción fRB, y nuevamente de acuerdo con la tercera ley de Newton

De lo expuesto hasta aquí, debe quedar bien en claro lo siguiente:

• Las fuerzas de acción y reacción se aplican a cuerpos diferentes: (mano al cable y cable a la mano), así mismo cable al bloque y el bloque al cable y como

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lo anotamos, en cada caso se cumple que dichas parejas de fuerzas son de igual magnitud y de direcciones opuestas.

• Las fuerzas están contenidas en la recta que une la mano, el cable y el bloque.

• Se hubiera podido elegir como fuerzas de acción a fRC y fRB sin que nada hubiera cambiado, por lo cual no importa cual fuerza se llame acción y cual reacción.

FIG. 5.2.2: El bloque se ha movido (a≠0). Para que haya desplazamiento, la fuerza ejercida por la mano sobre el cable es superior a la ejercida por el bloque, y la fuerza neta tiene magnitud fAP - fRB dirigida hacia la derecha.

Asumimos que el cable tiene una masa mC. Para hacer que el bloque y el cable salgan del reposo, se debe tener una aceleración por ejemplo a. Las únicas fuerzas que actúan sobre el cable son Fap y F RB de forma que la fuerza resultante sobre el cable es: F + F RB - FR AP

Y la fuerza resultante FR debe ser diferente de cero si se desea mover el bloque. Como se verá más adelante, de acuerdo a la segunda ley de Newton, se tiene que la resultante de las fuerzas sobre el cable debe cumplir: FAP + FRB = mca Y como las fuerzas y la aceleración están contenidas en la misma línea, consideramos la dirección hacia la derecha como positiva y la opuesta como negativa, para eliminar (por ahora en este caso solamente) la notación vectorial y escribir las magnitudes de los vectores así: Fap - F RB= mca Se observa que en general FAP no tiene la misma magnitud que FAP y estas dos fuerzas obran sobre el mismo cuerpo (el cable) y no son pareja de acción - reacción. (Recuerdar que ahora hay una aceleración hacia la derecha). Ahora, sólo si la aceleración del sistema (cable, mano y bloque) es cero se tendrá que la pareja de fuerzas FAPY FRC resulta de igual magnitud que la pareja FAP y FRP

Sólo en este caso especial puede decirse que el cable transmite íntegramente la fuerza ejercida por la mano directamente al bloque sin cambio alguno, resultado que se puede obtener también si se considera que la masa me del cable sea

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despreciable o cero. Es decir, que el cable no posee masa, que por lo general es lo más usual a considerar en los ejercicios. La fuerza ejercida en un punto cualquiera de la cuerda se llama tensión. Ejemplo Se deja caer o se suelta una bola de bolos cuya masa es de 0.5 kg desde una altura de 1.2 metros (pequeñísima comparada con el radio de la tierra). Identificar las parejas: acción - reacción. Tanto la bola como la tierra se atraen mutuamente (aunque es despreciable el desplazamiento de la tierra debido a la atracción que sobre ella ejerce la bola), sólo se aprecia la caída de la bola hacia el centro de la tierra. No importando cómo designemos la fuerza de acción y cuál la de reacción debe cumplirse en este caso: FTB = FBT

Y sus magnitudes debe ser iguales: FTB = FBT

Cada fuerza se aplica a un cuerpo diferente.

FIG. 5.3: Fuerzas de Acción-Reacción entre la tierra y un cuerpo dado 5.4 SEGUNDA LEY DE NEWTON Los conceptos de fuerza y aceleración se trataron por separado en las unidades de estática y cinemática y se vió que el requisito para lograr el equilibrio de translación está contenido en la primera ley de Newton. Los interrogantes fundamentales a resolver ahora son: • ¿Cuál es la relación entre fuerza y movimiento?, ¿Con qué se relaciona la

fuerza: con el desplazamiento, con la velocidad, con la aceleración?

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• ¿Cuál es el comportamiento de un cuerpo cuando la fuerza resultante que actúa sobre él no es igual a cero?

La respuesta a estos interrogantes proviene del experimento, el cual confirma que la fuerza neta (o resultante) que obra sobre un cuerpo está relacionada con su aceleración. Sin embargo la relación cuantitativa entre fuerza y aceleración expresa algo concreto y preciso cuando se define la masa. En la mecánica clásica o newtoniana que se está estudiando, la masa de todo cuerpo es constante y es también aditiva lo cual significa que la masa de un cuerpo compuesto es igual a la suma de las masas de sus partes. Recordar que la masa es un escalar. También se entiende que todo cuerpo bajo estudio se considera como un punto material o partícula, lo cual significa que dicho cuerpo no tiene (no se consideran) dimensiones y que toda su masa está concentrada en un punto. Se entiende que en tal punto se aplican todas las fuerzas externas y que la escala del tiempo es la misma para todos los sistemas de referencia, es decir, para todos los observadores un segundo tiene la misma duración (hay casos en que no). Hechas las anteriores observaciones, se dirá que la relación definitiva entre masa, aceleración y fuerza fue establecida de manera definitiva por Newton y se conoce como la famosa Segunda ley de Newton que dice: "el producto de la masa de un punto material por su aceleración es igual a la fuerza externa ejercida sobre el cuerpo " Es decir:

ma = F = Σ F1 (Ec. 5.1) Donde:

Σ F1 = F1 + F2 + F3 + F4 +… (Ec. 5.2) Representa la resultante de todas las fuerzas externas sobre el cuerpo de masa m, y Σ, es la letra griega sigma, símbolo de la suma ó sumatoria. Aunque es muy común encontrar la segunda ley escrita como F = m.a, debe entenderse en el significado dado por la ecuación (5.2) o sea que F involucra fuerzas transmitidas por cuerdas o superficies u otros cuerpos, y al final quedará la fuerza o su componente en la dirección del movimiento. Existen relaciones diversas para las fuerzas de contacto y otras de uso común que a menudo se denominan leyes de fuerza por ejemplo:

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• Fuerzas de atracción gravitacional no homogénea, (se verá adelante).

• Fuerza o interacción de Coulomb, que actúa entre dos cargas eléctricas puntuales

q1.q2

F = k (5.3) r2

donde k una constante dimensional y r la distancia entre las cargas. • Fuerza de gravedad homogénea:

F = mg (5.4) donde se considera que g es constante en puntos cercanos a la tierra • Fuerza recuperadora elástica (ley de Hooke), fuerza que opone un resorte a

ser deformado una longitud x:

F = kx (5.5) • Fuerzas de rozamiento estático y dinámico:

F = µs N (5.6)

F = µKN (5.7) 5.5 UNIDADES las unidades de fuerza más utilizadas se relacionan en la TABLA 5.1

SISTEMAS DE UNIDADES Fuerzas Masa Aceleración

S.I. Newton Kilogramo (kg) m.s-2

C.G.S. Dina (din) Gramo cm.s-2

INGLES (técnico) Libra (ibf) Slug Pie.s-2

TABLA 5.1: Sistemas de Unidades Hay equivalencias entre las unidades de fuerza y las del producto masa por aceleración, así por ejemplo:

1 1bf = 1 slug . 1 pie s-2;

1 dina = 1 g . 1 cm ,s-2;

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1 N =1 Kg . 1 m . s-2. Es fácil comprobar que 1N = 105 din. y como referencia: g =32 pie.s –2 en el sistema inglés; 1 pie = 0.3048 m, 1 1b masa = 0.453 Kg; 1 1bf = 4.44 N; 1slug = 14.59 Kg. Para Recordar • En la Segunda Ley de Newton, Ley del Movimiento:

F = ma Donde F es la fuerza resultante aplicada al cuerpo esto es la dada por (5.2)

• Cada fuerza puede descomponerse según sus componentes rectangulares en

un sistema coordenado conveniente dando como resultado:

max = ∑ Fxi (5.1.1)

may = ∑ Fyi (5.1.2)

Es decir, obteniéndose una o dos ecuaciones escalares, sobre cada eje coordenado, según el problema considerado 5.6 METÓDICA RECOMENDABLE PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS Y

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

• Tomar como marco de referencia inicial a la tierra, puesto que lo es con buena aproximación.

• Identificar el cuerpo o cuerpos objeto de estudio y aíslelos, o sea señálelos de forma que pueda dibujar o representar en dicho cuerpo todas las fuerzas que actúan sobre él por parte de los cuerpos restantes.

• Construir en el cuerpo aislado un sistema coordenado con centro en el cuerpo a fin de descomponer las fuerzas que lo justifiquen.

• Escribir la segunda ley de Newton según cada componente en el sistema coordenado elegido.

• Proceder a resolver las ecuaciones algebraicas obtenidas y a encontrar las soluciones pedidas.

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Segunda Ley en Ejemplos Sencillos Se aplica una fuerza horizontal Fa FIG. 5.5 a un bloque colocado sobre una superficie horizontal F pero se observa que el bloque no se mueve. Dibujar todas las fuerzas que se aplican al bloque. Explicar por qué el bloque no se mueve. Se identifica el cuerpo objeto de estudio, y se aísla de los restantes cuerpos presentes que puedan inducir a error y a continuación a dicho cuerpo se le dibuja las fuerzas externas que le están aplicadas: en el caso presente son:

• La atracción de la tierra o el peso del cuerpo: W = m . g

• La fuerza de reacción normal N que ejerce la superficie sobre la cual esté colocado el bloque.

• La fuerza aplicada Fa al bloque hacia la derecha.

Otra fuerza que impide que el cuerpo se mueva o avance a la derecha, es la fuerza de contacto entre la superficie inferior del bloque y la superficie sobre la cual yace el bloque. Así pues, la última fuerza la de fricción f.

N

f Fa

W

Fa

FIG. 5.5

FIG. 5.5

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Ahora habría que construir un sistema de ejes coordenados con origen preferencialmente en el centro geométrico del cuerpo3, en él se representan todas las fuerzas externas. Finalmente se procede a escribir la segunda ley de Newton en forma vectorial: suma de fuerzas igual masa por aceleración ΣF = m . a (5.1) Dicha ecuación equivale a:

ΣF = W + N + Fa + f = m . 0 = 0 (ec.5.2) Igual a cero porque el cuerpo no se mueve y el cuerpo permanece en equilibrio de translación, (a = 0) En componentes, la ecuación 5.2 es:

ΣFx = Fa - f = 0 (5.1.1)

ΣFy = N - W = 0 (5.1 2) Se ve que la fuerza aplicada por el agente externo Fa tiene una misma magnitud que la fuerza de fricción f, pero con dirección opuesta. De (5.1.1) Fa + f = 0 ó Fa = -f 3 El Centro Geométrico se conoce más a menudo como el centro de masa del cuerpo, y para un cuerpo de dimensiones lineales mucho menores que el radio de la tierra, el centro de masa y el centro de gravedad coinciden.

FIG. 5.7.1: Sistema coordenado con origen en el

Centro de masa del cuerpo

FIG. 5.7.2:

Sistema coordenado dibujado sin bloque

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Para las fuerzas en la dirección del movimiento, observándose de (5.1.1), que la magnitud de la fuerza de fricción resulta igual a la fuerza aplicada: f = Fa. El bloque no se mueve pero respecto al sistema inercial tomado sobre la superficie de la tierra. Nótese sin embargo, que todo el sistema se mueve con la tierra (participando con el movimiento de rotación y el de traslación), de forma que el concepto de reposo (v = 0) es relativo, es decir, depende de con respecto a qué observador se mide. Ejemplo Considérese el mismo bloque del ejemplo 5.3 y con las mismas preguntas pero sin que se aplique la fuerza F8; colocado sobre un plano inclinado que forma un ángulo 0 con la horizontal. Antes de representar todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo observemos que el plano inclinado se ubica sobre la superficie de la tierra, o sobre una mesa, sobre el piso, etc. estando en reposo relativo (y en equilibrio).

FIG. 5.8: El bloque del problema colocado en un plano inclinado sin la fuerza aplicada Fa Si el bloque no se mueve, entonces la sumatoria de las fuerzas actuantes debe ser igual a cero. ¿Cuáles serán esas fuerzas? .

FIG. 5.9: Fuerzas aplicadas al bloque sobre el plano inclinado Se afirma que no hay fuerza aplicada Fa y sin embargo el bloque permanece inmóvil, esto significa que al aislar el cuerpo: se tendrán las fuerzas:

θ

θ

Y N

X

W

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• El peso W = mg dirigido hacia el centro de la tierra (o perpendicular a la superficie plana OP).

• La fuerza normal N, ejercida sobre el bloque por la superficie del plano inclinado, que por definición es perpendicular o normal al plano inclinado.

• La fuerza de fricción f dirigida hacia arriba sobre el plano inclinado, puesto que si las superficies fueran idealmente lisas (sin fricción) el cuerpo deslizaría hacia abajo.

Se debe seleccionar un sistema coordenado práctico (FIG. 5.10) de entre los dos más factibles:

• El más favorable o práctico con el eje X paralelo a la superficie del plano inclinado y el eje Y perpendicular.

• Sistema coordenado convencional, que para el caso implica hacer más cálculos. Se utilizará el sistema coordenado fijo al cuerpo como el de la figura (5.10) y se descompondrá en tal sistema de ejes la fuerza w así; ver FIG. 5.11

FIG: 5.11: Los componentes X Y del peso del cuerpo son: Wx = W senθ;Wy = Wcosθ

θ

Y

X

θ

Y

X

FIG. 5.10.1 Sistema coordenado más conveniente

para el problema

FIG. 5.10.2 Sistema coordenado convencional, que para el problema complica los cálculos

θ

Y

X

f

W

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El ángulo θ que forma el plano inclinado con la horizontal OP en todos los casos resulta igual al ángulo comprendido entre el vector W y el eje Y. Los componentes X Y del peso del cuerpo son:

Wx = W senθ y Wy = Wcosθ Y los pasos finales por resolver son: Plantear la segunda ley de Newton vectorialmente y escalarmente para obtener: ΣF = W + N +f= ma = 0 (5.2) Puesto que el cuerpo permanece en equilibrio. Y sobre los ejes coordenados:

ΣFy = N - W Cos = 0 (5.1.2)

ΣFx = f - W Senθ = 0 (5.1.1) De las dos igualdades puede obtenerse:

N = W Cosθ (1)

F = W Senθ (2)

Y para este caso sencillo, puede conocerse la magnitud de la normal y la de la fuerza de fricción conociendo la masa del cuerpo y el ángulo de inclinación del plano. Al sustituir en la definición (5.6) a f, se obtiene:

F = µsN (5.6) Luego

F = µs w cosθ (3) y como según

f = W Senθ (2) igualando (2) y (3) se tiene

W Sen θ = µs. W Cos θ de lo cual resulta: µs = Tan θ

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Resultado que nos enseña, que el coeficiente mínimo de fricción estático necesario para mantener el bloque en equilibrio, tiene valor igual a la tangente del ángulo θ, ángulo de inclinación del plano. 5.7 FUERZAS NORMALES Se debe tener presente que si sostiene un bloque de ½ kg de masa en la palma de la mano, siente el esfuerzo que debe realizar para mantener la mano estirada con el objeto en ella. Por otro lado si el mismo cuerpo se coloca sobre una superficie gelatinosa, con toda seguridad se hundirá hasta encontrar una superficie consistente que ejerza sobre el bloque una acción de igual magnitud al peso del cuerpo pero con dirección opuesta, tal como lo hace la mano del experimentador. En todos los casos que se consideran, las fuerzas ejercidas sobre un cuerpo dado por la superficie que lo contiene o soporta, están contenidas en la recta o plano perpendicular (o normal) a la superficie considerada.

FIG. 5.12.1 FIG. 5.12.2

B

N2

C

N1

0

A

N3

FIG. 5.12.3 FIG. 5.12.4

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Fuerzas Normales Ejercidas por Superficies sobre un Cuerpo dado en la FIG. 5.12.3 Un agente externo debe realizar una fuerza para mantener el bloque en contacto con la superficie AC; en el caso la esfera en contacto con las tres superficies OA, OC y AB soporta las fuerzas normales:

N1 por OA

N2 por OC

N3por AB Fuerzas Normales Ejercidas por Superficies sobre un Cuerpo dado en la FIG. 5.12.2 Ley de la gravitación universal de Newton. Ya se afirmó anteriormente que el peso de un cuerpo en la vecindad de la tierra (aproximadamente a la misma distancia del centro de la tierra) se define como el producto de la masa del cuerpo por la aceleración de la gravedad W = m.g en donde se supone que la gravedad g es constante, pero como aclararemos, el peso realmente es la fuerza con que se atraen mutuamente la tierra y el objeto dado. Según la Ley Universal de la Gravitación de Newton, la fuerza con que se atraen dos cuerpos puntuales con masas MT y m separados una distancia RT es dada por

GMT m F = RT (5.8)

RT2

Siendo RT un vector unitario dirigido de MT a m. El signo negativo indica que la fuerza es de atracción, y en (5.8) debe notarse lo siguiente: La magnitud de la fuerza de atracción es:

GMtm

F = (5.9) R2

T

FIG. 5.13

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Donde G, es la constante de gravitación universal igual a:

6.673 X 10-11 N . m2 . Kg-2 en el sistema SI. Mt: Es la masa de la tierra que es constante Rt: Es el radio de la tierra que es constante por lo tanto, la magnitud de la fuerza

puede denotarse así: F = (Constante) m Donde,

GMT

Constante = (5.10) R2

T

y denotando a la constante por g se tiene GMT

= g (5.11) R2

T

finalmente, F = g.m = w (5.4) que es la conocida expresión para el peso de un cuerpo en la vecindad de la tierra, y donde esta contenida implícitamente la atracción mutua entre los dos cuerpos. También puede notarse que si en (5.9) dividimos por m:

F GMTm m RT

2 (5.4ª) Se ve que g tiene el significado de fuerza gravitacional por unidad de masa, con dimensiones de aceleración ms-2

Debe notarse además que si bien G y M son constantes, RT (5.9) es en general variable, puesto que es la distancia del centro de la tierra a cualquier cuerpo, que

GMT R2

T mF =

= g

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no debe estar necesariamente en su superficie, por lo tanto la expresión correcta para (5.9) es:

GMT

F = (r # RT) (5.12) RT

2

Siendo ahora r la distancia desde el centro de la tierra hasta el punto donde se halla el cuerpo que interactúa con la tierra. De esta forma puede verse que a medida que r aumenta o se haga cada vez más grande, la magnitud:

GMT

g= (5.13) R2

Disminuye cada vez más comprobándose que resulta variable y no constante. De manera que tiende a cero, llegándose al estado de ingravidez cuando r se hace infinitamente grande. Conclusión A medidas que nos alejamos de la superficie de la tierra a alturas cada vez mayores, la fuerza de gravedad irá disminuyendo cada vez más. Igual sucederá si desendemos por un túnel hacia el centro de la tierra. ¿Por qué?

GM’m F= pero M’<MT y r <RT R2 FIG. 5.14.1 FIG. 5.14.2

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La ley de gravitación universal se utiliza para el estudio del movimiento de planetas y satélites artificiales. Pero para considerar la atracción mutua de la tierra y cuerpos localizados cerca de la superficie, pueden considerarse como en efecto se hace que g es constante. Existen otras variaciones de g con la latitud y debidas a la rotación de la tierra que no serán consideradas. La FIG: 5.14.2 aclara el por qué sobre la superficie terrestre se considera que g tiene igual magnitud y dirección, es decir, g = constante, ya que como se ve los vectores g en la posición de superficie plana considerada, resultan aproximadamente paralelos. Ejemplo ¿Cuál es la masa de un cuerpo que pesa 1N en un sitio donde g = 9,8ms-2? Solución como el peso se define como: W = m.g y conocemos W = 1N y g = 9,8 m s-2

Despejamos a m para obtener m = M = = = 0.10 kg

Asi: m = 0.1. Kg Ejemplo ¿A qué distancia del centro de la tierra 1 kg patrón pesará 1N? Solución En ésta parte se utilizará la ley de gravitación universal, según la cual a la fuerza de atracción entre los cuerpos, debe ser igual al peso del cuerpo a la distancia pedida. Así, (puesto que no conocemos g a esa distancia).

F= = mg = 1N

W

g

1N

9,8 ms-2

1kgms-2

9,8 ms-2

GMTM

R2

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De donde GMTM = 1N r2,despejamos r2

r2 = = r2 = 6.67 X 10 –11m 2.kg-2MT.Kg+2 se cancelaron los N

r2 = 6.67 x 10-11 x 5.96 x 1024 m2

r2 = 3.97 x 1014 m2

r = ±19938205 m

r = 1.99 x 107m = 1.99 x 104 Km

r = 20000 Km = 2 x 104 Km como r = RT + h siendo h la altura sobre la superficie terrestre: h= r-RT = 1,99 X107m- 6.36 X106m= 13,5 X107 m h = 1,35 X 104 Km = 13500 km; esta es la altura a partir de la superficie de la tierra a la que el satélite órbita. Se puede calcular la gravedad en ese punto, sabiendo que: r2 = 3.97 X 104m2

g= = g = 1.0013 NKg-1 = 1.0013 ms-2

Ejemplo Un satélite de comunicaciones de masa 200 Kg se encuentra en una órbita circular de radio 40000 Km alrededor de la tierra. ¿Cuál es la fuerza gravitatoria sobre el satélite, y esa fuerza qué fracción del peso de satélite es? (peso en la tierra). Masa de la tierra MT = 5.97 X1024 Kg. Solución Es un ejercicio típico de empleo de la ley de la gravitación universal. La fuerza con que el satélite y la tierra se atraen es: F =

GMTM

1N

6.67.10-11 N.m2.kg-2.MT(Kg).1Kg

1N

GMT

R2

6.67 X 10-11 N m2 kg-2 x 5.96 x 1024 Kg

3.97 x 1014 m2

GMTm R2

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donde, todos los datos se conocen como r = 40000 Km = 40000 X 103m = 4 X 107 m.

F =

F = = 49.77 N ≈ 49.8 N y F = 49.8 N (Atracción de la tierra sobre el satélite a 40.000 Km) El peso del satélite en la tierra es: W = mg = 200 X 9,8 Kg = 1960N (Atracción de la tierra sobre el satélite en tierra) La fracción de la fuerza de atracción sobre el satélite al peso del mismo en la tierra. Si 1960N es el 100% (constituye el 100%) entonces 49, 8N será un X (del 100%) X = = 2.54% La fuerza sobre el satélite es un 2,54% del peso del satélite en la tierra. Ejemplo Una nave espacial viaja directamente de la tierra al sol ¿A qué distancia del centro de la tierra las fuerzas gravitacionales que la tierra y el sol ejercen sobre la nave se anulan? Tomar datos aproximados.

6.67 X 10-11 Nm2kg-2 x 5.97 x 1024 kg x 200 kg

(4 x 107)2 m2

7.96 x 1016

1.6 x 1015

49.8 N . 100%

1960 N

FIG. 5.15

SOL TIERRA

naveF SN

FTN

RTS -X X

RTS

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Las fuerzas de atracción gravitacional de la tierra sobre la nave y del sol sobre la nave se anularán cuando las magnitudes de los vectores FTN (fuerza de la tierra sobre la nave) y FSN (fuerza del sol sobre la nave) sean iguales, ya que como se ve de la FIG. 5.15 los correspondientes vectores tienen direcciones opuestas sobre la nave, y están sobre la misma recta. Así, la suma de fuerzas sobre la nave debe ser igual a cero para cumplir el requisito pedido. En ecuaciones: FSN + FTN = 0 (1) De donde,

FSN = - FTN (2) Finalmente la igualdad (2) implica la igualdad de las magnitudes de los vectores:

FSN = FTN (3) Hemos llamado X la distancia tierra - nave, y respectivamente (RTS - X) la distancia nave - sol donde, RTS es la distancia tierra - sol. Ahora sustituimos en (3), las expresiones de FSN y FTN

FSN = G (RTS – X)2

FTN = G

X2

MS = Masa del sol

MN = Masa de la nave

MT = Masa de la tierra

RTS = Distancia tierra – sol

Igualando G = G (3ª) (RTS – X) X2

De donde X2 MS = MT(RTS – X)2

Transponiendo términos:

X2MS – X2 MT + 2X MT RTS – MT R2TS = 0

MS MN

MT MN

MS MN MT MN

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X2(MS – MT) + 2X MT RTS - MT RTS = 0 (4) Llamando:

a = (MS – MT) b = MT RTS C = MT R2TS

La ecuación (4) se transforma en: Ax2 + 2bx – c = 0 Que es una ecuación de segundo grado para X Comprobar las Dimensiones

Las soluciones es: X = (5ª)

Datos:

MS = 1.99 X 1030 Kg a = 1.98 . 1030kg

MT = 5.98 X 1024 Kg 2b= 2.891 . 1035Kgm

RTS = 1.49 X 108 Km c = 1.32 . 1047 kgm Remplazando los valores, y tomando la raíz positiva

X =

X =

X+ = = 257631.3131m

2.a X= 257631.31 k m Luego a una distancia de 257631,31 Km del centro de la tierra (muy cerca) la nave no experimenta fuerza alguna por parte del sol y de la tierra. El lector no debe perder de vista que la solución numérica al problema esta dada por la ecuación (4) o (5a), pero ante todo la solución física esta contenida en la

-2b+√4b2 – (4ª)(-c)

-1.78 x 1036+√3.17 . 1072 + 1.045.1078

2(1.98.1030)

-1.78 x 1036+√1.045.1078

3.96 x 1030

1.020 x 1039

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igualdad (3a), que expresa la igualdad de las fuerzas, y no debe extraviarse en los detalles de la solución de la ecuación (4). Ejemplo Una fuerza horizontal constante de 40N actúa sobre un cuerpo situado sobre un plano horizontal liso (sin fricción). Partiendo del reposo (v0 = 0) se observa que el cuerpo recorre 100m en 5 segundos.

• ¿Cuál es la masa del cuerpo?

• Si la fuerza deja de actuar al cabo de los 5 segundos ¿Qué distancia recorrerá el cuerpo en los 5 segundos siguientes?

Solución • El cuerpo se mueve partiendo de un origen de coordenadas tal que en X = 0,

v0 = 0, al tiempo t = 0. Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, pero que no afectan el movimiento son las contenidas en el eje Y: en este caso N y W, la normal y el peso. La fuerza F = 40N actúa sólo durante 5 segundos, lo que es lo mismo durante los primeros 100 m. La ecuación del movimiento o segunda Ley de Newton es:

Σ F = ma (5.1)

ΣF = N +\V + F = ma (5.2) Pero como a = ia = iaX, y el cuerpo no posee aceleración en la dirección y, entonces

aY = 0 (5.1b) puede escribirse (5.2) como:

ΣFX = maX (1)

ΣFY = N - W = 0 (2)

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de (1) la masa m = F/aX, por lo cual debe calcularse la componente de la aceleración sobre el eje X, aX, a partir de los datos iniciales. El espacio recorrido: X = v0t + 1/2 at 2= 1/2 at2

Despejando y calculando la aceleración:

aX = ax =

m =

m = 5 kg • Una vez la fuerza deja de actuar, el cuerpo se mueve con velocidad constante

(en la dirección X).,

ΣFX = 0 m ax = 0 y por lo tanto vx = Constante Siendo vx la velocidad final al cabo de los primeros cinco segundos, así:

vx = v0 + at donde v0x = 0

vx = 8m . s-2 5s

vx = 40m . s-1

Y el espacio o longitud que recorrerá en los siguientes 5 segundos es:

X =vxt = 40 ms-1 5s

X = 200m Ejemplo Un ascensor cuya masa es 2000 Kg. sube con aceleración a = 1 m . S2. ¿Cuál es la tensión del cable que lo soporta?

2X T2

2x 100 m

52 s2

40N 8 ms2

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Solución El movimiento transcurre verticalmente o sobre el eje y con dirección positiva hacia arriba. Sobre el ascensor se aplican dos fuerzas:

• La tensión del cable que lo sostiene

• La atracción de la tierra (peso) Por lo cual la ecuación vectorial de su movimiento es:

T + W = ma O escalarmente:

T - W = ma y finalmente:

T = ma + W

T = ma + mg = m(a+g)

T = 2 . 103Kg (1 + 9,8) m s-2

T = 21600N Ejemplo Un cuerpo está suspendido de un dinamómetro (balanza de resorte) sujeta al techo de un ascensor.

Y T

W

FIG. 5.17

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• Si el ascensor posee una aceleración hacia arriba de 2,45 m s-2 y el dinamómetro indica 50N ¿Cuál es el peso verdadero del cuerpo?

• ¿En qué circunstancias el dinamómetro indica 30N?

• ¿Qué indicará el dinamómetro si el cable del ascensor se rompe? Solución • De nuevo el movimiento del cuerpo unido al dinamómetro es sobre el eje y. Las

fuerzas aplicadas al cuerpo son: la tensión del resorte T y el peso del cuerpo W = mg de forma que la ecuación vectorial de movimiento es T + W – ma

Y la escalar: T - W =ma De la cual calculamos la masa:

T =W + ma = mg + ma = m (a+g)

m =T/(a+g) = 50N7(2,45 + 9.8)m. S-2

m = 4,08 Kg. El peso del cuerpo es: W = mg

W = 4,08Kg. 9,8ms'2 = 39,99N

W = 40N (aproximamos) • De la ecuación de movimiento en la parte a se observa que en subida la

ecuación de movimiento es (con a positiva): T = mg + ma, por lo cual la tensión del resorte o del dinamómetro es mayor que el peso del cuerpo en ma, de manera que para que el dinamómetro indique menos que mg = 40N, deberá descender con una aceleración que se debe encontrar. La ecuación de movimiento al descenso es:

T + W = ma vectorialmente

T - W = -ma escalarmente De donde T + ma = W o W-T = ma

A =

A = = 2,45 ms-2 bajando

W - T 40 N – 30 N

4.08 Kg m

10 N4. 4.08 Kg

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• Al romperse el cable, todos los cuerpos: continúan subiendo hasta que su velocidad final de subida sea igual a cero ascensor luego, dinamómetro y el cuerpo de 40N caen libremente baja la acción de la fuerza W = mg y se debe satisfacer la segunda ley de Newton.

ΣF = ma pero F = mg así que mg = ma o sea que todos los cuerpos caen con aceleración a = g y por todos los cuerpos caen con aceleración a = g y por lo tanto el dinamómetro no marca nada, es decir no se desvía. 5.8 FUERZAS DE FRICCIÓN O DE ROZAMIENTO Tomar un libro (u otro objeto) empujarlo sobre la mesa imprimiéndole una cierta velocidad y luego suéltelo, ¿Qué sucede al cabo de unos cuántos segundos?, ¿Por qué el libro no siguió moviéndose con la misma velocidad inicial? Cuando un objeto se mueve sobre otro, existe en la superficie de contacto una fuerza que se opone a su movimiento relativo. Esta fuerza se conoce como fuerza de fricción o de rozamiento, y su estudio riguroso se enmarca en la física atómico-molecular. La interacción entre las moléculas de dos cuerpos en contacto origina una fuerza de fricción o rozamiento, que depende en general de muchos factores. Se encuentra experimentalmente que la fuerza de fricción (o rozamiento), f, tiene una magnitud proporcional a la (magnitud) fuerza normal N de presión de un cuerpo sobre otro (FIG: 5.21). La constante de proporcionalidad se conoce como coeficiente de fricción (o rozamiento) y se designa por µ, (miu)

F = ma

N

N

f

W FIG. 5.21

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F = µ N Esta fuerza de fricción (o rozamiento) siempre se opone al movimiento y tiene una dirección opuesta a la dirección de la velocidad relativa de un cuerpo respecto al otro.

• F = Fuerza aplicada para mover el cuerpo hacia la derecha.

• f = Fuerza de rozamiento obrando en dirección opuesta a Fa y lo fundamental opuesta a v.

Hay dos clases de coeficientes de fricción. El coeficiente estático de fricción, µs que al multiplicarse por la fuerza normal, nos da la fuerza mínima necesaria para poner en movimiento relativo dos cuerpos que están inicialmente en contacto y en reposo. El coeficiente cinético de fricción,µk que al multiplicarse por la fuerza normal, nos da la fuerza necesaria para mantener dos cuerpos en movimiento relativo. Se ha encontrado experimentalmente que µs es mayor que µk para todos los materiales hasta ahora examinados. Cuando tenga a mano un objeto en reposo sobre una superficie. Por ejemplo, una silla, intente empujarla o halarla, sin hacer mucho esfuerzo. ¿Qué nota u observa? Con seguridad para poner en movimiento la silla requerirá un esfuerzo significativo puesto que al hacer pequeños esfuerzos (halando o empujando) la silla permanece en reposo, ¿Verdad?. También debe notar que una vez en movimiento (la caja, silla u otro objeto) el esfuerzo para mantenerla en movimiento es menor (quienes hemos ayudado a empujar un carro varado conocemos que lo más difícil es lograr que el carro comience a moverse). Ejemplo Una caja de 20 Kg se empuja hacia arriba, mediante una fuerza horizontal de 30N de magnitud sobre un plano inclinado que forma un ángulo de 30º con la horizontal, el coeficiente cinético de fricción entre la caja y el plano es de µk = 0.3

• ¿Cuál es la fuerza normal?

• ¿Cuál es la fuerza de fricción?

• ¿Cuál es la aceleración de la caja?

• Si la fuerza se reduce gradualmente (o lentamente) de forma que la aceleración sea cero. ¿Qué magnitud toma la fuerza finalmente?

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Dibujamos el bloque sobre el plano inclinado, y representamos las fuerzas aplicadas al mismo (FIG. 5.22). Nótese que la fuerza horizontal aplicada Fa es paralela a la base del plano inclinado, y que se toman ejes coordenados paralelo al plano inclinado (x) y perpendicular al mismo (y). Las fuerzas externas son: Ver figura

• La fuerza aplicada Fa

• El peso del cuerpo W (por la tierra).

• La normal N, por la superficie del plano inclinado.

• La fuerza de fricción fc por la superficie de contacto. De acuerdo al sistema de ejes elegido, habrá necesidad de descomponer en dichos ejes, a la fuerza Fa y al peso W, antes escribiremos la ecuación vectorial del movimiento o segunda Ley de Newton.

∑F = ma que expandida es:

N + W + Fa + f = ma La cual equivale a dos ecuaciones escalares para las componentes sobre los ejes así:

∑FX = max (1)

∑FY = may = 0 (2) En el sistema elegido aY = 0 puesto que no hay movimiento en tal dirección (aunque hay fuerzas)

Fig. 5.23 descomposición de los vectores W y Fa en los ejes coordenados De la figura debe observarse que las componentes de Fa son:

Fax =Fa cosθ (3)

Fay =Fa senθ (4)

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Y las de la fuerza W son:

Wx = W senθ = mg sen θ (5)

Wy = W cosθ = mg cosθ (6) Así las ecuaciones (1) y (2) resultan ser:

∑Fx = Fax – Wx - f = max (7)

∑Fy = N – Fay – Wy = 0 (8) De (8) encontramos la Normal

N = Fay + W y= Fa senθ + mg cosθ (9)

N = 300N sen 30º + 20Kg . 9.8 m s-2 Cos 30º

N = 150N + 169,74N = 319,74N Ahora, conociendo la normal N, y conociendo el coeficiente de fricción respectivo, puede calcularse la fuerza de fricción, por lo tanto:

f = µk N

f = µK (Fa senθ + mg cosθ)

f = 0,3 x 319,74 N = 95,92 N

• La aceleración de la caja se obtiene al sustituir los valores de Fax, Wx y f en la

igualdad (7)

Facosθ- mg senθ - f = ma (a = ax), y

a = 1/m (Fa cosθ - mg senθ - f) de donde

a = 1/20 kg (259,8N - 98 N - 95,9Nl 65,85N) A = = 3.29 m.s-2

• Se asume que al reducirse la fuerza gradualmente, la aceleración también lo

hará. La ecuación vectorial del movimiento en este caso resulta ser:

∑F = F'a + N' + W + r = 0

65.85 20 Kg

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donde F'a es una fuerza aplicada horizontalmente pero de magnitud desconocida que se debe encontrar, y N" es el nuevo valor que tomará la normal puesto que Fa ≠ F'a, y donde f'= U kN' Las ecuaciones para las componentes son:

F'a - Wx - f ' = 0 (7')

N' - F'ay – Wy = 0 (8 ) de las cuales se debe resolver 7' y 8' para hallar F'ax

F'ax =W x+ f=Mg Senθ + f Donde ahora f = Uk N' • Se asume que al reducirse la fuerza gradualmente, la aceleración también lo

hará, hasta que cuando a = 0, la fuerza F, habrá disminuido pero sin anularse. El valor final se denotará por F, siendo la magnitud de esta fuerza la respuesta pedida.

La Ecuación vectorial del movimiento en este caso resulta ser:

∑F = F'+N'+W + f=0 Donde N'y f' son ahora los valores correspondientes al valor de F'. Las ecuaciones para las componentes son:

F'ax - W'x-f = 0

N – FAY – WY = 0 Al resolver este sistema de ecuaciones (7' y 8'), realizando pasos similares a los anteriore se llega a que:

F =

Al reemplazar los valores dados obtiene F’ a = 207,98 N Reflexionar ¿Qué sucede con el cuerpo luego de que la aceleración se anule: permanece en reposo o se mueve con V = Constante?. Cualquier respuesta es valida dependiendo de la validez de los argumentos. Discutir con el grupo.

Mg (senθ + µkcos θ

(cosθ - µk senθ)

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Ejemplo ¿Qué aceleración ha de tener el carro de la FIG. 5.25 para que el bloque A no se caiga?. El coeficiente estático entre el bloque y el carro es µs Adoptamos el movimiento de izquierda a derecha, por tanto en esa dirección se le comunicará aceleración al cuerpo A. Pero no conocemos la masa o peso de A, ni del carro. Pensemos entonces, ¿Qué pasa si el carro se mueve de derecha a izquierda?. Pero si el bloque no se cae entonces tanto el carro como el cuerpo A se mueven como un solo cuerpo, con la misma aceleración. Ahora aislemos el cuerpo A y dibujemos las fuerzas aplicadas por los demás cuerpos (Aplicando la segunda ley de Newton que dice: ∑F = mAa o en componentes

∑Fy=f- W = mA0 = 0 (1)

no hay aceleración vertical para A

∑FX = NC = mA a (2)

de (1) tenemos f = W = mA g (3)

De otro lado f = µSNC (4) Usando (2) f = µSmA a (5)

Fig. 5.25 Fig. 5.26

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Igualando (5) y (3) se tiene:

mAg = µsmAa

de donde a = g /µs

Ejercicio Sobre una mesa lisa se encuentran dos bloques de masa mA =2Kg y mB = 1kg haciendo contacto como en la FIG.5.27 Los bloques reciben la acción de una fuerza 3N pero aplicada al cuerpo A el cual a su vez empuja al B. ¿Qué fuerza ejerce cada bloque sobre el otro?. Demostrar que al aplicar la misma fuerza al bloque B en las mismas condiciones la fuerza de contacto resulta distinta. ¿Explicar por qué?. Indicación: Considerar inicialmente los bloques como un solo cuerpo y hallar la aceleración del sistema. Tener en cuenta que no hay rozamiento horizontal. Para la primera parte muestra las fuerzas sobre los bloques cuando se aíslan. El sistema de los dos bloques A y B considerados como uno solo al cual se le aplica la fuerza externa.

Fig. 5.28: Diagrama que ilustra cadad cuerpo aislado con las respectivasd fuerzas externas aplicadas

Diagrama que ilustra cada cuerpo aislado con las respectivas fuerzas externas aplicadas.

Fig. 5,27

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Ejemplo Dos bloques unidos por una cuerda que pasa por una polea pequeña sin rozamiento descansan sobre planos inclinados lisos.

• ¿En qué dirección se mueve el sistema? (De A hacia B o lo contrario)

• ¿Cuál es la aceleración de los bloques?

• ¿Cuál es la tensión de la cuerda? Solución Debe advertirse que en los problemas que impliquen la presencia de cuerdas y poleas se considera que estas carecen de masa y que las cuerdas no se estiran por tanto transmiten íntegramente la fuerza. Por esta razón los bloques se mueven con la misma aceleración a. Las fuerzas sobre cada cuerpo aislado se muestran en la FIG. 5.30

FIG. 5.30: Cuerpos aislados con sus respectivas fuerzas

FIG. 5.29

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De acuerdo al sistema coordenado convenido en utilizar en cada sistema se debe descomponer el peso de cada bloque. Las ecuaciones de movimiento son: para A

∑FA = mA a (1)

WA + T + NA = mA a O componentes

∑FAX = WAX – T = mA a (2)

∑FAY = NA – WAY = 0 (3) Para el cuerpo B

∑FB = mB a

WB + T + NB = mB a (4) Se ha escrito la misma letra T para la tensión o fuerza transmitida por lo anotado anteriormente (la tensión es la misma). en componentes:

∑FBX =T-WBX =mB a (5)

∑FBY = N B = WBY = 0 (6) Reuniendo las ecuaciones (2) y (5) y resolviéndolas como un sistema, por cualquier método, se llega a la solución. Por ejemplo sumándolas para eliminar T se obtiene:

WAX – WBX = MA a + m Ba

WBX - W BX = a(mA + mB ) (7) Ahora como

WAX = WA sen30° = mA g sen30°

WBX = WB sen53° = mB g sen 53° Reemplazando en (7) y despejando a se obtiene: A = (8)

G (mA sen 30° - masen 53º)

(mA + mB)

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Reemplazando en (8) los datos y haciendo cálculos se tiene: a = 0,657ms2 en la dirección de B hacia A. Al reemplazar este valor en la ecuación (5) obtenemos que

T = 420N.

∑FBX =T-W BX a (5) de ( 1 ) tenemos F = W = m A g (3 ) De otro lado f = µS NC (4) Proceso de Comprensión En las siguientes figuras identificar las parejas de acción y reacción sobre cada cuerpo.

TECHO

CUERDA

m

m1

m2

piso

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UNIDAD 6 Conservación de la Energía

Horizonte Al finalizar el estudio de la unidad el estudiante podrá identificar los conceptos de trabajo y energía, tanto cinética como potencial, pudiendo establecer en su medio situaciones donde tengan lugar transformaciones trabajo-energía y energía-trabajo, y así mismo comprobar el balance de la energía total, es decir la conservación de la energía. Núcleos Temáticos y Problemáticos Trabajo

Trabajo y Energía

Energía Potencial Proceso de Información Las leyes de la mecánica newtoniana, especialmente la segunda ley no constituyen el medio único para la comprensión y solución de los problemas dinámicos presentes en las ciencias físicas y en las ciencias técnicas. Existe también en el mundo físico cierto número de leyes de conservación, relativas a la energía, a la cantidad de movimiento, al momento cinético (o angular), a la carga eléctrica y a otras magnitudes del submundo atómico. Las leyes de conservación de la energía proporcionan una herramienta muy poderosa en la solución de muchos problemas mecánicos, entre otras, por las siguientes características.

• Son independientes de los detalles de la trayectoria y a menudo, independientes de las características de las fuerzas.

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• Pueden ser utilizadas aún en el caso de que no se conozca nada sobre las fuerzas.

• Facilitan el tratamiento matemático de un problema mecánico al operarse con magnitudes escalares y no vectoriales, y poseen otras ventajas muy útiles en problemas de investigación en física avanzada.

La Ley de Conservación de la Energía involucra los conceptos de Energía Cinética, Energía Potencia, Trabajo y Potencia. Con el fin de facilitar la comprensión del tema sólo se tendrá en cuenta Movimiento y Desplazamiento en una sola dimensión. 6.1 TRABAJO El concepto de trabajo es básico en las relaciones de energía, puesto que las dos magnitudes están íntimamente relacionadas.

FIG. 6.1 Una fuerza externa F aplicada al bloque produce en él un desplazamiento. Considérese un bloque (que puede ser una caja o una lavadora) colocado sobre una superficie horizontal, al cual se le aplica una fuerza horizontal Fa4 (por un agente externo) que pone en movimiento el bloque hacia la derecha. Para simplificar las cosas, asumamos que la fuerza ejercida es constante mientras actúa, y al cabo de cierto tiempo el bloque se ha desplazado cierta cantidad X positiva (medida desde el origen 0). Se dice entonces que la fuerza aplicada realiza cierto trabajo sobre la caja que por definición es igual al producto de la fuerza aplicada por el desplazamiento que dicha fuerza produce sobre el bloque. La fuerza aplicada tiene la misma dirección que el desplazamiento y por lo tanto las dos cantidades tienen el mismo signo positivo. 4 No sehan considerado por ahora, las fuerzas sobre el eje y, puesto que en el caso dado no incluye en el concepto de trabajo, pero están presentes N y W.

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Se utiliza el símbolo W para denotar el trabajo (no confundir con el símbolo W que denota el peso de un cuerpo), por lo cual trabajo realizado queda expresado por: W = F (X - Xo) = FX (6.1) (Recuerdar que X0 = 0). Así por ejemplo, cuando la fuerza aplicada sea F = 20N y el desplazamiento del bloque sea X = 1Om, el trabajo realizado Por la fuerza sobre la caja es 200 Nm. La unidad de trabajo es el (Newton) (metro), y se usa muy frecuentemente por lo que tiene nombre propio, se conoce como JULIO (abreviado J), en honor de J. P. Joule, físico inglés, de forma que un julio se define como: 1Nm = 1 Julio = 1J (6.2) Y el trabajo hecho al mover el bloque es W = 200J. En este momento cabe una reflexión sobre el concepto de trabajo que realizamos los humanos, pero pueden plantearse las siguientes inquietudes:

• Si se camina un trecho plano considerable, ¿Es posible que nos fatiguemos? ¿Se hace algún trabajo?.

• Si se recorre el mismo trecho, llevando una maleta, ¿se hace algún trabajo?

• Si el trecho recorrido es en subida, ¿qué tal?, ¿se hace algún trabajo en 1 o en 2?

• ¿Si hay necesidad de levantar tarros (latas) de leche o de aceite y colocarlos en la plataforma de un camión, ¿ se hace algún trabajo?

• Si se sostiene levantado un poste caído y lo sostenemos un largo rato, mientras alguien efectúa alguna operación debajo, se realiza trabajo?

• Hacer fuerza empujando una puerta que otro ha trancado a medias pero no se consigue abrir, se hará trabajo? y, ¿al empujar o recargarse sobre una pared se hará trabajo?

Naturalmente que en todas las actividades antes descritas sobrevendrá la fatiga o el cansancio, luego de realizado el ejercicio, pero lo que interesará saber es ¿En cuáles de las actividades enunciadas el hombre realiza trabajo en el sentido físico estrictamente? Las respuestas pueden tardar, pero más adelante se aclararán. Mientras se lleva a cabo la reflexión, volvamos a la expresión (6.1) y confirmemos que el trabajo hecho sobre el bloque por la fuerza aplicada es positivo. Ya que tanto Fa como x tienen el mismo signo (+). Veremos que se

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presentan casos, donde el trabajo hecho sobre un cuerpo dado (el bloque) resulta negativo.

FIG. 6.2: Trabajo debido a dos fuerzas de direcciones opuestas

Supóngase que existe fricción entre el piso y el bloque en el caso tratado, y como se sabe, la fuerza de fricción f tiene dirección opuesta al desplazamiento, (y a Fa) por lo cual tiene un valor negativo, mientras que el desplazamiento X es positivo, por lo tanto el trabajo W = fx hecho por la fuerza de rozamiento será negativo. Si se admite que el bloque se desplace a velocidad constante, la ecuación del movimiento será:

Fa + f = 0 (5.1)

o Fa – f = 0 (5.2) de donde f = Fa y el trabajo hecho por la fuerza de rozamiento es

W=f x= - 100N. 10m = -200J De manera que al moverse el cuerpo bajo la acción de dos fuerzas de igual magnitud pero de direcciones opuestas el trabajo neto efectuado sobre el bloque es igual a cero, es decir el trabajo negativo que realiza la fuerza de fricción anula el trabajo positivo debido a la fuerza aplicada, además el movimiento sigue siendo uniforme en virtud de que: ∑F = Fa + f = 0 ¿Y cuando bajo la presencia de fricción se efectúa trabajo, neto positivo?. Para lograr este punto deberá moverse el bloque con aceleración y entonces la fuerza aplicada hará más trabajo positivo que el trabajo negativo hecho por la fuerza de fricción, es decir Wf > wf

La expresión más precisa y compacta para describir el trabajo efectuado por una fuerza constante tiene la siguiente forma5: 5 Recuerdar la definición de Producción Escalar de Dos Vectores. Unidad 2

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WA→B = F . X = F . (i X) (6.3) Se lee Trabajo hecho por la Fuerza F al desplazar el cuerpo desde el punto inicial A hasta el punto final B WA →B = F . X Cosθ (6.4) donde X = (XB - xA) = (X – X0) Siendo 0, el ángulo comprendido entre la dirección del vector Fuerza cuyo trabajo se desea calcular y el vector desplazamiento (o la dirección en que se efectúa el desplazamiento), puesto que no siempre el vector fuerza aplicada estará en la misma dirección que el de desplazamiento.

FIG. 6.3: Solo las componente de Fa paralela a x realiza trabajo sobre el bloque. Comprobemos aquí que la componente y de la fuerza aplicada no realiza trabajo. Wy = Fy•X = j . i (Fa senθ) X = 0 (6.5) en virtud de las propiedades del producto escalar de i . j. Ejemplo Un bloque es empujado 1,2 m sobre una superficie horizontal, mediante una fuerza horizontal de 49N. La fuerza de rozamiento existente es de 9,8N.

• ¿Qué trabajo realiza el agente exterior que ejerce la fuerza de 49N?

• ¿Cuál es el trabajo de la fuerza de rozamiento? Solución

FIG. 6.4

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Dadas las condiciones del problema, se considerará sólo la dirección del movimiento (+X) en la que se observa que la fuerza de fricción tiene dirección opuesta a la del desplazamiento así: Trabajo hecho por el agente externo:

W (F) = F • (i X) = FX i . I

= FX cos 0° = 49n . 1.2 m

= 11.76 j Trabajo hecho por la fuerza de fricción en el mismo recorrido:

W(f) = f . (¡X) = fXcos 180º

= -fX = -9,8N.l,2m

= -11,76j Como el vector f y el vector ¡X tienen direcciones opuestas, el ángulo comprendido entre ellos es 180° = π y su coseno = - 1. Ejemplo Un bloque de 100 Kg es empujado una distancia de 6m sobre un piso horizontal a velocidad constante, mediante una fuerza que forma hacia abajo un ángulo de 30º con la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el piso es 0,3 ¿Qué trabajo positivo se ha realizado?

FIG. 6.5: Fuerzas que efectúan trabajo. La normal y el peso no efectúan trabajo por ser perpendiculares a la dirección del desplazamiento.

En este problema, si se deben tener presentes todas las fuerzas externas aplicadas al cuerpo. ¿Cuáles son? Las que afectan el movimiento y realizan trabajo se dan, teniendo cuidado en que la fuerza F, debe descomponerse en sus componentes según los ejes X, Y, también actúan el peso W y la normal N así que el llamado "diagrama de cuerpo libre"6. 6 El diagrama de cuerpo libre es el mismo diagrama de fuerzas

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FIG. 6.6: Diagrama de Cuerpo Libre Leer cuidadosamente el enunciado y sabrá por que:

∑Fx =F xa- f = 0 (1)

∑Fy = N – Fya - W = 0 (2) No conocemos la fuerza aplicada Fa y por ende su componente X: Fax realiza trabajo positivo sobre el bloque, pero sabemos que la fuerza de fricción se define como f = µN, así que de (2):

N = F ya+ W = Fa senθ + mg7 (2)

f = µ (Fa sen θ + mg) (3) y de (1):

f = Fa cos θ = Fxa (4) Igualando (3 ) y (4) se obtiene tanto a f como a Fa (o Fax).

µ(Fa sen θ + W) = Fa cos θ

µFa sen θ + µW = Fa cos θ

Fa cos θ - µFa sen θ = µW

Fa (cos θ - µsen θ) = µW Aquí µ, sin subíndice corresponde a µk, para abreviar escritura Fa =

Fa =

7 Detalle que aquí la normal N no es igual al peso W sino mayor

µ w

Cos θ - µ sen θ

0.3 . 100Kg .9,8 ms-2 0.8 6 – 0.3 . 0,5

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Fa = 410.61 N

Fax cos 30º = 355.6 N

El trabajo positivo como se estudió es por lo tanto:

W = Fax x = 355,6 N . 6m

W = 2133,6 j Comprobar que en este problema el trabajo neto sobre el bloque es nulo, también que en (3) y (4) la incógnita es Fa. 6.2 TRABAJO Y ENERGÍA se debe ahora establecer la relación entre el trabajo hecho por una fuerza aplicada a un objeto y el cambio en la velocidad del cuerpo. Para el efecto se asumirá que no existe rozamiento al desplazarse el bloque sobre la superficie y utilizamos la segunda ley de newton: También se supondrá que la fuerza aplicada tiene la misma dirección que el desplazamiento por lo cual el trabajo hecho resulta positivo, y el desplazamiento neto es (X - Xo) i = X - Xo, asumiendo que la fuerza comienza a actuar cuando el bloque estaba ubicado en la posición inicial Xo y no en el origen (X = 0), para mayor generalidad. La ecuación de movimiento es:

∑F = Fa ma

F a = max

Como Vx (t) = V0 + axt

FaX

VVo

Fa

XX0

Fa m

FIG. 6.7

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Vx (t) = V0 + t (6.6)

También: X (t) = X0+ V0t + (1/2)axt2

Por lo cual: X (t) =X0+V0t + t2 (6.7)

Al despejar de (6.6) el tiempo se obtiene: t = (v – v0)8

(6.8) que al sustituirlo en (6.7) da como resultado: X = X0 + (VV0 – V0

2) + (V2 – 2 VV0 + V02)

X – X0 = (V2- V0

2) (6.9) Por lo cual se puede escribir:

1 1 2 2 La parte izquierda de (6.10) muestra que la diferencia de las cantidades (1/2) mV2 y (1/2) mV0

2 están relacionadas con el trabajo hecho. La cantidad: 1 2 es denominada energía cinética de la partícula y se denota por la letra K de manera tal, que relaciona la masa de un objeto con el cuadrado de su velocidad. Puede afirmarse que cuando la velocidad del objeto sea igual a V = Vf su energía cinética es Kf = (1/2)mV2, y cuando la velocidad sea V = V0, su energía cinética sea k0 = (1/2)mV0, y la expresión: 1 1 2 2

8 Se emite el bubíndice en VX sin pérdidad de generalidad

1 Fa 2m

m Fa

m fa

1 m 2 Fa

1m

2 Fa

Mv2 - mv02 = Fa (x–x0) (6.10)

M V02 (6.11)

mV 2 - mV02 = K - K 0= ∆ K (6.12)

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Representa el cambio en la energía cinética de la partícula, mientras la fuerza Fa realiza el desplazamiento desde X0 hasta Xf, de manera que la igualdad (6.10), establece el conocido teorema del trabajo y la energía cinética, o simplemente la relación trabajo - energía cinética. En otras palabras el trabajo hecho sobre la partícula es igual al cambio en la energía cinética de la misma (en ausencia de fuerzas de fricción). La relación (6.10) se obtuvo mediante las leyes de newton, por lo que la relación trabajo - energía no es algo independiente de ellas. Notar que luego que la fuerza ha efectuado trabajo sobre el cuerpo éste adquiere algo que no tenia cuando su velocidad era nula (V = 0), la capacidad de hacer trabajo en virtud de su movimiento, cuando interactúe con otro cuerpo. Puede suceder asimismo que la velocidad inicial no sea nula sino que por acción de la fuerza la velocidad varíe aumentando o disminuyendo, pero como se afirmó, el cambio en la energía cinética en todos los casos resulta igual al trabajo realizado sobre el cuerpo. En general siempre que algo posea la facultad de realizar trabajo se dice que tiene energía. La energía que un cuerpo posee en virtud de su movimiento como se anotó se conoce como su energía cinética. La palabra "cinética" viene del griego "kineticos" que significa movimiento. Analizar lo que sucede y se puede concluir de (6.10) para los casos cuando W sea:

w > 0

W = 0

w < 0 Ejemplo ¿Qué trabajo se debe realizar para que un cuerpo en movimiento cuya masa es 2 Kg:

• Aumente su velocidad desde 2ms-1 hasta 5m s-1?

• Se detenga cuando su velocidad inicial sea de 8m s"1 ? Solución No se conoce nada sobre la fuerza que origina el incremento o variación de la energía, ni del desplazamiento hecho por la piedra, pero el teorema o relación trabajo - energía nos proporciona una forma fácil de solución.

• Sabemos que la energía inicial es : K¡ = ½ mV02

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• Sabemos que la energía final es : Kf = ½ mV2

• Donde Vi = 2m-1 y Vf = V = 5m-1así que como 1 1 2 2 Entonces: 1 1 1

2 2 2 W = 25 j • En este caso V0 = 8ms-1 y Vf = V =

1 1 2 2 De donde:

Kf – Ki = -64j

W = -64J Este es el trabajo para detener la piedra, ¿Por qué el trabajo es negativo?. Ejemplo Una piedra es lanzada sobre una superficie de hielo con velocidad V = 2ms-1 y recorre la distancia X = 20,4 metros antes de detenerse. Hallar el coeficiente de fricción entre el hielo y la piedra considerándolo constante. Solución

FIG. 6.8 De acuerdo al teorema Energía Cinética - Trabajo, la energía cinética que posee la piedra al comienzo del movimiento es (1/2) Mv0

2, que de alguna forma se pierde o transforma (más bien lo último), puesto que la velocidad se hace cero y por lo tanto la energía cinética final también es cero. Lo que queda claro es que 1 1 2 2

Mv2 - Mv02 = Fa (x – x0) = w

W = mV2 - mV02 = 2Kg (25 m2 s-2 – 4m2s2)

Kf – ki = mV2 - mV02 = - 1

22Kg . 64.ms-2

Mvf2 - Mv0

2 = -F (X – X0) =

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Trabajo de la fuerza de rozamiento, por lo cual el trabajo de la fuerza de fricción se ha escrito consigo negativo. -½ mV0

2 = -µN X suponiendo X0 = 0 por no existir un dato al respecto, y puesto que para el caso dado, la normal resulta igual al peso W del cuerpo. comprobarlo por lo tanto: - ½ mV0

2 = µmgx, de donde

1 mV02 V0

2 64m2s2 2 mgX 2 g X 29,8 ms2 . 2,4 m 6.3 ENERGÍA POTENCIAL Todo ser humano ha experimentado el esfuerzo que se hace al levantar objetos de relativo peso desde la superficie de la tierra, o sostener en equilibrio con los brazos o en la palma de la mano, un objeto pesado. FIG. 6.9

FIG. 6.9 Podría decirse que en todos actos de levantamiento de objetos tanto los humanos como las máquinas efectúan un trabajo y según el teorema del trabajo y la energía, dicho trabajo debe ser igual al cambio de alguna otra forma de energía. Para aclarar la situación debe considerarse el proceso que tiene lugar al levantar un cuerpo. Con el fin de lograr que el trabajo efectuado al levantar el cuerpo, se almacene como otra forma de energía, debe tenerse cuidado para que el cuerpo no adquiera energía cinética, es decir la velocidad no cambie, o lo que es lo mismo no adquiera aceleración.

µ = = = = 0.16

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Para lograr este fin el cuerpo debe ser levantado muy lentamente de manera que en todo momento permanezca en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas: el peso del cuerpo W y otra fuerza aplicada Fa de igual magnitud y momento permanezca en equilibrio bajo la acción de dos fuerzas: el peso del cuerpo W y otra fuerza aplicada Fa de igual magnitud y dirección opuesta Naturalmente la fuerza aplicada Fa, deberá ser una pizca (si así se puede decir) mayor que el peso del cuerpo, a fin de que el cuerpo se mueva hacia arriba. Se admite esta situación aunque no parezca convincente, puesto que los resultados obtenidos de tal experimento así lo confirman. Se asume la dirección hacia arriba como positiva y se ha adoptado el eje Z como coordenada para expresar las variaciones de altura respecto al piso9 (donde zi = 0). Bajo las circunstancias recién descritas, la fuerza Fa ha realizado un trabajo contra el campo de atracción de la tierra que queda almacenado en el sistema cuerpo-tierra (disco-tierra) como otra forma de energía que se denominará: Energía Potencial Gravitacional Las ecuaciones del proceso para alzar el cuerpo con v = constante = 0, son:

Fa + W = 0

Fa = -W = -mg que implica esta última que Fa = mg, es decir que la magnitud de la fuerza aplicada debe ser en todo momento igual al peso del cuerpo, aunque como se aclaró líneas arriba si la subida se hace muy, pero muy lentamente, se logra lo afirmado. Cuando el cuerpo se sube desde una altura inicial z0 = 0 hasta una altura final zf = h (o simplemente z = z) el trabajo hecho por Fa sobre el cuerpo es

W = Fa . (z - z0) k (6.13)

= k . k mg (h - 0)

W = mgh (6.14) Recordemos que la fuerza aplicada debe equilibrar la fuerza de atracción gravitatoria dirigida perpendicularmente al piso (o al centro de la tierra) y m, es la masa del cuerpo, (disco). Cuando el cuerpo está a una altura z = h sobre el piso adquiere una propiedad que no tenía cuando estaba en el piso, z = 0. La nueva propiedad consiste en que puede realizar trabajo sobre otro objeto, cuando se le de la oportunidad de volver al piso, es decir, el disco podrá realizar una cantidad de trabajo igual a la que se hizo sobre él, para levantarlo hasta z = h. 9 Hubiera podido tomarse cualquier otra coordenada (X o Y) para denotar la altura sobre el piso, sin perder generalidad en el raciocinio

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La energía que posee (o adquiere) un cuerpo en virtud de su posición se conoce como energía potencial. De una vez se advierten tres puntos fundamentales:

• Lo que se mide o tiene significado, son las diferencias de energía ya sea potencial o cinética, de forma que si debajo del piso hay un sótano, cuando el disco estaba en el piso (z = 0), tenía por lo tanto energía potencial respecto al piso del sótano, aunque no sepamos quien, ni como lo levantó, hasta el piso (z = 0), pero queda claro que quien lo levantó realizó un trabajo contra la atracción gravitacional de la tierrra para llevarlo del piso del sótano al piso z = 0.

• En todos los casos, la energía potencial del cuerpo (disco en este caso) queda almacenada en el sistema tierra - cuerpo, aunque en la expresión de W = mgh, figura tan sólo la masa del cuerpo. (Yo digo que la de la tierra también !).

La energía potencial se denota con el símbolo U y la relación: trabajo - energía cinética queda ahora dada como trabajo - energía potencial así:

Wzo h = u(h) – U (Z0) (6.15)

W = Uf – Ui = ∆U (6,16) Donde W = Fa (z – z0) = mg (h – 0) Y el cambio en la energía potencial se contabiliza desde la posición z0 = 0, donde el valor de la energía potencial es cero, puesto que U0 = mg0= 0, hasta la altura final z = h, donde Uf = mgh. Ahora debe quedar muy en claro que las unidades de trabajo son las mismas de energía. En el sistema CGS la unidad de energía, o de trabajo es el ergio (erg) definido como el trabajo que se efectúa sobre un cuerpo de 1 gramo de masa, por una fuerza de una Dina, al desplazarlo un centímetro.

1 erg = 1DINA. 1Cm

1j = 1N. 1M

1libraf - pie = 1lbf - 1pie ¿Y qué pasa si se suelta el disco?, nótese que al soltarlo V0 = 0, su velocidad inicial es cero (y Ki también), su altura inicial es zi = h, por lo que su energía potencial inicial es U¡ = mgh, y a medida que va cayendo va perdiendo altura, disminuyendo U (energía potencial), y va ganando velocidad (Vz = gt), de modo que su energía cinética va aumentando, hasta que justo antes de tocar el piso, toda la energía potencial inicial se ha transformado en energía cinética. (La energía cinética ha

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aumentado desde Ki = 0 hasta Kf = (1/2)mV2, donde V no se conoce, pero puede hallarse a partir de los datos dados. Tiene lugar la igualdad:

Energía cinética inicial + energía potencial inicial = energía cinética final + energía potencia final,

en símbolos:

K¡ + U¡ = Kf +Uf (6.17) o reemplazando: 1 2 Puesto que V0= 0 y z = zf = 0, al ser el piso el origen de coordenadas así que la energía potencial final resulta Uf = mg0 = 0 La igualdad (6.17a) permite calcular la velocidad con que el disco llega al piso V = (2gh)1/2 ¿fórmula conocida verdad ? A la suma de la energía cinética + energía potencial se le denomina energía mecánica total, y se le denota por E, de suerte que el balance energético puede resumirse así:

E = K + U (6.18)

Ki + Ui = Kf + Uf (6.18’)

Ei = Ef (6.19) Donde Ei = (energía cinética inicial) + (energía potencial inicial) Ef = (Energía cinética final) + (energía potencial final) de donde resulta para el caso en discusión: 1

2

0 + mgh mV2 + 0

0 + mgh mV2 + 0 = constante

FIG. 6.11

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La constante = mgh = E es la cantidad de energía que como trabajo acumula la fuerza aplicada. En cada caso la constante resultará de las condiciones de cada problema físico, pero dicha constante o valor constante de E, o energía mecánica total, permanece constante durante el proceso de caída o de movimiento, puesto que a medida que el disco descendía perdía energía potencial, pero aumentaba su velocidad y ganaba energía cinética, de forma que en cualquier instante o punto arbitrario entre 0 y h: (0 ≤ z ≤ h), la suma de energía cinética y potencial debe permanecer constante (desde que no haya fuerzas de fricción). El enunciado:

1 1 2 2 Expresa el contenido de la Ley de la conservación de la energía mecánica total, de un sistema aislado en el cual no hay rozamiento. En forma compacta: la anterior formulación se da por (6.19), con el significado contenido en (6.18').

E¡ = Ef = constante (6.20)

Ei = Ef = E (6.20ª) Donde E = constante, que para el caso en estudio es mgh. De lo considerado puede verse que por ejemplo

E¡ = 0 + mgh y ki = 0

Ef= (1/2)mV2 + 0 y Uf = 0 Pero por lo general: = 1/2mV2+ mgz, lo que significa que inicialmente hay valores de U¡ y K¡ diferentes de cero, y así mismo para los valores finales. Ejemplo Desde una torre de observación, situada a 25 mt de altura sobre la superficie de la tierra, se lanza horizontalmente (Voy = 0) una piedra de masa 0,4 kg con velocidad Vx= 10 ms-1 . Calcular la energía cinética y potencial que tendrá la piedra al cabo de 2 segundos de haberse lanzado. ¿Qué trabajo se hizo sobre la piedra?

= mv2i + mgz mv2

f + mgzf

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Solución Se toman por los ejes como en la figura 6. Por comodidad así que y es positiva en este caso.

• De las condiciones del problema • V 0x = 10 ms-1 • Voy = 0 Y algún agente lleva la piedra desde la altura y = 0 hasta y = h = 25m, (o desde z = 0 hasta z = h) de manera que:

1 (1) 2

Para hallar la Ef se debe hallar la energía cinética final y la energía potencial final. La energía cinética final es: 1 1 1 (2) 2 2 2 puesto que después de lanzada la piedra el cuerpo adquiere velocidad en dirección vertical. Como V0x = Vo = VX = constante (no hay fuerzas aplicadas horizontalmente) y Vy = VOY + at = 0 + gt Entonces

1 (3) 2

Ei = Ki + Ui mV02mgh = constante

mVt2 = (mVXf

2) + (mVYf2)

Kf = m(V02 + (gt)2)

FIG. 6.12

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La energía potencial final será la energía que posea la piedra a una altura yf final medida desde el piso, la cuál hay que evaluar. Puesto que al cabo de 2s la piedra ha caído una distancia vertical y2 = h2, dada por ver figura (6.12)

1 2

entonces, y2 = H – Y2 = h3 (3)

yf = 25 m - gt2 = h3 (4)

FIG. 6.13: relación de alturas para calcular la E potencial final de la piedra. Al cabo de 2 segundos la piedra se ubica respecto al piso por yf respecto de A por y.2

La energía potencial final será:

Uf = mgh3 (5) Los cálculos dan:

Vy= 9,8 ms-2 2s = 19,6ms-1

Kf = (0.4) kg (100 + (19,6 )2) m2 s2

Kf = 96.83 J

h2 = 19,6 m

h3 = 5,4m Uf = 0,4 Kg . 9,8ms-2 . 5,4m

Uf = energía potencial final 21,16J Las respuestas por lo tanto son:

Kf = energía cinética final = 96.835 J

Uf = 21,16J

Y2 = gt2 h2 (VOY = 0)

1 2

1 2

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El trabajo realizado, (en este caso por la gravedad) debe ser igual al cambio en la energía cinética más el cambio en la energía potencial:

∆K = Kf - K¡

∆U = Uf - U¡

Así W = ∆K + ∆U

La generalización del teorema - energía. 1 1 2 2 W= (96,83J - 20J) + (21,16J – 98J)

W = 76,835J– 76,835J

W= 0 Ejemplo Un cuerpo de masa 2Kg cae (V0= 0) desde una altura desconocida hasta el piso (tierra), en un tiempo de 1,43s. Hallar las energías cinética y potencial:

• Al comienzo y al final del movimiento y,

• En el punto medio del recorrido, (h/2) Solución • Los valores iniciales de las energías son:

K¡ = mV0

2 = 0

Ui = mgh pero no se conoce h, y debe calcularse ya que se conoce el tiempo de caída y que Vo = 0 entonces h = gt2 = 0.5 . 9,8 ms-2 (1,43)2 s2

h = 10,02 m

U¡ = 2Kg . 9,8ms-2 . 10,02 m

U¡ = 196,39J

W = mVf2 - mV0

2 + (mhg3 - mgH)

1 2

1 2

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Usando la Ley de Conservación de la Energía:

U¡ + kí = Uf + Kf, donde,

K¡ = 0 y Uf = 0 puesto que al ir cayendo, la energía potencial de la piedra va disminuyendo, con respecto al piso, hasta que cuando toque el piso su energía potencial será cero, y la energía cinética será igual a la energía potencial inicial, así:

0 + mgh = mV0

2 + 0 y

Kf = mgh = Ui

Kf = 196,39J • Para calcular la K en el punto medio del trayecto se debe calcular antes la U en

el punto medio del recorrido, denotamos tales valores como K1/2 y U!/2 como:

h = 10.02m

h/2 = 5.01m

U1/2 = mgh/2 = 29,8ms-2 . 5,01m

= 98,19J evaluada con relación al piso donde U = 0, en h = 0. De la Ley de Conservación de la Energía:

Ei= E 1/2= K 1/2+ U1/2, como:

mgh = mgh/2 + K½ , de donde: (relación valida para cualquier punto vertical)

K1/2 = mgh – 1/2 mgh - 196,391- 98,19J

K1/2= 98,2J. En el punto medio del trayecto recorrido resulta que los valores de energía cinética y potencial son iguales. Pero es posible que en otros puntos no. Probarlo calculando dichos valores en (1/4) h, y en (3/4 ) h de la altura h. Por otro lado, también se hubiera podido calcular k1/2 por un procedimiento más largo, a saber:

• Conociendo la altura media.

• Calculando la velocidad en el punto medio. (V1/2) De V2

1/2 = V02 + 2g (h/2) puede calcularse V1/2 en el punto medio, o de V1/2 = gt1/2

donde t1/2 es el tiempo empleado en recorrer la mitad de la altura, que con seguridad no es iguala 1,43/2.

1 2

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V 21/2 = 2gh/2 = gh

= 9,8 ms-2 . 10.02 m

= 98,196m2s –2

K1/2= (1/2) 2 Kg . 98,196 m2 s2

= 98,196J También como: (h/2) = gt21/2

t 1/2 = (h/g)1/2= (√h/g) = √10,02 m/9,8 ms-2

= √1,022 s2 = 1.011 s ≠ 0,71s = 1,43 s/2 De donde se aprecia que el tiempo para descender en caída libre la mitad de la altura total es diferente de la mitad del tiempo total de caída. T/2. No se ha enfatizado al respecto pero, si el lector se lo propone sin duda logrará evidenciar que utilizar los métodos de trabajo - energía facilitan la solución de muchos problemas en la mecánica. Conclusiones Recalcaremos no obstante, que siendo el trabajo y la energía magnitudes escalares, este sólo hecho simplifica los pasos necesarios para manejar los cálculos, así como también los razonamientos involucrados. En esencia los métodos de conservación de energía reducen muchos problemas a problemas típicos de contabilidad, de esta manera terminaremos esta unidad aclarando dos temas de interés sin entrar en demasiados detalles.

• El de las fuerzas conservativas;

• fuerzas disipativas y

• el balance final de energía. Se dirá que si en un sistema aislado (como el tierra - cuerpo o cuerpo superficie dada) no hay fuerzas de fricción, el sistema es conservativo y las fuerzas externas que estén presentes se dirá que son conservativas. En rigor una fuerza conservativa es aquella para la cual, el trabajo realizado sobre un cuerpo para moverlo entre dos puntos dados, no depende del camino elegido para desplazarlo entre los dos puntos. Así para un campo conservativo, el trabajo

1 2

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no dependerá de que trayectoria se utilice: AB, o CB, o ADB, u otra, puesto que para todas ellas el trabajo será igual a.

FIG. 6: Para mostrar la independencia de las trayectorias en el trabajo hecho por fuerzas conservativas, en este caso las fuerzas gravitatorias.

W = mgh. Las fuerzas rigurosamente conservativas son las fuerzas centrales, tales como las gravitacionales o electrostáticas, en las cuales, las fuerzas entre las partículas o cuerpos están contenidos en la recta que las une. Bueno. Pero la pregunta del millón es: ¿Qué pasa cuando hay fuerzas disipativas o de fricción?. Pues que en la ley de conservación de la energía Ei # Ef; pero como el problema es de contabilidad, la diferencia entre los valores de la energía total inicial y final, representará la porción de energía transformada en calor o en otra forma no recuperable a energía mecánica. Por lo general si E¡ > Ef el valor E¡ - Ef = Q, indicará que el calor obtenido Q, deberá adicionarse a la energía mecánica final para comprobarse que la energía global se conserva, es decir : E, = Ef + Q, lo cual confirma que la energía (en general la materia) no se destruye o desaparece sino que se transforma. Finalmente hablaremos de la potencia, como la rata o velocidad a la cual se realiza el trabajo sobre un cuerpo dado. Sus unidades se dan en Wattios, o en Horse-power (hp), o en Caballos de Vapor. (cv) Se define la potencia media como el trabajo realizado, en cierto intervalo de tiempo: <P> - W/t (J/s) donde 1J/s = 1Watt. Así, si se realiza un trabajo sobre un cuerpo por una fuerza de 10N, en un desplazamiento de 20 m durante un intervalo de 12 seg, la potencia media consumida es <P> = (10N 20 m)/12 s - 16.67 Watt.

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Proceso de Comprensión y Análisis Las siguientes preguntas y ejercicios se deben resolver individualmente. Después conformar pequeños grupos y discutir los planteamientos y respuestas hasta llegar un consenso. Tomar nota de los aspectos más importantes. Preguntas • Los cables de un elevador lo levantan con velocidad constante. ¿El trabajo

total realizado sobre el elevador es positivo, negativo o nulo? • Al tirar de una cuerda atada a un bloque se le comunica a éste una aceleración.

Pero, según la Tercera Ley de Newton, el cuerpo tira de la cuerda hacia atrás con una fuerza igual y opuesta. ¿Es entonces nulo el trabajo total realizado?. Si es así, ¿Cómo puede variar la energía cinética del cuerpo?

• Un hombre salta sobre un trampolín, ganando una pequeña altura en cada

salto. Explicar cómo aumenta su energía mecánica total. • ¿Cuándo varía más la energía cinética de un automóvil, si acelera de 10 a 15 m

s-1 o si lo hace de 15 a 20 ms-1?

Problemas • Un bloque de 40 Kg es empujado, a velocidad constante, una distancia de 5 m

sobre un piso horizontal mediante una fuerza que forma un ángulo de 30º por debajo de la horizontal. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el suelo es 0.25. ¿Qué trabajo ha realizado la fuerza? ¿Y la fuerza de rozamiento?

• Se empuja un bloque 2 m sobre una superficie fija horizontal mediante una

fuerza horizontal de 2 N. La fuerza opuesta de rozamiento es de 0.4 N.

- ¿Qué trabajo ha realizado la fuerza de 2 N?

- ¿Cuál es el trabajo de la fuerza de rozamiento?

• Calcular la energía cinética de un automóvil de 1200 Kg. que lleva una velocidad de 20 Km. h-1.

• ¿Cuántas veces aumenta la energía cinética si se duplica la velocidad? • Un cuerpo de 8 Kg. de masa se mueve en línea recta sobre una superficie

horizontal sin rozamiento. En un punto de su trayectoria se velocidad es:

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4 m.s-1, y después de recorrer 3 m, su velocidad es 5 m.s-1 en la misma dirección. Utilizar la relación trabajo-energía para determinar la fuerza que actúa sobre el cuerpo, suponiendo que es constante.

• ¿Cuál es el aumento de energía potencial de un cuerpo de 1 Kg cuando se eleva desde el suelo hasta una mesa de 1 m de altura?

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UNIDAD 7 Máquinas Simples

Núcleo Temático y Problemático Diversos Tipos de Máquinas Simples Proceso de Información Una máquina es un dispositivo para utilizar energía o realizar trabajo. La energía mecánica es aplicada en un punto y es entregada, en una forma más útil, en otro punto, o sea, un dispositivo que modifica una fuerza. Su objeto es ejercer sobre un cuerpo una fuerza distinta a la fuerza aplicada sobre la máquina desde el exterior. El término máquina aplica tradicionalmente en física a cualquiera de los mecanismos básicos de naturaleza elemental.

FIG. 7.1: Una máquina se puede esquematizar como se muestra en la figura 6.1 en la cual se supone que se levanta un peso W, a velocidad constante, a una altura h aplicando una fuerza F que actúa sobre una distancias.

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Las máquinas simples se pueden considerar divididas en dos clases:

• Las que dependen de la resolución vectorial de fuerzas tales como el plano inclinado, la cuña, el tornillo, etc...; y

• En las que hay un equilibrio de torques tales como palancas y poleas. (Si no recuerda los principios mire las unidades 2 sobre vectores y 3 sobre estática).

El principio fundamental de todas las máquinas es que el trabajo obtenido no puede ser mayor que la energía suministrada a la máquina. La energía suministrada a la máquina es proporcionada por una sola fuerza, F, llamada esfuerzo y la máquina realiza trabajo al vencer una sola fuerza resistente, W, llamada carga, ya que normalmente es un peso. La máquina permite a un hombre que solo puede ejercer una fuerza F levantar una pesada carga W que no podría mover por sí solo. La razón W/F (carga a es-fuerzo) es la ventaja mecánica, Vm, de la máquina. Del esquema, es claro que el trabajo del esfuerzo es Fs y el de la carga es Wh. Despreciando el rozamiento se tiene: Fs = Wh. Así la ventaja mecánica es: Vm= W/F = s/h. A menudo interesa más que el trabajo, el ritmo al que se realiza, o sea, la potencia. Si se demora un tiempo t en mover la carga la distancia h, el ritmo al que se está haciendo trabajo es Fs/t y el ritmo a que se está haciendo trabajo contra la gravedad es Wh/t. La potencia puede considerarse así mismo como el ritmo de consumo de energía o el ritmo de producción de energía. Midiendo el esfuerzo y la carga en newton (N) y la distancia en metros (m), la unidad de trabajo es el joule (J) y por lo tanto la potencia definida como el cambio del trabajo en el tiempo se mide en watios (W): W = J/s = N m/s. Las relaciones s/t = v1 y h/t = V2 determinan las velocidades a que se mueven el esfuerzo y la carga. Sustituyendo en las relaciones anteriores se tiene: Fv1 = Wv2. En forma literal esta relación dice que la potencia suministrada a la máquina es igual a la cedida por ella. Recordar que en la deducción se considero que no existían pérdidas por fricción, lo cual en la práctica no es cierto porque siempre hay disipación de energía o potencia, y así la potencia obtenida es menor que la potencia suministrada y es necesario hablar del rendimiento de la máquina que se

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define como el trabajo o potencia obtenido entre el trabajo o potencia suministrado. R = Wv2/Fv1 = (W/F) / v1/v2

La relación V1/V2 se denomina ventaja mecánica ideal, Vi, y representa la máxi-ma ventaja mecánica que es posible obtener con la máquina. 7.1 DIVERSOS TIPOS DE MÁQUINAS SIMPLES En la vida diaria se encuentran numerosos ejemplos de máquinas simples que habrá utilizado en múltiples ocasiones sin realizar que estaba haciendo una aplicación directa de ellas. Entre las diferentes y que permiten levantar o movilizar una carga con menor esfuerzo se tienen: 7.1.1 Plano Inclinado Se muestra en la figura 6.2 y es una máquina simple constituida por una superficie plana inclinada, por medio de la cual se facilita la elevación o el descenso de cuerpos pesados.

FIG: 7.2El plano inclinado permite subir o bajar pesos (W) con menor fuerza (F1) ya que esta es igual a la componente paralela al plano, la carga F2. La fuerza normal N que ejerce el plano sobre el cuerpo no realiza trabajo por ser perpendicular.

Ejemplo Si el peso W = 100.0 N y el ángulo de inclinación del plano es θ = 30°. Si no se considera rozamiento ¿qué fuerza se requiere para mover el bloque plano arriba?

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Solución De acuerdo a las técnicas de solución de problemas indicados en el capítulo 3 primero se traza el diagrama de cuerpo libre. Las ecuaciones de equilibrio correspondientes al diagrama de fuerzas, que se muestra a continuación, son: ΣFY = N -100.0 N Cos 30º = 0 (1)

ΣFX = F1 - F2 = 0 (2) De (1) N = 100.0N x 0.866 = 86.6 N De (2) F1 = F2 (por gráfica)

= 100.0 N x 0.5

= 50.0 N Del resultado la fuerza (esfuerzo) que es necesario hacer es menor que el peso que se lleva a lo largo del plano inclinado. Ejemplo Un motor eléctrico, de potencia nominal 2.0 kW, se utiliza para elevar ladrillos mediante una correa transportadora desde el suelo hasta una plataforma de construcción. Se desea un ritmo de suministro de al menos 4.0 kg/s. Suponiendo que se disipa, por rozamiento, el 51% de la potencia nominal, ¿Cuál es la máxima altura que puede tener la plataforma? Solución Dado que se pierde el 51% de la potencia del motor, el rendimiento es de 0.49 y la potencia obtenida es por lo tanto: 0.49 * 2.0 kW = 980.0 W. Para elevar 4.0

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kg de ladrillo cada segundo a una altura h se requiere una potencia: 4.0 kg/s * 9.8 m/s2 * h = 39.2h W/m. Aplicando la condición de igualdad de potencias se obtiene: 39.2h W/m = 980.0 W, o sea, h = 980.0 W / 39.2 W/m = 25.0 m 7.1.2 Torno Aparato para la tracción o elevación de cargas por medio de una soga, cable o cadena que se enrolla en un cilindro horizontal. En algunos pozos se ve una utilización del torno para sacar agua desde el fondo del mismo.

FIG. 7.3: El Torno Ejemplo Determinar la ventaja mecánica ideal del torno de la figura suponiendo que los radios del volante y del eje son: 80.0 cm y 10.0 cm. Si el rendimiento de la máquina es 0.85, ¿Qué peso puede elevar con ella un hombre que ejerce una fuerza de 1,200.0 N?. Si el peso se eleva a una velocidad constante de 4.0 cm/s, ¿Qué potencia está ejerciendo el hombre? Solución Si el volante y el eje giran con la velocidad angular w, un punto del borde del vo-lante se mueve a la velocidad lineal v1 = w x 80.0 cm y un punto sobre la superfi-cie del eje se mueve con velocidad lineal v2 = wx 10.0 cm. Así la ventaja mecáni-ca ideal es: V1= v1 / v 2= 80.0 cm /10.0 cm = 8.0 La ventaja mecánica es: Vm = 0.85 * 8.0 = 6.8

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Por lo anterior un esfuerzo de 1,200.0 N es capaz de elevar un peso de: W = 6.8 * 1,200.0 N = 8,160.0 N Como el peso sube a 4.0 cm/s, el punto de aplicación del esfuerzo ha de moverse con una velocidad de: V = 8.0 * 4.0 cm/s = 32.0 cm/s = 0.32 m/s La potencia desarrollada por el hombre será: P = 1,200.0 N x 0.32 m/s = 384.0 W 7.1.3 Palancas Una palanca es en sí un cuerpo rígido que tiene un punto fijo. Por aplicación de la Segunda Ley de Equilibrio (la suma de los momentos es igual a 0, ver la unidad 3), se equilibra la carga W producida por objetos con el esfuerzo F producido generalmente por una persona. Por conservación de la energía se encuentra que Fs = Wh ; donde s y h son los desplazamientos de cada fuerza e inversamente proporcionales a las mismas. Para su estudio se acostumbra dividirlas en tres tipos según la posición del punto fijo o punto de apoyo o fulcro con respecto a las fuerzas. Palanca de Primer Género El punto de apoyo está entre las dos fuerzas. Este es el caso de balanza de brazos iguales la romana, los alicates, el martillo cuando se usa para sacar clavos y las tijeras.

Palanca de primer genero. El fulcro o apoyo está entre el esfuerzo y la carga.

FIG. 7.4: Balanza de brazos iguales de suspensión.

FULCROWF

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FIG. 7.5: Balanza de brazos iguales de apoyo

FIG. 7.6: Romana Española

FIG. 7.7: Las tijeras y un martillo cuando es utilizado para sacar un clavo son ejemplos de palanca de primer genero

Ejemplo Si se aplica el esfuerzo a una distancia de 4.0 m y una carga de 1,000.0 N a 2.0 m, ¿Qué tanta fuerza hay que aplicar para moverla?, ¿Cuál es la ventaja mecánica de la palanca? Solución F = W h/s = 1,000.0 N x 2.0 m / 4.0 m

F = 500.0 N

Vm = 1,000.07 500.0 = 2.0

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Palanca de Segundo Género El punto de apoyo está en un extremo y la carga está entre el fulcro y el esfuerzo, En la palanca de segundo genero el fulcro se encuentra en un extremo, el esfuerzo en el otro y la carga entre ambos. De este tipo de palanca es la carretilla, FIG. 7.9. También un destapador de botellas o un rompenueces.

FIG. 7.9: La carretilla es ejemplo de palanca de segundo genero. El fulcro o apoyo está en la parte delantera y el esfuerzo se aplica sobre el extremo posterior. La carga queda entre ambos.

Palanca de Tercer Género En este caso el esfuerzo está entre la carga y el apoyo.

FIG. 7.10: En la palanca de tercer género el esfuerzo está entre la carga y el apoyo.

FULCRO

F

W

FULCRO

F

W

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FIG. 7.11: El brazo es un ejemplo de palanca de tercer género. La palanca de tercer género es la única que tiene una ventaja mecánica menor que la unidad, en las otras esta ventaja es mayor, como debe ser, ya que el inte-rés es obtener una fuerza mayor aplicando una menor. Esto último no es válido para las máquinas del cuerpo humano. En la figura se muestra un brazo extendido que sostiene un peso y es claro que el sistema corresponde a una palanca de tercer género con una ventaja mecánica inferior a la unidad ya que el esfuerzo está más cerca del fulcro que la carga. La ventaja es aproximadamente 0.15. Todos los músculos del cuerpo humano actúan de este modo por dos razones importantes:

• Permite a los miembros ser delgados al ir el músculo paralelo al hueso;

• Los músculos estriados solo pueden contraerse alrededor de un 30% de su longitud. Si la ventaja mecánica fuera mayor que la unidad, los extremos de los miembros difícilmente podrían moverse siquiera un poco.

7.1.4 Poleas Son ruedas que pueden girar libremente sobre un eje o que van fijas a éste por un pasador y que pueden arrastrarse por una correa, cuerda, cadena, etc. A continuación se analizan las diferentes disposiciones de poleas que se emplean como máquinas simples: Polea en un Eje Es el equivalente angular de la palanca, donde el momento de la rueda FR es el momento del esfuerzo y el momento del eje Wr es el momento entregado, siendo R y r los radios res-pectivos. FR = Wr; Vm = W/F

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FIG. 7.12: Polea en un eje es el equivalente angular de la palanca.

Polea Fija Se muestra en la figura y en ella se pueden presentar en general dos casos: que el esfuerzo y la carga sean iguales o que sean diferentes. Si la fricción entre la cuerda y la polea son despreciadas la aceleración de la cuerda, a, y la tensión en la cuerda, T, toman las siguientes formas: Si F = W la cuerda está en reposo o en movimiento uniforme; a = 0 y T = W

FIG. 7.13: La polea fija solo cambia la forma de aplicación de las fuerzas: el esfuerzo F y la carga W.

Si F no es igual a W la cuerda se mueve con una aceleración dada por: a = g (F - W) / F + W, en la dirección de F si a>0 y en la dirección de Wsi a<0. La tensión, en ambos casos, está dada por: T = 2 FW /F + W Ejemplo Si F = 100.0 N y W = 200.0 N, ¿Cuáles son la aceleración y tensión en la cuerda? Solución

a = 9.8 m/s2 (100.0 - 200.0) / 300.0

= -3.27 m/s2

T = 2x100.0 * 200.0/300.0 = 133.3 N

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Notar que en este tipo de polea el esfuerzo y la carga se desplazan la misma dis-tancia; s = h. Una Polea Fija Y una Polea Móvil el esfuerzo es: F = W/2; el esfuerzo recorrer s = 2h y la ventaja mecánica es: Vm = 2.

FIG. 7.14: Una polea fija y una polea móvil reducen la fuerza que es necesario aplicar (esfuerzo) a la mitad del peso a levantar (carga).

Una Polea Fija y n Poleas Libres El esfuerzo es: F = W/2n; el espacio que debe recorrer la fuerza es s = 2nh y la ventaja mecánica es: Vm = 2.n

FIG. 7.15

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Cuando se tiene una polea fija y n poleas móviles es esfuerzo se divide por el número de poleas en el sistema pero la distancia que debe recorrer se eleva en la forma 2 elevado a una potencia igual al número de poleas libres. Polipasto Es una máquina simple que consiste de n poleas fijas y n poleas móviles. El esfuerzo es: F = W /2n; la distancia del esfuerzo es: s = 2nh; la ventaja mecánica es: Vm = 2n.

FIG. 7.16: El polipasto está compuesto de n poleas fijas y n poleas libres que dan una ventaja mecánica igual a 2n.

Motón O Trocla Es un polipasto montado en un eje horizontal así el espacio necesario para su operación es menor. Todas las poleas son de igual radio.

FIG. 7.17:

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El motón o trocla es un polipasto en el cual las poleas son del mismo diámetro y en lugar de estar en forma vertical están horizontal disminuyendo por lo tanto el es-pacio necesario. Polea Diferencial Consiste de dos poleas de radios R y r fijas juntas.

FIG. 7.18: Una polea diferencial está compuesta por dos poleas fijas juntas. En éste tipo de polea los factores son:

F = (R-r)W/2R

s = 2 πR; h = π(R - r)

Vm = 2R / (R - r) Proceso de Comprensión y Análisis • Un niño y un hombre deben transportar una viga pesada. ¿Cómo deben

situarse si el hombre debe soportar el doble del niño. • Un camión de 10.0 toneladas pasa con una velocidad de 72.0 km/h sobre un

puente homogéneo de 100.0 toneladas y 200.0 m de longitud soportado por dos columnas en sus extremos. Dibujar las fuerzas ejercidas por el puente sobre cada columna en función del tiempo.

• Demuestre que una balanza "falsa" (brazos desiguales) puede dar un peso

preciso si se pesa el objeto primero en un platillo y luego en el otro. El peso será la media geométrica de las dos mediciones hechas.

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• ¿Qué fuerza debe hacer un músculo de un brazo para soportar un peso de 10.0 N? El punto de anclaje del músculo está a 3/8 de la longitud del brazo.

• Un bloque de 5.0 kg es empujado por una fuerza paralela a velocidad

constante una distancia de 10.0 m por un plano inclinado. El coeficiente de rozamiento dinámico es 0.3. ¿Cuál es el trabajo de la fuerza?

• Con ayuda de una polea fija, un caballo levanta una carga de 73.5 kg una

altura de 10.0 m en 100.0 segundos. ¿Cuál es la potencia media desarrollada por el caballo?

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BIBLIOGRAFÍA GENERAL BUECHE, Frederick J. Física para Estudiantes de Ciencias e Ingeniería. Tomo 1. México, McGraw-Hill. 1988. GAMOW, George. Matter Earth and Sky, Second edition. Englewood Cliffs, N.J. : Prentice-Hall, Inc. 1965. GETTYS, W. Edward, Frederick J. Keller y Malcolm J. Skove, Física Clásica y Moderna. Madrid, McGraw-Hill. 1991. MACDONALD, Simón G.G. y Desmond M. Burns, Física para las Ciencias de la Vida y de la Salud. Bogotá. Fondo Educativo Interamericano, S.A. 1978. PINZÓN, Álvaro. Física I Conceptos Fundamentales y su Aplicación. Primera edición. México. Haría, S.A. de C.V. 1973. RESNICK, Robert y David Halliday, Física, Parte I. México. Compañía Editorial Continental, S.A. 1971. TIPLER, Paul A. Physics. New York. Worth Publishers, Inc. 1976. TURNA, Jan J. Handbook of Physical Calculations. New York. McGraw-Hill Book Company. 1976. VALERO, Michel. Física. Bogotá. Editorial Norma. 1976.