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Profesor: Ignacio J. General2do cuatrimestre 2017
Escuela de Ciencia y TecnologíaUNSAM
Física ModernaFísica Moderna
Física ModernaFísica Moderna
Postulados de de Broglie y Postulados de de Broglie y principio de incertidumbreprincipio de incertidumbre
Corral cuánticoBy Julian Voss-Andreae - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=17273241
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Física Moderna – UNSAM – 2017
Ondas de electrones
Tesis doctoral de Louis de Broglie, 1924:
Postulados de de Broglie:Postulados de de Broglie:
1)
2)
FOTONES
ondas partículas
ELECTRONES
¿ondas?¿ondas? partículas
simetría
E=h ν
p=hλ
Planck, Einstein
Generalización de fotones:
h ν=c p ⇒ hcλ =c p ⇒ h
λ =p
E2=c2 p2+m2 c4 ⇒ E=c p
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Física Moderna – UNSAM – 2017
Ondas de electrones
En general se habla de E del electrón, no de su p:
Usando que h=6.63×10-34 kg m²/s y me-=9.11×10-31 kg,
Pregunta: ¿Cuál es la λ de un electrón con baja energía típica (10 eV)?
E= p2
2 m⇒ p=√2 m E → h
λ =√2 m E ⇒ λ= h
√2m E
λ≃1.226√E
nm (con E en eV)
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Física Moderna – UNSAM – 2017
Ondas de electrones
En general se habla de E del electrón, no de su p:
Usando que h=6.63×10-34 kg m²/s y me-=9.11×10-31 kg,
Pregunta: ¿Cuál es la λ de un electrón con baja energía típica (10 eV)?
λ ~ 1.226 / sqrt(10) ~ 0.4 nm
E= p2
2 m⇒ p=√2 m E → h
λ =√2 m E ⇒ λ= h
√2m E
λ≃1.226√E
nm (con E en eV)
Este es el orden de magnitud del espaciado interatómico en un cristal.Es decir, si los electrones fueran ondas y cumplieran los postulados de de Broglie, ¡se deberían difractar!¡se deberían difractar!
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Ondas de electrones
Experimento de Davisson y Germer (1927)
Observaron (accidentalmente) por primera vez la difracción de electrones
Nickel TargetElectron Beam
Diffracted electron beam
Movable Detector
Vacuum Chamber
By Roshan - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=20127070Davisson, C. J., "Are Electrons Waves?," Franklin Institute Journal 205, 597 (1928)De Antoni Salvà - Trabajo propio, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=37236984
El pico a 500 se puede explicar como resultado de la interferencia constructiva de los electrones dispersados en las distintas capaslos elos e-- se comportan como ondas se comportan como ondas
E=54 eV
λ=1.67 Å(d
níquel~2.15 Å)
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Ondas de electrones
Cuantización de L según de Broglie
Bohr:de Broglie:
mvr=n ℏp=mv=h/ λ
hλ r=n
h2π
⇒ nλ=2π r
R es el radio de una órbita de Bohr. Entonces, ¡en la órbita debe entrar un numero exacto de ondas!¡en la órbita debe entrar un numero exacto de ondas!
n=3
n=2
n=1
Órbitas permitidas: aquellas que producen interferencia constructiva de la onda del electrón.
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Ondas de electrones
La luz es una onda del campo electromagnético (E y B)¿Los e- son ondas de qué campo?
Interpretación de Born:|ψ(x,t)|2 dV = probabilidad de encontrar al objeto en el volumen dV
(Existen otras interpretaciones, como la de de Broglie-Bohm, donde ψ es la onda piloto, una onda que guía la trayectoria del electrón)
Campo ψ(x,t), o función de onda ψ(x,t)
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Ondas de electrones
Problema:
Solución:Sabemos que las ondas con un λ preciso se pueden escribir como
Pero esta onda se extiende de – a + infinito. El electrón debería estar localizadolocalizado
Para ello necesitamos superponer ondas de distinto λ (análisis de Fourier)
E=h ν
p=hλ
vonda=λ ν=hp
Eh
=Ep
⇒ vonda=1 /2m ve
2
mve
⇒ vonda=1/2ve
¿¿El electrón tiene 2 velocidades??¿¿El electrón tiene 2 velocidades??
ψ(x , t)=A sen(kx−ω t) k = 2π / λ (numero de onda)ω = 2π ν (frecuencia angular)
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Ondas de electrones
Ejemplo) Batidos (suma de 2 ondas con k y ω muy cercanos)
S [(k−Δ k )x−(ω−Δω)t ]+S [(k+Δ k)x−(ω+Δω)t ]→ 2 S(k x−ω t)C (Δ k x−Δω t)
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Sound/beat.html
2 senos con frecuencias cercanas
Su suma: un seno cuya amplitud es modulada por un coseno (batidobatido)
Ondas en faseInterferencia constructiva
Ondas fuera de faseInterferencia destructiva
sen
cosPaquete con longitud π/Δk
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Ondas de electrones
¿Y cómo obtenemos un solo paquete (electrón localizado)?Suma de infinitos senos con distribución continua de λ (o k)
Paquete localizado en región Δx = π/Δk, compuesto por suma de ondas con k-Δk < k < k+Δk:
En general (si los paquetes no son gaussianos):
k=2πλ
=2π ph
⇒ Δ k=2πh
Δ p
Δ x= πΔ k
= πh2πΔ p
= h2Δ p
⇒ Δ x Δ p=h2
Δ x Δ p≥h2
Principio de incertidumbre de HeisenbergPrincipio de incertidumbre de Heisenberg
Δ EΔ t≥h2
También se puede escribir para otro par de variables, E y t
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Ondas de electrones
Principio de incertidumbre x vs p:
Si una función de onda tiene una dispersión espacial muy pequeña (Δx<<1), entonces deberá tener una dispersión en p muy grande (Δp>>1).
Δ x Δ p≥h2
Conocimiento de una variable implica desconocimiento de la otra
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Ondas de electrones
Origen físico del ppio. de incertidumbre:
φe-
γ
lente
ocularObservación de un electrón por un microscopio:
1) Momento lineal del fotón:pγ=(0, p) (inicial)-p sen φ ≤ pγ,x ≤ p sen φ (posible rango de valores finales)Luego, Δp
x (fotón)= 2p s(φ) = 2h / λ s(φ)
2) Por conservación de px, el electrón también variará
su px en la misma cantidad:
Δpx (electrón)= 2h / λ s(φ)
3) Poder de resolución de un microscopio: Δx=λ / s(φ) (en algún lugar dentro de ese Δx se origino el fotón)
Entonces, Δ x Δ px=λ
sen(ϕ)2hλ
sen(ϕ)
Δ x Δ px=2h>ℏ/2 Se cumple incertidumbre
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Ondas de electrones
Origen físico del ppio. de incertidumbre:
φe-
γ
lente
ocularPero puedo mejorar Δx y Δp:
Aumento λ baja Δpx: Δp
x = 2h / λ s(φ)
Reduzco λ baja Δx: Δx = λ / s(φ)
Las mejoras se cancelan y se sigue cumpliendo el ppio.
Es un principio intrínseco a la física, no depende de la precisión del aparato experimental