física i (cuerpo rígido)

5/15/2018 Física I (Cuerpo rígido) - slidepdf.com

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Serway – Jewett Física I 7ma edición

Física I

Cuerpo rígido:

Un cuerpo rígido es aquel indeformable, es decir, las posiciones relativas de cada una de laspartículas que lo compone se mantiene constante.

Si hago las proyecciones correspondientes de cada cuerpo, deben ser las mismas, de lo contrario,

el cuerpo no es rígido. La distancia entre dos puntos cualquiera o más, debe mantenerse

constante. Si todos los cuerpos rotan con respecto a un mismo punto, entonces hablamos de

rotación, y hablamos de rotación pura cuando la velocidad del centro de masa es nula. (No

confundir con centro instantáneo de rotación)

Partículas rotan el mismo ángulo, sino no es objeto rígido. Podemos asociar a Θ (Ángulo

comprendido entre, distancia de origen a partícula, y línea de referencia-medido en sentido

contrario a las agujas del reloj) al objeto en su totalidad, como así también una partícula individual

del mismo.

θ: Posición angular del cuerpo rígido. (Angulo comprendido entre línea de referencia del cuerpo y

referencia en el espacio-generalmente eje de las abscisas). A medida que la partícula viaja de una

posición A a una posición B en un ∆t determinado, realiza un desplazamiento ∆Θ.

(Desplazamiento angular)

θθ

(Velocidad angular)

(Velocidad angular instantánea)

Si el objeto en un determinado ∆t pasa de ωi a ωf , entonces el objeto posee aceleración angular,

que se define de la siguiente manera:

De la misma manera se determina la aceleración angular instantánea, desarrollándose el límite de

esta la aceleración con el tiempo tendiendo a cero (0).

Toda partícula de un cuerpo rígido, rota con el mismo ángulo θ en un determinado intervalo de

tiempo, como así también, posee la misma velocidad y aceleración angular.

γ y ω deben ser siempre positivas, para evitar problemas luego con las ecuaciones, por eso

siempre debo tener cuidado con el sistema de referencia elegido, para eso uso la regla de la mano

derecha.



Cinemática del cuerpo rígido:

γ

( )

Se debe recordar que cuando un cuerpo rígido rota, toda partícula del cuerpo describe un círculo

cuyo centro es el eje de rotación. Si tomo un punto P, que describe una trayectoria circular,

entonces el vector velocidad lineal V es tangente a dicha trayectoria, y por esto mismo se le da el

nombre de velocidad tangencial.

Puede relacionarse la aceleración angular de la rotación del cuerpo rígido con la aceleración

tangencial de un punto P, tomando la derivada de V respecto del tiempo:

Se vio que un objeto que describe una trayectoria circular se somete a una aceleración centrípeta

de magnitud

⁄ con dirección al centro de rotación, por ende como V = r x ω puede expresarse

la aceleración centrípeta en términos de la velocidad angular ω

Recordamos que como se trata de objetos rígidos, entonces ω será el mismo, lo que varía es ,

que cambia dependiendo el radio, acordando con la expresión . La energía cinética

total, es la suma de todas las energías cinéticas:

Aquello que está entre paréntesis corresponde al momento de inercia ∑ , entonces la

energía cinética del cuerpo será:



No hay un solo momento de inercia de un cuerpo, sino que el valor que me de este depende de la

elección del sistema de referencia. Este momento (De inercia) es la resistencia que tiene el objeto

a rotar.

Puede evaluarse el momento de inercia imaginando que se divide el objeto en elementos de

volumen pequeño, cada uno con una masa ∆mi. Se toma la definición de momento de inercia, y se

le aplica el límite con ∆mi0, cuando tomamos este límite se convierte en el área bajo la curva.

∑ ∫

La pequeña masa de los elementos es dm=δdV , que puede ser reemplazado por δ=m/v, la

ecuación queda:

∫

Si el objeto es homogéneo entonces la densidad será una constante y puede ser evaluado por su

geometría, en caso contrario debe explicitarse su variación para poder completar la integral.

Teorema de los ejes paralelos: (Teorema de Steiner), suponiendo que el momento de inercia

respecto de un eje que pasa a través del centro de masa es ICM, entonces este teorema manifiesta

que el momento de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a este mismo y a una distancia D

es:

Momentos de Inercia de cuerpos rígidos homogéneos con diferentes geometrías:

Aro o cascarón cilíndrico delgado:

Cilindro Hueco:

(Dos radios diferentes)

Cilindro o disco Sólido:

Placa rectangular:

(a y b corresponden al largo y ancho de la barra)

Varilla delgada larga con eje de rotación que pasa por el centro de masa:



(L corresponden a la longitud de la vara)

Varilla larga con eje de rotación que pasa por el extremo:

Esfera sólida:

Cascarón esférico delgado:

La tendencia de una fuerza a hacer rotar un cuerpo con respecto a un eje se mide por una

cantidad vectorial llamada momento de torsión (τ),

Donde r es la distancia desde el pivote hasta el punto de aplicación de la fuerza, y d es la distancia

perpendicular desde el pivote hasta la línea de acción de la fuerza (Línea imaginaria que se

prolonga a ambos extremos del vector Fuerza). D simboliza el brazo del movimiento.

Si hablamos de rotación, la tendencia a esta aumenta cuando se incrementa F y disminuye d. El

momento de torsión no debe confundirse con una fuerza, estas últimas pueden causar tanto

cambios en los movimientos lineales como en los rotacionales, pero su efectividad depende de la

fuerza y los brazos del movimiento, que en combinación forman el momento de torsión. Si este

momento tiende a producir rotación en sentido de las agujas del reloj, es considerado negativo, ysi contradice a las mismas, lo consideramos positivo.

El momento de torsión es proporcional a la aceleración angular γ

γ

∑ (Torque neto) (L=momento angular)

∫

(Trabajo)

∑ ∫

(Teorema de la energía cinética rotacional)

Rotación de un cuerpo rígido:



Si por ejemplo consideramos un cilindro uniforme de radio R que está rodando sin deslizarse

(Rotación pura) con un ángulo θ, su centro de masa se mueve una distancia lineal de S=Rθ, por

ende la rapidez lineal es de:

(Condición de rotación pura)

(Rotación pura)

Podemos expresar el total de energía cinética del cilindro de la siguiente manera:

(I p es el momento de inercia respecto del eje de rotación P)

Aplicando el teorema de los ejes paralelos, podemos sustituir a

En la ecuación anterior y obtenemos:

O como

(Energía cinética total de un objeto rotando)

El término representa la energía cinética que posee el cilindro respecto de su centro de

masa, mientras que el término representa la energía cinética que tendría el cilindro si

solo se estuviera trasladando en vez de rotar. Por ende decimos que la energía cinética total de

un objeto que está rodando es la suma de la energía cinética de rotación con respecto al centro

de masa, y la energía cinética de traslación del centro de masa.



El momento de torque τ o momento de una fuerza puede expresarse en términos del producto

vectorial entre el vector posición y la fuerza de la que estamos hablando, la relación sería de la

siguiente manera:

(El producto vectorial de ahora en adelante se simbolizará mediante el signo “x”)

Si consideramos la definición de producto vectorial, y ejemplificamos que la fuerza yace en el eje

XY, entonces, el momento de la fuerza será paralelo al eje de las cotas.

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