fÍsica dos

Pamplona

Centro de Educación Virtual y a Distancia

Programas de Educación a Distancia

Rubén Robayo Medina Margarita Rico Villamizar

Luis Gustavo Araque

Formando Colombianos de Bien

Álvaro González Joves Rector María Eugenia Velasco Espitia Decana Facultad de Estudios Avanzados, Virtuales, a Distancia y Semiescolarizados Luis Armando Portilla Granados Director Centro de Educaión Virtual y a Distancia

Universidad de

Física II (Acción, Formación y Organización de la Materia II)

Tabla de Contenido Presentación Introducción UNIDAD 1: Impulsión y Cantidad de Movimiento

Descripción Temática Horizontes Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 1.1 CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL 1.2 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL O DEL

MOMENTO LINEAL 1.3 CHOQUES ELÁSTICO E INELÁSTICO Proceso de comprensión y Análisis

UNIDAD 2: Movimiento Oscilatorio o Vibratorio Descripción Temática Horizontes Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 2.1 FUERZAS RECUPERADORAS ELÁSTICAS 2.2 DEFINICIÓN DE LOS PARÁMETROS DE UN M.A.S 2.3 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 2.4 RELACIÓN ENTRE EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y EL

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME 2.5 EL PÉNDULO SIMPLE Proceso de comprensión y Análisis

UNIDAD 3: Movimiento Ondulatorio Descripción Temática Horizontes Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 3.1 CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS

3.1.1 Ondas Mecánicas 3.1.2 Ondas Electromagnéticas

3.1.3 Ondas Periódicas 3.1.4 Ondas Armónicas 3.1.5 Ondas Transversales y Longitudinales 3.1.6 Ondas Viajeras, o Progresivas y Ondas Estacionarías 3.1.7 Ondas Planas, Esféricas

3.2 CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS 3.2.1 Velocidad de Propagación o Velocidad de Onda 3.2.2 Longitud de Onda 3.2.3 Frecuencia 3.2.4 Crestas y Valles. Nodos y Antinodos 3.2.5 Elongación 3.2.6 Amplitud 3.2.7 Frente de Onda (Superficie de Onda)

3.3 EXPRESIÓN MATEMÁTICA QUE DESCRIBE UN MOVIMIENTO ONDULATORIO

3.4 REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LAS ONDAS 3.4.1 Reflexión 3.4.2 Refracción

3.5 NOCIONES DE INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN DE ONDAS 3.5.1 Interferencia 3.5.2 Difracción 3.5.3 Polarización de una onda

3.6 ONDAS SONORAS 3.6.1 Fuentes Sonoras 3.6.2 Características del Sonido 3.6.3 Cualidades inherentes del sonido

Proceso de Comprensión y Análisis

UNIDAD 4: LA LUZ Descripción Temática Horizontes Núcleos Temáticos y Problemáticos Proceso de Información 4.1 ONDA O PARTÍCULA 4.2 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

4.2.1 Fuentes Luminosas 4.2.2 Propagación de la Luz

4.3 LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN 4.4 PRINCIPIO DE HUYGENS 4.5 REFLEXIÓN TOTAL INTERNA

4.6 IMÁGENES FORMADAS POR REFLEXIÓN 4.6.1 Espejos Planos 4.6.2 Espejos Paralelos 4.6.3 Espejos Esféricos

4.7 IMÁGENES FORMADAS POR REFRACCIÓN 4.7.1 Lentes

4.8 DISPOSITIVOS ÓPTICOS 4.8.1 El Ojo 4.8.2 El Microscopio Simple 4.8.3 El Microscopio Compuesto 4.8.4 Telescopios

Proceso de Comprensión y Análisis

Acción, Formación y Organización de la Materia II

UNIVERSIDAD DE PAMPLONA – Centro de Educación Virtual y a Distancia

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Presentación La educación superior se ha convertido hoy día en prioridad para el gobierno Nacional y para las universidades públicas, brindando oportunidades de superación y desarrollo personal y social, sin que la población tenga que abandonar su región para merecer de este servicio educativo; prueba de ello es el espíritu de las actuales políticas educativas que se refleja en el proyecto de decreto Estándares de Calidad en Programas Académicos de Educación Superior a Distancia de la Presidencia de la República, el cual define: "Que la Educación Superior a Distancia es aquella que se caracteriza por diseñar ambientes de aprendizaje en los cuales se hace uso de mediaciones pedagógicas que permiten crear una ruptura espacio temporal en las relaciones inmediatas entre la institución de Educación Superior y el estudiante, el profesor y el estudiante, y los estudiantes entre sí". La Educación Superior a Distancia ofrece esta cobertura y oportunidad educativa ya que su modelo está pensado para satisfacer las necesidades de toda nuestra población, en especial de los sectores menos favorecidos y para quienes las oportunidades se ven disminuidas por su situación económica y social, con actividades flexibles acordes a las posibilidades de los estudiantes. La Universidad de Pamplona gestora de la educación y promotora de llevar servicios con calidad a las diferentes regiones, y el Centro de Educación Virtual y a Distancia de la Universidad de Pamplona, presentan los siguientes materiales de apoyo con los contenidos esperados para cada programa y les saluda como parte integral de nuestra comunidad universitaria e invita a su participación activa para trabajar en equipo en pro del aseguramiento de la calidad de la educación superior y el fortalecimiento permanente de nuestra Universidad, para contribuir colectivamente a la construcción del país que queremos; apuntando siempre hacia el cumplimiento de nuestra visión y misión como reza en el nuevo Estatuto Orgánico: Misión: Formar profesionales integrales que sean agentes generadores de cambios, promotores de la paz, la dignidad humana y el desarrollo nacional. Visión: La Universidad de Pamplona al finalizar la primera década del siglo XXI, deberá ser el primer centro de Educación Superior del Oriente Colombiano.

Luis Armando Portilla Granados - Director CEVDUP



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Introducción La segunda parte del curso de Física para la Universidad a Distancia, examina con algún detalle aspectos del movimiento oscilatorio y en particular, las relaciones energéticas, por cuanto como es bien sabido, es mucho más trascendental y definitivo el papel que juega la transformación, transmisión y conservación de la energía en todos los procesos, fenómenos físicos y tecnológicos que de una u otra forma afectan el transcurrir de la vida de los seres vivos y el futuro del planeta. Estructuralmente relacionada con el movimiento vibratorio está el movimiento de las ondas, tanto mecánicas como electromagnéticas. Se ha dedicado la parte final del presente volumen precisamente al estudio y esclarecimiento del movimiento ondulatorio. Esta temática se ha dividido en dos unidades, estando la primera dedicada al análisis de las ondas mecánicas y sus fenómenos fundamentales en una dimensión, terminando la exposición con las propiedades de las ondas sonoras. En la última unidad se exponen la teoría de la luz, es decir la parte visible del espectro, la que es sensible para el ojo humano. Como es apenas natural los estudios de los fenómenos ondulatorios quedarían incompletos sin un planteamiento de la óptica y de sus implicaciones en el desarrollo de la más diversa tecnología puesta al servicio de la humanidad por ejemplo, la tecnología láser, así como las luces que arrojó en la comprensión de la propia naturaleza dual de la luz, y de la estructura de la materia tal como se concibe hoy en día. Se inicia con la ley de conservación del momento lineal, ley ésta que se constituye en uno de los pilares de la mecánica y que ha permitido, dado su extraordinario alcance, utilizarla junto con la ley concerniente a la energía en el esclarecimiento de los fenómenos y procesos que tienen lugar al interior de la materia. No obstante aquí se trabajan tan solo ejemplos sencillos de aplicación de todos los temas puestos a consideración, se hace la observación que de la necesidad de un curso de nivel intermedio sobre matemáticas, para que los estudiantes de la modalidad a distancia puedan asimilar mejor las leyes y principios físicos.



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Lamentamos no haber podido incluir algunos temas que son de interés para muchos estudiantes tales como la mecánica de fluidos y las leyes del electromagnetismo y otros más, pero por razones de tiempo y de espacio fue prácticamente imposible lograrlo. Todas las sugerencias y observaciones sobre el contenido y la forma del tratamiento dado a los temas desarrollados serán bienvenidos.



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UNIDAD 1 Impulsión y Cantidad de Movimiento

Descripción Temática

¿Alguna vez ha disparado un arma de fuego o ha visto en cine o televisión disparar un cañón?, ¿ha caminado sobre un bote que reposa en aguas quietas?. En está unidad se estudia la conservación del movimiento lineal, magnitud definida como el producto de masa de un cuerpo por su velocidad. Aunque aquí no se tratará dada la forma algo complicada de la ecuación, se aclara que el movimiento de cohetes y sistemas de masa variable como aviones de reacción, esta fundamentado en la ley de la conservación del momento lineal. Cuando se dispara un arma las fuerzas que intervienen son fuerzas internas y la conservación del momento lineal requiere, que el arma retroceda conforme el proyectil sale disparado. Así mismo se observa como al disparar un proyectil pesado por un cañón de artillería o tanque, tales cuerpos retroceden en cada disparo, incluso saltan. Puede experimentarse, calzando unos patines y de pie en reposo sobre una superficie lisa, arrojar objetos como naranjas o piedras y comprobar, que se adquiere una velocidad de retroceso, para confirmar la conservación del momento lineal. También se da una introducción al estudio de las colisiones elásticas e inelásticas. Horizontes • Identificar los conceptos de cantidad de movimiento y de impulsión.

• Comprender la ley de conservación del impulso y aplicarla correctamente.

• Distinguir entre choques elásticos e inelásticos.



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Núcleos Temáticos y Problemáticos Cantidad de Movimiento o Momento Lineal

Conservación de la Cantidad de Movimiento Lineal o del Momento Lineal

Choques Elástico e Inelástico Proceso de Información 1.1 CANTIDAD DE MOVIMIENTO O MOMENTO LINEAL La ley de conservación de la cantidad de movimiento o del momento lineal como también se le conoce, juega un papel esencial en la mecánica junto con la ley de la conservación de la energía. Se conoce como movimiento lineal o cantidad de movimiento de una partícula, al vector definido por:

(1.1) Donde v es la velocidad de la partícula y siendo las unidades de p: (masa)* (longitud)*(tiempo) 1, que en el sistema internacional resulta:

p: kg m s"1 o kg. ms/s2 resultando: N s p: Newton s y en sistema C.G.S en Din s Se conoce como impulsión, o impulso de una fuerza constante, al producto de la fuerza que actúa sobre una partícula, por el intervalo de tiempo que dura actuando la fuerza:

(1.2) Cuyas, unidades se comprueban de inmediato son (newton) (segundos), similares a las del producto m v. Como en el caso de la ley de conservación de la energía, la cantidad de movimiento y el impulso se derivan de la segunda ley de Newton. Así recordando que la aceleración media se define como:

(1.3)

vmp .=

)12( ttFFATl −==

)12()12(

ttvvmmF

−−

=∇∆∇∆

=



6

Donde:

12)12( mvmvttF −=−

ppptf ∆=−=∆ 12 Siendo ∆P el cambio o variación de la cantidad de movimiento de la partícula, causado o provocado por la acción de la fuerza F durante el intervalo t2 – t1 = ∆t y donde se adopta como anteriormente t1: tiempo inicial; t2: tiempo final, y respectivamente p1: cantidad de movimiento inicial y p2: cantidad de movimiento final. Así la ecuación (1.4) enseña que el cambio en la cantidad de movimiento de la partícula esta relacionado con la fuerza externa Fe actuando durante el intervalo de tiempo ∆t. La importancia de la ley de conservación de la cantidad de movimiento y su relación con el impulso de la fuerza que lo produce, radica sobre todo en el estudio de problemas donde las fuerzas que intervienen actúan durante intervalos de tiempo muy cortos, por ejemplo cuando hay choques de dos o más cuerpos, o en el caso de explosiones. La ley es de importancia extrema en la solución de problemas en física atómica y nuclear donde es casi imposible determinar el carácter de las fuerzas que tienen lugar entre las partículas elementales tales como protones, neutrones, etc. Para fijar ideas debemos establecer algunos hechos como los siguientes. La cantidad de movimiento o momento lineal es una cantidad vectorial, y por esta razón puede ser descompuesta en un sistema de coordenadas, en sus componentes. Se ilustrará la situación con ejemplos más adelante. Las fuerzas que intervienen deben ser diferenciadas claramente entre las fuerzas internas y las fuerzas externas. Ejemplo: ¿Cuál es el momento lineal (o cantidad de movimiento) de un camión de 10 toneladas (10 000 kg) de masa cuya velocidad es v = 20 m-s"1?, ¿qué velocidad debe alcanzar un camión de 5 toneladas para tener el mismo momento lineal y la misma energía cinética que el camión de 10 toneladas?. Solución: En esta pregunta asumimos que la velocidad del camión no cambia y por lo tanto, no cambia su momento lineal. Por lo anotado sólo debe utilizarse la definición de momento lineal:



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P = m v, la dirección del momento lineal es la misma que la del vector velocidad, así la magnitud es: P1 = 10 000 kg * 20 m s-¹ = 200 000 kg m-s1 P1 = 2-105 N s (Newton-Segundo) Pruebe que Newton-Segundo = kg m/s. El segundo camión de 5T deberá tener un momento lineal de 2-105 N-s igual al del primero, por lo tanto: P2 = 2-105 Ns = m2v2 donde m2 y v2 son la masa y velocidad del segundo camión 2-105 Ns = 5000 kg v2, de donde la velocidad desconocida

2-105N s = 2-10 kg m 5000Kg 5.10 Kg S² luego, ∇2 = 40 m/s = 40 m s-¹ y, p2 = 5 000 kg * 40 m-s"1 = 200 000 kg -ms-1 así, p2=p1 Y la velocidad del segundo camión debe ser de 40 m.s-¹ para tener el mismo momento lineal que el primer camión. • La energía cinética del primer camión es:

2222 )20.(100001111

211 −∇= smkgmk

K1 = 2000000 joules = 2.10 joules = 2

• La energía cinética del segundo camión Luego K2 > K1 y se pide que K2 = K1, de manera que el segundo camión debe poseer una energía cinética de 2.106J, y como su masa es constante, se debe calcular la velocidad que se ajuste a tal valor. Procedemos así:

222)40.(5000212/22

211 −=∇= smkgmk

K1 = 4000000 joules = 4.10 joules = 2 2

122110.21 vmjk == y calculando v2

V=



8

12.80010.510.4

210.2*2

21 −=== smkg

jj

mv

de donde 1222 28.288002 −− =+=∇ smsm Conclusión: la velocidad del segundo camión para tener el mismo momento lineal que el primero es v2= 40 m/s, pero con ésta velocidad la energía cinética del segundo camión no resulta ser igual a la del primero ya que para igualar las energías cinéticas la velocidad del segundo camión debe ser v2 = 28.28 m/s. En este ejemplo, los camiones están sometidos a fuerzas externas tales como la atracción de la tierra (o el peso de los camiones), a fuerzas de contacto sobre las superficies sobre las que ruedan, a fuerzas de fricción pero que no se han tenido en cuenta, las primeras por no afectar el movimiento, y la última para no complicar el problema. Ejemplo: Una pelota de béisbol tiene una masa de 0.2 kg. a) si la pelota es lanzada con velocidad de 30 m².s-¹ y luego de golpeada con un bate, la velocidad resulta de 50 m.s-¹ en dirección opuesta, calcúlese la variación del momento lineal de la pelota y el impulso que sufre durante el golpe . b) si la pelota permanece en contacto con el bate durante 0.002 s, hallar la fuerza media durante el golpe (o durante el choque).

Solución: Se asume que un pegador lanza la bola horizontalmente antes del impacto (o choque) de la bola en el bate, la velocidad de la bola se dirige a la izquierda a derecha con velocidad de 30 m.s-¹. Durante el impacto obran fuerzas muy intensas y de muy corta duración, pero luego del choque (o interacción bate - bola) la bola se mueve de derecha a izquierda con velocidad 50 m².s-¹, luego ha tenido lugar un cambio en la cantidad del movimiento de la bola que de acuerdo a la ley general:



9

F ∆t = ∇P

= P2 - P1 F ∆t = Pf – P1

Operamos para la obtención de la primera respuesta con la parte derecha de la igualdad lo cual nos da: ∆P = Pf – P1, donde ∆P es el cambio en la cantidad de movimiento durante el "contacto" bate - bola y p2: cantidad de movimiento final y P1: cantidad de movimiento inicial.

Cantidad de movimiento final p2 = 0,2 . 50 kg m.s-¹, = 10 kg m.s-¹ Cantidad de movimiento inicial p1 = - 0,2 . 30 ².s-¹, = -6 kg m.s-¹ El signo menos se debe a que las direcciones de p2 y Pi son opuestos y estamos considerando a P como positiva. Así, el incremento en la cantidad de movimiento lineales: ∆P = mv2-(-m v1) = mv2 + mv1= 16 kg. m.s-¹



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Para encontrar la fuerza media durante el impacto o choque ( o "contacto") utilizamos la ecuación (1 .4) según la cual:

tpp

tPF

∆−

=∆∆

=12

3

1

10.216

002.0..16

−

−

==N

ssmkgF

1.2 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO LINEAL O DEL

MOMENTO LINEAL La ley de conservación del momento lineal o de la cantidad de movimiento lineal establece que cuando sobre una partícula (o sistema de partículas) no actúan fuerzas externas, entonces el momento lineal de dicha partícula (o del sistema de partículas) se conserva. Bueno, pero ¿qué son las fuerzas externas?. Naturalmente se debe aclarar ahora la diferencia entre fuerzas internas y externas. • Un gas contenido en un cilindro cuyo extremo superior esta libre constituye un

sistema de partículas (moléculas de gas) libre de fuerzas externas, como en la figura (1.4a). Por lo tanto para este sistema de partículas (moléculas de gas) su momento lineal total se conservará. El caso presentado en la figura (1.4b) cuando el cilindro se ha sellado con un pistón que ha comprimido el gas hasta una altura H2 < H1 bajo la acción de una fuerza F, constituye el ejemplo del sistema de partículas (gas) sometido a la acción de una fuerza externa, y en este caso el momento lineal del sistema no se conserva. También existen otras fuerzas externas en el caso de las figuras 1.4a y 1.4b que no afectan la situación como el peso de los cilindros, la fuerza normal de contacto sobre cada cilindro, etc.



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Otro ejemplo, es el de un cuerpo de masa m, ligado a un resorte las fuerzas internas son las del resorte sobre la masa y el de la masa sobre el resorte. Las fuerzas externas son en este caso: el peso de la masa m, el peso del resorte así como las fuerzas de fricción (no mostradas), las fuerzas ejercidas por la superficie sobre el resorte y la masa m (normales).

Cuando no hay fuerzas externas actuando sobre un sistema de partículas, entonces las fuerzas que actúan entre las partículas son fuerzas de acción-reacción. Así, cuando dos partículas interactúan entre sí, en ausencia de fuerzas externas en un choque, durante el contacto (que dura muy poco tiempo) los cuerpos por lo general se deforman y las fuerzas que cada cuerpo ejerce sobre el otro son de acción y reacción.

En la figura (1.6ª) se tiene el caso de dos partículas (que pueden ser dos moléculas en un gas o dos bolsas de billar) que interactúan entre sí y las fuerzas de acción – reacción figura 1.6b durante el contacto casi instantáneo: f12 es la fuerza de la partícula 1 sobre 2, y f21 es la fuerza de la partícula 2 sobre la 1. Como no hay fuerzas externas.

F12 + F21 = 0 O F12 = -F21



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Ahora como el tiempo de contacto o interacción es el mismo, entonces los impulsos de tales fuerzas resultan los mismos:

F12 ∆t = - F21 ∆t o sea I12 = I21 Ahora el impulso I12 da origen a un cambio en el momento lineal de la partícula 1 así:

I12 = ∆p2 I21 = - ∆p1

Ahora I12 + I21 = 0 se tendrá

∆p2 = -∆p1 o ∆p2 + ∆p1 = 0 Es decir, el cambio de la cantidad de movimiento de cada partícula es igual en magnitud pero de dirección opuesta. Esto significa que el cambio en la cantidad de movimiento total de las dos partículas es nulo o cero, luego, el momento lineal del sistema permanece constante. Lo expuesto hasta aquí, tiene gran aplicación en la explicación de los choques o colisiones, y es el fundamento principal por el cual funcionan los motores de aviones a reacción y cohetes. Ejemplo 1.3: Un fusil cuya masa es 5 kg, dispara un proyectil de masa 5-1 (T3 kgs con velocidad v = 600 (m/s). Hallar la velocidad de retroceso del fusil. Solución: en este problema el sistema lo constituyen el fusil y la bala más la pólvora. Antes del disparo la cantidad de movimiento lineal del sistema es cero, puesto que:

mf Vf¡ + mb¡ vb¡ = 0 (v¡f = vib = 0)

las velocidades iniciales del fusil y la bala son nulas. Pero luego del disparo tanto la bala como el fusil adquieren velocidad, por lo tanto:

mb Vfb + mf Vff = 0

Donde, Vf,: velocidad final de la bala y Vff: velocidad final del fusil. Así:



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kgkg

MfMbVbVff s

m

5600.10.5 3−

−=−=

¿Qué significado tiene el signo menos? La ecuación que exprese la conservación del momento lineal, se escribe por supuesto en la forma:

fVmfVmiVmiVm 22112211 +=+ donde: v1i y v2¡ son las velocidades iniciales (o antes del disparo) de los cuerpos 1 y 2 (o bala y fusil); v1f y v2f: son las velocidades finales (o después del disparo) de los cuerpos 1 y 2 (o bala y fusil). Como los valores iniciales de P1¡ y P2¡ = son nulos: v1¡ = v2¡ = 0, resulta: 0= m1v1f+m2v2f Ejemplo: Una granada cuya velocidad es de 10 m/s explota dividiéndose en dos partes: la mayor cuya masa es el 60% del total de la granada aumento su velocidad hasta 25 m/s moviéndose en la misma dirección. Hallar la velocidad del segundo fragmento. Solución: como en el caso anterior, la granada es un sistema aislado sobre el que no se dice nada sobre las fuerzas externas aplicadas a ellas. De suerte que lo que le ocurre es debido a fuerzas internas de orden químico que la hacen estallar, pero a diferencia del ejemplo 1.3, aquí la cantidad de movimiento lineal inicial es diferente de cero así, m es la masa de la granada que no se conoce: Es la ecuación que expresa la ley de conservación del momento lineal, donde mv0: es la cantidad de movimiento lineal inicial de la granada (antes de la explosión), y es la cantidad de movimiento lineal final de la granada (después de la explosión) representada en las dos partes en que la granada explota. Así: como conocemos v2, la encontramos a partir de la ecuación anterior: m.v๏ =0.6 m v1+0.4-m v2 de donde 0.4 m.v2 =m-v๏ 0.6-m-v,

sm

smVff 6.010.6 1 −=−= −

2*4.06.00 mVmvmv +=



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sms

ms

m

vvv

msvvm

v 5.1224.0

)256.0()10(4,06.0

4.0)0(

2 00 =−−

=−−

=−

−−=

¿En qué dirección se mueve el segundo fragmento después de la explosión? 1.3 CHOQUES ELÁSTICO E INELÁSTICO Cuando dos partículas colisionan o chocan las características más importantes que suelen ocurrir en el proceso se resumen así: • En cualquiera de las formas de choque se conserva el momento lineal del

sistema.

• Puede conservarse la energía cinética durante el choque, en cuyo caso el choque es conocido como elástico.

• Puede no conservarse la energía cinética, (es decir buena parte se transforma a otras formas de energía como: calorífica, sonora, luminosa, elástica, etc.) en cuyo caso el choque se denomina inelástico Cuando luego del choque inelástico los cuerpos permanecen unidos, moviéndose con la misma velocidad, el choque se denomina completamente inelástico aquí se entenderá que así sucede en los ejemplos y ejercicios planteados.

• Para no extenderse demasiado en el tema se ilustrará la situación con un ejemplo de cada choque.

Ejemplo: Considerando que el choque de dos cuerpos es central, es decir los cuerpos se localizan sobre una recta que une sus centros y el choque es de frente (no de lado o tangencial) considere que el cuerpo 1 de m1 = 2 kg se mueve con velocidad 3m/s y da alcance a otro m2 de masa 3 kg cuya velocidad es v2i = 1m/s en misma dirección del primero. Hallar las velocidades luego del choque sí: • El choque es inelástico

• El choque es elástico. Solución: • Para el choque inelástico debe tenerse en cuenta que luego del choque los dos

cuerpos se mueven juntos, es decir los cuerpos permanecen ligados luego de la colisión, y no se conserva la energía cinética. La ecuación de conservación de la cantidad de movimiento es en este caso:



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vmmivmivm )21(2211 +=+

donde m1 V1i + m2v2i es la cantidad de movimiento inicial del sistema o antes del choque y (m1+ m2)v es la cantidad de movimiento final del sistema. Así despejando v:

sms

ms

m

kgkgkg

mmivmivmv 8.1

53.6

212211

=+

=++

=

luego, V = 1.8 m/s en la misma dirección del movimiento inicial de los cuerpos. ¿Porqué?. • Cuando el choque es elástico, se conserva la energía cinética y el momento

lineal de sistema. Las ecuaciones son: Para la conservación del momento lineal:

fvmfvmivmivm 22112211 +=+ A

Incógnitas v1f y v2f Para la conservación de la energía cinética:

fvmfvmivmivm 122111

2112

2111

21 2222 +=+ B

con las mismas incógnitas que en (A) Los términos de la parte izquierda de (A) y (B) son conocidos. Designando con N = m1v1i +m2v2i: momento inicial del sistema, la ecuación (A) se transforma en:

fvmfvmN 2211 += (A)

de donde 2

112m

fvmNfV −= (C)

Así mismo multiplicando la ecuación (B) por 2, y designando con R = m.,va + m2v2i la ecuación (B) se transforma en: R = m1v²1f + m2v²2f



16

m2v²2f = R – m1v²1f

2112

22

MfvmRfV −

= (D)

Elevamos (C) al cuadrado:

21122

MfVmNfv −

= e igualando con (D)

211

211 2

MfVmR

MfVmN −

=−

= es decir, (C)² = (D)

fVmmRmRmfVmfVNmN 1211211112 2222 −−++− En la izquierda separamos los términos que contienen v1f así: m²1V²1f + m1m2v²1f – 2Nm1Vf = m2R - N² (m²1m1m2) v²1f – (2Nm1)V1f + (N²-m2R) se introducen las notaciones:

a = (m²1+m1m2) [Kg²]

b = 2Nm1 [Kg² m/s]

c =-m2R + N² [J.Kg] =[Kg m/s]² y se llega a: av²1f, - bv1f + c = O ecuación cuadrática para obtener v1f de donde:

.2

412

aacbbfv −±

=

Según los datos del problema:

a = m²1 +m1m2 =2² +2.3 = 10kg²

b = 2Nm1 = 2.2(2.3 + 3.1) = 4(9) = 36kg²m/s

211

22

1111112 22222

mfvmR

MfVmfVmfVNmN −

=++−

=



17

c = N²-m2R =81-3(2.09 + 3.1) = 81-3(21) = 81 – 63 = 18kg

c = 18 (kgm/s)²

Entonces, 20

243620

5763620

72012963620

)18)(10(4)36(361 2

2 ±=

±=

−±=

−±=

kgfV

Nótese que resultaran dos valores para la velocidad final del cuerpo 1, uno cuando se tome el signo + y otro cuando se tome el signo -.

sm3

2060

202436

==+

=

sm6.0

2012

202436

==−

=

Al tomar la velocidad v¡f = 3m/s, el momento lineal del cuerpo 1 resulta ser

P1f = 2.3kgm/s = 6 kgm/s

Ahora resulta (C) resulta: sm

MfVNfv 1

369

212 =

−=

−=

Y, P2f = 3.1 = 3Kgm/s Por lo tanto, p1f + p2f = 9kg m s Ahora, si tomamos la velocidad v2**f = 0.6 m/s , el momento lineal del cuerpo 1 resulta ser: p**1f = 2.0.6kgm/s = 1.2kgm/s

smm

fVNFV /6.24129

21**2** =

−=

−=

y p**2f =3 2 6 kgm/s = 7.8 kgm/s valores que también satisfacen la ley de conservación del momento lineal (la suma de la cantidad de movimiento lineal final debe ser igual a la cantidad de movimiento lineal inicial), ya que: p¡ =pf = 2.0.6 + 3-2.6 = 1.2kgm/s + 7.8kgm/s = 9 kgm/s ¿Qué velocidades debemos tomar como respuesta correcta?



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(a) V*¡f = 3m/s con v*2f =1m/s

(b) V**1f = 0.6m/s con v2**f =2.6m/s

Un análisis gráfico nos indicaría que luego del choque algo tendría que haber pasado, pero es poco probable que después del choque las cosas hubieran quedado como antes, es decir como si no hubiera tenido lugar el choque. Por lo tanto se concluye que la situación que describe la solución correcta es la (b) del gráfico que corresponde a las velocidades finales tales que:

v1f -0.6m/s y v2f =2.6m/s

Y se interpreta así: durante el choque la esfera pequeña m1, le transmite momento lineal a la segunda m2, aumentando la velocidad de m2 y disminuyendo la propia. Ejemplo: Un cuerpo de 3 kg de masa se mueve a velocidad de 4 m/s y choca con otro de igual masa que se encuentra en reposo. Considerando el choque central e inelástico, hallar la cantidad de calor que se desprende durante el choque. Solución: al ser el choque inelástico se tienen en cuenta los siguientes hechos:

• La energía cinética del sistema no se conserva durante el choque, esto quiere decir que la energía cinética del sistema antes del choque, no es igual a la energía cinética del sistema después del choque.

• Luego del choque los dos cuerpos que chocan permanecen unidos, por lo tanto se mueven con la misma velocidad final.

• Sigue siendo válida la conservación del momento lineal así: M1v1i + m2v2i = (m1 + m2)v donde v2i = O por la condición del problema.



19

La energía cinética inicial y final es:

Ec. Inicial:2

11 2 jVm= (B)

Ec. Final: 2*2

21 Vmm += (C)

La diferencia de los valores de energía cinética antes y después del choque representa la energía cinética transformada en calor durante el choque así, los pasos para encontrar el valor son: de (A) despejamos el valor de la velocidad final, (luego del choque) para los dos cuerpos:

2111mmiVmv

+= (A.1)

Se reemplaza este valor en la diferencia (B) - (C) así:

QmmiVmmmjVm

=+

+−

2111*

221

211 2

(D)

donde Q, como se anota, es la cantidad de energía cinética convertida en calor durante el choque, de (A.1) se obtiene que: v = 2m/s y de (D): Q= 12J Como se exige la cantidad de calor desprendida en el choque y el calor es una forma de energía, se utilizará la relación que existe entre energía mecánica y calor, así: 1 caloría = 4,18 julios 1 julio = 0,239 calorías y por lo tanto 12j = 2,87 calorías La respuesta es: la cantidad de calor desprendida durante el choque es Q = 2,87 calorías.



20

Recordar La relación general entre impulso de una fuerza (o de la resultante de varias) y la cantidad de movimiento (para una partícula) es:

FΛt = mv2 – mv1 = ΛP Las parejas de fuerzas acción - reacción están formadas por fuerzas internas al sistema y por lo tanto no pueden modificar la cantidad de movimiento total del sistema. Solo cuando actúan fuerzas exteriores o externas al sistema se modifica la cantidad de movimiento total del sistema. Proceso de Comprensión y Análisis Con los ejercicios planteados se dan las sugerencias y los pasos necesarios para llegar a la respuesta correcta. Preguntas • Dos masas puntuales m y 2m tienen exactamente las mismas energías

cinéticas. ¿Cuál es la razón de las magnitudes de sus cantidades de movimiento?. ¿Se cuenta con suficiente información para determinar la suma de sus cantidades de movimiento?.

• Una esfera sólida de masa M gira alrededor de un eje fijo con velocidad angular

co, en un experimento de laboratorio. ¿Cuál es la cantidad total de movimiento lineal de la esfera?

• Sugerencia: recordar que la velocidad lineal se relaciona con la velocidad

angular o como v = rω • Determinar la magnitud de su propia cantidad de movimiento cuando corre a

una velocidad de 15 km/h. • Se deja caer a tierra una de tenis desde una altura aproximadamente de 1 m, y

luego rebota. ¿La cantidad de movimiento de la bola justo antes de la colisión es igual a la cantidad de movimiento justo después de ella?. Si se extendiera el sistema de manera que incluyese la pelota y la tierra, ¿se conservaría la cantidad de movimiento?.



21

• Si se da una colisión completamente inelástica, ¿quiere decir esto que se pierde toda la energía cinética?. Mencionar ejemplos que apoyen su razonamiento.

• ¿En la impulsión por cohete, por qué es necesario expulsar masa para poder

acelerar este aparato?. • Suponer que se atrapa una pelota de béisbol, y a continuación alguien le invita

a detener un proyectil con el mismo momento lineal o con la misma energía cinética. ¿Qué elegiría usted?.

• Cuando se parten troncos con un martillo y una cuña, ¿s más efectivo un

martillo pesado que uno ligero?, ¿por qué?. • Cuando un camión grande y pesado choca con un automóvil de pasajero los

ocupantes de éste resultan heridos con mucha más probabilidad que el conductor del camión, ¿por qué?.

• Un vaso de vidrio que cae al suelo es más probable de que se rompa si éste es

de hormigón que si es de madera, ¿Por qué?. • Cuando una persona dispara un rifle o una escopeta, es recomendable que

mantenga la culata apoyada firmemente al hombro, en vez de algo separada, para minimizar el impacto sobre el mismo, ¿Por qué?.

• Un hombre que está de pie en medio de un lago helado totalmente liso y sin

rozamiento, puede comenzar a moverse lanzando objetos. Ahora bien, si no tiene nada que lanzar ¿puede impulsarse hasta la orilla sin lanzar algo?.

Problemas • Un hombre cuya masa es de 60 kg y va corriendo a una velocidad de 8 km/h

alcanza a una plataforma de ferrocarril que se mueve a 2.9 km/h y con masa de 80 kg, y se trepa a ella. ¿Qué velocidad adquiere la plataforma? ¿Cuál será la velocidad de la misma si el hombre se trepa corriendo en dirección opuesta?.

Respuesta 5.14 km/h; 1.71 km/h.

Sugerencias - Identificar los datos dados o conocidos.



22

- Identificar los datos desconocidos o incógnitas.

- Señalar y escribir con precisión la cantidad de movimiento lineal inicial del sistema.

- En el caso presente, el hecho descrito se asimila a un choque. Determinar si es elástico o inelástico. ¿Cómo se mueven los cuerpos luego del choque? Según su apreciación.

- Escribir la cantidad de movimiento final del sistema. Señalar las incógnitas y resolver la ecuación pertinente.

• Un patinador de 70 kg esta parado (con patines puestos) sobre una pista de

hielo y lanza una piedra de 3 kg horizontalmente con vp= 8 m/s. Hallar la distancia que retrocede el patinador al lanzar la piedra si el coeficiente de fricción entre los patines y el hielo es de 0.02.

Sugerencias - Establecer la cantidad de movimiento lineal del sistema hombre - piedra antes

de que sea lanzada la piedra. Recordar que el patinador, luego de lanzar la piedra, adquiere cierta velocidad, que debe ser hallada.

- Escribir la ecuación para conservación del momento lineal.

- Una vez hallada la velocidad de retroceso del patinador hallar su energía cinética. Hallada su energía cinética, esta energía se va disipando o transformando en calor al irse desplazando el patinador, es decir la energía cinética se transforma en trabajo para vencer la fuerza de fricción, así que una vez se tenga la energía cinética, debe plantear la expresión para el trabajo hecho al recorrer la distancia "d" a la cual el patinador se detiene, que es: W = f . d = - f .d, siendo f: la fuerza de fricción. ¿Cuál es la fuerza de fricción?.

Recordar: f = µN donde N es la normal ¿y cuánto vale la normal?, la normal es perpendicular a la superficie de contacto en este caso dirigida hacia arriba, y ¿cuál es la fuerza dirigida hacia abajo?. La respuesta al problema es 0.3 m. • Un cuerpo cuyo peso es de 49 N choca con otro que está inmóvil y tiene masa

de 2.5 kg luego de un choque central e inelástico la energía cinética del sistema constituido por los dos cuerpos resulta de 5 J. Halle la energía cinética del primer cuerpo antes del choque.

Sugerencias - Identificar correctamente las partes que conforman la igualdad de la cantidad

de movimiento lineal antes del choque y después.



23

- Como se conoce la energía cinética luego del choque, conoce también la velocidad después del choque.

- A partir de la igualdad de la cantidad de movimiento (antes y después del choque), puede calcular la velocidad del primer cuerpo antes del choque y con ella la energía cinética inicial. Resp. 7.5 J.

• Un cañón de masa de 5 toneladas dispara un proyectil de 100 kg la energía

cinética del proyectil al salir del cañón es de 7.5 -106 J. ¿Qué energía cinética adquiere el cañón a causa del retroceso?.

Sugerencias - Analizar en detalle el ejemplo 3 luego plantear los pasos para hallar la

velocidad de retroceso del cañón y con esta se halla la energía cinética del mismo. Respuesta: 1.5-105J

Experiencias sugeridas - Usar balines de hierro o vidrio de distintos pesos

- Usar dos balines o esferas de pesos iguales, estando uno de ellos en reposo. Hacer rodar el otro hasta que choque de frente con el primero. ¿Cuál es el movimiento de los balines después del choque? ¿podríamos considerar el choque elástico?.

- Repetir la experiencia anterior con dos balines de pesos muy diferentes, teniendo el más pesado en reposo antes del choque.

- Repetir la experiencia con dos balines de pesos muy diferente pero ahora teniendo en el más liviano en reposo antes del choque.

- Usar ahora un balín de hierro y otro de plastilina. Repetir las anteriores experiencias. ¿Podría considerarse ahora el choque como elástico?.

- Utilizando dos balines de pesos iguales, o distintos, hacerlos chocar de frente estando ambos en movimiento antes del choque. Observar el movimiento después del choque.

- Suspender dos bolas de plastilina de masa conocida m1 y m2 a dos cuerdas de 25 cm.

• Sujetar una de las como indica la figura 1. Soltarla. Medir la altura promedio H

a la cual se elevan las dos bolas después del choque.



24

Tomando en cuenta la fórmula(*):

glmm

Mv 2*21

10 +

= (A)

de la fórmula (A) del ejemplo 6 , cuando v2i = O V○ = √2gL (B) que sería la velocidad que tendría el sistema luego de caer de la altura L, la bola 1. ¿Deberían ser iguales estos valores?. Si la diferencia es observable, a qué se debe? (*) La fórmula (A) resulta de igualar la energía potencial de la bola 1 en la posición inicial con la energía cinética (en que se transforma al caer), justo antes de chocar con la bola 2 que está en reposo. Conservación de la energía de la bola 1.

011211 2VmgLM = de donde, V01 = √2gl

Por conservación del momento lineal del sistema de bolas 1 y 2 m1v1 + 0 = (m1 + m2) v

2111mmiVmMV

+=



25

Aquí V○1 = V1i = √2gl y

glmM

mv 2*21

1+

=

es la velocidad con que se mueven las dos bolas, luego del choque, al caer la primera bola la altura L Luego de la colisión las dos bolas se elevan hasta cierta altura H de forma que su energía cinética se transforma en energía potencial, la ecuación de tal balance energético es:

gHmmVmm )21(2

21 2 +=+

gHmmglmm

mmm )21(2*)21(

1*2

21 2

+=+

+

2

2

)21(1mm

mH+

=

si las bolas son de igual masa m1 = m2 entonces

1412

2

mmH = L de donde H = L/4

Cuestionario • ¿Cuál es la omisión en la consideración de los choques?

• ¿Qué factores contribuyen a aumento de error en la medición de H?

• ¿Deben ser iguales la velocidad V01 y la velocidad v?

• Comparar los valores de H para los casos m1 ≠ m2 y m1 = m2

• Calcular los valores para v dada por la ecuación (A) según los datos conocidos.

• Calcular v una vez medida H según la fórmula (C) v = A√2gH ¿por qué? y

• Comparar con los valores calculados de (A). ¿Cuánta energía se pierde en el choque de las bolas.



26

UNIDAD 2 Movimiento Oscilatorio y Vibratorio

Horizontes • Comprender el movimiento de un cuerpo que posee movimiento armónico

simple, M.AS. • Dilucidar el papel que juegan las fuerzas recuperadoras en la generación de un

movimiento armónico simple. M.A.S. • Aplicar la ley de conservación de la energía mecánica en los M.A.S. Resolver

problemas de aplicación del M.A.S. Núcleos Temáticos y Problemáticos Fuerzas Recuperadoras Elásticas

Definición de los Parámetros de un M.A.S

Análisis del Movimiento Armónico Simple

Relación entre el Movimiento Armónico Simple y el Movimiento Circular Uniforme

El Péndulo Simple Proceso de Información Entre la gran variedad de movimientos que pueden ser estudiados por la mecánica, el estudio del movimiento oscilatorio es uno de los más importantes. Tal movimiento sucede cuando una partícula ejecuta un movimiento de vaivén, es decir, hacia adelante y hacia atrás sobre una misma trayectoria, entre dos posiciones fijas respecto de cierto origen.



27

El movimiento oscilatorio es una de las formas de movimiento periódico o sea aquel que se repite a intervalos regulares de tiempo, llamados períodos, como el que efectúa la tierra en su movimiento alrededor del sol, o la luna alrededor de la tierra, o los átomos respecto de las posiciones de equilibrio en las moléculas, por mencionar solo unos pocos. Entre la diversidad de movimientos periódicos es de singular importancia el movimiento armónico simple el cual debe su nombre al hecho de ser descrito mediante las funciones circulares o armónicas seno o coseno y ser originado por fuerzas conservativas, tales como las que ejercen resortes, o el propio campo gravitacional de la tierra. El movimiento ondulatorio esta estrechamente relacionado con el movimiento oscilatorio, puesto que al propagarse una onda en un medio material por ejemplo el sonido, hace vibrar las partículas del medio transportando energía. El movimiento armónico tiene la característica de ser originado por fuerzas variables, resultando la aceleración variable. 2.1 FUERZAS RECUPERADORAS ELÁSTICAS Existen cuerpos que al ser sometidos a ciertos esfuerzos o fuerzas suelen deformarse, pero recuperan su forma original al cesar la acción que los deformó. Cierta clase de cuerpos experimentan deformaciones que son proporcionales a los esfuerzos que las producen. Naturalmente la deformación no debe sobrepasar cierto límite. Se analizará el caso particular de un resorte de hélice cuya deformación puede se un alargamiento o una compresión.

En la figura 2.1a se tiene un resorte unido a una masa m sobre una superficie horizontal en el que no se ejerce ninguna fuerza externa para deformarlo.



28

En la figura 2.1b se aplica una fuerza externa Fa y se muestra el alargamiento x producido por tal fuerza, sobre el resorte.

En la figura 2.1c se aprecia otra forma de deformación en este caso una compresión en una cantidad x, producida por la fuerza Fa aplicada en dirección opuesta. Cuando un resorte es sometido a una deformación el resorte ejerce una fuerza de igual magnitud y de dirección opuesta a la fuerza externa aplicada, para el caso de la figura 2.1b, el resorte ejerce una fuerza de magnitud.

FR=-k-X

proporcional a la deformación x, y donde k es una constante de proporcionalidad conocida como la "constante del resorte" medida comúnmente en N/m ver fig. (2.2a).



29

Cuando el resorte se comprime, la fuerza ejercida por el resorte, se opone a la fuerza deformadora y se dirige por lo tanto a la derecha. Su valor esta de nuevo dado por (2.1).

Si cesa la acción de la fuerza deformadora Fa, estando el resorte estirado como en la figura 2.1b, la masa m comienza a moverse junto con el resorte bajo la acción de la fuerza recuperadora del resorte – k.x hacia la izquierda pasando por la posición de equilibrio 0. Debido a la inercia de la masa m y del resorte, el sistema (resorte + masa) continua moviéndose hacia la izquierda hasta quedar momentáneamente en reposo, en cierta posición A, y comenzando a desplazarse hacia la derecha pasando por el punto de equilibrio y repitiendo el movimiento de vaivén de izquierda a derecha. (Si no existiera fuerzas de fricción el sistema se movería indefinidamente en el tiempo, pero como en la realidad existen fuerzas de fricción entre la superficie y la masa - resorte, el sistema se detendrá al cabo del algún tiempo). Una situación de movimiento armónico se puede experimentar y apreciar cuando una bola pequeña de masa m se suspende de un hilo de masa despreciable y el otro extremo del hilo se fija a cierta posición P, fig. 2.3b o cuando una hoja de



30

segueta se fija en una prensa y en el otro extremo se le sóida una pequeña masa m y el sistema es puesto en movimiento. Fig. 2.3a.

En cualquiera de las experiencias descritas la masa m, ejecuta un movimiento de izquierda a derecha (una vez se ha dejado en libertad la masa m, o ha cesado la acción de la fuerza externa aplicada Fa) entre las posiciones A y A pasando por la posición de equilibrio 0. Tal movimiento apreciado sobre cierto eje x, tendría la representación:

El movimiento de la masa m obedece como es natural la segunda ley de Newton, donde la fuerza resultante es la dada por (2.1) y que se conoce como ley de Hooke:

F = - k.x (2.1ª)



31

El signo menos indica que la fuerza recuperadora tiene dirección opuesta a la del desplazamiento x (o a la deformación causada por Fa). ¿Por qué la masa unida al resorte (o la soldada a la hoja de segueta, o la que constituye el péndulo) se mueve un tiempo largo, luego de quedar en libertad?. Pues por la sencilla razón, que para estirar o comprimir el resorte, se debe realizar un trabajo para deformarlo, y como se dijo al comienzo un movimiento armónico tiene lugar bajo fuerzas conservativas. En los sistemas descritos, las fuerzas consideradas cumplen tal condición. De forma que según el teorema del trabajo y la energía, el trabajo hecho para deformar el resorte, en una cantidad x, queda almacenado en el sistema masa - resorte como energía potencial elástica de la deformación y se da por la expresión:

2

21 kxW = o 2

21)( KxxU = (2.2)

puesto que, W = U(x) (2.2a) En el caso del péndulo se tendrá W = mgh siendo h la altura a la que se levanta la masa m, a partir de cierto nivel de referencia cero (ver fig. 2.3b). Aclaramos de una vez que tal como se aprecia en la figura 2.4, la máxima deformación del resorte o de la segueta es x = A, lo cual nos enseña que una vez el sistema oscila libremente no podrá desplazarse más allá de los puntos A y A. Y que en los dos casos, la máxima energía potencial almacenada (o trabajo hecho) estará dada por:

2

21)(max kAAUU == (2.3)

cambiando la energía potencial entre los valores: U (0) ≤ U (x) < U(A) (2.4)

Donde 0)0(21)0( 2 == kU

Puesto que si el resorte no se deforma, en posición de equilibrio, no se ha hecho trabajo W = 0. En este momento debe hacerse un análisis en detalle sobre dos aspectos del movimiento respecto de dos situaciones particulares:



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• Los puntos A, A´ y el punto de equilibrio y,

• qué sucede con el valor de la energía en esos puntos. Se analiza la situación, considerando solamente la bola de masa m en tales posiciones. Así cuando: • La bola se encuentra instantáneamente en el punto O y por ser ésta la posición

de equilibrio, la aceleración de m es cero y por lo tanto la fuerza resultante sobre m también es igual a cero. Esto se comprueba fácilmente ya que en la posición de equilibrio la deformación es x = 0, de la cual se obtienen los resultados:

lFl = k.x = 0 ∑EF = m.a = k.x

Y, 0==xka donde, k, m ≠0

021 2 == KxW ó 0=U

¿Y toda la energía potencial que toma la masa m (exactamente el sistema masa-resorte), en la posición de máxima deformación x = A, ó (x =Á), qué se hizo?. Recordemos que cuando m este en A ó A en tales posiciones permanece sólo un instante, muy poco tiempo, iniciando el movimiento de regreso, adquiriendo paulatinamente valores cada vez mayores de su velocidad de desplazamiento. En otras palabras a medida que se acerca al punto de equilibrio su velocidad va en aumento, de manera que en el punto de equilibrio su velocidad debe ser la máxima, y en tal posición (donde x = 0), toda la energía debe ser energía cinética, así el balance de energía indica que si en x = A, toda la energía es potencial entonces en x = 0 toda la energía es cinética

2

21 mvK =

De esta forma cuando el cuerpo de masa m ligado a cualquiera de los dispositivos oscilantes, se mueve durante un período completo, la energía potencial también oscila, entre los valores Umax (la energía potencial en los extremos del recorrido A, A) y 0 (energía potencial en el punto de equilibrio), donde toda la energía es



33

cinética. En cualquier posición la energía total es la suma de la energía cinética del movimiento

21

mv² más la energía potencial de deformación21

kx²

que sumadas deberán dar el total del trabajo hecho 2

21 KAW = Aclaramos que

la energía cinética es nula en los extremos de la trayectoria (A, A), ya que la masa deberá detenerse para invertir la dirección del movimiento, regresar al punto de equilibrio y continuar, de forma que hay un instante (y un punto) cuando la velocidad es nula, para que ésta cambie de dirección. Igual acontece en la otra posición extrema, x = A, donde por supuesto al ser v =0, la energía cinética también es nula, obteniéndose el máximo valor para la energía cinética en la posición no deformada del sistema o punto de equilibrio. La figura 2.5 muestra la variación de la energía cinética y la potencial en función de la elongación x en un movimiento armónico simple. Observe: Cuando la elongación es x = ± A, ¿cómo es la energía potencial?, ¿la cinética?. Responda estas mismas preguntas cuando x = 0. ¿Puede en algún momento la energía potencial ser igual a la energía cinética?.



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Sitúese en un punto cualquiera donde la elongación sea x (entre -A y +A) . Para ese punto ¿cuál es el valor de la energía cinética?, ¿cuál el de la potencial?. Observe que la energía total es la misma, sin importar el momento, o el punto, que se escoja, es decir es constante. Pruebe esto matemáticamente. 2.2 DEFINICIÓN DE LOS PARÁMETROS DE UN M.A.S

Oscilación completa. (o vibración completa): es el movimiento que ejecuta la masa m, sobre la trayectoria en un viaje de ida y regreso, por ejemplo en la fig. 2.6a una oscilación completa es el movimiento de la bola partiendo de -A pasando por O llegando a A y regresando nuevamente a - A'. Lo mismo sucede en el caso del resorte comprimido o estirado por la aplicación de una fuerza.



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Oscilación sencilla: es el movimiento en un viaje solo de ida o solo de regreso, que significa lo mismo que I realizar media oscilación completa. En las figuras 2.6a y 2.6b ir desde – A hasta A o desde A hasta -A. Período de un M.A.S. es el tiempo que gasta (o tarda) el móvil en realizar una oscilación completa, se denota con la letra T. En un tiempo igual al período, el movimiento se reproduce exactamente. Las unidades de un período son por lo general los segundos. (Aunque pueden ser años o meses como en el movimiento de los planetas). Frecuencia: Es el número de oscilaciones completas que el sistema (móvil m, resorte etc.) ejecuta o hace en la unidad de tiempo. Por ejemplo 5 oscilaciones en un segundo, o 33 1/3 revoluciones en un minuto que se escriben así: 5 osc/seg o 33 1/3 rev/min. La frecuencia se denota con la letra f. La frecuencia y el período se relacionan por:

1=FT ó t

F 1= (27)

• Elongación: es cualquier posición del móvil medida a partir de la posición de

equilibrio. La elongación puede ser positiva (+), o negativa (-) según sea dada la posición del móvil respecto del punto de equilibrio. En las figuras 2.3b y 2.4 cuando el móvil se encuentre (instantáneamente) en el punto B, la elongación es positiva. En ese momento la elongación es x = OB.

• Amplitud: es el máximo valor que puede tener (o tomar) la elongación. Volviendo a las figuras (2.3) y (2.4) la amplitud se ha denotado con las letras A y A (que podrán ser en adelante +A, y -A) así Xmax = 0A. Se designará la amplitud con la letra A.

Existen otras características o parámetros del M.A.S que se conocen como Fase y Fase Inicial, pero sobre los que no se profundizará por razones de espacio y sencillez en la descripción. 2.3 ANÁLISIS DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Cuando el péndulo (es decir su masa m), o el sistema masa - resorte, son desplazados de su posición de equilibrio por algún agente externo, y una vez que tal agente (Fa) externo deja de actuar, los sistemas descritos se mueven bajo la acción de la respectiva fuerza recuperadora. En el caso del resorte al ser alargado una cantidad, x, la fuerza que el resorte ejerce sobre m es:



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∑F = kx y como ∑F = ma

se tiene maKx = y xmka −= (2.8)

Nota Debe quedar claro que la fuerza es variable puesto que estirar más el resorte requiere más esfuerzo, así mismo que la aceleración también es variable, pues como se aprecia de (2.1) y (2.8) ambas dependen de x (es decir, de la deformación). Si se introduce la notación:

2∞=mk

es decir mk

=∞ (2.9)

donde ∞ se conoce como la frecuencia angular (medida en radianes/segundos o rad/seg), y cuyo valor es característico para cada sistema, (2.8) se puede escribir como:

xa 2−∞= (2.10) y como a no es constante no pueden ser usadas las conocidas fórmulas de la cinemática: V = V๐ + at o x = V๐t + 1/2 at². etc. Se omitirán los detalles que conllevan a definir a x como función del tiempo t, simplemente se dirá que la posición del móvil (elongación) en cualquier punto de su trayectoria (o instante del tiempo) se da por: x = Acos ∞t (2.11) donde A es la amplitud del M.A.S., o la frecuencia angular, y t el tiempo transcurrido a partir del tiempo que se inició el movimiento. Nota Notar que ∞t carece de dimensiones, puesto o se expresa en rad-s-¹ y los radianes no tienen dimensiones y t se expresa en segundos.



37

La frecuencia angular ∞ y la cíclica f están relacionadas por ∞ = 2πtf = 2π / T. La frecuencia f, medida en (segundo)-¹ o s-¹ , se expresa por lo general en cualquiera de las formas: y las vibraciones, oscilaciones y ciclos equivalentes a una misma descripción mientras revoluciones y vueltas describen lo mismo. Así f en s"1 se ha denominado como Hertz, en honor de Heinrich Rudolf Hertz quien descubrió las ondas de radio. Así: Cuando un móvil (cuerpo) realiza una vuelta completa (o revolución) con velocidad constante por ejemplo la que efectúa un disco de fonógrafo, o una masa m moviéndose sobre una circunferencia, el ángulo barrido al completar cada vuelta es de 360° o de 2π radianes. Por lo tanto dar una vuelta equivale a barrer un ángulo de 2π rad, 2 vueltas equivalen a barrer un ángulo de 4π rad etc., de aquí que frecuencia angular y frecuencia cíclica f, se relacionen como ra = 2π.f. Ejemplo: si la frecuencia cíclica de un móvil que ejecute un M.A.S es de 10 ciclos/seg., significa que f = 10 vueltas / seg., y como en cada vuelta recorre 2π rad., la frecuencia angular es: ω = 2πf = 2π rad . 10 vueltas/s = 20π rad/s Velocidad y aceleración: notemos que la posición en un M.A.S se escribió Como:

tT

AtAX π2coscos =∞=

)2cos( FTA π= que son expresiones equivalentes, pero útiles. La velocidad de un punto que ejecute un M.A.S tienen la siguiente expresión: v =-Aω sen ωt ó (2.12) v = -Aω sen (2 π ft)

SegundoCiclo

SegundoVueltas

Segundovoluciones

SegundoesOscilacion

SegundosVibracioneF ,,Re,,=

...,1,11121 etc

sesrevolucion

sesoscilacion

scicloHert ===



38

La velocidad tiene su valor máximo v = Aω, cuando senωt = -1 y su valor mínimo v = -Aω cuando sen ωt = 1. Obsérvese que en estos puntos, cuando sen ωt = ± 1 es cuando cosωt = 0, es decir, cuando x = 0, o lo que es lo mismo, cuando está en la posición de equilibrio. Realmente estos dos valores de la velocidad (el valor máximo y el valor mínimo) sólo difieren en el signo que nos indica la dirección del movimiento. Por esta razón omitimos el signo y decimos que la velocidad máxima es v = Aω y se presenta cuando x = 0. La expresión para la aceleración es: a = -Aω² cos ωt (2.13) = - ω² A cos ωt

ahora como x = A cos ωt puede escribirse a = - ω² x que es la ecuación (2.9) con ω² = k/m La aceleración tiene su valor máximo a = ω² A, cuando cos ωt = -1 y su valor mínimo a = - ω² A cuando cos ωt = 1. Por la misma consideración que se hizo para la velocidad (es decir omitiendo el signo que indica la dirección), se dice que la aceleración es máxima cuando x = ± A, o sea cuando la elongación es igual a la amplitud en cuyo caso: a max = - ω² A (2.14)

y por lo tanto la fuerza es máxima en los puntos x = ± A, es decir en los "puntos de retorno" del péndulo, o de la masa unida al resorte, donde: Fmax = -kA (2.15) (recordar el sentido del signo menos) Es conveniente analizar en conjunto las gráficas de elongación contra tiempo, velocidad contra tiempo, aceleración contra tiempo y fuerza contra tiempo. En la figura 2.7 se presentan estas cuatro gráficas juntas donde las escalas de elongación, velocidad, aceleración y fuerza se han omitido para simplificar la comparación. Obsérvese por ejemplo que cuando la elongación es +A, la velocidad es 0 (en este punto cambia de dirección), la aceleración lo mismo que la fuerza es máxima pero en dirección opuesta a la elongación. Analice otros puntos, por ejemplo: un punto cuando la elongación es cero.



39

Obsérvese también que para realizar una oscilación completa, se requiere de un tiempo t = 2π (tiempo necesario para que el punto salga de A, pase por el punto de equilibrio, llegue a - A y devuelva nuevamente a A). Según esto, en la figura 2.7 ¿cuántas oscilaciones completas se han representado? el espacio entre dos rectas verticales consecutivas ¿qué intervalo de tiempo representa? ¿qué fracción del período representa? En la Figura siguiente se presenta esquemáticamente por medio de vectores la variación con el tiempo de la elongación, la velocidad, la aceleración y la fuerza en un MAS.



40



41

2.4 RELACIÓN ENTRE EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Y EL

MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Al colocar una esfera en el borde de un disco que pueda girar con velocidad constante, la esfera describe una trayectoria circular. Al iluminar la esfera con una fuente de luz de manera que su sombra pueda ser observada sobre una pantalla o sobre una pared el movimiento de la sombra resulta ser un movimiento armónico simple como se aclarará.



42

Así cuando un punto material se mueve con velocidad constante sobre la circunferencia mostrada (Fig. 2.9a) ocupando las posiciones A B C D E F A , las proyecciones (como la sombra) de las posiciones sucesivas sobre el eje de las x son: A B C O E F' A. Cuando complete el recorrido de la circunferencia A P Q R S T A, las proyecciones sobre el eje de las x ocupan las mismas posiciones pero en orden inverso A F E O C B A y puede concluirse que mientras, el punto da una vuelta completa con velocidad constante, su proyección sobre el eje x realiza una oscilación completa entre los puntos A y A. Luego existe una relación definida entre el movimiento circular uniforme (con velocidad v = ωR) y un M.A.S, exactamente entre el movimiento de una partícula que se mueve sobre una circunferencia y la proyección de las diferentes posiciones sobre el eje de las x. El valor de la elongación x resulta como ya se dijo: x = A cos ωt.



43

Si en vez de considerar la proyecciones sobre el eje de las x, consideramos las proyecciones sobre el eje de las y (Fig. 2.9b), se puede observar que cuando comienza el movimiento, t = 0 la partícula se encuentra en el punto A y su proyección es el punto 0. Luego cuando la partícula está en B su proyección es B, cuando la partícula esta en C su proyección es C. Al llegar al punto D su proyección coincide con la posición de la partícula, es aquí cuando alcanza su máxima elongación (que corresponde al valor de la amplitud). Como en el caso cuando se consideró las proyecciones sobre el eje de las x, cuando la partícula da una vuelta completa su proyección realiza una oscilación completa (0 B C D C B O P Q R Q P 0). En este caso puede verse que la elongación es: y = A sen ωt. Ejemplo: (ley de Hooke). Un resorte se ha estirado 20 cms, por la acción dena fuerza de 8 N. ¿Cuál es la constante del resorte?. Como la magnitud de la fuerza ejercida por el resorte es: F = kx al despejar k se obtiene:

mN

mN

cmN

XFK 40

208

208

====



44

y la constante de elasticidad del resorte es de 40 N/m; si se requiere deformarlo una longitud de x = 0.5 m se debe ejercer una fuerza de 20 N ¿cuánta fuerza se requiere para estirarlo 15 cm?. Ejemplo: un pequeño cuerpo de masa 0.10 kg. Está ejecutando un M.A.S. de amplitud 1 m. y período 0.20 s. ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza que obra sobre él?. Sí las oscilaciones son producidas por un resorte, ¿cuál es la constante de fuerza del resorte?. Solución: si escribimos la expresión para la elongación como función del tiempo: x = A cos ωt donde conocemos A = 1 m y el período T = 0.20s; ahora como:

Tπω 2

= y como ω² = k/m, puede calcularse la constante del resorte.

Como se pide la fuerza máxima (su valor numérico máximo, sin importar el signo que indica la dirección) ésta se consigue cuando la aceleración es máxima, lo cual ocurre cuando x = A, puesto que ∑F = ma, así como m es conocida falta calcular amax. • A partir de: a = - ω² A cos ωt, como ω = const. y A = const. a es máxima

cuando cos ωt tome un valor máximo este es igual a 1 (cuando ωt = 0, ± 2π, ± 47 π , ± , etc.), o cuando cos ωt = -1 (puesto que no nos interesa el signo) por lo tanto amax = - ω² A o amax = + ω² A , luego amax = ω² A y Fmax = mamax así:

Fmax = mω² A

como no se conoce ω se calcula Tπω 2

= y se obtiene:

22 104,0410.02max

sKgmm

sKgA

tF →==

ππ

= 98.69N • A partir de la expresión (2.15), F = - KA puede hallarse la constante k,

tomando el signo positivo (¿puede se k negativa?).



45

mN

mAFK 7,98

169,98

===

También puede hallarse k a partir de ω² = k/m donde de donde

MN

mN

TK 69.98,4

2

2

==π

Ejemplo: Un cuerpo oscila con un M.A.S de acuerdo con la ecuación:

33cos0.6 ππ +−= tmX

calcular:

• La elongación,

• La velocidad

• La aceleración para t = 2 seg,

• La frecuencia,

• El período

• La fase del movimiento. Solución: comenzaremos por encontrar y definir la fase del movimiento, y de una vez intentar dar luces sobre tal parámetro: comparemos la expresiones siguientes: x = A cos (ωt + (φ○)

x = 6 m cos (3πt + π/3) notamos que la amplitud A = 6 m. La fase de la oscilación es: el argumento de la función coseno, en este caso fase = (3πt + π/3) La frecuencia ω = 3π rad.s-¹ Bueno, la fase de la oscilación al tiempo t = 0 resulta ser 3π 0 + nl3 = π/3 rad, donde el ángulo π/3 rad = 60° se conoce como la fase inicial, y representa la posición angular o lineal del cuerpo oscilante al tiempo t = 0.

mk

Ty

t== 2

242 ππω



46

Así para t = 0 la posición del oscilador es: x = 6 m cos (π/3) = 6 m eos 60° = 6m • 0.5 = 3 m

x = 3.0 m en el tiempo t = 0 ¿Qué significado físico tiene la fase inicial? (φ0 = π/3) pues que el M.A.S. no se inicia en el punto de máxima elongación x = A al tiempo t = O como la expresión dada (2.11) donde x = A cos ωt y si t = 0

x = Acos0° =A sino que para el problema presente el cuerpo comienza a oscilar en la mitad de la amplitud x = 3 m = A/2. Luego de identificados los parámetros resolveremos ahora el problema en el orden exigido. Así la elongación al tiempo t = 0 • x = A cos (3π0 + π/3) = A cos (π/3) = 6 m. (1/2) = 3 m

• la velocidad se define por (2.12) y en este problema v = - Aω sen (ωt + φ○) como t = 0

v = - 6 mω sen (3π0 + π/3)

v = - 6 m (3π ) rad.s -¹ sen (0 + π /3) = -18π m s -¹ sen π/3

v = -18 π m s -¹ sen 60° = -18 π √3/2 m- s -¹

v = - 48.97 m/s Donde el signo menos significa que el cuerpo se mueve ¿a la derecha? O ¿a la izquierda? del punto de equilibrio. • La aceleración se define por (2.13) donde como en a y b en vez de cos cot se

debe escribir cos (ωt + π/3) así: a = ω² A cos (ωt +(φ๏)

a = - (3π rad s -¹)² 6 m cos (3π 0 + π/3) donde t = 0

a = - 54π² m-s-².cos(π /3) = - 54π² m-s-²

a = -266.47 m/s²



47

• La frecuencia angular es ω = 3π rad/s la frecuencia hertziana o cíclica es: ω = 2πf =3π (dado por el problema), luego

5,123

==ππf ciclo/s o 1.5 Hertz (Hz).

• El período:Tπω 2

= por definición, de donde ππω 32==

T y sT

32

32

==ππ

• La fase como ya se estableció es Fase en su Expresión General: ф = (ωt + φ๏) para el problema t = 0 ф = (ω0 + π/3) = π/3 conocida como fase inicial Ejemplo: Cuando la elongación es la mitad de la amplitud (como en el apartado a) del ejemplo anterior) encontrar que fracción de la energía total es cinética y que fracción es potencial, ¿Para qué valor de la elongación, la energía es mitad cinética y mitad potencial?. Solución: debemos recordar que la energía total es igual al trabajo que se hizo para deformar el sistema hasta su máxima elongación o su amplitud por lo tanto, ese valor es:

EKAU == 2

21max (total)

como mk /2 =ω podemos escribir mK 2ω= y 22

21 mAEt ω=

Ahora la energía potencial en la posición x = A/2 es:

421)72(

21

21 2

2222

1 AmAKKXU ω===

que se puede escribir como:



48

EUtAmU41

41

2*

41 2

21 ===

ω

y como 22

21 AE ω= debe cumplirse que 22* mvXKUE ++= y Emv =2

21

2*

41)(

21 22

22 mAmAU ωω −=

2*

41

2*

44 2222 mAmA ωω

−=

43*

241

44*

2

2222 mAmA ωω=−=

luego, Emv43

21 2 = ---- mv² = ------ E, lo cual significa que cuando la elongación es

igual a la mitad de la amplitud ( x = A/2), los valores de las energías potencial y cinética son ½ y ¾ respectivamente, de la energía total. • Para la situación descrita se puede concluir lo siguiente: hay un valor para la

elongación x, en el cual la energía cinética es igual a la mitad de la energía total y a su vez la energía potencial es igual (en el mismo punto) a la mitad de la energía total, puesto que de otro modo no puede cumplirse que la mitad de la energía cinética sea igual a la mitad de la energía potencial. Así :

21

=U E significa:

21*

21

21 2 =kx mω²A² y usted debe demostrar de

2AX = es el valor para el cual

KEU ==2

ó

U = E/2 y K = E/2 sumando (a) + (b): U + K = E/2 + E/2 = E , y además U = K.



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2.5 EL PÉNDULO SIMPLE

Una aplicación sencilla de un M.A.S, la constituye un péndulo simple. En tal sistema, los parámetros que intervienen son: la longitud del hilo L, la masa m, sujeta al hilo, el ángulo θ, o el desplazamiento que denominamos elongación angular θ o elongación lineal x. (Aclaramos que si el ángulo es pequeño es decir θ < 8°, para una L no tan pequeña, la longitud del arco OBC es aproximadamente igual a la elongación x) para el triángulo PQR calculamos el sen θ:

LXsen =θ (2.16)

y si θ< 8° puede sustituirse sen θ Ξ θ, de lo cual θ = x/L (2.17)



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En la posición mostrada las fuerzas que actúan sobre el péndulo son: la tensión del hilo T, y el peso de la masa m = mg. Al descomponer las fuerzas en dirección del hilo (radial) y de la perpendicular al hilo en la posición mostrada se tiene: Fuerzas en la Dirección Radial T-mgcos0 = 0 (2.18) fuerzas en la dirección tangencial - mg sen θ = ma por (2.17)

LXmg− (2.19)

El signo - en señala que la fuerza recuperadora es la componente del peso en la dirección tangencial, puesto que dicha componente es la que actúa para hacer mover la masa hacia la posición de equilibrio una vez se ha separado hasta una amplitud dada. La frecuencia del péndulo simple se obtiene al comparar la ecuaciones para el resorte y para el péndulo.

mKXi

mKamaXkF =−=→=−= 2* ω

Así para el resorte, ω = √k/m (2.20)

Y para el péndulo, ω = √g/L (2.21)

Y como t2

=ω ω los respectivos periodos son:

Las ecuaciones para la elongación, velocidad y aceleración son las mismas dadas por: (2.11), (2.12), (2.13). Recordar Un movimiento periódico es el que ocurre a ciclos repetitivos exactamente iguales. El movimiento armónico simple, M.A.S. es un movimiento oscilatorio en el cual el desplazamiento lineal (o angular) varia cosenoidalmente (o senoidalmente) en función del tiempo. Un M.A.S. es un movimiento periódico producido por una fuerza recuperadora. Fuerza recuperadora es la fuerza ejercida por muchos cuerpos elásticos, al ser deformados. Tal fuerza siempre se dirige hacia el punto de equilibrio. Punto de equilibrio es el punto de la trayectoria en el cual la fuerza



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recuperadora es = 0. Puntos de retomo son los puntos de la trayectoria en los cuales el movimiento cambia de dirección (o de sentido) y en los cuales la fuerza recuperadora es máxima. Elongación es el desplazamiento de una partícula en un M.A.S medido (o referido) respecto del punto de equilibrio. Valores de x, v, a en un M.A.S.

x = A cos ω t, la constante representa la máxima elongación

v = - Aω sen ω t

a = - Aω ² cos ω t donde = es la frecuencia angular, parámetro característico de cada sistema oscilante (masa - resorte, péndulo simple) así ω = 7K/m Para e' resorte y ω = √g/L para el péndulo. x = A cos ω t; en la forma más general se escribe x = A cos (ω t + φە), y en el texto se ha tomado la forma más sencilla. La frecuencia angular y la cíclica (hertziana) se relacionan por ω = 2πf, siendo f, la frecuencia cíclica. Además o ω

= 2π/T- y T = 1/f. La energía de un M.A.S. es igual a E = ½ kA² siendo E la

energía total. Se kA² kx²/2 = kx² + mv²/2, es decir en cualquier punto de la trayectoria la suma de las energías cinética y potencial debe ser igual al trabajo hecho sobre el sistema para deformarlo desde su posición de equilibrio; x es una elongación arbitraria y v la velocidad del sistema en ese punto. Nota en un M.A.S. la frecuencia (y el período) no dependen de la amplitud de las oscilaciones. Si hay presente fuerzas de fricción la energía no e conserva, y las oscilaciones resultan amortiguadas (o atenuadas). Proceso de Comprensión y Análisis • Preguntas

- ¿Serviría un péndulo simple para realizar mediciones de tiempo?

- ¿Serviría para hacer mediciones de la gravedad g?.



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- Citar algunos ejemplos de movimientos que considere que sean armónicos simples. ¿Por qué algunos movimientos que ocurren en la naturaleza sólo son aproximaciones al M.A.S.?.

- ¿Cómo puede obtener una curva sinusoidal utilizando arena, un cono de refrescos y una tira de papel? Las figuras 2.13 y 2.14 le dan ideas de cómo lograrlo. Así mismo le confirman el por qué un movimiento armónico simple es descrito por las funciones seno y coseno.

- Para estudiar experimentalmente la relación entre período T y la longitud

L de un péndulo simple, ¿necesita conocer el valor de la aceleración de la gravedad? Justificar respuesta.

- ¿Qué puede vibrar durante mayor tiempo; una tira de acero o una tira igual de caucho. ¿Por qué?.

- La aceleración debida a la gravitación lunar es 1/6 de la de la tierra. Un péndulo que en la tierra mide segundos, se lleva a la luna. ¿Marcará intervalos mayores o menores?, ¿Por qué?. ¿Cuál será el período de oscilación?.

- Un cuerpo cuya masa es de 5 kg cuelga de una balanza de resorte y oscila con un período de 0.5 seg. ¿Cuánto se acortará el resorte al quitar el cuerpo?.

- Un objeto experimenta un movimiento armónico simple. Si se duplica la amplitud, ¿qué sucede a la frecuencia y a la energía total?.



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- Una masa unidad a una cuerda oscila como péndulo con movimiento armónico simple. Determinar la posición a la que es más probable que se rompa la cuerda. Explicar el razonamiento.

- Es poco común encontrar un sistema que realice un exacto movimiento armónico simple. ¿Por qué?.

- ¿Cómo puede determinarse el valor de una masa desconocida utilizando un reloj y un resorte con constante de fuerza (o deformación) conocida.

• Experiencias Sugeridas

- Intentar diseñar un experimento para medir o determinar la constante de un resorte. Necesitará resortes, masas (o pesas), una escala graduada.

- Construir un péndulo simple, a partir de un hilo de longitud (1 m aproximadamente), una bola de acero o balinera u otra no muy grande, (puede ser otro cuerpo). Analíticamente determinar la frecuencia y el período, tomando g = 9.38 m.s¯². Intentar medir el período de tal péndulo para oscilaciones con amplitud no muy grande (ángulo menor 15°) y confronte con los resultados calculados de T = 2-π√L/Q.

• Resolver los siguientes ejercicios individualmente, cualquier dificultad consultar

al tutor Una partícula tiene un M.A.S. respecto del punto x = 0. Para t= O tiene una elongación x = 0.37 cm y una velocidad v = 0. Si la frecuencia del movimiento es de 0,25 s"1: Determinar:

- a) el período T,

- la frecuencia angular

- la amplitud

- la elongación a un tiempo arbitrario t,

- la velocidad a un tiempo t

- la velocidad máxima

- la aceleración máxima

- la elongación para t = 3s

- la velocidad para t = 3s



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Respuestas:

- 4s; π/2 rad/s;

- +¡0.37 cm;

- 0.37 cos (πt/2) cm.;

- 0.58 sen (πt/2) cm/s;

- 0.58 cm/s;

- 0.91 cm/s²;

- cero;

- 0.58 cm/s Un péndulo simple de longitud = 1.0 m hace 100 oscilaciones completas en 204 segundos en cierto lugar. ¿Cuál es el valor de la aceleración de la gravedad en ese punto?. Sugerencia: Repasar los conceptos de frecuencia, y recordar la expresión para el período del péndulo simple. Respuesta: 9.5 m.s¯² ¿Cuál es la longitud de un péndulo simple cuyo período es exactamente 1 segundo en un lugar donde g = 9.81 m.s¯²?. (Atención: revisar las unidades de cada desarrollo). Respuesta: 0.78 m. La figura muestra la fuerza que ejerce el resorte al oponerse a la deformación en función del valor x de la deformación.



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Se ha probado experimentalmente (y usted puede comprobarlo) que antes de un punto "a" la fuerza satisface la ecuación F = k x . A partir de un cierto punto "b" (el límite elástico) ya no se recupera la longitud original al dejar de actuar la fuerza.

A partir de "c" ya no se puede estirar más y se deforma quedando deformado para siempre. En la parte entre 0 y a ¿qué significado tiene la pendiente de la recta?. Calcule el área sombreada, es decir área bajo la gráfica de F, ésta se interpreta como el trabajo realizado para deformarlo o energía potencial, ¿Coincide su resultado con lo estudiado?



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UNIDAD 3 Movimiento Ondulatorio


¿Quién no ha visto (aunque sea en televisión o cine) las olas del mar, que además han inspirado poesías y canciones?. Aunque el estudio de las ondas (olas) marinas se ha llevado a cabo durante mucho tiempo, su conocimiento es aún incompleto. También muchas personas hemos observado las ondas bidimensionales que se forman en un estanque, o depósito de agua en reposo sobre el que se arroja una piedra u otro objeto. Se intentará aclarar la situación que diferencia un movimiento ondulatorio y el movimiento de un cuerpo de masa m y velocidad V. Este último, al desplazarse transporta energía y momento lineal, y si se trata de una piedra o madero puede quebrar el cristal de una ventana. Se pregunta ¿es posible romper los cristales de un ventanal sin necesidad de golpearlos directamente?, ¿Existe "algo" que sin ser material puede desplazarse de un punto a otro transportando energía?. Pues la respuesta es si, y se recordará que la televisión ha mostrado lo que sucede a las edificaciones ubicadas en la cercanía del punto de explosión de una bomba o de un petardo. Se ha visto como no solamente se han roto los cristales internos y externos de las edificaciones, sino que también se producen otros destrozos y hasta pérdida de vidas humanas. Esta afirmación entraña la esencia del movimiento ondulatorio, puesto que podemos definir una onda como una perturbación que se propaga de un punto a otro en un medio material, pero sin que tenga lugar el transporte de materia o masa en el proceso. El mundo en que vivimos (y el universo) esta lleno de ondas de la más diversa índole. Así, las ondas electromagnéticas provenientes del sol proporcionan luz y calor a nuestro planeta, y sin ellas la vida en la tierra seria impensable. Las ondas sonoras nos permiten comunicarnos, y deleitarnos con sonidos agradables, y sin las ondas electromagnéticas de radio-frecuencia y altas frecuencias serían imposibles las telecomunicaciones, la televisión, la televisión vía satélite y muchas otras posibilidades tecnológicas.



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De esta manera puede apreciarse que los fenómenos ondulatorios son uno de los aspectos fundamentales de la realidad física y del mundo presente y futuro, aparte de que juegan un papel transcendental en la descripción de la estructura de la materia a escala atómica y subatómica. Se considera en esta unidad el estudio de las ondas en medios elásticos en general, y se dará a la vez la aplicación de los resultados a las ondas sonoras. Se dejará para la cuarta unidad la descripción de las ondas electromagnéticas en el rango óptico. Se dará así mismo una introducción breve de los fenómenos inherentes a los procesos ondulatorios: reflexión, refracción, y superposición de ondas. Horizontes • Aclarar el concepto de onda.

• Explicar el mecanismo de la propagación de una onda en un medio.

• Definir los parámetros inherentes a una onda.

• Explicar las características fundamentales de la reflexión, refracción, interferencia y difracción de las ondas mecánicas.

• Describir el sonido como fenómeno ondulatorio.

• Diferenciar las cualidades del sonido Núcleos Temáticos y Problemáticos

Clasificación de las Ondas

Características de las Ondas

Expresión Matemática que Describe un Movimiento Ondulatorio

Reflexión y Refracción de las Ondas

Nociones de Interferencia y Difracción de Ondas

Ondas Sonoras



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Proceso de Información 3.1 CLASIFICACIÓN DE LAS ONDAS Inicialmente se establece la clasificación de un movimiento ondulatorio, dependiendo de sí las ondas o, como también se les dice, las perturbaciones requieren de un medio material (elástico) para poder propagarse. El medio puede ser sólido, líquido, o gaseoso, u otro. De acuerdo a esta situación las ondas se clasifican en: 3.1.1 Ondas Mecánicas Se definen como las ondas que requieren de un medio material elástico para desplazarse, así por ejemplo, las ondas en el agua, las ondas sonoras, las ondas de una cuerda o un tubo de un instrumento musical, son ondas mecánicas. 3.1.2 Ondas Electromagnéticas Son aquellas que pueden propagarse en el vacío, por ejemplo la luz, las ondas de radio, los rayos x, los rayos ultravioleta, etc. Aunque se aclara de una vez que los rayos mencionados y otros (gama, cósmicos) no son más que ondas electromagnéticas de diferente frecuencia (o diferente longitud de onda). ¿y qué es una onda?, una onda puede definirse como una perturbación que viaja en un medio elástico transportando energía sin que haya desplazamiento de masa. De una vez se aclara que las ondas electromagnéticas, (la luz) se propagan en el vacío, es decir no requieren de un medio material para propagarse. Experiencia sugerida: en la superficie quieta de un depósito de agua ponga a flotar un objeto pequeño, como un corcho o algo más pequeño Seguidamente produzca una perturbación (o varias) golpeando la superficie del agua en un punto algo distante de la ubicación del corcho puede ser con un lápiz. Observe que se producen ondas en el agua que llegan hasta el corcho, pero que no lo desplazan, sino que lo hacen ejecutar un movimiento hacia arriba y hacia abajo, hacia adelante y hacia atrás, en el mismo punto donde se encuentra, y cada ola que llega a él le produce el mismo movimiento de vaivén vertical y horizontal. Al cesar las perturbaciones, podrá constatarse que el corcho ha permanecido en su posición inicial Pero ¿qué ha sucedido? Sencillamente que la perturbación producida (cualquiera) pone a vibrar cada partícula del agua, produciendo deformaciones que se van transmitiendo de cada partícula o molécula de agua a la siguiente.



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Si no hay corcho u objetos flotantes en el agua puede verse claramente un ejemplo de ondas en dos dimensiones, es decir en un plano: la superficie del agua. Tales ondas son círculos concéntricos que se extienden desde el punto focal donde se originaron las perturbaciones. Se dice que los puntos de tales círculos, conforman lo que se conoce como frentes de onda circulares (ver fig. 3.1).

Resumiendo el experimento se tendrá: al perturbar la superficie de un depósito de agua en equilibrio con la punta de un lápiz por ejemplo, producimos una perturbación (o puede ser un tren de perturbaciones) cuya forma al alejarse del punto perturbador o foco es la de círculos o circunferencias que se abren concéntricamente respecto al foco. Cualquier cuerpo flotante en reposo que se halle en la superficie de tal porción de agua será puesto en movimiento oscilatorio hacia arriba y hacia abajo conforme pasa cada onda. Tales ondas son un ejemplo típico de ondas circulares. También puede tomarse una cuerda (un resorte, una reata o cable) y fijar un extremo del mismo a un punto de una pared o poste, y con el extremo libre tensado proceder a batir ondas, desplazando el extremo libre hacia arriba y hacia abajo (o lo contrario) y atención: observando como se van moviendo o propagando los pulsos (u ondas) generados por el movimiento que transmite el humano, (ver fig. 3.2 y 3.3). Existe algo en común entre los movimientos del medio agua al producir una perturbación, y el medio cuerda al propagarse un pulso. Por ahora se deja la inquietud siguiente ¿cómo es el movimiento de las partículas del medio respecto del movimiento de la perturbación?.



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El ejemplo de la propagación de un pulso o serie de pulsos que viajan a lo largo de una cuerda sirve en este momento para relacionar o enseñar las ondas en una dimensión. También existen ondas en tres dimensiones. Como ejemplo se tiene un foco (bombilla) luminoso, el sol que alumbra toda una estancia, al generar la propagación de ondas electromagnéticas en todas direcciones.



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Resumiendo, pueden existir ondas unidimensionales, bidimensionales y tridimensionales dependiendo del número de dimensiones en que las respectivas ondas se propaguen. 3.1.3 Ondas Periódicas las ondas son periódicas, si las partículas del medio poseen un movimiento periódico al propagarse una perturbación en él. en caso contrario se dice que son periódicas o no periódicas. 3.1.4 Ondas Armónicas las ondas son armónicas, si las partículas del medio vibran o se mueven realizando un movimiento armónico simple al propagarse una perturbación armónica en él. En adelante estas serán las ondas que se tomaran para estudio. Naturalmente, las ondas que se propaguen en cualquier medio requieren de un foco emisor o fuente que produzca (y mantenga si es el caso) las perturbaciones, ondas o pulsos. Así por ejemplo quien tenga un radio .receptor o un televisor, recibe información porque existe una estación o emisora que envía continuamente desde una antena respectiva ondas electromagnéticas, que el receptor recibe y decodifica (o demodula). 3.1.5 Ondas Transversales y Longitudinales las ondas también se clasifican como transversales o longitudinales. se conocen como ondas transversales aquellas en las que las partículas del medio vibran o se mueven, perpendicularmente a la dirección de propagación. Ver fig. (3.2). Así por ejemplo en el caso de la cuerda cada partícula de ésta ejecuta un M.A.S., sobre el eje y mientras la onda viaja en dirección x. Son ejemplos de tales ondas: las ondas electromagnéticas, las ondas en una cuerda, etc. Observación: Las ondas en la superficie del agua no son completamente transversales ni longitudinales, puesto que al avanzar una perturbación, las partículas del agua mueven un cuerpo flotante tanto para arriba como para abajo y hacia delante y hacia atrás. Se denominan ondas longitudinales, a las que al propagarse en un medio, hacen vibrar a las partículas paralelamente a la dirección de propagación. Las ondas sonoras son ondas longitudinales así como las ondas de presión en tubos. Se



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tienen también ondas longitudinales fijando un extremo de un resorte y produciendo pulsos longitudinales estirando y aflojando el resorte cierta cantidad en el extremo libre, (como en la fig. 3.3). 3.1.6 Ondas Viajeras, o Progresivas y Ondas Estacionarías Las primeras como su nombre lo indica viajan en el espacio hasta donde la energía del foco emisor les permite, y las segundas, están limitadas a moverse en una región acotada. Por ejemplo una cuerda vibrante con sus extremos fijos (ver fig. 3.4).

3.1.7 Ondas Planas, Esféricas Las ondas podrían clasificarse también de acuerdo a la geometría de las fuentes que las originaron. Así cuando las ondas se propagan en una sola dirección, los frentes de onda son planos perpendiculares a la dirección de propagación, y tales ondas se conocen como ondas planas. Otro caso es el de las ondas esféricas, generadas por una fuente puntual o foco puntual. En este caso los frentes de onda son superficies esféricas concéntricas con el punto focal. Por último si la fuente es lineal (como un hilo o alambre) las ondas se denominan cilíndricas y los frentes de ondas son superficies cilíndricas concéntricas con la fuente lineal. (Ver ftg. 3.5).



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Finalmente, debe relacionarse que no todas las ondas son de beneficio para el ser humano, puesto que existen ondas sísmicas producidas durante movimientos telúricos tales como terremotos o temblores de tierra, y ondas marinas originadas por maremotos que producen efectos devastadores. Con todo lo dicho sobre la clasificación de las ondas, debe tenerse atención, particularmente si las ondas son mecánicas (que requieren de medio elástico para propagarse) o electromagnéticos y si son transversales o longitudinales. Las ondas electromagnéticas son ondas transversales y pueden ser viajeras o estacionarias, y ajustarse a cualquier geometría de la fuente. A partir de ahora el interés se enfoca a las ondas mecánicas que sean periódicas y armónicas. 3.2 CARACTERÍSTICAS DE LAS ONDAS Los parámetros o características que se definen a continuación son inherentes a cualquier movimiento ondulatorio. 3.2.1 Velocidad de Propagación o Velocidad de Onda El movimiento ondulatorio puede transmitir energía a distancias considerables, sin que haya movimientos de la materia misma a esa distancia. Así se define la velocidad de propagación en cierta dirección determinada, como la distancia que avanza la perturbación en esa dirección en la unidad de tiempo. Por ejemplo si se trata de una perturbación (un pulso) que avanza a lo largo de una cuerda fig. 3.6, y en un tiempo t pasa del punto P al P recorriendo la distancia x, la velocidad de propagación será

tXV =



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Notar que al transcurrir el tiempo la forma del pulso no varia siendo esta una característica esencial del movimiento ondulatorio. Observación: Se vuelve a insistir en que durante la propagación de una perturbación no son las partículas del medio las que se propagan desplazándose de un lugar a otro, lo único que se propaga es la energía del foco de vibración, conservándose las partículas en sus posiciones medias. Recuerde la situación del corcho flotando en el agua, donde las ondas al pasar hacen "bailar" el corcho, pero sin desplazarlo junto con ellas. Concretando: las propiedades del medio determinan la velocidad de una onda a través de ese medio. Dichas propiedades son la inercia del medio y la elasticidad del medio. Todos los medios como el agua, el aire, el acero, etc., poseen las propiedades anotadas. Se dan enseguida, las expresiones para las velocidades de propagación de las ondas en algunos medios: • Para una cuerda tensa la velocidad de propagación de las ondas es: V = √T/µ (3.1) donde T es la tensión de la cuerda dada en newtons y (1 la masa por unidad de longitud de la cuerda. Por ejemplo µ puede tener un valor de 0.24 kg/m o si es dada la longitud L = 15 m de la cuerda y su masa = 2.5 kg. Entonces

mkg

mKg 13.0

150.2

==µ

La velocidad del sonido en un gas: esta dada por: V = √B/p (3.2) donde p es la densidad y B el módulo de compresibilidad del medio (o módulo de Young). Esta constante puede ser denotada mediante otras letras tales como E. pero significa lo mismo; compresión del medio por unidad de deformación y se mide en newton/ (metro cuadrado) abreviado N m'2 como p se mide en kg.m−³ las unidades se dan para V en m.s¯¹.



66

3.2.2 Longitud de Onda Es la distancia que avanza una onda (perturbación) en un tiempo igual al período de vibración del medio (o de las partículas del medio) Se denota con la letra X (lambda) y se mide en m, cm: mm, etc. así: λ = VT (3.3) También se define la longitud de onda como la distancia que separa dos puntos de una onda que están vibrando en fase en un instante dado. Ver fig 3.7.

3.2.3 Frecuencia Es el número de vibraciones (u oscilaciones del medio) en la unidad de tiempo. Se denota por f; como f = 1/T se tiene:

fV

=λ o fV *λ= (3.4)

3.2.4 Crestas y Valles. Nodos y Antinodos Se acostumbra a llamar a la parte superior de la onda cresta, y a la parte inferior valle, ver fig. 3.8. También se definen los nodos y antinodos donde el nodo (N) es el punto del medio que oscila con mínima elongación (por lo general cero) y antinodo (A), el punto que oscila con máxima elongación. La fig. 3.8a representa la posición de una onda armónica después de tres períodos consecutivos, o sea, luego de que la fuente emisora ha realizado tres oscilaciones completas. Tales posiciones se han demarcado como A, B y C, y la primera onda se desplaza desde O hasta R, la segunda se desplaza desde O hasta Q, y la tercera desde O hasta P.



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El significado físico del período y la frecuencia puede ser aclarado diciendo que:

• Entre perturbación y perturbación transcurre un intervalo de tiempo igual, que es exactamente el período de vibración de la fuente generadora de ondas. Así para que una onda ocupe la misma posición que la que va inmediatamente antes, deberá transcurrir el mismo intervalo de tiempo.

• La frecuencia representa el número de ondas producidas en cada segundo y por lo tanto corresponde a la frecuencia de oscilación de las partículas del medio.

Como usted puede probarlo, la frecuencia y la longitud de onda son inversamente proporcionales, para una misma velocidad de propagación. 3.2.5 Elongación Es la posición de un punto del medio en un instante de tiempo dado. 3.2.6 Amplitud Es la máxima elongación de los puntos del medio y por ende es la misma amplitud del foco emisor de ondas.



68

3.2.7 Frente de Onda (Superficie de Onda) Puede definirse como el lugar geométrico de las partículas del medio, a las cuales la perturbación ha llegado simultáneamente. Por ejemplo las circunferencias de la figura 3.1. Todas las partículas situadas en un frente de onda vibran en fase, o lo que es lo mismo se encuentran en el mismo estado de vibración puesto que comenzaron a oscilar simultáneamente. Asociado con el concepto de frente de onda existe el de rayo. el cual se define como la recta o conjunto de rectas perpendiculares a un frente de onda dado en cada punto, (ver fig. 3.1) los rayos por lo general señalan gráficamente la dirección del movimiento de las ondas. 3.3 EXPRESIÓN MATEMÁTICA QUE DESCRIBE UN MOVIMIENTO

ONDULATORIO La función matemática (una de las posibles) que describe una onda armónica simple que se propaga en la dirección + x es la siguiente:

λπ xTtAy −= 2cos (3.5)

Que toma la forma:

xtt

AYλππ 22cos −=

Y = A cos (ωt – kx) (3.6) al analizar la ecuación (3.6), identificamos a y: como la elongación de un punto del medio; A: la amplitud de la onda (o del foco emisor) y de las vibraciones de las partículas del medio; ω: la frecuencia angular de la onda la cual es igual a 2π/T siendo T el período y la frecuencia f = 1/T; λ: la longitud de onda y k = 2π/λ el número de onda o vector de propagación que indica cuantas longitudes de onda (caben) o están contenidas en una longitud 2n. Si se compara (3.5) o (3.6) con (2.11). x = A cos ωt

λπω 2cos −= tAy



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se observa que en (2.11), x depende solo de t y en (3.6), y depende tanto de t (tiempo) como de x (posición de la perturbación en el instante t). Ejemplo: Un alambre de acero de 6 m de longitud tiene una masa de 60 g y está sometido a una tensión de 1000 N. ¿Cuál es la velocidad de propagación de una onda transversal en el alambre?. Solución: la velocidad de propagación de una onda en un alambre (o cuerda) se da por: V = √ T / µ donde T es la tensión a la que está sometida la cuerda, en este caso T = 1 000 N, y µ es la masa por unidad de longitud de la cuerda. Como m = 60 g = 0.06 kg. y ∫ = 6 m, entonces:

1100606.0 −== KgmmKgµ así:

V = √1000 Nm / 100 kg = √10m².s¯² = 3.16 m.s ¯¹ Ejemplo: La ecuación de cierta onda transversal es: y = 2 cos 2π ( t / 0.01 – x / 30 ), donde "x" e "y" se miden en centímetros y t ene segundos, Determinar: la amplitud; la longitud de onda; la frecuencia; y la velocidad de propagación de la onda. Solución: al comparar

3001,02cos2 xTy −= π

con

λπ XTtAy −= 2cos

podemos identificar que: La amplitud A es igual a 2 cm.

La longitud de onda λ es igual a 30 cm.



70

La frecuencia HzssT

f 10010001.011 1 ==== −

El período T = 0.01 s. La velocidad de propagación es: V = λ f (según (3.4)) = 30 cm * 100 s¯¹ = 3000 cm s¯¹ = 30 m s s¯¹ Nota La Velocidad de Propagación de la Onda es diferente de la velocidad con que oscilan las partículas del medio, las cuáles al realizar un M.A.S. se mueven con velocidad:

)**2(222)(max tfSenTtsentSenAV πωπωωω −==−=

y como se explicó en la unidad anterior la velocidad puede ser igual a cero (en los puntos donde x = +A) y máxima igual a ± ωA en la posición de equilibrio. La velocidad máxima es

AT

V π2max =

Vmax = 1256.63 cm s¯¹ que es diferente de V = 30 m s¯¹.

Volviendo al problema de la onda 3001.0

cos2 Xty −= y puede reescribirse

Como 302

01.022 xtCosy ππ

−= de donde como se recordará: fT

πππ 2201.0

2−=

ky ===λππ 2

302

el numero de ondas, finalmente, y = 2 cos (2π f t – kx)

que es la ecuación (3.6) donde el numero de ondas

12302 −== cmk

λππ

y se puede apreciar directamente la equivalencia de las

escrituras para una onda dada por: (3.5) y (3.6).



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Problema: Intente demostrar que la onda dada por:λπ2CosY = (x – Vt) es

equivalente a la onda escrita como (3.5). Sugerencia: recordar la definición para V dada por (3.4) y que cos (∝) = cos (-∝). Ejemplo: Siempre que la amplitud sea lo suficientemente grande, el oído humano puede percibir ondas longitudinales (sonoras) comprendidas en el intervalo de valores de frecuencia desde fi=20 Hz hasta f2=20000 Hz aproximadamente. Calcular las longitudes de onda correspondiente a las frecuencias para ondas en el aire; para ondas en el agua. Solución: debe conocerse la velocidad del sonido tanto en el aire como en el agua. Así

Vair = 340ms¯¹ (a 15° C = a 15 grados centígrados de temperatura).

VH2o - 1450ms¯¹ ( a 15° C). Así como conocemos V = λ f, se calcula la longitud de onda. Para el aire: VAIR = λ1, f1 de donde

11720340340

1 1

1

λλ ==== −

−

ms

msfVairair

Vair = λ2, f2

msms 017.0

200003402 1 == −λ

así la longitud de onda de las ondas sonoras que el oído puede percibir en el aire están comprendidas en el rango: 17 mm ≤ X ≤ 17m que corresponde al rango de frecuencias: 20 Hz ≤ f ≤ 20000 Hz



72

para dichas ondas en el agua:

mms 5.7220

14501 1 == −λ

mmms 25.70725.02000014502 1 === −λ

y el intervalo de longitudes de onda permitidas es: 7.25 mm ≤ λ ≤ 72.5 m Nota Las ondas sonoras cuya frecuencia es menor que 20 Hz se conocen como infrasónicas, y aquellas cuyas frecuencias son mayores de 20*103hz se denominan ultrasónicas. Ejemplo: La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda es: y = 2 cos [π (0.5x - 200 t)] en la que X y Y se miden en centímetros y t en segundos, Determinar la amplitud, longitud de onda, frecuencia, período y velocidad de propagación; hacer una gráfica de la forma de la cuerda con los siguientes valores del tiempo: t = 0; 0.0025 y 0.005 segundos, para hacer estas gráficas debe mantener los valores de X fijos por ejemplo X = 0 que es el extremo izquierdo de la cuerda. El resultado del gráfico es la representación de la forma de la cuerda en los instantes dados; si la masa por unidad de longitud de la cuerda es de (i = 5 g/cm), calcular la tensión de la cuerda. Sugerencia: como la velocidad de propagación de la onda en la cuerda es: V = √T / µ - y por otro lado V = λ f, del apartado a) puede calcular V y luego calcular T (tensión) elevando al cuadrado la igualdad (3.1). 3.4 REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE LAS ONDAS Todo tipo de ondas, experimenta los fenómenos de reflexión y refracción, así como los de interferencia y difracción. El fenómeno de la polarización solo lo experimentan las ondas que pueden vibrar en planos arbitrarios respecto de la dirección de propagación.



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3.4.1 Reflexión La reflexión ocurre cuando una onda o tren de ondas incide sobre las superficies de separación de dos medios distintos. Puede ser analizada por comodidad la reflexión desde el punto de vista unidimensional. En una dimensión resulta de interés lo que ocurre cuando un tren de ondas se propaga de izquierda a derecha sobre una cuerda, cuyo extremo derecho permanece inmóvil o fijo. Tal como ocurre cuando una pelota choca contra una pared rebotando y moviéndose en dirección opuesta o corno podría decirse "reflejándose", así el tren de ondas en la cuerda cambia de dirección al chocar contra el obstáculo que mantiene fijo su extremo derecho. En las figuras 3.9a y 3.9b se ilustra la situación observándose que el pulso luego del choque con el punto B o soporte fijo, regresa a la izquierda. El cambio de dirección de la onda luego del choque se conoce como reflexión de la onda. Y a la onda que se devuelve se denomina onda reflejada. Características de la Reflexión Unidimensional • La forma o perfil de la onda incidente y reflejada permanece invariante, es

decir, no se altera.

• Las ondas incidente y reflejada tienen igual velocidad de propagación.

Fig. 3.9a Onda Incidente con Extremo Fijo en B

Fig. 3.9b Onda reflejada en el extremo fijo B.

Notar el cambio de fase de cresta a valle.



74

Cuando el extremo derecho de la cuerda permanece fijo (constituyéndose en un nodo) la onda reflejada experimenta un cambio de fase de 180° ( o π) especto a la onda incidente lo cual quiere decir que si la onda llegó como una cresta se refleja como un valle que se propaga así desde B hasta el origen. (Fig. 9a y 9b). Un cambio de fase en TI cambia el signo de la elongación de los puntos del medio que vibran al pasar la onda, así: y = A cos (ωt ± π) = A [cos ωt cos π + sen cot sen K] = A cos ωt cos π y = - A cos ωt lo cual justifica matemáticamente el cambio en la reflexión de cresta a valle (o lo contrario) para el tren de ondas reflejado. La onda reflejada se escribirá como: y = A cos [(ωt - k x) + π], donde (ωt - k x) puede denotarse como α Si el extremo derecho de la cuerda no esta fijo a un soporte como en las figuras 3.9 sino que puede moverse u oscilar libremente de arriba hacia abajo tal como se aprecia en la Fig. 3.10, se observa que la onda que llega al extremo derecho se



75

refleja sin cambio de fase, o se refleja sin invertirse. En otras palabras si la onda llega por un valle se refleja por un valle, si llega por una cresta se refleja por una cresta. El estudiante puede asociarse con otros compañeros para tratar de observar los fenómenos aquí descritos tanto para la reflexión en una cuerda con extremo fijo como para una cuerda con extremo libre. También pueden utilizarse resortes, u observar el comportamiento de las ondas en el agua. 3.4.2 Refracción En el caso de la reflexión es posible batir ondas en una cuerda y percibir si hay cambios de fase (o de dirección en la vibración de las partículas del medio) en las ondas reflejadas, mediante una cuidadosa observación, o tomando una secuencia de fotografías del proceso. Para el caso de la refracción en una dimensión puede utilizarse una metódica de propagación de ondas en cuerdas de diferente grosor o densidad que se han soldado entre sí. (cuando las cuerdas son de nylon o material sintético es posible por calentamiento fundirlas o soldarlas, quedando el punto de unión aproximadamente liso). El fenómeno de la refracción consiste en el cambio de velocidad de un tren de ondas cuando se propaga en un segundo medio. Para fijar ideas en el proceso de la refracción se considera la existencia de tres trenes de onda (o tres frentes de onda, o de tres rayos asociados a tales frentes) que se llamarán en su orden: onda incidente, onda transmitida v onda reflejada. Los ejemplos reales de tal situación, pueden ser la incidencia de la luz solar (u otra) sobre la superficie de separación del aire-vidrio, o lo contrario; o la incidencia de ondas sonoras del medio aire, sobre otro medio más denso (o menos denso como otro gas), como un sólido o un líquido. En una dimensión se presenta cuando una onda que se propaga a lo largo de una cuerda delgada, llega al punto de unión con otra más gruesa (se asume que el movimiento de las ondas es de izquierda a derecha), y tiene lugar una transmisión parcial de la energía de la onda incidente a la cuerda más gruesa, y una reflexión a partir del punto de unión. Hay una onda que regresa. Características Fundamentales de la Refracción Cuando un frente de ondas, (tren de ondas, o rayo) propagándose de izquierda a derecha incide en la frontera de separación de dos medios diferentes tiene lugar: • Una transmisión parcial de la onda incidente al segundo medio (a la derecha

del punto B, en la figura (3.1 1a).



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• Una reflexión parcial de la onda incidente en el primer medio.

El resultado experimental del caso correspondiente a la propagación de un tren de ondas de un medio menos denso a uno más denso, (pulso que se propaga de una cuerda delgada a otra más gruesa), se muestra en la figura 3.11b de donde además puede verse que: • Tanto la amplitud de la onda reflejada, como la amplitud de la onda

transmitida son menores que la amplitud de la onda incidente así: Sí AI : es la amplitud de la onda incidente

AT : es la amplitud de la onda transmitida, y

AR : es la amplitud de la onda reflejada

AI > AI y

AI > AR

La onda reflejada conserva la misma velocidad (y la misma longitud de onda) de

la onda incidente es decir VI = VR, mientras que la onda transmitida se propaga

con una velocidad diferente a la de la onda incidente VT ≠ VI, la velocidad de propagación de la onda transmitida depende las características del medio. • La onda reflejada sufre un cambio de fase de 180° (TT), mientras que la onda

transmitida no cambia de fase al pasar al segundo medio.



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Finalmente, el caso de un tren de ondas que viaja por una cuerda más pesada, transmitiéndose a otra cuerda más liviana puede resumirse como sigue (fig. 3.11c). • Parte de la onda se transmite y parte se refleja, a partir de la frontera de

separación. • Las amplitudes de las ondas transmitida y reflejada son diferentes de la de la

onda incidente. • La velocidad de la onda incidente y la reflejada son la misma por moverse en el

mismo medio, la velocidad de la onda transmitida es diferente y depende de las características del medio: inercia-elasticidad.

• En este caso la onda reflejada no sufre cambio de fase. Para Recordar • Reflexión: Cambio de dirección que experimenta una onda al chocar con un

obstáculo.

• Refracción: Es el cambio de velocidad de propagación que experimenta una onda al moverse en un segundo medio.

• Caso de la Reflexión: Cuando solo hay reflexión en la propagación de un movimiento ondulatorio, la velocidad de la onda incidente y la reflejada son iguales, igual sucede con la longitud de onda.



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• Caso de la Refracción: En la refracción, la amplitud de onda reflejada y transmitida es diferente de la de la onda incidente. La onda reflejada no cambia el valor de la velocidad respecto de la onda incidente pero puede cambiar su fase. Hay variación en la longitud de la onda transmitida (o refractada).

La reflexión y la refracción para un tren de ondas en dos dimensiones se muestra en la fig. 3.12.

3.5 NOCIONES DE INTERFERENCIA Y DIFRACCIÓN DE ONDAS 3.5.1 Interferencia Sucede cuando dos trenes de ondas se mueven uno al encuentro del otro y se encuentran en cierto punto E. Para fijar ideas supóngase que a lo largo de una cuerda se propagan dos pulsos en direcciones opuestas pero acercándose, y como se afirmó encontrándose en cierto punto. Las figuras (3.13) y (3.14) presentan un panorama del hecho planteado. En la figura (3.13) se aprecian dos trenes de ondas sobre la cuerda moviéndose al encuentro, y en la fig. (3.14(a)) dos pulsos que se mueven al encuentro y lo hacen en el punto E fig. (3.14(b)). Durante el encuentro de los pulsos, las partículas de la cuerda se mueven de forma complicada pero luego una vez se cruzan los pulsos, cada uno se mueve conservando su forma y su velocidad de propagación y además en la dirección original.



79

En el punto de encuentro E, cada pulso se mueve como si el otro pulso no existiera, produciendo la configuración que se muestra en la fig. (3.14). La situación del punto E, se define diciendo que dicho punto al encontrarse las ondas oscila sumándose las elongaciones de los puntos incidentes. Lo anterior es válido (la suma de las elongaciones) para cualquier punto de la cuerda donde quiera que los dos puntos se encuentren. Cuando los pulsos (u ondas) se encuentran, se dice que se superponen (o suman) y para tales proceso es válido el principio de superposición de la teoría de las ondas: "cuando dos o más perturbaciones interfieren o se superponen en un medio dado, la elongación de la onda resultante es la suma algebraica (con los signos respectivos) de las elongaciones de cada una de las ondas participantes."

Como aplicación considérese la Fig. 3.15, donde se puede observar que el punto de encuentro de dos pulsos cuyas fases difieren 180° (TI) o valle contra cresta, la elongación resultante en el punto de encuentro es nula. Una de las aplicaciones más importantes de la interferencia de ondas es la obtención de ondas estacionarias, que tiene lugar cuando dos trenes de ondas de la misma amplitud y frecuencia se mueven en direcciones opuestas. En tal caso resultan puntos del medio (cuerda, gas, agua) en tal caso resultan puntos del medio que vibran con la máxima elongación ya que en tales puntos la suma



80

algebraica de las elongaciones resulta ser un máximo denominándose dichos puntos como crestas, vientres o antinodos, y existen también otros puntos cuyas elongaciones resultan ser nulas, dado que la suma algebraica de las elongaciones en tal punto es igual a cero. Estos puntos se conocen como nodos. Cuando y donde se producen crestas o vientres se dice que las ondas interfieren constructivamente, y cuando y donde se obtienen los nodos se dice que las ondas interfieren destructivamente. Si se trata de una cuerda en la que se propagan pulsos en direcciones opuestas ésta debe tener sus extremos fijos y los extremos fijos de una cuerda corresponden a puntos nodales o puntos de elongación nula, donde se produce interferencia destructiva.

Cuando y donde se producen las crestas (o vientres), se dice que las ondas interfieren constructivamente, y cuando y donde se obtienen los nodos se dice que las ondas interfieren destructivamente, estacionarias se da en Fig. 3.16.



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los vientres y nodos son puntos fijos del medio, de modo que una onda estacionaria no parece progresar o propagarse en el espacio y el tiempo, por tal razón tales ondas se denominan estacionarias. en dos dimensiones no se habla de puntos centrales y nodales sino de lineas nodales y centrales. 3.5.2 Difracción ¿Ha notado usted como en la noche a pesar de estar las puertas y ventanas cerradas y los bombillos apagados, la luz de una habitación se "filtra" por las rendijas y espacios que estén presentes?, ¿ha pensado porque estando a la vuelta de una esquina o calle usted escucha cuando un vehículo frena en la esquina próxima vecina?, o ¿por qué escucha en la carrera el pito del carro que va por la calle, antes de llegar a la esquina?. Estos interrogantes los responde la propiedad de las ondas de difractarse. ¿En qué consiste la difracción?. Con el ánimo de no extendernos demasiado, se dirá que la difracción es el fenómeno o conjuntos de fenómenos, se presentan cuando un proceso ondulatorio encuentra un obstáculo, cuyas dimensiones no sean demasiado grandes comparadas con la longitud de onda de la perturbación. En la reflexión se aclaro que una onda al encontrar un obstáculo cambia la dirección, pero la situación cambia notablemente cuando dicho obstáculo es de dimensiones pequeñas. El experimento que se sugiere a continuación, arrojará sin dudas, claridad sobre el asunto. En una cubeta o tina, vierta agua (o si hay disponibilidad de un estanque o alberca) y sobre la superficie del agua en un extremo de la cubeta, produzca ondas planas, golpeando el agua con una regla de madera a lo largo de la misma, luego de observar la propagación de los frentes de onda planos en el agua coloque



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dos obstáculos, o barreras de manera que formen una ranura entre ellos, como se aprecia en la fig. (3.17). De nuevo produzca ondas planas y observe cuidadosamente lo que sucede con las ondas al encontrar las barreras y en el espacio entre las mismas. Seguramente notará que a partir de la ranura se generan ondas circulares, cuyo foco se ubica (aproximadamente) en la parte central de la ranura.

Si le es posible, aumente el espaciado entre las barreras (pueden ser bloques o láminas de madera de tamaños diferentes) y vaya observando lo que va aconteciendo a medida que la ranura aumenta cada vez más su longitud. Seguramente verá que cuando la ranura sea casi de la misma longitud que la regla que produce las ondas, las ondas pasan por la ranura casi sin alteración, es decir sin difractarse. Otra definición es: cuando una onda pasa cerca de un obstáculo, o a través de un orificio, se produce un cambio en la curvatura de la onda. Este fenómeno se conoce como la difracción de la onda. La fig. (3.18) ilustra el caso de la difracción producida por una rendija cuyo ancho es del tamaño de la longitud de la onda incidente, y en la ranura F1, los puntos de ésta, se constituyen en nuevos focos emisores de ondas secundarias. AB es una barrera con la abertura F1 y F el foco emisor de ondas. La Fig. 3.19 muestra el caso cuando el tamaño de la abertura es mayor o comparable a la longitud de onda del tren de ondas incidentes y como se aprecia, este tren de ondas resulta muy poco afectado por la ranura. Existe un principio físico basado en el concepto de frente de onda, que permite explicar a cabalidad los fenómenos ondulatorios de interferencia, refracción, reflexión y difracción conocida como principio de Huygens. Fue enunciado por Christian Huygens (1629 - 1695) y se enuncia así:



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"cada punto de un frente de onda se constituye en un foco secundario emisor de ondas en la dirección inicial de propagación".

3.5.3 Polarización de una Onda Se dice que un movimiento ondulatorio esta polarizado en un plano, cuando todas las partículas del medio están vibrando en un mismo plano. Al plano que contiene el movimiento vibratorio se le conoce como plano de vibración, (fig. 3.20).

Atención: se aclara que la polarización es un fenómeno inherente solamente a las ondas transversales por lo tanto las ondas longitudinales no pueden ser polarizadas.



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3.6 ONDAS SONORAS El sonido es una onda mecánica y longitudinal puesto que requiere de un medio material (como el aire, un sólido, o un líquido) para propagarse, y las partículas del medio vibran en la dirección de propagación de la perturbación sonora. Las ondas sonoras no se propagan en el vacío. Los seres vivos requieren de un aparato auditivo para percibir o recepcionar el sonido, aunque existan tanto un foco emisor de ondas sonoras y un medio que propague las vibraciones sonoras. 3.6.1 Fuentes Sonoras ¿Qué fuentes sonoras puede usted mencionar? Por ahora diremos que para obtener sonidos existen muchos materiales o fuentes, entre otros la vibración de una cuerda, de columnas de aire y varillas, así como membranas (tambores), placas metálicas (platillos), etc; bueno cualquier cuerpo que pueda vibrar y este en contacto con un medio elástico puede considerarse una fuente de sonido. Los sonidos que el oído puede percibir dependen de las vibraciones de presión que el aire experimenta al transmitirlos, tales variaciones de presión se conocen como compresiones y rarefacciones. Se encuentran que la máxima diferencia de presión que el oído humano puede experimentar es alrededor de 28 NrrT2. Para el sonido existe la secuencia tal que exige en su orden: producción del sonido (fuente). Transmisión del sonido (medio elástico), recepción del sonido (aparato auditivo). 3.6.2 Características del Sonido Como cualquier movimiento ondulatorio, el sonido se caracteriza por su velocidad de propagación, su frecuencia, período, longitud de onda, amplitud, fase, etc. Las Ondas sonoras también experimentan los fenómenos de reflexión, refracción, interferencia y difracción expuestos anteriormente. Velocidad del Sonido Como lo demuestra el experimento la velocidad de propagación del sonido en un medio depende de la elasticidad del medio y de inercia del medio (dada por la densidad p). En los sólidos la velocidad del sonido se da por: V = √ Y/p, siendo Y el módulo de elasticidad y p la densidad del medio. En los líquidos y gases la velocidad se



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expresa por: V = √ B/p siendo B el módulo volumétrico elasticidad del medio que da una medida de la compresibilidad de la materia. En el caso de un gas el módulo volumétrico de elasticidad B, así como la densidad p, dependen de la temperatura y la presión, por lo tanto la velocidad del sonido varia significativamente cuando dichos parámetros cambian considerablemente. La velocidad del sonido puede calcularse también conociendo la distancia recorrida, y el tiempo empleado en recorrerla por la conocida expresión V = x/t. También puede obtenerse a partir de los valores de la longitud de onda y frecuencia (período) del sonido, por la fórmula: V = λf = λ/t. A continuación se presenta una tabla con los valores del sonido en diferentes medios a diferentes temperaturas.

Ejemplo: Se deja caer una piedra desde lo alto de un pozo profundo vacío. El sonido se escucha 6.5 s más tarde si la velocidad del sonido es 341.37 ms'1, calcular la profundidad del pozo. Solución: al caer la piedra, recorre una distancia vertical igual a la profundidad del pozo y gasta un tiempo tp en recorrer esa altura. El sonido del choque de la piedra con el fondo recorre hacia arriba la misma altura pero moviéndose con Vj = constante y empleando otro tiempo. El movimiento de la piedra es uniformemente acelerado al caer con a = g (la altura se mide del borde del pozo al fondo). Por lo tanto:

2

21 gtpH = (V0 = ە para la piedra) (A)

VELOCIDAD MEDIO TEMPERATURA

Metros / seg Pie / seg Aire

Hidrógeno Oxigeno

Agua Plomo

Aluminio Cobre Hierro

Valores extremos Granito

Goma vulcanizada

0 0 0 15 20 20 20 20 0

331.31286 317.214501230510035605130

600054

1087 4220 1041 4760 4030 16700 11700 16800

19700 177



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H = Vs ts (para el sonido al subir) (B) Ahora el tiempo de bajada de la piedra y el de viaje del sonido juntos es: tp + ts = 6.5 s de (C) tp = 6.55 - ts y se reemplaza en (D) donde T = 6.5 s (tiempo sumado de la piedra y sonido). Igualando B y D se obtiene:

VstsgTsgTtsgTtsgT ==+− 222

21

21

que se escribe:

021)(

21 22 =+− gTsVsgTtsgTs

multiplicando la ecuación por g2

≠ 0 se llega a

022 22 =+− TgVsTsTs

y haciendo la notación

bTgvs

=+ 22 2

y CT =2

Ts² - bts + c = 0 o, x² - bx + c = 0 3.6.3 Cualidades Inherentes del Sonido Las cualidades del sonido son las características del mismo que permiten diferenciar unos sonidos de otros. El sonido posee al menos tres cualidades: intensidad, tono y timbre. Intensidad: Entre las características del sonido hay por supuesto, las que permiten distinguir sonidos fuertes o suaves, como los gritos de alguien pidiendo auxilio, o



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los susurros cuando una persona habla al oído de otra; también hay sonidos graves como el de un bajo de guitarra (o contrabajo) y agudos como el de un pito de arbitraje. Así mismo el oído puede distinguir si el sonido provienen de un violín, piano u otro instrumento, y evaluar que tan lejos o cerca esta localizada una fuente de sonido. Los sonidos son muy variables, al menos los que el oído puede diferenciar, así existen ruidos, estruendos, murmullo, susurros, rugidos, aullidos, melodías, silbidos, etc. Se conoce como la intensidad I de una onda que se propaga a la cantidad media de energía transportada por la onda, por unidad de área y por unidad de tiempo, a través de una superficie perpendicular a la dirección de propagación así:

smjoule

tiempoUnidadEnergíaensidad

111

)(int 2=

−=

pero )(1111 Potenciawwatiosj

==

se demuestra que la intensidad es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud A2 y de la frecuencia f2, a la velocidad de propagación V y a la densidad del medio p así:

VfpAVfpAI 222222 ≅= π como se anotó 3.14 También se demuestra que la amplitud de las vibraciones de las moléculas del medio disminuye inversamente con la distancia A ≅ 1/r, donde r es la distancia de la fuente a un punto dado del medio. Nivel de Intensidad Como el intervalo de intensidades a las cuales es sensible el oído es considerablemente grande (ver tabla No. 3.2), resulta más conveniente utilizar otra escala en vez de la escala natural definida por:

211mwI =



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0IILogB = en bels (3.15)

B es la intensidad relativa de un sonido en bels entre la intensidad de un sonido expresada en w/m² y la intensidad lo de otro sonido que se toma como referencia y medida también en w/m². El sonido que se toma como referencia tiene intensidad lo = 10-¹² w/m² que es el sonido de menor intensidad que puede percibir el oído humano. En lugar de la escala natural se ha introducido la escala definida por:

IILogB == 10 decibels (db) (3.16)

debido a que el bel ha resultado una unidad demasiado grande, se ha sustituido por el decibel.

DESCRIPCIÓN DEL RUIDO NIVEL EN DB

Umbral de sensación desagradable Taladro de romper pvimento Un tren en marcha Calle de mucho trafico Conversación ordinaria Motor de un automóvil Radio transistor a bajo volumen Secreto al oído Murmullo de las hojas Umbral de audición

120 95 90 70 65 50 40 20 10 0

Ejemplo: calcular en db la intensidad de un sonido cuyo valor es I = 4.6*1 0-6 w/m2.

Solución: como 12

6

1010*461010 −

−

== LogIILogB

La tabla 3.2 muestra los niveles de intensidad de algunos ruidos en decibeles, la intensidad se denomino así en honor de Alexander Graham Bell inventor del teléfono. Si la intensidad de una onda sonora es igual a lo o sea 1010-¹²w/m², su nivel de intensidad es cero. Las máxima intensidad que el odio puede tolerar es de 10-4w/cm².



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Umbral de Frecuencia El rango de frecuencias que el oído puede percibir están comprendidas como se anoto antes entre 20 Hz y 20000 Hz. El oído no reconoce los sonidos que están por debajo de 20 Hz y las ondas respectivas se conocen como intrasónicas, las cuales se originan cuando hay terremotos o temblores de tierra. Las ondas de frecuencia superiores a 20000 Hz tampoco son percibidos por el oído y se conocen como ondas ultrasónicas. Animales como los murciélagos y las marsopas producen y utilizan para orientarse y encontrar alimento. La máxima sensibilidad del oído humano corresponde a frecuencias comprendidas entre 100 vib/s y 2000 vib/s o Hz. Tono o Altura Es la característica mediante la cual una persona puede distinguir sonidos agudos y graves. El tono se define por la frecuencia del sonido, así entre mayor sea la frecuencia del sonido, se dice que el sonido es más agudo o alto y entre más pequeña la frecuencia del sonido, se dice que éste es más grave o bajo. Timbre Cuando una cuerda vibra libremente luego de ser pulsada, ésta vibra con muchas frecuencias. Es raro que una cuerda vibre con una sola frecuencia. Así en una cuerda fija en sus extremos y puesta a vibrar, junto con la onda de frecuencia fundamental, también existen ondas de frecuencias múltiples dadas por:

LV2

, LV

22

, LV

23

(3.17)

La frecuencia más baja se denomina fundamental y es igual a = f,, siendo L la longitud de la cuerda y v la velocidad de propagación. Las otras frecuencias se conocen como armónicos. Las frecuencias de estos últimos son por lo consiguiente 2fi, 3fi, 4fi y así sucesivamente. Estas frecuencias forman una serie de armónicos donde la primera constituye el primer armónico, la frecuencia 2fi es el segundo armónico y así sucesivamente. El timbre de un sonido esta determinado por el número de sus armónicos presentes y por sus intensidades respectivas. En la fig. 3.21 se observa una cuerda sometida a tensión y fija en sus extremos, los cuales son nodos, vibrando con: (a) un vientre y dos nodos; (b) dos vientres y tres nodos; (c) tres vientres y cuatro nodos; (d) cinco vientres y seis nodos.



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De esta forma cuando solo hay un vientre se tiene que 1

2L=λ ; cuando hay dos

vientres 2

2L=λ ; cuando hay tres vientres

32L

=λ y así sucesivamente de modo

que: nL2

=λ (donde n = 1, 2, 3...) donde n es el número de vientres.

El sonido fundamental que la cuerda puede emitir corresponde al caso en que vibra con un solo vientre y dos nodos; y en general la cuerda puede vibra emitiendo cualquier armónico del sonido fundamental (es decir un múltiplo). La frecuencia de tales armónicos se da generalizado a (3.17) así:

LVnf2

= (n= 1 , 2, 3...) donde V es la velocidad µ/TV = obteniéndose:

µ/

2T

Lnf =



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donde f es la frecuencia del armónico de onda n, L la longitud de la cuerda, T la tensión y p la masa por unidad de longitud. O se considerarán las ondas estacionarias en los tubos. Proceso de Comprensión y Análisis • Resolver las siguientes preguntas

- ¿Qué tipo de ondas es el sonido en (a) un gas, (b) un sólido?.

- ¿Puede un sonido propagarse en el vacío?, ¿Por qué?.

- ¿Cómo varía la frecuencia de una cuerda si (a) su tensión se cuadruplica, (b) su tensión se duplica, (c) su longitud se triplica, (d) su longitud se reduce a la mitad, (e) su tensión se hace 16 veces mayor y su longitud se cuadruplica.

- Cuando se hayan establecido colonias de hombres en la luna, ¿podrán ello conversar entre sí como se hace aquí en la tierra?. Fundamente su respuesta.

- ¿Qué sitios de su región conoce donde se produzca eco?. ¿Qué fenómeno es el eco?.

- ¿Por qué cuando quiere llamar la atención de una persona que está relativamente lejos, le grita haciendo especie de bocina con las manos? ¿por qué la otra persona para oírle mejor se coloca la mano en la oreja?.

- ¿Cómo se orienta el murciélago en oscuridad?. • Resolver los siguientes ejercicios

- Hacer un esquema del movimiento de las perturbaciones a lo largo de un resorte o cuerda, cuando en él se producen las pulsaciones indicadas en la Fig.1. (b) ¿Alguna de ellas se propagará más rápidamente?. ¿Por qué?



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- ¿Qué puede suceder cuando el mecanismo productor de ondas periódicas se altera durante un intervalo de tiempo pequeño?, (a) Suponga que la alteración consiste en que el mecanismo se detiene intermitentemente, (b) Sin detenerse, en un momento determinado vibra más fuertemente, (c) Si vibra irregularmente.

- Una vibración de 100 ciclos/seg produce un movimiento ondulatorio. ¿Cuál es la frecuencia del movimiento? ¿Cuál es su período?.

- Si dos puntos A y B sobre una onda periódica están desfasados en media longitud de onda, ¿cuál de los siguientes enunciados es verdadero y por qué?, (a) A oscila con la mitad de la frecuencia con la que B lo hace, (b) A y B se mueven en direcciones opuestas, (c) A y B están desfasados entre sí, medio período.

- Colocar verticalmente sobre una superficie horizontal algunas fichas de dominó, una a continuación de otro, igualmente espaciadas y golpee la primera ficha en dirección a las otras, (a) Describa brevemente lo que sucede, (b) ¿Bajo que circunstancias se transmite la perturbación hasta el otro extremo?, (c) ¿Cómo asociaría este comportamiento a un ejemplo de ondas?.

- Explicar el mecanismo por el cual una cortina se mueve al abrir una puerta colocada en la pared opuesta. ¿En qué dirección se mueve la cortina cuando la puerta se cierra?.

- El principio de superposición establece que las amplitudes de las ondas se suman. ¿Cómo explicaría que las ondas puedan cancelarse unas a otras?.

- Los pulsos indicados en la figura viajan a lo largo de un resorte o cuerda en direcciones opuestas.



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- mediante esquemas explicar la forma que tomará el resorte para intervalos sucesivos de tiempo. ¿Qué cree que sucede si en los puntos a y b del resorte se colocan dos paquetes de dinamita que hacen explosión solamente si chocan?.

- La forma de una onda que se propaga a lo largo de una cuerda se muestra

en la figura. ¿Cuál es la forma de la onda que propagándose en dirección opuesta puede anularla completamente en un instante determinado?.

- Si una onda periódica pasa a un nuevo medio, ¿qué ocurre a: (a) su frecuencia?, (b) su longitud de onda?, (c) su dirección?, (d) su velocidad de propagación?.

- Cuando dos ondas iguales viajan con direcciones opuestas se interfieren para producir una onda estacionaria. ¿Cuál será el movimiento del medio en los nodos, los antinodos, y cuál será la separación entre dos nodos.

- ¿Qué características tienen en común los puntos de un frente de onda?.

- Una onda sonora tiene una frecuencia de 680 hz. ¿Cuál es la longitud de onda de este sonido en el aire?, ¿y en el agua?.

- Determinar una ecuación que le permita fácilmente calcular la distancia en kilómetros la distancia donde se produjo un rayo, contando segundos desde el momento en que ve el relámpago hasta el momento en que oye el ruido del trueno.

- Se deja caer una piedra a un foso profundo. El sonido del golpe de la piedra al caer al fondo del foso se oye 3 segundos después de soltar la piedra, ¿cuál es la profundidad del foso? Tome la velocidad del sonido igual a 340 m/seg.



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UNIDAD 4 La Luz


El estudio de la óptica cubre todos los fenómenos relacionados con la producción y propagación de la luz (visible o invisible al ojo, como se explica adelante) y su interacción con la materia. Tal vez el más importante de los sentidos mediante los cuales se explora y apre-cia el entorno es la vista. La luz solar, difundida por los objetos alrededor, que llega a los ojos permite percibirlos y un estudio de la luz tiene que ocupar un lugar prominente en cualquier investigación de los fenómenos naturales. Para algunas especies la luz es aún de mayor importancia, ya que hay animales, bacterias y hongos que son luminiscentes, produciendo la luz emitida mediante cierto número de reacciones de oxidación controladas por enzimas, siendo la fuente de energía el ATP. Los animales luminiscentes van desde los protozoos hasta los peces. Es muy frecuente el fenómeno en los animales marinos, mientras que se encuentra muy rara vez en las especies de agua dulce. En varios casos la luz no procede del propio organismo si no de bacterias que él mismo cría, como en el caso de varios peces de la Indias Orientales que alojan bacterias luminiscentes en espa-cios debajo de los ojos y pueden ser puestas de manifiesto u ocultadas mediante membranas coberturas negras. En las bacterias y en los hongos la luz producida no parece tener una función útil y se cree que es un subproducto del metabolismo oxidativo. En las luciérnagas sirve de señal para el apareamiento, y en muchas especies, particularmente, en los animales de las profundidades marinas, para reconocerse dentro de una es-pecie, para prevenirse de predadores o confundirlos, o para señuelo de la víctima. En algunos casos se usa como camuflaje, si un pez tiene su parte inferior luminis-cente puede confundirse con el fondo luminoso de arriba y ocultarse de enemigos situados a mayor profundidad. Hoy por hoy el estudio de la óptica se encuentra al frente del pensamiento cientí-fico y tecnológico con gran actividad y presenta una serie de logros y gran promesa de cosas por venir. Esta antigua y venerable ciencia, basada en la teoría



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electromagnética cada vez encuentra más aplicabilidad y asombra al mundo con nuevos descubrimientos y conceptos, tales como: fotón, filtrado espacial, pelícu-las delgadas, fibras ópticas, láser, comunicaciones ópticas, etc. todas con grandes implicaciones teóricas y aplicaciones prácticas, hasta el punto que se puede afirmar que muchas de las comodidades a que está acostumbrada la humanidad serían imposibles si no fuese por la presencia de la óptica. Aún cuando la óptica hoy está presente en los pequeños y grandes proyectos de la humanidad su historia parte desde tiempos muy tempranos en la humanidad como que ya en la Sagrada Biblia se lee en el Éxodo 38: 8 (1200 a.C.) como Bezabel mientras preparaba el arca y el tabernáculo remoldeaba "los cristales donde se veían las mujeres" en un lavabo de latón. Es claro que se habla de espejos en los cuales se encuentra que los primeros fueron hechos de cobre pulido, bronce y más tarde de especulum (aleación de cobre rica en estaño). Del antiguo Egipto se han desenterrado espejos en muy perfectas condiciones junto con he-rramientas del cuartel de trabajadores cerca de la pirámide de Sesostris II (1900 a.C.) en el valle del Nilo. Los filósofos griegos, entre ellos, Pitágoras, Demócrito, Empedocles, Platón, Aristóteles desarrollaron varias teorías de la naturaleza de la luz. Horizontes • Conocer las teorías fundamentales de la óptica.

• Identificar los diferentes componentes ópticos y su campo de aplicación.

• Analizar las leyes de la reflexión y de la refracción.

• Aprender la construcción de la imagen de un objeto en espejos y lentes. Núcleos Temáticos y Problemáticos Onda o Partícula

Ondas Electromagnéticas

Leyes de la Reflexión y de la Refracción

Principio de Huygens

Reflexión Total Interna

Imágenes Formadas por Refracción

Dispositivos Ópticos



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Proceso de Información 4.1 ONDA O PARTÍCULA En la antigua Grecia, Demócrito, Epicuro y Lucrecio consideraban que la luz consistía de corpúsculos muy tenues lanzados por los cuerpos luminosos. Estas ideas, sin cambio, se aceptaron por mucho tiempo. En el siglo XVII Gassendi de-sarrolló el sistema de Demócrito, pero para Descartes la hipótesis de moléculas contiguas que llenaban el espacio y eran lanzadas por los cuerpos luminosos, trasmitiendo su impulso inmediatamente y en todos los sentidos. Newton desarrolló el sistema de la emisión que es el de los sabios antiguos y explicaba los hechos conocidos en su época; suponía que los cuerpos luminosos lanzan en todas direcciones y con una rapidez enorme, corpúsculos de una naturaleza especial, carentes de peso y de masa insensible. Al descubrirse ciertos hechos que esta teoría de la emisión no podía explicar, Malebranche (1638 - 1715) y después Jíjennos concibieron el sistema de las on-dulaciones, según el cual las moléculas de los cuerpos están animadas de movi-mientos vibratorios muy rápidos que se trasmiten, como el sonido en el aire, a través del éter medio hipotético perfectamente elástico que llena todos los cuerpos. Cada vibración produce una onda comparable a las ondas sonoras o a las que se producen al tirar una piedra al agua. Este sistema combatido por Newton, fue defendido por Euler y Young. a teoría ondulatoria permite prever las interfe-rencias y explica fácilmente los fenómenos de difracción. Los trabajos de Fresnel asestaron un rudo golpe a la teoría de la emisión. A fin de decidir cuál de las dos teorías se ajustaba más a la realidad, se observó que la teoría de la emisión conducía a admitir que la velocidad de la luz es menor en el aire que en el agua, mientras que la teoría ondulatoria llevaba a la dirección contraria. Foucault midió ambas velocidades y dio la razón a la teoría ondulatoria. Maxwell (1869) asestó el último golpe a los partidarios de la teoría corpuscular al establecer la correlación entre la luz y los fenómenos electromagnéticos y al pre-ver las ondas electromagnéticas descubiertas por Hertz (1887); sin embargo, Ha-llwachs descubrió al año siguiente que un cuerpo cargado negativamente se des-carga al exponerse a la luz ultravioleta. Elster y Geitel (1889) encontraron la misma propiedad en los metales alcalinos y se denominó efecto fotoeléctrico, que como demostraron Lenard y Cooper - Hewitt en 1900 consiste de una emisión de electrones. Una de las ironías de la historia de la ciencia es que en su famoso experimento de 1887 Hertz confirmó la teoría ondulatoria de Maxwell pero también se descu-brió el



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efecto fotoeléctrico que pocos años después Einstein demostró que solo puede explicarse por el modelo de partículas de la luz. Cuando la luz cae en una superficie metálica expulsa electrones cuyas energías no dependen de la intensidad (energía por segundo por unidad de área) de la luz. En 1905 Einstein demostró que este resultado puede ser explicado asumiendo que la energía de una onda de luz es cuantizada en pequeños bultos llamados fotones. La energía de un fotón es proporcional a la frecuencia de la onda. De acuerdo a Einstein la energía de un fotón es: E = hf donde h = 6.63 x 10-34 J s es la constante de Planck y f es la frecuencia de la onda de luz. Un electrón expulsado por una superficie metálica expuesta a la luz reciba su energía de un solo fotón. Cuando la intensidad de la luz, de una frecuencia dada, se aumenta más fotones caen en la superficie expulsando más electrones, pero la energía de cada electrón no aumenta. Usando este modelo Einstein predijo que la máxima energía de un electrón expulsado en el efecto fotoeléctrico y escapando del metal puede aumentar linealmente con la frecuencia de la luz incidente, pero si esta está por debajo de cierta frecuencia umbral ft (que depende de la cla-se de metal), el efecto fotoeléctrico no ocurre, independiente de la intensidad de la luz, porque ningún fotón tiene suficiente energía para expulsar un electrón. Estas predicciones fueron precisamente confirmadas unos 10 años después por el físico americano R.A. Millikan. Así el modelo de partícula de luz fue reintroducido. Las dos tendencias, seguidas por los físicos, se revelaban muy útiles. La teoría ondulatoria que implicaba la idea de una energía radiante, dominaba todo el elec-tromagnetismo, la propagación de las ondas hertzianas, los rayos X, etc.; la teoría electrónica de la materia permitía adoptar de nuevo la teoría de la emisión; se efectuaba además, un intercambio constante de energía entre ondas y electrones, que desde el momento no parecían ser, esencialmente, diferentes. Sin embargo, el total entendimiento de esta naturaleza dual de la luz no llego hasta los alrededores de 1920, cuando la difracción de electrones fue descubierta por Davisson y Germer y la teoría de la Mecánica Cuántica desarrollada por Schródinger, Hei-senberg, Dirac y otros. El comportamiento de cantidades fundamentales tales como luz, electrones y otras partículas subatómicas se describe correctamente por la moderna teoría de la Mecánica Cuántica, que difiere de ambas una teoría clásica de ondas y una teoría clásica de partículas. Sin embargo, en algunas circunstancias, la teoría cuántica es similar a una teoría clásica de ondas y en otras a una teoría clásica de partículas. Por ejemplo, la propagación de esas cantida-des fundamentales puede siempre ser descrita como una propagación de onda exhibiendo los efectos usuales de interferencia y difracción de las ondas. Pero el intercambio de energía entre esas cantidades



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fundamentales, como en el efecto fotoeléctrico, es mejor descrito, usualmente, en términos de mecánica de partículas. En el estudio de los fenómenos ópticos las distintas características cuánticas de la luz no son muy manifiestas como si lo es su naturaleza ondulatoria y en muchos momentos basta analizar como un caso especial de movimiento ondulatorio. La óptica es física y es fundamental a la física. En este y el siguiente capítulos no se adentra en las interrelaciones entre los procesos atómicos y los fenómenos ópticos asociados si no en la parte predomi-nante de las interacciones de ondas. Muchas de las teorías que maneja la óptica fueron desarrolladas por los antiguos griegos como por ejemplo la propagación rectilínea cuando se encuentra en la Óptica de Euclides (280 a.C.) que en medios homogéneos, la luz viaja en líneas rectas. En su libro Catóptrica enuncia la ley de la reflexión. Aristófanes (424 a.C.) habla del vidrio quemador (una lente positiva). En La República de Platón se menciona el doblamiento aparente de los objetos parcialmente sumergidos en el agua (ley de la refracción). Las referencias pueden ser consultadas por los interesados en ahondar más en sus temas de interés. 4.2 ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS La óptica es el estudio de todas las radiaciones comprendidas en el espectro electromagnético, frecuencias entre 10 Hz hasta 1x1023 Hz que corresponden a longitudes de onda de 1x107 m hasta 1x10-15 m, y comprenden: ondas de radio largas, radio AM, televisión y radio FM, ondas cortas de radio, radar, infrarrojo, VISIBLE, ultravioleta, rayos X, rayos gamma, o sea, todo lo que envuelve propa-gación de ondas de campos eléctricos y magnéticos a través del espacio con ve-locidad c = 3 x 108 m/s (c = 300,000,000 m/s, en el vacío). Todas las ondas elec-tromagnéticas se generan al acelerar cargar eléctricas. Las diferencias entre los varios tipos de ondas electromagnéticas son sus frecuencias y longitudes de on-da. De todo este amplio espectro solo el visible comprendido entre 380 nm (3.8x10-7m) y 720 nm (7.2x10-7m) es percibido (es visible) por el ojo humano ; es la parte que se conoce, en el lenguaje usual, como luz. Luz ultravioleta es radiación electromagnética que está por el lado de longitud más corta del visible y luz infrarroja es la que está en el lado del visible de longitud de onda mayor. Los lí-mites entre una radiación y otra no están bien definidos y por ejemplo en el caso de longitudes de onda de alrededor de 1 x 10-¹° m se habla de rayos X si su



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ori-gen es atómico y de rayos gamma si su origen es nuclear. No hay límites a la radiación electromagnética y teóricamente todas las frecuencias son posibles. No se puede separar el estudio de las radiaciones visibles de las invisibles (a los ojos). 4.2.1 Fuentes Luminosas Cuando se enciende una lámpara en un cuarto la luz se propaga por todo el recinto permitiendo observar los objetos que en él se encuentran. La luz emitida por el sol llena todo el espacio permitiendo observar el ambiente. Estas se conocen como fuentes de luz. ¿Pero cómo se produce la luz? El átomo está constituido, fundamentalmente, por un núcleo rodeado de electrones que giran en diferentes órbitas. Si se le co-munica energía, uno o varios electrones pueden subir a otras órbitas, o sea, ir a un nivel de mayor energía y se dice que el átomo se excita. Muy pronto el electrón regresa a su órbita original, o sea, el átomo se deexcista, emitiendo la diferen-cia de energía de las órbitas en forma de luz. Este mecanismo es común a todas las fuentes de luz: el sol, la llama de un fósforo, una bombilla eléctrica, etc. ¿Cómo puede excitarse el átomo? Existen muchos mecanismos para lograrlo, entre ellos : • Por medio de calor, es el principio de las bombillas incandescentes, de la llama

de un fósforo, etc. • Por otras radiaciones o partículas. En este caso la luz emitida puede tener: La misma frecuencia de la luz incidente. Se presenta cuando el electrón regre-sa directamente a su órbita original. Este fenómeno se llama resonancia. Una frecuencia diferente pero más pequeña que la de la luz incidente. Se presenta cuando el electrón regresa a su órbita pasando por órbitas intermedias o estados metastables. En el fenómeno de fluorescencia esta emisión desapare-ce con la luz excitadora, es el principio de las lámparas fluorescentes. También puede presentarse el fenómeno de la fosforescencia que consiste en la emisión de radiaciones que subsisten, incluso por horas, después de la desaparición de la luz incidente, como en el caso de la pinturas luminosas. Frecuentemente se habla de: fuente puntual, cuando las dimensiones de la fuente son despreciables con relación a las otras dimensiones del sistema; fuente monocromática, cuando emite luz de una sola frecuencia, el caso del láser. Toda fuente luminosa se puede considerar como un conjunto de fuentes puntuales.



100

4.2.2 Propagación de la Luz Si entre los ojos y una fuente luminosa se interpone un cartón, un libro, un trozo de madera o de metal la luz es detenida completamente por el obstáculo y se dice que estos cuerpos son opacos. Si por el contrario se coloca una hoja de papel, un vidrio esmerilado o una taza de porcelana fina se percibe la luz pero no se distingue la fuente. Estos cuerpos que no detienen completamente la luz si no que la difunden se denominan translúcidos. Cuando se coloca un vidrio, una hoja de mica, una botella con agua, alcohol, vino, etc. la fuente luminosa continúa viéndose porque estos cuerpos son transparentes. Los diferentes objetos se dejan atravesar mejor o peor por la luz. Una luz que incide sobre un cuerpo es parcial (cuerpo transparente) o totalmente (cuerpo opaco) absorbida. Todos los cuerpos reflejan parte o toda la luz que incide en ellos. De acuerdo a como el cuerpo refleje las frecuencias puede ser blanco (reflexión grande), gris (reflexión mediana), o negro (reflexión nula). Si algunas frecuencias se reflejan mejor que otras se tiene una sensación de color; un objeto puede verse verde, cuando se ilumina con luz blanca, porque refleja el verde y absorbe las otras frecuencias. La absorción de la luz por un medio presenta características que vale la pena enunciar: • Absorción sin emisión de radiación. La energía luminosa se convierte en

energía cinética de los átomos y por lo tanto aumenta la temperatura del cuerpo. La absorción, generalmente, es selectiva, o sea, que se absorbe la energía de ciertas frecuencias y no de otras; el caso más común es el del agua que presenta coloración azul debido a que absorbe las otras frecuencias y refleja ésta.

• Absorción con emisión de radiación. La energía luminosa se convierte en

energía luminosa de diferente frecuencia como en los casos de resonancia, fluorescencia y fosforescencia.

4.3 LEYES DE LA REFLEXIÓN Y DE LA REFRACCIÓN Se inicia el estudio de la óptica geométrica, o sea, la que se ocupa de los fenómenos que tienen lugar cuando la longitud de onda de la luz es mucho menor que las dimensiones del sistema físico a través del cual se propaga, y en los que la naturaleza ondulatoria de la luz no es de importancia fundamental para describir que sucede. Existen dos maneras muy útiles de representar la propagación de una



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onda; los frentes de onda y los rayos de luz. Los frentes de onda son super-ficies de fase constante de la onda luminosa y pueden asemejarse a las crestas en una onda de agua. Un rayo de luz es una línea que señala la dirección de propagación de la onda. Si la velocidad de propagación es la misma en todas las direcciones, los rayos de luz son perpendiculares a los frentes de onda. Si entre una fuente luminosa y un observador se interpone una pantalla en la que se ha practicado un orificio pequeño, lo que emerge de él es un haz luminoso de dimensiones laterales despreciables: rayo de luz. Por simple observación se en-cuentra que este rayo sigue una trayectoria rectilínea mientras la luz permanece en el mismo medio. Para el presente propósito la luz se propaga en línea recta. Si se deja que un haz luminoso llegue a cualquier superficie rugosa, la luz, además de ser parcialmente absorbida, es difundida (reflejada) en todas direcciones; se tiene la llamada reflexión difusa. Sin embargo, si el haz incide sobre una superficie plana y pulida, la reflexión es regular y, después de la reflexión, toda la luz avanza en una dirección determinada; se tiene la llamada reflexión especular. En el fenómeno se cumplen dos leyes muy sencillas. Considere el caso presentado en la figura 1. Un haz, llamado el rayo incidente llega a la superficie en el punto A y es reflejado (sale) por el llamado rayo reflejado. Por el punto A se traza una perpendicular a la superficie, que se denomina normal a la superficie en el punto A. El ángulo 9 formado por el rayo incidente y la normal se denomina el ángulo de incidencia y el ángulo <t> formado por el rayo reflejado y la normal es el ángulo de reflexión. Las leyes de la reflexión dicen: El rayo incidente, el rayo reflejado y la normal a la superficie en el punto de incidencia se encuentran en el mismo plano; el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia.

Figura 1. Reflexión en una superficie plana. Se muestran los rayos incidente y reflejado y la normal.



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Un rayo luminoso que pasa de un medio a otro se desvía de su dirección original en la superficie de separación entre ambos. Este fenómeno se denomina refracción. Considere el caso presentado en la figura 2, el rayo incidente llega a la superficie de separación o interfase en el punto A y es refractado (transmitido) por el llamado rayo refractado. Por el punto A se traza una perpendicular a la interfase, que se denomina normal a la interfase en el punto A. El ángulo θ formado por el rayo incidente y la normal se denomina el ángulo de incidencia y el ángulo φ for-mado por el rayo refractado y la normal es el ángulo de refracción. Las leyes de la refracción dicen: • El rayo incidente, el rayo refractado y la normal a la superficie de separación en

el punto de contacto se encuentran en el mismo plano.

• Los ángulos de incidencia y de refracción están relacionados por la ley de Snel

N1 sen θ1 = n2 sen θ2 Las constantes n1 y n2 son los índices de refracción de los dos medios. El índice de refracción es una de las constantes ópticas más importantes de un medio, y se define como la razón de la velocidad de la luz en el vacío a la velocidad de la luz en ese medio, varía ligeramente con la longitud de onda utilizada. Como la luz se propaga más lentamente en un medio que en el vacío, el índice de refracción de cualquier medio es mayor que uno (1). Cuanto más denso, ópticamente, es un medio tanto menor es la velocidad de la luz en ese medio y mayor su índice de refracción. Esto significa que un rayo que se propaga de un medio menos denso a otro más denso (caso de la figura 2) se desvía, después de la refracción, hacia la normal y viceversa.

Figura 2. Refracción o paso de un rayo de un medio a otro, refractado, la normal y la interfase.

Se muestran los rayos incidente y por la simetría inherente a las leyes de la reflexión y de la refracción, si se invierte el sentido de un rayo luminoso, recorrerá,



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siempre, hacia atrás su trayectoria anterior. Esta es una ley general en óptica que se conoce como reversibilidad de los rayos de luz. 4.4 PRINCIPIO DE HUYGENS Huygens, un contemporáneo de Newton, abogaba por una teoría ondulatoria de la luz, en contraposición a la teoría corpuscular de Newton. Para las ondas mecánicas, una fuente de ondas pone a vibrar algunas moléculas del medio y estas, actuando como fuentes secundarias, hacen vibrar las moléculas vecinas y así sucesivamente. Este hecho generalizado por Huygens dice: Cada punto de un frente de onda actúa como una nueva fuente de ondas.

Figura 3. Cada punto de un frente de ondas actúa como una nueva fuente

de ondas que emite una onda secundaria tal que el frente de ondas un tiempo posterior es la envolvente de dichas ondas secundarias.

Este principio proporciona un método geométrico para encontrar la forma de un frente de onda a partir de un frente de onda anterior. Como se muestra en la figura 3, si se tiene el frente de onda S en un momento dado, cada punto de éste frente puede considerarse como una nueva fuente de onda y por lo tanto emite una onda secundaria que en un tiempo, ∆t, más tarde, y en un medio homogéneo, es una esfera de radio v ∆t. El nuevo frente de onda es la superficie tangente o envolvente de todas estas ondas secundarias. En la figura 4 un frente de onda plano incide en la interfase de dos medios. Según el principio de Huygens las ondas secundarias se construyen a partir del frente de ondas AC. La onda que se propaga desde C llega a la frontera en un tiempo t = CB/V!, donde v1 es la velocidad de la luz en el medio 1. La onda que se propaga desde A en el medio 2 viaja a una velocidad v2 y por lo tanto avanza una distancia v2t en ese mismo tiempo t.



104

Figura 4. Refracción de un frente de onda en una interfase

entre dos medios en los cuales la velocidad de la luz es diferente. Para establecer la ley de Snell se tiene que el ángulo de incidencia θ1 = <EAD (entre un rayo y la normal) = < CAB (entre el frente de onda en el medio 1 y la in-terfase) por ser perpendiculares los lados de estos ángulos. Igualmente en el medio 2 se tiene que el ángulo de refracción θ2 = <FAN (entre un rayo y la normal) = <ABN (entre el frente de onda en el medio 2 y la interfase). De la figura se tiene que sen θ, = BC/BA y sen θ2 = AN/BA. Al dividir la primera relación por la segunda se tiene : que puede reescribirse como: V1-¹ sen θ1, = v2-¹ sen θ2; que es la misma ley de Snell si n1/n2 = v2/v1. Por lo anterior no solo la ley de Snell se deduce del principio de Huygens, si no que este predice que la luz viaja más despacio en medios de índice de refracción mayor. El índice de refracción, como se dijo antes, es n = c/v, donde es la velocidad de la luz en el vacío y v es la velocidad de la luz en el medio. Por otra parte este índice depende, en cierta forma, de la longitud de onda de la luz utilizada. Si un rayo está compuesto por muchas longitudes de onda al refractarse se dispersa en varios rayos cuyas direcciones dependen de los valores de los índices de refracción para las distintas longitudes de onda. La variación de n con la longitud de onda se denomina dispersión. Un ejemplo típico y conocido es el arco iris que no es otra cosa que la dispersión de la luz solar al pasar por gotas de agua. En la tabla 1 se tienen los índices de refracción para algunos materiales. Como se ha explicado dicho índice depende, en cierta forma, de la longitud de onda de la luz utilizada para medirlo.

tVtV

ANBC

SenSen

21

21

==θθ



105

Tabla 1. índice de refracción para varios compuestos para luz amarilla de λ = 589 nm.

SUSTANCIA ÍNDICE DE REFRACCIÓN

Aire 1.000293 Amoníaco 1.000376 Dióxido de carbono 1.000451 Cloro 1.000773 Hidrógeno 1.000132 Metano 1.000444 Dióxido de azufre 1.000686 Benceno 1.500 Disulfuro de carbono 1.640 Sulfuro de carbono 1.625 Etanol 1.362 Metanol 1.329 Yoduro de metileno 1.726 Agua 1.333 Tetracloruro de carbono 1.460 Diamante 2.420 Zafiro, rubí 1.767 Fluorina 1.430 Vidrio, crown 1.510 Vidrio, flint denso 1.660 Vidrio, lámina 1.520 Vidrio, cuarzo fundido 1.458 Vidrio, cal de sosa 1.152 Vidrio, cal de sosa 1.474 Aceite de oliva 1.480 Polietileno 1.520 Sal (NaCI) 1.544 Hielo (0°C) 1.310 Lúcita plástica 1.491

En la figura 5 un frente de onda plano incide en una superficie reflectora. Según el principio de Huygens las ondas secundarias se construyen a partir del frente de ondas AC. La onda que se propaga desde C llega a la superficie en un tiempo t = CB/v y para la onda que se propaga desde A hasta D se tiene t = AD/v.



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Para establecer la ley de Snell se tiene que el ángulo de incidencia θ = <ABD (entre el frente de onda incidente y la superficie) y el ángulo de reflexión φ = <ABC (entre el frente de onda reflejado y la superficie) son iguales. Del párrafo anterior se tiene que BC = AD, por ser los tiempos ¡guales debido a que la veloci-dad es la misma. La igualdad de los ángulos y el hecho de tener un lado común (AB) y de la figura se tiene que: sen θ = sen φ. Como la función es la misma a ambos lados de la igualdad se puede simplificar y se tiene simplemente : θ = φ , o sea el ángulo de incidencia igual al ángulo de reflexión, como se ha establecido.

Figura 5. Reflexión de un frente de onda en una superficie reflectora.

Aplicación del principio de Huygens. Ejemplo: Se encuentra que el índice de refracción de una sustancia es 1.435. ¿Cuál es la velocidad de la luz en tal sustancia? Solución: El índice de refracción está dado por la relación n = c/v, donde c y v son las velocidades de la luz en el vacío y en la sustancia. Por lo tanto :

smsmV /108*09.21435

/108*3==

Ejemplo: Un haz de luz colimado, o sea que tiene rayos paralelos, que se propaga en el aire forma un ángulo de 30° con la normal a una lámina de vidrio de índice 3/2. ¿Cuál es la dirección del haz trasmitido dentro del vidrio? Solución: La ley de Snell n¡ sen 6¡= nt sen 0T. Tomando n¡ = 1.0, índice para el aire se tiene: (1.0) sen 30° = 3/2 sen θ. De donde θT = sen−¹ [2 x 0.5/3] = 19.5°.



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Ejemplo: Un rayo de luz que se propaga en vidrio (n=1.5) pasa al agua (n=1.33). Si el ángulo de incidencia es 45°. ¿Cuál es el ángulo con el cual se refracta? Solución: Se aplica la ley de Snell n¡ sen θ¡= nt sen θι. Reemplazando los datos dados se tiene : 1.5 sen 45° = 1.33 sen θι. senθι = (1.5) (0.707) / 1.33

sen θι = 0.794

de donde se obtiene que 0ι = 52.6°. Como una consecuencia se tiene que cuando se pasa de un medio de índice me-nor a uno de índice mayor el ángulo de refracción es menor al ángulo de incidencia, y si índice del medio incidente es mayor que el índice del medio refractado el ángulo de refracción es mayor que el ángulo de incidencia. Ejemplo: Imagínese dos medios (índices n1 y n2) separados por una superficie plana. Un objeto en el medio más denso (n2) está a una distancia h por debajo de la ¡nterfase. Un observador situado en el medio superior verá el objeto como si estuviese a una profundidad diferente (h1). Halle esta distancia en función de los datos conocidos. Solución: En la figura se tiene la situación planteada en el problema.

La ley de Snell n¡ sen θ¡= θt sen θι y de la figura se tiene AB = h tan θ¡ = h' tan θι.

Al dividir estas ecuaciones se tiene: h

nH

N tt θθ cos21cos1=

Considerando que θ.¡ y θι son pequeños se puede tomar cos θi ≈ cos θ, ≈ 1 y por lo tanto h' = h ni/n2.



108

4.5 REFLEXIÓN TOTAL INTERNA Es un fenómeno que se presenta cuando un rayo de luz que procede de un medio más denso (por ejemplo, agua) llega a la ¡nterfase con uno menos denso (por ejemplo, aire), no siempre se refracta. Suponga que se tiene un rayo que se acerca a la interfase procedente del agua (n = 1.333) al aire (n = 1.000) con un ángulo de incidencia de 50°. Utilizando la ley de Snell para calcular el ángulo de refracción se tiene:

021.1766.0000.1333.11

212 111 −−− === sensensennNsen θθ

Catástrofe! No hay ningún ángulo cuyo seno sea mayor de 1.0. ¿Falla la ley de Snell? No, significa que no existe rayo refractado y el único rayo que abandona la interfase es el reflejado. Los rayos que van de un medio de índice n mayor a un medio de índice n menor se separan de la normal. El ángulo de incidencia para el que el ángulo de refracción es de 90° se denomina ángulo crítico, θء. Reemplazando en la ley de Snell se obtiene: n1 sen θء = n2 sen 90° = n2 , o sea, sen θء = n2/n1. En la figura 6 se muestran las diferentes situaciones que pueden presentarse cuando se va de un medio de índice n mayor a otro de índice n menor. Los rayos que llegan a la interfase con un ángulo de incidencia menor o igual al ángulo crítico son parcialmente reflejados y parcialmente refractados (rayos a y b). Si el ángulo de incidencia es mayor al ángulo crítico los rayos son totalmente reflejados, el rayo refractado no existe. Este fenómeno recibe el nombre de reflexión total interna (rayo c).

Figura 6. Se muestra la situación cuando un rayo va

de un medio más denso a uno menos denso. Si el ángulo incidente es pequeño el ángulo del rayo refractado es mayor (rayo a). Si el rayo inci-dente llega a la interfase con el ángulo crítico, el rayo refractado



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forma 90°, está sobre la interfase (rayo b). Si el ángulo es mayor al ángulo crítico toda la incidencia que llega a la interfase se refleja en el mismo medio (rayo c). Cuando un haz luminoso alcanza la superficie que separa dos medios cualesquiera, de ordinario, se presenta, a la vez, reflexión y refracción. En una superficie metálica, una pequeña cantidad de luz se refracta hacia el interior del medio metálico, siendo rápidamente absorbida. En el caso de la reflexión total interna no se produce ninguna refracción. Como se refleja el 100% de la luz es por lo que se usan prismas para cambiar la dirección de la luz en los instrumentos ópticos de alta calidad. En los periscopios y binoculares baratos se usan espejos para lograr este fin, pero una lámina de vidrio plateada solo puede reflejar el 70% de la luz incidente, por lo cual después de dos (2) cambios de dirección solo el 50%, aproximadamente, de la luz está disponible en el haz. 4.6 IMÁGENES FORMADAS POR REFLEXIÓN Cuando la luz tropieza con la superficie, perfectamente pulimentada, de un cuerpo se refleja en una dirección que depende de la posición del rayo con respecto a dicha superficie y se dice que la superficie reflectora es un espejo. La naturaleza ofrece ejemplos como la superficie de un lago o la de aguas tranquilas. El hombre desde muy antiguo ha construido espejos de metal pulimentado o recubriendo vidrio o cristal con capas delgadas de metal. 4.6.1 Espejos Planos Cuando se mira a través de un espejo se observa una proyección subjetiva del mundo. Los rayos reflejados por los espejos planos parecen proceder de imágenes situadas detrás de ellos. Estas imágenes carecen de existencia real y se dice que son imágenes virtuales. En la figura 7 un rayo trazado desde el punto A llega al espejo M en I y se refleja en el rayo IR como si proviniese de A'. Observe que A y A' están en la perpendicular AH y que AH = A'H. Considere ahora como incidente el rayo RÍA'. Es detenido por el espejo en I y reflejado por IA de forma que A puede considerarse como una imagen, este vez real, del objeto virtual A'. El hecho que la luz pueda circular a lo largo de los rayos luminosos, en ambos sentidos, sin que cambie de trayectoria, es muy importante y se conoce como el principio del retorno inverso de la luz.



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Figura 7. Reflexión en un espejo plano. El observador en R percibe los rayos como si proviniesen de A', que es una imagen virtual del objeto A.

En un sistema óptico, cualquiera, una imagen y su objeto son conjugados, es de-cir, que si se coloca un objeto en el lugar en que se produce su imagen, la nueva imagen se encuentra en el lugar en que estaba situado el objeto. Las imágenes producidas por los espejos planos tienen las mismas dimensiones que los objetos correspondientes, pero de ello no se deduce que sean ¡guales. El objeto y la imagen no pueden superponerse, pero son simétricos respecto de un plano como lo son las manos derecha e izquierda. No es posible introducir la mano derecha en un guante izquierdo y viceversa. Así un texto escrito o impreso no se puede leer mediante reflexión en un espejo ; pero si los rayos se reflejan, nuevamente, en otro espejo, la imagen sufre una segunda inversión y el texto será legible. Experiencia. trace, en una cartulina o cartón, un círculo y su diámetro y póngalo sobre una mesa. Coloque un espejo no plateado vertical sobre el diáme-tro. Tome dos velas similares y coloque una de ellas en el círculo ante el espejo, que por reflexión dará su imagen. Cuidadosamente coloque la segunda vela de forma que se superponga a la imagen de la primera. Le será imposible distinguir la segunda vela de la imagen de la primera. Si enciende la vela situada frente al espejo, la segunda parecerá estar, también, encendida y si con un dedo toca la mecha parecerá que este está metido en la llama. Si la acomodación es exacta la ilusión es perfecta. 4.6.2 Espejos Paralelos Considere dos espejos planos M y N colocados paralelos con sus superficies reflectoras enfrentadas y un objeto O colocado entre ellos, como se muestra en la



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figura 8. Un observador colocado en A ve un núme-ro de imágenes tanto mayor cuanto más largos son los espejos. Analizando la figura es claro que a medida que los espejos se hacen más largos es posible ver más imágenes y que estas están colocadas en una misma recta que pasa por el objeto y es perpendicular a los dos espejos. Cada reflexión pare-ce proceder de una imagen que a su vez es imagen de otra anterior. Las imáge-nes están alternativamente de cara y de espalda y las distancias entre las mismas es alternativamente 2a y 2b, siendo a y b las distancias del objeto O a los espejos MyN.

Figura 8. Dos espejos planos colocados de forma que sus superficies reflectoras

están perfectamente paralelas y enfrentadas con un objeto entre ellas. Si los dos espejos no están exactamente paralelos, las imágenes no están colocadas sobre una recta, si no sobre un círculo de radio más o menos grande según el ángulo entre los espejos. Esta observación permite ajustar el paralelismo de los espejos. 4.6.3 Espejos Esféricos Las superficies reflectantes y refringentes pueden tener diferentes formas y no siempre son planas. Entre los espejos cuya superficie reflectora es curva, los más sencillos de construir son los espejos esféricos, figura 9. Son casquetes esféricos de metal o de vidrio plateado, que se clasifican en dos grupos: espejos cóncavos y espejos convexos. Según que el espejo refleje la luz desde el interior o desde el exterior. El eje óptico es la recta que pasa por el centro C de la esfera o centro de curvatura del espejo y perpendicular al plano base del casquete y atraviesa el espejo por el polo o vértice S. La abertura del espejo o su diámetro es el diámetro AB del círculo base; su abertura angular es el ángulo ACB. La distancia entre el centro y el polo es el radio de curvatura. Los



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espejos esféricos no forman imágenes perfectas como los planos, pero mientras que estos forman imágenes del misma tamaño, los esféricos pueden producir imágenes aumentadas o reducidas.

Figura 9. Un espejo esférico no es más que un casquete tomado de una esfera.

No todos los rayos convergen al mismo punto. Los rayos que llegan, paralelos, cerca del eje óptico convergen al foco F y a medida que se van alejando del eje convergen en puntos que se van alejando del foco y acercándose al polo. Para obtener buenas imágenes se requiere que todos los rayos del haz converjan casi en un foco puntual único y para lograrlo es necesario hacer que el espejo sea de tamaño pequeño o cubrirlo con una pantalla con un pequeño orificio para usar solo los llamados rayos paraxiales (cerca del eje óptico). Por consideraciones geométricas sencillas se encuentra que el foco, F, equidista del polo, A, y del centro de curvatura, C, de un espejo. Tomando r el radio de curvatura, la distancia del polo al foco o distancia focal del espejo es f=r/2. La imagen formada por un espejo cóncavo es fácilmente localizada dibujando las trayectorias de varios rayos. En la figura 10 se tiene un objeto OO´ colocado sobre el eje óptico del espejo cuyo polo o vértice es A y su centro de curvatura es C. El ángulo de incidencia para el rayo proveniente de O' y que llega al espejo es O'AO. Este rayo se refleja en el espejo satisfaciendo la ley de la reflexión: ángulo de incidencia igual al ángulo de reflexión; por lo tanto, el ángulo de reflexión I'AI = O'AO. Los rayos que pasan por el centro de curvatura inciden sobre el es-pejo perpendicularmente y retroceden a lo largo de su trayectoria inicial, encontrándose ambos en I'. Los rayos que pasan por el foco se reflejan paralelos al eje óptico y pasan por I'. Los rayos que inciden paralelos al eje óptico se reflejan pasando por el foco e I1. I' es la imagen de O' e I la de O. Por lo tanto II' es la imagen de OO'.



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Figura 10. Trazado de la imagen en un espejo cóncavo. Se muestran las diferentes medidas y los rayos que definen la imagen.

Si el objeto está colocado entre el infinito y el centro la imagen es real, invertida, de colocada al otro lado del eje óptico y de tamaño menor que el objeto. El tamaño se aumenta a medida que el objeto se acerca al centro de curvatura. Cuando el objeto está en el centro de curvatura la imagen es real, invertida, al otro lado del eje óptico y de igual tamaño que el objeto. Cuando el objeto se sitúa entre el centro de curvatura y el foco la imagen es real, invertida, al otro lado del eje y su tamaño es mayor que el del objeto haciéndose más grande a medida que más se acerca al foco. Situando el objeto en el foco (o plano focal) la imagen tiene un tamaño enorme y se encuentra en el infinito, siendo por lo tanto poco luminosa. Cuando el objeto se sitúa entre el foco y el polo la imagen se hace virtual, derecha, de tamaño mayor que el objeto que se va reduciendo a medida que el objeto se acerca al polo. De la figura 10 donde se muestra u la distancia del objeto, r la distancia del centro, v la distancia de la imagen y f la longitud focal es fácil ver que hay varias parejas de triángulos semejantes y de los mismos se obtiene :

rfVU2111· ==+ conocida como la ecuación de los espejos.

Siempre que u > f la imagen es real e invertida. Si u < f se tiene que la imagen es virtual, aumentada y derecha. Aplicando la ecuación de los espejos conocidos los valores de u y f (o r) para obtener v se puede conocer el aumento lateral aplicando: m = -v/u. O sea el aumento lateral es el cociente de dividir la altura de la imagen por la altura del



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ob-jeto. Si el signo que se obtiene es negativo la imagen es real e invertida, si por otro lado es positivo la imagen es virtual y derecha. En un espejo cóncavo, el foco y el centro se encuentran delante del espejo, los rayos pasan por ellos y, por lo tanto r, f son positivos.

Figura 11. La imagen que produce un espejo convexo es virtual, derecha y menor. En el espejo convexo, figura 11, estos puntos se encuentran detrás del espejo y se toman negativas. Los rayos que llegan paralelos al eje divergen, desde el foco, después de reflejarse en el espejo. Los rayos dirigidos hacia el centro retroceden por la misma trayectoria. Los dirigidos hacia el foco, salen paralelos. Los rayos que llegan al polo se reflejan formando un ángulo igual al de incidencia. Todos los rayos parecen divergir desde I' y así la imagen es virtual, derecha y reducida. Para cualquier valor de u la ecuación de los espejos produce un valor negativo de v, así m da positivo indicando que la imagen es virtual. Ejemplo: Un objeto de 1.0 cm de altura está colocado a 10.0 cm de un espejo esférico y se obtiene una imagen virtual de 2.5 cm de altura. ¿Dónde está situada la imagen y qué tipo de espejo se ha utilizado ? Solución: Como la altura de la imagen es mayor que la altura del objeto se de-duce que el espejo es cóncavo ya que los espejos convexos solo pueden producir imágenes reducidas. Por ser la imagen virtual es claro que la distancia focal es mayor que 10.0 cm ya que u (la distancia del objeto) debe ser menor que f. Utilizando las relaciones dadas: m = +2.5 cm / 1.0 cm = 2.5 (positivo por ser imagen virtual)



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De -v/u = 2.5 se tiene: v = -2.5 u = -2.5 x 10.0 cm = -25.0 cm. La imagen está situada a 25.0 cm detrás del espejo.

cmfcmcmvuf

7.160.25

0.20.50.101111

=−

−==+=

r = 2f = 33.4 cm. El espejo es concavo. Ejemplo: Un espejo esférico cóncavo de 20.0 cm de radio se utiliza para proyectar una bujía sobre un muro situado a 110.0 cm. ¿Dónde debe ser colocada la bujía y cómo se verá la imagen? Solución: Utilizando la ecuación de los espejos :

cmcmcmvrurvu 0.111

0.1101

0.202121211

=−=−=∴=+

de donde u = 11.0 cm. Un poco mayor que la longitud focal que es 10.0 cm.

Para saber el tamaño y tipo de la imagen: 100.110.110

−===cmcm

UVm que indica que

la imagen es real e invertida. Ejemplo: El espejo retrovisor de un automóvil tiene una distancia focal 15.0 cm. ¿Dónde se sitúa la imagen de un segundo automóvil que se encuentra a 9.0 m detrás del primero y el aumento lateral obtenido ?. Solución: De la ecuación de los espejos se tiene:

cmcmvcmcmcmufv

8.1461/0.9000.900

)160(0.900

10.151111

−=−=∴+

−=−==−=

Como la distancia v es negativa es negativa la imagen es virtual y situada a 14.8 cm detrás del espejo. Para conocer el aumento lateral: la imagen es derecha y 61 menor que el objeto.

611

00.90061/0.900

=−

==cmcm

UVM



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4.7 IMÁGENES FORMADAS POR REFRACCIÓN La refracción puede tener lugar tanto en superficies planas como curvas, siendo refractados al segundo medio los rayos que inciden en cualquier punto, de acuerdo con las reyes de la refracción. Se consideran solo rayos paraxiales. Se considera para la refracción en una superficie, o frontera, curva simple como se muestra en la figura 12. El rayo que sale de P y se propaga a lo largo del eje es refractado sin ninguna desviación. Los otros rayos que salen de P al llegar a la superficie curva son refractados y encuentran al que se propaga por el eje en el punto P'. Se aplica la ley de Snell n1 sen θ, = n2sen θ2, como los ángulos son pequeños (se toman rayos paraxiales) el seno es aproximadamente igual a 1 por lo tanto n1θ1 = n2θ2, de la geometría se deduce que:

Figura 12: Refracción en una superficie curva. Salvo la superficie corneal del ojo, rara vez se encuentran superficies refringentes aisladas, mientras son de uso cotidiano las lentes, formadas por dos superficies refringentes esféricas. Ejemplo: Suponga una varilla de vidrio (n = 1.50) e 2.0 cm de radio cuyo extremo izquierdo es redondeado formando un hemisferio. Una fuente puntual se localiza a 6.0 cm a la izquierda del vértice de tal hemisferio. ¿En dónde aparecerá su imagen? Solución: -n1 = 1.0; n2 = 1.50; r= 2.0 cm; u = 6.0 cm

rnn

vn

uN 1221 −

==



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cmvcmrnn

vn

uN

0.20.15.15.1

0.611221 −

=+∴−

=+

al resolver v = 18.0 cm y la imagen es real. 4.7.1 Lentes Cuando una lámina de vidrio (o plástico) presenta una superficie esférica pulida por uno o ambos lados se tiene una lente, que puede ser delgada o gruesa. Solo se analizará lo correspondiente a las lentes delgadas ya que las gruesas no son de común ocurrencia y para obtenerlas, por lo común, se usa una combinación de lentes delgadas. Se define la lente delgada como un conjunto formado por dos superficies esféricas refringentes, con un eje común, que limitan un medio refringente, vidrio pero hoy día muy usual el plástico, y en el que los polos de ambas superficies están lo bastante próximos para que pueda despreciarse la distancia que los separa. La ecuación para una superficie refringente se aplica a cada superficie para desarrollar una ecuación que describa la formación de imágenes por una lente. Se consideran rayos paraxiales a fin de utilizar la región central de la lente y evitar la deformación de las imágenes. Un haz de rayos incidentes paralelos al eje de la lente, figura 13, puede:

• Converger hacia un punto, el foco puntual real situado detrás de ella, en cuyo caso se tiene una lente convergente o lente positiva; o,

• Divergir desde el foco puntual virtual, situado delante de la lente, en cuyo caso se llama lente divergente o lente negativa.

Si desde cualquier lado de la lente se hace llegar una luz paralela, los rayos son convergidos o divergidos, según la lente. Los focos se sitúan a ambos lados de la lente, sobre el eje óptico y su distancia al centro de ella es la distancia focal f.



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Figura 13: A la izquierda una lente convergente o positiva donde los rayos que inciden paralelos pasan por la lente y convergen a un punto, el foco F. A la derecha una lente divergente o negativa en la cual los rayos que inciden paralelos divergen desde un punto, el foco F,

situado en el mismo lado de incidencia y por lo tanto se toma negativo. Aplicando la ecuación para una superficie refringente a las dos superficies de las lentes se obtiene: Ecuación del fabricante de lentes delgadas Para obtenerla se toma fv = y α→u . Ra es el radio de la primera superficie y Rb es el radio de la segunda superficie refringente. Si el medio en el cual está inmersa la lente es el mismo a ambos lados se tiene:

fvu111

=+ : Esta ecuación es valida para objetos e imágenes en ambos lados de la

u v f lente. Para situar la imagen de un objeto, OO', solo basta trazar tres rayos como se muestra en la figura 14. El rayo que va por el centro óptico, O, de la lente continúa sin desviación. Los rayos que pasan por el foco objeto, F, llegan a la lente y son desviados saliendo paralelos al eje óptico, por el principio de reversibilidad de los rayos luminosos. Los rayos que llegan a la lente paralelos al eje óptico se desvían saliendo por el foco imagen, F', aplicando también el principio de reversibilidad de los rayos. El punto donde confluyen los rayos sitúa la imagen, II'. El punto A es el polo (vértice) de cualquiera de las superficies y como se desprecia el espesor de la lente se puede considerar como polo común.

RbRann

FN 11*)12(1

−−=



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El aumento lateral de la imagen puede encontrarse aplicando: uvm /−= como en el caso de los espejos. El convenio de signos que se establece es: las distancias medidas desde la lente a los objetos, y a las imágenes y focos reales es positiva; y las medidas a los puntos virtuales es negativa. Las imágenes derechas son po-sitivas y las invertidas negativas.

Figura 14. Para trazar la imagen solo basta trazar tres rayos a partir del objeto. La distancia al objeto se toma siempre como positiva, y la distancia imagen es positiva si esta se encuentra en el lado opuesto de la lente y negativa si la imagen está al mismo lado del objeto. La distancia focal es positiva si la lente es convergente (positiva) o negativa si la lente es divergente (negativa). Ejemplo: Una varilla de vidrio (n = 1.46), terminada en hemisferio, está sumergida en alcohol etílico (n = 1.36). Calcular el radio de curvatura si se desea que un haz de rayos, procedente de su interior, llegue a un foco situado a 100.0 cm del vértice. Solución: La distancia focal está dada por:

rnn

nf12

2−

= r.

Como se desea averiguar el radio de curvatura se tiene:

85.646.1

)16.136.1(0.1002

)12(−=

−=

−=

cmnnnfr

El signo menos (-) aparece debido a que el centro de curvatura está a la izquierda del vértice.



120

Ejemplo: ¿Cuál debe ser la distancia focal de una lente delgada positiva si las distancias objeto e imagen son 90.0 cm y 45.0 cm respectivamente?

fcmcmFvU1

0.451

0.901111

=+∴=+−

resolviendo se tiene f = 30.0 cm Ejemplo: Una lente delgada biconvexa tiene un radio de 10.0 cm en su primera cara y de 20.0 cm en su segunda cara. Si está fabricada de cristal al plomo (n = 1.66) y está sumergida en agua (n = 1.33), ¿cuál es la distancia focal?

cmfcmcmRbRan

nf

9.260.201

0.101*1

33.166.111*1

121

−=∴−−=−−=

y la lente es negativa (divergente) como se esperaba. Ejemplo: Una diapositiva de 35.0 mm por 35.0 mm se proyecta sobre una pantalla situada a 10.0 m de la lente, obteniéndose una imagen de 1.0 m por 1.0 m. ¿Cuál es la distancia focal y la distancia objeto de la lente? El aumento lateral para estas medidas es 1.0 m/3.5 x 10-², m=200/7 y la imagen debe ser real para observarse en la pantalla. Por lo tanto m= -v/u = -100 m 200/7. Como v = 10.0m, se tiene:

cmcmu 0.357/200

0.10==

para otra parte

2070.70

2077

72071

7200111 cmvf

vvvuuf==∴=+=+= =33.8

4.8 DISPOSITIVOS ÓPTICOS Existe una gran cantidad de sistemas ópticos desarrollados con el fin de ampliar la capacidad de los sentidos en el rango de lo muy pequeño y de los muy lejanos, lo cual ha hecho posibles ciencias como la microbiología y la astronomía.



121

En el diseño de los instrumentos ópticos intervienen una serie de detalles que no son objetos del presente curso. Las imperfecciones en la imagen se conocen como aberraciones y por lo tanto exigen combinaciones de lentes para minimizarlas, lo cual es una tarea difícil y que no es necesario considerar para comprender los principios de los instrumentos ópticos. La teoría paraxial es suficiente para entender el funcionamiento de los aparatos y aún construirlos. 4.8.1 El Ojo Es tal vez el más maravilloso de todos los instrumentos ópticos debido a su perfección como mecanismo sensorial, como sistema óptico y como instrumento elaborador de datos. En la figura 15 se muestran las partes esenciales del ojo. Al frente del ojo se encuentra la cornea, C, curvada abruptamente. Tras la cornea hay un espacio lleno de un líquido que se denomina humor acuoso, A, (n = 1.336), de forma que la refracción más acusada de la luz incidente ocurre cuando pasa desde el aire a este líquido. A continuación viene la lente el cristalino, L, constituida por una sustancia de índice de refracción promedio n = 1.396 (este índice varía desde el centro al nervio óptico (los bordes). La curvatura de la lente puede ajustarse por medio de los músculos ciliares, MC, para obtener imágenes de objetos a distintas distancias. Tras la lente se encuentra un fluido similar al humor acuoso que se denomina humor vitreo, V, y por último se encuentra la retina, R, una membrana rica en vasos sanguíneos y fibras nerviosas sensible a la luz.

Fig. 15: El Ojo Las fibras nerviosas terminan en los llamados conos y bastones, que actúan como transductores, convirtiendo la energía luminosa en impulsos eléctricos que pueden propagarse a lo largo de las fibras nerviosas. La parte más sensible de la retina es la región en la cual el eje visual la corta en una pequeña depresión conocida como mancha amarilla o fovea centralis que solo contiene conos muy apretados, siendo por lo tanto, la región más sensible al color y a los detalles. Al alejarse de la mancha amarilla, aparecen bastones, aumentando gradualmente la razón del número de estos al de conos; pero, incluso en las regiones periféricas donde



122

predominan los bastones aún se consiguen conos. El nervio óptico transmite las señales desde las fibras nerviosas al cerebro. La región por donde entra el nervio óptico al ojo no es sensible a la luz y se denomina punto ciego. La distinción de un detalle en un determinado objeto depende del tamaño de la imagen de dicho objeto en la retina, que está determinado por el ángulo subtendido por el objeto en el ojo. Para hacer mayor el tamaño aparente del objeto basta acercarlo más al ojo, haciendo que el ángulo subtendido sea mayor, hasta llegar a un posición en la que el ojo no puede enfocar cómodamente la imagen en la retina. Esta distancia se denomina punto próximo. Para hallar su punto próximo acerque esta página tanto como pueda a sus ojos, hasta que deje de observar una imagen nítida del texto. Cuando los músculos ciliares están relajados, un ojo normal está enfocado al infinito. Si se tensan, a través de un proceso denominado acomodación, el ojo es capaz de visualizar objetos a distintas distancias. 4.8.2 El Microscopio Simple Al situar una lente convergente frente a su ojo se disminuye el punto próximo. Así su ojo mirará a un objeto virtual situado en algún lugar entre el punto próximo y el infinito. El objeto virtual subtiende en su ojo un ángulo mayor que el que subtendería en el punto próximo. Esta lente se denomina microscopio simple. 4.8.3 El Microscopio Compuesto Cuando son necesarios aumentos angulares más grandes, puede utilizarse el microscopio compuesto inventado en Holanda hacia el año 1600, consta, en forma elemental, de dos lentes: la lente objetivo colocada de forma que el objeto a examinar esté un poco más allá de su primer punto focal, formando una imagen real lejos del segundo punto focal; y la lente ocular que actúa como un microscopio simple, produciendo una imagen virtual de la imagen real formada por la primera lente. 4.8.4 Telescopios Un telescopio cuyo elemento esencial es una lente se denomina telescopio de refracción y está compuesto, como el microscopio, de dos lentes: el objetivo que tiene una distancia focal grande y el ocular cuya distancia focal es pequeña. Cuando el ocular se sitúa de tal manera que su primer punto focal coincide con el segundo punto focal de la lente objetivo los rayos de luz paralelos que llegan al telescopio emergen del ocular como rayos de luz paralelos.



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Proceso de Comprensión y Análisis • Resolver los siguientes ejercicios

- La distancia media de la Tierra a la Luna es 3.84 x 108 m. ¿Cuánto tarda un rayo luminoso en ir a la Luna y volver después de reflejarse en un espejo?

- Si la velocidad de la luz en el vacío es 3.0 x 108 m/s. ¿Cuál es su velocidad en el agua (n = 1.33)?

- Un objeto de 6.0 cm se coloca delante de un espejo esférico y produce una imagen de 12.0 cm detrás del mismo. ¿Cuál es el radio de curvatura del espejo ?

- Un objeto está colocado a 12.0 cm de una lente divergente de longitud focal –8.0 cm. Hallar la posición, la naturaleza y el aumento de la imagen.

- Una cámara tiene un teleobjetivo de distancia focal 100.0 mm. La distancia desde la lente hasta la película puede ser variada entre 100.0 y 125.0 mm. ¿Cuál es la distancia mínima para que un objeto pueda producir una imagen nítida en la película?

- Un rayo de luz solar incide, desde el aire, sobre una superficie de agua, formando un ángulo de 40° con la normal a dicha superficie. ¿Qué ángulo forma el rayo refractado con la normal?

- ¿Cuál es el ángulo crítico para un rayo que sale de un diamante y pasa al aire?

- Un objeto de altura 5.0 mm se coloca a 250.0 mm frente a un espejo convexo de radio de curvatura 400.0 mm. ¿Qué tan lejos del espejo estará la imagen?. ¿Es la imagen derecha o invertida?. ¿Cuál es el tamaño de la imagen?

- Una lente plana convexa debe tener una distancia focal de 240.0 mm y hacerse con un vidrio de índice 1.675. ¿Qué radio de curvatura debe tener la lente?

fÍsica dos

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