Física para Arquitectura

Movimiento Armónico

Simple

Movimiento Armónico Simple

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Movimiento periódico• Un cuerpo con movimiento

periódico se caracteriza por una posición de equilibrio estable, alrededor del cual se desplaza el móvil. La característica de este movimiento es que se repite regularmente; es decir, se repite cada cierto tiempo, T, denominado periodo.

• Ejemplo:

– El movimiento de la Tierra alrededor del Sol.

El movimiento de los planetas alrededor del Sol

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Movimiento Oscilatorio• El movimiento oscilatorio es

aquel movimiento periódico que se efectúa alrededor de una posición de equilibrio.

• Este movimiento se debe a que existe una fuerza de restitución. En el caso de la figura, la fuerza es la que ejerce el resorte sobre el bloque.

• Las magnitudes características del movimiento son:– Amplitud A– Periodo T– Frecuencia f– Frecuencia angular

• Ejemplo• Taipei 101 es un edificio de 509

metros de altura. Está diseñado para resistir fuertes vientos y pequeños terremotos. 36 columnas soportan el peso de la inmensa torre, 8 de las cuales son grandes columnas llenas de concreto, que hacen de esta torre de uno de las más estables rascacielos construidos hasta el momento.

• Con el fin de minimizar las oscilaciones causadas por el viento en los puntos más altos del edificio, los ingenieros del Taipei 101 crearon un péndulo de 662 toneladas de acero que cuelga del 92º piso. Este péndulo se mueve para compensar los efectos del viento, y por lo tanto, la torre se mantiene estable.

1f HzT

2 f

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Ejercicios • Ejercicio. Un transductor

ultrasónico empleado para el diagnostico de fracturas en estructuras oscila con una frecuencia de 6,7 MHz . ¿Cuánto tarda cada oscilación y qué frecuencia angular tiene?

• RespuestaT = 0,15 µs = 4,2 x 107 rad/s

• Ahora, resuelva los ejercicios 7-12 de las páginas 460 y 461 del texto Wilson Buffa 6° Ed.

• Ejercicio Si un objeto en una superficie horizontal sin fricción se une a un resorte, se desplaza y después se suelta, oscilará. Si se desplaza 0,120 m de su posición de equilibrio y se suelta con una rapidez inicial cero, después de 0, 800 s su desplazamiento es de 0,120 m en el lado opuesto, habiendo pasado la posición de equilibrio una vez. Calcule: a) la amplitud; b) el periodo, c) la frecuencia.

• Respuesta

• A = 0,120 m• T = 1,60 s

1f Hz 0,625Hz

1,60

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Movimiento oscilatorio del aire: Análisis por ultrasonido de las grietas en la pintura de la basílica de Nuestra Señora de los Desamparados (Valencia)

http://www.cervantesvirtual.com/servlet/SirveObras/89142843210170586521457/024298_0079.pdf

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Movimiento oscilatorio de Taipei 101

Keyword Youtube: “taipei 101 damper”

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Exploración del modelo físico

c.m.

c.m.

Cuando no hay vientos laterales, el centro de masas del edificio está en la línea de acción del contrapeso (fuerza de restitución).

c.m.

Vientos laterales

Vientos laterales

• Taipei 101 es un edificio de 509 metros de altura. Está diseñado para resistir fuertes vientos y pequeños terremotos. 36 columnas soportan el peso de la inmensa torre, 8 de las cuales son grandes columnas llenas de concreto, que hacen de esta torre de uno de las más estables rascacielos construidos hasta el momento.

• Con el fin de minimizar las oscilaciones causadas por el viento en los puntos más altos del edificio, los ingenieros del Taipei 101 crearon un péndulo de 662 toneladas de acero que cuelga del 92º piso. Este péndulo se mueve para compensar los efectos del viento, y por lo tanto, la torre se mantiene estable.

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Movimiento Armónico Simple• El movimiento armónico

simple es un movimiento oscilatorio, tal que la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo es proporcional a su desplazamiento.

• Un ejemplo de dicho movimiento es el caso de un bloque que oscila libremente por acción de la fuerza recuperadora de un resorte. El bloque se mueve sobre una superficie sin fricción.

• Donde k es la constante de elasticidad del resorte.

• Pregunta• ¿Qué resorte se estirará más

por la acción de una misma fuerza, uno de k = 200 N/m o uno de 400 N/m?

F kx

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Elementos del MAS

AA

x

v = 0

v = 0 v máxima

A - amplitud

x - elongación

T - periodo

f - frecuencia

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Energía del MAS• La energía que almacena un resorte está dada por la expresión:

y recibe el nombre de Energía potencial elástica.• La unidad de la energía almacenada por el resorte es el joule (J).• La energía potencial elástica cambia de valor cuando cambia la

elongación del resorte. • Es máxima cuando la elongación es igual a la amplitud y mínima

cuando la elongación es cero; es decir, se encuentra en la posición de equilibrio.

21U kx

2

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Energía en el MAS• Por el contrario, la energía cinética del cuerpo en MAS es

máxima cuando se encuentra en la posición de equilibrio y cero en las posiciones de máxima elongación (amplitud).

• Si el bloque oscila sobre una superficie sin fricción, la energía total se conserva, por lo que al escribir la ley de conservación de la energía entre cualquier punto de la trayectoria del cuerpo y el extremo se tendrá:2 2

máx

1 1U mv kx

2 2

2 2 21 1 1kA mv kx

2 2 2

2 2kv A x

m

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Energía en el MAS

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Ejercicios• Ejercicio 14 13.1 Pág. 461• Un objeto con una masa de

0,500 kg se sujeta a un resorte cuya constante es de 10,0 N/m. Si se tira del objeto para bajarlo 0,050 m respecto a su posición de equilibrio y se suelta, ¿qué rapidez máxima alcanzará?

• Ejercicio 17 13.1 Pág. 461• A) ¿En qué posición es

máxima la rapidez de una masa de un sistema masa-resorte? 1) x = 0, 2) x = A o 3) x = -A?

• B) Con m = 0,250 kg, k = 100 N/m y A = 0,10 m, ¿cuál es la rapidez máxima?

• Ahora se puede resolver los ejercicios 13, 15- 23 de la página 461 del texto Wilson Buffa 6° Ed.

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Ecuación del MAS• El MAS puede interpretarse

como el estudio del movimiento de la proyección de un cuerpo que realiza un movimiento circular uniforme.

• Recordemos que en el MCU

• Por lo que si se escribe la ecuación matemática de la trayectoria de la proyección, se tendrá:

• O,

x A sen

t

x A sen t

pro

yecció

n

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Ecuación del MAS

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Ecuación del MAS• La ecuación del MAS es:

• A , ω y δ son constantes• A es la amplitud, el desplazamiento máximo respecto a la

posición de equilibrio• El argumento de la función sen (ωt +δ ) se denomina fase

y la constante δ es el ángulo de fase.

x(t) A sen( t )

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Ejercicio• Ejercicio 27 13.2 Pág. 461• Para la ecuación del MAS

• La posición y del objeto en ¾ del periodo es a) +A, b) –A, c) A/2, d) 0.

• Ejercicio 41 13.2 Pág. 462

• El desplazamiento de un objeto está dado por

• Calcule a) la amplitud, b) la frecuencia y c) el periodo de oscilación del objeto.

• Ahora se puede resolver los ejercicios 27, 29, 35, 37, 39, 41, 43, 45 de la páginas 461 y 462 del texto Wilson Buffa 6° Ed.

y A sen t

y 5,0sen(20 t)